精品解析：江苏省淮安市涟水县第一中学2024-2025学年高二下学期5月月考数学试题

涟水县第一中学2024～2025学年第二学期高二年级5月月考 数学 试卷 考试时间：120分钟 总分：150分 一、单项选择题（本大题共有8小题，每题5分，共40分） 1. 已知集合，，，则（     ） A. B. C. D. 2. 已知且，，则是的（     ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 下列图象中，可以表示函数的为（ ） A. B. C. D. 4. 若，，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知平面的一个法向量为，点在外，点在内，且，则点到平面的距离为（ ） A. B. C. D. 6. 已知，，则（    ） A. B. C. D. 7. 已知随机变量服从二项分布.若，，则（     ） A. B. C. D. 8. 若函数，满足，且，则（     ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 二、多项选择题（本大题共有3小题，每题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9. 下列叙述正确的是（ ） A. ， B. 命题“，”的否定是“，或” C. 命题“，”的否定是真命题 D. 设x，，则“且”是“”的必要不充分条件 10. 现有不同的红球4个，黄球5个，绿球6个，则下列说法正确的是（ ） A. 从中选出2个球，正好一红一黄，有9种不同的选法 B. 若每种颜色选出1个球，有120种不同的选法 C. 若要选出不同颜色的2个球，有31种不同的选法 D. 若要选出2个球分给甲、乙两名同学，有210种不同的方法 11. 已知一组样本点组成一个样本，得到的经验回归方程为，且其平均数为.若增加两个样本点和，得到新样本的经验回归方程为，则下列结论正确的有（ ） A. B. 增加两个样本点后的平均数为1.2 C. D. 在新的经验回归方程中，当时，的估计值为4.2 三、填空题（本大题共有3小题，每题5分，共15分） 12. 已知随机变量，若，则__________. 13. 函数的定义域是______ 14. 已知向量，，，当时，向量在向量上的投影向量为_______.（用坐标表示） 四、解答题（本大题共有5小题，第15题13分，第16、17题15分，第18、19题17分，共77分） 15. 甲、乙两台机床生产同种产品，产品按质量分为一级品和二级品，为了比较两台机床产品的质量，分别用两台机床生产了件产品，产品的质量情况统计如下表： 一级品 二级品 合计 甲机床 150 50 200 乙机床 120 80 200 合计 270 130 400 （1）甲机床、乙机床生产的产品中一级品的频率分别是多少？ （2）依据小概率值的独立性检验，能否认为甲机床的产品质量与乙机床的产品质量有差异？ 附： 0.05 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 16. 一批笔记本电脑共有10台，其中品牌3台，品牌7台，如果从中随机挑选2台，设挑选的2台电脑中品牌的台数为. （1）求的分布列； （2）求的均值和方差. 17. 已知二次函数． （1）若不等式的解集为，求的值； （2）若，且，求的最小值． 18. 已知的展开式中共有7项. （1）求的值； （2）求展开式中二项式系数最大的项； （3）求的展开式中含的项的系数. 19. 如图，在三棱柱中，平面是等边三角形，，分别在线段上，且. （1）证明：. （2）求的长的最小值. （3）当的长取得最小值时，求二面角的正弦值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 涟水县第一中学2024～2025学年第二学期高二年级5月月考 数学 试卷 考试时间：120分钟 总分：150分 一、单项选择题（本大题共有8小题，每题5分，共40分） 1. 已知集合，，，则（     ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先确定集合，再分别判断选项. 【详解】根据题意，，， ， 所以，，. 故选：B 2. 已知且，，则是的（     ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】利用充分条件、必要条件的定义判断即可得出结论. 【详解】当且，可得，所以是的充分条件； 如，故是的不必要条件； 所以是的充分不必要条件. 故选：A. 3. 下列图象中，可以表示函数的为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据函数的定义判断. 【详解】选项A，C，D的函数图象中存在，对应多个不同的函数值，故不可以表示函数，故B正确. 故选：B. 4. 若，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】因为，，所以，，所以，，故A正确，B错误；当时，，，故C错误，D错误． 5. 已知平面的一个法向量为，点在外，点在内，且，则点到平面的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据点面距的向量公式，可得答案. 【详解】由题意可得. 故选：C. 6. 已知，，则（    ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由概率的乘法公式可求得的值. 【详解】由概率的乘法公式可得. 故选：C. 7. 已知随机变量服从二项分布.若，，则（     ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据二项分布的方差公式和方差的性质可得出关于的等式，解之即可. 【详解】因为，则，解得. 故选：A. 8. 若函数，满足，且，则（     ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】D 【解析】 【分析】应用赋值法及方程组法计算求解. 【详解】令可得，所以； 令可得； 令可得， 所以， 所以， 令可得，所以， 所以. 故选：D. 二、多项选择题（本大题共有3小题，每题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9. 下列叙述正确的是（ ） A. ， B. 命题“，”的否定是“，或” C. 命题“，”的否定是真命题 D. 设x，，则“且”是“”的必要不充分条件 【答案】BC 【解析】 【分析】通过配方可判断A，根据存在量词命题的否定为全称量词命题判断B，写出命题的否定，即可判断 C，根据充分条件、必要条件的定义判断D. 【详解】对于A：因为，故A不正确； 对于B：命题“，”的否定是“，或”，故B正确； 对C：命题“，”的否定为：“，”，显然， 则命题“，”为真命题，故C正确； 对于D：由“且”，得“且”，可以推得出“”， 故“且”是“”的充分条件，故D错误； 故选：BC. 10. 现有不同的红球4个，黄球5个，绿球6个，则下列说法正确的是（ ） A. 从中选出2个球，正好一红一黄，有9种不同的选法 B. 若每种颜色选出1个球，有120种不同的选法 C. 若要选出不同颜色的2个球，有31种不同的选法 D. 若要选出2个球分给甲、乙两名同学，有210种不同的方法 【答案】BD 【解析】 【分析】根据分类与分步计数原理逐个计算即可. 【详解】A选项：取2个球，红、黄各1，有种选法，该选项错误. B选项：每种颜色选出1个球，共取3个，有种选法，该选项正确. C选项：要选出不同颜色的2个球，有3种情况： 若取1红1黄，有种选法； 若取1红1绿，有种选法； 若取1黄1绿，有种选法； 因此共有种选法，该选项错误. D选项：甲先选有15种选法，乙再选有14种选法，所以共有种选法，该选项正确. 故选：BD. 11. 已知一组样本点组成一个样本，得到的经验回归方程为，且其平均数为.若增加两个样本点和，得到新样本的经验回归方程为，则下列结论正确的有（ ） A. B. 增加两个样本点后的平均数为1.2 C. D. 在新的经验回归方程中，当时，的估计值为4.2 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用经验回归方程，结合样本中心点求出参数，进而进行数据估计. 【详解】对于A，由过点，得，解得，A正确； 对于B，增加两个样本点后的平均数为，B正确； 对于C，增加两个样本点后的平均数为，则，解得，C错误； 对于D，新的经验回归方程为，当时，，D正确. 故选：ABD 三、填空题（本大题共有3小题，每题5分，共15分） 12. 已知随机变量，若，则__________. 【答案】0.15## 【解析】 【分析】根据正态曲线的对称性，结合正态分布的概率表示，可得答案. 【详解】因为， 所以. 故答案为：. 13. 函数的定义域是______ 【答案】 【解析】 【分析】二次根式的被开方数非负，列不等式组求解即可 【详解】由， 得，解得， 所以的定义域为. 故答案为：. 14. 已知向量，，，当时，向量在向量上的投影向量为_______.（用坐标表示） 【答案】 【解析】 【分析】先根据向量垂直得到方程，求出，再利用投影向量公式求出答案. 【详解】因为，所以，所以，则， 所以在上的投影向量为. 故答案为：. 四、解答题（本大题共有5小题，第15题13分，第16、17题15分，第18、19题17分，共77分） 15. 甲、乙两台机床生产同种产品，产品按质量分为一级品和二级品，为了比较两台机床产品的质量，分别用两台机床生产了件产品，产品的质量情况统计如下表： 一级品 二级品 合计 甲机床 150 50 200 乙机床 120 80 200 合计 270 130 400 （1）甲机床、乙机床生产的产品中一级品的频率分别是多少？ （2）依据小概率值的独立性检验，能否认为甲机床的产品质量与乙机床的产品质量有差异？ 附： 0.05 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 【答案】（1）甲机床生产的产品中一级品的频率为：. 乙机床生产的产品中一级品的频率为：. （2）依据小概率值的独立性检验，可认为甲机床的产品质量与乙机床的产品质量有差异. 【解析】 【分析】（1）直接计算频率即可. （2）先计算，再与给出的数据进行比较，即可得出结论. 【小问1详解】 甲机床生产的产品中一级品的频率为：. 乙机床生产的产品中一级品的频率为：. 【小问2详解】 由题意：. 因为，所以依据小概率值的独立性检验，可认为甲机床的产品质量与乙机床的产品质量有差异. 16. 一批笔记本电脑共有10台，其中品牌3台，品牌7台，如果从中随机挑选2台，设挑选的2台电脑中品牌的台数为. （1）求的分布列； （2）求的均值和方差. 【答案】（1）分布列： （2）;【解析】 【分析】（1）确定随机变量的可能取值，利用超几何分布概率公式求出概率； （2）利用（1）中的分布列，代入数学期望公式和方差公式计算即得. 【小问1详解】 依题意，的可能值有. 则，，. 则的分布列为： 【小问2详解】由（1）中的分布列，可得 . 另解：因 则 17. 已知二次函数． （1）若不等式的解集为，求的值； （2）若，且，求的最小值． 【答案】（1）， （2）9 【解析】 【分析】（1）根据不等式的解集，确定且的两根为和，再结合韦达定理即可求解； （2）先由题中条件，得到，再由展开后利用基本不等式即可求解. 【详解】（1）不等式的解集为，则，且的两根为和， 则，所以； （2）由，可得，即. 又，所以， 当且仅当时，即时等号成立. 18. 已知的展开式中共有7项. （1）求的值； （2）求展开式中二项式系数最大的项； （3）求的展开式中含的项的系数. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据展开式的项数直接可得； （2）利用二项展开式的通项直接求解即可； （3）求得含有项的所有系数计算即可. 【小问1详解】 由，解得； 【小问2详解】 由（1）知展开式的通项为， 所以二项式系数最大的项为； 【小问3详解】 由（2）分析可知令，得，即； 令，可得. 综上：展开式中的系数为 19. 如图，在三棱柱中，平面是等边三角形，，分别在线段上，且. （1）证明：. （2）求的长的最小值. （3）当的长取得最小值时，求二面角的正弦值. 【答案】（1）证明：取分别为线段的中点，连接， 在三棱柱中，平面是等边三角形， 所以， 又且是平面内两条相交直线 所以平面平面， 可知两两互相垂直，则以为原点，以的方向分别为轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系． ，设.可得 因为， 所以 （2）2 （3） 【解析】 【分析】（1）利用空间向量法证明线线垂直； （2）利用两点之间距离和二次函数最值解出答案； （3）利用空间向量法计算面面夹角的正弦值； 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）可知 令，根据二次函数的最小值可知， 当时，取最小值为， 所以的长的最小值为. 【小问3详解】 当的长取得最小值时，即，则 ， 设平面的法向量为，则 ，令，则 设平面的法向量为，则 ，令，则 设二面角的平面角为，所以 ， 所以 二面角的正弦值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $