第02讲 常用逻辑用语（复习讲义）（北京专用）2026年高考数学一轮复习讲练测

第02讲 常用逻辑用语 目录 01 考情解码・命题预警 2 02 体系构建 思维可视 2 03 核心突破·靶向攻坚 3 知能解码 3 知识点1 命题的概念 3 知识点2 充分条件与必要条件 4 知识点3 集合中的包含关系在判断条件关系中的应用 5 知识点4 全称量词与存在量词 5 题型破译 6 题型1 以不等式为命题背景的条件判断 6 【方法技巧】命题背景下条件判断的通法通解 题型2 以平面向量为命题背景的条件判断 6 题型3 以三角函数为命题背景的条件判断 7 题型4 以立体几何为命题背景的条件判断 8 题型5 以解析几何为命题背景的条件判断 8 题型6 以数列为命题背景的条件判断 9 题型7 以函数为命题背景的条件判断 10 题型8 全称量词与存在量词 10 04真题溯源·考向感知 11 05课本典例·高考素材 12 考点要求 考察形式 2025年 2024年 2023年 以各知识点为背景命题下对充分条件、必要条件的相关判断 全称量词与存在量词的应用 单选题 填空题 解答题 北京卷T7（4分） 北京卷T5（4分） 北京卷T8（4分） 考情分析： 北京卷中常用逻辑用语考题为单选题，分值 4 分，难度中等，聚焦基础逻辑推理。 1.核心考点：围绕充分、必要条件判断，融合平面向量、代数式、数列、函数、三角函数等知识，综合考逻辑推理。 2.思想方法：突出逻辑推理、分类讨论（如三角函数 k 奇偶性、数列首项符号），隐含数形结合（函数性质）。 3.易错点：充分与必要条件的逻辑方向易混；复杂背景下（向量、数列等），条件推导易漏特殊情况。 持续强化知识综合应用，与代数、几何等深度融合，强调推导严谨性，偶现创新情境，需关注等价转化与特殊验证。 复习目标： 1.精准理解充分、必要、充要条件的定义，明确时 ，p 是 q 充分条件，q 是 p 必要条件. 2.该考点常结合不等式、平面向量、数列、函数、三角函数、立体几何、解析几何等知识点为背景命题，以上知识点需重点掌握. 3.养成 “分步推导、双向验证”的习惯：对比双向推导结果，判断充分、必要关系. 4.针对易错点专项突破，重点训练；强化 “特殊情况验证”（如向量为零向量、数列空集 / 首项为负、三角函数边界值 ），补全推导漏洞，确保逻辑严谨. 5.熟练掌握全称量词与存在量词及其命题的否定及应用. 知识点1 命题的概念 （1）定义：一般地，我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断 的 叫做命题． （2）分类：判断为 的语句是真命题，判断为 的语句是假命题． （3）结构形式：“若，则”“如果，那么”等形式的命题中， 称为命题的条件， 称为命题的结论． 自主检测下列语句中，为真命题的是（    ） A．直角的补角是直角 B．同旁内角互补 C．过直线外一点作直线于点 D．两个锐角的和是钝角 知识点2 充分条件与必要条件 1．充分条件与必要条件的定义 一般地，“若，则”为真命题，是指由条件通过推理可以得出。 由可推出，记作，并且说是的___ ___，是的___ ___。 如果“若，则”为假命题，是指由条件不能推出结论，记作，则不是的充分条件，不是的必要条件。 2．充分性和必要性的关系 在“若，则”中， 若：，则是的充分条件，是的必要条件 若：，则是的充分条件，是的必要条件 也就是说：在“若，则”中， 条件结论， ； 结论条件， 3．充分条件、必要条件与充要条件的概念 若p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件 p是q的 条件 p⇒q且qp p是q的 条件 pq且q⇒p p是q的 条件 p⇔q p是q的 条件 pq且qp 自主检测（2025·北京朝阳·二模）设，则“”是“”的（    ） A． 充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 知识点3 集合中的包含关系在判断条件关系中的应用 设命题对应集合，命题对应集合 若，即，是的充分条件（充分性成立） 若，即，是的必要条件（必要性成立） 若，即，，是的 若，即，，是的 若，即，，是的 自主检测若，直线：，直线：，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 知识点4 全称量词与存在量词 1．全称量词与存在量词 （1）全称量词：短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做 ，并用符号“∀”表示. 含有全称量词的命题，叫做 . 全称量词命题“对M中任意一个x，p（x）成立”可用符号简记为 . （2）存在量词：短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做 ，并用符号“∃”表示. 含有存在量词的命题，叫做 . 存在量词命题“存在M中的元素x，p（x）成立”可用符号简记为 . 2．全称量词命题和存在量词命题的否定 （1）全称量词命题的否定 对含有一个量词的全称量词命题的否定，有下面的结论：全称量词命题，，它的否定： ． 全称量词命题的否定是存在量词命题． （2）存在量词命题的否定 对含有一个量词的存在量词命题的否定，有下面的结论：存在量词命题，，它的否定： ． 存在量词命题的否定是全称量词命题． （3）在书写这两种命题的否定时，相应地 变为全称量词，全称量词变为 ． 自主检测已知命题，则为（   ） A． B． C． D． 题型1 以不等式为命题背景的条件判断 例1-1（24-25高三上·北京朝阳·期末）“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 例1-2（2025·北京通州·一模）“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 方法技巧 命题背景下条件判断的通法通解 （1） 直接法：判断条件是否能推出结论，再判断结论是否能推出条件，双向判断后即可． （2）集合法：对于条件和结论对应的集合关系，利用“小充分大必要”即可判断． 【变式训练1-1】（24-25高三上·北京顺义·期末）“”是“对任意，”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式训练1-2】（2025·北京东城·一模）已知，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式训练1-3·变载体】（2025·北京丰台·二模）已知关于的方程的两实根为，则“”是“关于的不等式的解集为”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 题型2 以平面向量为命题背景的条件判断 例2-1（24-25高三上·北京东城·期末）已知平面向量为两两不共线的单位向量，则“”是“与共线”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式训练2-1】（2025·北京海淀·二模）已知是非零平面向量，则“”是“”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式训练2-2】（2025·北京·二模）设平面向量与不共线，，则“与共线”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式训练2-3】（2025·北京平谷·一模）已知是平面内两个非零向量，，那么“”是“”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 题型3 以三角函数为命题背景的条件判断 例3-1（24-25高三上·北京朝阳·期中）已知均为第二象限角，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 例3-2（24-25高三上·北京石景山·期末）“ ”是“函数在上单调递减”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式训练3-1】设关于x的方程有实数解，则p是q的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式训练3-2·变载体】（2025·北京房山·一模）已知函数，则“”是“”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式训练3-3·变载体】（2025·北京东城·二模）已知，则“”是“”的（   ） A． 充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 题型4 以立体几何为命题背景的条件判断 例4-1（2025·北京西城·一模）设直线平面，平面平面直线，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 例4-2设是三条不同的直线，是两个不同的平面，且，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式训练4-1】已知空间中不过同一点的三条直线，则“共面”的一个充分不必要条件是（   ） A．，且 B．，且 C．，且 D．两两相交 【变式训练4-2】已知两个不同的平面，和两条不同的直线，满足，，则“”是“”的（   ） A．充要条件 B．充分非必要条件 C．必要非充分条件 D．既不充分也不必要条件 【变式训练4-3】（24-25高三上·北京昌平·期末）设是两条不同的直线，是两个不同的平面，且，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 题型5 以解析几何为命题背景的条件判断 例5-1（2025·北京延庆·一模）“”是“直线与抛物线只有一个公共点”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式训练5-1】（2025·北京朝阳·一模）已知曲线，则“”是“为焦点在轴上的双曲线”的（   ） A． 充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式训练5-2】（24-25高三上·北京通州·期末）已知直线，双曲线 ，则“”是“直线与双曲线无交点”的（   ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式训练5-3】（2025·北京门头沟·一模）“”是“直线与双曲线只有一个公共点”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 题型6 以数列为命题背景的条件判断 例6-1（2025·北京石景山·一模）等比数列中，，设甲：，乙：，则甲是乙的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 例6-2（2025·北京丰台·一模）已知是公差不为0的等差数列，其前n项和为，则“，”是“”的（   ） A． 充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式训练6-1·变考法】（24-25高三下·北京朝阳·阶段练习）已知等比数列的公比为，记，则“，且”是“为递减数列”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式训练6-2·变考法】（2025·北京顺义·一模）设为等比数列，则“存在，使得”是“为递减数列”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式训练6-3·变考法】（2025·北京海淀·一模）已知是公差为的等差数列，是公比为的等比数列．若，则“是递增数列”是“”的（   ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式训练6-4·变考法】（2025·北京·模拟预测）已知等比数列单调递减，各项均为正数，前项的乘积记为.则“”是“有唯一的最大值”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件 【变式训练6-5·变考法】（2025·北京昌平·二模）设数列是公比不为1的无穷等比数列，则“数列为递减数列”是“对任意的正整数，”的（    ）． A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 题型7 以函数为命题背景的条件判断 例7-1“”是“函数为奇函数”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【变式训练7-1·变考法】函数在上单调递增的必要不充分条件为（   ） A． B． C． D． 【变式训练7-2·变考法】“”是“函数的值域为R”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式训练7-3·变考法】（24-25高三上·北京海淀·期末）设函数，则“”是“没有极值点”的（   ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 题型8 全称量词与存在量词 例8-1命题：“”的否定为（    ） A． B． C． D． 例8-2已知命题：，是假命题，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 例8-3等比数列的前项和为，能说明“若为递增数列，则”为假命题的一组和公比的值为 ， ． 【变式训练8-1】设命题p：，，则是 A．， B．， C．， D．， 【变式训练8-2】使得命题“”为真命题的k的取值范围（    ） A． B． C． D． 【变式训练8-3】已知函数，.若命题“，不等式恒成立”是假命题，则实数的取值范围 . 【变式训练8-4变考法】“函数在区间上不是增函数”的一个充要条件是（    ） A．“存在a，，使得且” B．“存在a，，使得且” C．“存在，使得” D．“存在，使得” 1．（2025·北京·高考真题）已知函数的定义域为D，则“函数的值域为”是“对任意，存在，使得”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 2．（2024·北京·高考真题）设 ，是向量，则“”是“或”的（    ）． A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．（2023·北京·高考真题）若，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．（2022·北京·高考真题）设是公差不为0的无穷等差数列，则“为递增数列”是“存在正整数，当时，”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 5．（2021·北京·高考真题）已知是定义在上的函数，那么“函数在上单调递增”是“函数在上的最大值为”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 6．（2020·北京·高考真题）已知，则“存在使得”是“”的（    ）． A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 1．判断下列命题的真假，其中真命题的个数是（    ） （1）“”是“”的充分条件； （2）“”是“”的必要条件； （3）“”是“”的充要条件； （4）“是无理数”是“是无理数”的充分不必要条件； （5）“”是“”的充分条件. A．0个 B．1个 C．2个 D．4个 2．请用“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分也不必要条件”填空： (1)三角形两边上的高相等是这个三角形为等腰三角形的 ； (2)是的 ； (3)是的 ； (4)x,y为无理数是为无理数的 . 3．判断下列命题的真假: (1)点P到圆心O的距离大于圆的半径是点P在外的充要条件; (2)两个三角形的面积相等是这两个三角形全等的充分不必要条件; (3)是的必要不充分条件; (4)x或y为有理数是xy为有理数的既不充分又不必要条件. 4．在下列各题中,判断p是q的什么条件(请用“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分又不必要条件”回答): (1)p:三角形是等腰三角形,q:三角形是等边三角形; (2)在一元二次方程中， 有实数根，; (3); (4); (5). 5．设证明:的充要条件是. 4 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第02讲 常用逻辑用语 目录 01 考情解码・命题预警 2 02 体系构建 思维可视 2 03 核心突破·靶向攻坚 3 知能解码 3 知识点1 命题的概念 3 知识点2 充分条件与必要条件 4 知识点3 集合中的包含关系在判断条件关系中的应用 5 知识点4 全称量词与存在量词 5 题型破译 6 题型1 以不等式为命题背景的条件判断 6 【方法技巧】命题背景下条件判断的通法通解 题型2 以平面向量为命题背景的条件判断 9 题型3 以三角函数为命题背景的条件判断 10 题型4 以立体几何为命题背景的条件判断 13 题型5 以解析几何为命题背景的条件判断 15 题型6 以数列为命题背景的条件判断 17 题型7 以函数为命题背景的条件判断 20 题型8 全称量词与存在量词 21 04真题溯源·考向感知 23 05课本典例·高考素材 26 考点要求 考察形式 2025年 2024年 2023年 以各知识点为背景命题下对充分条件、必要条件的相关判断 全称量词与存在量词的应用 单选题 填空题 解答题 北京卷T7（4分） 北京卷T5（4分） 北京卷T8（4分） 考情分析： 北京卷中常用逻辑用语考题为单选题，分值 4 分，难度中等，聚焦基础逻辑推理。 1.核心考点：围绕充分、必要条件判断，融合平面向量、代数式、数列、函数、三角函数等知识，综合考逻辑推理。 2.思想方法：突出逻辑推理、分类讨论（如三角函数 k 奇偶性、数列首项符号），隐含数形结合（函数性质）。 3.易错点：充分与必要条件的逻辑方向易混；复杂背景下（向量、数列等），条件推导易漏特殊情况。 持续强化知识综合应用，与代数、几何等深度融合，强调推导严谨性，偶现创新情境，需关注等价转化与特殊验证。 复习目标： 1.精准理解充分、必要、充要条件的定义，明确时 ，p 是 q 充分条件，q 是 p 必要条件. 2.该考点常结合不等式、平面向量、数列、函数、三角函数、立体几何、解析几何等知识点为背景命题，以上知识点需重点掌握. 3.养成 “分步推导、双向验证”的习惯：对比双向推导结果，判断充分、必要关系. 4.针对易错点专项突破，重点训练；强化 “特殊情况验证”（如向量为零向量、数列空集 / 首项为负、三角函数边界值 ），补全推导漏洞，确保逻辑严谨. 