精品解析：广东省惠州市惠东县2023-2024学年高一上学期期中数学试题

广东省惠州市惠东县2023-2024学年高一上学期期中数学试题 2023.11 本试卷共4页，22小题，满分150分，考试用时120分钟． 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上，并将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”． 2.作答单项及多项选择题时，选出每个小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案信息点涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，写在本试卷上无效． 3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案：不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答无效． 4.考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将答题卡交回． 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 给出下列关系：①；②；③；④；⑤，其中正确的个数（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 2. 若全集，集合，则图中阴影部分表示的集合为（ ） A. B. C. D. 3. 命题“都有”的否定是（ ） A. ，使得 B. ，使得 C. ，都有 D. ，都有 4. 若函数在区间上为不单调函数，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 5. 已知函数()，当时，取得最小值，则（ ） A. B. 2 C. 3 D. 8 6. 若关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集为（ ） A. 或 B. C. 或 D. 7. 命题“，”为真命题的一个充分不必要条件是（ ） A. B. C. D. 8. 若定义在上的函数同时满足：①为奇函数；②对任意的，且，都有，则称函数具有性质．已知函数具有性质，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错得0分． 9. 下列各组函数不是同一函数的是（ ） A. B. C. D. 10. 已知a，b，c，d均为实数，则下列命题中正确的是（ ） A. 若a＞b，c＞d．则ac＞bd B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 11. 下列关于充分条件和必要条件的判断，其中正确的是（ ） A. “，都是偶数”是“是偶数”的充分不必要条件 B. “”是“”的必要不充分条件 C. 设，，，则“”是“”的充要条件 D. 设，，则“且”是“”的必要不充分条件 12. 已知函数的定义域为，且对任意a，，都有，且当时，恒成立，则（ ） A. 函数是上的增函数 B. 函数是奇函数 C. 若，则的解集为 D. 函数为偶函数 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分，其中16题第一空2分，第二空3分． 13. 已知函数，则__________. 14. 已知函数是定义域为的奇函数，当时，，则______. 15. 已知在区间上是单调减函数，则实数的取值范围为______． 16. 若区间满足：①函数在上有定义且单调；②函数在上的值域也为，则称区间为函数的共鸣区间．请完成：（1）写出函数的一个共鸣区间________；（2）若函数存在共鸣区间，则实数的取值范围是________． 四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 设集合， （1）当时，求； （2）若，求实数的取值范围． 18. 已知使不等式对于一切实数恒成立的实数取值的集合为A，关于的不等式的解集为B. （1）求集合A与集合B； （2）若，且是的必要不充分条件，求实数的取值范围. 19. 已知函数． （1）求函数的解析式； （2）根据函数单调性的定义证明函数在上单调递增． 20. 已知关于的不等式的解集为或. （1）求，的值； （2）当，，且满足时，有恒成立，求的取值范围. 21. 某公司决定在公司仓库外借助一侧原有墙体，建造一间墙高为3米，底面积为24平方米，且背面靠墙的长方体形状的应急室，由于此应急室后背靠墙，无需建造费用，因此甲工程队给出的报价为：应急室正面墙体每平方米的报价400元，侧面墙体每平方米的报价均为300元，屋顶和地面及其他报价共计7200元，设应急室的左右两侧的长度均为米. （1）甲工程队应如何设计应急室正面和两侧的长度，可以使公司的建造费用最低； （2）现有乙工程队也参与此应急室的建造竞标，其给出的整体报价为元，若无论左右两墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功，试求的取值范围. 22. 设函数，其中. （1）若，求函数在区间上的值域； （2）若对任意的，都有，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 广东省惠州市惠东县2023-2024学年高一上学期期中数学试题 2023.11 本试卷共4页，22小题，满分150分，考试用时120分钟． 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上，并将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”． 2.作答单项及多项选择题时，选出每个小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案信息点涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，写在本试卷上无效． 3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案：不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答无效． 4.考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将答题卡交回． 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 给出下列关系：①；②；③；④；⑤，其中正确的个数（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】由元素与集合、集合与集合的关系对选项一一判断即可； 【详解】对于①，，正确； 对于②，，正确； 对于③，，错误； 对于④，，正确； 对于⑤，，错误，则正确的有3个. 故选：B. 2. 若全集，集合，则图中阴影部分表示的集合为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用集合的描述法计算两个集合A、B，根据韦恩图计算即可. 【详解】由题意可知，即， 又，故阴影部分为. 故选：D 3. 命题“都有”的否定是（ ） A. ，使得 B. ，使得 C. ，都有 D. ，都有 【答案】B 【解析】 【分析】按照全称命题的否定的原则来处理即可 【详解】由全称命题的否定为特称命题, 可得命题“都有”的否定是“都有”, 故选B 【点睛】本题考查全称命题的否定,属于基础题 4. 若函数在区间上为不单调函数，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据条件，利用二次函数的图像与性质即可得到结果. 【详解】因为二次函数的对称轴为， 又函数在区间上为不单调函数，所以， 故选：C. 5. 已知函数()，当时，取得最小值，则（ ） A. B. 2 C. 3 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】通过题意可得，然后由基本不等式即可求得答案 【详解】解：因为，所以， 所以, 当且仅当即时，取等号， 所以y的最小值为1， 所以，所以， 故选：C 6. 若关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集为（ ） A. 或 B. C. 或 D. 【答案】D 【解析】 【分析】依题意可得关于的方程的根为且，即可得到，再将所求不等式等价转化为一元二次不等式，解得即可. 【详解】因为关于的不等式的解集为， 所以关于的方程的根为且，所以，即， 故不等式，即，等价于，等价于，解得， 因此不等式的解集为. 故选：D. 7. 命题“，”为真命题的一个充分不必要条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意得到命题的一个充要条件，然后将充分不必要条件转化为真子集，再结合选项即可得到结果. 【详解】命题“”为真命题， 可化为命题“”恒成立， 时显然成立． 当时只需的最小值即可．解得． 故命题“”为真命题的一个充要条件是， 由选项可知，A符合题意． 故选：A． 8. 若定义在上的函数同时满足：①为奇函数；②对任意的，且，都有，则称函数具有性质．已知函数具有性质，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】构造函数，由题意可以推出函数的奇偶性、单调性，然后对进行分类讨论解不等式即可. 【详解】因为对任意的，且，都有， 即对任意两个不相等的正实数不妨设，都有， 所以有， 所以函数是上的减函数， 又因为为奇函数，即有，有， 所以有， 所以为偶函数， 所以在上单调递增． 当，即时，有,由，得， 所以，解得，此时无解； 当，即时，由，得， 所以，解得或． 综上所述，不等式的解集为． 故选：C. 【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是由已知条件去构造函数，并结合已知导出其函数性质，从而分类讨论解不等式即可. 二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错得0分． 9. 下列各组函数不是同一函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据两函数的定义域和对应关系完全相同是同一个函数逐个分析判断即可. 【详解】对于A，，，， 所以与不是同一函数； 对于B，，，， 所以与不是同一函数； 对于C，，，，， 所以与是同一函数； 对于D，，， ，， 所以与不是同一函数. 故选：ABD. 10. 已知a，b，c，d均为实数，则下列命题中正确的是（ ） A. 若a＞b，c＞d．则ac＞bd B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】CD 【解析】 【分析】对于A，举例判断，对于BCD，利用不等式的性质分析判断. 【详解】对于A，若，则，所以A错误， 对于B，因为，所以，即，所以，所以B错误， 对于C，因为，所以，所以，所以C正确， 对于D，因为，所以，所以， 所以，所以，所以D正确， 故选：CD 11. 下列关于充分条件和必要条件的判断，其中正确的是（ ） A. “，都是偶数”是“是偶数”的充分不必要条件 B. “”是“”的必要不充分条件 C. 设，，，则“”是“”的充要条件 D. 设，，则“且”是“”的必要不充分条件 【答案】AC 【解析】 【分析】 根据充分条件、必要条件的判定方法，逐项判定，即可求解. 【详解】对于A中，若都是偶数，可得是偶数，所以充分性成立； 反之：比如，此时是偶数，但不是偶数， 所以 “都是偶数”是“是偶数”的充分不必要条件，所以正确； 对于B中，由，解得，所以 “”是“”的充分不必要条件， 所以不正确； 对于C中，由，可得， 解得，故“”是“”的充要条件，所以正确； 对于D中，设，若且，可得，所以充分性成立， 反之：若，不能得出且，所以必要性不成立， 所以，则“且”是“”的充分不必要条件，所以不正确. 故选：AC. 【点睛】结论点睛：本题考查充分不必要条件的判断，一般可根据如下规则判断： （1）若是的必要不充分条件，则对应集合是对应集合的真子集； （2）是的充分不必要条件， 则对应集合是对应集合的真子集； （3）是的充分必要条件，则对应集合与对应集合相等； （4）是的既不充分又不必要条件， 对的集合与对应集合互不包含． 12. 已知函数的定义域为，且对任意a，，都有，且当时，恒成立，则（ ） A. 函数是上的增函数 B. 函数是奇函数 C. 若，则的解集为 D. 函数为偶函数 【答案】ABC 【解析】 【分析】利用单调性定义结合可判断A； 利用特殊值求出，从而证明可判断B； 根据条件并利用单调性解不等式可判断C； 利用奇偶性的定义可判断D. 【详解】设，且，，则， 而 ， 又当时，恒成立，即，， 函数是R上的增函数，A正确； 由， 令可得，解得， 令可得，即，而， ，而函数的定义域为R， 故函数是奇函数，B正确； 令可得，解得，所以 因为函数是上的增函数， 由，可得，所以，C正确； 令，易知定义域为R， 因为，显然不恒成立，所以不是偶函数，D错误. 故选：ABC 【点睛】关键点点睛：本题考查抽象函数的综合应用.关键点在于赋值法的运用，通过对题意得理解，巧妙的赋予特殊值，进而求解选项答案.本题考查转化与化归能力，重在数据的分析与推理，属于中档题. 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分，其中16题第一空2分，第二空3分． 13. 已知函数，则__________. 【答案】0 【解析】 【分析】根据分段函数解析式，代入即可求解. 【详解】因为， 所以，， 所以. 故答案为：0. 14. 已知函数是定义域为的奇函数，当时，，则______. 【答案】 【解析】 【分析】根据给定条件，利用奇函数的定义求出函数值. 【详解】依题意，. 故答案为： 15. 已知在区间上是单调减函数，则实数的取值范围为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据给定的分段函数单调性，结合反比例函数、二次函数单调性列出不等式组求解. 【详解】依题意，，解得， 所以实数的取值范围为. 故答案为： 16. 若区间满足：①函数在上有定义且单调；②函数在上的值域也为，则称区间为函数的共鸣区间．请完成：（1）写出函数的一个共鸣区间________；（2）若函数存在共鸣区间，则实数的取值范围是________． 【答案】 ①. 或或（三个写其中任何一个都可以） ②. 【解析】 【分析】第一空：设是区间上的共鸣区间，由可得结果；第二空：根据题意转化为方程在上有两个不等的实根，令转化为在上有两个不等的实根，令，利用二次函数的性质列式可得答案. 【详解】设区间为函数的共鸣区间， 因为在上单调递增，且在上的值域也为， 所以，即，因为， 解得，或，或， 所以的共鸣区间为或或（三个写其中任何一个都可以）； 因为函数在上单调递增， 若存在共鸣区间，则， 即，也就是方程在上有两个不等的实根， 令，得， 所以在上有两个不等的实根， 令，所以在上有两个不等的实根， 则，解得， 则实数的取值范围是，即. 故答案为：或或（三个写其中任何一个都可以）；. 【点睛】关键点睛：第二问解题的关键点是利用等价转化思想将问题转化为二次函数的零点问题求解. 四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 设集合， （1）当时，求； （2）若，求实数的取值范围． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）由交集和补集的概念求解， （2）转化为集合间关系列式求解． 【小问1详解】 当时，， ，或，． 【小问2详解】 由得， 当时，得，解得， 当时，得，解得， 综上，的取值范围为 18. 已知使不等式对于一切实数恒成立的实数取值的集合为A，关于的不等式的解集为B. （1）求集合A与集合B； （2）若，且是的必要不充分条件，求实数的取值范围. 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）根据一元二次不等式恒成立，利用判别式即可求解，求解含参的一元二次不等式的解得到； （2）根据是的必要不充分条件，故，即可求解. 【小问1详解】 因为不等式对于一切实数恒成立， 所以，解得， 即． 因为，所以， 解得，即， 【小问2详解】 因为是的必要不充分条件，故， 即， 所以，解得， 所以实数的取值范围是． 19. 已知函数． （1）求函数的解析式； （2）根据函数单调性的定义证明函数在上单调递增． 【答案】（1） （2）证明：设，，且，则： ， ，， ，， 又由，得， 于是， 即，， 函数在上单调递增． 【解析】 【分析】（1）可得出，从而得出； （2）根据单调性的定义，设任意的，，并且，然后作差，通分，提取公因式，从而得出，然后说明即可． 【小问1详解】 ， ； 【小问2详解】 略 20. 已知关于的不等式的解集为或. （1）求，的值； （2）当，，且满足时，有恒成立，求的取值范围. 【答案】（1），； （2） 【解析】 【分析】（1）根据一元二次不等式的解与一元二次方程的根之间的关系，由韦达定理即可求解. （2）利用不等式的乘“1”法求解最值，即可由一元二次不等式求解. 【小问1详解】 不等式的解集为或 和是方程的两个实数根且 ，解得 【小问2详解】 由（1）知，于是有， 故， 当且仅当时，等号成立， 依题意有，即， 得，解得， 的取值范围为 21. 某公司决定在公司仓库外借助一侧原有墙体，建造一间墙高为3米，底面积为24平方米，且背面靠墙的长方体形状的应急室，由于此应急室后背靠墙，无需建造费用，因此甲工程队给出的报价为：应急室正面墙体每平方米的报价400元，侧面墙体每平方米的报价均为300元，屋顶和地面及其他报价共计7200元，设应急室的左右两侧的长度均为米. （1）甲工程队应如何设计应急室正面和两侧的长度，可以使公司的建造费用最低； （2）现有乙工程队也参与此应急室的建造竞标，其给出的整体报价为元，若无论左右两墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功，试求的取值范围. 【答案】（1）左右两侧长度均为4米，正面墙长度为6米 （2） 【解析】 【分析】（1）将建造费表达出，在利用基本不等式求得最值，并确定确定最值成立的条件，即可求解. （2）将实际问题转化为不等式恒成立问题，再结合基本不等式求最值.从而求出的取值范围. 【小问1详解】 由题意知，正面墙体长度为米，，则建造费用为 ， 当且仅当即时，等号成立， 所以，甲工程队应设计应急室左右两侧长度均为4米，正面墙长度为6米，可以使建造费用最低. 【小问2详解】 根据题意，对任意恒成立， 整理得， 即当时恒成立， 等价于当时， 因为 当且仅当即时取等号. 所以，若乙队总能竞标成功，则. 22. 设函数，其中. （1）若，求函数在区间上的值域； （2）若对任意的，都有，求实数的取值范围. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）利用二次函数的区间单调性求区间最值，进而确定值域； （2）问题化为，由已知，其开口向上且对称轴为，讨论对称轴与区间的位置关系确定最值，结合不等式求参数范围. 【小问1详解】 由题设， 则在上单调递减，在上单调递增， 由，，， 故上函数的值域为； 【小问2详解】 由，其开口向上且对称轴为， 又对任意的，都有，即， 当时，，可得，不符合前提； 当时，，可得，此时； 当时，，可得，此时； 当时，，可得，不符合前提； 综上，. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $