精品解析：2025年辽宁省铁岭市西丰县三模数学试题

2024-2025学年度下学期随堂练习 九年级数学试卷（六） （本试卷共23小题 满分120分 考试时间120分钟） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名，准考证号填写在答题卡上． 2．答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 第一部分 选择题（共30分） 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 中国是世界上最早认识和应用负数的国家．若零上记作，那么，零下记作（ ） A. B. C. D. 2. 花窗是中国古代园林建筑中窗的一种装饰和美化的形式．下列花窗图案中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列运算正确的是（ ） A B. C. D. 4. 如图中几何体的左视图为（ ） A. B. C. D. 5. 进入新时代，我国持续推进生态系统保护修复，目前我国生态保护修复面积超过亿亩，“十四五”生态保护修复预期目标已基本完成．将用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，点是正方形的对角线上一点，于点，．则点到直线的距离为（ ） A 2 B. C. 3 D. 7. 如图，在中，，以点A为圆心，任意长为半径作弧，分别交边于点D，E，分别以点D，E为圆心，大于长为半径作弧，两弧在内相交于点M，作射线交于点F，以点A为圆心，的长为半径作弧，交于点H．若，则的度数为（　　） A. 100° B. 106° C. 110° D. 120° 8. 《九章算术》卷八方程第十题原文为：“今有甲、乙二人持钱不知其数．甲得乙半而钱五十，乙得甲太半而亦钱五十．问：甲、乙持钱各几何？”题目大意是：甲、乙两人各带了若干钱．如果甲得到乙所有钱的一半，那么甲共有钱；如果乙得到甲所有钱的，那么乙也共有钱．问：甲、乙两人各带了多少钱？设甲、乙两人持钱的数量分别为，则可列方程组为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，长方形纸片的边在x轴上，且过原点，连接．将纸片沿折叠，使点C恰好落在边上的点处．若，则点D的纵坐标为（ ） A. 9 B. 12 C. 14 D. 15 第二部分 非选择题（共90分） 二、填空题（每小题3分，共15分） 10. 因式分解：______． 11. 如图，在平面直角坐标系中，将线段平移后得到了线段，点A、B的对应点分别是点C、D，已知点，，，则点C的坐标为______． 12. 如图，在正五边形中，连接交于点F，则的度数为_________． 13. 如图，点A，B是函数图象上两点，过点A作轴，垂足为点C，交于点D．若的面积为3，点D为的中点，则k的值为 ______． 14. 如图，在中，，为上一点，且为等边三角形，．点是边上的一个动点，连结，以为边在左侧作一个等边，连结．在整个运动过程中，的最小值是______． 三、解答题（本题共8小题，共75分，解答应写文字说明、演算步骤或推理过程） 15. （1）计算：； （2）先化简，再求值：，其中． 16. 为了引导学生充分认识心理健康对自身发展的重要性，某校开展了以“关爱自我，悦享成长”为主题的心理健康月系列活动．其中该校八、九年级在心理健康月中进行了关于心理健康相关知识的测试，现从八、九年级中各随机抽取名学生的成绩（百分制，单位：分）进行整理、描述和分析（成绩得分用表示，共分成四组：．；．；．；．）下面给出了部分信息： 八年级名学生的成绩是：，，，，，，，，，． 九年级名学生的成绩在组中的数据是：，，，． 八、九年级抽取的学生成绩统计表 年级 八年级 九年级 平均数 中位数 众数 方差 根据以上信息，解答下列问题： （1）填空：______，______，______； （2）根据以上数据，你认为该校八年级、九年级中哪个年级的学生掌握知识较好？请说明理由（写出一条理由即可）； （3）该校八年级有人、九年级有人参加了此次心理健康测试，请估计两个年级参加心理健康测试的成绩不低于分的总人数． 17. 为培养学生的阅读能力，某校八年级购进《昆虫记》和《经典常谈》两种书籍，分别花费了1400元和700元，已知《昆虫记》的订购单价是《经典常谈》订购单价的倍，并且订购的《昆虫记》的数量比《经典常谈》的数量多30本． （1）求该校八年级订购两种书籍的单价分别是多少元． （2）该校八年级计划再订购这两种书籍共100本作为备用，且两种书总花费不超过1200元，求《昆虫记》最多购买多少本． 18. 图1是一盏台灯的照片，图2是其示意图．台灯底部立柱（与桌面垂直）的高为，支架长为，支架长为．若支架，的夹角为，支架与底部立柱的夹角为，求台灯的旋钮A到桌面的距离（精确到）．（参考数据：，） 19. 近年来，“围炉煮茶”迅速走红网络，成为一种新的社交方式，茶馆如雨后春笋般兴起，一茶馆从普洱茶区购进一批普洱茶，其进货成本是每千克40元，根据预测，普洱茶每周的销售量千克与每千克的销售价元之间的函数关系如图所示． （1）求出与之间的函数关系式； （2）当每千克普洱茶销售价是多少元时，每周的销售利润最大？最大利润是多少元？ 20. 如图，是的直径，点C是上的一点，点P是延长线上的一点，连接，． （1）求证：是的切线； （2）若，求证：． 21. 如图，在中，，为边上一点，连接，将沿翻折，得到，交于点． （1）如图1，当时，猜想四边形形状，并说明理由． （2）如图2，当，时，请判断线段之间的数量关系，并证明你的结论． （3）若，，在和中，当一个三角形面积是另一个三角形面积的2倍时，请直接写出与重叠部分的面积． 22. 定义：是自变量的函数，当时，函数，当时，将函数沿直线翻折，得函数，函数合起来称为函数关于直线的“折美函数”．例如：图1为函数的图象，当时，得函数，函数，函数和函数合起来称为函数关于直线的“折美函数”，其图象如图2所示． （1）请直接写出函数关于直线的“折美函数”表达式，并写出相应的自变量的取值范围； （2）直线与函数关于直线（即轴）“折美函数”图象的两个交点之间的距离为4，求的值； （3）函数关于直线的“折美函数”中． ①请求出的值及的自变量取值范围． ②若直线与函数关于直线的“折美函数”有两个交点，请求出的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年度下学期随堂练习 九年级数学试卷（六） （本试卷共23小题 满分120分 考试时间120分钟） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名，准考证号填写在答题卡上． 2．答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 第一部分 选择题（共30分） 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 中国是世界上最早认识和应用负数国家．若零上记作，那么，零下记作（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题主要考查正数和负数的意义，理解“正”和“负”的相对性，确定一对具有相反意义的量是解题的关键．根据正数和负数的意义，零上记作“”，零下记作“”，解答即可． 【详解】∵气温为零上记作， ∴气温为零下记作， 故选：A． 2. 花窗是中国古代园林建筑中窗的一种装饰和美化的形式．下列花窗图案中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义判断即可． 【详解】∵ 不是轴对称图形，也不是中心对称图形， ∴不符合题意； ∵ 是轴对称图形，也是中心对称图形， ∴符合题意； ∵ 不是轴对称图形，也不是中心对称图形， ∴不符合题意； ∵ 不是中心对称图形， ∴不符合题意； 故选B． 【点睛】本题考查了轴对称图形即沿着某条直线折叠，直线两旁的部分完全重合；中心对称图形绕某点旋转180°与原图形完全重合；熟练掌握定义是解题的关键． 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了平方差公式、完全平方公式、积乘方以及单项式乘法法则等知识点，熟练掌握相关知识点并能加以灵活运用是解题的关键．根据平方差公式、完全平方公式、积的乘方以及单项式乘法法则逐项分析判断即可． 【详解】解：A、，计算正确，故选项符合题意； B、，原式计算错误，故选项不符合题意； C、，原式计算错误，故选项不符合题意； D、，原式计算错误，故选项不符合题意； 故选：A． 4. 如图中几何体的左视图为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了简单组合体的三视图，根据左视图是从左面看到图形，可得左视图中间有一条虚线，即可解答．熟练掌握简单组合体的三视图是解题的关键． 【详解】解：由题意可得，题中几何体的左视图为． 故选A． 5. 进入新时代，我国持续推进生态系统保护修复，目前我国生态保护修复面积超过亿亩，“十四五”生态保护修复预期目标已基本完成．将用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了科学记数法的表示方法，根据科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数即可求解，解题的关键要正确确定的值以及的值． 【详解】解：， 故选：C． 6. 如图，点是正方形的对角线上一点，于点，．则点到直线的距离为（ ） A. 2 B. C. 3 D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，角平分线的性质，掌握正方形的性质是解题的关键．过点作，垂足为，根据正方形的性质及角平分线的性质可知，即可解答． 【详解】解：过点作，垂足为， ∵是正方形的对角线， ∴， ∵，， ∴， 即点到直线的距离为， 故选：C． 7. 如图，在中，，以点A为圆心，任意长为半径作弧，分别交边于点D，E，分别以点D，E为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在内相交于点M，作射线交于点F，以点A为圆心，的长为半径作弧，交于点H．若，则的度数为（　　） A. 100° B. 106° C. 110° D. 120° 【答案】B 【解析】 【分析】由直角三角形及可求得的度数，再由作图知是角平分线，则可得 的度数，由等腰三角形的性质可求得的度数，最后由三角形外角的性质即可求得结果． 【详解】解：∵， ∴， 由作法得平分， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：B． 【点睛】本题考查了尺规作图、角平分线的定义、等腰三角形的性质、直角三角形的性质等知识，掌握用尺规作图：作角平分线是关键． 8. 《九章算术》卷八方程第十题原文为：“今有甲、乙二人持钱不知其数．甲得乙半而钱五十，乙得甲太半而亦钱五十．问：甲、乙持钱各几何？”题目大意是：甲、乙两人各带了若干钱．如果甲得到乙所有钱的一半，那么甲共有钱；如果乙得到甲所有钱的，那么乙也共有钱．问：甲、乙两人各带了多少钱？设甲、乙两人持钱的数量分别为，则可列方程组为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 根据“甲得到乙所有钱的一半，那么甲共有钱；如果乙得到甲所有钱的，那么乙也共有钱”，即可得出关于，的二元一次方程组，此题得解． 详解】解：根据题意得：； 故选：D． 9. 如图，长方形纸片的边在x轴上，且过原点，连接．将纸片沿折叠，使点C恰好落在边上的点处．若，则点D的纵坐标为（ ） A. 9 B. 12 C. 14 D. 15 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了翻折变换折叠问题，勾股定理，矩形的性质，熟练掌握各知识点是解题的关键．根据矩形到现在得到，，，由折叠的性质可得出，，，由，得到，，根据勾股定理得到，求得，根据勾股定理即可得到结论． 【详解】解：四边形是矩形， ，，， 由折叠的性质可得出，，， ， ，， ， ， ， ， ， 点D的纵坐标为15． 故选：D． 第二部分 非选择题（共90分） 二、填空题（每小题3分，共15分） 10. 因式分解：______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了多项式的因式分解，熟练掌握分解因式的方法是解题的关键； 原多项式先提取公因式3，再利用公式法分解因式即可． 【详解】解：； 故答案为：． 11. 如图，在平面直角坐标系中，将线段平移后得到了线段，点A、B的对应点分别是点C、D，已知点，，，则点C的坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了平移的性质，根据对应点得出平移方式是解题关键．由、连点坐标可知，线段的平移方式为先向右平移7个单位长度，再向下平移2个单位长度，据此即可得到点C的坐标． 