5.熟练掌握全称量词与存在量词及其命题的否定及应用. 知识点1 命题的概念 （1）定义：一般地，我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断 真假 的 陈述句 叫做命题． （2）分类：判断为 真 的语句是真命题，判断为 假 的语句是假命题． （3）结构形式：“若，则”“如果，那么”等形式的命题中， 称为命题的条件， 称为命题的结论． 自主检测下列语句中，为真命题的是（    ） A．直角的补角是直角 B．同旁内角互补 C．过直线外一点作直线于点 D．两个锐角的和是钝角 【答案】A 【详解】对选项A，直角的补角是直角，所以A选项为真命题； 对选项B，缺少两直线平行条件，结论不成立. 如三角形内任意两内角都是同旁内角，但两角和必小于，所以B选项为假命题； 对选项C ，是祈使句，不是陈述句.所以不是命题； 对选项D， 与的和为锐角，所以D选项为假命题． 故选：A. 知识点2 充分条件与必要条件 1．充分条件与必要条件的定义 一般地，“若，则”为真命题，是指由条件通过推理可以得出。 由可推出，记作，并且说是的___充分条件___，是的___必要条件___。 如果“若，则”为假命题，是指由条件不能推出结论，记作，则不是的充分条件，不是的必要条件。 2．充分性和必要性的关系 在“若，则”中， 若：，则是的充分条件，是的必要条件 若：，则是的充分条件，是的必要条件 也就是说：在“若，则”中， 条件结论，____充分性成立____； 结论条件，____必要性成立___ 3．充分条件、必要条件与充要条件的概念 若p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件 p是q的 充分不必要 条件 p⇒q且qp p是q的 必要不充分 条件 pq且q⇒p p是q的 充要 条件 p⇔q p是q的 既不充分又不必要 条件 pq且qp 自主检测（2025·北京朝阳·二模）设，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】由， 得，解得或， 由，得， 所以“”是“”的必要不充分条件. 故选：B. 知识点3 集合中的包含关系在判断条件关系中的应用 设命题对应集合，命题对应集合 若，即，是的充分条件（充分性成立） 若，即，是的必要条件（必要性成立） 若，即，，是的______充分不必要条件______ 若，即，，是的____必要不充分条件_______ 若，即，，是的______充要条件_________ 自主检测若，直线：，直线：，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】当时，，则； 若，则，解得或. 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：A 知识点4 全称量词与存在量词 1．全称量词与存在量词 （1）全称量词：短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做 全称量词 ，并用符号“∀”表示. 含有全称量词的命题，叫做 全称量词命题 . 全称量词命题“对M中任意一个x，p（x）成立”可用符号简记为 ∀x∈M，p（x） . （2）存在量词：短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做 存在量词 ，并用符号“∃”表示. 含有存在量词的命题，叫做 存在量词命题 . 存在量词命题“存在M中的元素x，p（x）成立”可用符号简记为 ∃x∈M，p（x） . 2．全称量词命题和存在量词命题的否定 （1）全称量词命题的否定 对含有一个量词的全称量词命题的否定，有下面的结论：全称量词命题，，它的否定： ，不成立 ． 全称量词命题的否定是存在量词命题． （2）存在量词命题的否定 对含有一个量词的存在量词命题的否定，有下面的结论：存在量词命题，，它的否定： ，不成立 ． 存在量词命题的否定是全称量词命题． （3）在书写这两种命题的否定时，相应地 存在量词 变为全称量词，全称量词变为 存在量词 ． 自主检测已知命题，则为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】原命题是存在量词命题，其否定是全称量词命题，注意到要否定结论而不是否定条件， 所以命题的否定为. 故选：C 题型1 以不等式为命题背景的条件判断 例1-1（24-25高三上·北京朝阳·期末）“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】当时，，所以充分性成立； 若，即， 当时，，所以不成立，故必要性不成立， 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：A 例1-2（2025·北京通州·一模）“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】设函数，其定义域为． 对求导，根据求导公式，可得． 因为，所以，则． 这表明函数在上单调递增． 当时，，即，移项可得． 所以由能推出，充分性成立． 当时，即． 因为，且在上单调递增，所以时，． 这说明当时，不一定有，必要性不成立． 因为充分性成立，必要性不成立，所以“”是“”的充分不必要条件． 故选：A． 方法技巧 命题背景下条件判断的通法通解 （1） 直接法：判断条件是否能推出结论，再判断结论是否能推出条件，双向判断后即可． （2）集合法：对于条件和结论对应的集合关系，利用“小充分大必要”即可判断． 【变式训练1-1】（24-25高三上·北京顺义·期末）“”是“对任意，”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【详解】若，则， 当时，，故； 当时，，故； 当时，， 故能推出； 反之，若对任意，， 因为时，，故，故即； 而时，，故，故即； 时显然成立，故， 故对任意，能得到， 故“”是“对任意，”的充要条件， 故选：C. 【变式训练1-2】（2025·北京东城·一模）已知，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】由，则必有， 由，则，可得， 又，根据基本不等式有， 若且，则有，即是的充分条件， 若，则，此时满足，但不成立， 所以是的非必要条件， 综上，“”是“”的充分不必要条件. 故选：A 【变式训练1-3·变载体】（2025·北京丰台·二模）已知关于的方程的两实根为，则“”是“关于的不等式的解集为”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】充分性的判断： 若，则或， 当时，关于的方程有两个相等的实数根，则， 因为二次函数开口向上，所以关于的不等式的解集为； 当时，关于的方程有两个不相等的实数根，不妨设， 因为二次函数开口向上，所以关于的不等式的解集为. 所以，由“”不能推出“关于的不等式的解集为”，充分性不成立. 必要性的判断： 若关于的不等式的解集为，因为二次函数开口向上，所以， 又因为关于的方程有两个实数根，则，则，必要性成立. 综上，“”是“关于的不等式的解集为”的必要不充分条件. 故选：B. 题型2 以平面向量为命题背景的条件判断 例2-1（24-25高三上·北京东城·期末）已知平面向量为两两不共线的单位向量，则“”是“与共线”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【详解】由平面向量为两两不共线的单位向量， 设，，，如下图，为边长为1的菱形， 若，即与垂直，， 即，而，且， 所以共线，即与共线； 若与共线，即且，而，即， 所以与垂直，故. 所以“”是“与共线”的充要条件. 故选：C 【变式训练2-1】（2025·北京海淀·二模）已知是非零平面向量，则“”是“”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】由，得，故必要性成立； 由，得，得， 不一定成立，故充分性不成立. 所以“”是“”必要不充分条件. 故选：B 【变式训练2-2】（2025·北京·二模）设平面向量与不共线，，则“与共线”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【详解】若与共线，则存在非零实数，使得，即， 由于平面向量与不共线，所以且，故， 因此“与共线”是“”的充要条件， 故选：C 【变式训练2-3】（2025·北京平谷·一模）已知是平面内两个非零向量，，那么“”是“”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】D 【详解】若，， 所以，， 当时，，当时，，此时 故“”是“”的不充分条件， 因为，若，则，当且仅当方向相同时取到等号，则恒成立，故 ，但两个向量间的系数不确定，不能推出“”； 综上可知，，那么“”是“”的既不充分也不必要条件. 故选：D 题型3 以三角函数为命题背景的条件判断 例3-1（24-25高三上·北京朝阳·期中）已知均为第二象限角，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【详解】由题意， 若，因为均为第二象限角，所以， 所以，即， 所以，且均为第二象限角， 所以，所以，即充分性成立. 若，因为均为第二象限角， 所以，即， 所以，即， 因为均为第二象限角，所以， 所以，故必要性成立, 所以“”是“”的充要条件. 故选：C. 例3-2（24-25高三上·北京石景山·期末）“ ”是“函数在上单调递减”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【详解】由题意，若， 则， 由，得， 此时函数单调递减，所以充分性成立； 若函数在上单调递减， 由，得， 则， 所以，， 解得，即，所以必要性成立； 因此，“ ”是“函数在上单调递减”的充分必要条件. 故选：C. 【变式训练3-1】设关于x的方程有实数解，则p是q的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】因为，所以，即. 因为， 所以由可以推出，由不可以推出，所以是的充分不必要条件． 故选：A. 【变式训练3-2·变载体】（2025·北京房山·一模）已知函数，则“”是“”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】由函数，则易知其图象对称中心， 当时，为函数图象的对成中心， 则当时，，充分性成立； 当时，由，可能得到，必要性不成立. 故选：A. 【变式训练3-3·变载体】（2025·北京东城·二模）已知，则“”是“”的（   ） A． 充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】充分性：因为，所以或， 当时，或，， 当时， 或，， 可得或，所以充分性不成立， 必要性：若， 当为偶数时，设，则， 则，满足， 当为奇数时，设，则， 则，满足， 所以必要性成立， 所以“”是“”的必要不充分条件. 故选：B. 题型4 以立体几何为命题背景的条件判断 例4-1（2025·北京西城·一模）设直线平面，平面平面直线，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】已知直线平面，平面平面直线， 若，由平面，则； 若，此时得不到，直线可能与平面斜交，如下图： 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 例4-2设是三条不同的直线，是两个不同的平面，且，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】当时，，所以，又，所以成立， 当时，若与相交，则与异面，不能推导出， 所以“”是“”的充分不必要条件． 故选：A． 【变式训练4-1】已知空间中不过同一点的三条直线，则“共面”的一个充分不必要条件是（   ） A．，且 B．，且 C．，且 D．两两相交 【答案】D 【详解】选项A：，且，三条直线可能在不同的平面. 选项B：，且，三条直线可能分布在三个平行平面内. 选项C：，且，垂直于但可能不在与确定得平面内. 选项D：两两相交且不过同一点得三条直线必然共面. 故选：D 【变式训练4-2】已知两个不同的平面，和两条不同的直线，满足，，则“”是“”的（   ） A．充要条件 B．充分非必要条件 C．必要非充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】当，，则，又，则，即充分性成立； 若，，，则或，则，异面，相交均有可能，即必要性不成立， 所以“”是“”的充分非必要条件， 故选：B 【变式训练4-3】（24-25高三上·北京昌平·期末）设是两条不同的直线，是两个不同的平面，且，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】由题，，则， 若，根据线面垂直的性质，则定有，故“”是“”的充分条件； 当时，也可以在内，故不一定有， 故“”不是“”的必要条件， 故选：A. 题型5 以解析几何为命题背景的条件判断 例5-1（2025·北京延庆·一模）“”是“直线与抛物线只有一个公共点”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】由，得， 因为直线与抛物线只有一个公共点， 所以当时，交点为只有一个公共点，符合题意； 当时，， 所以直线与抛物线只有一个公共点的充要条件是或， 所以”能推出“直线与抛物线只有一个公共点， 直线与抛物线只有一个公共点不能推出， “”是“直线与抛物线只有一个公共点”的充分而不必要条件， 故选：A 【变式训练5-1】（2025·北京朝阳·一模）已知曲线，则“”是“为焦点在轴上的双曲线”的（   ） A． 充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】若，则， 所以，即， 所以为焦点在轴上的双曲线； 若为焦点在轴上的双曲线， 则对于，即， 可得，即且，不一定得到， 综上，“”是“为焦点在轴上的双曲线”的充分不必要条件. 故选：A 【变式训练5-2】（24-25高三上·北京通州·期末）已知直线，双曲线 ，则“”是“直线与双曲线无交点”的（   ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】双曲线的渐近线方程为， 当时，直线为双曲线的一条渐近线，直线与双曲线无交点； 反之直线与双曲线无交点，，即， 所以“”是“直线与双曲线无交点”的充分而不必要条件. 故选：A 【变式训练5-3】（2025·北京门头沟·一模）“”是“直线与双曲线只有一个公共点”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【详解】法一：由题意，联立方程可得， 当时，即时，方程有一解，即只有一个公共点； 当时，，方程有两解，即有两个公共点，不符合题意. 所以，直线与双曲线只有一个公共点时，. 所以“”是“直线与双曲线只有一个公共点”的充要条件. 法二：因为直线过定点，双曲线的右顶点为，如图， 根据图象可知，当且仅当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线只有 交点. 所以“”是“直线与双曲线只有一个公共点”的充要条件. 故选：C. 题型6 以数列为命题背景的条件判断 例6-1（2025·北京石景山·一模）等比数列中，，设甲：，乙：，则甲是乙的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【详解】已知等比数列中，若，设公比为. 根据等比数列通项公式，即，解得. 再根据通项公式求，所以由能推出，充分性成立. 若，同样根据等比数列通项公式，即，解得，则. 又因为，所以由能推出，必要性成立. 由于充分性和必要性都成立，所以甲是乙的充要条件. 故选：C. 例6-2（2025·北京丰台·一模）已知是公差不为0的等差数列，其前n项和为，则“，”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】若，这意味着是数列中的最大值. 因为是公差不为的等差数列，所以该数列的前项和是关于的二次函数（且二次项系数不为），其图象是一条抛物线. 当是最大值时，说明从第项开始数列的项变为非正数，即，且（若，那么，与是最大值矛盾）. 所以由“”可以推出“”，充分性成立. 若，仅知道第项是非负的，但无法确定就是的最大值. 例如，当公差时，数列是递增数列，那么会随着的增大而增大，此时就不是最大值，即不能推出，必要性不成立. 因为充分性成立，必要性不成立，所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：A 【变式训练6-1·变考法】（24-25高三下·北京朝阳·阶段练习）已知等比数列的公比为，记，则“，且”是“为递减数列”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】D 【详解】令，，则，不为递减数列； 反之，令，则，为递减数列，而， 所以“，且”是“为递减数列”的既不充分也不必要条件. 故选：D 【变式训练6-2·变考法】（2025·北京顺义·一模）设为等比数列，则“存在，使得”是“为递减数列”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】假设等比数列的公比，首项，则数列的项依次为， 当时，满足，但是不是递减数列， 故充分性不满足； 若为递减数列，则对于任意的，必然有， 故必要性满足； 所以“存在，使得”是“为递减数列”的必要而不充分条件. 故选：B 【变式训练6-3·变考法】（2025·北京海淀·一模）已知是公差为的等差数列，是公比为的等比数列．若，则“是递增数列”是“”的（   ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】D 【详解】若是递增数列，则对所有的正整数都成立， 充分性：若是递增数列，则 即恒成立，又，， ①若数列为无穷数列， 若，则，时，，所以； 若，则，时，，所以， 此时充分性成立； ②若数列为有穷数列， 若， ，只需即可，此时充分性不成立. 必要性：时， 若，有，则不一定成立，故必要性不成立； 即时，“是递增数列”是“”的既不充分也不必要条件. 故选：D. 【变式训练6-4·变考法】（2025·北京·模拟预测）已知等比数列单调递减，各项均为正数，前项的乘积记为.则“”是“有唯一的最大值”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】B 【详解】根据已知条件有，设公比为，则有， 有唯一的最大值的充要条件为：且， 若，则有，又因为， 所以； 又根据，即， 因为，所以， 综上不能推出有唯一的最大值， 若有唯一的最大值，则且， 因为，，所以有， 又因为，所以，此时可推出成立， 所以“”是“有唯一的最大值”的必要不充分条件. 故选：B 【变式训练6-5·变考法】（2025·北京昌平·二模）设数列是公比不为1的无穷等比数列，则“数列为递减数列”是“对任意的正整数，”的（    ）． A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【详解】若“数列为递减数列”，易得， 若“对任意的正整数，”， ， 当时，由，得， 解得：或， 若，则，此时，与已知矛盾； 若，则，由指数函数单调性可知单调递减； 当时，由，得， 解得：或， 若，则，此时，与已知矛盾； 若，则，由指数函数单调性可知单调递减； 综上可知：若，可判断数列为递减数列， 所以“数列为递减数列”是“对任意的正整数，”的充要条件， 故选：C 题型7 以函数为命题背景的条件判断 例7-1“”是“函数为奇函数”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】A 【详解】若函数为奇函数，则，即， 整理得，即，解得， 当时，函数的定义域为；当时，函数的定义域为，都符合题意， 所以“”是“函数为奇函数”的充分不必要条件. 故选：A 【变式训练7-1·变考法】函数在上单调递增的必要不充分条件为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意，函数的定义域为. 由在上单调递增，得在上恒成立. 则，解得. A是充分不必要条件，B是充分必要条件，C是不充分不必要条件，D是必要不充分条件， 故选：D. 【变式训练7-2·变考法】“”是“函数的值域为R”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】若，因为，所以函数的定义域为， 故，所以函数的值域为R， 即“”是“函数的值域为R”的充分条件； 若函数的值域为R，则对于二次函数，其值域包含， 即，解得或， 即“”不是“函数的值域为R”的必要条件， 综上，“”是“函数的值域为R”的充分不必要条件， 故选：A. 【变式训练7-3·变考法】（24-25高三上·北京海淀·期末）设函数，则“”是“没有极值点”的（   ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【详解】函数，求导得， 当时，，当且仅当时取等号，则在R上单调递增，无极值点； 若没有极值点，则没有变号零点，因此，解得， 所以“”是“没有极值点”的充分必要条件. 故选：C 题型8 全称量词与存在量词 例8-1命题：“”的否定为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】“”的否定为“”. 故选：D. 例8-2已知命题：，是假命题，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由于“，”为假命题， 故其否定为“，”为真命题， 则，得， 故选：D 例8-3等比数列的前项和为，能说明“若为递增数列，则”为假命题的一组和公比的值为 ， ． 【答案】 （答案不唯一） 【详解】“若为递增数列，则”为假命题， 所以若为递增数列，则， ，则， 等比数列为递增数列，且，则和公比，满足题意. 故答案为：； 【变式训练8-1】设命题p：，，则是 A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【详解】选项中结论没有否定，条件不应该否定，故错误；则选项中全称量词没有改为存在性量词，即“”应改为“”，故错误；命题“， ”的否定为：“，”故正确；选项中全称量词没有改为存在性量词，且结论否定错误，即“”应改为“”，故错误，故选C. 【变式训练8-2】使得命题“”为真命题的k的取值范围（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分和两种情况分类讨论即可求解. 当时，恒成立； 当时，则满足，解得， 综上， 故选：B 【变式训练8-3】已知函数，.若命题“，不等式恒成立”是假命题，则实数的取值范围 . 【答案】 【详解】当恒成立， 当时，且， 解得：， 当时,成立， 所以， 命题“，不等式恒成立”是假命题 所以的取值范围为：或． 故答案为： 【变式训练8-4变考法】“函数在区间上不是增函数”的一个充要条件是（    ） A．“存在a，，使得且” B．“存在a，，使得且” C．“存在，使得” D．“存在，使得” 【答案】B 【详解】若函数在区间是增函数， 即任意，使得且， 则若函数在区间不是增函数， 即存在，使得且. 故选：B 1．（2025·北京·高考真题）已知函数的定义域为D，则“函数的值域为”是“对任意，存在，使得”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】若函数的值域为，则对任意，一定存在，使得， 取，则，充分性成立； 取，，则对任意，一定存在，使得， 取，则，但此时函数的值域为，必要性不成立； 所以“函数的值域为”是“对任意，存在，使得”的充分不必要条件. 故选：A. 2．（2024·北京·高考真题）设 ，是向量，则“”是“或”的（    ）． A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】因为，可得，即， 可知等价于， 若或，可得，即，可知必要性成立； 若，即，无法得出或， 例如，满足，但且，可知充分性不成立； 综上所述，“”是“或”的必要不充分条件. 故选：B. 3．（2023·北京·高考真题）若，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【详解】解法一： 因为，且， 所以，即，即，所以. 所以“”是“”的充要条件. 解法二： 充分性：因为，且，所以， 所以， 所以充分性成立； 必要性：因为，且， 所以，即，即，所以. 所以必要性成立. 所以“”是“”的充要条件. 解法三： 充分性：因为，且， 所以， 所以充分性成立； 必要性：因为，且， 所以， 所以，所以，所以， 所以必要性成立. 所以“”是“”的充要条件. 故选：C 4．（2022·北京·高考真题）设是公差不为0的无穷等差数列，则“为递增数列”是“存在正整数，当时，”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【详解】设等差数列的公差为，则，记为不超过的最大整数. 若为单调递增数列，则， 若，则当时，；若，则， 由可得，取，则当时，， 所以，“是递增数列”“存在正整数，当时，”； 若存在正整数，当时，，取且，， 假设，令可得，且， 当时，，与题设矛盾，假设不成立，则，即数列是递增数列. 所以，“是递增数列”“存在正整数，当时，”. 所以，“是递增数列”是“存在正整数，当时，”的充分必要条件. 故选：C. 5．（2021·北京·高考真题）已知是定义在上的函数，那么“函数在上单调递增”是“函数在上的最大值为”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】若函数在上单调递增，则在上的最大值为， 若在上的最大值为， 比如， 但在为减函数，在为增函数， 故在上的最大值为推不出在上单调递增， 故“函数在上单调递增”是“在上的最大值为”的充分不必要条件， 故选：A. 6．（2020·北京·高考真题）已知，则“存在使得”是“”的（    ）． A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【详解】(1)当存在使得时， 若为偶数，则； 若为奇数，则； (2)当时，或，，即或， 亦即存在使得． 所以，“存在使得”是“”的充要条件. 故选：C. 【点睛】本题主要考查充分条件，必要条件的定义的应用，诱导公式的应用，涉及分类讨论思想的应用，属于基础题. 1．判断下列命题的真假，其中真命题的个数是（    ） （1）“”是“”的充分条件； （2）“”是“”的必要条件； （3）“”是“”的充要条件； （4）“是无理数”是“是无理数”的充分不必要条件； （5）“”是“”的充分条件. A．0个 B．1个 C．2个 D．4个 【答案】B 【详解】对于（1），不妨设，但此时有，所以“”不是“”的充分条件，故命题（1）是假命题； 对于（2），不妨设，但此时有，所以“”不是“”的必要条件，故命题（2）是假命题； 对于（3），不妨设，但此时，所以“”不是“”的充要条件，故命题（3）是假命题； 对于（4），由于是无限不循环小数当且仅当是无限不循环小数，由无理数的定义可知“是无理数”是“是无理数”的充分必要条件，故命题（4）是假命题； 对于（5），当时，有，所以“”是“”的充分条件，故命题（5）是真命题； 综上所述：真命题的个数一共有1个. 故选：B. 2．请用“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分也不必要条件”填空： (1)三角形两边上的高相等是这个三角形为等腰三角形的 ； (2)是的 ； (3)是的 ； (4)x,y为无理数是为无理数的 . 【答案】 充分不必要条件 充分不必要条件 必要不充分条件 既不充分也不必要条件 【解析】(1)利用全等三角形来判断； (2)利用并集的概念来判断； (3)利用交集的概念来判断； (4)可举反例来判断. 【详解】(1)如图： 由，得，所以，则为等腰三角形，满足充分性， 但是如果为等腰三角形，边上的高不一定等于边上的高，不满足必要性， 故三角形两边上的高相等是这个三角形为等腰三角形的充分不必要条件； (2)当时，有；反之当时，不一定有，故是的充分不必要条件； (3) 当时，不一定有，因为有可能；反之当时，必有，故是的必要不充分条件； (4)当时，为有理数，当时，，故x,y为无理数是为无理数的既不充分也不必要条件. 故答案为：充分不必要条件；充分不必要条件；必要不充分条件；既不充分也不必要条件. 【点睛】本题考查充分性和必要性的判断，是基础题. 3．判断下列命题的真假: (1)点P到圆心O的距离大于圆的半径是点P在外的充要条件; (2)两个三角形的面积相等是这两个三角形全等的充分不必要条件; (3)是的必要不充分条件; (4)x或y为有理数是xy为有理数的既不充分又不必要条件. 【答案】(1)真命题;(2)假命题;(3)假命题;(4)真命题. 【解析】(1)根据点与圆的位置关系判断. (2)举例说明即可. (3)根据集合的关系直接判断 (4)举例说明即可. 【详解】(1)根据点与圆的位置关系知点P到圆心O的距离大于圆的半径是点P在外的充要条件. 故(1)为真命题. (2)两个三角形面积相等也可能同底等高,全等三角形面积一定相等.故两个三角形的面积相等是这两个三角形全等的必要不充分条件. 故(2)为假命题. (3)是的充要条件. 故(3)为假命题. (4)当时,满足“x或y为有理数”但“xy为有理数”不成立. 当时满足“xy为有理数”但“x或y为有理数”不成立. 故(4)为真命题. 【点睛】本题主要考查了充分与必要条件的辨析,属于基础题型. 4．在下列各题中,判断p是q的什么条件(请用“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分又不必要条件”回答): (1)p:三角形是等腰三角形,q:三角形是等边三角形; (2)在一元二次方程中， 有实数根，; (3); (4); (5). 【答案】(1)必要不充分条件;(2)充要条件;(3)充分不必要条件;(4)必要不充分条件;(5)既不充分又不必要条件. 【解析】(1)根据等腰三角形与等边三角形的关系分析. (2)根据二次方程的根分析 (3)根据集合的基本关系分析 (4)根据集合的基本关系分析 (5)举例说明分析 【详解】(1)因为等腰三角形是特殊的等边三角形, 故p是q的必要不充分条件. (2) 一元二次方程有实数根则判别式. 故p是q的充要条件. (3)因为,故且；当时不一定成立. 故p是q的充分不必要条件. (4) 因为,故或,所以不一定成立； 当时一定成立. 故p是q的必要不充分条件. (5) 当时,满足但不成立. 当时,满足但不成立. 故p是q的既不充分又不必要条件. 【点睛】本题主要考查了充分条件与必要条件的判定,属于基础题型. 5．设证明:的充要条件是. 【答案】见解析 【解析】分别证明充分性与必要性即可. 【详解】证明:(1)充分性:如果, 那么, . (2)必要性:如果, 那么, ,. 由(1)(2)知,的充要条件是. 【点睛】本题主要考查了充分必要条件的证明,需要分别证明充分性与必要性,属于中等题型. 4 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $$