精品解析：山东省泰安市岱岳区2023-2024学年七年级下学期期中数学试题

七年级数学练习题 一、选择题，每小题4分，共40分． 1. 下列说法正确的是（ ） A. 买一张电影票，座位号是奇数是随机事件 B. 任意画一个三角形，其内角和为是随机事件 C. 打开鲁教版七下数学课本刚好翻到《三角形的内角和定理》是必然事件 D. 2024年国庆节天气晴朗是必然事件 2. 如图，下列条件中，不能判断直线的是（ ） A. B. C. D. 3. 已知方程组的解满足，则的值为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，一块直角三角板的直角顶点放在直尺的一边上．如果，那么的度数是（ ） A. B. C. D. 5. 下面四条直线，其中直线上每个点的坐标都是二元一次方程x﹣2y=2的解是( ) A. B. C. D. 6. 我国古代《算法统宗》里有这样一首诗：“我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多六客，一房八客一房空.”诗中后面两句的意思是：如果一间客房住7人，那么有6人无房可住：如果一间客房住8人，那么就空出一间客房，若设该店有客房x间，房客y人，则列出关于x、y的二元一次方程组正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，已知函数和的图象交于点，则关于x，y的方程组的解是（　　）． A. B. C. D. 8. 在一个不透明的袋子中，有若干个红球和白球，它们除颜色外完全相同，其中红球有6个，且从中摸出白球的概率为，则袋子中白球的个数为（ ） A. 3个 B. 6个 C. 9个 D. 12个 9. 如图，在△ABC中，D为BC上一点，∠1＝∠2，∠3＝∠4，∠BAC＝105°，则∠DAC的度数为（ ） A. 80° B. 82° C. 84° D. 86° 10. 在探究证明“三角形的内角和是”时，综合实践小组的同学作了如下四种辅助线，其中不能证明“三角形内角和是”的是（ ） A. 过顶点C作直线 B 取上任一点D，连接，分别过点A、B作， C. 延长到F，过C作射线 D. 过点C作，垂足为D 二、填空题，每小题四分，共24分 11. 方程的正整数解有______个． 12. 小文抛掷一枚质地均匀、六个面上的点数分别是1~6的骰子，前两次抛掷向上一面的点数都是6，那么第三次抛掷向上一面的点数是6的概率是__________． 13. 如图，，交于点F，平分交于点G，已知，则的大小为______． 14. 某数学兴趣小组做“用频率估计概率”的试验时，统计了某一事件发生的频率，绘制了如图所示的折线统计图．该事件最有可能是______（填序号）． ①一个路口的红绿灯，红灯的时间为30秒，黄灯的时间为5秒，绿灯的时间为40秒，多次经过该路口时，看见红灯的概率； ②掷一枚硬币，正面朝上； ③暗箱中有1个红球和2个黄球，这些球除了颜色外无其他差别，从中任取1个球是红球． 15. 如图，在中，，，D为边上一点，将沿直线翻折后，点C落到点E处．若，则的度数为________． 16. 小明在超市帮妈妈买回一袋纸杯，他把纸杯整齐地叠放在一起，如图所示，根据图中的信息，若小明把20个纸杯整齐叠放在一起时，它的高度约是______． 三、解答题，共8小题，86分． 17. 如图，B，F，E，C在同一条直线上，∠A＝∠D． （1）若∠A＝78°，∠C＝47°，求∠BFD的度数． （2）若∠AEB+∠BFD＝180°，求证：AB∥CD． 18 （1）解方程组：； （2）解方程组． 19. 如图一，在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，AE是BC边上的高，∠ABC＝30°，∠ACB＝70°． （1）求∠DAE的度数． （2）如图二，若点F为AD延长线上一点，过点F作FG⊥BC于点G，求∠AFG度数． 20. 2024年春节期间，电影《熊出没—逆转时空》、《第二十一条》受到广大青少年、小朋友及成年人的喜爱．大年初四，小明一家20口人新年聚会．饭后他们去电影院看这两部电影，儿童看《熊出没—逆转时空》，票价每张35元，成人看《第二十一条》，票价每张40元．小明爸爸买了20张票共花费了765元．请问小明爸爸买了《熊出没—逆转时空》票、《第二十一条》票各多少张？ 21. 某饮品超市利用周末搞促销活动：每购买一瓶冰茶，便可参加摇奖一次，摇奖牌是平均分成10个扇形的转盘，转动转盘，停止转动后指针指向即为中奖情况．如图所示． （1）中奖的概率是多少？ （2）中奖得1瓶冰茶和2瓶冰茶的概率分别是多少？ （3）如果促销活动当天能卖出冰茶500瓶，那么该促销点当天应至少准备奖品冰茶多少瓶？ （4）已知一瓶冰茶成本是3.2元，售价是5元，在周末的这次促销活动中，一天能卖出冰茶500瓶，饮品超市是赔钱还是赚钱？赚钱或赔钱的大约金额是多少？ 22. 如图：在平面直角坐标系中，直线过点和，直线过点和，两条直线交于点E． （1）分别求出，两条直线函数解析式； （2）求出两直线与y轴围成的的面积． 23. 综合实践 实践任务：测量不规则草地面积（下图阴影图形） 实践方案设计：在草地的外围画了一个长5米，宽4米的长方形，在不远处向长方形内掷石子，将石子落点进行了记录．记录结果如下： 一组 二组 三组 四组 石子落在草地内的次数 石子落在草地外长方形内的次数 石子落在长方形外的次数 数据整理与计算：同学们将四个小组的数据收集并整理，他们认为用概率的相关知识就能算出草地的大体面积，请你帮七年级二班同学写出计算过程． 24. 问题情景：七年级2班的同学们在学习了平行线的性质与判定后，研究了如下命题：如果一个角的两边分别平行于另一个角的两边，那么这两个角相等．同学们为了证明该命题是否正确，画出了如下图形： 图1和图2中，和的两边，，小明认为图1中，并进行了证明： （1）小刚观察图2认为且他们之间存在另一种关系，请你帮小刚写出图2中与的数量关系并说明理由； （2）拓展探究：同学们继续探究上面的命题，又画出了下面两种图形：发现与在下图两种位置上仍然存在上述两种数量关系，请你分别写出图3、图4中与的数量关系，并且选择其中一个进行证明； （3）探究结论：通过以上探究，七年级2班的同学们发现“如果一个角的两边分别平行另一个角的两边，那么这两个角相等”这个命题是错误的；请你帮助同学们写出正确的命题：______． （4）探究应用：如图，，，，请直接写出的度数______． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 七年级数学练习题 一、选择题，每小题4分，共40分． 1. 下列说法正确的是（ ） A. 买一张电影票，座位号是奇数是随机事件 B. 任意画一个三角形，其内角和为是随机事件 C. 打开鲁教版七下数学课本刚好翻到《三角形的内角和定理》是必然事件 D. 2024年国庆节天气晴朗是必然事件 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了事件的分类，根据随机事件与必然事件的概念逐一分析即可． 【详解】解：A． 买一张电影票，座位号是奇数是随机事件，符合题意； B． 任意画一个三角形，其内角和为是必然事件，不符合题意； C． 打开鲁教版七下数学课本刚好翻到《三角形的内角和定理》是随机事件，不符合题意； D． 2024年国庆节天气晴朗是随机事件，不符合题意； 故选：A． 2. 如图，下列条件中，不能判断直线是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查平行线的判定，根据内错角相等，两直线平行；同位角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行，可以判断出各个小题中的条件是否可以得到直线，从而可以解答本题． 【详解】解：A、， ，故不符合题意； B、当时，无法判断，故符合题意； C、∵， ∴，故不符合题意； D、∵， ∴，故不符合题意； 故选：B． 3. 已知方程组的解满足，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】将方程组中两方程相减可得x-y=1-k，根据x-y=3可得关于k的方程，解之可得． 【详解】解： ②-①，得：x-y=1-k， ∵x-y=3， ∴1-k=3， 解得：k=-2， 故选：B． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的解及解法：同时满足二元一次方程组的两个方程的未知数的值叫二元一次方程组的解．本题用整体代入的方法达到了简便计算的目的． 4. 如图，一块直角三角板的直角顶点放在直尺的一边上．如果，那么的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了平行线的性质．注意两直线平行，同位角相等定理的应用是解此题的关键． 由题意可求得的度数，然后由两直线平行，同位角相等，求得的度数． 【详解】如图，∵把一块直角三角板的直角顶点放在直尺的一边上， ∴， ∵， ∴． 故选C． 5. 下面四条直线，其中直线上每个点的坐标都是二元一次方程x﹣2y=2的解是( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】∵x﹣2y=2，即y=x﹣1，∴当x=0，y=﹣1；当y=0，x=2． ∴一次函数y=x﹣1，与y轴交于点（0，﹣1），与x轴交于点（2，0），即可得出C符合要求．故选C． 6. 我国古代《算法统宗》里有这样一首诗：“我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多六客，一房八客一房空.”诗中后面两句的意思是：如果一间客房住7人，那么有6人无房可住：如果一间客房住8人，那么就空出一间客房，若设该店有客房x间，房客y人，则列出关于x、y的二元一次方程组正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，根据题意正确的列方程组是解题的关键．如果一间客房住7人，那么有6人无房可住，则；如果一间客房住8人，那么就空出一间客房，则；进而可列二元一次方程组． 【详解】解：由题意知，如果一间客房住7人，那么有6人无房可住，则； 如果一间客房住8人，那么就空出一间客房，则； 依题意得，关于x、y的二元一次方程组为， 故选：D． 7. 如图，已知函数和的图象交于点，则关于x，y的方程组的解是（　　）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查一次函数与二元一次方程（组）的关系，方程组的解就是使方程组中两个方程同时成立的一对未知数的值，而这一对未知数的值也同时满足两个相应的一次函数式，因此方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标．将代入，可求得a的值，再根据一次函数与二元一次方程（组）的关系即可解答． 【详解】解：把点代入得：， 所以关于x，y的方程组的解是． 故选A． 8. 在一个不透明的袋子中，有若干个红球和白球，它们除颜色外完全相同，其中红球有6个，且从中摸出白球的概率为，则袋子中白球的个数为（ ） A. 3个 B. 6个 C. 9个 D. 12个 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查概率的计算，分式方程的解法，熟练掌握利用概率求解问题是解题的关键．设白球的个数为x个，由题意可得，进而求解即可． 【详解】解：设白球的个数为x个，由题意得： ， 解得：， 经检验：是方程的根， ∴白球的个数为12个； 故选：D． 9. 如图，在△ABC中，D为BC上一点，∠1＝∠2，∠3＝∠4，∠BAC＝105°，则∠DAC的度数为（ ） A. 80° B. 82° C. 84° D. 86° 【答案】A 【解析】 【分析】根据三角形的内角和定理和三角形的外角性质即可解决． 【详解】解：∵∠BAC＝105°， ∴∠2＋∠3＝75°① ∵∠1＝∠2， ∴∠4＝∠3＝∠1＋∠2＝2∠2② 把②代入①得：3∠2＝75°， ∴∠2＝25°． ∴∠DAC＝105°−25°＝80°． 故选A． 【点睛】此题主要考查了三角形的外角性质以及三角形内角和定理，熟记三角形的内角和定理，三角形的外角性质是解题的关键． 10. 在探究证明“三角形的内角和是”时，综合实践小组的同学作了如下四种辅助线，其中不能证明“三角形内角和是”的是（ ） A. 过顶点C作直线 B. 取上任一点D，连接，分别过点A、B作， C. 延长到F，过C作射线 D. 过点C作，垂足为D 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了平行线的判定和性质，掌握两直线平行，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补是解题关键．根据作法分别还出图形，再结合平行线的性质分别求解即可． 【详解】解：A、如图1，， ，， ， ，可以证明“三角形内角和是”，不符合题意； B、如图2，，， ，，， ， ，可以证明“三角形内角和是”，不符合题意； C、如图3，， ，， ， ，可以证明“三角形内角和是”，不符合题意； D、如图4，， ，无法证明“三角形内角和是”，符合题意； 故选：D． 二、填空题，每小题四分，共24分 11. 方程的正整数解有______个． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查了解二元一次方程和二元一次方程的解，能理解二次一次方程的解的定义是解此题的关键．先根据等式的性质进行变形得出，再求出正整数解即可． 【详解】解：∵， ∴， 当时，； 当时，， 即方程的正整数解有，，共2组， 故答案为：2． 12. 小文抛掷一枚质地均匀、六个面上的点数分别是1~6的骰子，前两次抛掷向上一面的点数都是6，那么第三次抛掷向上一面的点数是6的概率是__________． 【答案】 【解析】 【分析】利用简单的概率公式计算即可． 【详解】根据题意可知，每一次投掷都是独立事件， 即第三次抛掷向上一面的点数是6的概率是， 故答案为：． 【点睛】本题考查了利用简单概率公式求解概率的知识，判断出每一次投掷都是独立事件，是解答本题的关键． 13. 如图，，交于点F，平分交于点G，已知，则的大小为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查平行线的性质，角平分线的概念，掌握平行线的性质及角平分线的定义是解题关键．根据平行线的性质求得，然后根据角平分线的概念分析求解． 【详解】解：， 平分， ∴， ， 故答案为：． 14. 某数学兴趣小组做“用频率估计概率”试验时，统计了某一事件发生的频率，绘制了如图所示的折线统计图．该事件最有可能是______（填序号）． ①一个路口的红绿灯，红灯的时间为30秒，黄灯的时间为5秒，绿灯的时间为40秒，多次经过该路口时，看见红灯的概率； ②掷一枚硬币，正面朝上； ③暗箱中有1个红球和2个黄球，这些球除了颜色外无其他差别，从中任取1个球是红球． 【答案】③ 【解析】 【分析】根据统计图可知发生的频率接近，从而可以解答本题． 【详解】解： ①多次经过该路口时，看见红灯的概率为； ②掷一枚硬币，正面朝上的概率为； ③从中任取1个球是红球的概率为， 由折线统计图可知发生的频率接近， 故该事件最有可能是③， 故答案为：③． 【点睛】本题主要考查概率公式的应用，解答本题的关键是求出各事件发生的概率． 15. 如图，在中，，，D为边上一点，将沿直线翻折后，点C落到点E处．若，则的度数为________． 【答案】##70度 【解析】 【分析】根据三角形的内角和得到，由折叠的性质得到，，根据平行线的性质得到，求出，根据三角形的外角的性质即可得到结论． 【详解】解：∵， ∴， 由折叠的性质得，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了三角形的内角和，三角形外角的性质，折叠的性质，平行线的性质，熟练掌握折叠的性质是解题的关键． 16. 小明在超市帮妈妈买回一袋纸杯，他把纸杯整齐地叠放在一起，如图所示，根据图中的信息，若小明把20个纸杯整齐叠放在一起时，它的高度约是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组应用，找出等量关系正确列方程组是解题关键．根据题意设未知数，列方程组求解即可． 【详解】解：设未知数如图， 由题意得：，解得：， 则20个纸杯整齐叠放在一起时，它的高度约是， 故答案为：． 三、解答题，共8小题，86分． 17. 如图，B，F，E，C在同一条直线上，∠A＝∠D． （1）若∠A＝78°，∠C＝47°，求∠BFD的度数． （2）若∠AEB+∠BFD＝180°，求证：AB∥CD． 【答案】（1）125° （2）见解析 【解析】 【分析】（1）根据等量关系和三角形外角的性质可求∠BFD的度数． （2）根据平角的定义和等量关系可得∠AEB=∠CFD，再根据三角形内角和定理和平行线的判定即可求解． 【小问1详解】 解：∵∠A=78°，∠A=∠D， ∴∠D=78°， ∵∠C=47°， ∴∠BFD=∠D+∠C=78°+47°=125°； 【小问2详解】 证明：∵∠AEB+∠BFD=180°，∠CFD+∠BFD=180°， ∴∠AEB=∠CFD， ∵∠A=∠D， ∴∠B=∠C， ∴AB∥CD． 【点睛】本题考查了平行线的判定，三角形外角的性质，关键是熟悉内错角相等，两直线平行的知识点． 18. （1）解方程组：； （2）解方程组． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】本题考查的是解二元一次方程组，掌握加减消元法和代入消元法是解题关键． （1）利用加减消元法解二元一次方程即可； （2）利用加减消元法解二元一次方程即可． 【详解】（1）解：， 由得：， 解得：， 将代入②得：， 解得：， 方程组的解为； （2）解：， 由得：， 解得：， 将代入②得：， 解得：， 方程组的解为． 19. 如图一，在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，AE是BC边上的高，∠ABC＝30°，∠ACB＝70°． （1）求∠DAE的度数． （2）如图二，若点F为AD延长线上一点，过点F作FG⊥BC于点G，求∠AFG的度数． 【答案】（1）20°；（2）20°． 【解析】 【分析】（1）先利用三角形内角和定理求出，再利用角平分线求出，进而求出，最后用三角形的内角和定理 即可得出结论； （2）先判断出，即可得出结论． 【详解】解：（1）在中， ，， 平分 ， 在中， 为三角形的高， ． 在中，． （2） 由（1）可知 ． 【点睛】此题主要考查了三角形的内角和定理，角平分线的定义，高线的定义，平行线的判定和性质，求出是解本题的关键． 20. 2024年春节期间，电影《熊出没—逆转时空》、《第二十一条》受到广大青少年、小朋友及成年人的喜爱．大年初四，小明一家20口人新年聚会．饭后他们去电影院看这两部电影，儿童看《熊出没—逆转时空》，票价每张35元，成人看《第二十一条》，票价每张40元．小明爸爸买了20张票共花费了765元．请问小明爸爸买了《熊出没—逆转时空》票、《第二十一条》票各多少张？ 【答案】小明爸爸买了《熊出没—逆转时空》票张，《第二十一条》票张． 【解析】 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，根据题中数量关系正确列方程是解题关键．设小明爸爸买了《熊出没—逆转时空》票张，根据“小明爸爸买了20张票共花费了765元”列一元一次方程，求解即可． 【详解】解：设小明爸爸买了《熊出没—逆转时空》票张，则买了《第二十一条》票张， 由题意得：， 解得：， （张）， 答：小明爸爸买了《熊出没—逆转时空》票张，《第二十一条》票张． 21. 某饮品超市利用周末搞促销活动：每购买一瓶冰茶，便可参加摇奖一次，摇奖牌是平均分成10个扇形的转盘，转动转盘，停止转动后指针指向即为中奖情况．如图所示． （1）中奖的概率是多少？ （2）中奖得1瓶冰茶和2瓶冰茶的概率分别是多少？ （3）如果促销活动当天能卖出冰茶500瓶，那么该促销点当天应至少准备奖品冰茶多少瓶？ （4）已知一瓶冰茶的成本是3.2元，售价是5元，在周末的这次促销活动中，一天能卖出冰茶500瓶，饮品超市是赔钱还是赚钱？赚钱或赔钱的大约金额是多少？ 【答案】（1） （2）中奖得1瓶冰茶的概率是，中奖得2瓶冰茶的概率是； （3）该促销点当天应至少准备奖品冰茶瓶； （4）饮品超市赚钱，大约金额是元． 【解析】 【分析】本题考查了概率公式的应用，有理数混合运算的额应用，根据题意求出中奖概率是解题关键． （1）根据概率公式求解即可； （2）根据概率公式求解即可； （3）用数量乘以得奖概率，再乘以奖励瓶数，相加即可； （4）结合（3）所求，用销售金额减去进货成本，即可求解． 【小问1详解】 解：摇奖牌是平均分成10个扇形的转盘，其中3个扇形会中奖， 中奖的概率是； 【小问2详解】 解：摇奖牌是平均分成10个扇形的转盘，其中2个扇形中奖得1瓶冰茶，1个扇形中奖得2瓶冰茶， 中奖得1瓶冰茶的概率是，中奖得2瓶冰茶的概率是； 【小问3详解】 解：（瓶）， 答：该促销点当天应至少准备奖品冰茶瓶； 【小问4详解】 解：（元）， 答：饮品超市赚钱，大约金额是元． 22. 如图：在平面直角坐标系中，直线过点和，直线过点和，两条直线交于点E． （1）分别求出，两条直线的函数解析式； （2）求出两直线与y轴围成的的面积． 【答案】（1）直线：；直线：； （2） 【解析】 【分析】本题考查了求一次函数解析式，一次函数与二元一次方程组，掌握一次函数的图象和性质，利用数形结合的思想解决问题是解题关键． （1）利用待定系数法，分别设出函数解析式，再将点代入，求出对应的、的值，即可得出答案； （2）联立直线和，求出点坐标，再求出的长，即可得到的面积． 【小问1详解】 解：设直线的函数解析式为， 将点和代入解析式， 则，解得：， 直线：； 设直线的函数解析式为， 将点和代入解析式， 则，解得：， 直线：； 【小问2详解】 解：联立直线和得：，解得：， ， ，， ， 的面积． 23. 综合实践 实践任务：测量不规则草地面积（下图阴影图形） 实践方案设计：在草地的外围画了一个长5米，宽4米的长方形，在不远处向长方形内掷石子，将石子落点进行了记录．记录结果如下： 一组 二组 三组 四组 石子落在草地内的次数 石子落在草地外长方形内的次数 石子落在长方形外的次数 数据整理与计算：同学们将四个小组的数据收集并整理，他们认为用概率的相关知识就能算出草地的大体面积，请你帮七年级二班同学写出计算过程． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查了利用频率估计概率．分别求出四组石子落在草地内的次数占石子落在长方形内的次数比，估计出石子落在草地内的概率，再用长方形面积乘以概率即可求解． 【详解】解：四组石子落在草地内的次数占石子落在长方形内的次数比： 一组：； 二组：； 三组：； 四组：， 估计石子落在草地内的概率约为， 长方形的面积（平方米）， 草地的大体面积（平方米）， 答：草地的大体面积为平方米． 24. 问题情景：七年级2班的同学们在学习了平行线的性质与判定后，研究了如下命题：如果一个角的两边分别平行于另一个角的两边，那么这两个角相等．同学们为了证明该命题是否正确，画出了如下图形： 图1和图2中，和两边，，小明认为图1中，并进行了证明： （1）小刚观察图2认为且他们之间存在另一种关系，请你帮小刚写出图2中与数量关系并说明理由； （2）拓展探究：同学们继续探究上面的命题，又画出了下面两种图形：发现与在下图两种位置上仍然存在上述两种数量关系，请你分别写出图3、图4中与的数量关系，并且选择其中一个进行证明； （3）探究结论：通过以上探究，七年级2班的同学们发现“如果一个角的两边分别平行另一个角的两边，那么这两个角相等”这个命题是错误的；请你帮助同学们写出正确的命题：______． （4）探究应用：如图，，，，请直接写出的度数______． 【答案】（1），理由见解析； （2）图3中，；图4中，，证明见解析； （3）如果一个角的两边分别平行另一个角的两边，那么这两个角相等或互补 （4） 【解析】 【分析】本题考查了平行线的判定和性质，掌握两直线平行，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补是解题关键． （1）根据平行线的性质，分别得到，，即可证明与的数量关系； （2）如图3，连接并延长至点；如图4，延长至点，与交于点，利用平行线的性质分别求解即可 （3）根据（1）和（2）所得结论归纳即可； （4）根据两直线平行，同旁内角互补，得出，即可得解． 【小问1详解】 解：，理由如下： ， ， ， ， ； 【小问2详解】 解：如图3，，证明如下： 连接并延长至点， ， ， ， ， ； 如图4，，证明如下： 延长至点，与交于点， ， ， ， ， ， ， ； 【小问3详解】 解：由（1）和（2）所得结论可知，如果一个角的两边分别平行另一个角的两边，那么这两个角相等或互补； 【小问4详解】 解：， ， ， ， ． 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