【详解】解：由，可知，线段的平移方式为先向右平移7个单位长度，再向下平移2个单位长度， ， 对应点的坐标为即， 故答案为：． 12. 如图，在正五边形中，连接交于点F，则的度数为_________． 【答案】##108度 【解析】 【分析】本题考查正多边形有关的角，多边形内角求法，等腰三角形的性质，三角形内角和，利用数形结合求解是解答此题的关键． 首先根据正五边形的性质得到，然后利用三角形内角和定理得，最后利用三角形的内角和得到． 【详解】解：∵五边形为正五边形， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 13. 如图，点A，B是函数图象上两点，过点A作轴，垂足为点C，交于点D．若的面积为3，点D为的中点，则k的值为 ______． 【答案】 【解析】 【分析】先设出点B的坐标，进而表示出点D，A的坐标，利用的面积建立方程求出，即可得出结论． 【详解】解：设点， ， D为的中点， ， 轴， 的面积为3， 故答案为：． 【点睛】本题考查反比例函数系数k的几何意义、反比例函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用反比例函数的性质解答． 14. 如图，在中，，为上一点，且为等边三角形，．点是边上的一个动点，连结，以为边在左侧作一个等边，连结．在整个运动过程中，的最小值是______． 【答案】1 【解析】 【分析】题目主要考查等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，垂线段最短等，理解题意，作出辅助线，确定运动轨迹是解题关键． 连接，证明，可得，由此得出在整个运动过程中，最小时，最小，根据点到直线，垂线段最短，可知，当时，最短，进一步证明当时，、、三点共线，求出此时，，即最小值为1，由此即可求解． 【详解】解：如图所示，连接， ∴，即， ∵、为等边三角形， ∴， ∴ ∴， ∴在整个运动过程中，最小时，最小， 根据点到直线，垂线段最短， 当时，最短，如图3所示， ∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴当时，、、三点共线， ∵， ∴， ∴，即最小值为1，故最小值为1． 故答案为：． 三、解答题（本题共8小题，共75分，解答应写文字说明、演算步骤或推理过程） 15. （1）计算：； （2）先化简，再求值：，其中． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的加减计算，求特殊角三角函数值，零指数幂，负整数指数幂，分式的化简求值，熟知相关计算法则是解题的关键． （1）先计算特殊角三角函数值，再化简二次根式，计算零指数幂，负整数指数幂，最后计算加减法即可得到答案； （2）先把小括号内的式子通分化简，再把除法变成乘法后约分化简，最后代值计算即可得到答案． 【详解】解：（1）原式 ； （2） ． 当时，原式． 16. 为了引导学生充分认识心理健康对自身发展的重要性，某校开展了以“关爱自我，悦享成长”为主题的心理健康月系列活动．其中该校八、九年级在心理健康月中进行了关于心理健康相关知识的测试，现从八、九年级中各随机抽取名学生的成绩（百分制，单位：分）进行整理、描述和分析（成绩得分用表示，共分成四组：．；．；．；．）下面给出了部分信息： 八年级名学生的成绩是：，，，，，，，，，． 九年级名学生的成绩在组中的数据是：，，，． 八、九年级抽取的学生成绩统计表 年级 八年级 九年级 平均数 中位数 众数 方差 根据以上信息，解答下列问题： （1）填空：______，______，______； （2）根据以上数据，你认为该校八年级、九年级中哪个年级的学生掌握知识较好？请说明理由（写出一条理由即可）； （3）该校八年级有人、九年级有人参加了此次心理健康测试，请估计两个年级参加心理健康测试的成绩不低于分的总人数． 【答案】（1）；； （2）九年级学生掌握知识较好，理由见解析 （3）人 【解析】 【分析】（1）根据九年级组有个数据和、组的百分数可得的值，根据中位数和众数的定义可得、的值； （2）可从中位数、众数角度分析求解； （3）用总人数乘以样本中组的百分比即可． 【小问1详解】 解：∵九年级名学生的成绩在组中的数据是：，，，， ∴九年级名学生的成绩在组中所占百分比为：， ∴九年级名学生的成绩在组中所占百分比为：， ∴， ∵九年级名学生的成绩在、两组的人数为：（人）， 九年级名学生的成绩在组的人数为：（人）， ∴第名和第名学生的成绩分别为：分和分， ∴九年级学生成绩的中位数为：， ∵八年级名学生的成绩中得分的人数最多， ∴八年级学生成绩的众数， 故答案为：；；； 【小问2详解】 ∵八年级学生成绩的方差为，九年级学生成绩的方差为，且， ∴九年级学生掌握知识较好；（答案不唯一） 【小问3详解】 由（1）得九年级学生成绩不低于分的人数所占百分比为， 八年级学生成绩不低于分的人数所占百分比为：， ∴（人）， ∴两个年级参加心理健康测试的成绩不低于分的总人数有人． 【点睛】本题考查众数、中位数、平均数，方差等知识点，掌握众数、中位数、平均数，方差定义是解题的关键． 17. 为培养学生的阅读能力，某校八年级购进《昆虫记》和《经典常谈》两种书籍，分别花费了1400元和700元，已知《昆虫记》的订购单价是《经典常谈》订购单价的倍，并且订购的《昆虫记》的数量比《经典常谈》的数量多30本． （1）求该校八年级订购的两种书籍的单价分别是多少元． （2）该校八年级计划再订购这两种书籍共100本作为备用，且两种书总花费不超过1200元，求《昆虫记》最多购买多少本． 【答案】（1）该校八年级订购的《经典常谈》的单价是10元，《昆虫记》的单价是14元 （2）《昆虫记》最多购买50本 【解析】 【分析】（1）设该校八年级订购的《经典常谈》的单价是x元，则《昆虫记》的单价是元，根据订购的《朝花夕拾》的数量比《西游记》的数量多30本．列出分式方程，解方程即可； （2）设《朝花夕拾》购买本，则《经典常谈》购买本，根据两种书总花费不超过1200元，列出一元一次不等式，解不等式即可． 本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）找出数量关系，正确列出一元一次不等式． 【小问1详解】 解：设该校八年级订购《经典常谈》的单价是元，则《昆虫记》的单价是元， 由题意得：， 解得：， 检验，将代入，所以是原方程的解，且符合题意． ∴， 答：该校八年级订购的《经典常谈》的单价是10元，《昆虫记》的单价是14元； 【小问2详解】 设《昆虫记》购买本，则《经典常谈》购买本， 由题意得：， 解得：， 答：《昆虫记》最多购买50本． 18. 图1是一盏台灯的照片，图2是其示意图．台灯底部立柱（与桌面垂直）的高为，支架长为，支架长为．若支架，的夹角为，支架与底部立柱的夹角为，求台灯的旋钮A到桌面的距离（精确到）．（参考数据：，） 【答案】 【解析】 【分析】过点作，垂足为点，分别过点、作直线的垂线、，垂足分别为点，可得是矩形，即得，，得到，，，再分别解、，求出即可求解． 【详解】解：如图，过点作，垂足为点，分别过点、作直线的垂线、，垂足分别为点，则， ∵， ∴， ∴是矩形， ，， ∵， ∴， ∴， 在中，， ， ∵， ， 在中，， ， ， 答：台灯的旋钮到桌面的距离约为． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，矩形的判定和性质，直角三角形的两个锐角互余，解题关键是通过作垂直构造直角三角形求解． 19. 近年来，“围炉煮茶”迅速走红网络，成为一种新的社交方式，茶馆如雨后春笋般兴起，一茶馆从普洱茶区购进一批普洱茶，其进货成本是每千克40元，根据预测，普洱茶每周的销售量千克与每千克的销售价元之间的函数关系如图所示． （1）求出与之间的函数关系式； （2）当每千克普洱茶销售价是多少元时，每周的销售利润最大？最大利润是多少元？ 【答案】（1） （2）售价定为150元时，才能使每周获得的利润最大，最大利润是12100元 【解析】 【分析】（1）由待定系数法即可得到函数的解析式； （2）设利润为w，再根据每千克利润×销售量=总利润，列函数关系式求解即可． 本题考查的是一次函数的应用，二次函数的应用，正确列出关系式是解题的关键． 【小问1详解】 解：设与之间的函数关系式为：， 把和代入得，，解得， ∴与之间的函数关系式为：； 【小问2详解】 设利润为，由题意得， ∵，抛物线开口向下， ∴当时，取得最大值12100， ∴售价定为150元时，才能使每周获得的利润最大，最大利润是12100元． 20. 如图，是的直径，点C是上的一点，点P是延长线上的一点，连接，． （1）求证：是的切线； （2）若，求证：． 【答案】（1）见解析； （2）见解析． 【解析】 【分析】此题考查了圆周角定理，切线判定以及特殊角的三角函数值和等腰三角形的判定，掌握相关性质定理正确推理是解题关键． （1）首先由直径得到，然后利用等边对等角得到，等量代换得到，进而证明即可； （2）利用得到，求出，然后利用直角三角形两锐角互余得到，进而求解即可； 【小问1详解】 证明：如图所示，连接， ∵是的直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是的切线； 【小问2详解】 证明：∵， ∴， ∴， 由（1）知， ∴， ∴， ∴， ∴． 21. 如图，在中，，为边上一点，连接，将沿翻折，得到，交于点． （1）如图1，当时，猜想四边形的形状，并说明理由． （2）如图2，当，时，请判断线段之间的数量关系，并证明你的结论． （3）若，，在和中，当一个三角形面积是另一个三角形面积2倍时，请直接写出与重叠部分的面积． 【答案】（1）四边形是菱形，见解析 （2）或，见解析 （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质和判定、解三角形，解题关键是利用相似三角形性质转化线段比，求出线段之间的关系． （1）根据折叠和平行证明，从而可得，由四边相等的四边形是菱形得出结论； （2）过点作于点，证明，可得，，再由，可得，进而可得，，根据相等的等量关系计算可得． （3）先根据面积关系得出，，再证明，可得，利用线段和差计算求解即可得出，，由此即可求出与重叠部分的面积． 【小问1详解】 解：结论：四边形是菱形， 证明：由折叠可知：，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是菱形， 【小问2详解】 解：， 理由：过点作于点， ∴， ∵，即， ∴， ∵沿翻折，得到， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴ ∵， ∴，， ∴， ∵ ∴，（可作结论） ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【小问3详解】 解：如图： ∵， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴，， 在和中，当一个三角形面积是另一个三角形面积的2倍时，而且交于点． ∴， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 22. 定义：是自变量的函数，当时，函数，当时，将函数沿直线翻折，得函数，函数合起来称为函数关于直线的“折美函数”．例如：图1为函数的图象，当时，得函数，函数，函数和函数合起来称为函数关于直线的“折美函数”，其图象如图2所示． （1）请直接写出函数关于直线的“折美函数”表达式，并写出相应的自变量的取值范围； （2）直线与函数关于直线（即轴）“折美函数”图象的两个交点之间的距离为4，求的值； （3）函数关于直线的“折美函数”中． ①请求出的值及的自变量取值范围． ②若直线与函数关于直线的“折美函数”有两个交点，请求出的取值范围． 【答案】（1）当时，，当时， （2） （3）①，的自变量取值范围；②或 【解析】 【分析】本题为函数综合大题，考查了一次函数，二次函数，反比例函数的图象性质与变换，熟悉掌握坐标点的特征和函数变化特征是解题的关键． （1）根据翻折变换解答即可； （2）利用函数图象设直线与函数的交点坐标为，再利用距离列式运算求解即可； （3）①利用函数交点的特征列方程运算即可； ②利用根的判别式和交点情况，结合图象列式运算即可． 【小问1详解】 解：函数沿直线翻折， 当时，；时，； 【小问2详解】 解：如图，设直线与函数的交点坐标为，则直线与函数 关于直线”折美函数”图象的交点坐标为， ∵直线与函数关于直线（即轴）“折美函数”图象的两个交点之间的距离为4， ∴，将代入，解得，， ∴； 【小问3详解】 解：①∵， 函数关于直线的“折美函数”中． ∴，． ∴，整理得，，解得：，， ∴的自变量取值范围． ②如图1，直线与没有交点 即， ， 如图2，直线与有交点 所以直线与函数关于直线的“折美函数”有两个交点， 将代入，得， 代入，得， ∴此时直线与函数关于直线的“折美函数”有两个交点， 的取值范围是，或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $