专题08 特殊平行四边形中折叠、旋转、最值问题（3知识点+3大题型+思维导图+过关测）-【暑假自学课】2025年新九年级数学暑假提升精品讲义（北师大版）

专题08 特殊平行四边形中折叠、旋转、最值问题 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材 学知识：教材精讲精析、全方位预习 练题型 强知识：3大核心考点精准练 第二步：记 串知识 识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测 稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点01 折叠问题：利用轴对称性质与几何关系 折叠本质是轴对称变换，折叠前后图形全等，对应边、角相等，折痕为对称轴。 1.矩形折叠：常与直角三角形结合，用勾股定理求边长（如折叠后形成的Rt△中，设未知数列方程），或通过平行线性质找角的等量关系（如内错角、同位角）。 2.菱形折叠：借助对角线互相垂直平分的性质，折叠后对角线交点位置不变，利用全等三角形和对称关系分析线段位置（如折痕与对角线的夹角）。 3.正方形折叠：因四边相等、四角为直角，折叠后易出现等腰直角三角形或全等三角形，需结合对称性质与勾股定理，分析折叠后重合点的位置关系（如边的中点、顶点）。 知识点02 旋转问题：抓住旋转中心、角度与全等性质 旋转需确定中心、角度和方向，旋转前后图形全等，对应点到旋转中心距离相等。 1.矩形旋转：以对角线交点为中心旋转时，对角线仍互相平分且相等，旋转后对应边平行或共线，常结合三角形全等证明线段相等（如旋转90°后形成等腰直角三角形）。 2.菱形旋转：绕对角线交点旋转，对角线夹角不变（如60°菱形旋转60°后与原图形部分重合），利用旋转前后对角线的位置关系求角度或线段长度。 3.正方形旋转：绕中心旋转90°、180°等特殊角度时，图形与原图形重合，常通过旋转构造全等三角形（如将某边旋转至邻边位置，转化线段关系）。 知识点03 最值问题：结合图形变换与几何定理求最值 通过变换转化线段或角度，利用“两点之间线段最短”“垂线段最短”等定理求解。 1.折叠最值：如矩形中折叠某边，求折痕长度的最小值，可转化为求对称点到另一边的垂线段长度；或折叠后顶点落于某边上时，利用勾股定理求边长的最值。 2.旋转最值：图形旋转时，动点轨迹为圆弧，如正方形顶点绕某点旋转，其到另一顶点的距离最大值为旋转中心与两顶点距离之和（利用三角形三边关系）。 3.通用方法：将分散的线段通过旋转或折叠转化到同一直线或三角形中，利用几何不等式（如两边之和大于第三边）求最值，或建立函数关系式（如二次函数）求极值。 【题型1 特殊平行四边形中折叠问题】 例题：（24-25九年级下·辽宁·开学考试）如图，在菱形中，，，点E是的中点，点F为上一动点，将沿折叠，得到．若与菱形的对角线平行，则的长为 ． 【答案】或3 【知识点】用勾股定理解三角形、含30度角的直角三角形、折叠问题、利用菱形的性质求线段长 【分析】此题考查了菱形的性质、轴对称的性质、含角的直角三角形的性质等知识，分两种情况画出图象进行解答即可． 【详解】解：①若，如解图①，连接， ∵四边形是菱形， ∴平分， ∴， ∵， ∴，由折叠， ∴， ∴． ∵点E是的中点， ∴， 过点E作，垂足为G， ∴，， 在中，， ∴， ∴， ∴； ②若，如解图②，连接， ∵四边形是菱形， ∴， 又∵，是等边三角形， ∴． ∵， ∴． 又∵， ∴是等边三角形，点落在上， ∴， ∴， ∴． 综上所述，的长为或3． 故答案为：或3 【变式训练】 1．（2025·河南·一模）如图，在矩形中，，点为射线上一个动点，将沿直线折叠，当点的对应点刚好落在线段的垂直平分线上时，的长为 ． 【答案】2.5或10 【知识点】用勾股定理解三角形、矩形与折叠问题、线段垂直平分线的性质 【分析】本题考查了矩形的性质和判定，折叠的性质，垂直平分线性质，勾股定理，解题的关键在于构造直角三角形利用勾股定理求解． 根据题意分两种情况①点的对应点落在矩形的内部，②点的对应点落在矩形的外面，过点作于点，延长交于点，构造直角三角形，结合矩形的性质和判定，折叠的性质，垂直平分线性质，勾股定理求解，即可解题． 【详解】解：①点的对应点落在矩形的内部， 过点作于点，延长交于点， 四边形为矩形， ， ， 四边形为矩形， ， ， 点刚好落在线段的垂直平分线上， ， 由折叠的性质可知，， ， ， ， ， 解得； ②点的对应点落在矩形的外面， 过点作于点，延长交于点， 由①同理可得，四边形为矩形， ，， ， ， ， 解得， 综上所述的长为2.5或10， 故答案为：2.5或10． 2．（24-25八年级下·安徽淮南·期中）如图，将正方形纸片ABCD对折，使AD与BC重合，得到折痕EF，再把纸片展平，点是边上一点，将沿折叠，使点的对应点恰好落在上，延长交边于点，交延长线于点． （1）的度数为 ； （2）的值为 ． 【答案】 【知识点】用勾股定理解三角形、正方形折叠问题、二次根式的混合运算、含30度角的直角三角形 【分析】本题考查了正方形的性质，折叠的性质，直角三角形的性质和勾股定理等． （）利用正方形的性质可得，利用折叠的性质可证，即得，进而得到，即可求解； （）设，则，得到，进而可得，即得，代入计算即可求解． 【详解】解：（）∵四边形是正方形， ∴，， ∴， 由折叠得，，，，，， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； （）设，则， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【题型2 特殊平行四边形中旋转问题】 例题：（24-25八年级下·上海·阶段练习）在边长为6的菱形中，，将菱形绕点旋转，得到菱形，其中点落在的延长线上，那么的面积是 【答案】 【知识点】利用菱形的性质求线段长、根据旋转的性质求解、化为最简二次根式、用勾股定理解三角形 【分析】本题主要考查了菱形的性质，旋转的性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理等等，连接交于O，设交于F，由菱形的性质可得，，，则可得到，，；由旋转的性质可得，，则可证明三点共线，得到；证明，得到，则，据此根据三角形面积计算公式求解即可． 【详解】解：如图所示，连接交于O，设交于F， ∵在边长为6的菱形中，， ∴，，， ∴， ∴， ∴； 由旋转的性质可得，， ∴， ∴三点共线， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式训练】 1．（2025·上海青浦·二模）如图，在矩形中，，，将矩形绕点A旋转，点B、C、D落在点、、处、如果点落在直线上，那么 ． 【答案】或 【知识点】根据矩形的性质求线段长、根据旋转的性质求解、用勾股定理解三角形 【分析】作于点E，由，求得，由，求得，则，再分两种情况讨论，一是点落在线段上，由旋转得，则，求得；二是点落在线段延长线上，则，求得，于是得到问题的答案． 【详解】解：作于点E，则， ∵四边形是矩形，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 如图1，点落在线段上， 由旋转得， ∴， ∴； 如图2，点落在线段延长线上， 由旋转得， ∴， ∴， 综上所述，的长为或， 故答案为：或． 【点睛】此题重点考查矩形的性质、勾股定理、旋转的性质、根据面积等式求线段的长度、分类讨论数学思想的运用等知识与方法，正确地进行分类讨论并且画出相应的图形是解题的关键． 2．（24-25九年级下·安徽六安·阶段练习）如图，两张正方形的纸片，的一个顶点重合，正方形纸片绕点旋转一定的角度，使得B，E，G三点在同一条直线上，与边相交于点． （1）若，则 （用含的式子表示）； （2）若，，则的长为 ． 【答案】 / / 【知识点】根据正方形的性质求线段长、根据正方形的性质求角度、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查正方形的性质，勾股定理； （1）由正方形可得，，即可得到，再在中利用三角形内角和求出即可； （2）连接交于，由正方形可得，，利用勾股定理求出，，最后根据求解即可． 【详解】解：（1）∵正方形，， ∴，， ∴，即， ∴， 故答案为：； （2）连接交于， ∵正方形， ∴，， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 【题型3 特殊平行四边形中最值问题】 例题：（2025·陕西西安·一模）如图，菱形的边长为2，，将该菱形绕顶点在平面内旋转得到菱形，若与所在直线交于点，则当最小时，的长为 ． 【答案】 【知识点】利用菱形的性质求线段长、根据旋转的性质求解、利用二次根式的性质化简、用勾股定理解三角形 【分析】如图，A、、C三点共线，连接，，相交于点O，先推出当A、、C三点共线时，最小，根据菱形的性质以及旋转的性质可得，，，，进而可得，，则，，根据可得答案． 【详解】解：如图，A、、C三点共线，连接，，相交于点O， 当A、、C三点共线时，， 当A、、C三点不共线时，A、、C三点构成三角形，则， ∴当A、、C三点共线时，最小， ∵菱形是边长为2的菱形，， ∴，，，，，， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， 由旋转得，，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查线段最短问题，旋转的性质、菱形的性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理，熟练掌握旋转的性质、菱形的性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理是解答本题的关键． 【变式训练】 1．（24-25九年级上·浙江台州·期中）如图，在长方形ABCD中，，点P为边AD上的一个动点，以BP为边向右作等边，连接．当点落在边BC上时，的度数为 ；当线段的长度最小时，的度数为 ． 【答案】 【知识点】矩形性质理解、等边三角形的性质、根据旋转的性质求解 【分析】当点落在边上时，作出图形，根据等边三角形的性质，可求出的度数；以为边向右作等边，连接．利用全等三角形的性质证明，推出点在射线上运动，当时，的长最小，设交于点，再证明是等腰直角三角形，可得结论． 【详解】解：当点落在边上时，如图， 是等边三角形， ， ； 以为边向右作等边，连接． 是等边三角形， ，，， ， 在和中， ， ， ， 点在射线上运动， 如图，设交于点， 当时，的长最小，此时， ，， ， ， ， ， ， ． 故答案为：，． 【点睛】本题考查旋转的性质，矩形的性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题． 2．（23-24九年级下·江苏无锡·阶段练习）如图，正方形的边长为4，点G是边的中点，点E是边上的动点，连接，将沿翻折得到，连接．当最小时，的长为 ． 【答案】 【知识点】正方形折叠问题、用勾股定理解三角形 【分析】本题主要考查了翻折的性质，正方形的性质，勾股定理，确定当点G、F、B三点共线时，最小是解题的关键，同时注意运用面积法求垂线段的长度．根据正方形的性质和勾股定理可得的长，再由翻折知，由可知当点G、F、B三点共线时，最小，结合梯形面积、三角形面积求解即可． 【详解】解：∵正方形的边长为4， ∴，， ∵点G是边的中点， ∴， 连接， ∴， ∵将沿翻折得到， ∴， ∵， ∴当点G、F、B三点共线时，最小， 连接，设，则， ∵， ∴， 解得， ∴． 故答案为：． 一、单选题 1．（24-25八年级下·福建福州·期中）如图，在长方形纸片中，已知，．折叠纸片使边与对角线重合，点B落在点F处，折痕为，则的长为（   ）    A．5 B．4 C．3 D．6 【答案】C 【知识点】用勾股定理解三角形、矩形与折叠问题 【分析】本题考查了矩形的性质，折叠的性质，勾股定理等知识，，由折叠的性质得到，则，再根据三角形面积公式即可求解，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，， ∴， 由折叠可知，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 2．（2025八年级下·全国·专题练习）如图，在菱形纸片中，，点在边上，将菱形纸片沿折叠，点对应点为点，且是的垂直平分线，则的大小为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】利用菱形的性质求角度、线段垂直平分线的性质、等边三角形的判定和性质、折叠问题 【分析】本题主要考查菱形的性质，折叠的性质，等边三角形的判定和性质，垂直平分线的性质，掌握以上知识，数形结合分析是关键． 连接，由菱形的性质及，得到三角形为等边三角形，为的中点，利用三线合一得到为角平分线，得到，进而求出，由折叠的性质得到，利用三角形的内角和定理即可求出所求角的度数． 【详解】解：连接，如图所示： ∵四边形为菱形， ∴， ∵， ∴为等边三角形，， ∵是的垂直平分线， ∴为的中点， ∴为的平分线，即， ∴， ∴由折叠的性质得到， 在中，． 故选：D． 3．（24-25七年级下·湖北武汉·阶段练习）已知正方形，点E、F、M、N、G、H是正方形边上的点，点P是正方形内一点．如图（1），将正方形沿过P点的线段折叠，使点E落在上点E′，如图（2），展开后沿过P点的线段折叠，使点G落在上点，若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】正方形折叠问题 【分析】本题考查了翻折变换（折叠问题），平行线的性质，根据折叠的性质可得：，，然后根据垂直定义可得，从而利用直角三角形的两个锐角互余进行计算可得：，再根据正方形的性质可得，从而利用平行线的性质可得，即可解答． 【详解】解：由折叠得：，， ∴， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， 故选：A． 4．（2025·江西赣州·一模）如图，坐标平面内有一个矩形，点位于原点，点、在坐标轴上，点的坐标为，现固定点并将此矩形按顺时针方向旋转，若旋转后点的坐标为，则旋转后点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】根据矩形的性质求线段长、根据旋转的性质求解 【分析】本题主要考查了旋转的性质、矩形的性质，熟练掌握旋转的性质是解题关键． 先根据旋转后点的坐标为，得出点落在轴上，再根据，即可得到点的坐标为． 【详解】解：∵旋转后点的坐标为， ∴点落在轴上， ∴此时， ∴点的坐标为， 故选：D． 5．（24-25八年级下·江苏淮安·期中）如图，在矩形中，，，E是边上一点，连接，沿翻折，得到，连接．当长度最小时，的面积是（   ） A． B． C． D．20 【答案】B 【知识点】矩形与折叠问题、用勾股定理解三角形 【分析】连接，如图，根据折叠的性质得到，，当点、、三点共线时，最小，此时的最小值，根据勾股定理得到，得到长度的最小值，设，则，根据勾股定理得到根据三角形的面积公式得到的面积是． 【详解】解：连接，如图， 沿翻折至， ， ，， ， 当点、、三点共线时，最小，此时的最小值， 四边形是矩形， ， ，， ， 长度的最小值， 设，则， ， ， ， ， 解得，， 的面积是， 故选：B． 【点睛】本题考查翻折变换（折叠问题），矩形的性质，勾股定理，线段的最值问题．本题的综合性强，属于常见的中考压轴题．熟练掌握折叠的性质，勾股定理，是解题的关键． 二、填空题 6．（2025·河南信阳·模拟预测）如图，点M，N是矩形边，上的点，，，将沿AE折叠，点D的对应点F落在线段上．若线段所在的直线是矩形的对称轴，则的长为 ．    【答案】 【知识点】矩形与折叠问题、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查了矩形的性质、折叠的性质以及勾股定理的应用，解题的关键是利用折叠性质得到相等线段，结合矩形对称轴性质和勾股定理建立方程求解． 设，由折叠性质得， ．利用矩形对称轴性质可知、为、中点，，，在中，根据勾股定理，进而得，，在中，依据勾股定理列方程，解得，即 ． 【详解】设，由折叠可知：，， ∵线段所在的直线是矩形的对称轴， ∴点是边的中点，，，， ， 在中， ， ， ∴， 在中， ． ． 7．（2025·陕西西安·一模）菱形中，，，、分别为、上的点，为边的中点，将沿折叠，点恰好落在点处，则的长为 ． 【答案】7 【知识点】利用菱形的性质求线段长、折叠问题、等边三角形的判定和性质、用勾股定理解三角形 【分析】本题主要考查了菱形的性质，勾股定理，等边三角形的性质和判定， 连接，根据菱形的性质得 ，进而得出是等边三角形，根据等边三角形的性质得，，然后根据勾股定理求出，接下来设，则，最后根据勾股定理可得答案． 【详解】解：连接， ∵四边形是菱形，， ∴， ∴是等边三角形． ∵点G是的中点， ∴，， ∴， 即． 根据勾股定理，得． 设，则， 根据勾股定理，得， 即， 解得， 所以． 故答案为：7． 8．（2025·辽宁葫芦岛·二模）如图，正方形的边长为4，点是边上一点，且，点是边上一动点，连接，将沿翻折得到，连接，当最小时，的长是 ． 【答案】 【知识点】用勾股定理解三角形、正方形折叠问题 【分析】本题考查了正方形的性质，折叠的性质，勾股定理等知识，连接，根据勾股定理求出，由折叠可得，根据，由当点三点共线时，最小，即可求解，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：∵正方形的边长为4， ∴，， ∵， ∴， 如图：连接， ∴在中，， ∵将沿翻折得到， ∴， ∵， ∴当点三点共线时，最小， 如图： ∴的最小值为， 故答案为：． 9．（2025·宁夏银川·一模）雪花也称银粟，是天空中的水汽经凝华而来的固态降水，多呈六角形，是一种美丽的结晶体．美术课要求绘制雪花，小华利用数学知识作出如下操作：建立如图所示的平面直角坐标系，绘制菱形，且顶点的坐标为，点在第一象限，，将菱形绕原点沿顺时针方向旋转5次，每次旋转，旋转第一次得到四边形（点与点重合），则旋转第四次得到的点的坐标是 ． 【答案】 【知识点】利用菱形的性质求线段长、坐标与旋转规律问题、含30度角的直角三角形 【分析】本题考查菱形的性质，坐标与图形变化-旋转，含30度角的直角三角形的性质；如图，旋转第四次得到菱形，过作轴于，连接交于，由菱形的性质推出，，，由含30度角的直角三角形的性质求出，，，，求出，即可得到的坐标． 