精品解析：四川省资阳市鸿鹄高级中学2024-2025学年高一下学期期中考试数学试卷（AB层）

鸿鹄高中2024-2025学年度期中考试卷 高一数学AB层 考试时间：120分钟 总分：150分 命题人：郭红军 审题人：贺昶 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第一部分（选择题 共58分） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知角的终边经过点，则（ ） A. B. C. D. 2. 下列说法中，正确的个数是（ ） ①时间、摩擦力、重力都是向量；②向量的模是一个正实数；③相等向量一定是平行向量；④向量与不共线，则与都是非零向量（ ） A. B. C. D. 3. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知是两个不共线的向量,，若与是共线向量，则实数的值为（ ） A. B. 6 C. D. 5. 已知为锐角，若则（ ） A. B. C. D. 6. 已知向量，且，则（ ） A. 5 B. C. D. 15 7. 已知，则（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在中，点是的中点，过点的直线分别交直线，于不同的两点，若，，，则的最小值（ ） A. 2 B. 8 C. 9 D. 18 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，多选或错选得0分. 9. 设函数，则（ ） A. 的最大值为1 B. 关于点对称 C. 在区间上单调递增 D. 为偶函数 10. 已知向量，其中均为正数，且，下列说法正确的是（ ） A. B. 写的夹角为钝角 C. D. 向量在方向上的投影为 11. 在中，角的对边分别为，，，且，则（ ） A. B. C. D. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，则__________． 13. 已知向量，满足，则在上的投影向量的坐标为______． 14. 若函数在上只有一个零点，则的取值范围为__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知与的夹角. （1）求； （2）若，求的值. 16. 已知函数的部分图象如图所示. （1）求函数的解析式. （2）将图象上各点纵坐标保持不变，横坐标伸长为原来的倍，再将所得图象上各点向右平移个单位长度，得到的图象，求图像的对称中心及单调增区间. 17. 如图，在平行四边形中，，令． （1）用表示； （2）若，且，求． 18. 已知向量，.若. （1）求函数的单调递增区间； （2）在中，角，，的对边分别为，，，若，，，为的角平分线，为中点，求的长. 19. 在锐角中，角，，的对边分别为，，，已知． （1）求； （2）若的面积为，求，； （3）若，求周长的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 鸿鹄高中2024-2025学年度期中考试卷 高一数学AB层 考试时间：120分钟 总分：150分 命题人：郭红军 审题人：贺昶 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第一部分（选择题 共58分） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知角的终边经过点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由已知结合三角函数的定义即可求解． 【详解】因为角的终边经过点， 则. 故选：D. 2. 下列说法中，正确的个数是（ ） ①时间、摩擦力、重力都是向量；②向量的模是一个正实数；③相等向量一定是平行向量；④向量与不共线，则与都是非零向量（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据向量的相关概念，逐项判定，即可得出结果. 【详解】①时间没有方向，不是向量，摩擦力，重力都是向量，故①错误； ②零向量的模为零，故②错； ③相等向量的方向相同，模相等，所以一定是平行向量，故③正确； ④零向量与任意向量都共线，因此若向量与不共线，则与都是非零向量，即④正确. 故选：B. 【点睛】本题主要考查向量有关命题的判定，熟记向量的相关概念即可，属于基础题型. 3. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由诱导公式和平方关系计算． 【详解】由，，则， 故选：A. 【点睛】本题考查三角函数的平方关系，考查诱导公式．掌握诱导公式是解题关键． 4. 已知是两个不共线的向量,，若与是共线向量，则实数的值为（ ） A. B. 6 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，得到，列出方程组，即可求解. 【详解】由向量，可得， 可得，解得. 故选：A. 5. 已知为锐角，若则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由诱导公式化简可得，由同角三角函数的平方关系求出，再由两角差的余弦公式求解即可. 【详解】因为因为为锐角，所以， 所以. 故选：A. 6. 已知向量，且，则（ ） A. 5 B. C. D. 15 【答案】C 【解析】 【分析】先根据向量垂直、平行关系求解出，然后根据数量积运算即可求解出结果. 【详解】因为，所以，，所以， 所以， 所以， 故选：C. 7. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件，求出，再利用二倍角的余弦公式计算即得. 【详解】由两边平方得：，而，，则， 因此， 所以. 故选：D 8. 如图，在中，点是的中点，过点的直线分别交直线，于不同的两点，若，，，则的最小值（ ） A. 2 B. 8 C. 9 D. 18 【答案】C 【解析】 【分析】由向量加法及数乘的几何意义得，再由向量共线的结论有，最后应用“1”的代换及基本不等式求最小值. 【详解】由题意，，又共线，则， 且，所以， 当且仅当时取等号，即的最小值为9. 故选：C 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，多选或错选得0分. 9. 设函数，则（ ） A. 的最大值为1 B. 关于点对称 C. 在区间上单调递增 D. 为偶函数 【答案】AD 【解析】 【分析】由两角和的余弦公式及辅助角公式得到，进而逐项判断即可. 【详解】因为， 所以函数的最大值为1．所以选项A正确； 由，得，即的对称中心是，． 所以选项B错误； 由，得， 即函数的单调递增区间为，． 所以选项C错误； ．所以选项D正确． 故选：AD． 10. 已知向量，其中均为正数，且，下列说法正确的是（ ） A. B. 写的夹角为钝角 C. D. 向量在方向上的投影为 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用坐标计算向量的数量积可判定AB；利用向量平行的坐标表示可以判定C；利用投影的公式计算可以判定D. 【详解】选项A：计算，因此选项A正确； 选项B：由A中的计算结果可知的数量积为正值，且显然不共线，说明两向量夹角为锐角，而非钝角，故B错误； 选项C： 与  平行，存在比例系数  使得： ，因此C正确； 选项D：向量  在  方向上的投影为：，故D正确. 故选：ACD. 11. 在中，角的对边分别为，，，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】由已知和余弦定理可求得，进而求得，即可判断A，B；利用三角形面积公式可求得，判断C；由已知和可得，再由可求得，判断D. 【详解】在中，因为，即， 由余弦定理， 又，所以，，故A错误，B正确； 因为，则，所以，故C正确； 因为， ，， 则， 所以， 因为，所以，故D正确. 故答案为：BCD. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，则__________． 【答案】 【解析】 【详解】 点睛：本题主要考查同角三角函数的基本关系式的应用，属基础题 13. 已知向量，满足，则在上的投影向量的坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题可先根据向量垂直的性质求出的值，再根据投影向量的计算公式求出在上的投影向量的坐标. 【详解】已知，则. 因为，根据向量垂直的性质可知，即. 将代入上式可得，即，解得.  根据投影向量的计算公式，向量在向量上的投影向量为. 将，，代入可得： .  故答案为：. 14. 若函数在上只有一个零点，则的取值范围为__________. 【答案】 【解析】 【分析】化简函数解析式，根据零点定义求函数的零点，结合条件列不等式求的取值范围. 【详解】由可得， ， 所以， 令，可得， 所以，， 所以，， 所以函数的零点为，， 令，又，所以， 将函数的正零点按从小到大的顺序排列可得 ，，，， 因为函数在上只有一个零点，， 所以，， 所以. 所以的取值范围为. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知与的夹角. （1）求； （2）若，求的值. 【答案】（1） （2）. 【解析】 【分析】（1）利用数量积来求和向量的模即可； （2）利用数量积为0来求参数值. 【小问1详解】 ， . 【小问2详解】 由，得0， 解得. 16. 已知函数的部分图象如图所示. （1）求函数的解析式. （2）将图象上各点纵坐标保持不变，横坐标伸长为原来的倍，再将所得图象上各点向右平移个单位长度，得到的图象，求图像的对称中心及单调增区间. 【答案】（1） （2）， 【解析】 【分析】（1）根据给定的函数图象，结合五点法作图求出函数解析式； （2）利用图象变换求出，再利用余弦函数的图象性质求出对称中心及单调递增区间. 【小问1详解】 由图形可知，，得 过点，，即， ， 函数的解析式 【小问2详解】 将图象上各点纵坐标保持不变，横坐标伸长为原来的倍， 得到的图象，再将所得图象上各点向右平移个单位长度， 得到的图象， 即， 由，得 所以的对称中心为， 令，得， 所以的单调递增区间为. 17. 如图，在平行四边形中，，令． （1）用表示； （2）若，且，求． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）根据平面向量线性运算法则及平面几何的性质计算可得； （2）由数量积的运算律及向量的模求出、，最后由夹角公式计算可得. 【小问1详解】 因为，，且是平行四边形， 所以， 所以， 所以， 【小问2详解】 由（1）知，， 又， 所以，，， 即，， 解得，， 所以. 18. 已知向量，.若. （1）求函数的单调递增区间； （2）在中，角，，的对边分别为，，，若，，，为的角平分线，为中点，求的长. 【答案】（1）单调递增区间；（2）. 【解析】 【分析】（1）根据向量的数量积公式,以及三角函数的辅助角公式求出, 然后根据正弦函数的性质求出单调递增区间即可. （2）根据,可得,结合条件,通过余弦定理即可求出. 【详解】解析：（1） 函数的单调递增区间 （2） ,,所以 在中： 在中：. 【点睛】三角函数单调区间的确定，一般先将函数式化为基本三角函数标准式，然后通过同解变形或利用数形结合方法求解．对于函数，由 求其增区间；由求其减区间． 19. 在锐角中，角，，的对边分别为，，，已知． （1）求； （2）若的面积为，求，； （3）若，求周长的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用正（余）弦定理将边化角，再由两角和的正弦公式计算可得； （2）利用面积公式及余弦定理得到方程组，解得即可； （3）利用正弦定理将、转化为的三角函数，结合正切函数的性质计算可得 【小问1详解】 因为， 由余弦定理，可得， 由正弦定理可得 ， ． ，，即， ，， ，则，． ． 【小问2详解】 的面积为，， 由余弦定理得，即， ，即， ． 【小问3详解】 法一：由正弦定理 ， ， 所以， 由于为锐角三角形，则，则，所以， 又， ，， 的周长的取值范围为． 法二：， 由于为锐角三角形，所以，则， ，． 由余弦定理得， 所以的周长 记，则在上单调递增， 的周长的取值范围为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $