精品解析：上海市上海中学2024-2025学年高一下学期5月练习卷（B）数学试题

2024学年度上海中学高一第二学期5月练习卷（B） 数学试卷 （考试时间120分钟 满分150分） 考生注意： 1. 带2B铅笔、黑色签字笔、科学计算器、考试中途不得传借文具. 2. 本试卷共4页，21道试题，满分150分，考试时间120分钟 一.填空题（12题共54分，1~6题每题4分，7~12题每题5分） 1. 若集合，，则________． 2. 已知向量，，，若，则___________. 3. 已知向量，，且，则______． 4. 函数在零点个数为________． 5. 求与直线的夹角为，且经过点的直线的直线方程可以是________. 6. 已知角的终边经过点，则______． 7. 若复数满足，，且（为虚数单位），则的最小值为______． 8. 作用于同一点的三个力平衡，已知，且与之间的夹角是，则的大小是__________． 9. 已知，点是平面上一个动点，则当由0连续变到时，线段扫过的面积是______. 10. 函数的最小值为___________. 11. 设全集，，，若，则复数在复平面内对应点形成图形的面积为______． 12. 在边长为1的正六边形中，记以为起点，其余顶点为终点的向量分别为，，，，，以为起点，其余顶点为终点的向量分别为，，，，.记，为的两个三元子集，则的最小值为___________. 二.选择题（4题共18分，13~14每题4分，15~16每题5分） 13. 在中，已知，则下列各式必为常数的是（ ） A. B. C. D. 14. 在中，，则下列说法一定正确的是（ ） A. 若，则是锐角三角形 B. 若，则是钝角三角形 C. 若，则是锐角三角形 D. 若，则是钝角三角形 15. 已知正方形的边长为4，点、分别在边、上，且，，若点在正方形的边上，则的取值范围是（ ） A B. C. D. 16. 对于不为常数数列的无穷数列，其中，设其前项的和为，若满足；对任意的正整数，均存在正整数，使得成立，则称为“可控数列”．现给出下列两个命题： （1）存在等差数列为“可控数列”； （2）存在等比数列为“可控数列”．则下列说法正确的是（ ） A. 命题（1）（2）均成立 B. 命题（1）成立，命题（2）不成立 C. 命题（1）不成立，命题（2）成立 D. 命题（1）（2）均不成立 三.解答题（共78分，17~19每题14分，20~21每题18分） 17. 在复数范围解方程． （1）关于实系数一元二次方程的两根满足，求实数的值； （2）关于的实系数一元二次方程的两根，请根据实数的不同取值范围讨论的值． 18. 已知函数 （1）若且的最大值为，求函数在上的单调递增区间； （2）若，函数在上有且仅有一个零点，求实数的取值范围； （3）已知的一条对称轴方程为，令，存在常数，使得函数为偶函数，求最小的正数的值. 19. 设向量，函数在上的最小值与最大值的和为，又数列满足. （1）求证：； （2）求数列的通项公式； （3）设，试问数列中，是否存在正整数，使得对于任意的正整数，都有成立？若存在，求出所有满足条件的的值；若不存在，请说明理由. 20. 将函数的图像进行如下变换：先向下平移个单位长度，再向左平移个单位长度，得到函数的图像 （1）求的最小正周期及单调增区间 （2）当时，方程有两个不等的实根，求实数的取值范围 （3）若函数在区间内恰有2022个零点，求所有可能取值 21. 已知数列和满足，，，成立 （1）求：和的通项公式 （2）设，，求证：. （3）令，求：数列的前项和的通项公式，并直接写出数列的最大值、最小值，并指出分别是第几项. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024学年度上海中学高一第二学期5月练习卷（B） 数学试卷 （考试时间120分钟 满分150分） 考生注意： 1. 带2B铅笔、黑色签字笔、科学计算器、考试中途不得传借文具. 2. 本试卷共4页，21道试题，满分150分，考试时间120分钟 一.填空题（12题共54分，1~6题每题4分，7~12题每题5分） 1. 若集合，，则________． 【答案】 【解析】 【分析】求出函数的定义域、值域分别化简集合，再利用交集的定义求解. 【详解】依题意，，由有意义，得，解得且， 因此，所以. 故答案： 2. 已知向量，，，若，则___________. 【答案】5 【解析】 【分析】根据数量积的坐标运算，结合向量的夹角公式求解即可 【详解】，，即，所以，解得. 故答案为：5 3. 已知向量，，且，则______． 【答案】## 【解析】 【分析】首先利用向量平行得到，然后利用齐次化法将所求式子化成含有的式子即可运算求解. 【详解】因为，，且， 所以，所以， 从而. 故答案为：. 4. 函数在的零点个数为________． 【答案】 【解析】 【分析】方法一：求出的范围，再由函数值为零，得到的取值即得零点个数． 【详解】［方法一］：【最优解】 由题可知，或 解得,或故有3个零点． 故答案为：． 方法二： 令，即，解得，，分别令，得，所以函数在零点的个数为3． 故答案为：． 【整体点评】方法一：先求出的范围，再根据余弦函数在该范围内的零点，从而解出，是该题的最优解； 方法二：先求出函数的所有零点，再根据题中范围限制，找出符合题意的零点． 5. 求与直线的夹角为，且经过点的直线的直线方程可以是________. 【答案】或 【解析】 【分析】讨论当直线的斜率不存在，检验满足题意；当直线的斜率存在，设为，由两直线的夹角公式，解方程可得，再由直线的点斜式方程可得所求方程. 【详解】直线的斜率为，可得倾斜角为， 当直线的斜率不存在，即倾斜角为时，满足题意， 直线的方程为； 当直线的斜率存在，设为，由题意可得， 解得：，可得直线的方程为， 即为. 故答案为：或. 【点睛】易错点睛：本题易忽略斜率不存在的情况，可以先画出直线，以便于判断的情况. 6. 已知角的终边经过点，则______． 【答案】 【解析】 【分析】求出，根据的范围可得答案. 【详解】角的终边经过点， 可得， 因为，，所以， 可得. 故答案为：. 7. 若复数满足，，且（为虚数单位），则的最小值为______． 【答案】## 【解析】 【分析】根据已知关系求得变量关系，然后统一未知量，最后根据二次函数性质可得答案. 【详解】设=，， ，即， 化简得，， ∴， 根据二次函数性质可知，当时，取得最小值，此时，符合，， ∴的最小值为. 故答案为：. 8. 作用于同一点的三个力平衡，已知，且与之间的夹角是，则的大小是__________． 【答案】70 【解析】 【分析】根据题意得到，然后两边平方求解. 【详解】解：由题意得， 所以， 两边同时平方得， 所以， 故答案为：70 9. 已知，点是平面上一个动点，则当由0连续变到时，线段扫过的面积是______. 【答案】 【解析】 【分析】根据三角函数的平方式以及函数性质，求得动点轨迹，结合题意，作图，利用图形的组成，可得答案. 【详解】由，则，即，， 由，则如图： 点在劣弧上，即线段扫过的部分为图中的阴影部分，设其面积为， 易知，，在四边形中对角线， 则四边形的面积， 在中，，解得， 扇形的面积， 故. 故答案为：. 10. 函数的最小值为___________. 【答案】## 【解析】 【分析】函数转化为关于的二次函数，结合二次函数性质可得最小值． 【详解】函数定义域是，， ， 所以时，． 故答案为：． 11. 设全集，，，若，则复数在复平面内对应的点形成图形的面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意可得，集合A在复平面内表示的图形为圆及其内部，集合B在复平面内表示的图形为直线的左侧，作出图象，可得复数在复平面内对应的点形成的图形即为图中的弓形部分.. 【详解】设. 由，可知，即，即. 因为，，，所以， 则可化为，解得. 即集合A在复平面内表示的图形为圆及其内部，集合B在复平面内表示的图形为直线的左侧，集合在复平面内表示的图形为直线的右侧（包括直线），如图所示.所以，复数在复平面内对应的点形成的图形即为图中的弓形部分. 弓形的面积为扇形的面积减去的面积，易知扇形的圆心角，圆的半径， 则扇形的面积，， 所以弓形的面积为. 故答案为：. 12. 在边长为1的正六边形中，记以为起点，其余顶点为终点的向量分别为，，，，，以为起点，其余顶点为终点的向量分别为，，，，.记，为的两个三元子集，则的最小值为___________. 【答案】 【解析】 【分析】由“两个向量模长越大、夹角越小则两个向量的和向量的模长越大”结合可知正六边形结构特征求出的最大值；由数量积概念可知对于，当与达到最大时与此时方向相反，故此时达到最小值. 【详解】根据向量加法平行四边形法则以及几何意义可知： 当两个向量夹角为锐角时，两个向量模长越大、夹角越小则两个向量的和向量的模长越大. 所以由正六边形结构特征可知的最大值为， 连接正六边形交于点， 则由正六边形结构特征可知为正三角形，为其边上的中线， 且由正六边形结构特征，，， 所以由题意以及余弦定理得： ， 即， 所以，，， 所以， 故由向量加法法则； 所以当时，最大， 同理时，最大， 与此时方向相反， 故此时达到最小值为. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：解决本题的关键在于明确的最大值为和的最大值为. 二.选择题（4题共18分，13~14每题4分，15~16每题5分） 13. 在中，已知，则下列各式必为常数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由结合，可得，从而可得，即可判断B正确；取和，可以判断ACD错误. 【详解】在中，因为，所以， 所以， 因为，所以， 对于B，因为，所以，即， 将上式两边同时除以， 得 所以，B正确； 由可知，令，此时， 则，，； 令，此时， 则，，. 对于A，当时，， 当时，，两者不相等，不为常数，A错误； 对于C，当时，， 当时，，两者不相等，不为常数，C错误； 对于D，当时，， 当时，，两者不相等，不为常数，D错误. 故选：B 14. 在中，，则下列说法一定正确的是（ ） A. 若，则是锐角三角形 B. 若，则是钝角三角形 C. 若，则是锐角三角形 D. 若，则是钝角三角形 【答案】D 【解析】 【分析】根据题中条件利用向量的数量积运算可求得，分情况考查的正负情况，转化为的正负情况，进一步分析即可. 【详解】因为， 即, 又时，三角形一定不是直角三角形， 则有， ， 若，则，为锐角，但是不能判断的大小， 故A,B错误； 当时，则，中必有一个钝角， 故此时是钝角三角形，C错误，D正确， 故选：D. 15. 已知正方形的边长为4，点、分别在边、上，且，，若点在正方形的边上，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】建立平面直角坐标系，利用向量的数量积运算及二次函数求值域即可得解. 【详解】如图，建立平面直角坐标系， 则，， 当在上时，设，， ， 当时，，当时，， 即， 当在上时，设，则， ，知， 当在上时，设，， ， 当时，，当时，， 即， 当在上时，设，， ， 当时，，当时，， 即. 综上可得，， 故选：C 16. 对于不为常数数列的无穷数列，其中，设其前项的和为，若满足；对任意的正整数，均存在正整数，使得成立，则称为“可控数列”．现给出下列两个命题： （1）存在等差数列为“可控数列”； （2）存在等比数列为“可控数列”．则下列说法正确的是（ ） A 命题（1）（2）均成立 B. 命题（1）成立，命题（2）不成立 C. 命题（1）不成立，命题（2）成立 D. 命题（1）（2）均不成立 【答案】C 【解析】 【分析】对于（1），依题意化简不等式得，根据等差数列的通项公式与求和公式的特征，利用极限思想即可判断；对于（2）取，计算，取，即可判断条件满足. 【详解】（1）若等差数列不是常数列，则公差，则可看成关于的一次函数， 由得，可看成关于的二次函数， 当足够大时，根据极限的思想可判断上式不成立，故命题（1）不成立； （2）取，则， 则对任意的正整数，不妨取，，符合题意. 故命题（2）正确. 故选：C. 【点睛】方法点睛：本题主要考查新定义数列的概念应用，属于难题. 解题方法为，按照新定义数列要求，将不等式进行化简和计算判断，运用极限思想排除命题（1）；对于等比数列，要说明存在性命题的正确，只需寻找到符合条件的数列和的值即可. 三.解答题（共78分，17~19每题14分，20~21每题18分） 17. 在复数范围解方程． （1）关于的实系数一元二次方程的两根满足，求实数的值； （2）关于的实系数一元二次方程的两根，请根据实数的不同取值范围讨论的值． 【答案】（1）—1或3； （2） 【解析】 【分析】（1）根据方程有实数根与复数根进行讨论，从而求出的值；（2）根据方程有实数根与复数根讨论的范围，从而得到的值. 【小问1详解】 当，即时，，为实数，则，， 所以，解得：； 当，即时，，为复数，由，解得：，， 所以，解得：； 综上：或 【小问2详解】 当，即时，，为实数，则，， 当时，，为一正一负，所以 所以； 当，，为两负数， 当，即时，，为复数，由，解得：，， 则，， 所以 综上： 18. 已知函数 （1）若且的最大值为，求函数在上的单调递增区间； （2）若，函数在上有且仅有一个零点，求实数的取值范围； （3）已知的一条对称轴方程为，令，存在常数，使得函数为偶函数，求最小的正数的值. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】(1）利用辅助角公式求出最大值，建立方程求出m的值，利用函数的单调性进行求解即可; (2）求出函数的解析式，利用函数与方程的关系转化为两个函数交点问题，利用数形结合进行求解即可; (3）根据函数的大小求出m的值，求出,根据函数的奇偶性建立方程组进行求解即可． 【小问1详解】 若且的最大值为,则，即，得，即 , 则 , 当时，，为增函数，此时, 即函数在上的单调递增区间是. 小问2详解】 若，, 函数 由，得 ,当，则 则要使在上有且仅有一个零点， 则或，即实数的取值范围. 【小问3详解】 因为的一条对称轴方程为， 所以 则满足 , 平方得，得 ，得得 ，则, 则, 则, 存在常数 ,使得函数为偶函数， 则， 即 且 , 因为,所以当 时， 取得最小值，此时最小的正数. 19. 设向量，函数在上的最小值与最大值的和为，又数列满足. （1）求证：； （2）求数列的通项公式； （3）设，试问数列中，是否存在正整数，使得对于任意的正整数，都有成立？若存在，求出所有满足条件的的值；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）证明见解析 （2） （3）或9 【解析】 【分析】（1）根据数量积的坐标运算与二次函数的单调性求解即可； （2）根据数列前项和与通项公的关系求解即可； （3）利用，结合作除法根据求解的最大项即可. 【小问1详解】 证明：由已知， 而函数在上是增函数，所以 【小问2详解】 因为，所以， 两式相减，得，当时不满足， 所以数列的通项公式为 【小问3详解】 因为， 又， 当，即时随的增大而增大. 又，即，即当或9时取最大值. 所以存在或9，使得成立 20. 将函数图像进行如下变换：先向下平移个单位长度，再向左平移个单位长度，得到函数的图像 （1）求的最小正周期及单调增区间 （2）当时，方程有两个不等的实根，求实数的取值范围 （3）若函数在区间内恰有2022个零点，求的所有可能取值 【答案】（1），； （2） （3）2022或2023或1348 【解析】 【分析】（1）由三角恒等变换化简即可得到函数解析式，再由正弦型函数的单调性，即可得到结果； （2）根据题意，结合正弦型函数的图像，即可得到结果； （3）根据题意，由换元法可得，转化为二次函数零点问题，即可求解. 【小问1详解】 ， 则由题意可得函数的解析式为， 令，， 则最小正周期为，单调递增区间为，. 【小问2详解】 ，则， 若方程有两个不等的实根，结合函数图像可得 【小问3详解】 设，则函数等价为 由，得 有两个不等的实数根 当时，，此时在上恰有3个零点 当时， 此时在上恰有2个零点 或 或2023 综上所述，的所有可能取值为2022或2023或1348 21. 已知数列和满足，，，成立 （1）求：和的通项公式 （2）设，，求证：. （3）令，求：数列的前项和的通项公式，并直接写出数列的最大值、最小值，并指出分别是第几项. 【答案】（1） （2）证明见解析 （3）；数列的最大值为，是第一项；最小值为，是第二项； 【解析】 【分析】（1）将已知条件的两个式子进行加减运算可得和，进而可求得和； （2）根据条件变形，再利用错位相减法求出，进而得证； （3）分别讨论为偶数和奇数时的，进而可求出数列的最大值、最小值. 【小问1详解】 ，， 两式相加得，，即， 是首项为，公比为的等比数列， ，① 两式相减得，，即， 是首项为，公差为的等差数列， ，② 联立①②可得，； 【小问2详解】 ，， ， ， ， ， 两式相减得， ， ， ，，，得证； 【小问3详解】 ， 当是偶数时， ， 是偶数，，， ， ， 当是奇数时， ， 是奇数，，， ， ， 数列的最大值为，是第一项；最小值为，是第二项； 且数列的前项和的通项公式为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$