【详解】解：如图，旋转第四次得到菱形， 过作轴于，连接交于， 四边形是菱形， ，，， 的坐标是， ， ， ， ， ， ， ， ， 的坐标是． 故答案为：． 10．（2025·安徽六安·三模）如图，现有正方形纸片，点，分别在，边上，分别沿，折叠，使得，两点均落在点处，然后还原． （1） ． （2）连接，分别交两条折痕，于点，，已知，，则的长为 ． 【答案】 45度/ 【知识点】用勾股定理解三角形、折叠问题、全等的性质和SSS综合（SSS）、根据正方形的性质证明 【分析】该题考查了折叠的性质，勾股定理，正方形的性质等知识点，解题的关键是正确做出辅助线． （1）由折叠得，结合，即可求解； （2）连接．由折叠可得，得出，即可得，．又根据在正方形中，，从而得出，求出．在中，根据勾股定理即可求解． 【详解】解：（1）由折叠得， ， ， ． （2）连接． 由折叠可得， ∴， ，． 又在正方形中，， ， ． 在中，． 故答案为：；． 三、解答题 11．（2025八年级下·全国·专题练习）如图，在菱形中，分别是边上一点，将菱形沿折叠，当点落在的中点处时，连接． (1)求证：是直角三角形； (2)求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】折叠问题、根据三线合一证明、利用菱形的性质证明、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查了菱形的性质、勾股定理、等腰三角形的性质等知识点，掌握相关结论即可． （1）连接．可推出是等边三角形，根据是的中点，推出即可求证； （2）由题意得．推出；设，则．根据，即可求解； 【详解】（1）证明：如答图，连接． 四边形是菱形，， 是等边三角形． 是的中点， ，即， ， 即是直角三角形． （2）解：由（1）可知，是等边三角形，是的中点． ． 在中，由勾股定理可得 翻折至， ． 设，则． 在中，， 即， 解得， 即． 12．（2024八年级下·全国·专题练习）如图，菱形中，，，点为边上任意一点（不包括端点），连结，过点作，交边于点，点线段上的一点． (1)若点为菱形对角线的交点，为的中位线，求的值； (2)当的值最小时，请确定点的位置，并求出的最小值； (3)当的值最小，且的值最小时，在备用图中作出此时点，的位置，写作法并写出的最小值． 【答案】(1)4 (2)当点为中点，点关于对称的点与点坐在直线垂直于时，有最小值 (3)6 【知识点】含30度角的直角三角形、等边三角形的判定和性质、根据成轴对称图形的特征进行求解、利用菱形的性质求线段长 【分析】（1）由菱形的性质可得，均为等边三角形，点为的中点，连接，，利用三角形中位线定理即可求解． （2）由题可知，，为等边三角形，由菱形性质可知，与关于对称，在上，取点的对应点，连接，则，，连接，交于点，过点垂直于的直线交于，交于，可得，可得，则点为中点，利用含的直角三角形可得，，由三角形三边关系及垂线段最短可知，当，，三点在同一直线上，且与重合时取等号，即当点为中点，点关于对称的点与点坐在直线垂直于时，有最小值． （3）同（2）， 与关于对称，在上，取点的对应点，连接，则，连接，交于点，由（2）可得点为中点，作关于对称的线段，取点的对应点，连接，则，由对称可知：，则，当，，，在同一条直线上时取等号，此时点为中点，可知，为等边三角形，进而即可求解． 【详解】（1）解：四边形是菱形，，， ，， 则， 均为等边三角形， ， 点为菱形对角线的交点， 点为的中点， 连接，， 为的中位线， ，也为的中位线， 则，， ； （2）由（1）可知，均为等边三角形， 则，， ， ， 为等边三角形， ， ， 由菱形性质可知，与关于对称，在上，取点的对应点，连接，则，，连接，交于点，过点作垂直于的直线交于，交于， ， ， 又， ， ， 点为中点， ，， ， ， 由勾股定理得，，， ， ， ， 当，，三点在同一直线上，且与重合时取等号， 即当点与点重合（点为中点），与重合时取等号， 综上，当点为中点，点关于对称的点与点坐在直线垂直于时，有最小值． （3）同（2），与关于对称，在上，取点对应点，连接，则，连接 交于点，由（2）可得点为中点， 作关于对称的线段，取点的对应点，连接，则， 为等边三角形， ， 由对称可知：， 则，当，，，在同一条直线上时取等号，此时点为中点， ，则， 过点（点），且， 可知，为等边三角形， ，，， 即，，分别为，，的中点， 此时， 作图，如下： 作法：取的中点为，作交于； 综上，的最小值为． 【点睛】本题考查了四边形的综合应用，菱形的性质，等边三角形的判定及性质，含的直角三角形，轴对称等知识，利用轴对称构造辅助线，将线段和问题转化为三角形三边关系，两点之间距离问题等是解决问题的关键． 13．（24-25八年级下·河南焦作·阶段练习）综合与实践 折叠问题是初中数学中的一个几何题型.折叠前后图形的大小和形状不发生改变，对应边相等，对应角相等，折痕是对应点连线的垂直平分线，我们可以用一张纸演示折叠辅助解决问题. 问题情境 如图1，在长方形纸片中，，，，点是线段上的动点，连接，是由沿翻折所得到的图形. （1）如图2，连接，当点落在上时，的长为________________. 深入探究 （2）如图3，点是的中点，连接.当点落在上时，求的长. 拓展应用 （3）如图4，点是的中点，连接，. ①的最小值为________________； ②当是以为腰的等腰三角形时，请直接写出的长. 【答案】（1）4；（2）；（3）①；②或6 【知识点】用勾股定理解三角形、全等三角形综合问题、矩形与折叠问题、等腰三角形的性质和判定 【分析】本题主要考查矩形的性质，全等三角形的判定和性质，折叠的性质，勾股定理，熟练掌握折叠的性质是解题的关键． （1）根据折叠的性质得到，再根据勾股定理求出，即可求出答案； （2）连接，设，根据折叠的性质得到，，由勾股定理得到，再利用勾股定理得到，即可求出答案； （3）①根据两点之间，线段最短，当点落在上时，的值最小，根据折叠的性质得到，，由勾股定理得到，即可得到答案； ②分当时，当时，两种情况进行讨论． 【详解】解：（1）是由沿翻折所得到的图形， ， ， ， ， ， ； 故答案为：； （2）连接，设， 是由沿翻折所得到的图形， ， ，， ， ， 点是的中点，， ， ， ， ， ， ， 在中，， 在中，， ， 解得， ； （3）①根据两点之间，线段最短，当点落在上时，的值最小， 设， 是由沿翻折所得到的图形， ， ，， ， ， 点是的中点，， ， ， ， ； ②当时， 是由沿翻折所得到的图形， ， ， 设， ， ， 在中，， ， 解得， ； 当时，点在上时， ， ，， ， ， ， ， ； 综上所述，的长为或6． 14．（24-25八年级下·广西南宁·阶段练习）【课本再现】 如图1，正方形的对角线相交于点O，点O又是正方形的一个顶点，而且这两个正方形的边长都为1，四边形为两个正方形重叠部分，正方形可绕点O转动． 【问题发现】 （1）①如图1，求证：； ②如图1，四边形的面积为______；线段，，之间的数量关系是______； 【类比迁移】 （2）如图2，点O是矩形对角线的中点，点O又是矩形的一个顶点，与边相交于点E，与边相交于点F，连接，矩形可绕着点O旋转，猜想，，之间的数量关系，并进行证明； 【拓展应用】 （3）如图3，有一个菱形菜园，，为人行步道，且交于点O，现要在菜园的右下角建一四边形储藏间．已知点E在上，点F在上，．若四边形储藏间的占地面积为（人行步道的面积忽略不计），要在菱形菜园围一圈篱笆，请直接写出需要篱笆多少米？ 【答案】（1）①见解析；②；；（2），见解析；（3） 【知识点】等边三角形的判定和性质、根据正方形的性质证明、全等三角形综合问题、利用菱形的性质求线段长 【分析】（1）①根据证明即可； ②根据，得出，根据，求出结果即可；根据， 得出， 根据勾股定理得出，根据线段之间的数量关系，即可得出结论； （2）猜想：，连接，延长交于，证明，再利用勾股定理证明即可； （3）取的中点H，连接，过点O作于点G，证明为等边三角形，得出，证明为等边三角形，得出，，证明，得出，设，则，，根据，得出，求出结果即可． 【详解】（1）①证明：∵四边形是正方形， ， ∵， ∴， ∵， ∴； ②∵正方形的边长为1， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ ， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2），理由如下： 连接，如图所示： ∵O为矩形中心， ∴， 延长交于， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 又∵矩形， ∴， ∴垂直平分， ∴， ∵在中， ∴； （3）取的中点H，连接，过点O作于点G，如图所示： ∵四边形为菱形， ∴，，， ∵， ∴为等边三角形， ∴， ∵，H为的中点， ∴， ∴为等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ ， ∵，为等边三角形， ∴， 设，则，， ∴， ∴， 解得：，负值舍去， ， ∴， ∴菱形菜园围一圈篱笆，需要篱笆． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质，正方形的性质，菱形的性质，三角形全等的判定和性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握相关的判定和性质． 11 / 11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$null 专题08 特殊平行四边形中折叠、旋转、最值问题 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材 学知识：教材精讲精析、全方位预习 练题型 强知识：3大核心考点精准练 第二步：记 串知识 识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测 稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点01 折叠问题：利用轴对称性质与几何关系 折叠本质是轴对称变换，折叠前后图形全等，对应边、角相等，折痕为对称轴。 1.矩形折叠：常与直角三角形结合，用勾股定理求边长（如折叠后形成的Rt△中，设未知数列方程），或通过平行线性质找角的等量关系（如内错角、同位角）。 2.菱形折叠：借助对角线互相垂直平分的性质，折叠后对角线交点位置不变，利用全等三角形和对称关系分析线段位置（如折痕与对角线的夹角）。 3.正方形折叠：因四边相等、四角为直角，折叠后易出现等腰直角三角形或全等三角形，需结合对称性质与勾股定理，分析折叠后重合点的位置关系（如边的中点、顶点）。 知识点02 旋转问题：抓住旋转中心、角度与全等性质 旋转需确定中心、角度和方向，旋转前后图形全等，对应点到旋转中心距离相等。 1.矩形旋转：以对角线交点为中心旋转时，对角线仍互相平分且相等，旋转后对应边平行或共线，常结合三角形全等证明线段相等（如旋转90°后形成等腰直角三角形）。 2.菱形旋转：绕对角线交点旋转，对角线夹角不变（如60°菱形旋转60°后与原图形部分重合），利用旋转前后对角线的位置关系求角度或线段长度。 3.正方形旋转：绕中心旋转90°、180°等特殊角度时，图形与原图形重合，常通过旋转构造全等三角形（如将某边旋转至邻边位置，转化线段关系）。 知识点03 最值问题：结合图形变换与几何定理求最值 通过变换转化线段或角度，利用“两点之间线段最短”“垂线段最短”等定理求解。 1.折叠最值：如矩形中折叠某边，求折痕长度的最小值，可转化为求对称点到另一边的垂线段长度；或折叠后顶点落于某边上时，利用勾股定理求边长的最值。 2.旋转最值：图形旋转时，动点轨迹为圆弧，如正方形顶点绕某点旋转，其到另一顶点的距离最大值为旋转中心与两顶点距离之和（利用三角形三边关系）。 3.通用方法：将分散的线段通过旋转或折叠转化到同一直线或三角形中，利用几何不等式（如两边之和大于第三边）求最值，或建立函数关系式（如二次函数）求极值。 【题型1 特殊平行四边形中折叠问题】 例题：（24-25九年级下·辽宁·开学考试）如图，在菱形中，，，点E是的中点，点F为上一动点，将沿折叠，得到．若与菱形的对角线平行，则的长为 ． 【变式训练】 1．（2025·河南·一模）如图，在矩形中，，点为射线上一个动点，将沿直线折叠，当点的对应点刚好落在线段的垂直平分线上时，的长为 ． 2．（24-25八年级下·安徽淮南·期中）如图，将正方形纸片ABCD对折，使AD与BC重合，得到折痕EF，再把纸片展平，点是边上一点，将沿折叠，使点的对应点恰好落在上，延长交边于点，交延长线于点． （1）的度数为 ； （2）的值为 ． 【题型2 特殊平行四边形中旋转问题】 例题：（24-25八年级下·上海·阶段练习）在边长为6的菱形中，，将菱形绕点旋转，得到菱形，其中点落在的延长线上，那么的面积是 【变式训练】 1．（2025·上海青浦·二模）如图，在矩形中，，，将矩形绕点A旋转，点B、C、D落在点、、处、如果点落在直线上，那么 ． 2．（24-25九年级下·安徽六安·阶段练习）如图，两张正方形的纸片，的一个顶点重合，正方形纸片绕点旋转一定的角度，使得B，E，G三点在同一条直线上，与边相交于点． （1）若，则 （用含的式子表示）； （2）若，，则的长为 ． 【题型3 特殊平行四边形中最值问题】 例题：（2025·陕西西安·一模）如图，菱形的边长为2，，将该菱形绕顶点在平面内旋转得到菱形，若与所在直线交于点，则当最小时，的长为 ． 【变式训练】 1．（24-25九年级上·浙江台州·期中）如图，在长方形ABCD中，，点P为边AD上的一个动点，以BP为边向右作等边，连接．当点落在边BC上时，的度数为 ；当线段的长度最小时，的度数为 ． 2．（23-24九年级下·江苏无锡·阶段练习）如图，正方形的边长为4，点G是边的中点，点E是边上的动点，连接，将沿翻折得到，连接．当最小时，的长为 ． 一、单选题 1．（24-25八年级下·福建福州·期中）如图，在长方形纸片中，已知，．折叠纸片使边与对角线重合，点B落在点F处，折痕为，则的长为（   ）    A．5 B．4 C．3 D．6 2．（2025八年级下·全国·专题练习）如图，在菱形纸片中，，点在边上，将菱形纸片沿折叠，点对应点为点，且是的垂直平分线，则的大小为（　　） A． B． C． D． 3．（24-25七年级下·湖北武汉·阶段练习）已知正方形，点E、F、M、N、G、H是正方形边上的点，点P是正方形内一点．如图（1），将正方形沿过P点的线段折叠，使点E落在上点E′，如图（2），展开后沿过P点的线段折叠，使点G落在上点，若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 4．（2025·江西赣州·一模）如图，坐标平面内有一个矩形，点位于原点，点、在坐标轴上，点的坐标为，现固定点并将此矩形按顺时针方向旋转，若旋转后点的坐标为，则旋转后点的坐标为（    ） A． B． C． D． 5．（24-25八年级下·江苏淮安·期中）如图，在矩形中，，，E是边上一点，连接，沿翻折，得到，连接．当长度最小时，的面积是（   ） A． B． C． D．20 二、填空题 6．（2025·河南信阳·模拟预测）如图，点M，N是矩形边，上的点，，，将沿AE折叠，点D的对应点F落在线段上．若线段所在的直线是矩形的对称轴，则的长为 ．    7．（2025·陕西西安·一模）菱形中，，，、分别为、上的点，为边的中点，将沿折叠，点恰好落在点处，则的长为 ． 8．（2025·辽宁葫芦岛·二模）如图，正方形的边长为4，点是边上一点，且，点是边上一动点，连接，将沿翻折得到，连接，当最小时，的长是 ． 9．（2025·宁夏银川·一模）雪花也称银粟，是天空中的水汽经凝华而来的固态降水，多呈六角形，是一种美丽的结晶体．美术课要求绘制雪花，小华利用数学知识作出如下操作：建立如图所示的平面直角坐标系，绘制菱形，且顶点的坐标为，点在第一象限，，将菱形绕原点沿顺时针方向旋转5次，每次旋转，旋转第一次得到四边形（点与点重合），则旋转第四次得到的点的坐标是 ． 过作轴于，连接交于， 四边形是菱形， ，，， 的坐标是， ， ， ， ， ， ， ， ， 的坐标是． 10．（2025·安徽六安·三模）如图，现有正方形纸片，点，分别在，边上，分别沿，折叠，使得，两点均落在点处，然后还原． （1） ． （2）连接，分别交两条折痕，于点，，已知，，则的长为 ． 三、解答题 11．（2025八年级下·全国·专题练习）如图，在菱形中，分别是边上一点，将菱形沿折叠，当点落在的中点处时，连接． (1)求证：是直角三角形； (2)求的长． 12．（2024八年级下·全国·专题练习）如图，菱形中，，，点为边上任意一点（不包括端点），连结，过点作，交边于点，点线段上的一点． (1)若点为菱形对角线的交点，为的中位线，求的值； (2)当的值最小时，请确定点的位置，并求出的最小值； (3)当的值最小，且的值最小时，在备用图中作出此时点，的位置，写作法并写出的最小值． 13．（24-25八年级下·河南焦作·阶段练习）综合与实践 折叠问题是初中数学中的一个几何题型.折叠前后图形的大小和形状不发生改变，对应边相等，对应角相等，折痕是对应点连线的垂直平分线，我们可以用一张纸演示折叠辅助解决问题. 问题情境 如图1，在长方形纸片中，，，，点是线段上的动点，连接，是由沿翻折所得到的图形. （1）如图2，连接，当点落在上时，的长为________________. 深入探究 （2）如图3，点是的中点，连接.当点落在上时，求的长. 拓展应用 （3）如图4，点是的中点，连接，. ①的最小值为________________； ②当是以为腰的等腰三角形时，请直接写出的长. 14．（24-25八年级下·广西南宁·阶段练习）【课本再现】 如图1，正方形的对角线相交于点O，点O又是正方形的一个顶点，而且这两个正方形的边长都为1，四边形为两个正方形重叠部分，正方形可绕点O转动． 【问题发现】 （1）①如图1，求证：； ②如图1，四边形的面积为______；线段，，之间的数量关系是______； 【类比迁移】 （2）如图2，点O是矩形对角线的中点，点O又是矩形的一个顶点，与边相交于点E，与边相交于点F，连接，矩形可绕着点O旋转，猜想，，之间的数量关系，并进行证明； 【拓展应用】 （3）如图3，有一个菱形菜园，，为人行步道，且交于点O，现要在菜园的右下角建一四边形储藏间．已知点E在上，点F在上，．若四边形储藏间的占地面积为（人行步道的面积忽略不计），要在菱形菜园围一圈篱笆，请直接写出需要篱笆多少米？ 11 / 11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$