第20讲 函数的应用-【暑假自学课】2025年新高一数学暑假提升精品讲义（人教A版2019必修第一册）

第20讲 函数的应用 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材 学知识：教材精讲精析、全方位预习 练习题 讲典例：教材习题学解题、快速掌握解题方法 练考点 强知识：6大核心考点精准练 第二步：记 串知识 识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测 稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点1函数的零点 (1)函数零点的定义： 对于函数y＝f(x)，我们把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)的零点． (2)几个等价关系： 方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y＝f(x)有零点． (3)函数零点的判定(零点存在性定理)： 如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)<0，那么函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的根． 知识点2 函数模型 1. 二次函数图象与零点的关系 Δ＝b2－4ac Δ>0 Δ＝0 Δ<0 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象 与x轴的交点 (x1,0)，(x2,0) (x1,0) 无 零点个数 2 1 0 2．几类函数模型 函数模型 函数解析式 一次函数模型 f(x)＝ax＋b(a，b为常数，a≠0) 二次函数模型 f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0) 指数函数模型 f(x)＝bax＋c(a，b，c为常数，b≠0，a>0且a≠1) 对数函数模型 f(x)＝blogax＋c(a，b，c为常数，b≠0，a>0且a≠1) 幂函数模型 f(x)＝axn＋b(a，b为常数，a≠0) “对勾”函数模型 y＝x＋(a>0) 3.三种函数模型的性质 函数 性质 y＝ax(a>1) y＝logax(a>1) y＝xn(n>0) 在(0，＋∞) 上的单调性 单调递增 单调递增 单调递增 增长速度 越来越快 越来越慢 相对平稳 图象的变化 随x的增大，逐渐表现为与y轴平行 随x的增大，逐渐表现为与x轴平行 随n值变化而各有不同 值的比较 存在一个x0，当x>x0时，有logax<xn<ax 知识点3 二分法 1、 二分法的定义：对于区间[a,b]上图象连续不断且f（a）·f（b）＜0的函数f（x）。通过不断把它的零点所在区间一分为二，使所得区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到近似值的方法。 2、 二分法要点辨析： （1） 二分法的求解原理是函数零点存在定理； （2） 函数图象在零点附近连续不断； （3） 用二分法只能求变号零点，即零点在左右两侧的函数值的符号相反，比如 ，该函数有零点0，但不能用二分法求解。 3、 关于精确度 （1）“精确度”与“精确到”不是一回事， 这里的“精确度”是指区间的长度达到某个确定的数值ε，即 ； “精确到”是指某区间数的数位达到某个规定的数位， 如计算1- ，精确到0.01，即0.33。 （2）精确度ε表示当区间的长度小于ε时停止二分，此时除可用区间的端点代替近似值外，还可选用该区间内的任意一个数值作零点近似值。 教材习题01 判断方程在区间内是否有解；如果有，求出一个近似解．（精确度为0.1） 解题方法 设， 利用二分法，列表计算如下： x 1 1.5 1.25 1.375 1.3125 1.34375 0.875 0.0826 由表中数据可得， 因为题中要求精确度为0.1，而左右端点的近似值都为1.3. 所以近似解为1.3. 【答案】1.3 教材习题02 根据图象是连续曲线的函数的性质以及函数增长快慢的差异，判断方程至少有两个实数根．用二分法求方程的一个近似解．（精确度为0.01） 解题方法 指数函数和幂函数的图象是连续曲线， 当时，，当时，，在区间内方程有实数解， 由于当充分大以后，指数函数比幂函数的增长速度快很多，所以对于很大的，总有，于是在区间内方程有实数解， 由二分法得到方程的实数解所在区间如下： 区间左端点 区间右端点 第1次 1 2 第2次 1 1.5 第3次 1.25 1.5 第4次 1.25 1.375 第5次 1.3125 1.375 第6次 1.34375 1.375 第7次 1.359375 1.375 第8次 1.3671875 1.375 至此，可以看出区间的端点不是方程的解，而区间的长度小于0.01，所以可任取其中一个数，如1.37，作为方程的一个近似解. 【答案】判断见解析，近似解为1.37 教材习题03 设，，．令，． (1)请分别化简下列各式：①；②；③； (2)结合（1）中的化简结果，谈谈你对对数函数、幂函数、指数函数变化的感受． 解题方法 （1）①将，代入可得； ②将，代入可得； ③将，代入可得 （2）结合（1）中的化简结果可知， 对数函数、幂函数、指数函数都会随着的增大而增大，但是它们的增长速度不同， 当自变量的增量相同时可知，对数函数的增长速度越来越慢， 幂函数、指数函数的增长速度越来越快，且的增长速度大于. 【答案】见解析 考点一 利用二次函数模型解决实际问题 1．你见过古人眼中的烟花吗？那是朱淑真元宵夜的“火树银花触目红”，是隋炀帝眼中的“灯树千光照，花焰七枝开”.烟花，虽然是没有根的花，是虚幻的花，却在达到最高点时爆裂，用其灿烂的一秒换来人们真心的喝彩.已知某种烟花距地面的高度（单位：米）与时间（单位：秒）之间的关系式为，则烟花在冲击后爆裂的时刻是（    ） A．第4秒 B．第5秒 C．第3.5秒 D．第3秒 【答案】A 【分析】利用配方法，求二次函数最大值及相应值即可. 【详解】由题意，， 则当时，即烟花达到最高点，爆裂的时刻是第秒. 故选：A. 2．某文具店购进一批新型台灯，若按每盏台灯15元的价格销售，每天能卖出30盏；若售价每提高1元，日销售量将减少2盏，现决定提价销售，为了使这批台灯每天获得400元以上(不含400元)的销售收入．则这批台灯的销售单价x(单位：元)的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题可根据题意得出，然后通过计算以及即可得出结果. 【详解】设这批台灯的销售单价为x元，由题意得，， 即，解得，又因为，所以， 这批台灯的销售单价的取值范围是. 故选：C 3．将进货单价40元的商品按50元一个售出，能卖出500个；若此商品每涨价1元，其销售量减少10个.为了赚到最大利润，售价应定为 元. 【答案】 【分析】根据总利润销售量每个利润．设售价为元，总利润为元， 则销售量为，每个利润为，表示总利润，然后根据函数性质求最大值． 【详解】设售价为元，总利润为元， 则， 当时，最大，最大的利润元； 即定价为70元时可获得最大利润，最大的利润是9000元． 故答案为: . 4．某小型服装厂生产一种风衣，日销货量件（单位：件）（∈N*）与货价p（单位：元/件）之间的关系为p＝160－2，生产x件所需成本C＝100＋30（单位：元），当工厂日获利不少于1 000元时，该厂日产量最少生产风衣的件数是 【答案】10 【分析】由题意，设该厂日获利为元，获利=总收入-成本，即，求解二次不等式即可. 【详解】由题意，设该厂日获利为元，则： ， 当工厂日获利不少于1 000元时，即， 即， 解得：. 故该厂日产量最少生产风衣的件数是10. 故答案为：10 5．某公司投资5万元，成功研制出一种市场需求量大的高科技替代产品，并投入资金15万元进行批量生产．已知生产每件产品的成本为4元，在销售过程中发现：当销售单价定为10元时，年销售量为2万件；销售单价每增加1元，年销售量将减少万件．设销售单价为x元．第一年获利y万元．（年获利=年销售额-生产成本-投资） (1)试写出y与x之间的函数关系式； (2)公司计划：在第一年按年获利最大确定的销售单价进行销售，第二年获利不低于万元．请问第二年的销售单价应定在什么范围内？ 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）求出年销量，再列式表示出所求函数关系. （2）求出第一年获利最大值，再列出第二年获利的函数关系，列出不等式并求解即得. 【详解】（1）依题意，年销量为（万件）， 所以. （2）由（1）知，，当时，， 即当销售单价定为17元时，年获利最大，并且第一年年底公司还差万元就可收回全部投资， 因此第二年的销售单价应定元，年获利万元， ，而， 即，整理得，解得， 所以第二年的销售单价的范围是. 考点二 分段函数模型的应用 1．茶叶是中国文化元素的重要象征之一，饮茶习俗在中国源远流长．茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关，已知某种茶叶的茶水温度（单位：℃）和泡茶时间（单位：）满足关系式若喝茶的最佳口感水温大约是，则需要等待的时间为（    ） A．1.5min B．2min C．3min D．4min 【答案】D 【分析】分别令和，求出后检验是否符合范围. 【详解】令，解得；令，解得，不符合题意， 所以需要等待的时间为4min． 故选：D 2．如图，在中，于D，，矩形的顶点E与A点重合，，将矩形沿AB平移，当点E与点B重合时，停止平移，设点E平移的距离为x，矩形与重合部分的面积为y，则y关于x 的函数图象大致为（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】C 【分析】分类讨论重合部分的形状，然后利用面积公式将y关于x 的函数表示出来即可. 【详解】于D，， ,, 且 故当时，重合部分为三角形， 三角形的高， 面积，函数图像为开口向上的二次函数，故排除A选项； 当时，重合部分为直角梯形， 上底长为， 下底长为，高为4， 故， 函数图像为一条直线，故排除D选项； 当时，重合部分可以看作两个直角梯形， 左边直角梯形的上底长为， 高为 两个梯形下底长均为， 右边直角梯形上底长为， 高为， 故， 图像为开口下的二次函数，且对称轴为，故排除B选项； 故选：C 3．已知某个店铺销售的某商品价格为40元/件，购物节期间这家店铺对该商品进行促销，顾客支付款不超过100元的部分按照返现，超过100元的部分按照返现.若促销活动期间在该店铺购买件商品，所需费用（支付款减去返现）为元，则时， . 【答案】 【分析】根据题意分析得时的原价，进而求得促销后的费用的解析式，从而得解. 【详解】因为当时，元， 所以. 故答案为：. 4．某学校研究学习小组在对学生上课注意力集中情况的调查研究中发现，在40分钟的一节课中，注意力指数与听课时间（单位：分）之间的关系满足如图所示的图象，当时，图象是二次函数图象的一部分，其中顶点，图象过点；当时，图象是线段，其中.根据专家研究，当注意力指数大于62时，学习效果最佳.要使得学生学习效果最佳，则教师安排核心内容的时间段为 .（写成区间形式）    【答案】 【分析】分，两种情况求出函数解析式，再结合不等式求解即可. 【详解】当时，设， 将代入得，，解得， 则， 由，解得，即； 当时，设， 将，代入得，则， 由，解得，即. 综上所述，教师在时间段内安排核心内容，能使得学生学习效果最佳. 故答案为：. 5．随着我国经济发展，医疗消费需求增长，人们健康观念转变以及人口老龄化进程加快等影响，医疗器械市场近年来一直保持了持续增长的趋势．某医疗器械公司为了进一步增加市场力，计划改进技术生产某产品．已知生产该产品的年固定成本为300万元，最大产能为100台，每生产台，需另投入成本万元，且，由市场调研知，该产品每台的售价为200万元，且全年内生产的该产品当年能全部销售完． (1)写出年利润万元关于年产量台的函数解析式（利润＝销售收入－成本）； (2)当该产品的年产量为多少时，公司所获利润最大？最大利润是多少？ 【答案】(1)； (2)年产量为60台时，公司所获利润最大，最大利润是1680万元 【分析】（1）分和两种情况，进行求解利润； （2）时，可利用二次函数的特点求最大利润值，时，利用基本不等式求最值，最后要对两个最值比较，得出最大利润． 【详解】（1）当时，； 当时，， ． （2）若，当时，万元； 若， ， 当且仅当时，即时，万元， 由于，故该产品的年产量为60台时，公司所获利润最大， 最大利润是1680万元． 考点三 分式型函数模型的应用 1．单位时间内通过道路上指定断面的车辆数被称为“道路容量”，与道路设施、交通服务、环境、气候等诸多条件相关.假设某条道路一小时通过的车辆数满足关系，其中为安全距离，为车速.当安全距离取时，该道路一小时“道路容量”的最大值约为（    ） A．135 B．149 C．165 D．195 【答案】B 【分析】把给定函数变形，利用基本不等式即可得解. 【详解】由题意得，，当且仅当，即时取“=”， 所以该道路一小时“道路容量”的最大值约为149. 故选：B 2．两地相距520km，货车从A地匀速行驶到B地，全程限速100km/h．已知货车每小时的运输成本（单位：元）由固定成本和可变成本组成：固定成本为400元，可变成本与车速的平方成正比，比例系数为． (1)把货车的全程运输成本（单位：元）表示为车速（km/h）的函数； (2)为使全程运输成本最小，货车应以多大速度行驶？ 【答案】(1)，； (2)答案见解析. 【分析】（1）根据给定条件，求出货车每小时的运输成本及行驶时间即可得函数关系. （2）借助对勾函数单调性探讨最小值，即可得解. 【详解】（1）依题意，货车每小时的运输成本的可变成本为，固定成本为400元，行驶时间小时， 所以，. （2）由（1）知，在上单调递减，在上单调递增， 而，则当，即时，，取得最小值； 当，即时，，取得最小值， 所以当时，货车应以 km/h的速度行驶，全程运输成本最小； 当时，货车应以 km/h的速度行驶，全程运输成本最小. 3．某学习机公司生产学习机的年固定成本为20万元，每生产1万部还需另投入16万元．设该公司一年内共生产该款学习机x万部并全部销售完，每万部的销售收入为万元，且．当该公司一年内共生产该款学习机8万部并全部销售完时，年利润为1196万元；当该公司一年内共生产该款学习机20万部并全部销售完时，年利润为2960万元． (1)求a，b； (2)写出年利润W（万元）关于年产量x（万部）的函数解析式； (3)当年产量为多少万部时，公司在该款学习机的生产中所获得的利润最大？并求出最大利润． 【答案】(1) (2) (3)当年产量为万部时所获得的利润最大，最大利润为万元. 【分析】（1）根据已知条件列出关于的方程组求解出结果； （2）根据利润的计算公式分别考虑当，时的解析式，由此可求解出结果； （3）利用二次函数性质分析时的最大值，利用基本不等式分析时的最大值，由此可确定出结果. 【详解】（1）由题意可知，解得； （2）当时，， 当时，， 综上所述，； （3）当时，， 此时由二次函数单调性可知； 当时，， 当且仅当，即时取等号， 且， 综上所述，当年产量为万部时所获得的利润最大，最大利润为万元. 4．某园林建设公司计划购买一批机器投入施工．据分析，这批机器可获得的利润（单位：万元）与运转时间（单位：年）的函数解析式为（，且）． (1)当这批机器运转第几年时，可获得最大利润？最大利润为多少？ (2)当运转多少年时，这批机器的年平均利润最大？ 【答案】(1)这批机器运转第6年时，可获得最大利润，最大利润为27万元； (2)当运转3年时，这批机器的年平均利润最大 【分析】（1）配方得到最值，得到答案； （2）设出年平均利润为，表达出，利用基本不等式求出最值，得到答案. 【详解】（1）， 因为，且，所以当时，取得最大值， 故这批机器运转第6年时，可获得最大利润，最大利润为27万元； （2）设年平均利润为， 因为，且，则， 当且仅当，即时，等号成立， 故当运转3年时，这批机器的年平均利润最大. 5．天气转冷，宁波某暖手宝厂商为扩大销量，拟进行促销活动.根据前期调研，获得该产品的销售量万件与投入的促销费用万元满足关系式（为常数），而如果不搞促销活动，该产品的销售量为4万件.已知该产品每一万件需要投入成本20万元，厂家将每件产品的销售价格定为元，设该产品的利润为万元.（注：利润销售收入投入成本促销费用） (1)求出的值，并将表示为的函数； (2)促销费用为多少万元时，该产品的利润最大？此时最大利润为多少？ 【答案】(1)， (2)当促销费用为7万元时，该产品的利润最大，最大利润为123万元 【分析】（1）先由已知条件求出待定系数，写出促销费用关系式，计算销售收入、投入成本，再表达利润即可； （2）将函数关系式作配凑变形，利用基本不等式求最值. 【详解】（1）由题知，时，， 于是，，解得. 所以，.根据题意， 即 所以 （2） 当且仅当，即时，等号成立. 所以当促销费用为7万元时，该产品的利润最大，最大利润为123万元. 考点四 函数的零点与方程的解 1．已知函数（e为自然对数的底数），则函数的零点个数为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8. 【答案】B 【分析】设，作出，的图象，利用数形结合可得的解的个数，再结合函数图象即可求解. 【详解】设，由，得， 作出，的图象，如图所示： 由图可知，与有3个交点， 设这3个交点的横坐标从小到大依次为，且， 结合图象可知，有1个解，有3个解，有2个解， 因此有6个解，即函数的零点个数为6. 故选：B. 2．已知函数若关于的方程有4个不相等的实数根，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】并画出图象，设，要使关于的方程恰有4个不相等的实数根，等价为方程有两个不同的根，且，列式求解即可. 【详解】∵， 当时， 在上为减函数， 当时，即在上为增函数，， 当时，在上为增函数， 作出函数的图象如图所示： 设， 当时，方程有1个解， 当时，方程有2个解， 当时，方程有2个解， 当时，方程有3个解， 当时，方程有2个解， 当时，方程有1个解， 当时，方程有0个解， 方程等价为， 要使关于的方程恰有4个不相等的实数根， 等价为方程有两个不同的根，且当时，方程有1个解， 所以时，方程有3个解，所以，即得. 故选：A． 3．已知函数是定义域为的奇函数，且当时，，若有三个零点，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【分析】将问题转化为与有三个交点，由已知画出图象观察即可求解. 【详解】有三个零点，可转化为与有三个交点， 函数是定义域为的奇函数，所以图象关于原点对称， 再由当时，，可画出下图： 由图可知：，即. 故答案为：. 4．已知函数，若函数恰有3个零点，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】分析函数的图象，再将恰有个零点转化为与的图象恰有个交点，进而求解的取值范围. 【详解】当时，， 当时，， 当时，； 当时， ， 直线恒过点，与的图象在不同区间的位置关系情况如图所示： 当直线过时，，； 当直线过时，， . 结合图象，当时，与恰有个交点. 所以实数的取值范围是 . 故答案为：. 5．已知函数（且，）的图象经过点，. (1)求的解析式； (2)若函数有且只有一个零点，求实数m的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）把点带入解析式解方程组即可； （2）先证明函数为偶函数，再将问题转化为函数的值域即可求解. 【详解】（1）把点带入解析式可得：，解得，， 故的解析式为. （2）函数有且只有一个零点方程有且只有一个零点， 因为，且的定义域为，所以为偶函数， 由可得，所以，即. 6．已知函数． (1)若关于x的不等式的解集为，求函数的零点； (2)若，解关于x的不等式． 【答案】(1)和4 (2)答案见解析 【分析】（1）由题意可得和为方程的根，且，进而结合韦达定理求出，再结合函数零点的定义即可求解； （2）由题意可得，进而根据含参一元二次不等式的解法分类讨论求解即可. 【详解】（1）因为关于x的不等式的解集为， 所以和为方程的根，且， 则，解得， 则函数的零点为和4. （2）由，则， 即， 当，即时，解得或； 当，即时，解得或； 当，即时，不等式为，解得. 综上所述，当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为. 考点五 用二分法求方程的近似解 1．用二分法求函数在区间上零点的近似解，经验证有．若给定精确度，取区间的中点，计算得，则此时零点所在的区间为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意可知，对于函数在区间上，有，所以函数在上有零点．取区间的中点．因为计算得，所以函数在上有零点，故． 2．已知函数的一个零点，在用二分法求精确度为的的一个值时，需判断各区间中点的函数值的符号最少（）（   ） A．5次 B．6次 C．7次 D．8次 【答案】C 【详解】判断n次时，区间长度为，由，得，得，即． 3．利用二分法求的近似值为 （精确到0.01）． 【答案】1.44 【详解】设，函数的零点，用二分法可得，即的近似值为1.44． 4．已知函数有零点，但不能用二分法求解，则实数c的值是 ． 【答案】9 【详解】由题意知函数在零点两侧同号，所以，解得． 5．已知函数. (1)求函数的定义域； (2)判断的奇偶性； (3)方程是否有根？如果有根，请求出一个长度为的区间，使；如果没有，请说明理由？（注：区间的长度）. 【答案】(1) (2)奇函数 (3) 【分析】（1）根据对数真数为正数，求得函数的定义域为. （2）利用奇偶性的定义判断出，故函数为奇函数. （3）将原方程等价变形为，构造函数，利用二分法可判断出函数的根在区间. 【详解】（1）要使函数有意义，则，解得， 故函数的定义域为． （2）由（1）知函数的定义域为，关于原点对称， 又， 所以为奇函数． （3）由题意知方程等价于， 可化为，. 设，. 则，， 函数图象连续不断，所以，故方程在上必有实根． 又，所以， 故方程在上必有实根．又区间长度， 所以满足题意的一个区间为. 考点六 函数模型的应用 1．某工厂产生的废气经过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量（单位：）与时间（单位：h）间的关系为，其中是正的常数，如果在前2h滤去了的污染物，那么再经4h后，废气中的污染物含量为过滤前的（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】代入给定的公式结合指数对数运算即可得，再代入求解. 【详解】由题知， 当时，解得， 当时，，解得：， 所以， 当时， 则有：， 所以废气中的污染物含量为过滤前的. 故选：B. 2．某市持续扩大绿色生态空间，打造宜居城市，该市人均公园绿地面积从2020年的增长到2023年的.设年期间该市人均公园绿地面积的年平均增长率为.则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据年平均增长率的意义列方程即可. 【详解】根据题意列方程：. 故选：C 3．随着新能源技术的发展，新能源汽车行业也迎来了巨大的商机．某新能源汽车加工厂生产某款新能源汽车每年需要固定投人100万元，此外每生产辆该汽车另需增加投资万元，当该款汽车年产量低于400辆时，，当年产量不低于400辆时，，若该款汽车售价为每辆15万元，且生产的汽车均能售完，则该工厂生产并销售这款新能源汽车的最高年利润为 万元． 【答案】 【分析】设该工厂生产并销售这款新能源汽车的年利润为，得出函数的解析式，结合二次函数的性质，以及基本不等式，求得函数的最大值，即可求解． 【详解】设该工厂生产并销售这款新能源汽车的年利润为（万元）， 由题意可得， 即， 当时，函数的对称轴为，则； 当时，， 当且仅当时，取得最大值， 综上可得，该工厂生产并销售这款新能源汽车的最高年利润为万元． 故答案为：． 4．10辆货车从站匀速驶往相距的站，其速度都是．为安全起见，要求每辆车速度不得超过，每辆货车间隔为（为常数，货车长度忽略不计）．将第一辆货车由站出发到最后一辆货车到达站所需时间表示为的函数．若，则当 时，有最小值，为 ． 【答案】 【详解】由题意，可得．又， 所以由“对勾函数”的性质知当时，取得最小值，． 5．小明和爸爸从家步行去公园，爸爸先出发一直匀速前行，小明后出发匀速前行，且途中休息一段时间后继续以原速前行．家到公园的距离为，如图是小明和爸爸所走的路程与步行时间的函数图象． (1)写出段图象所对应的函数解析式（不用写出t的取值范围）． (2)小明出发多长时间与爸爸第三次相遇？ (3)在速度都不变的情况下，小明希望比爸爸早18分钟到达公园，则小明在步行过程中停留的时间需减少多少分钟？ 【答案】(1) (2) (3)． 【详解】解：（1）设直线所对应的函数表达式为，将代入得解得 所以直线所对应的函数解析式为． （2）设小明的爸爸所走路程s与时间t的函数关系式为，将代入得解得 即小明的爸爸所走路程s与时间t的函数关系式是， 解方程组得即小明出发时与爸爸第三次相遇． （3）当时，由，得． 因为，所以小明希望比爸爸早到达公园，则小明在步行过程中停留的时间需要减少． 知识导图记忆 知识目标复核 1．零点存在性定理 2．函数零点与方程的根和图象的关系 3．二分法 一、单选题 1．函数的零点所在区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】判断零点所在的区间、对数函数单调性的应用、根据解析式直接判断函数的单调性 【分析】由零点存在定理结合函数单调性即可判断. 【详解】因为函数定义域为与均在上单调递增， 所以在上单调递增且连续， 又，即， 所以由零点存在定理可得的零点所在区间为. 故选：B. 2．函数的所有零点之和为（    ） A．8 B．7 C．5 D．4 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】求函数的零点、求零点的和 【分析】根据给定条件，求出函数的零点即可. 【详解】当时，，解得；当时，，解得， 所以函数的零点和为7. 故选：B 3．某种药物在人体内的浓度（单位：）随时间（小时）的衰减规律为：，其中为初始浓度．若该药物的有效治疗浓度需维持在以上，则药效大约可持续多少小时？（已知）（ ） A．12 B．24 C．28 D．36 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】指数函数模型的应用（2）、指数式与对数式的互化、对数的运算 【分析】由题意建立关系式，根据指数式与对数式的互化求解即可. 【详解】由题意令，即，则， 化为对数式可得，所以. 故选：C. 4．一种细胞的分裂速度v（单位：个/秒）与其年龄t（单位：岁）的关系可以用下面的分段函数来表示：其中.而且这种细胞从诞生到死亡，它的分裂速度变化是连续的.若这种细胞5岁和60岁的分裂速度相等，则（    ） （参考数据：） A．6.402 B．6.463 C．6.502 D．6.522 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】对数的运算性质的应用、利用给定函数模型解决实际问题 【详解】由题意知细胞5岁和60岁的分裂速度相等，即，所以，整理得.又分裂速度变化是连续的，所以，整理得，所以，得，解得. 5．某种热饮需用开水冲泡，其基本操作流程如下：①先将水加热到，水温与时间近似满足一次函数关系；②用开水将热饮冲泡后在室温下放置，温度与时间近似满足的函数关系式为（a，b为常数）.通常这种热饮在时，口感最佳.某天室温为时，冲泡热饮的部分数据如图所示，那么按上述流程冲泡一杯热饮，并在口感最佳时饮用，最少需要的时间为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】指数函数模型的应用（2） 【详解】由题意知当时，图象是直线；当时，图象的解析式为，图象过和，则解得即.当时，得，解得，故最少需要的时间为. 6．设函数的零点都在区间内，则的最小值为（    ） A．8 B．6 C．4 D．2 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】对数型复合函数的单调性、判断零点所在的区间、函数奇偶性的定义与判断 【分析】探讨给定函数的奇偶性及单调性，确定零点所在区间即可得解. 【详解】函数的定义域为， ，即函数为偶函数， 当时，在上单调递增，， 则存在，使得，因此函数在的唯一零点， 则，由偶函数的性质得，于是， 所以的最小值为4. 故选：C 7．已知函数在区间内恰有一个变号零点（即零点附近左右函数值的符号不同），则实数的值可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】零点存在性定理的应用、根据零点所在的区间求参数范围 【分析】根据二次函数的图象特点，结合零点存在性定理，列式求解. 【详解】，， 由条件可知，，解得：， 所以选项中满足条件的只有. 故选：B 8．已知函数的零点分别是，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】零点存在性定理的应用、比较零点的大小关系、比较指数幂的大小、比较对数式的大小 【分析】由得，分别计算，由零点存在性定理得的范围，从而比较的大小关系. 【详解】令得，因为，所以即， ，因为，所以，所以， 在R上单调递减，由零点存在性定理得， ，因为，所以，所以， 函数在上单调递减，由零点存在性定理得， 所以， 故选：A. 9．记函数.已知函数，，，若有且只有个零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.4 【知识点】根据函数零点的个数求参数范围、根据指对幂函数零点的分布求参数范围 【分析】化简函数的解析式为，令，由可得出，则直线与函数的图象有三个交点，数形结合可得出关于实数的不等式组，由此可解得实数的取值范围. 【详解】令，其中， 因为函数、在上均为增函数，故函数在上为增函数， 因为，故当时，，此时； 当时，，此时， 所以. 当时，令，可得； 当时，令，可得. 令，则直线与函数的图象有三个交点，如下图所示： 由图可知，要使得直线与函数的图象有三个交点， 只需，解得，因此，实数的取值范围是. 故选：D. 二、多选题 10．设，则（   ） A．当时， B．当时，有3个零点 C．有实数解 D．当时，有个零点 【答案】ACD 【难度】0.65 【知识点】求分段函数解析式或求函数的值、求函数零点或方程根的个数 【分析】直接赋值可得到选项A；数形结合，做出的图像可得到选项B；把原复合方程的解的问题转化为的解的问题可得到选项C；时，的零点问题等价于区间有几个整数问题，进而得到选项D. 【详解】对于A：当时，,，故A选项正确； 对于B：当作出的图像，由图像知只有2个零点，故B选项错误； 对于C：易知满足的解一定是的解， 而当时，，而方程一定有负根，故C选项正确； 对于D：令，当时，有2个零点； 当时， 在且)的图像向右平移一个单位，再向下平移一个单位， 即可得到在的图像，的零点问题等价于区间有几个整数问题， 零点有个； 一共有零点个，故D选项正确. 故选：ACD 11．设函数的定义域为，满足．当]时，，则下列结论正确的是（   ） A． B．在上为减函数 C．为奇函数 D．方程有且仅有6个实数解 【答案】ACD 【难度】0.65 【知识点】函数周期性的应用、求函数零点或方程根的个数、函数奇偶性的应用、函数对称性的应用 【分析】由题意可得函数的对称性，从而可得其周期性，易知AC的正误，由二次函数的性质，可得B的正误，由零点的等价关系，作函数图象，可得D的正误. 【详解】由，则函数为奇函数， 即函数的图象关于点成中心对称，可得； 由，则函数为偶函数， 即函数的图象关于直线成轴对称，可得； 两式相加可得，则，即， 对于A，，故A正确； 对于B，由，则函数在区间与上图象相同， 由函数的图象关于点成中心对称，则函数在区间与上的单调性相同，， 当时，，易知函数在上单调递增，则函数在上单调递增， 所以函数在上单调递增，则函数在上单调递增，故B错误； 对于C，由，则函数为奇函数，故C正确； 对于D，由题意作图如下： 则函数与有且仅有个交点，所以有且仅有6个实数，故D正确. 故选：ACD. 12．已知函数的定义域为，且为奇函数，为偶函数，当时，.则下列结论正确的是（    ） A． B．在区间上单调递增 C．的图象关于直线对称 D．函数有5个零点 【答案】AD 【难度】0.4 【知识点】函数奇偶性的应用、函数周期性的应用、函数对称性的应用、求函数零点或方程根的个数 【分析】由题意得到函数的周期，利用周期及函数在上的解析式可求出判断A；利用函数的奇偶性可推出函数在上的单调性，再利用周期性可得在上的单调性判断B；根据的对称性与周期性直接判断C；利用图象判断与函数的交点个数即为的零点个数判断D. 【详解】因为为奇函数，所以， 所以函数图象关于点成中心对称，且①， 因为为偶函数，故②，且函数图象关于直线轴对称， 由①②可得，，则，所以的一个周期为4. 在①中令有， 因为时，，所以，，故， 所以，，故A正确； 由②可得，，则，即函数是定义在上的偶函数， 因时，，则是上的增函数，所以是上的减函数， 因为8是的周期，所以是上的减函数，故B错误； 因为函数图象关于轴轴对称，且关于点成中心对称，周期为4， 所以函数图象关于直线轴对称，且关于点成中心对称，故C错误； 函数的零点个数可以转化为与图象的交点个数，由题意得与的图象如图： 当时，， 当时，，当时，， 结合图象可知，函数在上存在1个零点， 当时，， 当时，， 由此可得与的图象有5个交点，所以有5个零点，故D正确. 故选：AD. 三、填空题 13．已知，若，使得成立，则实数的取值范围为 . 【答案】 【难度】0.65 【知识点】利用函数单调性求最值或值域、函数与方程的综合应用、根据集合的包含关系求参数 【分析】根据对勾函数以及指数函数的单调性，可求得函数所在区间上的值域，由题意可得值域之间的包含关系，建立不等式组，可得答案. 【详解】由函数在上单调递减，则函数在上单调递减，即， 由函数在上单调递增，则函数在上单调递增，即， 由题意可得，则，解得. 故答案为：. 14．函数在区间内恰有一个零点，则实数a的取值范围为 . 【答案】 【难度】0.65 【知识点】根据函数零点的个数求参数范围、根据零点所在的区间求参数范围、根据二次函数零点的分布求参数的范围 【分析】分类讨论和两种情况，再利用判别式和零点存在性定理列不等式求解即可. 【详解】由题意有：当时，，令得满足题意， 当时，解得，当 时，令得满足题意， 当时，得，只需即可，则，解得， 当时，解得，所以，令得，满足题意， 当时，解得，所以，令解得，满足题意， 综上所述有：. 故答案为：. 15．已知函数，则 ；若方程在区间有三个不等实根，则实数的取值范围为 ． 【答案】 81 【难度】0.65 【知识点】对数的运算、根据函数零点的个数求参数范围、分段函数的性质及应用 【分析】（1）利用分段函数解析式求出，再根据对数、指数的运算法则计算可得； （2）画出函数的图象，利用函数的零点的个数推出实数的取值范围. 【详解】由，则， 所以. 作出函数在区间上的图象，如图所示： 设，由图象可知要使方程在区间上有3个不等实根， 则直线应位于与之间或直线的位置， 所以实数的取值范围为或，所以或. 故答案为：81；. 16．已知函数若有4个不等实数根，，，，且，则的取值范围是 . 【答案】 【难度】0.4 【知识点】利用函数单调性求最值或值域、函数图象的应用、根据函数零点的个数求参数范围 【分析】根据二次函数的对称性可得，根据对数的运算性质可得，且，设，利用函数的单调性，可求的范围，进而可得问题答案. 【详解】由图可知： 有4个不等实数根，则， 则， 又，， 则，则， 所以，则， 因为，函数在上单调递增， 所以， 所以. 故答案为：. 17．设，已知函数，，若方程有两个实数解，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【难度】0.4 【知识点】根据函数零点的个数求参数范围 【分析】将方程转化为关于的二次方程，通过计算判别式确定其有两个实数解的条件. 【详解】将代入，分讨论： 当时，，方程化为： 整理得： 判别式. 有两个根则解得： 当时，，方程化为： 整理得： 判别式. 有两个根则解得： 故答案为：. 四、解答题 18．定义在R上的奇函数有最小正周期为4，且满足，当时，. (1)求在上的解析式； (2)若方程在上有解，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】由奇偶性求函数解析式、根据函数零点的个数求参数范围、函数周期性的应用 【分析】（1）根据奇函数性质得时，，，再结合函数周期性即可求解； （2）画出函数和直线在上的图象，要保证两函数图象有交点即可求得对应的的值. 【详解】（1）当时，，则， 因为为奇函数，则； 因为为R上的奇函数，则， 由己知得， 则， 又因为函数有最小正周期4 所以； （2）设，，且， 则， 因，则，， 则，即，则在上单调递增， 则； 利用奇函数性质可得，在上也单调递增，且， 画出图象如图所示， 由图象可知， 或或时，与的图象有交点， 即方程在上有解，故. 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第20讲 函数的应用 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材 学知识：教材精讲精析、全方位预习 练习题 讲典例：教材习题学解题、快速掌握解题方法 练考点 强知识：6大核心考点精准练 第二步：记 串知识 识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测 稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点1函数的零点 (1)函数零点的定义： 对于函数y＝f(x)，我们把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)的零点． (2)几个等价关系： 方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y＝f(x)有零点． (3)函数零点的判定(零点存在性定理)： 如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)<0，那么函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的根． 知识点2 函数模型 1. 二次函数图象与零点的关系 Δ＝b2－4ac Δ>0 Δ＝0 Δ<0 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象 与x轴的交点 (x1,0)，(x2,0) (x1,0) 无 零点个数 2 1 0 2．几类函数模型 函数模型 函数解析式 一次函数模型 f(x)＝ax＋b(a，b为常数，a≠0) 二次函数模型 f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0) 指数函数模型 f(x)＝bax＋c(a，b，c为常数，b≠0，a>0且a≠1) 对数函数模型 f(x)＝blogax＋c(a，b，c为常数，b≠0，a>0且a≠1) 幂函数模型 f(x)＝axn＋b(a，b为常数，a≠0) “对勾”函数模型 y＝x＋(a>0) 3.三种函数模型的性质 函数 性质 y＝ax(a>1) y＝logax(a>1) y＝xn(n>0) 在(0，＋∞) 上的单调性 单调递增 单调递增 单调递增 增长速度 越来越快 越来越慢 相对平稳 图象的变化 随x的增大，逐渐表现为与y轴平行 随x的增大，逐渐表现为与x轴平行 随n值变化而各有不同 值的比较 存在一个x0，当x>x0时，有logax<xn<ax 知识点3 二分法 1、 二分法的定义：对于区间[a,b]上图象连续不断且f（a）·f（b）＜0的函数f（x）。通过不断把它的零点所在区间一分为二，使所得区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到近似值的方法。 2、 二分法要点辨析： （1） 二分法的求解原理是函数零点存在定理； （2） 函数图象在零点附近连续不断； （3） 用二分法只能求变号零点，即零点在左右两侧的函数值的符号相反，比如 ，该函数有零点0，但不能用二分法求解。 3、 关于精确度 （1）“精确度”与“精确到”不是一回事， 这里的“精确度”是指区间的长度达到某个确定的数值ε，即 ； “精确到”是指某区间数的数位达到某个规定的数位， 如计算1- ，精确到0.01，即0.33。 （2）精确度ε表示当区间的长度小于ε时停止二分，此时除可用区间的端点代替近似值外，还可选用该区间内的任意一个数值作零点近似值。 教材习题01 判断方程在区间内是否有解；如果有，求出一个近似解．（精确度为0.1） 解题方法 设， 利用二分法，列表计算如下： x 1 1.5 1.25 1.375 1.3125 1.34375 0.875 0.0826 由表中数据可得， 因为题中要求精确度为0.1，而左右端点的近似值都为1.3. 所以近似解为1.3. 【答案】1.3 教材习题02 根据图象是连续曲线的函数的性质以及函数增长快慢的差异，判断方程至少有两个实数根．用二分法求方程的一个近似解．（精确度为0.01） 解题方法 指数函数和幂函数的图象是连续曲线， 当时，，当时，，在区间内方程有实数解， 由于当充分大以后，指数函数比幂函数的增长速度快很多，所以对于很大的，总有，于是在区间内方程有实数解， 由二分法得到方程的实数解所在区间如下： 区间左端点 区间右端点 第1次 1 2 第2次 1 1.5 第3次 1.25 1.5 第4次 1.25 1.375 第5次 1.3125 1.375 第6次 1.34375 1.375 第7次 1.359375 1.375 第8次 1.3671875 1.375 至此，可以看出区间的端点不是方程的解，而区间的长度小于0.01，所以可任取其中一个数，如1.37，作为方程的一个近似解. 【答案】判断见解析，近似解为1.37 教材习题03 设，，．令，． (1)请分别化简下列各式：①；②；③； (2)结合（1）中的化简结果，谈谈你对对数函数、幂函数、指数函数变化的感受． 解题方法 （1）①将，代入可得； ②将，代入可得； ③将，代入可得 （2）结合（1）中的化简结果可知， 对数函数、幂函数、指数函数都会随着的增大而增大，但是它们的增长速度不同， 当自变量的增量相同时可知，对数函数的增长速度越来越慢， 幂函数、指数函数的增长速度越来越快，且的增长速度大于. 【答案】见解析 考点一 利用二次函数模型解决实际问题 1．你见过古人眼中的烟花吗？那是朱淑真元宵夜的“火树银花触目红”，是隋炀帝眼中的“灯树千光照，花焰七枝开”.烟花，虽然是没有根的花，是虚幻的花，却在达到最高点时爆裂，用其灿烂的一秒换来人们真心的喝彩.已知某种烟花距地面的高度（单位：米）与时间（单位：秒）之间的关系式为，则烟花在冲击后爆裂的时刻是（    ） A．第4秒 B．第5秒 C．第3.5秒 D．第3秒 2．某文具店购进一批新型台灯，若按每盏台灯15元的价格销售，每天能卖出30盏；若售价每提高1元，日销售量将减少2盏，现决定提价销售，为了使这批台灯每天获得400元以上(不含400元)的销售收入．则这批台灯的销售单价x(单位：元)的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．将进货单价40元的商品按50元一个售出，能卖出500个；若此商品每涨价1元，其销售量减少10个.为了赚到最大利润，售价应定为 元. 4．某小型服装厂生产一种风衣，日销货量件（单位：件）（∈N*）与货价p（单位：元/件）之间的关系为p＝160－2，生产x件所需成本C＝100＋30（单位：元），当工厂日获利不少于1 000元时，该厂日产量最少生产风衣的件数是 5．某公司投资5万元，成功研制出一种市场需求量大的高科技替代产品，并投入资金15万元进行批量生产．已知生产每件产品的成本为4元，在销售过程中发现：当销售单价定为10元时，年销售量为2万件；销售单价每增加1元，年销售量将减少万件．设销售单价为x元．第一年获利y万元．（年获利=年销售额-生产成本-投资） (1)试写出y与x之间的函数关系式； (2)公司计划：在第一年按年获利最大确定的销售单价进行销售，第二年获利不低于万元．请问第二年的销售单价应定在什么范围内？ 考点二 分段函数模型的应用 1．茶叶是中国文化元素的重要象征之一，饮茶习俗在中国源远流长．茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关，已知某种茶叶的茶水温度（单位：℃）和泡茶时间（单位：）满足关系式若喝茶的最佳口感水温大约是，则需要等待的时间为（    ） A．1.5min B．2min C．3min D．4min 2．如图，在中，于D，，矩形的顶点E与A点重合，，将矩形沿AB平移，当点E与点B重合时，停止平移，设点E平移的距离为x，矩形与重合部分的面积为y，则y关于x 的函数图象大致为（    ） A．   B．   C．   D．   3．已知某个店铺销售的某商品价格为40元/件，购物节期间这家店铺对该商品进行促销，顾客支付款不超过100元的部分按照返现，超过100元的部分按照返现.若促销活动期间在该店铺购买件商品，所需费用（支付款减去返现）为元，则时， . 4．某学校研究学习小组在对学生上课注意力集中情况的调查研究中发现，在40分钟的一节课中，注意力指数与听课时间（单位：分）之间的关系满足如图所示的图象，当时，图象是二次函数图象的一部分，其中顶点，图象过点；当时，图象是线段，其中.根据专家研究，当注意力指数大于62时，学习效果最佳.要使得学生学习效果最佳，则教师安排核心内容的时间段为 .（写成区间形式）    5．随着我国经济发展，医疗消费需求增长，人们健康观念转变以及人口老龄化进程加快等影响，医疗器械市场近年来一直保持了持续增长的趋势．某医疗器械公司为了进一步增加市场力，计划改进技术生产某产品．已知生产该产品的年固定成本为300万元，最大产能为100台，每生产台，需另投入成本万元，且，由市场调研知，该产品每台的售价为200万元，且全年内生产的该产品当年能全部销售完． (1)写出年利润万元关于年产量台的函数解析式（利润＝销售收入－成本）； (2)当该产品的年产量为多少时，公司所获利润最大？最大利润是多少？ 考点三 分式型函数模型的应用 1．单位时间内通过道路上指定断面的车辆数被称为“道路容量”，与道路设施、交通服务、环境、气候等诸多条件相关.假设某条道路一小时通过的车辆数满足关系，其中为安全距离，为车速.当安全距离取时，该道路一小时“道路容量”的最大值约为（    ） A．135 B．149 C．165 D．195 2．两地相距520km，货车从A地匀速行驶到B地，全程限速100km/h．已知货车每小时的运输成本（单位：元）由固定成本和可变成本组成：固定成本为400元，可变成本与车速的平方成正比，比例系数为． (1)把货车的全程运输成本（单位：元）表示为车速（km/h）的函数； (2)为使全程运输成本最小，货车应以多大速度行驶？ 3．某学习机公司生产学习机的年固定成本为20万元，每生产1万部还需另投入16万元．设该公司一年内共生产该款学习机x万部并全部销售完，每万部的销售收入为万元，且．当该公司一年内共生产该款学习机8万部并全部销售完时，年利润为1196万元；当该公司一年内共生产该款学习机20万部并全部销售完时，年利润为2960万元． (1)求a，b； (2)写出年利润W（万元）关于年产量x（万部）的函数解析式； (3)当年产量为多少万部时，公司在该款学习机的生产中所获得的利润最大？并求出最大利润． 4．某园林建设公司计划购买一批机器投入施工．据分析，这批机器可获得的利润（单位：万元）与运转时间（单位：年）的函数解析式为（，且）． (1)当这批机器运转第几年时，可获得最大利润？最大利润为多少？ (2)当运转多少年时，这批机器的年平均利润最大？ 5．天气转冷，宁波某暖手宝厂商为扩大销量，拟进行促销活动.根据前期调研，获得该产品的销售量万件与投入的促销费用万元满足关系式（为常数），而如果不搞促销活动，该产品的销售量为4万件.已知该产品每一万件需要投入成本20万元，厂家将每件产品的销售价格定为元，设该产品的利润为万元.（注：利润销售收入投入成本促销费用） (1)求出的值，并将表示为的函数； (2)促销费用为多少万元时，该产品的利润最大？此时最大利润为多少？ 考点四 函数的零点与方程的解 1．已知函数（e为自然对数的底数），则函数的零点个数为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8. 2．已知函数若关于的方程有4个不相等的实数根，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3．已知函数是定义域为的奇函数，且当时，，若有三个零点，则实数的取值范围为 ． 4．已知函数，若函数恰有3个零点，则实数的取值范围是 ． 5．已知函数（且，）的图象经过点，. (1)求的解析式； (2)若函数有且只有一个零点，求实数m的值. 6．已知函数． (1)若关于x的不等式的解集为，求函数的零点； (2)若，解关于x的不等式． 考点五 用二分法求方程的近似解 1．用二分法求函数在区间上零点的近似解，经验证有．若给定精确度，取区间的中点，计算得，则此时零点所在的区间为（   ） A． B． C． D． 2．已知函数的一个零点，在用二分法求精确度为的的一个值时，需判断各区间中点的函数值的符号最少（）（   ） A．5次 B．6次 C．7次 D．8次 3．利用二分法求的近似值为 （精确到0.01）． 4．已知函数有零点，但不能用二分法求解，则实数c的值是 ． 5．已知函数. (1)求函数的定义域； (2)判断的奇偶性； (3)方程是否有根？如果有根，请求出一个长度为的区间，使；如果没有，请说明理由？（注：区间的长度）. 考点六 函数模型的应用 1．某工厂产生的废气经过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量（单位：）与时间（单位：h）间的关系为，其中是正的常数，如果在前2h滤去了的污染物，那么再经4h后，废气中的污染物含量为过滤前的（    ） A． B． C． D． 2．某市持续扩大绿色生态空间，打造宜居城市，该市人均公园绿地面积从2020年的增长到2023年的.设年期间该市人均公园绿地面积的年平均增长率为.则（   ） A． B． C． D． 3．随着新能源技术的发展，新能源汽车行业也迎来了巨大的商机．某新能源汽车加工厂生产某款新能源汽车每年需要固定投人100万元，此外每生产辆该汽车另需增加投资万元，当该款汽车年产量低于400辆时，，当年产量不低于400辆时，，若该款汽车售价为每辆15万元，且生产的汽车均能售完，则该工厂生产并销售这款新能源汽车的最高年利润为 万元． 4．10辆货车从站匀速驶往相距的站，其速度都是．为安全起见，要求每辆车速度不得超过，每辆货车间隔为（为常数，货车长度忽略不计）．将第一辆货车由站出发到最后一辆货车到达站所需时间表示为的函数．若，则当 时，有最小值，为 ． 5．小明和爸爸从家步行去公园，爸爸先出发一直匀速前行，小明后出发匀速前行，且途中休息一段时间后继续以原速前行．家到公园的距离为，如图是小明和爸爸所走的路程与步行时间的函数图象． (1)写出段图象所对应的函数解析式（不用写出t的取值范围）． (2)小明出发多长时间与爸爸第三次相遇？ (3)在速度都不变的情况下，小明希望比爸爸早18分钟到达公园，则小明在步行过程中停留的时间需减少多少分钟？ 知识导图记忆 知识目标复核 1．零点存在性定理 2．函数零点与方程的根和图象的关系 3．二分法 一、单选题 1．函数的零点所在区间为（    ） A． B． C． D． 2．函数的所有零点之和为（    ） A．8 B．7 C．5 D．4 3．某种药物在人体内的浓度（单位：）随时间（小时）的衰减规律为：，其中为初始浓度．若该药物的有效治疗浓度需维持在以上，则药效大约可持续多少小时？（已知）（ ） A．12 B．24 C．28 D．36 4．一种细胞的分裂速度v（单位：个/秒）与其年龄t（单位：岁）的关系可以用下面的分段函数来表示：其中.而且这种细胞从诞生到死亡，它的分裂速度变化是连续的.若这种细胞5岁和60岁的分裂速度相等，则（    ） （参考数据：） A．6.402 B．6.463 C．6.502 D．6.522 5．某种热饮需用开水冲泡，其基本操作流程如下：①先将水加热到，水温与时间近似满足一次函数关系；②用开水将热饮冲泡后在室温下放置，温度与时间近似满足的函数关系式为（a，b为常数）.通常这种热饮在时，口感最佳.某天室温为时，冲泡热饮的部分数据如图所示，那么按上述流程冲泡一杯热饮，并在口感最佳时饮用，最少需要的时间为（    ） A． B． C． D． 6．设函数的零点都在区间内，则的最小值为（    ） A．8 B．6 C．4 D．2 7．已知函数在区间内恰有一个变号零点（即零点附近左右函数值的符号不同），则实数的值可以是（    ） A． B． C． D． 8．已知函数的零点分别是，则（    ） A． B． C． D． 9．记函数.已知函数，，，若有且只有个零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 10．设，则（   ） A．当时， B．当时，有3个零点 C．有实数解 D．当时，有个零点 11．设函数的定义域为，满足．当]时，，则下列结论正确的是（   ） A． B．在上为减函数 C．为奇函数 D．方程有且仅有6个实数解 12．已知函数的定义域为，且为奇函数，为偶函数，当时，.则下列结论正确的是（    ） A． B．在区间上单调递增 C．的图象关于直线对称 D．函数有5个零点 三、填空题 13．已知，若，使得成立，则实数的取值范围为 . 14．函数在区间内恰有一个零点，则实数a的取值范围为 . 15．已知函数，则 ；若方程在区间有三个不等实根，则实数的取值范围为 ． 16．已知函数若有4个不等实数根，，，，且，则的取值范围是 . 17．设，已知函数，，若方程有两个实数解，则实数的取值范围为 ． 四、解答题 18．定义在R上的奇函数有最小正周期为4，且满足，当时，. (1)求在上的解析式； (2)若方程在上有解，求实数的取值范围. 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $$