精品解析：山东省泰安市岱岳区2024—2025学年下学期七年级数学期中试题

七年级数学练习题 2025.04 一、选择题，每小题4分，共40分． 1. 对于命题“若，则”，下列能说明这个命题是假命题的反例是（ ） A. B. C. D. 2. 下列几组解中，二元一次方程的解是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，∠ACD=120°，∠B=20°，则∠A的度数是（ ） A. 120° B. 90° C. 100° D. 30° 4. 如图，，，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 5. 下列直线，其中直线上每个点的坐标都是二元一次方程的解的是（ ）. A B. C. D. 6. 如图，把一副三角板放在桌面上，若两直角顶点重合，两条斜边平行，则与的差是（ ） A. B. C. D. 7. 袋子里有5个红球，3个白球，球的大小和形状相同，从袋子里取出一个球，球的颜色是红色的概率为（ ） A B. 1 C. D. 8. 我国明代数学家程大位编撰的《算法统宗》记载了“绳索量竿”问题：“一条竿子一条索，索比竿子长一托，折回索子来量竿，却比竿子短一托，问索、竿各长几何？”译文为：“有一根竿和一条绳，若用绳去量竿，则绳比竿长5尺；若将绳对折后再去量竿，则绳比竿短5尺，问绳和竿各有多长？”设绳长x尺，竿长y尺，根据题意得（ ）（注：“托”和“尺”为古代的长度单位，1托尺） A. B. C. D. 9. 质监局对一批口罩进行质量抽检的相关数据统计如下： 抽检数量个 合格数量个 口罩合格率 下面四个推断合理的是（ ） A. 当抽检口罩的数量是个时，口罩合格的数量是个，所以这批口罩中口罩合格的概率是 B. 由于抽检口罩的数量分别是和个时，口罩合格率均是，所以可以估计这批口罩中口罩合格的概率是 C. 随着抽检数量增加，“口罩合格”的频率总在附近摆动，显示出一定的稳定性，所以可以估计这批口罩中“口罩合格”的概率是 D. 当抽检口罩的数量达到个时，“口罩合格”的频率一定是 10. 老师利用两块大小一样的长方体木块测量一张桌子的高度，首先按照图①方式放置，再交换两木块儿的位置，按照图②方式放置，测量的数据如图，则桌子的高度是（ ） A. B. C. D. 二、填空题，每小题4分，共24分． 11. 如图，这是利用杠杆原理使物体平衡的示意图，G为竖直向下的重力，F为竖直向下的拉力．若，则的度数是______． 12. 如果小球在如图所示的地板上自由的滚动，并随机停留在某块方砖上，那么它最终停留在阴影区域的概率是______． 13. 有大小两种货车，辆大货车与4辆小货车一次可以运货吨，辆大货车与辆小货车一次可以运货吨，则辆大货车比辆小货车一次多运货______吨． 14. 将一副直角三角板如图放置，已知，，当时，______． 15. 如图，在平面直角坐标系中，直线与y轴交于点A，直线与y轴，x轴交于点B，点C，与，交于点，连接，已知的长为4．的面积是______． 16. 在一次游戏活动中，老师将一枚硬币给小明，小刚和小华三个同学中一个（其他同学不确定硬币在谁手里）．小明说：“硬币在我手上”；小刚说：“硬币不在我手上”；小华说：“硬币肯定不在小明手上”．三个同学只有一个说对了，则硬币在______的手上． 三、解答题，共86分． 17. 解方程组： （1） （2） 18. 在一个不透明的盒子里装有除颜色外完全相同的红、白、黑三种颜色的球，其中红球个，白球个，黑球若干个，若从中任意摸出一个白球的概率是． （1）求盒子中黑球个数； （2）求任意摸出一个球是黑球的概率； （3）能否通过只改变盒子中白球的数量，使得任意摸出一个球是红球的概率为，若能，请写出如何调整白球数量． 19. 如图，．求证：． 20. 某社团计划购买一些篮球和足球，已知篮球单价是120元，足球单价是150元．若该社团用2400元购买这两种球（篮球、足球都购买）且2400元恰好用完，请你计算该社团共有几种购买方案． 21. （1）【知识回顾】通过学习我们知道一次函数和的图象如图1所示，所以方程组的解为________． （2）【知识探究】 小友结合学习一次函数的经验，对函数的图象进行了探究，下面是小友的探究过程： ①列表：把下表补充完整． x … 0 1 2 3 4 … y … 1 3 5 3 … ②描点、连线：在给出的平面直角坐标系中描出以表中各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象． （3）【知识应用】利用一次函数与二元一次方程（组）的关系，结合函数图象可知，方程组的解为________． 22. 材料阅读：如图①所示的图形，像我们常见的学习用品——圆规．我们不妨把这样图形叫做“规形图”． 解决问题： （1）观察“规形图”，试探究与之间的数量关系，并说明理由； （2）请你直接利用以上结论，解决以下三个问题： ①如图②，把一块三角尺放置在上，使三角尺的两条直角边恰好经过点B，C，若，则______； ②如图③，平分，平分，若，求的度数； ③如图③，平分，平分，若，则______． 23. 某企业积极落实二十大精神，争取通过增收减支，到今年年底使企业利润翻一番，该企业的具体目标是：保证今年总产值比去年增加20%，总支出比去年减少20%，已知该企业去年的利润（利润总产值总支出）为200万元，求今年的总产值，总支出分别是多少万元？ 24. 实验证明，平面镜反射光线的规律是：射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的锐角相等．如图1，一束光线射到平面镜上，被反射后的光线为，则入射光线、反射光线与平面镜所夹的锐角． （1）利用这个规律人们制作了潜望镜，图2是潜望镜工作原理示意图，、是平行放置的两面平面镜．已知光线经过平面镜反射时，有，，请解释进入潜望镜的光线为什么和离开潜望镜的光线是平行的？ （2）显然，改变两面平面镜、之间的位置关系，经过两次反射后，入射光线与反射光线之间的位置关系会随之改变，请你猜想：图3中，当两平面镜、的夹角为多少度时，仍可以使入射光线与反射光线平行，说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 七年级数学练习题 2025.04 一、选择题，每小题4分，共40分． 1. 对于命题“若，则”，下列能说明这个命题是假命题的反例是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查假命题的判断，举反例是说明假命题不成立的常用方法，但需要注意所举反例需要满足命题的题设，但结论不成立．说明命题为假命题，即、的值满足，但不成立，把四个选项中的、的值分别代入验证即可． 【详解】解：当，时，，而成立，故A选项不符合题意； 当，时，，而成立，故B选项不符合题意； 当，时，，但不成立，故C选项符合题意； 当，时，不成立，故D选项不符合题意； 故选：C． 2. 下列几组解中，二元一次方程的解是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．把x与y的值代入方程检验即可． 【详解】解：A、把代入得右边，故不是方程的解，不符合题意； B、把代入得右边，故不是方程的解，不符合题意； C、把代入得右边，故不是方程的解，不符合题意； D、把代入得右边，故是方程的解，符合题意； 故选：D． 3. 如图，∠ACD=120°，∠B=20°，则∠A的度数是（ ） A. 120° B. 90° C. 100° D. 30° 【答案】C 【解析】 【详解】∠A=∠ACD﹣∠B =120°﹣20° =100°， 故选C． 4. 如图，，，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，根据，求出的度数，根据，求出的度数． 【详解】解：如图， ∵，， ∴， ∵， ∴， 故选：B． 5. 下列直线，其中直线上每个点的坐标都是二元一次方程的解的是（ ）. A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二元一次方程与一次函数的关系．熟悉二元一次方程的所有解与对应一次函数图像上的点一一对应，函数图像的识别：根据斜率或与坐标轴的交点判断对应的直线是解题的关键．将二元一次方程变形为一次函数的表达式，求与坐标轴的交点，判断对应的选项即可． 【详解】解：将二元一次方程变形为一次函数的表达式：， ∵， ∴函数图像呈上升趋势， 令，代入得， ∴直线与轴交点为， 令，代入得，解得， ∴直线与轴交点为． 故选：． 6. 如图，把一副三角板放在桌面上，若两直角顶点重合，两条斜边平行，则与的差是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】过点作，由平行线的性质可知，，，，，进而求得，，即可得到答案． 【详解】解：由题意可知，，，，， 过点作， ，，，， ，， ， 故选：B． 【点睛】本题考查了角度的计算，平行线的性质，解题关键是掌握两直线平行，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补． 7. 袋子里有5个红球，3个白球，球的大小和形状相同，从袋子里取出一个球，球的颜色是红色的概率为（ ） A. B. 1 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了根据概率公式求概率，掌握概率公式是解题的关键．根据概率公式直接进行计算即可求解． 【详解】解：∵子里有5个红球，3个白球， ∴从袋子里取出一个球，球的颜色是红色的概率为． 故选：C． 8. 我国明代数学家程大位编撰的《算法统宗》记载了“绳索量竿”问题：“一条竿子一条索，索比竿子长一托，折回索子来量竿，却比竿子短一托，问索、竿各长几何？”译文为：“有一根竿和一条绳，若用绳去量竿，则绳比竿长5尺；若将绳对折后再去量竿，则绳比竿短5尺，问绳和竿各有多长？”设绳长x尺，竿长y尺，根据题意得（ ）（注：“托”和“尺”为古代的长度单位，1托尺） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，根据若用绳去量竿，则绳比竿长5尺；若将绳对折后再去量竿，则绳比竿短5尺列方程组即可． 详解】解：由题意得 故选A． 9. 质监局对一批口罩进行质量抽检的相关数据统计如下： 抽检数量个 合格数量个 口罩合格率 下面四个推断合理的是（ ） A. 当抽检口罩的数量是个时，口罩合格的数量是个，所以这批口罩中口罩合格的概率是 B. 由于抽检口罩的数量分别是和个时，口罩合格率均是，所以可以估计这批口罩中口罩合格的概率是 C. 随着抽检数量的增加，“口罩合格”的频率总在附近摆动，显示出一定的稳定性，所以可以估计这批口罩中“口罩合格”的概率是 D. 当抽检口罩的数量达到个时，“口罩合格”的频率一定是 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了利用频率估计概率及概率的意义等知识，解题的关键是了解大量重复试验中频率的稳定值估计概率，观察表格，利用大量重复试验中频率的稳定值估计概率即可． 【详解】解：观察表格发现：随着试验的次数的增多，口罩合格率的频率逐渐稳定在附近， 所以可以估计这批口罩中合格的概率是． 故选：C． 10. 老师利用两块大小一样的长方体木块测量一张桌子的高度，首先按照图①方式放置，再交换两木块儿的位置，按照图②方式放置，测量的数据如图，则桌子的高度是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．设桌子的高度是，长方体木块截面的长比宽多 ，观察图形，根据各边之间的关系，即可得出关于的二元一次方程组，解之即可得出结论． 【详解】解：设桌子的高度是，长方体木块截面的长比宽多， 依题意，得， 解得：， 故桌子的高度是． 故选：B． 二、填空题，每小题4分，共24分． 11. 如图，这是利用杠杆原理使物体平衡的示意图，G为竖直向下的重力，F为竖直向下的拉力．若，则的度数是______． 【答案】68 【解析】 【分析】本题主要查了平行线的性质．根据平行线的性质解答即可． 【详解】解：如图， 根据题意得：， ∴， ∵， ∴． 故答案为：68． 12. 如果小球在如图所示的地板上自由的滚动，并随机停留在某块方砖上，那么它最终停留在阴影区域的概率是______． 【答案】##0.25 【解析】 【分析】分别求出总面积和阴影部分的面积，根据几何概率的求法可知，小球最终停在阴影区域的概率等于阴影区域的面积与总面积的比值． 【详解】解：总面积为个小正方形的面积， 如图所示，阴影部分的面积为个由两个小正方形组成的长方形的一半， 阴影部分的面积为个小正方形的面积， 小球停留在阴影区域的概率是， 故答案：． 【点睛】本题主要考查了几何概率，正确计算概率等于阴影区域的面积与总面积之比是解题关键． 13. 有大小两种货车，辆大货车与4辆小货车一次可以运货吨，辆大货车与辆小货车一次可以运货吨，则辆大货车比辆小货车一次多运货______吨． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，设每辆大货车一次可以运货吨，每辆小货车一次可以运货吨，根据题意列出方程组即可求解，根据题意找到等量关系是解题的关键． 【详解】解：设每辆大货车一次可以运货吨，每辆小货车一次可以运货吨， 由题意得，， ②①，得， ∴， 即辆大货车比辆小货车一次多运货吨， 故答案为：． 14. 将一副直角三角板如图放置，已知，，当时，______． 【答案】 【解析】 【分析】根据三角形内角和定理、平行线的性质和判定及三角形外角的性质计算即可. 【详解】如图： ，， ，， ， 故答案为： 【点睛】此题考查了三角形内角和定理、平行线的性质和判定及三角形外角的性质掌握相应的定理和性质是解答此题的关键. 15. 如图，在平面直角坐标系中，直线与y轴交于点A，直线与y轴，x轴交于点B，点C，与，交于点，连接，已知的长为4．的面积是______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查一次函数与轴交点，以及一次函数与几何综合，解题的关键在于熟练掌握相关知识． 根据题意求出，再结合与，交于点，以及三角形面积公式求解，即可解题． 【详解】解：当时，， ， 与，交于点， 的面积是， 故答案为：． 16. 在一次游戏活动中，老师将一枚硬币给小明，小刚和小华三个同学中的一个（其他同学不确定硬币在谁手里）．小明说：“硬币在我手上”；小刚说：“硬币不在我手上”；小华说：“硬币肯定不在小明手上”．三个同学只有一个说对了，则硬币在______的手上． 【答案】小刚 【解析】 【分析】本题考查了逻辑推理与论证．解题的关键在于对信息的综合理解．由题意知，若小明正确，则小刚正确，小明、小刚说法均正确，不符合要求；若小刚正确，小明错误，则硬币在小华手上，则小华说法正确，小刚、小华同学说法均正确，不符合要求；若小华正确，小明错误，小刚错误，则硬币在小刚手上，进而可得答案． 【详解】解：由题意知，若小明正确，则小刚正确，小明、小刚同学说法正确，故不符合要求； 若小刚正确，小明错误，则硬币在小华手上，则小华说法正确，小刚、小华说法正确，故不符合要求； 若小华正确，小明错误，小刚错误，则硬币在小刚手上， ∴当三个同学中只有一个说对了，则硬币在小刚的手上， 故答案为：小刚． 三、解答题，共86分． 17. 解方程组： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查二元一次方程组的解法，掌握二元一次方程组的解法及其步骤是解题关键． （1）用加减消元法解答即可； （2）先把方程组中的方程化为不含分母及括号的方程，再用加减消元法求解即可． 【小问1详解】 解： 得：， 解得， 将代入②得：， 解得：， ∴方程组的解为． 【小问2详解】 解： 方程组整理，得 ，得：， 解得． 把代入①，得：， 解得：， ∴该方程组的解为． 18. 在一个不透明的盒子里装有除颜色外完全相同的红、白、黑三种颜色的球，其中红球个，白球个，黑球若干个，若从中任意摸出一个白球的概率是． （1）求盒子中黑球的个数； （2）求任意摸出一个球是黑球的概率； （3）能否通过只改变盒子中白球的数量，使得任意摸出一个球是红球的概率为，若能，请写出如何调整白球数量． 【答案】（1）7 （2） （3）能，可以将盒子中的白球拿出个 【解析】 【分析】（1）直接利用概率公式计算得出盒子中黑球的个数； （2）直接利用概率公式的意义分析得出答案； （3）利用概率公式计算得出符合题意的方法． 【小问1详解】 解：∵红球3个，白球5个，黑球若干个，从中任意摸出一个白球的概率是， ∴， 故盒子中黑球个数为：； 答：盒子中黑球的个数为7． 【小问2详解】 解：任意摸出一个球是黑球的概率为：； 答：任意摸出一个球是黑球的概率为． 【小问3详解】 解：可以将盒子中的白球拿出3个，则任意摸出一个球是红球的概率为， ∴可以将盒子中的白球拿出3个．（方法不唯一） 【点睛】此题主要考查了概率公式，正确掌握概率求法是解题关键． 19. 如图，．求证：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题主要查了平行线的判定和性质．根据，可得，从而得到，再由，可得，即可求证． 【详解】证明：∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． 20. 某社团计划购买一些篮球和足球，已知篮球单价是120元，足球单价是150元．若该社团用2400元购买这两种球（篮球、足球都购买）且2400元恰好用完，请你计算该社团共有几种购买方案． 【答案】三种 【解析】 【分析】本题主要查了二元一次方程的应用．设卖篮球x个，没足球y个，根据题意，列出方程，结合x、y都是正整数，即可求解． 【详解】解：设卖篮球x个，没足球y个，根据题意得： ， 该方程可变形为， ∵x、y都是正整数， ∴y为4的倍数， 当时，， 当时，， 当时，， 答：该社团有三种购买方案． 21. （1）【知识回顾】通过学习我们知道一次函数和的图象如图1所示，所以方程组的解为________． （2）【知识探究】 小友结合学习一次函数的经验，对函数的图象进行了探究，下面是小友的探究过程： ①列表：把下表补充完整． x … 0 1 2 3 4 … y … 1 3 5 3 … ②描点、连线：在给出的平面直角坐标系中描出以表中各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象． （3）【知识应用】利用一次函数与二元一次方程（组）的关系，结合函数图象可知，方程组的解为________． 【答案】（1）；（2）①补全表格见解析；②作图见解析；（3）或 【解析】 【分析】（1）根据一次函数交点坐标与方程组的解的关系直接得到答案； （2）①将，分别代入计算即可； ②将x，y对应值作为点的横纵坐标描点连线即可得到函数图象； （3）画出函数的图象，与的图象交于点和，得到方程组的解为或 【详解】解：（1）∵一次函数和的图象交于点, ∴方程组的解为， 故答案为； （2）①当时，； 当时，； 补全表格如下： x … 0 1 2 3 4 … y … 1 3 5 3 1 … ②描点、连线，画出函数图象如图1所示． （3）由得， 画出函数的图象，与的图象交于点和， ∴方程组的解为或 故答案为或． ． 【点睛】此题考查了求函数值，画函数图象，一次函数与二元一次方程组的关系，正确理解二元一次方程组的解与一次函数的交点的关系是解题的关键． 22. 材料阅读：如图①所示的图形，像我们常见的学习用品——圆规．我们不妨把这样图形叫做“规形图”． 解决问题： （1）观察“规形图”，试探究与之间的数量关系，并说明理由； （2）请你直接利用以上结论，解决以下三个问题： ①如图②，把一块三角尺放置在上，使三角尺的两条直角边恰好经过点B，C，若，则______； ②如图③，平分，平分，若，求的度数； ③如图③，平分，平分，若，则______． 【答案】（1），理由见解析 （2）①50；②85；③ 【解析】 【分析】本题考查的是三角形内角和定理，三角形外角性质以及角平分线的定义的运用． （1）根据题意过点A，D作射线，利用三角形外角性质即可得出答案． （2）①由（1）得：，即可得出答案；②由（1）得： ，再结合角平分线的定义，可得，即可得出答案；③由（1）得： ，再结合角平分线的定义，可得，即可得出答案． 【小问1详解】 解：，理由如下： 如图，过点A，D作射线， 由三角形外角的性质得：， ∵， ∴； 【小问2详解】 解：①由（1）得：， ∵，， ∴； 故答案为：50 ②由（1）得：， ∴， ∵平分，平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； ③由（1）得：， ∴， ∵平分，平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 故答案为： 23. 某企业积极落实二十大精神，争取通过增收减支，到今年年底使企业利润翻一番，该企业的具体目标是：保证今年总产值比去年增加20%，总支出比去年减少20%，已知该企业去年的利润（利润总产值总支出）为200万元，求今年的总产值，总支出分别是多少万元？ 【答案】总产值，总支出分别是720万元和320万元 【解析】 【分析】设去年的总产值，总支出分别是x万元和y万元，根据题意列二元一次方程组解题即可． 【详解】解：设去年的总产值，总支出分别是x万元和y万元， 则， 解得：， ∴今年的总产值为：万元， 总支出为万元， 答：今年的总产值，总支出分别是720万元和320万元． 【点睛】本题考查二元一次方程组应用，找准等量列方程组是解题的关键． 24. 实验证明，平面镜反射光线的规律是：射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的锐角相等．如图1，一束光线射到平面镜上，被反射后的光线为，则入射光线、反射光线与平面镜所夹的锐角． （1）利用这个规律人们制作了潜望镜，图2是潜望镜工作原理示意图，、是平行放置的两面平面镜．已知光线经过平面镜反射时，有，，请解释进入潜望镜的光线为什么和离开潜望镜的光线是平行的？ （2）显然，改变两面平面镜、之间的位置关系，经过两次反射后，入射光线与反射光线之间的位置关系会随之改变，请你猜想：图3中，当两平面镜、的夹角为多少度时，仍可以使入射光线与反射光线平行，说明理由． 【答案】（1）见解析 （2），理由见解析 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质和判定的应用，能灵活运用定理进行推理是解此题的关键． （1）根据平行线的性质证明，根据平行线的判定得出即可； （2）根据三角形内角和定理求出，求出，根据平行线的判定得出即可． 【小问1详解】 证明：如图1，， ， ，， ， ， 即： ． 【小问2详解】 ， 理由是：如图， ， ， ，（已知）， ， ， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $