第14讲 指数（七大题型+思维导图+知识梳理+课后作业）-【暑假预科讲义】2025年新高一数学初升高暑假精品课（人教A版2019必修第一册）

第14讲 指数 【人教A版2019】 模块一 根式与分数指数幂 1．根式 (1)n次方根的定义与性质 定义 一般地，如果xn=a，那么x叫做a的n次方根，其中n>1，且n∈N* 性质 (1)当n为奇数时，正数的n次方根是一个正数，负数的n次方根是一个负数，这时，a的n次方根用符号表示； (2)当n为偶数时，正数a的n次方根有两个，这两个数互为相反数，记为； (3)负数没有偶次方根； (4)0的任何次方根都是0，记作 (2)根式的定义与性质 定义 式子叫做根式，n叫做根指数，a叫做被开方数 性质 ， 2．分数指数幂 整数指数幂 指数 幂中 的指 数从 整数 拓展 到了 有理 数 分数指数幂 正整数指数幂： 正数的正分数指数幂： 负整数指数幂： 正数的负分数指数幂： 规定：0的0次方没有意义；非零整数的0次方都等于1 规定：0的正分数指数幂等于0；0的负分数指数幂没有意义 【注】：分数指数幂是指数概念的又一推广，分数指数幂是根式的一种新的写法，不可理解为个a相乘.在这样的规定下，根式与分数指数幂是表示相同意义的量，只是形式不同而已. 【题型1 根式与分数指数幂的互化】 【例1】（24-25高一上·山东枣庄·期中）下列根式与分数指数幂的互化，正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式1.1】（24-25高一上·广东中山·阶段练习）将化成分数指数幂的形式是（   ） A． B． C． D． 【变式1.2】（24-25高一上·河北·阶段练习）设，则的分数指数幂形式为（   ） A． B． C． D． 【变式1.3】（24-25高一上·全国·假期作业）下列根式与分数指数幂的互化错误的是（   ） A． B． C． D． 【题型2 根式的化简求值】 【例2】（24-25高一上·河北石家庄·阶段练习）化简： （   ） A．1 B． C． D． 【变式2.1】（24-25高一上·江苏徐州·期中）已知，则（   ） A． B．1 C． D． 【变式2.2】（24-25高一上·江西赣州·期中）若，则（   ） A． B． C． D． 【变式2.3】（24-25高一上·江苏扬州·期中）若，则的化简结果是（   ） A．1 B． C． D． 模块二 指数幂的运算 1．有理数指数幂的运算 (1)规定了分数指数幂的意义以后，指数的概念就从整数指数推广到了有理数指数.整数指数幂的运算性质对于有理数指数幂也同样适用，即对于任意有理数r，s，均有下面的运算性质： ①(a>0,r,s∈Q)； ②(a>0,r,s∈Q)； ③(ab)r=arbr(a>0,b>0,r∈Q). (2)指数幂的几个常用结论： ①当a>0时，>0； ②当a≠0时，=1，而当a=0时，无意义； ③若(a>0,且a≠1)，则r=s； ④乘法公式仍适用于分数指数幂. 2．无理数指数幂及实数指数幂 (1)无理数指数幂 一般地，无理数指数幂aα(a>0,α是无理数)是一个确定的实数.这样，我们就将指数幂ax(a>0)中指数x 的取值范围从整数逐步拓展到了实数. (2)实数指数幂的运算性质： 整数指数幂的运算性质也适用于实数指数幂，区别只有指数的取值范围不同. 整数指数幂 的运算性质 底数、指数 的取值范围 实数指数幂 的运算性质 底数、指数 的取值范围 m,n∈Z,a∈R r,s∈R,且a>0 m,n∈Z,a∈R r,s∈R,且a>0 n∈Z,a∈R,b∈R r∈R,且a>0,b>0 3．指数幂运算的一般原则 (1)指数幂的运算首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂，以便利用法则计算，还应注意：①必须同底数幂相乘，指数才能相加.②运算的先后顺序. (2)当底数是负数时，先确定符号，再把底数化为正数. (3)运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数. 【题型3 指数幂的运算】 【例3】（24-25高一上·全国·随堂练习）下列运算结果中，正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式3.1】（24-25高一上·河南·阶段练习）（    ） A． B． C． D． 【变式3.2】（24-25高一上·河北邢台·阶段练习）（    ） A． B． C． D． 【变式3.3】（24-25高一上·上海浦东新·期中）下面四个等式运算中，正确的是（   ） A． B． C． D． 【题型4 指数幂的化简、求值】 【例4】（24-25高一上·全国·课后作业）计算的结果为（    ） A． B． C． D． 【变式4.1】（24-25高一上·江苏宿迁·开学考试）下列各式中，计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式4.2】（24-25高一上·四川德阳·阶段练习）（    ） A．110 B．109 C．108 D．100 【变式4.3】（24-25高一上·全国·课后作业）若，则（    ） A． B． C． D． 【题型5 指数式的给条件求值问题】 【例5】（24-25高一上·吉林长春·期中）已知，，则（   ） A． B． C． D． 【变式5.1】（24-25高一上·江苏南京·期中）已知，则（    ） A． B． C． D． 【变式5.2】（24-25高一上·全国·课后作业）（1）已知，求的值； （2）已知，求的值． 【变式5.3】（24-25高一上·江苏南通·阶段练习）已知，求下列各式的值： (1)； (2). 【题型6 指数幂等式及幂的方程问题】 【例6】（24-25高一上·全国·课后作业）方程的解是（    ） A． B． C． D． 【变式6.1】（2025高一·全国·专题练习）方程的解集是（　　） A． B． C． D． 【变式6.2】（24-25高一上·北京顺义·期中）关于的方程的解为 ． 【变式6.3】（2025高三·全国·专题练习）方程的解为 ． 【题型7 指数幂等式的证明】 【例7】（2025高一·全国·专题练习）已知且，，求证：． 【变式7.1】（2025高三·全国·专题练习）设都是正数，且，求证：． 【变式7.2】（24-25高一·全国·课后作业）设，且x，y，a均为正数，求证：. 【变式7.3】（24-25高一·全国·课后作业）若a，b为不等于1的正数，并且实数x，y，z满足关系式．求证： (1)若，则； (2)若，则． 一、单选题 1．（24-25高一上·贵州毕节·期中）设，则的分数指数幂形式为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·江西赣州·开学考试）下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一上·湖北武汉·阶段练习）（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高一上·江苏宿迁·阶段练习）下列等式成立的是（   ） A． B． C． D． 5．（24-25高一上·河南·阶段练习）（    ） A． B． C． D． 6．（24-25高一上·上海·期中）设，下列计算中正确的是（    ） A． B． C． D． 7．（24-25高一上·重庆渝北·阶段练习）已知正数，满足，则的最小值为（    ） A．10 B．12 C．18 D．24 8．（24-25高一上·全国·课后作业）已知，则（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（24-25高一上·黑龙江哈尔滨·期中）下列各式错误的是（    ） A． B． C．（） D． 10．（24-25高一上·河北衡水·阶段练习）下列根式与分数指数幂的互化正确的是（   ） A． B． C． D． 11．（24-25高一上·河南漯河·阶段练习）已知，下列各式中正确的是（    ） A． B． C． D． 三、填空题 12．（24-25高一上·广西南宁·阶段练习）若，， 则 . 13．（24-25高一上·陕西咸阳·阶段练习）的值为 . 14．（24-25高一上·江苏苏州·阶段练习）若，则 ． 四、解答题 15．（24-25高一上·海南·期中）计算： (1) (2) 16．（24-25高一上·全国·课后作业）将下列根式化成分数指数幂的形式： (1)； (2)； (3)； (4). 17．（24-25高一上·广东江门·期中）计算下列各式的值. (1)； (2)已知，求的值. 18．（24-25高一上·江苏徐州·阶段练习）已知，求： (1) (2). 19．（24-25高一上·河北张家口·阶段练习）回答下面两个题： (1)化简：； (2)若，求下列各式的值： ①；② 第 1 页 共 23 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第14讲 指数 【人教A版2019】 模块一 根式与分数指数幂 1．根式 (1)n次方根的定义与性质 定义 一般地，如果xn=a，那么x叫做a的n次方根，其中n>1，且n∈N* 性质 (1)当n为奇数时，正数的n次方根是一个正数，负数的n次方根是一个负数，这时，a的n次方根用符号表示； (2)当n为偶数时，正数a的n次方根有两个，这两个数互为相反数，记为； (3)负数没有偶次方根； (4)0的任何次方根都是0，记作 (2)根式的定义与性质 定义 式子叫做根式，n叫做根指数，a叫做被开方数 性质 ， 2．分数指数幂 整数指数幂 指数 幂中 的指 数从 整数 拓展 到了 有理 数 分数指数幂 正整数指数幂： 正数的正分数指数幂： 负整数指数幂： 正数的负分数指数幂： 规定：0的0次方没有意义；非零整数的0次方都等于1 规定：0的正分数指数幂等于0；0的负分数指数幂没有意义 【注】：分数指数幂是指数概念的又一推广，分数指数幂是根式的一种新的写法，不可理解为个a相乘.在这样的规定下，根式与分数指数幂是表示相同意义的量，只是形式不同而已. 【题型1 根式与分数指数幂的互化】 【例1】（24-25高一上·山东枣庄·期中）下列根式与分数指数幂的互化，正确的是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】利用根式和分数指数幂的转化关系，判断选项. 【解答过程】A.，故A错误；B.，故B错误； C.，故C错误；D. ，故D正确. 故选：D. 【变式1.1】（24-25高一上·广东中山·阶段练习）将化成分数指数幂的形式是（   ） A． B． C． D． 【解题思路】由根式与分数指数幂的转换公式即可求解. 【解答过程】. 故选：A. 【变式1.2】（24-25高一上·河北·阶段练习）设，则的分数指数幂形式为（   ） A． B． C． D． 【解题思路】根据根式和指数幂的转化即可得到答案. 【解答过程】. 故选：D. 【变式1.3】（24-25高一上·全国·假期作业）下列根式与分数指数幂的互化错误的是（   ） A． B． C． D． 【解题思路】利用分数指数幂的运算法则求解. 【解答过程】对于A选项，，故A正确； 对于B选项，，故B错误； 对于C，，故C正确； 对于D，，故D正确． 故选：B． 【题型2 根式的化简求值】 【例2】（24-25高一上·河北石家庄·阶段练习）化简： （   ） A．1 B． C． D． 【解题思路】根据根式的定义求值． 【解答过程】. 故选：A. 【变式2.1】（24-25高一上·江苏徐州·期中）已知，则（   ） A． B．1 C． D． 【解题思路】根据根式的性质化简求值即可. 【解答过程】因为，所以. 故选：B. 【变式2.2】（24-25高一上·江西赣州·期中）若，则（   ） A． B． C． D． 【解题思路】先判断的正负，然后利用根式运算化简原式即可求得结果. 【解答过程】因为，所以， 所以， 故选：C. 【变式2.3】（24-25高一上·江苏扬州·期中）若，则的化简结果是（   ） A．1 B． C． D． 【解题思路】根据题意结合根式的性质运算求解即可. 【解答过程】由，得， 所以. 故选：C. 模块二 指数幂的运算 1．有理数指数幂的运算 (1)规定了分数指数幂的意义以后，指数的概念就从整数指数推广到了有理数指数.整数指数幂的运算性质对于有理数指数幂也同样适用，即对于任意有理数r，s，均有下面的运算性质： ①(a>0,r,s∈Q)； ②(a>0,r,s∈Q)； ③(ab)r=arbr(a>0,b>0,r∈Q). (2)指数幂的几个常用结论： ①当a>0时，>0； ②当a≠0时，=1，而当a=0时，无意义； ③若(a>0,且a≠1)，则r=s； ④乘法公式仍适用于分数指数幂. 2．无理数指数幂及实数指数幂 (1)无理数指数幂 一般地，无理数指数幂aα(a>0,α是无理数)是一个确定的实数.这样，我们就将指数幂ax(a>0)中指数x 的取值范围从整数逐步拓展到了实数. (2)实数指数幂的运算性质： 整数指数幂的运算性质也适用于实数指数幂，区别只有指数的取值范围不同. 整数指数幂 的运算性质 底数、指数 的取值范围 实数指数幂 的运算性质 底数、指数 的取值范围 m,n∈Z,a∈R r,s∈R,且a>0 m,n∈Z,a∈R r,s∈R,且a>0 n∈Z,a∈R,b∈R r∈R,且a>0,b>0 3．指数幂运算的一般原则 (1)指数幂的运算首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂，以便利用法则计算，还应注意：①必须同底数幂相乘，指数才能相加.②运算的先后顺序. (2)当底数是负数时，先确定符号，再把底数化为正数. (3)运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数. 【题型3 指数幂的运算】 【例3】（24-25高一上·全国·随堂练习）下列运算结果中，正确的是（   ） A． B． C． D． 【解题思路】根据指数的运算性质即可逐一判断. 【解答过程】对于A, ，故A正确， 对于B，，故B错误， 对于C，当时，才有，故C错误， 对于D，，故D错误， 故选：A. 【变式3.1】（24-25高一上·河南·阶段练习）（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据根式的性质及幂的运算法则计算可得. 【解答过程】 ， 故选：C. 【变式3.2】（24-25高一上·河北邢台·阶段练习）（    ） A． B． C． D． 【解题思路】利用指数幂的运算性质求解. 【解答过程】原式. 故选：A. 【变式3.3】（24-25高一上·上海浦东新·期中）下面四个等式运算中，正确的是（   ） A． B． C． D． 【解题思路】根据指数运算法则，对每个选项进行计算并判断其正确性. 【解答过程】对于A选项，根据负指数幂的定义，（）. 得到，而不是，所以A选项错误. 对于B选项，根据分数指数幂的定义，， 则，而不是，所以B选项错误. 对于C选项，，所以C选项错误. 对于D选项，对于. 又因为表示的立方根，即，所以D选项正确. 故选：D. 【题型4 指数幂的化简、求值】 【例4】（24-25高一上·全国·课后作业）计算的结果为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据指数幂运算求解即可. 【解答过程】原式． 故选：D. 【变式4.1】（24-25高一上·江苏宿迁·开学考试）下列各式中，计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据同底数幂的乘法，合并同类项，积的乘方，同底数幂的除法运算法则依次进行运算即可求解． 【解答过程】对于A，，故A错误； 对于B，，故B错误； 对于C，，故C错误； 对于D，，故D正确； 故选：D． 【变式4.2】（24-25高一上·四川德阳·阶段练习）（    ） A．110 B．109 C．108 D．100 【解题思路】根据根式与分数指数幂的互化结合指数幂运算性质求解即可. 【解答过程】由题意可得：原式. 故选：A. 【变式4.3】（24-25高一上·全国·课后作业）若，则（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据分数指数幂的运算性质求解即可. 【解答过程】． 故选：D. 【题型5 指数式的给条件求值问题】 【例5】（24-25高一上·吉林长春·期中）已知，，则（   ） A． B． C． D． 【解题思路】求出，根据的正负求出. 【解答过程】根据题意，得， 因为，所以． 故选：D. 【变式5.1】（24-25高一上·江苏南京·期中）已知，则（    ） A． B． C． D． 【解题思路】利用完全平方公式，平方差公式结合指数运算可得. 【解答过程】由得，即， 故， 故 故. 故选：C. 【变式5.2】（24-25高一上·全国·课后作业）（1）已知，求的值； （2）已知，求的值． 【解题思路】（1）由得，进而根据分数指数幂的运算性质求解即可； （2）根据分数指数幂的运算性质求解即可. 【解答过程】（1）由，得， 则． （2）因为，则， 则． 【变式5.3】（24-25高一上·江苏南通·阶段练习）已知，求下列各式的值： (1)； (2). 【解题思路】（1）将原式平方后可得，再配方后可得，故可求原式的值； （2）结合（1）中的结果配方可得，故可求原式的值. 【解答过程】（1）因为，故， 故，而，故， 故. （2）由（1）可得，故， 故，故. 【题型6 指数幂等式及幂的方程问题】 【例6】（24-25高一上·全国·课后作业）方程的解是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】先将方程化为同底数幂的形式后，再求解即可. 【解答过程】由，得， 所以，， 解得. 故选：B. 【变式6.1】（2025高一·全国·专题练习）方程的解集是（　　） A． B． C． D． 【解题思路】根据题意，先把转化为，且，然后再化简求值即可． 【解答过程】原方程可化为：，即，解得：． 故选：B． 【变式6.2】（24-25高一上·北京顺义·期中）关于的方程的解为 ． 【解题思路】由可得出，结合可求得的值. 【解答过程】由可得，即， 因为，可得，故. 所以，方程关于的方程的解为. 故答案为：. 【变式6.3】（2025高三·全国·专题练习）方程的解为 ． 【解题思路】根据指数幂运算求解即可． 【解答过程】，， 则，解得． 故答案为：． 【题型7 指数幂等式的证明】 【例7】（2025高一·全国·专题练习）已知且，，求证：． 【解题思路】根据题意，由，得到，即可得到证明. 【解答过程】证明：∵且，， ∴，∴， ∴．∴． 【变式7.1】（2025高三·全国·专题练习）设都是正数，且，求证：． 【解题思路】令，得到，，．由建立等量关系便得证. 【解答过程】 令，则，，． 很显然有，∴． 【变式7.2】（24-25高一·全国·课后作业）设，且x，y，a均为正数，求证：. 【解题思路】根据根式和分数指数幂的运算法则进行化简，即可得到结论. 【解答过程】 ，设， 则，即， 故成立. 【变式7.3】（24-25高一·全国·课后作业）若a，b为不等于1的正数，并且实数x，y，z满足关系式．求证： (1)若，则； (2)若，则． 【解题思路】（1）依题意可得，代入，根据指数幂的运算法则计算可得； （2）依题意可得，由可得，，再代入根据指数幂的运算法则计算可得． 【解答过程】（1）证明：由得 将①代入②，得，∴，∴，∴，∴． （2）证明：由，得， ∵，∴，． 由，得，即， ∴．两边同乘以，得． 一、单选题 1．（24-25高一上·贵州毕节·期中）设，则的分数指数幂形式为（   ） A． B． C． D． 【解题思路】根据根式、指数的运算求得正确答案. 【解答过程】． 故选：A． 2．（24-25高一上·江西赣州·开学考试）下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据题意，由指数幂的运算，代入计算，逐一判断，即可得到结果. 【解答过程】对于A，，故A错误； 对于B，，故B错误； 对于C，，故C正确； 对于D，，故D错误； 故选：C. 3．（24-25高一上·湖北武汉·阶段练习）（   ） A． B． C． D． 【解题思路】由根式和指数的运算法则计算即可. 【解答过程】. 故选：C. 4．（24-25高一上·江苏宿迁·阶段练习）下列等式成立的是（   ） A． B． C． D． 【解题思路】根据根式与指数幂的运算及特殊值法验证即可得答案. 【解答过程】对于A，，故A错误； 对于B，，故B错误； 对于C，当时，，故C错误； 对于D，，故D正确. 故选：D. 5．（24-25高一上·河南·阶段练习）（    ） A． B． C． D． 【解题思路】由根式和指数的运算法则计算即可. 【解答过程】原式． 故选：C． 6．（24-25高一上·上海·期中）设，下列计算中正确的是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】利用指数幂的运算法则，对各个选项逐一计算判断即可得解. 【解答过程】对于选项A，，故选项A错误， 对于选项B，，故选项B正确， 对于选项C，，故选项C错误， 对于选项D，，故选项D错误， 故选：B. 7．（24-25高一上·重庆渝北·阶段练习）已知正数，满足，则的最小值为（    ） A．10 B．12 C．18 D．24 【解题思路】结合指数幂的运算性质化简得 ，再结合基本不等式“1” 的妙用即可求解. 【解答过程】由题意，，∴， ， 当且仅当，即时，等号成立. 故选：D. 8．（24-25高一上·全国·课后作业）已知，则（    ） A． B． C． D． 【解题思路】由分数指数幂、根式先化简，再比较大小即可. 【解答过程】 ， 根据实数的大小关系可得，即． 故选：C. 二、多选题 9．（24-25高一上·黑龙江哈尔滨·期中）下列各式错误的是（    ） A． B． C．（） D． 【解题思路】A选项，举出反例；BCD选项，根据指数幂的运算法则和根式的运算法则得到答案. 【解答过程】对于A，当时，，故A错误； 对于B，时显然等式不成立，故B错误； 对于C，，故C错误； 对于D，，故D正确. 故选：ABC. 10．（24-25高一上·河北衡水·阶段练习）下列根式与分数指数幂的互化正确的是（   ） A． B． C． D． 【解题思路】根据根式与分数指数幂的互化及指数幂的运算法则逐项判断. 【解答过程】对于A，，，故A错误； 对于B，，故B错误； 对于C，，故C正确； 对于D，，故D正确. 故选：CD. 11．（24-25高一上·河南漯河·阶段练习）已知，下列各式中正确的是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】利用完全平方，立方和展开式，指数运算计算得出结果. 【解答过程】A：，故A正确； B：，故B正确； C：，故C正确； D： ，故D正确； 故选：ABCD. 三、填空题 12．（24-25高一上·广西南宁·阶段练习）若，， 则 15 . 【解题思路】根据指数幂的运算法则求解． 【解答过程】若，，则． 故答案为：15． 13．（24-25高一上·陕西咸阳·阶段练习）的值为 . 【解题思路】根据指数幂运算求解即可. 【解答过程】原式. 故答案为：. 14．（24-25高一上·江苏苏州·阶段练习）若，则 ． 【解题思路】利用幂指数运算，及平方运算和开方运算，即可求出结果. 【解答过程】因为，所以，即， 两边平方得：，即， 而，所以， 则， 故答案为：. 四、解答题 15．（24-25高一上·海南·期中）计算： (1) (2) 【解题思路】（1）根据幂的运算法则计算； （2）把根式化为分数指数幂，再由幂的运算法则求解． 【解答过程】（1） ． （2）原式． 16．（24-25高一上·全国·课后作业）将下列根式化成分数指数幂的形式： (1)； (2)； (3)； (4). 【解题思路】（1）（2）（3）（4）将根式化为分数指数幂，结合指数幂运算求解即可. 【解答过程】（1）原式. （2）原式. （3）原式. （4）原式. 17．（24-25高一上·广东江门·期中）计算下列各式的值. (1)； (2)已知，求的值. 【解题思路】（1）根据分数指数幂和根式运算法则得到答案； （2）两边平方求出，两边平方求出，从而得到的值. 【解答过程】（1）原式. （2）因为， 所以， ， 所以. 18．（24-25高一上·江苏徐州·阶段练习）已知，求： (1) (2). 【解题思路】（1）根据平方关系可得，由负数指数幂的性质可得，即可代入求解， （2）根据和可得的值，即可分情况代入求解. 【解答过程】（1）由平方可得， 由于，故， ， 因此 （2）， 由和可得或， 当时，则， 当时，则. 19．（24-25高一上·河北张家口·阶段练习）回答下面两个题： (1)化简：； (2)若，求下列各式的值： ①；② 【解题思路】（1）根据分数指数幂的运算公式，即可求解； （2）利用平方关系，根据分数指数幂的运算公式，即可求解. 【解答过程】（1）. （2）①，所以； ②，且， 所以. 第 1 页 共 23 页 学科网（北京）股份有限公司 $$