第03讲 概率综合（古典概率、独立事件概率、条件概率及全概率）（复习讲义）（北京专用）2026年高考数学一轮复习讲练测

第03讲 概率综合 （古典概率、独立事件概率、条件概率及全概率） 目录 01 考情解码・命题预警 2 02体系构建·思维可视 3 03核心突破·靶向攻坚 3 知能解码 3 知识点1 随机事件 3 知识点2 对立事件与互斥事件及概率的基本性质 4 知识点3 古典概型的概率计算 5 知识点4 独立事件的判断及独立事件的乘法公式 5 知识点5 条件概率 6 知识点6 全概率公式 6 知识点7 贝叶斯公式 7 题型破译 7 题型1 事件的判断 7 题型2 古典概型的概率计算 8 题型3 判断互斥事件与对立事件 9 题型4 独立事件的判断 9 题型5 独立事件的乘法公式 10 题型6 条件概率的计算 12 题型7 全概率公式及应用 13 题型8 贝叶斯概率公式及应用 14 04真题溯源·考向感知 15 05课本典例·高考素材 18 考点要求 考察形式 2025年 2024年 2023年 （1）用频率估计概率 （2）计算古典概型问题的概率 （3）独立事件的乘法公式 （4）利用全概率公式求概率 单选题 填空题 解答题 北京卷T18（14分） 北京卷T18（14分） 北京卷T18（14分） 考情分析： 北京卷中概率综合题目通常作为解答题出现，分值在14分左右，属于“中档能力题”。核心考查古典概型、事 件的独立性与互斥性、条件概率以及全概率公式的应用。试题常以学生熟悉的实际生活场景为背景（如抽奖、比赛、 选科等），构建多步骤的概率模型，强调对概率基本概念的理解和复杂情境的分析能力。聚焦于区分“互斥”与“独立”、 条件概率的识别与计算，以及利用全概率公式分解复杂事件，是主要的得分点和易错点。 复习目标： 1.理解样本空间与随机事件的含义，掌握事件间的包含、相等、互斥与对立关系。 2.理解古典概型的特征，会计算简单古典概型事件的概率。 3.理解事件的独立性概念，掌握独立事件概率的乘法公式，并能用其解决实际问题。 4.理解条件概率的概念，掌握条件概率的计算公式，能区分P(A|B)与P(B|A)。 5..理解全概率公式的推导思想，掌握全概率公式的基本模型，能利用该公式计算复杂事件的概率。 6.初步了解贝叶斯公式（选学或作为全概率公式的推论），并能在简单情境中应用。 知识点1 随机事件 1．随机试验 （1）在一定条件下 （出现）的现象称为确定性现象. （2）在条件相同的情况下，不同次的试验或观察会得到 ，每一次试验或观察之前 会出现哪种结果，我们把这种现象称为随机现象． （3）对 进行试验、观察或观测称为随机试验，随机试验一般用大写字母E表示． 2．三种事件的定义 随机事件 我们将样本空间Ω的子集称为随机事件，简称事件，并把只包含 样本点的事件称为基本事件．随机事件一般用大写字母A，B，C，…表示．在每次试验中，当且仅当A中某个样本点出现时，称为事件A发生 必然事件 Ω作为自身的子集，包含了所有的样本点，在每次试验中总有一个样本点发生，所以Ω总会发生，我们称Ω为必然事件 不可能事件 空集∅不包含任何样本点，在每次试验中都不会发生，我们称∅为不可能事件 自主检测一质点从平面直角坐标系的原点开始，等可能地向上、下，左、右四个方向移动，每次移动一个单位长度，观察该点移动3次后的位置，则事件“该点位于第一象限”是（    ） A．必然事件 B．不可能事件 C．随机事件 D．以上选项均不正确 知识点2 对立事件与互斥事件及概率的基本性质 1．事件的关系和运算 含义 符号表示 包含 若事件A发生，则事件B一定发生 B⊇A（或A⊆B） 相等 事件B包含事件A，事件A也包含事件B A＝B 并事件 （和事件） 事件A与事件B至少有一个发生 （或A＋B） 交事件 （积事件） 事件A与事件B同时发生 （或AB） 互斥 （互不相容） 事件A与事件B不能同时发生 A∩B＝∅ 互为对立 事件A和事件B在任何一次试验中有且仅有一个发生 A∪B＝Ω，且 A∩B＝∅ 2．概率的基本性质 性质1：对任意的事件A，都有 . 性质2：必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，即，. 性质3：如果事件A与事件B互斥，那么 . 推广：如果事件两两互斥，那么 性质4：如果事件A与事件B互为对立事件，那么P（B）＝ ，P（A）＝ . 性质5：如果A⊆B，那么 . 特别地，对任意事件A，因为，所以.   性质6：设A，B是一个随机试验中的两个事件，我们有 . 显然，性质3是性质6的特殊情况. 自主检测1将一枚均匀硬币连续抛掷两次，下列事件中与事件“至少一次正面向上”互为对立事件的是（    ） A．至多一次正面向上 B．两次正面都向上 C．只有一次正面向上 D．两次都没有正面向上 自主检测2设是一个随机试验中的两个事件，记为事件的对立事件，若，且与相互独立，则 ． 知识点3 古典概型的概率计算 （1）定义：设试验的样本空间有n个样本点，且每个样本点发生的 ． 当中的事件A包含了m个样本点时，称 为事件A发生的概率，简称A的概率．把上述定义描述的概率模型称为古典概率模型，简称古典概型 （2）特点： ①样本空间中只有 样本点； ②每个样本点出现的 ． 自主检测一个不透明的袋子中装有4个分别标有化学元素符号H，H，O，N的小球，这些小球除元素符号外，无其他差别.从袋子中随机摸出2个小球，所标元素能组成“NO（一氧化氮）”的概率是 . 知识点4 独立事件的判断及独立事件的乘法公式 1．事件A（或B）是否发生对事件B（或A）发生的概率没有影响，这样的两个事件叫作 ． 两个相互独立事件同时发生的概率，等于这两个事件发生的概率的 ，即 ． 如果两个事件相互独立，那么把其中一个换成它的对立事件，这样的两个事件仍然 . 2．独立事件的判定： 一般地，当 时，就称事件A 与B相互独立（简称独立)．事件A 与B相互独立的直观理解是，事件A是否发生 事件B发生的概率，事件B是否发生也 事件A 发生的概率． 3．相互独立事件的概率 一般地，当个事件相互独立时，有以下公式成立： ． 自主检测在如图所示的电路图中，开关，，正常工作的概率分别为，，，且是相互独立的，则灯亮的概率是 知识点5 条件概率 条件概率的定义及性质 条件概率的定义 条件概率的性质 已知B发生的条件下，A发生的概率，称为B发生时A发生的条件概率，记为． 当时，我们有．（其中，也可以记成AB） 类似地，当时，A发生时B发生的条件概率为 （1）； （2）如果B和C是两个互斥事件，那么 自主检测抛掷2颗骰子，观察掷得的点数，记事件为“2个骰子的点数不相同”，事件为“点数之和大于8”，则在事件发生的条件下，事件发生的概率是 ． 知识点6 全概率公式 全概率公式 （1）一般地，设，， 是一组两两互斥的事件，，且，，则对任意的事件，有 ，我们称此公式为全概率公式． （2）全概率公式的理解 全概率公式的直观意义：某事件的发生有各种可能的原因（），并且这些原因两两互斥不能同时发生，如果事件是由原因所引起的，且事件发生时，必同时发生，则与有关，且等于其总和 ． “全概率”的“全”就是总和的含义，若要求这个总和，需已知概率，或已知各原因发生的概率及在发生的条件下发生的概率．通俗地说，事件发生的可能性，就是其原因发生的可能性与已知在发生的条件下事件发生的可能性的乘积之和． 自主检测班主任安排班干部在暑假给教室的绿植浇一次水，若不浇水，绿植枯萎的概率为0.7；若浇水，绿植枯萎的概率为0.15，而班干部浇水的概率为0.9，则开学返校时绿植枯萎的概率为 . 知识点7 贝叶斯公式 贝叶斯公式 设是一组两两互斥的事件，，且，则对任意事件， ，有 ＝ ，． 自主检测贝叶斯公式：，其中称为B的全概率．已知Rh阴性血型又称“熊猫血”，是一种极为罕见的血型，若A，B，C三个地区分别有0.2%，0.4%，0.3%的人是Rh阴性血型，且这三个地区的人口数量之比为，现从这三个地区中任意选取1人，若选取的这个人是Rh阴性血型，则这个人来自C地区的概率为 （结果用分数表示）． 题型1 事件的判断 例1-1下面四个选项中，是随机现象的是（    ） A．守株待兔 B．水中捞月 C．流水不腐 D．户枢不蠹 例1-2对满足的非空集合，有下列四个命题： ①“若任取，则”是必然事件； ②“若，则”是不可能事件； ③“若任取，则”是随机事件； ④“若，则”是必然事件． 其中正确命题的个数为（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【变式训练1-1】已知袋中有大小、形状完全相同的5张红色、2张蓝色卡片，从中任取3张卡片，则下列判断不正确的是（    ） A．事件“都是红色卡片”是随机事件 B．事件“都是蓝色卡片”是不可能事件 C．事件“至少有一张蓝色卡片”是必然事件 D．事件“有1张红色卡片和2张蓝色卡片”是随机事件 【变式训练1-2】有两个事件，事件抛掷一枚均匀的骰子，朝上的面点数为偶数；事件人中至少有人生日相同.下列说法正确的是（    ） A．事件、都是随机事件 B．事件、都是必然事件 C．事件是随机事件，事件是必然事件 D．事件是必然事件，事件是随机事件 题型2 古典概型的概率计算 例2-1甲、乙、丙、丁4人排成一排，则甲不在排首的概率为（ ） A． B． C． D． 例2-2连续抛掷一枚质地均匀的骰子5次，得到的点数分别为2，3，4，5，，则这5个数的第60百分位数为的概率为（    ） A． B． C． D． 【变式训练2-1】抛掷一枚质地均匀的骰子两次，得到的点数分别为，，则“”的概率为（   ） A． B． C． D． 【变式训练2-2】已知，从1，2，…，中随机取出两个数，若两数之和为3的概率为，则（    ） A．6 B．7 C．20 D．21 题型3 判断互斥事件与对立事件 例3-1已知事件，若与互斥，与互为对立事件，则是的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 例3-2从装有除颜色外其他完全相同的个红球（编号为、）和个白球（编号为、）的口袋内任取个球，则互斥且不对立的两个随机事件是（   ） A．至少有个白球，都是白球 B．至少有个白球，至少有个红球 C．恰有个白球，恰有个白球 D．至少有个白球，都是红球 【变式训练3-1】从1～5这5个整数中随机抽取1个数，记事件“抽到小于3的数”，事件“抽到大于2的数”，事件“抽到大于1的奇数”，则（   ） A．和不互斥 B．和互斥且不对立 C．和不互斥 D．和互斥且不对立 【变式训练3-2】从装有4个白球和3个红球的盒子里摸出3个球，则以下哪个选项中的事件A与事件B互斥却不互为对立（    ） A．事件A：3个球中至少有1个红球；事件B：3个球中至少有1个白球 B．事件A：3个球中恰有1个红球；事件B：3个球中恰有1个白球 C．事件A：3个球中至多有2个红球：事件B：3个球中至少有2个白球 D．事件A：3个球中至多有1个红球；事件B：3个球中至多有1个白球 题型4 独立事件的判断 例4-1投掷一枚质地均匀的骰子，事件A：点数小于4，事件B：点数大于2，事件C：点数为偶数.则下列关于事件描述正确的是（   ） A．A与B是互斥事件 B．A与B是对立事件 C．A与C是独立事件 D．B与C是独立事件 例4-2抛掷一枚质地均匀的硬币3次，每一次抛掷的结果要么正面向上要么反面向上，记“第一次硬币正面向上”为事件，“三次试验恰有1次正面向上”为事件，“三次试验恰有2次正面向上”为事件，“三次试验全部正面向上或者全部反面向上”为事件，则下列说法错误的是（   ） A．与不互斥 B．与相互独立 C．与相互独立 D．与互斥但不对立 【变式训练4-1】数学课上周媚老师先后两次掷一枚质地均匀的股子，事件“两次掷出的点数之和是6”，事件“第一次掷出的点数是奇数”，事件“两次掷出的点数相同”，则（    ） A． B．A与相互独立 C．与相互独立 D．A与相互独立 【变式训练4-2】假定生男生女是等可能的，设事件：一个家庭中既有男孩又有女孩；事件家庭中最多有一个女孩.针对下列两种情形：①家庭中有2个小孩；②家庭中有3个小孩，下面说法正确是（    ）. A．①中事件与事件相互独立､②中的事件与事件相互独立 B．①中事件与事件不相互独立､②中的事件与事件相互独立 C．①中事件与事件相互独立､②中的事件与事件不相互独立 D．①中事件与事件不相互独立､②中的事件与事件不相互独立 题型5 独立事件的乘法公式 例5-1甲、乙两人独立地破译一份密码，已知这两人能破译的概率分别为，若甲、乙两人一起破译这份密码，则密码不能被成功破译的概率为（  ） A． B． C． D． 例5-2某电视台的夏日水上闯关节目一共有三关，第一关与第二关的过关率分别为、．只有通过前一关才能进入下一关，每一关都有两次闯关机会，且通过每关相互独立．一选手参加该节目，则该选手能进入第三关的概率为（    ） A． B． C． D． 例5-3甲、乙、丙三位同学进行知识竞赛，每局比赛两人对战，第三人旁观．每局比赛胜者与此局旁观者进行下一局比赛，按此规则循环下去，约定先赢两局者获胜，比赛结束．根据以往经验，每局比赛中，甲胜乙的概率为，甲胜丙的概率为，乙胜丙的概率为，每局比赛相互独立且没有平局．规定第一局由甲、乙对战． (1)求进行两局比赛后，比赛结束且甲获胜的概率； (2)求进行两局比赛后，比赛结束的概率； (3)求比赛结束后，甲获胜的概率． 【变式训练5-1】甲、乙两人每人投篮一次，投中的总次数记为.已知甲、乙投篮命中的概率分别为，，且甲、乙投篮命中的结果相互独立，则的概率是（   ） A． B． C． D． 【变式训练5-2】甲、乙、丙三人各自计划去珠海市旅游，他们在5月13日到5月15日这三天中的一天到达珠海市，他们在哪一天到达珠海市相互独立，且他们各自在5月13日到5月15日到达珠海市的概率如下表所示（，，）. 到达日期 5月13日 5月14日 5月15日 0.4 0.4 0.2 0.3 0.2 0.5 0.7 若甲、乙两人同一天到达珠海市的概率为，乙、丙两人同一天到达珠海市的概率为，甲、丙两人同一天到达珠海市的概率为，则（   ） A． B． C． D． 【变式训练5-3】2025年8月21日，DeepSeek在官方公众号发文称，正式发布DeepSeek－V3.1模型，此次升级也标志着国产大模型在技术迭代与商业化探索中又迈出了关键一步．为强化相关技术的落实应用能力，某公司特针对A，B两部门开展专项技能培训． (1)已知该公司A，B两部门分别有3位领导，此次培训需要从这6位领导中随机选取2位分别负责第一天和第二天的工作，假设每人被抽到的可能性都相同，求这两天的工作由A，B两部门的领导分别负责一天的概率； (2)此次培训分三轮进行，员工甲第一轮至第三轮培训达到“优秀”的概率分别为，每轮的培训结果均相互独立，至少两轮培训达到“优秀”才算合格，求甲培训合格的概率． 题型6 条件概率的计算 例6-1设随机事件A，B相互独立，已知，，则（    ） A． B． C． D． 例6-2从编号1~7的7张卡片中依次不放回地抽出两张，记事件A：“第一次抽到的卡片编号数字为3的倍数”，事件B：“第二次抽到的卡片编号数字大于第一次抽到的卡片编号数字”，则（   ） A． B． C． D． 例6-3甲、乙两名同学参加一场乒乓球比赛，比赛共五局（无平局），先赢三局者取得比赛最终胜利.已知第一局乙同学获胜的概率为，且对于每一局，若乙同学在本局中获胜，则他在下一局获胜的概率为；若乙同学在本局中未获胜，则他在下一局获胜的概率为. (1)求甲同学第二局比赛获胜的概率； (2)在比赛三局即结束的条件下，求乙同学取得比赛最终胜利的概率. 【变式训练6-1】已知，是样本空间中的随机事件，，若，，则（   ） A． B． C． D． 【变式训练6-2】从编号1~10的10张卡片中依次不放回地抽出两张，记事件A：“第一次抽到的卡片编号数字为5的倍数”，事件B：“第二次抽到的卡片编号数字小于第一次”，则（   ） A． B． C． D． 【变式训练6-3】现有甲、乙两名运动员进行乒乓球比赛（三局两胜制），其中每局中甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，每局比赛都是相互独立的． (1)求比赛只需打两局的概率； (2)求甲在比赛中获胜的概率； (3)已知甲在第一局比赛中获胜，求甲在比赛中获胜的概率． 【变式训练6-4】现需要对某人工智能芯片进行性能测试，规则如下：首次测试（测试I）通过率为，未通过测试I的芯片进入第二次测试（测试Ⅱ），通过率为，未通过则报废．通过任意一次测试即为合格芯片． (1)已知，若某批次生产了10万枚芯片，预估合格芯片的数量； (2)已知一枚芯片合格，求其是通过测试I的概率（结果用p，q表示） 题型7 全概率公式及应用 例7-1篮球作为三大球类运动之一，深受大众喜爱．据统计，某企业三个部门中喜欢篮球运动的员工分别占本部门总人数的40%，35%，30%，且这三个部门的员工人数之比为，现从这三个部门中随机抽取一位员工，则该员工喜欢篮球的概率为（   ） A．0.63 B．0.54 C．0.45 D．0.36 例7-2某无人机操作员进行定点精准降落训练.据以往训练经验，第一次降落成功的概率为.若第i次降落成功，则第次降落成功的概率为；若第i次降落未成功，则第次降落成功的概率为，其中. (1)求该操作员第二次降落成功的概率； (2)记该操作员前两次降落成功的次数为X，求X的分布列和数学期望； (3)设第i次降落成功的概率为，求证：. 【变式训练7-1】某公司升级了智能客服系统，当输入的问题表达清晰时，智能客服的回答被采纳的概率为，当输入的问题表达不清晰时，智能客服的回答被采纳的概率为．已知输入的问题表达不清晰的概率为．则智能客服的回答被采纳的概率为（   ） A． B． C． D． 【变式训练7-2】2025年7月6日晚，“浙BA”揭幕战在绍兴诸暨打响，“浙BA”作为浙江省城市篮球联赛，不仅是一场体育赛事，也是一场文化盛宴，更是一台经济引擎.某校为激发学生对篮球､足球､排球运动的兴趣，举行了一次有关三大球类运动的知识竞赛，海量题库中篮球､足球､排球三类相关知识题量占比分别为.甲同学回答篮球､足球､排球这三类问题中每个题的正确率分别为. (1)若甲同学在该题库中任选一题作答，求他回答正确的概率； (2)若甲同学从这三类题中各任选一题作答，每回答正确一题得3分，回答错误得-1分.设该同学回答三题后的总得分为分，求的分布列及数学期望； (3)知识竞赛规则：随机从题库中抽取道题目，答对题目数不少于道，即可获得奖励.现以获得奖励的概率大小为依据，若甲同学在和之中选其一，则他应如何选择？并说明理由. -3 1 5 9 【变式训练7-3】一个袋子中有10个大小相同的球，其中红球7个，黑球3个．每次从袋中随机摸出1个球，摸出的球不再放回． (1)求第2次摸到红球的概率； (2)设第1，2，3次都摸到红球的概率为，第1次摸到红球的概率为，在第1次摸到红球的条件下，第2次摸到红球的概率为，在第1，2次都摸到红球的条件下，第3次摸到红球的概率为，求，，，； (3)对于事件，试根据（2）写出，，，的等量关系式，并加以证明． 题型8 贝叶斯概率公式及应用 例8-1已知贝叶斯公式：．某视频网站利用AI换脸掺入了一些“AI”视频，“AI”视频占有率为0.001．某团队决定用AI对抗AI，研究了深度鉴伪技术来甄别视频的真假．该鉴伪技术的准确率是0.98，即在该视频是伪造的情况下，它有的可能鉴定为“AI”；它的误报率是0.03，即在该视频是真实的情况下，它有的可能鉴定为“AI”．已知某个视频被鉴定为“AI”，则该视频是“AI”合成的可能性约为（    ） A． B． C． D． 例8-2有两枚硬币A，B．假设抛硬币时所得的结果只能为正面向上的一种，抛硬币A正面向上的概率为，抛硬币B正面向上的概率为p.现在先从两枚硬币中随机选中一枚，然后抛掷若干次. (1)若，求抛一次硬币，正面向上的概率. (2)若，在已知抛了一次硬币，正面向上的条件下，求再抛一次硬币得正面向上的概率. (3)如果当连续抛硬币k次（，）全为正面向上的前提下，可以做出论断“选中的是B硬币”，犯错误的概率不超过 ，则k的最小值为多少？[提示：用表示不小于x的最小整数.） 【变式训练8-1】某人去某地参加会议，他乘火车、轮船、汽车或飞机的概率分别为0.2、0.1、0.3、0.4．如果他乘火车、轮船、汽车去，迟到的概率分别为、、，乘飞机不会迟到．结果他迟到了，求他乘汽车去的概率． 【变式训练8-2】一医疗团队为研究某地的一种地方性疾病与当地居民的卫生习惯（卫生习惯分为“良好”和“不够良好”两类）的关系，在已患该疾病的病例中随机调查了100例（称为病例组），同时在未患该疾病的人群中随机调查了100例（称对照组），得到如下表数据： 不够良好 良好 病例组 40 60 对照组 10 90 从该地的人群中任选一人，事件A表示“选到的人卫生习惯不够良好”，事件B表示“选到的人患有该疾病”．与的比值是卫生习惯不够良好对患该疾病风险程度的一项度量指标，记该指标为R．求证：． 【变式训练8-3】已知某机械产品的一种重要零件由甲、乙两个厂家提供，根据以往的数据分析知，甲、乙两个厂家提供的零件份额比为，零件的优质品率分别为0.9和0.8. (1)从甲、乙两家提供的所有零件中任取一件，求该零件为非优质品的概率； (2)若甲厂提供的非优质品零件可修复为优质品零件的概率为0.5，乙厂提供的非优质品零件可修复为优质品零件的概率为0.7，求任意一个非优质品零件可修复为优质品零件的概率. 1．（2025·北京·高考真题）某次考试中，只有一道单项选择题考查了某个知识点，甲、乙两校的高一年级学生都参加了这次考试.为了解学生对该知识点的掌握情况，随机抽查了甲、乙两校高一年级各100名学生该题的答题数据，其中甲校学生选择正确的人数为80，乙校学生选择正确的人数为75.假设学生之间答题相互独立，用频率估计概率. (1)估计甲校高一年级学生该题选择正确的概率 (2)从甲、乙两校高一年级学生中各随机抽取1名，设X为这2名学生中该题选择正确的人数，估计的概率及X的数学期望； (3)假设：如果没有掌握该知识点，学生就从题目给出的四个选项中随机选择一个作为答案；如果掌握该知识点，甲校学生选择正确的概率为，乙校学生选择正确的概率为.设甲、乙两校高一年级学生掌握该知识点的概率估计值分别为，，判断与的大小（结论不要求证明）. 2．（2024·北京·高考真题）某保险公司为了了解该公司某种保险产品的索赔情况，从合同险期限届满的保单中随机抽取1000份，记录并整理这些保单的索赔情况，获得数据如下表： 赔偿次数 0 1 2 3 4 单数 假设：一份保单的保费为0.4万元；前3次索赔时，保险公司每次赔偿0.8万元；第四次索赔时，保险公司赔偿0.6万元.假设不同保单的索赔次数相互独立.用频率估计概率. (1)估计一份保单索赔次数不少于2的概率； (2)一份保单的毛利润定义为这份保单的保费与赔偿总金额之差. （i）记为一份保单的毛利润，估计的数学期望； （ⅱ）如果无索赔的保单的保费减少，有索赔的保单的保费增加，试比较这种情况下一份保单毛利润的数学期望估计值与（i）中估计值的大小．（结论不要求证明） 3．（2023·北京·高考真题）为研究某种农产品价格变化的规律，收集得到了该农产品连续40天的价格变化数据，如下表所示．在描述价格变化时，用“+”表示“上涨”，即当天价格比前一天价格高；用“-”表示“下跌”，即当天价格比前一天价格低；用“0”表示“不变”，即当天价格与前一天价格相同． 时段 价格变化 第1天到第20天 - + + 0 - - - + + 0 + 0 - - + - + 0 0 + 第21天到第40天 0 + + 0 - - - + + 0 + 0 + - - - + 0 - + 用频率估计概率． (1)试估计该农产品价格“上涨”的概率； (2)假设该农产品每天的价格变化是相互独立的．在未来的日子里任取4天，试估计该农产品价格在这4天中2天“上涨”、1天“下跌”、1天“不变”的概率； (3)假设该农产品每天的价格变化只受前一天价格变化的影响．判断第41天该农产品价格“上涨”“下跌”和“不变”的概率估计值哪个最大．（结论不要求证明） 4．（2022·北京·高考真题）在校运动会上，只有甲、乙、丙三名同学参加铅球比赛，比赛成绩达到以上（含）的同学将获得优秀奖．为预测获得优秀奖的人数及冠军得主，收集了甲、乙、丙以往的比赛成绩，并整理得到如下数据（单位：m）： 甲：9.80，9.70，9.55，9.54，9.48，9.42，9.40，9.35，9.30，9.25； 乙：9.78，9.56，9.51，9.36，9.32，9.23； 丙：9.85，9.65，9.20，9.16． 假设用频率估计概率，且甲、乙、丙的比赛成绩相互独立． (1)估计甲在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的概率； (2)设X是甲、乙、丙在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的总人数，估计X的数学期望E（X）； (3)在校运动会铅球比赛中，甲、乙、丙谁获得冠军的概率估计值最大？（结论不要求证明） 5．（2021·北京·高考真题）在核酸检测中, “k合1” 混采核酸检测是指：先将k个人的样本混合在一起进行1次检测,如果这k个人都没有感染新冠病毒，则检测结果为阴性，得到每人的检测结果都为阴性，检测结束:如果这k个人中有人感染新冠病毒，则检测结果为阳性，此时需对每人再进行1次检测,得到每人的检测结果，检测结束. 现对100人进行核酸检测，假设其中只有2人感染新冠病毒，并假设每次检测结果准确. （I）将这100人随机分成10组，每组10人，且对每组都采用“10合1”混采核酸检测. (i)如果感染新冠病毒的2人在同一组，求检测的总次数; (ii)已知感染新冠病毒的2人分在同一组的概率为.设X是检测的总次数，求X的 分布列与数学期望E(X). (II）将这100人随机分成20组，每组5人，且对每组都采用“5合1”混采核酸检测.设Y是检测的总次数，试判断数学期望E(Y)与(I)中E(X)的大小.(结论不要求证明) 6．（2020·北京·高考真题）某校为举办甲、乙两项不同活动，分别设计了相应的活动方案：方案一、方案二．为了解该校学生对活动方案是否支持，对学生进行简单随机抽样，获得数据如下表： 男生 女生 支持 不支持 支持 不支持 方案一 200人 400人 300人 100人 方案二 350人 250人 150人 250人 假设所有学生对活动方案是否支持相互独立． （Ⅰ）分别估计该校男生支持方案一的概率、该校女生支持方案一的概率； （Ⅱ）从该校全体男生中随机抽取2人，全体女生中随机抽取1人，估计这3人中恰有2人支持方案一的概率； （Ⅲ）将该校学生支持方案二的概率估计值记为，假设该校一年级有500名男生和300名女生，除一年级外其他年级学生支持方案二的概率估计值记为，试比较与 的大小．（结论不要求证明） 一、单选题 1．连续抛掷一枚硬币3次，观察正面出现的情况，事件“至少2次出现正面”的对立事件是（       ）． A．只有2次出现反面 B．至少2次出现正面 C．有2次或3次出现正面 D．有2次或3次出现反面 二、填空题 2．已知事件A与事件B相互独立，若，，则 ． 3．连续抛掷一枚均匀的骰子两次，观察每次掷出的点数.设事件A表示“第二次掷出的点数为1”，事件B表示“第二次掷出的点数比第一次的小1”，则 ， . 三、解答题 4．甲、乙两人在罚球线投球命中的概率分别为与.甲、乙两人在罚球线各投球1次，求恰好命中1次的概率. 5．盒中有4个红球、5个黑球．随机地从中抽取一个球，观察其颜色后放回，并加上3个与取出的球同色的球，再第二次从盒中随机地取出一个球，求第二次取出的是黑球的概率． 6．某射击小组共有名射手，其中一级射手人，二级射手人，三级射手人.一、二、三级射手能通过选拔进入比赛的概率分别是、、.求任选一名射手能通过选拔进入比赛的概率. 7．设某工厂有两个车间生产同型号家用电器，第1车间的次品率为0.15，第2车间的次品率为0.12，两个车间的成品都混合堆放在一个仓库，假设第1，2车间生产的成品比例为2：3.今有一客户从成品仓库中随机提一台产品，求该产品合格的概率. 8．设某厂有甲，乙，丙三个车间生产同一产品，已知各车间的产量分别占全厂产量的，，，并且各车间的次品率依次为，，.现从该厂这批产品中任取一件. (1)求取到次品的概率； (2)若取到的是次品，则此次品由三个车间生产的概率分别是多少？ 9．下图表示由若干个某种电子元件组成的电路.已知每个元件的可靠性是0.9，且各个元件的可靠性是彼此独立的，求下列电路畅通的概率. 10．10个考签中有4个难签，3人参加抽签（不放回），甲先，乙次之，丙最后．求： (1)甲抽到难签的概率； (2)甲、乙都抽到难签的概率； (3)甲没有抽到难签，而乙抽到难签的概率； (4)甲、乙、丙都抽到难签的概率． 11．某车间在三天内，每天生产10件某产品，其中第一天、第二天分别生产1件、2件次品，而质检部每天要从生产的10件产品中随机抽取4件进行检查，若发现有次品，则当天的产品不能通过检查． (1)求第一天通过检查的概率； (2)求前两天全部通过检查的概率． 12．某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名同学参加演讲比赛．判断下列每对事件是不是互斥事件，如果是，再判断它们是不是对立事件． (1)恰有1名男生与2名全是男生； (2)至少有1名男生与2名全是男生； (3)至少有1名男生与2名全是女生； (4)至少有1名男生与至少有1名女生． 13．甲袋中有3个白球和2个红球，乙袋中有2个白球和3个红球，丙袋中有4个白球和4个红球.先随机取一只袋，再从该袋中先后随机取2个球． (1)求第一次取出的球为红球的概率； (2)求第一次取出的球是红球的前提下，第二次取出的球是白球的概率． 14．在数字通信中心信号是由数字0和1组成的序列．由于随机因素的干扰，发送的信号0或1有可能被错误地接收为1或0．已知发送信号0时，接收为0和1的概率分别为0.9和0.1；发送信号1时，接收为1和0的概率分别为0.95和0.05．假设发送信号0和1是等可能的． (1)分别求接收的信号为0和1的概率； (2)已知接收的信号为0，求发送的信号是1的概率． 15．某商场出售的灯泡来自甲、乙、丙三个工厂，甲厂产品占，合格率为；乙厂产品占，合格率为；丙厂产品占，合格率为．某顾客购买了一个灯泡，求它是合格品的概率． 16．一只不透明的口袋内装有大小相同，颜色分别为红、黄、蓝的3个球．试分别判断（1）（2）中的A，B是否为相互独立事件． (1)“从口袋内有放回地抽取2个球，第一次抽到红球”记为事件A，“从口袋内有放回地抽取2个球，第二次抽到黄球”记为事件B. (2)“从口袋内无放回地抽取2个球，第一次抽到红球”记为事件A，“从口袋内无放回地抽取2个球，第二次抽到黄球”记为事件B. 17．小王要约小李3h后见面，但是只用某种方式告知一次，设小王用微信通知的概率是0.3，用短信通知的概率是0.7，而小李在3h内查看微信的概率是0.8，看到短信的概率是0.9． (1)计算小李收到通知的概率； (2)如果收到通知的小李也有5%的概率不能前来见小王，计算小王不能按时见到小李的概率． 18．对某批手机玻璃屏成品作抗摔试验时，发现手机屏第一次落地时打破的概率为；若第一次落地未打破，则第二次落地打破的概率是；若前两次未打破，则第三次落地打破的概率是．试求手机屏落地三次未打破的概率． 19．现在一些大的建筑工程都实行招投标制．在发包过程中，对参加招标的施工企业的资质（含施工质量、信誉等）进行调查和评定是非常重要的．设B=“被调查的施工企业资质不好”，A=“被调查的施工企业资质评定为不好”．由过去的资料知，．现已知在被调查的施工企业当中有确实资质不好，求评定为资质不好的施工企业确实资质不好的概率（精确到0.01）． 20．某项选拔共有四轮考核，每轮设有一个问题，能正确回答问题者进入下一轮考核，否则即被淘汰．已知某选手能正确回答第一、二、三、四轮的问题的概率分别为，且各轮问题能否回答正确互不影响． (1)求该选手进入第四轮才被淘汰的概率； (2)求该选手至多进入第三轮考核的概率． 4 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $ 第03讲 概率综合 （古典概率、独立事件概率、条件概率及全概率） 目录 01 考情解码・命题预警 2 02体系构建·思维可视 3 03核心突破·靶向攻坚 3 知能解码 3 知识点1 随机事件 3 知识点2 对立事件与互斥事件及概率的基本性质 4 知识点3 古典概型的概率计算 6 知识点4 独立事件的判断及独立事件的乘法公式 6 知识点5 条件概率 7 知识点6 全概率公式 8 知识点7 贝叶斯公式 8 题型破译 9 题型1 事件的判断 9 题型2 古典概型的概率计算 10 题型3 判断互斥事件与对立事件 12 题型4 独立事件的判断 13 题型5 独立事件的乘法公式 15 题型6 条件概率的计算 18 题型7 全概率公式及应用 21 题型8 贝叶斯概率公式及应用 25 04真题溯源·考向感知 29 05课本典例·高考素材 34 考点要求 考察形式 2025年 2024年 2023年 （1）用频率估计概率 （2）计算古典概型问题的概率 （3）独立事件的乘法公式 （4）利用全概率公式求概率 单选题 填空题 解答题 北京卷T18（14分） 北京卷T18（14分） 北京卷T18（14分） 考情分析： 北京卷中概率综合题目通常作为解答题出现，分值在14分左右，属于“中档能力题”。核心考查古典概型、事 件的独立性与互斥性、条件概率以及全概率公式的应用。试题常以学生熟悉的实际生活场景为背景（如抽奖、比赛、 选科等），构建多步骤的概率模型，强调对概率基本概念的理解和复杂情境的分析能力。聚焦于区分“互斥”与“独立”、 条件概率的识别与计算，以及利用全概率公式分解复杂事件，是主要的得分点和易错点。 复习目标： 1.理解样本空间与随机事件的含义，掌握事件间的包含、相等、互斥与对立关系。 2.理解古典概型的特征，会计算简单古典概型事件的概率。 3.理解事件的独立性概念，掌握独立事件概率的乘法公式，并能用其解决实际问题。 4.理解条件概率的概念，掌握条件概率的计算公式，能区分P(A|B)与P(B|A)。 5..理解全概率公式的推导思想，掌握全概率公式的基本模型，能利用该公式计算复杂事件的概率。 6.初步了解贝叶斯公式（选学或作为全概率公式的推论），并能在简单情境中应用。 知识点1 随机事件 1．随机试验 （1）在一定条件下 必然发生 （出现）的现象称为确定性现象. （2）在条件相同的情况下，不同次的试验或观察会得到 不同的结果 ，每一次试验或观察之前 不能 会出现哪种结果，我们把这种现象称为随机现象． （3）对 确定 进行试验、观察或观测称为随机试验，随机试验一般用大写字母E表示． 2．三种事件的定义 随机事件 我们将样本空间Ω的子集称为随机事件，简称事件，并把只包含 一个 样本点的事件称为基本事件．随机事件一般用大写字母A，B，C，…表示．在每次试验中，当且仅当A中某个样本点出现时，称为事件A发生 必然事件 Ω作为自身的子集，包含了所有的样本点，在每次试验中总有一个样本点发生，所以Ω总会发生，我们称Ω为必然事件 不可能事件 空集∅不包含任何样本点，在每次试验中都不会发生，我们称∅为不可能事件 自主检测一质点从平面直角坐标系的原点开始，等可能地向上、下，左、右四个方向移动，每次移动一个单位长度，观察该点移动3次后的位置，则事件“该点位于第一象限”是（    ） A．必然事件 B．不可能事件 C．随机事件 D．以上选项均不正确 【答案】C 【详解】一质点从平面直角坐标系的原点开始，等可能地向上、下，左、右四个方向移动是随机的等可能，每次移动一个单位长度，观察该点移动3次后的位置，则事件“该点位于第一象限”是随机事件. 故选：C. 知识点2 对立事件与互斥事件及概率的基本性质 1．事件的关系和运算 含义 符号表示 包含 若事件A发生，则事件B一定发生 B⊇A（或A⊆B） 相等 事件B包含事件A，事件A也包含事件B A＝B 并事件 （和事件） 事件A与事件B至少有一个发生 （或A＋B） 交事件 （积事件） 事件A与事件B同时发生 （或AB） 互斥 （互不相容） 事件A与事件B不能同时发生 A∩B＝∅ 互为对立 事件A和事件B在任何一次试验中有且仅有一个发生 A∪B＝Ω，且 A∩B＝∅ 2．概率的基本性质 性质1：对任意的事件A，都有 . 性质2：必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，即，. 性质3：如果事件A与事件B互斥，那么 . 推广：如果事件两两互斥，那么 性质4：如果事件A与事件B互为对立事件，那么P（B）＝ ，P（A）＝ . 性质5：如果A⊆B，那么 . 特别地，对任意事件A，因为，所以.   性质6：设A，B是一个随机试验中的两个事件，我们有 . 显然，性质3是性质6的特殊情况. 自主检测1将一枚均匀硬币连续抛掷两次，下列事件中与事件“至少一次正面向上”互为对立事件的是（    ） A．至多一次正面向上 B．两次正面都向上 C．只有一次正面向上 D．两次都没有正面向上 【答案】D 【详解】将一枚均匀硬币连续抛掷两次，有：正正，正反，反正，反反，共4种可能， 事件“至少一次正面向上”包括：正正，正反，反正， 对A：事件“至多一次正面向上”包括：正反，反正，反反，与事件“至少一次正面向上”不是对立事件； 对B：事件“两次正面都向上”即：正正，与事件“至少一次正面向上”不是对立事件； 对C：事件“只有一次正面向上”包括：正反，反正，与事件“至少一次正面向上”不是对立事件； 对D：事件“两次都没有正面向上”即：反反，与事件“至少一次正面向上”是对立事件. 故选：D. 自主检测2设是一个随机试验中的两个事件，记为事件的对立事件，若，且与相互独立，则 ． 【答案】0.88 【详解】由题意知,, 所以. 故答案为：0.88 知识点3 古典概型的概率计算 （1）定义：设试验的样本空间有n个样本点，且每个样本点发生的 可能性相同 ． 当中的事件A包含了m个样本点时，称 为事件A发生的概率，简称A的概率．把上述定义描述的概率模型称为古典概率模型，简称古典概型 （2）特点： ①样本空间中只有 有限个 样本点； ②每个样本点出现的 可能性相等 ． 自主检测一个不透明的袋子中装有4个分别标有化学元素符号H，H，O，N的小球，这些小球除元素符号外，无其他差别.从袋子中随机摸出2个小球，所标元素能组成“NO（一氧化氮）”的概率是 . 【答案】 【详解】从中摸出2个小球，共有：，6种结果， 能组成“NO（一氧化氮）”的只有1种，故所求概率为. 故答案为： 知识点4 独立事件的判断及独立事件的乘法公式 1．事件A（或B）是否发生对事件B（或A）发生的概率没有影响，这样的两个事件叫作 相互独立事件 ． 两个相互独立事件同时发生的概率，等于这两个事件发生的概率的 积 ，即 ． 如果两个事件相互独立，那么把其中一个换成它的对立事件，这样的两个事件仍然 相互独立 . 2．独立事件的判定： 一般地，当 时，就称事件A 与B相互独立（简称独立)．事件A 与B相互独立的直观理解是，事件A是否发生 不会影响 事件B发生的概率，事件B是否发生也 不会影响 事件A 发生的概率． 3．相互独立事件的概率 一般地，当个事件相互独立时，有以下公式成立： ． 自主检测在如图所示的电路图中，开关，，正常工作的概率分别为，，，且是相互独立的，则灯亮的概率是 【答案】 【详解】设“开关，，闭合”分别为事件，，，则灯亮这一事件为，且，，相互独立，互斥， 所以 ， 故答案为：. 知识点5 条件概率 条件概率的定义及性质 条件概率的定义 条件概率的性质 已知B发生的条件下，A发生的概率，称为B发生时A发生的条件概率，记为． 当时，我们有．（其中，也可以记成AB） 类似地，当时，A发生时B发生的条件概率为 （1）； （2）如果B和C是两个互斥事件，那么 自主检测抛掷2颗骰子，观察掷得的点数，记事件为“2个骰子的点数不相同”，事件为“点数之和大于8”，则在事件发生的条件下，事件发生的概率是 ． 【答案】 【详解】抛掷2颗骰子的试验有个基本事件，其中事件有30个基本事件，事件有8个基本事件， 则，，所以. 故答案为： 知识点6 全概率公式 全概率公式 （1）一般地，设，， 是一组两两互斥的事件，，且，，则对任意的事件，有 ，我们称此公式为全概率公式． （2）全概率公式的理解 全概率公式的直观意义：某事件的发生有各种可能的原因（），并且这些原因两两互斥不能同时发生，如果事件是由原因所引起的，且事件发生时，必同时发生，则与有关，且等于其总和 ． “全概率”的“全”就是总和的含义，若要求这个总和，需已知概率，或已知各原因发生的概率及在发生的条件下发生的概率．通俗地说，事件发生的可能性，就是其原因发生的可能性与已知在发生的条件下事件发生的可能性的乘积之和． 自主检测班主任安排班干部在暑假给教室的绿植浇一次水，若不浇水，绿植枯萎的概率为0.7；若浇水，绿植枯萎的概率为0.15，而班干部浇水的概率为0.9，则开学返校时绿植枯萎的概率为 . 【答案】/ 【详解】设事件为“绿植枯萎”，事件为“班干部浇水”， 则，， 则. 故答案为：. 知识点7 贝叶斯公式 贝叶斯公式 设是一组两两互斥的事件，，且，则对任意事件， ，有 ＝ ，． 自主检测贝叶斯公式：，其中称为B的全概率．已知Rh阴性血型又称“熊猫血”，是一种极为罕见的血型，若A，B，C三个地区分别有0.2%，0.4%，0.3%的人是Rh阴性血型，且这三个地区的人口数量之比为，现从这三个地区中任意选取1人，若选取的这个人是Rh阴性血型，则这个人来自C地区的概率为 （结果用分数表示）． 【答案】 【详解】记事件M表示“这个人是Rh阴性血型”，事件，，分别表示“这个人来自A，B，C地区”， 则，，， ， 故， 所以． 故答案为：. 题型1 事件的判断 例1-1下面四个选项中，是随机现象的是（    ） A．守株待兔 B．水中捞月 C．流水不腐 D．户枢不蠹 【答案】A 【详解】A为随机现象，B为不可能现象，CD为必然现象. 故选：A 例1-2对满足的非空集合，有下列四个命题： ①“若任取，则”是必然事件； ②“若，则”是不可能事件； ③“若任取，则”是随机事件； ④“若，则”是必然事件． 其中正确命题的个数为（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】C 【详解】解：因为满足的非空集合， 对于①②，当集合是集合的真子集时，显然存在一个元素在集合中，不在集合中，因此“若，则”是随机事件，故①②错误； 对于③，任取，当集合是集合的真子集时，有可能成立，也可能不成立，故③正确； 对于④，“若，则”是一定成立，是必然事件，故④正确. 故正确的命题个数为2个. 故选：C 【变式训练1-1】已知袋中有大小、形状完全相同的5张红色、2张蓝色卡片，从中任取3张卡片，则下列判断不正确的是（    ） A．事件“都是红色卡片”是随机事件 B．事件“都是蓝色卡片”是不可能事件 C．事件“至少有一张蓝色卡片”是必然事件 D．事件“有1张红色卡片和2张蓝色卡片”是随机事件 【答案】C 【详解】袋中有大小、形状完全相同的5张红色、2张蓝色卡片，从中任取3张卡片， 在A中，事件“都是红色卡片”是随机事件，故A正确； 在B中，事件“都是蓝色卡片”是不可能事件，故B正确； 在C中，事件“至少有一张蓝色卡片”是随机事件，故C错误； 在D中，事件“有1张红色卡片和2张蓝色卡片”是随机事件，故D正确． 故选：C． 【变式训练1-2】有两个事件，事件抛掷一枚均匀的骰子，朝上的面点数为偶数；事件人中至少有人生日相同.下列说法正确的是（    ） A．事件、都是随机事件 B．事件、都是必然事件 C．事件是随机事件，事件是必然事件 D．事件是必然事件，事件是随机事件 【答案】C 【解析】判断事件、的类型，由此可得出结论. 【详解】对于事件，抛掷一枚均匀的骰子，朝上的面的点数可能是奇数，也可能是偶数，则事件为随机事件； 对于事件B，一年有天或天，由抽屉原理可知，人中至少有人生日相同，事件为必然事件. 故选：C. 【点睛】本题考查事件类型的判断，属于基础题. 题型2 古典概型的概率计算 例2-1甲、乙、丙、丁4人排成一排，则甲不在排首的概率为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】将4人全排列共有种排列， 若甲在排首，将其余3人全排列共有种，则甲不在排首的排列共有种， 因此甲不在排首的概率为. 故选：D 例2-2连续抛掷一枚质地均匀的骰子5次，得到的点数分别为2，3，4，5，，则这5个数的第60百分位数为的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，所以这个数的第百分位数是第个数与第个数的平均数， 又第百分位数是，所以第个数是，第个数是， 所以，即或， 而抛掷一枚骰子一次可能出现的点数有种情况， 所以或的概率， 即这个数的第百分位数是的概率为. 故选：C. 【变式训练2-1】抛掷一枚质地均匀的骰子两次，得到的点数分别为，，则“”的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】抛掷一枚质地均匀的骰子两次，共有种基本事件， 设为抛掷一枚质地均匀的骰子两次，得到的点数分别为，，则“”， 则中共有基本事件3种：，， 所以，故“”的概率为. 故选：D. 【变式训练2-2】已知，从1，2，…，中随机取出两个数，若两数之和为3的概率为，则（    ） A．6 B．7 C．20 D．21 【答案】B 【详解】从个正整数中任意取出两个不同的数共有取法，其中两数之和为3的取法为：，共1种， 故两数之和等于3的概率为，所以，即， 所以，又因为，解得：. 故选：B． 题型3 判断互斥事件与对立事件 例3-1已知事件，若与互斥，与互为对立事件，则是的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】由于对立事件一定是互斥事件，但互斥事件不一定是对立事件， 所以，即是的必要不充分条件， 故选：B. 例3-2从装有除颜色外其他完全相同的个红球（编号为、）和个白球（编号为、）的口袋内任取个球，则互斥且不对立的两个随机事件是（   ） A．至少有个白球，都是白球 B．至少有个白球，至少有个红球 C．恰有个白球，恰有个白球 D．至少有个白球，都是红球 【答案】C 【详解】从口袋中任取个球，所有的情况有：个红球、个红球个白球、个白球， 对于A选项，至少有个白球包含：个红球个白球、个白球， A选项中的两个事件不是互斥事件； 对于B选项，至少有个红球包含：个红球、个红球个白球， B选项中的两个事件的交事件为：个红球个白球， 故B选项中的两个事件不是互斥事件； 对于C选项，恰有个白球，恰有个白球，这两个事件是互斥且不对立； 对于D选项，至少有个白球，都是红球，这两个事件为对立事件. 故选：C. 【变式训练3-1】从1～5这5个整数中随机抽取1个数，记事件“抽到小于3的数”，事件“抽到大于2的数”，事件“抽到大于1的奇数”，则（   ） A．和不互斥 B．和互斥且不对立 C．和不互斥 D．和互斥且不对立 【答案】D 【详解】这个试验的样本空间为， 则和互斥且对立，和互斥且但不对立． 故选：D. 【变式训练3-2】从装有4个白球和3个红球的盒子里摸出3个球，则以下哪个选项中的事件A与事件B互斥却不互为对立（    ） A．事件A：3个球中至少有1个红球；事件B：3个球中至少有1个白球 B．事件A：3个球中恰有1个红球；事件B：3个球中恰有1个白球 C．事件A：3个球中至多有2个红球：事件B：3个球中至少有2个白球 D．事件A：3个球中至多有1个红球；事件B：3个球中至多有1个白球 【答案】B 【详解】对于A，事件与事件可能同时发生，例如摸出2个白球和1个红球，所以事件与事件不是互斥事件，故A错误； 对于B，事件与事件不可能同时发生，但不是一定有一个发生，还有可能是3个白球或3个红球，所以事件与事件互斥却不互为对立，故B正确； 对于C，事件与事件可能同时发生，例如摸出2个白球和1个红球，所以事件与事件不是互斥事件，故C错误； 对于D，事件与事件不可能同时发生，但必有一个发生，所以事件与事件是互斥事件也是对立事件，故D错误． 故选：B． 题型4 独立事件的判断 例4-1投掷一枚质地均匀的骰子，事件A：点数小于4，事件B：点数大于2，事件C：点数为偶数.则下列关于事件描述正确的是（   ） A．A与B是互斥事件 B．A与B是对立事件 C．A与C是独立事件 D．B与C是独立事件 【答案】D 【详解】由于点数为3时，表示事件A与B同时发生，所以A与B不是互斥事件，也不是对立事件，故AB错误； 由题意得 由于所以A与C不是独立事件，故C错误； 由于，所以B与C是独立事件，故D正确； 故选：D 例4-2抛掷一枚质地均匀的硬币3次，每一次抛掷的结果要么正面向上要么反面向上，记“第一次硬币正面向上”为事件，“三次试验恰有1次正面向上”为事件，“三次试验恰有2次正面向上”为事件，“三次试验全部正面向上或者全部反面向上”为事件，则下列说法错误的是（   ） A．与不互斥 B．与相互独立 C．与相互独立 D．与互斥但不对立 【答案】C 【详解】抛掷一枚质地均匀的硬币3次，共有（正正正），（正正反），（正反正），（反正正），（正反反），（反反正），（反正反），（反反反），共8种结果， 事件“第一次硬币正面向上”包含（正正正），（正正反），（正反反），（正反反），共4种结果， 事件“三次试验恰有1次正面向上”包含（正反反），（反反正），（反正反），共3种结果， 事件“三次试验恰有2次正面向上”包含（正正反），（正反正），（反正正），共3种结果， 事件“三次试验全部正面向上或者全部反面向上”包含（正正正），（反反反），共2种结果， 对于A选项，事件与事件可能同时发生，即（正反反），不是互斥事件，故A正确； 对于B选项，，，， 则与相互独立，故B正确； 对于C选项，，，则与不独立，故C错误； 对于D选项，和互斥但并事件不是全体事件，故它们不对立，故D正确. 故选：C. 【变式训练4-1】数学课上周媚老师先后两次掷一枚质地均匀的股子，事件“两次掷出的点数之和是6”，事件“第一次掷出的点数是奇数”，事件“两次掷出的点数相同”，则（    ） A． B．A与相互独立 C．与相互独立 D．A与相互独立 【答案】C 【详解】对于选项A：两次掷出的点数之和是6的情况可为， 由乘法公式可得所以可能情况为种，所以，故选项A错误； 对于选项B：，，，，故选项B错误； 对于选项C：，，， 所以，所以与相互独立，故选项C正确； 对于选项D：，，，故选项D错误. 故选：C. 【变式训练4-2】假定生男生女是等可能的，设事件：一个家庭中既有男孩又有女孩；事件家庭中最多有一个女孩.针对下列两种情形：①家庭中有2个小孩；②家庭中有3个小孩，下面说法正确是（    ）. A．①中事件与事件相互独立､②中的事件与事件相互独立 B．①中事件与事件不相互独立､②中的事件与事件相互独立 C．①中事件与事件相互独立､②中的事件与事件不相互独立 D．①中事件与事件不相互独立､②中的事件与事件不相互独立 【答案】B 【详解】若家庭中有两个小孩，样本空间为(男,男)，(男,女)，(女,男)，(女,女)，共4种情况， (男,女)，(女,男)(男,男)，(男,女)，(女,男)(男,女)，(女,男)， 则，，，事件与事件不相互独立，AC错误； 若家庭中有三个小孩，样本空间为(男,男,男)，(男,男,女)，(男,女,男)，(女,男,男)， (男,女,女)，(女,男,女)，(女,女,男)，(女,女,女)，共8种情况， (男,男,女)，(男,女,男)，(女,男,男)，(男,女,女)，(女,男,女)，(女,女,男)， (男,男,男)，(男,男,女)，(男,女,男)，(女,男,男)，(男,男,女)，(男,女,男)，(女,男,男)， ，，，事件与事件相互独立，B正确，D错误. 故选：B 题型5 独立事件的乘法公式 例5-1甲、乙两人独立地破译一份密码，已知这两人能破译的概率分别为，若甲、乙两人一起破译这份密码，则密码不能被成功破译的概率为（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】已知甲能破译密码的概率为，则甲不能破译密码的概率为， 已知乙能破译密码的概率为，则乙不能破译密码的概率为， 密码不能被成功破译，即甲不能破译且乙不能破译， 所以密码不能被成功破译的概率为. 故选：C 例5-2某电视台的夏日水上闯关节目一共有三关，第一关与第二关的过关率分别为、．只有通过前一关才能进入下一关，每一关都有两次闯关机会，且通过每关相互独立．一选手参加该节目，则该选手能进入第三关的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为每一关都有两次闯关机会，所以通过第一关的总概率为： . 通过第二关的总概率为： . 所以选手能进入第三关的概率为： . 故选：D. 例5-3甲、乙、丙三位同学进行知识竞赛，每局比赛两人对战，第三人旁观．每局比赛胜者与此局旁观者进行下一局比赛，按此规则循环下去，约定先赢两局者获胜，比赛结束．根据以往经验，每局比赛中，甲胜乙的概率为，甲胜丙的概率为，乙胜丙的概率为，每局比赛相互独立且没有平局．规定第一局由甲、乙对战． (1)求进行两局比赛后，比赛结束且甲获胜的概率； (2)求进行两局比赛后，比赛结束的概率； (3)求比赛结束后，甲获胜的概率． 【答案】(1)； (2) (3). 【详解】（1）记甲、乙、丙第局比赛获胜分别为事件， 记比赛两局结束且甲获胜为事件，则， 所以. 故进行两局比赛且甲获胜的概率为． （2）记第一局由甲、乙对战两局后比赛结束为事件，则 所以 ， 则两局后比赛结束的概率为. （3）设比赛结束后，甲获胜的概率为， 则， 则比赛结束后，甲获胜的概率为. 【变式训练5-1】甲、乙两人每人投篮一次，投中的总次数记为.已知甲、乙投篮命中的概率分别为，，且甲、乙投篮命中的结果相互独立，则的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意，表示甲乙只有一人投中， 所以. 故选：B 【变式训练5-2】甲、乙、丙三人各自计划去珠海市旅游，他们在5月13日到5月15日这三天中的一天到达珠海市，他们在哪一天到达珠海市相互独立，且他们各自在5月13日到5月15日到达珠海市的概率如下表所示（，，）. 到达日期 5月13日 5月14日 5月15日 0.4 0.4 0.2 0.3 0.2 0.5 0.7 若甲、乙两人同一天到达珠海市的概率为，乙、丙两人同一天到达珠海市的概率为，甲、丙两人同一天到达珠海市的概率为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意知：，，，可得， 则， ， ， 因为，所以， 所以. 故选：C. 【变式训练5-3】2025年8月21日，DeepSeek在官方公众号发文称，正式发布DeepSeek－V3.1模型，此次升级也标志着国产大模型在技术迭代与商业化探索中又迈出了关键一步．为强化相关技术的落实应用能力，某公司特针对A，B两部门开展专项技能培训． (1)已知该公司A，B两部门分别有3位领导，此次培训需要从这6位领导中随机选取2位分别负责第一天和第二天的工作，假设每人被抽到的可能性都相同，求这两天的工作由A，B两部门的领导分别负责一天的概率； (2)此次培训分三轮进行，员工甲第一轮至第三轮培训达到“优秀”的概率分别为，每轮的培训结果均相互独立，至少两轮培训达到“优秀”才算合格，求甲培训合格的概率． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）记部门的3名领导为，部门的3名领导为， 从这6位领导中随机选取2位分别负责第一天和第二天的工作，不同结果有： ， 共30种， 这两天的工作由A，B两部门的领导分别负责一天，不同结果有：共18种， 所以这两天的工作由A，B两部门的领导分别负责一天的概率为. （2）记 “每位员工经过培训合格”， “每位员工第轮培训达到优秀”（）， 则，， 依题意， ， 所以每位员工经过培训合格的概率为. 题型6 条件概率的计算 例6-1设随机事件A，B相互独立，已知，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，， 由，得. 因为事件A，B相互独立， 所以，即，所以. 所以. 故选：C. 例6-2从编号1~7的7张卡片中依次不放回地抽出两张，记事件A：“第一次抽到的卡片编号数字为3的倍数”，事件B：“第二次抽到的卡片编号数字大于第一次抽到的卡片编号数字”，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】第一次抽到3或6的概率为，所以， 当第一次抽到3时：第二次可抽4,5,6,7，共4种情况； 当第一次抽到6时，第二次可抽7，共1种情况， 所以， . 故选：A. 例6-3甲、乙两名同学参加一场乒乓球比赛，比赛共五局（无平局），先赢三局者取得比赛最终胜利.已知第一局乙同学获胜的概率为，且对于每一局，若乙同学在本局中获胜，则他在下一局获胜的概率为；若乙同学在本局中未获胜，则他在下一局获胜的概率为. (1)求甲同学第二局比赛获胜的概率； (2)在比赛三局即结束的条件下，求乙同学取得比赛最终胜利的概率. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）第一局乙同学获胜的概率为，则第一局甲同学获胜的概率为 对于每一局，若乙同学在本局中获胜，则他在下一局获胜的概率为，即甲同学在下一局获胜的概率为， 若乙同学在本局中未获胜，则他在下一局获胜的概率为，即甲同学在下一局获胜的概率为. 故甲同学第二局比赛获胜的概率. （2）比赛三局即结束，则甲连胜三局或乙连胜三局， 设事件为“比赛进行三局即结束”，事件为“乙取得比赛最终胜利” 则，， 故. 【变式训练6-1】已知，是样本空间中的随机事件，，若，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设，则， 而，则， 因为， 所以，解得，即. 故选：B 【变式训练6-2】从编号1~10的10张卡片中依次不放回地抽出两张，记事件A：“第一次抽到的卡片编号数字为5的倍数”，事件B：“第二次抽到的卡片编号数字小于第一次”，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意，在1~10这10个数字中，5的倍数有5、10，共2个， 所以事件A发生的概率， 记事件AB表示“第一次抽到的卡片编号数字为5的倍数且第二次抽到的卡片编号数字小于第一次”， 若第一次抽到5，那么第二次从剩下9张卡片中抽小于5的卡片，有4种抽法； 若第一次抽到10，那么第二次从剩下9张卡片中抽小于10的卡片，有9种抽法； 所以. 根据条件概率公式，. 故选：B. 【变式训练6-3】现有甲、乙两名运动员进行乒乓球比赛（三局两胜制），其中每局中甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，每局比赛都是相互独立的． (1)求比赛只需打两局的概率； (2)求甲在比赛中获胜的概率； (3)已知甲在第一局比赛中获胜，求甲在比赛中获胜的概率． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）比赛需打两局，则这两局甲全赢或乙全赢，故比赛需打两局的概率为． （2）若甲在比赛中获胜，则甲可以前两局获胜，也可以打三局，最后一句甲胜前两局甲赢一局， 故甲在比赛中获胜的概率为． （3）记事件A：甲在第一局中获胜，事件B：甲赢得比赛， 则，， 故． 【变式训练6-4】现需要对某人工智能芯片进行性能测试，规则如下：首次测试（测试I）通过率为，未通过测试I的芯片进入第二次测试（测试Ⅱ），通过率为，未通过则报废．通过任意一次测试即为合格芯片． (1)已知，若某批次生产了10万枚芯片，预估合格芯片的数量； (2)已知一枚芯片合格，求其是通过测试I的概率（结果用p，q表示） 【答案】(1)88000枚 (2) 【详解】（1）设事件A：芯片合格，记X为该生产批次合格芯片的数量，则每个芯片通过测试的概率为 ， 于是， 则， 所以预估合格芯片的数量为88000枚． （2）记事件A：芯片合格，事件B：通过测试I，事件C：通过测试Ⅱ． 由题意得， ， 则， 故所求概率为． 题型7 全概率公式及应用 例7-1篮球作为三大球类运动之一，深受大众喜爱．据统计，某企业三个部门中喜欢篮球运动的员工分别占本部门总人数的40%，35%，30%，且这三个部门的员工人数之比为，现从这三个部门中随机抽取一位员工，则该员工喜欢篮球的概率为（   ） A．0.63 B．0.54 C．0.45 D．0.36 【答案】D 【详解】设事件A为该员工喜欢篮球，事件，，分别为该员工来自三个部门， 则，，， 且，， 故由全概率公式可得 ， 故选：D 例7-2某无人机操作员进行定点精准降落训练.据以往训练经验，第一次降落成功的概率为.若第i次降落成功，则第次降落成功的概率为；若第i次降落未成功，则第次降落成功的概率为，其中. (1)求该操作员第二次降落成功的概率； (2)记该操作员前两次降落成功的次数为X，求X的分布列和数学期望； (3)设第i次降落成功的概率为，求证：. 【答案】(1) (2)分布列见解析， (3)证明见解析 【详解】（1）设事件“第次降落成功”，则“第次降落未成功”，. 由全概率公式得 ， 该操作员第二次降落成功的概率为. （2）由题意得，，，，. 的所有取值为0，1，2， ， ， ， 所以的分布列为 0 1 2 所以. （3）由题意得， 当时， 即， 整理得，又， 所以数列是以为首项，以为公比的等比数列， 故，即，易知单调递增 所以. 【变式训练7-1】某公司升级了智能客服系统，当输入的问题表达清晰时，智能客服的回答被采纳的概率为，当输入的问题表达不清晰时，智能客服的回答被采纳的概率为．已知输入的问题表达不清晰的概率为．则智能客服的回答被采纳的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设输入的问题表达清晰为事件A，回答被采纳为事件， 则，，，， 根据全概率公式，． 故选：B． 【变式训练7-2】2025年7月6日晚，“浙BA”揭幕战在绍兴诸暨打响，“浙BA”作为浙江省城市篮球联赛，不仅是一场体育赛事，也是一场文化盛宴，更是一台经济引擎.某校为激发学生对篮球､足球､排球运动的兴趣，举行了一次有关三大球类运动的知识竞赛，海量题库中篮球､足球､排球三类相关知识题量占比分别为.甲同学回答篮球､足球､排球这三类问题中每个题的正确率分别为. (1)若甲同学在该题库中任选一题作答，求他回答正确的概率； (2)若甲同学从这三类题中各任选一题作答，每回答正确一题得3分，回答错误得-1分.设该同学回答三题后的总得分为分，求的分布列及数学期望； (3)知识竞赛规则：随机从题库中抽取道题目，答对题目数不少于道，即可获得奖励.现以获得奖励的概率大小为依据，若甲同学在和之中选其一，则他应如何选择？并说明理由. 【答案】(1) (2)分布列见解析， (3)甲应选，理由见解析 【详解】（1）设“甲同学所选的题目回答正确”，“所选的题目为篮球､足球､排球相关知识的题目”，则，且两两互斥. 根据题意得，， 则， 所以甲同学在该题库中任选一题作答，他回答正确的概率为. （2）的可能取值为， ， ， ， ， 则的分布列为： -3 1 5 9 所以. （3）当时，为甲答对题目的数量， 由题意可知，其中， 故当时，甲获奖励的概率， 当时，甲获奖励的情况可以分为如下情况： ①前8题答对题目的数量大于等于5， ②前8题答对题目的数量等于4，且最后2题至少答对1题， ③前8题答对题目的数量等于3，且最后2题全部答对， 故当时，甲获奖励的概率，所以 ， 因为，所以，即， 所以甲应选. 【变式训练7-3】一个袋子中有10个大小相同的球，其中红球7个，黑球3个．每次从袋中随机摸出1个球，摸出的球不再放回． (1)求第2次摸到红球的概率； (2)设第1，2，3次都摸到红球的概率为，第1次摸到红球的概率为，在第1次摸到红球的条件下，第2次摸到红球的概率为，在第1，2次都摸到红球的条件下，第3次摸到红球的概率为，求，，，； (3)对于事件，试根据（2）写出，，，的等量关系式，并加以证明． 【答案】(1) (2)，，， (3)，证明见解析 【详解】（1）记事件“第次摸到红球”为，则第2次摸到红球的事件为， ，，，， 由全概率公式，得 ． （2）由已知得 ， ， ，， ． （3）由（2）可得，即， 可猜想： 证明如下：由条件概率及，， 得，， 所以． 题型8 贝叶斯概率公式及应用 例8-1已知贝叶斯公式：．某视频网站利用AI换脸掺入了一些“AI”视频，“AI”视频占有率为0.001．某团队决定用AI对抗AI，研究了深度鉴伪技术来甄别视频的真假．该鉴伪技术的准确率是0.98，即在该视频是伪造的情况下，它有的可能鉴定为“AI”；它的误报率是0.03，即在该视频是真实的情况下，它有的可能鉴定为“AI”．已知某个视频被鉴定为“AI”，则该视频是“AI”合成的可能性约为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】记“视频是AI合成”为事件，记“鉴定结果为AI”为事件B， 则， 由贝叶斯公式得：． 故选：B. 例8-2有两枚硬币A，B．假设抛硬币时所得的结果只能为正面向上的一种，抛硬币A正面向上的概率为，抛硬币B正面向上的概率为p.现在先从两枚硬币中随机选中一枚，然后抛掷若干次. (1)若，求抛一次硬币，正面向上的概率. (2)若，在已知抛了一次硬币，正面向上的条件下，求再抛一次硬币得正面向上的概率. (3)如果当连续抛硬币k次（，）全为正面向上的前提下，可以做出论断“选中的是B硬币”，犯错误的概率不超过 ，则k的最小值为多少？[提示：用表示不小于x的最小整数.） 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）设事件H表示抛一次硬币正面向上，事件A表示选中硬币A，事件B表示选中硬币B， 则且与互斥，根据题意得，，，. 由全概率公式得. 因此抛一次硬币正面向上的概率为. （2）设表示第一次正面向上，表示第二次正面向上， 则用贝叶斯公式结合（1）得，. 又，． 给定硬币类型，抛掷独立，故 . 因此，所求概率为. （3）事件F：“连续抛k次全为正面向上”， 则 “犯错误的概率” 即为， 硬币A连续k次正面向上的概率， 硬币B连续k次正面向上的概率. 根据贝叶斯公式. 此值不超过，即.即，， 由，得，所以，得. 取自然对数并由于，. 因此，k的最小值为不小于该值的最小整数：. 【变式训练8-1】某人去某地参加会议，他乘火车、轮船、汽车或飞机的概率分别为0.2、0.1、0.3、0.4．如果他乘火车、轮船、汽车去，迟到的概率分别为、、，乘飞机不会迟到．结果他迟到了，求他乘汽车去的概率． 【答案】0.5 【详解】设事件表示“迟到”，事件表示“乘火车”，事件表示“乘轮船”，事件表示“乘汽车”，事件表示“乘飞机”，根据题意，有，，，，，，，，由贝叶斯公式，有． 【变式训练8-2】一医疗团队为研究某地的一种地方性疾病与当地居民的卫生习惯（卫生习惯分为“良好”和“不够良好”两类）的关系，在已患该疾病的病例中随机调查了100例（称为病例组），同时在未患该疾病的人群中随机调查了100例（称对照组），得到如下表数据： 不够良好 良好 病例组 40 60 对照组 10 90 从该地的人群中任选一人，事件A表示“选到的人卫生习惯不够良好”，事件B表示“选到的人患有该疾病”．与的比值是卫生习惯不够良好对患该疾病风险程度的一项度量指标，记该指标为R．求证：． 【答案】证明见解析 【详解】由贝叶斯公式得，，， 则． 同理，可得． 所以 . 【变式训练8-3】已知某机械产品的一种重要零件由甲、乙两个厂家提供，根据以往的数据分析知，甲、乙两个厂家提供的零件份额比为，零件的优质品率分别为0.9和0.8. (1)从甲、乙两家提供的所有零件中任取一件，求该零件为非优质品的概率； (2)若甲厂提供的非优质品零件可修复为优质品零件的概率为0.5，乙厂提供的非优质品零件可修复为优质品零件的概率为0.7，求任意一个非优质品零件可修复为优质品零件的概率. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：设事件:“零件由甲厂提供”，事件:“零件由乙厂提供”，事件为“零件为非优质品”, 根据题意，可得，， ， 故， ， 由全概率公式，得， 所以从甲、乙两家提供的零件中任取一件，该零件为非优质品的概率为0.14. （2）解：设事件为“非优质品零件可修复为优质品零件”， 方法一  由已知，得，， 故， ， 所以， 所以. 所以任意一个非优质品零件可修复为优质品零件的概率为. 方法二  由已知，得，， 由贝叶斯公式，得， 同理，， 故， 所以任意一个非优质品零件可修复为优质品零件的概率为. 1．（2025·北京·高考真题）某次考试中，只有一道单项选择题考查了某个知识点，甲、乙两校的高一年级学生都参加了这次考试.为了解学生对该知识点的掌握情况，随机抽查了甲、乙两校高一年级各100名学生该题的答题数据，其中甲校学生选择正确的人数为80，乙校学生选择正确的人数为75.假设学生之间答题相互独立，用频率估计概率. (1)估计甲校高一年级学生该题选择正确的概率 (2)从甲、乙两校高一年级学生中各随机抽取1名，设X为这2名学生中该题选择正确的人数，估计的概率及X的数学期望； (3)假设：如果没有掌握该知识点，学生就从题目给出的四个选项中随机选择一个作为答案；如果掌握该知识点，甲校学生选择正确的概率为，乙校学生选择正确的概率为.设甲、乙两校高一年级学生掌握该知识点的概率估计值分别为，，判断与的大小（结论不要求证明）. 【答案】(1) (2)， (3) 【详解】（1）估计甲校高一年级学生该题选择正确的概率. （2）设为“从甲校抽取1人做对”，则，， 设为“从乙校抽取1人做对”，则，， 设为“恰有1人做对”，故 依题可知，可取， ，，， 故的分布列如下表： 故. （3）设为 “甲校掌握这个知识点的学生做该题”， 因为甲校掌握这个知识点则有的概率做对该题目， 未掌握该知识点的同学都是从四个选项里面随机选择一个， 故，即，故， 同理有，，故， 故. 2．（2024·北京·高考真题）某保险公司为了了解该公司某种保险产品的索赔情况，从合同险期限届满的保单中随机抽取1000份，记录并整理这些保单的索赔情况，获得数据如下表： 赔偿次数 0 1 2 3 4 单数 假设：一份保单的保费为0.4万元；前3次索赔时，保险公司每次赔偿0.8万元；第四次索赔时，保险公司赔偿0.6万元.假设不同保单的索赔次数相互独立.用频率估计概率. (1)估计一份保单索赔次数不少于2的概率； (2)一份保单的毛利润定义为这份保单的保费与赔偿总金额之差. （i）记为一份保单的毛利润，估计的数学期望； （ⅱ）如果无索赔的保单的保费减少，有索赔的保单的保费增加，试比较这种情况下一份保单毛利润的数学期望估计值与（i）中估计值的大小．（结论不要求证明） 【答案】(1) (2)(i)0.122万元；(ii) 这种情况下一份保单毛利润的数学期望估计值大于（i）中估计值 【详解】（1）设为“随机抽取一单，赔偿不少于2次”， 由题设中的统计数据可得. （2）（ⅰ）设为赔付金额，则可取， 由题设中的统计数据可得， ，， ， 故 故（万元）. （ⅱ）由题设保费的变化为， 故（万元）， 从而. 3．（2023·北京·高考真题）为研究某种农产品价格变化的规律，收集得到了该农产品连续40天的价格变化数据，如下表所示．在描述价格变化时，用“+”表示“上涨”，即当天价格比前一天价格高；用“-”表示“下跌”，即当天价格比前一天价格低；用“0”表示“不变”，即当天价格与前一天价格相同． 时段 价格变化 第1天到第20天 - + + 0 - - - + + 0 + 0 - - + - + 0 0 + 第21天到第40天 0 + + 0 - - - + + 0 + 0 + - - - + 0 - + 用频率估计概率． (1)试估计该农产品价格“上涨”的概率； (2)假设该农产品每天的价格变化是相互独立的．在未来的日子里任取4天，试估计该农产品价格在这4天中2天“上涨”、1天“下跌”、1天“不变”的概率； (3)假设该农产品每天的价格变化只受前一天价格变化的影响．判断第41天该农产品价格“上涨”“下跌”和“不变”的概率估计值哪个最大．（结论不要求证明） 【答案】(1) (2) (3)不变 【详解】（1）根据表格数据可以看出，天里，有个，也就是有天是上涨的， 根据古典概型的计算公式，农产品价格上涨的概率为： （2）在这天里，有天上涨，天下跌，天不变，也就是上涨，下跌，不变的概率分别是，，， 于是未来任取天，天上涨，天下跌，天不变的概率是 （3）由于第天处于上涨状态，从前次的次上涨进行分析，上涨后下一次仍上涨的有次，不变的有次，下跌的有次， 因此估计第次不变的概率最大. 4．（2022·北京·高考真题）在校运动会上，只有甲、乙、丙三名同学参加铅球比赛，比赛成绩达到以上（含）的同学将获得优秀奖．为预测获得优秀奖的人数及冠军得主，收集了甲、乙、丙以往的比赛成绩，并整理得到如下数据（单位：m）： 甲：9.80，9.70，9.55，9.54，9.48，9.42，9.40，9.35，9.30，9.25； 乙：9.78，9.56，9.51，9.36，9.32，9.23； 丙：9.85，9.65，9.20，9.16． 假设用频率估计概率，且甲、乙、丙的比赛成绩相互独立． (1)估计甲在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的概率； (2)设X是甲、乙、丙在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的总人数，估计X的数学期望E（X）； (3)在校运动会铅球比赛中，甲、乙、丙谁获得冠军的概率估计值最大？（结论不要求证明） 【答案】(1)0.4 (2) (3)丙 【详解】（1）由频率估计概率可得 甲获得优秀的概率为0.4，乙获得优秀的概率为0.5，丙获得优秀的概率为0.5， 故答案为0.4 （2）设甲获得优秀为事件A1,乙获得优秀为事件A2，丙获得优秀为事件A3 ， ， ， . ∴X的分布列为 X 0 1 2 3 P ∴ （3）丙夺冠概率估计值最大. 因为铅球比赛无论比赛几次就取最高成绩.比赛一次，丙获得9.85的概率为，甲获得9.80的概率为，乙获得9.78的概率为.并且丙的最高成绩是所有成绩中最高的，比赛次数越多，对丙越有利. 5．（2021·北京·高考真题）在核酸检测中, “k合1” 混采核酸检测是指：先将k个人的样本混合在一起进行1次检测,如果这k个人都没有感染新冠病毒，则检测结果为阴性，得到每人的检测结果都为阴性，检测结束:如果这k个人中有人感染新冠病毒，则检测结果为阳性，此时需对每人再进行1次检测,得到每人的检测结果，检测结束. 现对100人进行核酸检测，假设其中只有2人感染新冠病毒，并假设每次检测结果准确. （I）将这100人随机分成10组，每组10人，且对每组都采用“10合1”混采核酸检测. (i)如果感染新冠病毒的2人在同一组，求检测的总次数; (ii)已知感染新冠病毒的2人分在同一组的概率为.设X是检测的总次数，求X的 分布列与数学期望E(X). (II）将这100人随机分成20组，每组5人，且对每组都采用“5合1”混采核酸检测.设Y是检测的总次数，试判断数学期望E(Y)与(I)中E(X)的大小.(结论不要求证明) 【答案】（1）①次；②分布列见解析；期望为；（2）． 【详解】（1）①对每组进行检测，需要10次；再对结果为阳性的组每个人进行检测，需要10次； 所以总检测次数为20次； ②由题意，可以取20，30， ，， 则的分布列: 所以； （2）由题意，可以取25，30， 两名感染者在同一组的概率为，不在同一组的概率为， 则. 6．（2020·北京·高考真题）某校为举办甲、乙两项不同活动，分别设计了相应的活动方案：方案一、方案二．为了解该校学生对活动方案是否支持，对学生进行简单随机抽样，获得数据如下表： 男生 女生 支持 不支持 支持 不支持 方案一 200人 400人 300人 100人 方案二 350人 250人 150人 250人 假设所有学生对活动方案是否支持相互独立． （Ⅰ）分别估计该校男生支持方案一的概率、该校女生支持方案一的概率； （Ⅱ）从该校全体男生中随机抽取2人，全体女生中随机抽取1人，估计这3人中恰有2人支持方案一的概率； （Ⅲ）将该校学生支持方案二的概率估计值记为，假设该校一年级有500名男生和300名女生，除一年级外其他年级学生支持方案二的概率估计值记为，试比较与 的大小．（结论不要求证明） 【答案】（Ⅰ）该校男生支持方案一的概率为，该校女生支持方案一的概率为； （Ⅱ）,（Ⅲ） 【详解】（Ⅰ）该校男生支持方案一的概率为， 该校女生支持方案一的概率为； （Ⅱ）3人中恰有2人支持方案一分两种情况，（1）仅有两个男生支持方案一，（2）仅有一个男生支持方案一，一个女生支持方案一， 所以3人中恰有2人支持方案一概率为：; （Ⅲ） 【点睛】本题考查利用频率估计概率、独立事件概率乘法公式，考查基本分析求解能力，属基础题. 一、单选题 1．连续抛掷一枚硬币3次，观察正面出现的情况，事件“至少2次出现正面”的对立事件是（       ）． A．只有2次出现反面 B．至少2次出现正面 C．有2次或3次出现正面 D．有2次或3次出现反面 【答案】D 【详解】连续抛掷一枚硬币3次，正面出现的次数有，因此事件“至少2次出现正面”的对立事件是“正面出现0次或1次”即“有2次或3次出现反面”， 故选：D． 二、填空题 2．已知事件A与事件B相互独立，若，，则 ． 【答案】0.42/ 【详解】. 故答案为： 3．连续抛掷一枚均匀的骰子两次，观察每次掷出的点数.设事件A表示“第二次掷出的点数为1”，事件B表示“第二次掷出的点数比第一次的小1”，则 ， . 【答案】 【详解】设第一次掷骰子出现的点数为，第二次掷骰子出现的点数为，两次掷骰子的情况为，共有种可能， 则事件A中包含的基本事件为，共6个， 事件B中包含的基本事件为，共5个， 事件中包含的基本事件为，共1个， 则，，. 故答案为：；. 三、解答题 4．甲、乙两人在罚球线投球命中的概率分别为与.甲、乙两人在罚球线各投球1次，求恰好命中1次的概率. 【答案】 【详解】解：恰好命中1次，有“甲命中乙未命中”和“甲未命中乙命中”两种情况， 所以恰好命中1次的概率. 5．盒中有4个红球、5个黑球．随机地从中抽取一个球，观察其颜色后放回，并加上3个与取出的球同色的球，再第二次从盒中随机地取出一个球，求第二次取出的是黑球的概率． 【答案】 【详解】设第一次取出的球为黑球为事件A，第一次取出的球为红球为事件B，第二次取出的球是黑球为事件C，则，，， 由全概率公式可得： 6．某射击小组共有名射手，其中一级射手人，二级射手人，三级射手人.一、二、三级射手能通过选拔进入比赛的概率分别是、、.求任选一名射手能通过选拔进入比赛的概率. 【答案】 【详解】解：记事件所选一名射手为一级射手，事件所选一名射手为二级射手，事件所选一名射手为三级射手， 记事件所选的一名射手能通过选拔进入比赛， 则，， ，，， 由全概率公式可得 . 7．设某工厂有两个车间生产同型号家用电器，第1车间的次品率为0.15，第2车间的次品率为0.12，两个车间的成品都混合堆放在一个仓库，假设第1，2车间生产的成品比例为2：3.今有一客户从成品仓库中随机提一台产品，求该产品合格的概率. 【答案】 【详解】解：设从成品仓库中随机提一台产品是合格品， 则提出的一台是第车间生产的产品， 则， 由题意可得，，，， 由全概率公式可得． 8．设某厂有甲，乙，丙三个车间生产同一产品，已知各车间的产量分别占全厂产量的，，，并且各车间的次品率依次为，，.现从该厂这批产品中任取一件. (1)求取到次品的概率； (2)若取到的是次品，则此次品由三个车间生产的概率分别是多少？ 【答案】(1) (2)甲车间生产的概率为：，由乙车间生产的概率为：，由丙车间生产的概率为： 【详解】（1）记事件表示车间生产的产品， 记事件表示车间生产的产品， 记事件表示车间生产的产品， 记事件表示抽取到次品， 则, ， 取到次品的概率为 （2）若取到的是次品， 此次品由甲车间生产的概率为： 此次品由乙车间生产的概率为： 此次品由丙车间生产的概率为： 9．下图表示由若干个某种电子元件组成的电路.已知每个元件的可靠性是0.9，且各个元件的可靠性是彼此独立的，求下列电路畅通的概率. 【答案】 【详解】图（1）中只有一个元件，电路畅通的概率为 图（2）中两个元件是串联的，只有当两个元件都正常可靠时，电路才畅通. 所以图（2）中电路畅通的概率为 图（3）中三个元件是串联的，只有当三个元件都正常可靠时，电路才畅通. 所以图（3）中电路畅通的概率为 10．10个考签中有4个难签，3人参加抽签（不放回），甲先，乙次之，丙最后．求： (1)甲抽到难签的概率； (2)甲、乙都抽到难签的概率； (3)甲没有抽到难签，而乙抽到难签的概率； (4)甲、乙、丙都抽到难签的概率． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）甲抽到难签的概率为； （2）甲、乙都抽到难签的概率为； （3）甲没有抽到难签，而乙抽到难签的概率为； （4）甲、乙、丙都抽到难签的概率为． 11．某车间在三天内，每天生产10件某产品，其中第一天、第二天分别生产1件、2件次品，而质检部每天要从生产的10件产品中随机抽取4件进行检查，若发现有次品，则当天的产品不能通过检查． (1)求第一天通过检查的概率； (2)求前两天全部通过检查的概率． 【答案】(1)； (2) 【详解】（1）因为随意抽取4件产品检查是随机事件，而第一天有9件正品，所以第一天通过检查的概率为. （2）由题意，第二天有8件正品，则第二天通过检查的概率为，因为第一天、第二天是否通过检查相互独立，所以前两天全部通过检查的概率为. 12．某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名同学参加演讲比赛．判断下列每对事件是不是互斥事件，如果是，再判断它们是不是对立事件． (1)恰有1名男生与2名全是男生； (2)至少有1名男生与2名全是男生； (3)至少有1名男生与2名全是女生； (4)至少有1名男生与至少有1名女生． 【答案】(1)是互斥事件；不是对立事件 (2)不是互斥事件 (3)是互斥事件；是对立事件 (4)不是互斥事件 【详解】（1）因为“恰有1名男生”与“2名全是男生”不可能同时发生，所以它们是互斥事件； 当2名都是女生时它们都不发生，所以它们不是对立事件． （2）因为“2名全是男生”发生时“至少有1名男生”也同时发生，所以它们不是互斥事件． （3）因为“至少有1名男生”与“全是女生”不可能同时发生，所以它们是互斥事件； 由于它们必有一个发生，所以它们是对立事件． （4）由于选出的是“1名男生1名女生”时，“至少有1名男生”与“至少有1名女生”同时发生，所以它们不是互斥事件． 13．甲袋中有3个白球和2个红球，乙袋中有2个白球和3个红球，丙袋中有4个白球和4个红球.先随机取一只袋，再从该袋中先后随机取2个球． (1)求第一次取出的球为红球的概率； (2)求第一次取出的球是红球的前提下，第二次取出的球是白球的概率． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）设第一次取出的球为红球为事件A，取到甲袋、乙袋、丙袋为事件，，，则，由全概率公式可得： （2）设第二次取出的球是白球为事件，由全概率公式可得： ， 所以 14．在数字通信中心信号是由数字0和1组成的序列．由于随机因素的干扰，发送的信号0或1有可能被错误地接收为1或0．已知发送信号0时，接收为0和1的概率分别为0.9和0.1；发送信号1时，接收为1和0的概率分别为0.95和0.05．假设发送信号0和1是等可能的． (1)分别求接收的信号为0和1的概率； (2)已知接收的信号为0，求发送的信号是1的概率． 【答案】(1)0.475，0.525 (2) 【详解】（1）设“发送的信号为0”，“接收到的信号为0”，则“发送的信号为1”，“接收到的信号为1”．由题意得 ，，， ，． ； ． （2）． 15．某商场出售的灯泡来自甲、乙、丙三个工厂，甲厂产品占，合格率为；乙厂产品占，合格率为；丙厂产品占，合格率为．某顾客购买了一个灯泡，求它是合格品的概率． 【答案】0.895 【详解】设任取一件产品是合格的为事件A，表示来自于甲工厂， 表示来自于乙工厂， 表示来自于丙工厂； 由题意： ， ，          ， ，          ， ； 由全概率公式得： =0.895； 故答案为：0.895. 16．一只不透明的口袋内装有大小相同，颜色分别为红、黄、蓝的3个球．试分别判断（1）（2）中的A，B是否为相互独立事件． (1)“从口袋内有放回地抽取2个球，第一次抽到红球”记为事件A，“从口袋内有放回地抽取2个球，第二次抽到黄球”记为事件B. (2)“从口袋内无放回地抽取2个球，第一次抽到红球”记为事件A，“从口袋内无放回地抽取2个球，第二次抽到黄球”记为事件B. 【答案】(1)A，B为相互独立事件； (2)A，B不是相互独立事件. 【详解】（1）记红、黄、蓝色球的号码分别为1, 2, 3， 所以样本空间Ω1＝{(1,1)，(1,2)， (1,3)，(2,1)， (2,2)， (2,3)， (3,1)， (3,2)， (3,3)}， 又A＝{(1,1)， (1,2)， (1,3)}，B＝{(1,2)， (2,2)，(3,2)}，则P(A)＝＝，P(B)＝＝. 又＝{(1,2)}，则P()＝，从而P()＝P(A)P(B)． 因此，A，B为相互独立事件． （2）记红、黄、蓝色球的号码分别为1，2，3， 所以样本空间Ω2＝{(1,2)，(1,3)， (2,1)， (2,3)，(3,1)，(3,2)}， 又A＝{(1,2)， (1,3)}，B＝{(1,2)，(3,2)}，则P(A)＝＝， P(B)＝＝. 又＝{(1,2)}，则P()＝，此时P()≠P(A)P(B)， 因此，A，B不是相互独立事件． 17．小王要约小李3h后见面，但是只用某种方式告知一次，设小王用微信通知的概率是0.3，用短信通知的概率是0.7，而小李在3h内查看微信的概率是0.8，看到短信的概率是0.9． (1)计算小李收到通知的概率； (2)如果收到通知的小李也有5%的概率不能前来见小王，计算小王不能按时见到小李的概率． 【答案】(1)0.87 (2)0.1735 【详解】（1）解：小李通过微信收到通知的概率是， 小李通过短信收到通知的概率是， 所以小李收到通知的概率是； （2）由（1）知，小李收不到通知的概率是， 小李收到通知而不能前来见小王的概率是， 所以小王不能按时见到小李的概率是 . 18．对某批手机玻璃屏成品作抗摔试验时，发现手机屏第一次落地时打破的概率为；若第一次落地未打破，则第二次落地打破的概率是；若前两次未打破，则第三次落地打破的概率是．试求手机屏落地三次未打破的概率． 【答案】 【详解】解：设表示事件“手机玻璃屏第i次落地打破”，以B表示事件“手机玻璃屏落下三次未打破”，， 所以 ， 所以手机屏落地三次未打破的概率为． 19．现在一些大的建筑工程都实行招投标制．在发包过程中，对参加招标的施工企业的资质（含施工质量、信誉等）进行调查和评定是非常重要的．设B=“被调查的施工企业资质不好”，A=“被调查的施工企业资质评定为不好”．由过去的资料知，．现已知在被调查的施工企业当中有确实资质不好，求评定为资质不好的施工企业确实资质不好的概率（精确到0.01）． 【答案】0.55 【详解】由题意可得，，， 所以， . 即评定为资质不好的施工企业确实资质不好的概率约为0.55. 20．某项选拔共有四轮考核，每轮设有一个问题，能正确回答问题者进入下一轮考核，否则即被淘汰．已知某选手能正确回答第一、二、三、四轮的问题的概率分别为，且各轮问题能否回答正确互不影响． (1)求该选手进入第四轮才被淘汰的概率； (2)求该选手至多进入第三轮考核的概率． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）记表示该选手能正确回答第个问题，则 ． 该选手进入第四轮才被淘汰就是前三轮答题成功，第四轮没有成功， 各轮问题能否回答正确互不影响， 所以所求概率是. （2）该选手至多进入第三轮考核，即可能第一轮被淘汰，可能第二轮被淘汰， 可能第三轮被淘汰，这三种情况又是互斥的， 所以所求概率为 ． 4 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $