北京市第八十中学2025-2026学年高二下学期5月阶段检测数学试题

**基本信息** 北京市第八十中学高二数学5月阶段测，通过运动达标调查、6维立方体等真实与创新情境，考查集合、导数、概率统计等核心知识，梯度合理，注重数学眼光、思维与语言的综合培养。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|9/36|集合、导数运算、排列组合、6维立方体曼哈顿距离|6维立方体问题融合空间观念与创新意识| |填空题|5/20|两点分布、分步计数原理、函数极值|结合端午节粽子情境考查期望，体现文化传承| |解答题|4/44|导数单调性与极值、运动达标调查（概率分布列）、椭圆定点问题、导数切线综合|运动达标调查培养数据意识，导数切线问题考查逻辑推理，椭圆题体现数学语言表达|

北京市第八十中学20252026学年第二学期5月阶段测 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 【高二数学】试卷答题卡 2026.5 姓名 班级 15(0) 注慧项： 1. 选择通作客必须用B暂笔，修改时用塑料橡皮擦干净。 笔客题作答必须用黑色签字笔填写，整题不得超出答型 信。 保特卡而清洁，不要折叠。不要弄最。 注：请考生 在每页考生信急相中填写姓名及准考证号， 将条形码 4界用网上奥辔务必要在右侧填涂准考证号， 条形码粘贴区域， 粘贴在左 选择范填涂说明： (2) 则方框内叫 正确填涂：✉ 错误填涂：时在灯 缺考标记：☐监考老师代涂缺考标记 一、选择题（每小题4分，共36分） 1 CAJ CBJ CCJ C03 5 CA]CBJ CCJ CD3 9 CA3 EB]EC3 ED3 2 CA]CB3 CC3 C03 6 CAJ CBJ ECO CDO 3 CAJCB3C0JC03 7 CA3 CBJ CCO CDO 4 CAJC83 CCJ CD] 8 CAJ EB]CCD CDO 二、填空题（每小题4分，共20分） 10. 11. 12. (3) 13. 14 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 高二数学答题卡第1页（共3页） 161) 17(1) (2) (2) (3) 高二数学答题卡第2页（共3页） 姓名： 班级：一 18(1) (2)续 (2)① ② 高数学答题卡第3页（共3页）北京市第八十中单20252026单年第二学期阶段测学科：数学武卷2026年5月 北京市第八十中学2025-2026学年第二学期5月阶段测 高二数学 2026年5月 班级」 姓名 考号 (考试时间90分钟满分100分) 一、选择题（本大题共9小题，每小题4分，共36分） 1.已知集合A={x-1≤x<1},B={x0≤x<2,则集合AUB=() A.{x1<x<2}B.{x1≤x<2}C.{x0≤x< D.{x0≤x≤1} 1.B 【详解】由集合A={x-1≤x<1,B={x0≤x<2},则集合AUB={x-1≤x<2} 2.下列求导数运算正确的是() A.(e)=e3 B.(6)=6 C.(cosx)'=-sinx D.(2 【答案】C 【分析】利用初等函数求导公式与复合函数求导公式逐项分析即可. 【详解】选项A,(e)=0,故A错误： 选项B,(6)=6n6,故B错误： 选项C,(cosx)=-sinx,故C正确： 选项D.(仙2y-2j=六2-，放D错误 2x 3.袋中装有大小相同的6个黑球，5个白球，从袋中每次任意取出1个球且不放回，直到取出的球是白球 才停止，记所需要的取球次数为随机变量X,则X的可能取值为() A.1,2,3,4,5,6 B.12,3,4,5,6,7 C.0,1,2,3,4,5 D.1,2,3,4,5,6,7,8 【答案】B 【分析】利用随机变量的定义可得出结果。 【详解】因为取到白球时停止，所以最少取球次数为1，即第一次就取到了白球； 最多次数是7次，即把所有的黑球取完之后才取到白球。 由题意可知，随机变量X的可能取值有1,2,3,4,5,6,7. (高二学科数学第1页共22页) 北京市第八十中单20252026单年第二单期阶段测学科：数单试卷2026年5月 4.甲、乙、丙、丁四人从网球、乒乓球、羽毛球这三门选修课中，每人任选一门参加，则不同的选择方 案共有() A.44 B.33 C.4 D.34 【答案】D 【分析】根据分步乘法计数原理求解即可. 【详解】甲、乙、丙、丁四人从网球、乒乓球、羽毛球这三门选修课中，每人任选一门参加，可以分4步 完成， 每一步由1人选择一门选修课，每步均有3种选法，根据分步乘法计数原理，故共有34种不同的选择方案. 6 1 5.在2.x- 的展开式中，常数项为() A.60 B.-60 C.15 D.-15 【答案】A 【分析】利用二项式定理得到展开式的通项公式，求出常数项. 1 【详解】 2x- 的限开公t为Ga(石可女g台。 3 令6-二r=0,解得r=4,所以展开式中的常数项为I=2.C6=60. 2 故选：A 6.函数f(x)=x2+a,若f(x)在(2，+∞）上单调递增，则实数a的取值范围为() A.(-0,1 B.(-0,8) C.(-0,-8U[8,+w) D.(-0,-16]U[16,+0) 【答案】A 【分析】由题意可得f'(x)≥0在(2，+w)上恒成立，从而得a≤2x2在(2，+w)上恒成立，求出函数y=2x3在 (2,+w)上的值域，即可得答案 【详解】因为fx)=x2+,x≠0， 所以f(x)=2x-9 3, 由题意可得∫'(x)20在(2，+∞)上恒成立， 所以2x-号≥0，a≤2x在(2,0)上恒成立， (高二学科数学第3页共22页) 北京市第八十中单20252026单年第二单期阶段测学科：数学试卷2026年5月 又因为y=2x在(2，+w)上单调递增， 所以y=2x3>2×23=16, 所以a的取值不大于函数y=2x3在区间(2，+o)上的下确界，即a≤16， 所以实数a的取值范围为(-∞，16] 7.甲、乙两名五子棋爱好者进行一场比赛，采用7局4胜制（先胜4局者获胜，比赛结束），已知每局比 变甲获胜的概率为？，则甲最终以41获胜的餐率为《）D A品 4 D. 8 B. 81 C.27 243 8.设a-。b=c= e 3,则() In A.c>b>a B.cza>b C.a>b>c D.a>c>b 【答案】D 【分析】构造函数f)=血x ,利用其单词性比较ac,利用不等式性质比较c,得到大小关系 【详解】构造函数了网-，则了回-1，令=0得x= 则当x∈(0，e)时，'(x)>0,f(x)单调递增，当x∈(e,+o)时，f'(x)<0,f(x)单调递减， 因此f)的最大值在x=e处取得，又a=e=fe,c=3=f),所以f(©)>f3),即a>c 3 叉n3>1.m>3,所以x3>3,所以32>元，即c>b, 综上可得a>c>b 9.在n维空间中（心2，n∈N),以单位长度为边长的立方体”的顶点坐标可表示为n维坐标(a,a,,am), 其中g∈{0,1}(1≤n,i∈N).定义：在n维空间中两点(4,4，，an)与（色，b,,b)的曼哈顿距离为 4-b+凸-b++口m-bn在6维“立方体”的顶点中任取两个不同的顶点，记所取两点间的曼哈顿距离 为随机变量X,则下列结果都正确的是() ①6维立方体的顶点有36个 ②x=小岩 ⑧i()剑 ④D(K)=60 41 A.①② B.②③④ C.②③ D.①③④ 【答案】C (高二学科数学第5页共22页) 北京市第八十中单20252026单年第二单期阶段测学科：数单试卷2026年5月 【详解】对于6维坐标(4，，4,4,45，)，其中4∈{0,1}(1≤i≤6，i∈N), 即4有2种选择(1≤i≤6，i∈N),故共有25=64种选择， 即6维“立方体的顶点有64个，故①错误； 当X=3时，在(4，，4,44,4,6)与（亿，b2,b,b4,b,b)中有3个坐标值不同， 即有3个i(1≤i≤6，ieN)满足a≠b, 有3个1≤j≤6，jeN)满足4=b, 所以满足X=3的顶点有2x2=640组，P(X=3)=40-20 2 C63,故②正确： 满足X=太的顶点有2×2-c哈2组，所以PK=-C答：2二三（k-12,345,6. 2 C6463 即=)异P(x=2)京Px=)君 63 Px=小=品r=列=京P(x=O= 63 所以2(-1品+2 3+445 x5+3×20 西0--号 器品到a% 故④不正确 二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分） 10.已知随机变量X服从两点分布，且P(X=1)=4P(K=0),则P(X=0)=, D(X)= A 1 B. C.4 D. 6 【答案】A 【分析】利用两点分布概率和为1，列方程求解即可， 【详解】随机变量X服从两点分布，·P(X=1)+P(X=0)=5P(X=0上1， P(x=0=片Dx=0若 11.书架的第1层放有5本不同的计算机书，第2层放有6本不同的文艺书，第3层放有7本不同的体 育书.从书架的第1层，第2层，第3层各取1本书，共有不同的取法种数为 【答案】210 (高二学科数学第7页共22页) 北京市第八十中单20252026单年第二单期阶段测学科：数单试卷2026年5月 【详解】由分步计数原理可知，不同的选法种数为5×6×7=210种。 12.己知(2-x)1=+2ax+4x2+4x3+a4x4,则4+4= 【详解】二项式(2-x)4的通项公式为T1=C424-"(-x)”,n=0,1,,4 n=1→万=C423(-x}=-32x=4x→4=-32， n=3→4=C82（x)3=-8x2=4x3→4=-8， 所以4+4=-40 13.端午节吃粽子是一大习俗，粽子，又叫角黍、筒粽某礼盒中有6盒粽子，其中2盒是豆沙粽，4盒 是鲜肉粽，从中任取3盒粽子，记取到的豆沙粽有X盒，则E(X)的值为 【答案】 【详解】X的取值为0,1,2， 4-nx-D-CC8 所以Pr=0)=CC=2 C1 5x-2)i5 *2x12 所以0-0x号1x8+ ,2 x153 14.函数f(x)=e-h(x+m),则下列说法正确的是 ①若m=1,则f(x)在(-1,0)单调递减，在(0，+∞)单调递增 ②若m=1,则f)≥1-1-hx+1) ③若m=2,则f(x)存在一个极值点 ④若≤2，则f(x)>0恒成立 【答案】①③④ 【详解】f=e-l血(x+m,x>-m,求导可得f=e-1=c(x+叫- ,x>-u, x+ x+n 令8(x)=e(x+m)-1,x>-m,求导可得g'()=e(x+m+l),x>-m. 选项A:当m=1时，g'(x)=e*(x+2)>0,所以函数g(x)在(-1，+o)单调递增， 因为8(0)=0， 所以当x∈(-1,0)时，g(x)<0,则f'(x)<0,函数f(x)在(-1,0)单调递减， 当x∈(0，+w)时，g(x)>0,则f(x)>0,函数f(x)在(0，+w)单调递增： 选项B:当m=1时，要证f()≥1-1-n(x+,即证e*≥1-1 (高二学科数学第9页共22页) 北京市第八十中单20252026单年第二单期阶段测学科：数学试卷2026年5月 当-1<x<0时，1-1>1，而e<1,此时e≥1-不成立： 1 选项C:当m=2时，因为x∈(-2，+w),所以g'(x)=e(x+3)>0,g(x)在(-2，+0)上单调递增， 因为g(-1)=e1-1<0,8(0)=1>0,所以存在∈(-1,0)，使得g(3)=0, 当x∈(-2，)时，则f(x)<0,函数f(x)在(-2，)单调递减， 当x∈(，+∞)时，则f(x)>0,函数f(x)在(，+∞)单调递增， 所以x=x,是函数的极小值点x,因此f(x)存在一个极小值点： 选项D:当≤2时，ln(x+m≤lh(x+2),故e-ln(x+m)2e-n(x+2), 由选项C可知，当m=2时，f(x)=e*-ln(x+2)在，处取得极小值， 芙中6满足c2即5-h52。 侧≥eh+22+无6+2列+ +2 6+2 因为∈(-1,0)，所以(x,+1)}>0,+2>0,故f(6)>0, 因此e-ln(x+2)>0恒成立，故当≤2时，f(x)=e-h(x+)>0恒成立. 三、解答题：本大题有4小题，共44分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.已知函数-号-a+2x+2anx. (1)当a=2时，求曲线y=f(x)在点L,f()处的切线方程： (2)讨论f(x)的单调性； (3)求f(x)的极大值. 9 【答案】（①）y=x-2 (2)答案见解析 (3)1,2)U(2,+w) 【分析】(1)利用导数求斜率，然后可得切线方程： (2)求导，然后对a分类讨论即可： (3)利用(2)中结论表示出极大值，根据题意解不等式即可. 【详解】1)当a=2时，f)之式-4x+4hx了国-x-4 (高二学科数学第11页共22页) 北京市第八十中单20252026单年第二单期阶段测学科：数单试卷2026年5月 则0号4子/0=1-4+4=1 所以自线y)在点，10)处的切线方程为+子x1,即x号 -2 (2)fw的定义域为(0，+om,f)=x-(a+2)+2a-(a+2x+2ac-a0-2） 若a≤0，则当0<x<2时，f"(x)<0,当x>2时，"(x)>0, 所以f(x)在(0,2)上单调递减，在(2，+∞)上单调递增， 若0<a<2,则当0<x<a或x>2时，f"'(x)>0,当a<x<2时，f(x)<0, 所以f(x)在(0，a)上单调递增，在(a,2)上单调递减，在(2，+o)上单调递增. 若a=2,则f'(x)≥0恒成立，所以f(x)在(0，+w)上单调递增. 若a>2,则当0<x<2或x>a时，f"(x)>0,当2<x<a时，f'(x)<0, 所以f(x)在(0,2)上单调递增，在(2，a)上单调递减，在(a,+∞)上单调递增， (3)当0<a<2时，f)的极大值为f@=d-a+2a+2alna 2 16.教育部最新文件指出，要确保中小学生每天校内校外综合体育活动时间不少于2小时.为了提升学生 体质，养成运动习惯，某中学对学生进行了周末两天运动时长的问卷调查，将运动时长不少于4小时的学 生视为“运动达标”，运动时长不足4小时的学生视为运动不达标”，现随机抽取200名学生的问卷，获得 数据如下表： 男生（人） 女生（人） 合计（人） 运动达标 80 40 120 运动不达标 20 60 80 合计 100 100 200 用频率估计概率。 (1)从该校的学生中任选3人，估计这3人至多有1人“运动不达标”的概率： (2)从该校男生和女生中各随机抽取一人，设X为“运动达标的人数，估计随机变量X的分布列和数学期望； (3)从该校随机抽取20名学生，记其中“运动达标的人数为Y.求使概率P(Y=k)取得最大值时的k的 值.（直接写出结论） 【详解】(1)由题意，样本中学生“运动不达标”的频率为为80=2 2005’ 用频率估计概率，所以估计从该校的学生中任选3人，这3人至多有1人“运动不达标”的概率为 C5×2xx3+3-4,2781 5555-125125125 (高二学科数学第13页共22页) 北京市第八十中单20252026单年第二单期阶段测学科：数学试卷2026年5月 (2)由表可知，样本中男生“运动达标”的频率为0-1， 1005, 样本中女生“运动达标”的频率为100亏 402 用频率估计概率. 随机变量X的可能取值为0,1,2， px-0号若 4.3,1、214 P(X=)=亏5+5*5251 6x=动-号器 所以估计X的分布列为 X 0 1 2 3 14 8 25 25 25 估i计数学期望80=0务+1告+2×是-号 (3)由题意知从该校随机抽取一名学生，“运动达标”的概率为p= 1203 200 5 Y服从二项分布B(20,3, 则要使得使概率P(Y=k)取得最大值需P(Y=)≥P(Y=k-1)且P(Y=k)≥P(Y=k+1), ag)a4r1且g0ofo4 则 Cn(0.6)(0,4)0- c(06)Q4pF≥1， 解得11.6≤k≤12.6， k为整数，所以k=12, 使概率P(Y=k)取得最大值时k的值为12. (高二学科数学第15页共22页) 北京市第八十中学20252026学年第二学期阶段测学科：数学试卷2026年5月 、17.已知椭圆B长+片(a>b>0)的离心率为Y3 2 ,以椭圆E的焦点和短轴顶点为顶点的四边形是边 长为2的菱形。 (I)求椭圆E的标准方程： (Ⅱ)己知A为椭圆E的左顶点，M,N为椭圆E上两个不同的动点（均不与点A重合），且满足直线AM 与直线AW的斜率之积为：求证：直线MW过定 17. c-V3 e= a 2 a=2, (I)解：由已知得{Vb2+c2=2 解得c=√3， a2=b2+c2 b=1. 所以椭圆E的标准方程为 4+y=1. (Ⅱ)证明：若直线MN与x轴不相交，设M(←m,m,Nm,D0n≠0)，且 -+n2=1, 4 则直线AM,AN的斜率之积为h.n?1、2 41 -m+2m+24-m2-4-m=4’ 与己知矛盾。 设直线MN与x轴交于点T(t,0), 直线MN的方程为y=k(x-t),k≠0， [y=k(x-t), 联立}x2 /4+=1”消去y得(42+1)x-8kx+42t-4=0 由题意得，△=6442-16(4k2+1)(k2-1)>0, 即4k2-k2t+1>0, 设M(x,y),N(x,y), 8kt 4h2t2-4 由韦达定理得+5=4k十，6=4+1 由题意得A(-2,0), 所以片.乃5 ￥+26+24 (高二学科数学第17页共22页) 北京市第八十中单20252026单年第二单期阶段测学科：数单试卷2026年5月 即s-).k(s-)_5 +26+24 所以(4k2-5)xx2-(10+4k2t0(x+x2)+42t2-20=0, 所以4-).42-4-Q0+4082 +4k2t2-20=0, 4k2+1 4k2+1 所以-24k2-4k2t2-20k2t=0, 由k≠0，得-24-4t-20t=0,即t2+5t+6=0, 解得t=-2(舍去)或t=-3, 所以直线MN过定点T(-3,0). 18.已知函数f(x)=e*-x-1. (1)求f(x)的单调区间： (2)已知点A(t,∫(t)t≠0)，过A作曲线y=f(x)的切线1，直线1交y轴于点B. ①求证：点B在x轴的下方； ②设1与x轴交于点C,曲线y=f(x)在点A（-t,f(-)处的切线与x轴交于点D,O为坐标原点，当t>0时， 求证：oD<oC, 18.(1)单调递减区间(-0,0)，单调递增区间(0，+∞)： (2)①证明见解析；②证明见解析. 【分析】(1)对函数求导，通过导数的正负确定函数的单调区间； (2)①，先求出切线方程，得到点B的纵坐标，再构造新函数分析其单调性，证明纵坐标恒小于0： ②，分别求出C、D两点的横坐标，通过化简证明xc+xp>0,从而得到OD<OC: 【详解】(1)f(x)定义域为R,f'(x)=e-1, 当x<0时，f(x)<0,f(x)单调递减：当x>0时，f(x)>0,f(x)单调递增： 所以f(x)的单调递减区间为(-∞，0)，单调递增区间为(0，+∞)： (2)对于①：在点A(t,f(t)处，切线方程为y-(e-t-1)=(e-1)(x-t), 令x=0得y=e-t-1-t(e-1)=e(1-t)-1,即B(0,e(1-t)-1), 令g(t)=e(1-t)-1,则g'(t)=-te, (高二学科数学第19页共22页) 北京市第八十中单20252026单年第二单期阶段测学科：数单试卷2026年5月 当t>0时，g'(t)<0,8(t)单调递减，所以g(t)<g(0)=0: 当t<0时，g'(t)>0,g(t)单调递增，所以g(t)<g(0)=0 故e(1-t)-1<0,即yg<0,点B在x轴下方. 对于②：切线1与x轴交于点C,令y=0,得x=t-e-1-1_E-心+1 e-1e-1 在4(-t,f(-t)处切线斜率为f"(-)=e-1,切线方程为y-(e+t-1)=(e-1)(x+), 令-0，得x=1-e+1.e-c+1+-e,即D+c0. e-1 1-e e-1 e-10 因为t>0,所以xc>0,xp<0,所以OC=x,OD=-x 因为+。=c-=d+1,+)-c_e-e+1)+G+)-ee-2c+t+2, e-1 e-1 e-1 e-1 h(t)=te'-2e+t+2,h(t)=e'+te'-2e +1=(t-1)e'+1, 令s(t)=(t-1)e+1,则s(t)=e+(t-1)e=te, 当t>0时，s(t)>0,s(t)在(0，+o)单调递增，所以s(t)>s(0)=0, 即h(t)>0,所以h(t)在(0，+o)单调递增，所以h(t)>h(0)=0,即te-2e+t+2>0, 又t>0时，e-1>0,所以xc+xD>0,即x>xp,所以OD<OC (高二学科数学第21页共22页)北京市第八十中学2025-2026学年第二学期阶段测 学科：数学试卷 2026年5月 北京市第八十中学2025--2026学年第二学期5月阶段测 高 二 数 学2026年5月 班级 姓名 考号 （考试时间90分钟 满分100分） 一、选择题（本大题共9小题，每小题4分，共36分） 1．已知集合，，那么（    ） A． B． C． D． 2．下列求导数运算正确的是（   ） A． B． C． D． 3．袋中装有大小相同的个黑球，个白球，从袋中每次任意取出个球且不放回，直到取出的球是白球才停止，记所需要的取球次数为随机变量，则的可能取值为（    ） A． B． C． D． 4．甲、乙、丙、丁四人从网球、乒乓球、羽毛球这三门选修课中，每人任选一门参加，则不同的选择方案共有（   ） A． B． C． D． 5．在的展开式中，常数项为（    ） A．60 B． C．15 D． 6．函数，若在上单调递增，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 7．甲、乙两名五子棋爱好者进行一场比赛，采用7局4胜制（先胜4局者获胜，比赛结束），已知每局比赛甲获胜的概率为，则甲最终以获胜的概率为（   ） A． B． C． D． 8．设，，，则（    ） A． B． C． D． 9．在维空间中，以单位长度为边长的“立方体”的顶点坐标可表示为维坐标，其中.定义：在维空间中两点与的曼哈顿距离为.在6维“立方体”的顶点中任取两个不同的顶点，记所取两点间的曼哈顿距离为随机变量，则（    ） ①6维“立方体”的顶点有36个 ② ③ ④ A．①② B．②③④ C．②③ D．①③④ 二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分） 10．已知随机变量服从两点分布，且，则________，D（X）=_______. 11．书架的第1层放有5本不同的计算机书，第2层放有6本不同的文艺书，第3层放有7本不同的体育书.从书架的第1层，第2层，第3层各取1本书，共有不同的取法种数为_______. 12．已知，则=_______. 13．端午节吃粽子是一大习俗，粽子，又叫角黍、筒粽.某礼盒中有6盒粽子，其中2盒是豆沙粽，4盒是鲜肉粽，从中任取3盒粽子，记取到的豆沙粽有盒，则E（X）=________. 14．已知函数，则下列说法正确的是_________. ①若，则在单调递减，在单调递增 ②若，则 ③若，则存在一个极值点 ④若，则恒成立 三、解答题（本大题共4小题，共44分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15．（本小题10分） 已知函数． （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）讨论的单调性； （3）求的极大值． 16．（本小题10分） 教育部最新文件指出，要确保中小学生每天校内校外综合体育活动时间不少于2小时．为了提升学生体质，养成运动习惯，某中学对学生进行了周末两天运动时长的问卷调查，将运动时长不少于4小时的学生视为“运动达标”，运动时长不足4小时的学生视为“运动不达标”．现随机抽取200名学生的问卷，获得数据如下表： 男生（人） 女生（人） 合计（人） 运动达标 80 40 120 运动不达标 20 60 80 合计 100 100 200 用频率估计概率． （1）从该校的男生中任选两人，求这两人均为“运动不达标”的概率； （2）从该校男生和女生中各随机抽取一人，设为“运动达标”的人数，求的分布列和数学期望； （3）从该校随机抽取20名学生，记其中“运动达标”的人数为．求使概率取得最大值时的的值．（直接写出结论） 17．（本小题12分） 已知椭圆的离心率为，以椭圆的焦点和短轴顶点为顶点的四边形是边长为2的菱形. （1）求椭圆的标准方程； （2）已知为椭圆的左顶点，，为椭圆上两个不同的动点（均不与点重合），且满足直线与直线的斜率之积为.求证：直线过定点. 18．（本小题12分） 已知函数． （1）求的单调区间； （2）已知点，过作曲线的切线，直线交轴于点． ①求证：点在轴的下方； ②设与轴交于点，曲线在点处的切线与轴交于点为坐标原点，当时，求证：． （高二 学科 数学 第3页 共4页） （高二 学科 数学 第4页 共4页） 学科网（北京）股份有限公司 $北京市第八十中学2025-2026学年第二 北京市第八十中学2025-2026学年第二学期5月阶段测 高二数学 2026年5月 班级 姓名 考号 (考试时间90分钟满分100分) 一、选择题（本大题共9小题，每小题4分，共36分） 1.已知集合A={x-1≤x<1},B={x0≤x<2},则集合AUB=() A.{x1<x<2}B.{x1≤x<2} c.{xo≤x<1} D.{x0≤x≤ 2.下列求导数运算正确的是() A.(e)=c B.(6)=6 C.(cosx)=-sinx D:血2-2 3,袋中装有大小相同的6个黑球，5个白球，从袋中每次任意取出1个球且不放回，直到取出的球是白球才 停止，记所需要的取球次数为随机变量X,则X的可能取值为() A.1,2,3,4,5,6 B.1,2,3,4,5,6,7 C.0,1,2,3,4,5 D.1,2,3,4,5,6,7,8 4.甲、乙、丙、丁四人从网球、乒乓球、羽毛球这三门选修课中，每人任选一门参加，则不同的选择方案 共有() A.4 B.33 C.43 D.34 5在2 的展开式中，常数项为() A.60 B.-60 C.15 D.-15 6.函数f(x)=x2+,若f(x)在(2，+∞)上单调递增，则实数a的取值范围为() A.(-o,16] B.(-0,8) C.(-o,-8]U[8,+o∞) D.(-o0,-16]U[16,+oo) 7.甲、乙两名五子棋爱好者进行一场比赛，采用7局4胜制（先胜4局者获胜，比赛结束），已知每局比赛 甲获胜的概率为}，则甲最终以4：1获胜的概率为() 2 B. 4 2 8 81 D.243 (高二学科数学第1页共4页) 学期阶段测学科：数学试卷2026年5月 A.c>b>a B.c>a>b C.a>b>c D.a>c>b 9.在n维空间中(n≥2，neN),以单位长度为边长的“立方体”的顶点坐标可表示为n维坐标(a,a2,,a),其 中a,∈{0,1(1≤in,i∈N)定义：在n维空间中两点(a,a2,…,an)与(6，b2,,bn)的曼哈顿距离为 4,一b,+2一b+…+上，-bn,在6维“立方体”的顶点中任取两个不同的顶点，记所取两点间的曼哈顿距离为 随机变量X,则下列结果都正确的是() ①6维“立方体”的顶点有36个 ②P(X=3)=20 63 国(x)-升 ④D(X)=600 441 A.①② B.②③④ C.②③ D.①③④ 二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分） 10.已知随机变量X服从两点分布，且P(X=)=4P(X=0),则P(X=0)=一，D(X)= 11.书架的第1层放有5本不同的计算机书，第2层放有6本不同的文艺书，第3层放有7本不同的体育 书.从书架的第1层，第2层，第3层各取1本书，共有不同的取法种数为 12.已知(2-x)°=a+a,x+a2x2+ax3+ax‘，则a+a= 13.端午节吃粽子是一大习俗，粽子，又叫角黍、筒粽.某礼盒中有6盒粽子，其中2盒是豆沙粽，4盒是 鲜肉粽，从中任取3盒粽子，记取到的豆沙粽有X盒，则E(X)的值为 14.函数f(x)=e-n(x+m),则下列说法正确的是」 ①若m=1,则f(x)在(-1,0)单调递减，在(0，+∞)单调递增 ②若m=1,则f(x)≥1--ln(x+1) ③若m=2,则f(x)存在一个极值点 ④若m≤2，则f(x)>0恒成立 (高·学科数学第2页共4页) 北京市第八十中学2025-2026学年第二学期阶段测学科：数学试卷2026年5月 三、解答题：本大题有4小题，共44分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15,(本小题10分) 17.(本小题12分) 已知函数f闭=2-(a+2x+2alhx. 已知椭圆E:xy2 +3=1(>b>0)的离心率为3，以椭圆E的焦点和短轴顶点为顶点的四边形是边长 2 为2的菱形. (1)当a=2时，求曲线y=f()在点L,f(I)处的切线方程： (I)求椭圆E的标准方程： (2)讨论fx)的单调性： (Ⅱ)已知A为椭圆E的左顶点，M,N为椭圆E上两个不同的动点（均不与点A重合），且满足直线AM与 (3)求f(x)的极大值： 直线N的斜率之积为.求证：直线MN过定点. 4 16.(本小题10分) 教育部最新文件指出，要确保中小学生每天校内校外综合体育活动时间不少于2小时.为了提升学生体质， 养成运动习惯，某中学对学生进行了周末两天运动时长的问卷调查，将运动时长不少于4小时的学生视为“运 动达标”，运动时长不足4小时的学生视为“运动不达标”.现随机抽取200名学生的问卷，获得数据如下表：18.（本小题12分） 男生（人） 女生（人） 合计（人） 已知函数f(x)=e-x-1. 运动达标 80 % 120 ()求f(x)的单调区间： 运动不达标 20 60 80 2)已知点A(,f()(≠0)，过A作曲线y=∫(x)的切线，直线/交y轴于点B. 合计 100 ①求证：点B在x轴的下方： 100 200 ②设I与x轴交于点C,曲线y=∫(x)在点A2-t,f(-t)处的切线与x轴交于点D,O为坐标原点，当1>0时， 用频率估计概率 (1)从该校的学生中任选3人，估计这3人至多有1人“运动不达标”的概率； 求证：loD<oC. (2)从该校男生和女生中各随机抽取一人，设X为“运动达标”的人数，估计随机变量X的分布列和数学期望： (3)从该校随机抽取20名学生，记其中“运动达标”的人数为Y.求使概率P(y=k)取得最大值时的k的值.（直 接写出结论) (高二学科数学第3页共4页) (高：学科数学第4页共4页) 北京市第八十中学2025--2026学年第二学期5月阶段测 高 二 数 学 参 考 答 案2026年5月 一、选择题（本大题共9小题，每小题4分，共36分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 答案 B C B D A A D D C 二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分） 10. ；. 11. 210 12. -40 13. 14. ①③④ 三、解答题（本大题共4小题，共44分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15．（本小题10分） （1）当时，， 则， 所以曲线在点处的切线方程为，即． （2）的定义域为． 若，则当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增． 若，则当或时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增． 若，则恒成立，所以在上单调递增． 若，则当或时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增． （3）由（2）得当或时，无极大值． 当时，的极大值为， 则，得． 设，则， 所以在上单调递增． 因为，所以由，得，所以． 当时，的极大值为，则， 解得，因为，所以，则满足题意． 综上，的取值范围是． 16．（本小题10分） （1）由题意，可估计从该校的男生中任选一人，“运动不达标”的概率为， 设“从该校的男生中任选两人，这两人均为运动不达标”为事件， 则； （2）由表可知，从男生中抽取一人“运动达标” 的概率为， 从女生中抽取一人“运动达标” 的概率为， 随机变量的可能取值为， ，，， 所以的分布列为 数学期望. （3）由题意知从该校随机抽取一名学生，“运动达标”的概率为，服从二项分布， 则要使得使概率取得最大值需且， 则且， 解得， 为整数，所以，使概率取得最大值时的值为. 17．（本小题12分） （1）由题意可得：，，可得，，所以椭圆的标准方程为. （2）由题意可知：，直线的斜率存在， 设直线，，， 联立方程，消去y可得， 则，可得， 则，， 因为， 整理可得， 即， 整理可得，解得或， 若，则直线过定点，不合题意； 若，则直线过定点，符合题意； 综上所述：直线过定点. 18．（本小题12分） （1）定义域为，， 当时，，单调递减；当时，，单调递增； 所以的单调递减区间为，单调递增区间为； （2）对于①：在点处，切线方程为， 令得，即， 令，则， 当时，，单调递减，所以； 当时，，单调递增，所以 故，即，点在轴下方. 对于②：切线与轴交于点，令，得 即. 在处切线斜率为，切线方程为， 令，得，即， 因为，所以，所以 因为， 令，则， 令，则， 当时，，在单调递增，所以， 即，所以在单调递增，所以，即， 又时，，所以，即，所以. 答案第2页，共13页 学科网（北京）股份有限公司 $