精品解析：2025年广西初中学业水平模拟卷（一）数学试卷

2025年广西初中学业水平考试模拟卷（一） 数学 （全卷满分：120分，考试时间：120分钟） 一、选择题（共12小题，每小题3分，共36分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的） 1. 2025的相反数是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了求一个数的相反数，熟悉掌握只有符号不同的两个数互为相反数是解题的关键． 根据相反数的定义判断即可． 【详解】解：的相反数为， 故选：A． 2. 甲骨文是我国的一种古代文字，是汉字的早期形式，下列甲骨文中，不是轴对称的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】A．是轴对称图形，故本选项错误； B．是轴对称图形，故本选项错误； C．是轴对称图形，故本选项错误； D．不是轴对称图形，故本选项正确． 故选D． 3. 2024年6月25日嫦娥六号顺利返回地球，带回大约2kg的月背样本，实现世界首次月背采样返回，这标志着我国对月球背面的研究又进入了一个新的高度．已知月球到地球的平均距离约为384000千米，数据384000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了科学记数法，将数据表示成形式为的形式，其中，n为整数，正确确定a、n的值是解题的关键． 将写成其中，n为整数的形式即可． 【详解】解：． 故选C． 4. 如图是某用户手机钱包账单，则表示（ ） A. 发出10.00元红包 B. 收入10.00元 C. 余额10.00元 D. 抢到10.00元红包 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查正数和负数，理解具有相反意义的量是解题的关键．用正负数表示两种具有相反意义的量，据此即可求得答案． 【详解】解：表示发出10.00元红包， 故选：A． 5. 古诗句“小荷才露尖尖角，早有蜻蜓立上头”中“早有蜻蜓立上头”描述的事件是（ ） A. 随机事件 B. 确定性事件 C. 必然事件 D. 不可能事件 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查事件的分类，熟知必然事件、不可能事件、随机事件的概念：必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．据此判断即可． 【详解】解：古诗句“小荷才露尖尖角，早有蜻蜓立上头”中“早有蜻蜓立上头”描述的事件是随机事件， 故选：A． 6. 已知点，点在一次函数的图象上，则下列式子正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用一次函数的性质解答即可． 本题主要考查一次函数的性质，掌握一次函数的增减性是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴函数y的值随x的增大而减小， ∵， ∴， 故选：A． 7. 如图所示，在矩形 中，，观察图中尺规作图的痕迹，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据矩形的性质证明，根据作图痕迹可得是的平分线，进而利用角平分线的性质即可解决问题． 本题考查了作图-基本作图、矩形的性质，解决本题的关键是掌握基本作图方法． 【详解】解：∵四边形 是矩形， ∴， ， ∴， 由作图痕迹可知：是的平分线， ∴． 故选：A． 8. 下列说法，正确的是（ ） A. 一个游戏的中奖率是，做100次这样的游戏一定会中奖 B. 若甲组数据的方差，乙组数据的方差，则乙组数据比甲组数据稳定 C. 为了解某品牌灯管的使用寿命，可以采用普查的方式 D. 掷一枚质地均匀的硬币2次，必有1次正面朝上 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了概率的意义、方差、全面调查与抽样调查、随机事件的定义等知识点，理解相关知识是解题的关键． 根据概率的意义、方差、全面调查与抽样调查、随机事件的定义逐项判断即可． 【详解】解：A、一个游戏的中奖率是，做100次这样的游戏不一定会中奖，故本选项错误； B、若甲组数据的方差，乙组数据的方差，则乙组数据比甲组数据稳定，则本选项正确； C、为了解某品牌灯管的使用寿命，可以采用抽样调查的方式，故本选项错误； D、掷一枚质地均匀的硬币2次，必有1次正面朝上是随机事件，故本选项错误． 故选B． 9. 将图1所示的七巧板，拼成图2所示的四边形 ，连接 ，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质，正方形的性质，勾股定理，三角函数，解题的关键是掌握以上知识点．如图1，设等腰直角的直角边为a，利用图形的位置关系求出大正方形的边长和大等腰直角三角形的直角边长，进而根据正切的定义即可求解． 【详解】解：如图1，设等腰直角的直角边为a，则，小正方形的边长为a， ∴， ∴， ∴， ∴， 如图2，作的延长线于点H，则，， 由图（1）可得，，， ∴，， ∴， ∴． 故选：D． 10. 公司研发的两个 模型和共同处理一批数据．已知单独处理数据的时间比少2小时．若两模型合作处理，仅需小时即可完成．设单独处理需要 小时，则下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 根据工作效率和合作时间列方程． 【详解】解：设单独处理需x小时，则单独处理需小时， ∵总工作量为1， ∴的工作效率为，的工作效率为， 合作工作效率为， 合作时间小时完成， ∴， 即， 故选：D． 11. 如图，在 中，，直尺的一边与重合，另一边分别交， 于点D，E．点B、C，D，E处的读数分别为15，12，0，1，若直尺宽，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是相似三角形的应用，证明，根据相似三角形的性质列出比例式，把已知数据代入计算即可， 掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 【详解】解：由题意可知，，， ∵， ∴， ∴，即， 解得：， 故选：C． 12. 我们研究过的图形中，圆的任何一对平行切线的距离总是相等的，所以圆是“等宽曲线”．除了圆以外，还有一些几何图形也是“等宽曲线”，如勒洛三角形（如图1），它是分别以等边三角形的每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间画一段圆弧，三段圆弧围成的曲边三角形．图2是等宽的勒洛三角形和圆形滚木的截面图．有如下四个结论： ①勒洛三角形是中心对称图形； ②在图1中，等边三角形的边长为2，则勒洛三角形的周长为； ③在图2中，勒洛三角形的周长与圆的周长相等； ④使用截面是勒洛三角形的滚木来搬运东西，不会发生上下抖动； 上述结论中，所有正确结论的序号是（ ） A. ①② B. ②③ C. ③④ D. ②③④ 【答案】D 【解析】 【分析】根据中心对称图形的概念、弧长公式、圆的周长公式、等边三角形的性质以及圆的性质，进行判断即可． 【详解】解：①勒洛三角形不是中心对称图形，故①错误，不符合题意； ②在图1中，等边三角形的边长为2，则勒洛三角形的周长为，故②正确，符合题意； ③在图2中，设勒洛三角形中等边三角形的边长为 ，则圆的直径为 ， 所以勒洛三角形的周长为，圆的周长为， 故在图2中，勒洛三角形的周长与圆的周长相等，故③正确，符合题意； ④夹在平行线之间的勒洛三角形无论怎么滚动，平行线间的距离始终不变， 如在图1中，点 到上任意一点的距离都相等，故使用截面是勒洛三角形的滚木来搬运东西，不会发生上下抖动，故④正确，符合题意； 故上述结论中，所有正确结论的序号是：②③④； 故选：D． 【点睛】此题是新定义题，主要考查了平行线间的距离、等边三角形与圆的性质、中心对称、弧长公式等知识，正确理解新定义和熟练掌握相关概念与性质是解答此题的关键． 二、填空题（共4小题，每小题3分，共12分） 13. 若式子在实数范围内有意义，则 的取值范围是____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件、一元一次不等式的应用，熟练掌握二次根式的被开方数的非负性是解题关键．根据二次根式的被开方数的非负性建立不等式，解不等式即可得． 【详解】解：∵式子在实数范围内有意义， ∴， 解得， 故答案为：． 14. 方程=1的解是_____． 【答案】x=3 【解析】 【详解】去分母得：x﹣1=2， 解得：x=3， 经检验x=3是分式方程的解， 故答案为：3. 【点睛】本题主要考查解分式方程，解分式方程的思路是将分式方程化为整式方程，然后求解．去分母后解出的结果须代入最简公分母进行检验，结果为零，则原方程无解；结果不为零，则为原方程的解． 15. 如图，用一条宽度相等的足够长的纸条打一个结（如图1），然后轻轻拉紧、压平就可以得到如图2所示的正五边形.在图2中，的度数为__________． 【答案】 【解析】 【分析】先求出正五边形各个内角的度数，然后在等腰 中计算角度，即可得到的度数． 【详解】解：由n边形内角和公式 可得五边形的内角和为540°， ∴， ∴在等腰 中，， ∴， 故答案为． 【点睛】此题考查的是多边形的内角和及等腰三角形角度的计算，掌握计算公式是解题的关键． 16. 反比例函数的图象如图所示，若点在该图象上，则的最小值是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查反比例函数的图像和性质，不等式的性质，熟练掌握反比例函数的图像和性质是解题的关键．根据题意得出，再结合即可解决问题． 【详解】解：由题知， 点在反比例函数的图象上， ． ， 且当时等号成立， ， 则的最小值为． 故答案为：． 三、解答题（本大题共7题，共72分） 17. （1）计算：； （2）解不等式组请结合题意填空，完成本题的解答． （Ⅰ）解不等式①，得_______； （Ⅱ）解不等式②，得______； （Ⅲ）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来： （Ⅳ）原不等式组的解集为______． 【答案】（1）；（2）（Ⅰ），（Ⅱ）， （Ⅲ） （Ⅳ） 【解析】 【分析】本题考查的是实数的运算及解一元一次不等式组，表示不等式解集是关键． （1）根据负指数幂、算术平方根及绝对值的性质化简，再进行加减即可； （2）（Ⅰ）根据解一元一次不等式基本步骤：移项、合并同类项、化系数为1可得出答案； （Ⅱ）根据解一元一次不等式基本步骤：移项、合并同类项、化系数为1可得出答案； （Ⅲ）根据前两问的结果，在数轴上表示不等式的解集； （Ⅳ）根据数轴上的解集取公共部分即可． 【详解】解：（1）原式 ． （2）（Ⅰ）解不等式①，得， 故答案为：； （Ⅱ）解不等式②，得， 故答案为：； （Ⅲ）略 （Ⅳ）原不等式组的解集为， 故答案为：． 18. 如图，A、D、B、F在一条直线上，，，． （1）求证：； （2）连接 、 ，求证四边形为平行四边形． 【答案】（1）证明：， ， ， ∵， ， ， ； （2）证明：如图： 由（1）知， ， ， ， 又∵， 四边形 为平行四边形． 【解析】 【分析】（1）由可证； （2）结合（1），用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可解答． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 19. 为了解某校八年级男生在体能测试中引体向上项目的情况，随机抽查了40名男生引体向上项目的测试成绩（引体向上次数）． 【整理描述数据】根据抽查的测试成绩，绘制出了如下统计图． 【分析数据】样本数据的平均数、中位数、众数如表所示． 平均数 中位数 众数 5.8 a b 根据以上信息，解答下列问题： （1） _______， _______，_______，并补全条形统计图； （2）如果规定男生引体向上7次及7次以上；该项目成绩良好，若该校八年级有男生360人，估计该校男生该项目成绩良好的约有多少人？ （3）从平均数、中位数、众数中，任选一个统计量，解释其在本题中的意义． 【答案】（1）6，5，30， 补图如图所示． （2）108人 （3）解：从平均数来看，估计该校八年级男生引体向上的平均次数是5.8； 从中位数来看，估计该校八年级至少有一半男生引体向上次数不少于6次； 从众数来看，估计该校八年级男生引体向上次数5次的人数最多（答案不唯一，选择其中一项回答即可）． 【解析】 【分析】本题考查了中位数、众数、补全条形统计图，样本估计总体，运用平均数、中位数、众数作决策，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据中位数的定义、众数的定义得出，再列式代入数值，最后补全条形统计图，即可作答． （2）运用样本估计总体进行列式计算，即可作答． （3）根据平均数、中位数、众数的意义进行分析，即可作答． 【小问1详解】 解：一共调查40名男生引体向上项目的测试成绩，中位数位于第第20和21名， 将调查的数据从小到大排列，位于第20和21的数据都是6， 即中位数是6， ， 则调查的数据中，引体向上个数为5个的人数最多， ∴； 故， ， ∴引体向上为8次的人数为：（人）， 故答案为：6，5，30； 【小问2详解】 解：依题意，（人）， ∴该校男生该项目成绩良好的约有108人． 【小问3详解】 略 20. 据史料记载，马车的发明者是多年前生活于夏王朝初年的奚仲．马车的发明，是中国科技史上的一大创举．如图所示是古代马车的侧面示意图，是车轮的直径，过圆心 的车架 的一端点 着地时，水平地面 与车轮相切于点 ，连接． （1）求证：； （2）若，，求车轮的半径长． 【答案】（1） 证明：如图所示，连接， ， ， ∵是的直径， ， ， ∵ 与相切于点 ， ， ， ， ； （2） 【解析】 【分析】（ ）连接，由等腰三角形的性质可得，由圆周角定理及切线的性质可得，，进而由余角性质即可求证； （ ）由得，进而由得，求出，再可求出即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：，， ， ， ∵在中，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ， ∴， ， 车轮的半径长为． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，圆周角定理，切线的性质，互余的性质，相似三角形的判定和性质，掌握以上知识点是解题的关键． 21. 某文具店订购了印有影片图案的A，B两种书签．经统计，订购15张A种书签与25张B种书签，成本共计290元；而订购20张A种书签和30张B种书签，则需花费360元． （1）求A，B两种书签每张的进价分别是多少元？ （2）该文具店计划购进A，B两种书签共60张，由于B种书签更契合消费者喜好，A种书签的购进数量不超过B种书签数量三分之一，已知A，B两种书签的销售单价分别为12元和13元，如何规划购买方案，才能使文具店在这批书签全部售出后获得最大利润？最大利润是多少？ 【答案】（1）每张A种书签的进价是6元，每张B种书签的进价是8元 （2）当购进15张A种书签，45张B种书签时，文具店将这批书签全部售出后获得的总利润最大，最大利润是315元 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，找出w关于m的函数关系式． （1）设每张A种书签的进价是x元，每张B种书签的进价是y元，根据“订购15张A种书签与25张B种书签，成本共计290元；而订购20张A种书签和30张B种书签，则需花费360元”，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设购进m张A种书签，则购进张B种书签，根据A种书签的购进数量不超过B种书签数量三分之一，可列出关于m的一元一次不等式，解之可得出m的取值范围，设文具店将这批书签全部售出后获得的总利润为w元，利用总利润＝每张A种书签的销售利润×购进A种书签的数量＋每张B种书签的销售利润×购进B种书签的数量，可找出w关于m的函数关系式，再利用一次函数的性质，即可解决最值问题． 【小问1详解】 解：设每张A种书签的进价是x元，每张B种书签的进价是y元， 根据题意得， 解得 答：每张A种书签的进价是6元，每张B种书签的进价是8元． 【小问2详解】 设购进m张A种书签，则购进张B种书签， 根据题意得，解得． 设文具店将这批书签全部售出后获得的总利润为w元， 则， 即， 易知，w随m的增大而增大， 当时，w取得最大值，最大值为（元）， 此时（张）． 答：当购进15张A种书签，45张B种书签时，文具店将这批书签全部售出后获得的总利润最大，最大利润是315元． 22. 已知抛物线过点． （1）求抛物线的解析式． （2）抛物线C如图所示，小正方形的边长均为1个单位长度． ①求抛物线C的顶点坐标，并在图中补全平面直角坐标系 ； ②若，是抛物线C上不同的两点，且，求n的值； ③图中有一个矩形框（四个顶点的横、纵坐标都是整数），将抛物线C中对应的曲线记为图象G，并将图象G沿y轴竖直向上平移t个单位长度得到图象，当图象在矩形框内（包括边界）时，请直接写出t的取值范围． 【答案】（1） （2）①顶点坐标为， 补全平面直角坐标系如图所示． ②； ③t的取值范围为 【解析】 【分析】本题考查的是二次函数的图象与性质，熟练的利用二次函数的图象解题是关键． （1）把点代入得，再解方程可得答案； （2）①求解抛物线C的顶点坐标为，再画图即可；②把代入得，结合，可得，再进一步求解即可；③由题意得，平移后的解析式为．当 时，；当 时，；当时，；再进一步解答即可． 【小问1详解】 解：把点代入得， 解得， 函数解析式为． 【小问2详解】 解：①， 抛物线C的顶点坐标为； ②把代入得， ， ， ，是抛物线上不同的两点， ，关于对称轴直线 对称， ， ． ③由题意得，平移后的解析式为． 当 时，； 当 时，； 当时，； 当时，由图象需在矩形框内可得， 解得或时， 图象在矩形框内，但均不满足，舍去． 当 时， 如图， 由图象需在矩形框内可得， 解得， 综上，当时，图象在矩形框内． 23. 综合与实践 【问题情境】 如图所示，在正方形 中，点 在线段上，点F在线段 上，且始终满足，连接， ，将线段绕点E逆时针旋转一定角度，得到线段（点G是点B旋转后的对应点），并使点G落在线段上，与 交于点H． 【初步分析】 （1）线段与 的数量关系为_______，位置关系为_______； 【深入分析】 （2）如图2，再将线段绕点E逆时针旋转 ，得到线段（点M是点G旋转后的对应点），连接，请判断四边形的形状，并说明理由； （3）如图3，若点G落在的延长线上，且当点H恰好为的中点时，设 与交于点N，，求的长． 【答案】（1）； （2）解：四边形为菱形，理由如下： 由旋转的性质，得， 又∵， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴四边形是菱形； （3） 【解析】 【分析】（1）先根据正方形的性质，得出，再证明，结合旋转性质，得出，进行角的等量代换，即可作答； （2）根据旋转性质，得出，得出四边形是平行四边形，结合一组邻边相等，得证四边形是菱形； （3）先得出 是的垂直平分线，进行角的等量代换以及直角三角形的两个锐角互补，得出，因为正方形的性质，得出，结合，进而求得,根据即可求解． 【详解】解：（1）；理由如下： ∵四边形 是正方形 ∴， 又∵， ∴， ∴． 由旋转的性质，得， ∴， ∴． 又∵， ∴， ∴， 即 （2）略 （3）∵点是的中点，， ∴ 是的垂直平分线， ∴． 又∵， ∴ 又∵， ∴， ∴． ∵四边形 是正方形， ∴， ∴在中，， ∴ ∴． 【点睛】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质，解直角三角形的相关性质，菱形的判定，旋转性质等内容，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年广西初中学业水平考试模拟卷（一） 数学 （全卷满分：120分，考试时间：120分钟） 一、选择题（共12小题，每小题3分，共36分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的） 1. 2025的相反数是（　　） A. B. C. D. 2. 甲骨文是我国的一种古代文字，是汉字的早期形式，下列甲骨文中，不是轴对称的是（　　） A. B. C. D. 3. 2024年6月25日嫦娥六号顺利返回地球，带回大约2kg的月背样本，实现世界首次月背采样返回，这标志着我国对月球背面的研究又进入了一个新的高度．已知月球到地球的平均距离约为384000千米，数据384000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 如图是某用户手机钱包账单，则表示（ ） A. 发出10.00元红包 B. 收入10.00元 C. 余额10.00元 D. 抢到10.00元红包 5. 古诗句“小荷才露尖尖角，早有蜻蜓立上头”中“早有蜻蜓立上头”描述的事件是（ ） A. 随机事件 B. 确定性事件 C. 必然事件 D. 不可能事件 6. 已知点，点在一次函数的图象上，则下列式子正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 如图所示，在矩形 中，，观察图中尺规作图的痕迹，则的度数是（ ） A. B. C. D. 8. 下列说法，正确的是（ ） A. 一个游戏的中奖率是，做100次这样的游戏一定会中奖 B. 若甲组数据的方差，乙组数据的方差，则乙组数据比甲组数据稳定 C. 为了解某品牌灯管的使用寿命，可以采用普查的方式 D. 掷一枚质地均匀的硬币2次，必有1次正面朝上 9. 将图1所示的七巧板，拼成图2所示的四边形 ，连接，则的值为（ ） A. B. C. D. 10. 公司研发的两个 模型和共同处理一批数据．已知单独处理数据的时间比少2小时．若两模型合作处理，仅需小时即可完成．设单独处理需要 小时，则下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 11. 如图，在 中，，直尺的一边与重合，另一边分别交，于点D，E．点B、C，D，E处的读数分别为15，12，0，1，若直尺宽，则的长为（ ） A. B. C. D. 12. 我们研究过的图形中，圆的任何一对平行切线的距离总是相等的，所以圆是“等宽曲线”．除了圆以外，还有一些几何图形也是“等宽曲线”，如勒洛三角形（如图1），它是分别以等边三角形的每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间画一段圆弧，三段圆弧围成的曲边三角形．图2是等宽的勒洛三角形和圆形滚木的截面图．有如下四个结论： ①勒洛三角形是中心对称图形； ②在图1中，等边三角形的边长为2，则勒洛三角形的周长为； ③在图2中，勒洛三角形的周长与圆的周长相等； ④使用截面是勒洛三角形的滚木来搬运东西，不会发生上下抖动； 上述结论中，所有正确结论的序号是（ ） A. ①② B. ②③ C. ③④ D. ②③④ 二、填空题（共4小题，每小题3分，共12分） 13. 若式子在实数范围内有意义，则 的取值范围是____________． 14. 方程=1的解是_____． 15. 如图，用一条宽度相等的足够长的纸条打一个结（如图1），然后轻轻拉紧、压平就可以得到如图2所示的正五边形.在图2中，的度数为__________． 16. 反比例函数的图象如图所示，若点在该图象上，则的最小值是______． 三、解答题（本大题共7题，共72分） 17. （1）计算：； （2）解不等式组请结合题意填空，完成本题的解答． （Ⅰ）解不等式①，得_______； （Ⅱ）解不等式②，得______； （Ⅲ）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来： （Ⅳ）原不等式组的解集为______． 18. 如图，A、D、B、F在一条直线上，，，． （1）求证：； （2）连接 、 ，求证四边形为平行四边形． 19. 为了解某校八年级男生在体能测试中引体向上项目的情况，随机抽查了40名男生引体向上项目的测试成绩（引体向上次数）． 【整理描述数据】根据抽查的测试成绩，绘制出了如下统计图． 【分析数据】样本数据的平均数、中位数、众数如表所示． 平均数 中位数 众数 5.8 a b 根据以上信息，解答下列问题： （1） _______， _______，_______，并补全条形统计图； （2）如果规定男生引体向上7次及7次以上；该项目成绩良好，若该校八年级有男生360人，估计该校男生该项目成绩良好的约有多少人？ （3）从平均数、中位数、众数中，任选一个统计量，解释其在本题中的意义． 20. 据史料记载，马车的发明者是多年前生活于夏王朝初年的奚仲．马车的发明，是中国科技史上的一大创举．如图所示是古代马车的侧面示意图，是车轮的直径，过圆心 的车架的一端点 着地时，水平地面 与车轮相切于点 ，连接． （1）求证：； （2）若，，求车轮的半径长． 21. 某文具店订购了印有影片图案的A，B两种书签．经统计，订购15张A种书签与25张B种书签，成本共计290元；而订购20张A种书签和30张B种书签，则需花费360元． （1）求A，B两种书签每张的进价分别是多少元？ （2）该文具店计划购进A，B两种书签共60张，由于B种书签更契合消费者喜好，A种书签的购进数量不超过B种书签数量三分之一，已知A，B两种书签的销售单价分别为12元和13元，如何规划购买方案，才能使文具店在这批书签全部售出后获得最大利润？最大利润是多少？ 22. 已知抛物线过点． （1）求抛物线的解析式． （2）抛物线C如图所示，小正方形的边长均为1个单位长度． ①求抛物线C的顶点坐标，并在图中补全平面直角坐标系 ； ②若，是抛物线C上不同的两点，且，求n的值； ③图中有一个矩形框（四个顶点的横、纵坐标都是整数），将抛物线C中对应的曲线记为图象G，并将图象G沿y轴竖直向上平移t个单位长度得到图象，当图象在矩形框内（包括边界）时，请直接写出t的取值范围． 23. 综合与实践 【问题情境】 如图所示，在正方形 中，点 在线段上，点F在线段 上，且始终满足，连接， ，将线段绕点E逆时针旋转一定角度，得到线段（点G是点B旋转后的对应点），并使点G落在线段上，与 交于点H． 【初步分析】 （1）线段与 的数量关系为_______，位置关系为_______； 【深入分析】 （2）如图2，再将线段绕点E逆时针旋转 ，得到线段（点M是点G旋转后的对应点），连接，请判断四边形的形状，并说明理由； （3）如图3，若点G落在的延长线上，且当点H恰好为的中点时，设 与交于点N，，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $