精品解析：黑龙江哈尔滨市第五中学校2025-2026学年高三下学期期中考试数学试卷

哈五中2025-2026学年度下学期 高三学年期中考试数学试卷 第I卷（选择题，共58分） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若复数为纯虚数，则实数的值为（ ） A. 2 B. 2或 C. D. 2. 设向量，，且，则向量与的夹角为（ ） A. B. C. D. 3. 已知向量与的夹角为，，则向量在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 4. 在 中，内角，，的对边分别为，， ，其中为钝角， ， ，点 是 的重心，且，则（ ） A. B. C. D. 5. 在 中，M是 的中点， ，点P在 上且满足，则等于（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在多面体中，四边形ABCD是边长为3的正方形，，E到平面ABCD的距离为3，，.若A，B，C，D，E，F在同一球面上，则该球的表面积为（ ） A. B. C. D. 7. 若，且，那么 是（ ） A. 直角三角形 B. 等边三角形 C. 等腰三角形 D. 等腰直角三角形 8. 已知 、表示两条不同的直线，、表示两个不同的平面，则（ ） A. 若 ，，则 B. 若 ，，则 C. 若 ，，则 D. 若 ， ，则 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. ，是复数，下列说法正确的是（ ） A. 若，则是纯虚数 B. 若，则 C. 若，互为共轭虚数，则，在复平面内对应的点关于实轴对称 D. 若，则 10. 如图，圆锥内有一个内切球，为底面圆的直径，球与母线，分别切于点，.若是边长为2的等边三角形，为底面圆的一条直径（与不重合），则下列说法正确的是（ ） A. 球的表面积为 B. 圆锥的侧面积为 C. 四面体的体积的取值范围是 D. 若 为球面和圆锥侧面的交线上一点，则的最大值为 11. “奔驰定理”因其几何表示酷似奔驰的标志得来，是平面向量中一个非常优美的结论.奔驰定理与三角形四心（重心、内心、外心、垂心）有着神秘的关联.它的具体内容是：已知M是 内一点，，，的面积分别为，，，且.以下命题正确的有（    ） A. 若，则M为 的重心 B. 若M为 的内心，则 C. 若M为 的垂心，，则 D. 若 ， ，M为 的外心，则 第II卷（非选择题，共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 将复数所表示的向量绕原点按逆时针方向旋转角所得的向量对应的复数为，则_____________． 13. 平面截球O的球面所得圆的半径为1，球心O到平面的距离为，则此球O的体积为______. 14. 已知 的边，且，则 的面积的最大值为___________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 如图，在四棱锥中，底面 为矩形，侧面 底面 ，，， （1）求证：平面 ； （2）若 ， 分别为棱 ，的中点，求证：∥平面 ； （3）设 为等边三角形，求直线 与平面所成角的大小． 16. 已知向量，. （1）若，求； （2）若，函数，求的值域. 17. 如图，在四棱锥 中，，. （1）若点为的中点，为 的中点，求证：平面平面 . （2）在棱上是否存在一点 ，使得 平面 ？若存在，请求出的值：若不存在，请说明理由. 18. 已知 内角的对边为，点是 的内心，若． （1）求角； （2）延长 交 于点，若，求 的周长； （3）求 的取值范围． 19. 如图，在四棱柱中，， ，，，， 分别是棱， 的中点. （1）证明： 平面. （2）若，直线 与平面所成角的正弦值为. ①求四棱柱的体积； ②求平面与平面的夹角的余弦值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 哈五中2025-2026学年度下学期 高三学年期中考试数学试卷 第I卷（选择题，共58分） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若复数为纯虚数，则实数的值为（ ） A. 2 B. 2或 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，利用纯虚数的定义列式计算作答. 【详解】因为复数为纯虚数，则有，解得， 所以实数的值为. 故选：C 2. 设向量，，且，则向量与的夹角为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用平面向量垂直的坐标表示求出 的值，设向量与的夹角为，利用平面向量数量积的坐标运算求出的值，结合的取值范围可求得角的值. 【详解】因为向量，，且，则，解得， 所以，，所以，， 设向量与的夹角为，则， 因为，故． 故选：D． 3. 已知向量与的夹角为，，则向量在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，结合向量的投影的定义和计算方法，即可求解. 【详解】由题意知，向量且向量与的夹角为， 所以向量在上的投影为， 又因为，所以向量在上的投影向量为. 故选：A. 4. 在 中，内角，，的对边分别为，， ，其中为钝角， ， ，点 是 的重心，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由正弦定理求出，再由重心的性质求出边上的中线，由余弦定理得 ，在 中 ，联立方程即可求解． 【详解】由题意得 ， ， 则 ，，因为为钝角，所以． 设中点为，，． 在三角形 和三角形 中，由余弦定理可得： ， ，化简得 ， 在三角形中， ， 所以得 ，解得 ， 所以． 5. 在 中，M是 的中点， ，点P在 上且满足，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先根据向量的加法求出，然后求出，进而可直接求解. 【详解】因为M是 的中点，所以， 又因为点P在 上且满足， ，所以， 所以. 故选：A. 6. 如图，在多面体中，四边形ABCD是边长为3的正方形，，E到平面ABCD的距离为3，，.若A，B，C，D，E，F在同一球面上，则该球的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】为 中点，为矩形中心，可得平面，外接球球心在上，由外接球球心的特征，通过构造直角三角形利用勾股定理求出外接球半径，可求表面积. 【详解】连接，，相交于点， 因为四边形为矩形，所以为矩形外接圆的圆心. 分别取 ，， 的中点M，P，Q， 连接 ， 则， 且为 的中点， 因为，所以， 为矩形，，则有，，， ， ，是平面内的两条相交直线， 平面， 平面，平面平面， 平面平面， 等腰梯形中，分别为的中点，则有， 所以平面， 则多面体的外接球球心在上， ，平面， 平面，则 平面， E到平面ABCD的距离为3，则， 当在线段上时，设，则， 在和中，由外接球半径， 有，即，解得 ， 外接球半径， 该球的表面积. 当在线段的延长线上时，同理可得，此时无解. 故选：D. 7. 若，且，那么 是（ ） A. 直角三角形 B. 等边三角形 C. 等腰三角形 D. 等腰直角三角形 【答案】B 【解析】 【分析】由给定边的关系式结合余弦定理求出角A，再由正弦定理角化边，结合边的关系式可得c=b即可推理作答. 【详解】由，得， 化简得， 所以，由余弦定理得， 因为，所以， 因为， 所以，由正余弦定理角化边得，化简得， 所以，即 为等边三角形． 故选：B 8. 已知 、表示两条不同的直线，、表示两个不同的平面，则（ ） A. 若 ，，则 B. 若 ，，则 C. 若 ，，则 D. 若 ， ，则 【答案】C 【解析】 【分析】根据各选项中的已知条件判断各选项中线线、线面、面面的位置关系，由此可得出合适的选项. 【详解】对于A选项，若 ，，则或或或与斜交，A选项错误； 对于B选项，若 ，，则 或或 与相交，B选项错误； 对于C选项，若 ，，则，C选项正确； 对于D选项，若 ， ，则与平行或相交，D选项错误. 故选：C. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. ，是复数，下列说法正确的是（ ） A. 若，则是纯虚数 B. 若，则 C. 若，互为共轭虚数，则，在复平面内对应的点关于实轴对称 D. 若，则 【答案】AC 【解析】 【分析】对于A：根据复数的乘方结合复数的相关概念分析判断；对于C：根据共轭复数的概念结合复数的几何意义分析判断；对于BD：举反例说明即可. 【详解】设，， 对于选项A：若，则，可得或 ， 当时，，则； 当 时，，不符合题意； 综上所述：，， 所以是纯虚数，故A正确； 对于选项B：例如，则，符合题意， 但，故B错误； 对于选项C：若，则，可得，， 可知在复平面内对应的点的坐标为，即， 且在复平面内对应的点的坐标为， 所以，在复平面内对应的点关于实轴对称，故C正确； 对于选项D：若，， 则，，满足， 但、的大小无法比较，故D错误． 故选：AC． 10. 如图，圆锥内有一个内切球，为底面圆的直径，球与母线，分别切于点，.若是边长为2的等边三角形，为底面圆的一条直径（与不重合），则下列说法正确的是（ ） A. 球的表面积为 B. 圆锥的侧面积为 C. 四面体的体积的取值范围是 D. 若 为球面和圆锥侧面的交线上一点，则的最大值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】A选项，正内切圆即为球的截面大圆，又正的边长为2，求出球的半径，得到球的表面积；B选项，利用圆锥侧面积公式进行求解；C选项，四面体被平面截成体积相等的两部分，设到平面的距离为，求出正三角形的边长和面积，求出；D选项，动点 的轨迹是圆，可得，故 ，因此，由均值不等式得到，故D正确. 【详解】A选项，连接，等边三角形内切圆即为球的截面大圆，球心在线段上， 又等边三角形的边长为2，所以，， 则球的半径， 所以球的表面积，故A正确； B选项，圆锥的侧面积，故B错误； C选项，由题意可得四面体被平面截成体积相等的两部分， 设到平面的距离为， 球的半径，三角形为等边三角形，设其边长为 ， 则，故， 故三角形的面积为， 即，故C正确； D选项，依题意，动点 的轨迹是圆，所在平面与圆锥底面平行，令其圆心为， ，故，是边， 的中点，可得，， ， 则有，故， 又，故， 即 ，因此， 由均值不等式，得，即， 当且仅当时取“”，故D正确. 故选：ACD 11. “奔驰定理”因其几何表示酷似奔驰的标志得来，是平面向量中一个非常优美的结论.奔驰定理与三角形四心（重心、内心、外心、垂心）有着神秘的关联.它的具体内容是：已知M是 内一点，，，的面积分别为，，，且.以下命题正确的有（    ） A. 若，则M为 的重心 B. 若M为 的内心，则 C. 若M为 的垂心，，则 D. 若 ， ，M为 的外心，则 【答案】ABC 【解析】 【分析】对于A，取 中点，连接，由题意可得，即有，同理可得，，即可判断；对于B，设内切圆的半径为，由三角形的面积公式可得，整理即可判断；对于C，由题意可得，再由三角形的面积公式可得 ，，设，可得，进而可得，，，即可判断；对于D，设 的外接圆半径为 ，根据题意及三角形的面积公式可得，，，即可判断. 【详解】A选项，因为，所以， 取 的中点，则，所以， 故三点共线，且， 同理，取中点，中点 ，可得三点共线，三点共线， 所以M为 的重心，A正确； B选项，若M为 的内心，可设内切圆半径为， 则，，， 所以， 即，B正确； C选项，若M为 的垂心，， 则， 如图，⊥ ， ⊥， ⊥，相交于点， 又， ，即， ，即， ，即， 设，，，则，，， 因为，， 所以，即， 同理可得，即，故， ，则， 故， ，则， 故， ， 故， 同理可得， 故，C正确； D选项，若 ， ，M为 的外心， 则， 设 的外接圆半径为 ，故， ， 故，，， 所以，D错误. 故选：ABC 第II卷（非选择题，共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 将复数所表示的向量绕原点按逆时针方向旋转角所得的向量对应的复数为，则_____________． 【答案】 【解析】 【分析】根据复数的三角表示式进行求解即可. 【详解】由题意得，，． 所以将所表示的向量逆时针旋转，所得向量对应的复数为． 根据复数乘法的几何意义，旋转角。该值满足. 故答案为：. 13. 平面截球O的球面所得圆的半径为1，球心O到平面的距离为，则此球O的体积为______. 【答案】 【解析】 【详解】试题分析：由题意知截面圆半径，球心到平面的距离为，即，画出截面图，可知球的半径，则球的体积为. 考点：求空间中线段的长，球的体积. 14. 已知 的边，且，则 的面积的最大值为___________. 【答案】 【解析】 【分析】首先根据三角恒等变形和正弦定理变形得到，再利用三角形面积公式得，再转化为三角函数的性质，求函数的最大值 【详解】由题意，设 中角，，所对应的边长度分别为，， ，则有， 由可得，整理得， ∴， ∵，∴，∴， 由正弦定理可得， ∴，则有. 故 的面积 . ∵，∴，当时， 的面积 取得最大值. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：本题考查三角函数和解三角形相结合的综合应用，本题的关键是利用三角恒等变形和正弦定理得到，为后面转化为关于的三角函数求最值奠定基础. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 如图，在四棱锥中，底面 为矩形，侧面 底面 ，，， （1）求证：平面 ； （2）若 ， 分别为棱 ，的中点，求证：∥平面 ； （3）设 为等边三角形，求直线 与平面所成角的大小． 【答案】（1）证明：因为底面 为矩形，所以 ， 因为侧面 底面 ，侧面底面， 底面 ， 所以平面 . （2）证明：取中点 ，连接 ，， 因为 是中点，所以，， 又因为矩形 ，所以，，且 是 中点， 所以，， 所以四边形是平行四边形， 所以， 又因为平面 ，平面 ， 所以平面 . （3） 【解析】 【分析】（1）根据面面垂直的性质定理即可证明平面 ； （2）易证四边形是平行四边形，进而根据线面平行的判断定理证明即可； （3）由（1）可知平面平面 ，进而可知是直线 与平面所成角，在三角形中求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由（1）可知平面 ， 因为 平面， 所以平面平面 ， 又平面平面， 因为 为等边三角形， 所以，平面 ， 所以平面， 连接 ，所以是直线 与平面所成角， 在矩形 中，， 在正 中，， 所以， 因为， 因此， 即直线 与平面所成角为 【点睛】 16. 已知向量，. （1）若，求； （2）若，函数，求的值域. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】根据向量共线定理的坐标形式建立方程即可求得结果； 利用换元法转化成一元二次函数，即可求得结果. 【小问1详解】 解：向量，，， 即， ， . 【小问2详解】 ，， ， 设， 则， ，， 设，， 由二次函数性质可得： ， . 故的值域为. 17. 如图，在四棱锥 中，，. （1）若点为的中点，为 的中点，求证：平面平面 . （2）在棱上是否存在一点 ，使得 平面 ？若存在，请求出的值：若不存在，请说明理由. 【答案】（1）证明见解析 （2）存在，，理由见解析 【解析】 【分析】（1）通过证平面 ，平面 ，由线面平行即可证面面平行； （2）由面面平行的判定和性质，结合平行线的性质，即可判定存在性. 【小问1详解】 因为，所以 为等边三角形， 因为为 的中点，所以， 因为，， 所以， 所以， 所以 ，所以， 因为平面 ， 平面 ，所以平面 ， 又点为的中点，为 的中点， 所以， 因为平面 ， 平面 ，所以平面 ， 又，平面，平面， 所以平面平面 ； 【小问2详解】 存在，， 过作交 与 ，再过 作，交于 ，连接 ， 则 即为所求， 由，所以， 所以， 在直角 ，， 所以， 所以， 由得， 证明：当时，得， 由平面 ， 平面 ，所以平面 ， 又，平面 ， 平面 ，平面 ， ，平面，平面， 所以平面平面 ，因为平面， 所以平面 . 18. 已知 内角的对边为，点是 的内心，若． （1）求角； （2）延长 交 于点，若，求 的周长； （3）求 的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据正弦定理化简等式，求出角的值. （2）利用三角形面积相等得到，然后利用余弦定理，通过化简可求得 的值，从而得到三角形的周长. （3）首先根据三角形面积相等求出内切圆半径的表达式，然后利用余弦定理求出的关系，进而可得到 与的表达式，最后利用基本不等式的性质求出 范围进而求出 的范围. 【小问1详解】 因为，所以根据正弦定理得， 化简得. 因为，所以. 所以，因为，所以. 【小问2详解】 如图，， 所以， 化简得：①. 根据余弦定理得②， ①②联立方程组解得：. 解得，又，所以. 所以 的周长为. 【小问3详解】 令三角形 内切圆半径为. 因为. . 所以，解得. 因为，所以. 根据余弦定理得：， 即，故‘ 又，解得， 故， 综上， 的取值范围为. 19. 如图，在四棱柱中，， ，，，， 分别是棱， 的中点. （1）证明： 平面. （2）若，直线 与平面所成角的正弦值为. ①求四棱柱的体积； ②求平面与平面的夹角的余弦值. 【答案】（1）证明：在梯形中，， ，则， 在 中，，， 则， ，而，平面， 所以 平面. （2）①24；② 【解析】 【分析】（1）利用余弦定理证得 ，再利用线面垂直的判定推理得证. （2）①取中点，利用线面角的定义求出，进而求出体积；②连接，利用几何法探求出两个平面的夹角，再进行求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ①由，平面，得平面， 取中点，连接，由是的中点，得， 由（1）知，平面，则是直线 与平面所成的角， 即，，， 所以四棱柱的体积. ②连接，由①知平面，，则平面， 平面，则，而，于是， 又平面，所以平面， 因为平面，所以， 由 是 的中点，得，共面， 因此是平面与平面的夹角， ， 所以平面与平面的夹角的余弦值是. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $