专题03 特殊平行四边形相关的综合性问题（5种类型40道）（高效培优期末专项训练）九年级数学上学期北师大版

专题03 特殊平行四边形相关的综合性问题 （5种类型40道） 考点01 菱形相关综合性问题 考点02 矩形相关综合性问题 考点03 “斜中半”相关综合性问题 考点04 正方形相关综合性问题 考点05 折叠相关综合性问题 考点01 菱形相关综合性问题 1．如图，菱形的周长为40，对角线，相交于点，，垂足为，．下列结论：①；②；③；④．其中正确的个数是（   ）    A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】A 【分析】本题考查了菱形的性质，勾股定理的运用，掌握菱形的性质是关键． 根据菱形的性质得到，结合题意得到，由菱形的面积的计算，勾股定理即可判定各结论． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴， ∵菱形的周长为40， ∴， ∵， ∴，故①正确； ∵， ∴，故④正确； 在中，， ∴，故②正确； 在中，，故③正确； 综上所述正确的有①②③④，共4个， 故选：A ． 2．如图，在菱形中，，点分别是上任意的点（不与端点重合），且，连接与相交于点G，连接与相交于点H．给出如下几个结论：①；②；③与一定不垂直；④．其中正确的结论个数为（   ） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】C 【分析】此题综合考查了菱形的性质，等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定和性质，作出辅助线构造出全等三角形，把不规则图形的面积转化为两个全等三角形的面积是解题的关键．根据菱形的性质，证明为等边三角形，进而得出，可判断①②结论；当点分别是中点时，证明，进而推出，可判断③结论；根据三角形外角的性质和全等三角形的性质，得出，可判断④结论． 【详解】解： 四边形为菱形， ， ， ， 为等边三角形， ， 又， ，①结论正确； ，②结论正确； 如图，当点分别是中点时， 由题知，为等边三角形， 点分别是中点， ， ， 在与中， ， ， ，即，③结论错误； ，为定值，④结论正确； 综上所述，正确的结论有①②④，共3个， 故选：C． 3．如图，在菱形中，，，E，F分别是，的中点，，相交于点G，连接，，有下列结论：①；②；③；④．其中正确的结论有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】先根据菱形的性质，得出，结合，可得、是等边三角形，从而可得，再根据E，F分别是，的中点，可得，平分，从而可得，，再利用三角形外角的性质求得，由此可判断①； 先利用等腰三角形三线合一，可得，，再利用证明，从而可得，再根据含有直角三角形的性质得出，，从而可得，由此可判断②； 根据中为斜边，中为直角边，而，可得不全等，由此可判断③； 根据等边三角形的面积等于求出，由此可判断④． 【详解】解：①∵四边形是菱形， ， ， ∴、是等边三角形， ∴， ∵E，F分别是，的中点， ∴，平分， ，， ，故①正确； ②∵E，F分别是，的中点，是等边三角形， ∴，， ∵四边形是菱形， ，， ∴，， 在与中， ， ， ， ∴，， ，故②正确； 中为斜边，中为直角边，而，可得不全等，故③错误； ∵是等边三角形，， ∴，故④错误． 综上可得①②正确，共2个． 故选：B． 【点睛】本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定与性质，，三角形外角的性质等知识点，解题关键是熟悉上述知识点，并 熟练运用求解． 4．如图，将等边沿射线BC向右平移到的位置，连接，则下列结论：①；②、互相平分；③四边形是菱形；④．其中正确的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】证明是等边三角形．即可判断①正确；证明四边形是菱形，即可判断②正确．证明四边形是菱形，即可判断③正确．则得到，即可判断④正确． 此题考查了菱形的判定和性质、等边三角形的判定和性质、平移的性质等知识，熟练掌握平移的性质和菱形的判定和性质是关键． 【详解】解：∵由已知和平移的性质，、都是等边三角形， ∴ ∴． ∴是等边三角形． ∴．故①正确； ∴四边形是菱形， ∴，互相平分，故②正确． 由①可得，故四边形是菱形，即③正确． ∴ ∴，故④正确； 综上可得①②③④正确，共4个． 故选：D． 5．如图，在菱形中，，点E，F分别是边上任意点（不与端点重合），且，连接相交于点G，连接与相交于点H，下列结论：①；②的大小为定值；③与一定不垂直；④若，则，其中正确的结论有（ ） A．①② B．①②④ C．③④ D．①③④ 【答案】B 【分析】根据菱形的性质，再结合全等三角形的判定与性质，对每个结论一一判断求解即可． 【详解】解：①∵四边形是菱形． ∴， 又， ∴， ∴是等边三角形， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∴①符合题意； ②由①得， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴②符合题意； ③当点E，F分别是中点时， 由（1）知，为等边三角形， ∵点E，F分别是中点， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴，即， ∴③不符合题意； ④过点F作交于P点，如图， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即，故本选项符合题意： ∴正确的结论是①②④． 故选：B． 【点睛】本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质等知识，证明三角形全等是解题的关键． 6．如图，在菱形中，，在射线、上有两点、，连接、、，下列说法：①若、分别是、的中点，且，则菱形的面积为．②若菱形的周长为16，则． ③若，且，则的长度为．④若，则面积的最小值为．其中正确的有（   ） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①③④ 【答案】D 【分析】本题主要考查了菱形的性质，等边三角形的判定和性质，含30度直角三角形的性质，过点作与点H，由菱形的性质和，含30度直角三角形的性质得出，，进而求出，再根据菱形的性质求出面积可判断①，由菱形的性质可判断②，连接．由等边三角形的判定和含30度直角三角形的性质，全等三角形的判定性质结合勾股定理即可求出进而可判断③，由等边三角形的性质得出，再根据垂线段最短，得出即时，面积的最小值，此时点E为的中点，进而求出面积的最小值，即可判断④． 【详解】解：过点作与点H， ∵， ∴， ∴， ∵是菱形， ∴， ∵、分别是、的中点，且， ∴ ∴，， ∴， ∴则菱形的面积为，故①正确， 若菱形的周长为16，则， 但无法确定射线、上两点、的位置，故无法推出，故②错误， 如下图，连接． ∵四边形是菱形， ∴，， ∴． ∵， ∴是等边三角形，， ∴，， ∴是等边三角形， ∴，． ∴， ∴， ∴， 即， 在和中， ∴， ∴，， ∴是等边三角形， 又∵，， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴，故③正确， ∵是等边三角形， 过点A作交与点K， 则， ∴， ∴， ∴， ∴当最小，即时，面积的最小值，此时点E为的中点， 在等边三角形中，， ∴， ∴， ∴，故④正确， 综上：①③④正确， 故选：D． 【点睛】本题主要考查了菱形的性质，等边三角形的判定和性质，含30度直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，根据题意画出图形，利用相关知识求解是解题的关键． 7．如图，菱形中，，与交于点，为延长线上的一点，且，连接分别交，于点，连接．则下列结论：①；②；③；④由点构成的四边形是菱形．其中正确的个数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了菱形的判定和性质，三角形中位线的性质，等边三角形的判定和性质等，由“”可证，可得，进而由三角形中位线定理可得，，可得，即可判断①和②；由菱形的判定可证四边形是菱形，即可判断④；由全等三角形的性质和中线性质可得，，即得即可判断④，综上即可求解，掌握菱形的判定和性质是解题的关键． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴，，，，， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴是的中位线， ∴，， ∴， ∴，故①和②正确； 连接， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵，， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即，故③正确； 综上，正确的个数是个， 故选：． 8．如图，在菱形中，，对角线、相交于点，是对角线上的一动点，且于点，于点．由以下结论：①为等边三角形；②；③；④．其中正确的有（     ）个． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】本题考查菱形的性质、等边三角形的判定与性质、含30度角的直角三角形的性质、勾股定理、三角形的内角和定理等知识，熟练掌握相关知识的联系与运用是解答的关键．利用菱形的性质和等边三角形的判定可判断①；根据含30度角的直角三角形的性质、勾股定理可判断②④；根据三角形的内角和定理可判断③，进而可得结论． 【详解】解：∵四边形是菱形，， ∴，，，， ∴为等边三角形，，则， 故①②正确； ∵，， ∴， ∴，，， ∴，， 故③④正确， 综上，正确的有4个， 故选：D． 考点02 矩形相关综合性问题 9．如图，在矩形中，的平分线交于点，交的延长线于点，取的中点，连接，，，，下列结论： ①；②；③；④若，则．其中正确的结论有（   ）个． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】先求出，判断出是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质可得，，从而得到；再求出是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质可得，再求出，然后利用“边角边”证明，得到，由，得到，；由于，得到；由是等腰直角三角形得到，求得，过作于，求得，进而得出答案． 【详解】解：∵四边形为矩形， ∴，，， ∵平分， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴，， ∵， ∴， 故①符合题意； ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∵点为的中点， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴． ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故②不符合题意； ∵， ∴， 故③符合题意； ∵， ∴设，， ∵， ∵，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 过作于，如图： ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故④符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了勾股定理，矩形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质；熟练掌握矩形的性质，证明三角形全等和等腰直角三角形是解决问题的关键． 10．如图，矩形中，，是线段上的一个动点，将线段绕点逆时针旋转得到，过点作于点，连接，取的中点，连接．点在运动过程中，下列结论：①；②当点和点互相重合时，；③；④．其中结论正确的序号有（   ） A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②③④ 【答案】D 【分析】本题考查了矩形中的旋转问题，涉及全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质等知识．由四边形是矩形，线段绕点逆时针旋转得到，可证，从而判断①；当点H和点G互相重合时，由是等腰直角三角形，是的中点，，可得，从而得到，故可判断②；是等腰直角三角形，是的中点，得到，再分别证，，从而判断③；分别求出的最大值以及最小值，从而判断④． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∵线段绕点逆时针旋转得到， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴，故①正确； 当点H和点G互相重合时，如图： ∵线段绕点逆时针旋转得到， ∴，， ∴是等腰直角三角形， ∵是中点，， ∴， ∴， ∴， ∴，故②正确； 如图：设与相交于点， ∵是等腰直角三角形，是的中点， ∴，， ， 又（对顶角相等）， ，即， ， ， 又， ，故③正确； 当点和重合时，最短，如图： 此时与都在上， ∵是等腰直角三角形，是的中点， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴的最小值为； 当点和点重合时，最大，过点作交于点，如图： ∵， ∴， ∵， ∴， 设，则， ∵， ∴， 解得：（舍去）或， ∴， ∴， ∴的最大值为， ∴，故④正确． 综上分析可知：正确的有①②③④． 故选：D． 11．如图，在矩形ABCD中，的平分线DE交AB于点E，，于点H，连结AH并延长，交CB于点F，连结给出下列结论：；；的面积是矩形ABCD面积的；；其中正确的有（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】①证明是等腰直角三角形得，，由勾股定理得，再根据，即可对该结论进行判断； ②根据，得，进而得，由此即可对该结论进行判断； ③先求出，根据得，由此即可对该结论进行判断； ④证明是等腰直角三角形得，由勾股定理得，进而得，则，继而得，由此即可对该结论进行判断； ⑤根据，，即可依据“”判定和全等，由此即可对该结论进行判断，综上所述即可得出答案． 此题主要考查了矩形的性质，等腰直角三角形的判定与性质，全等三角形的判定，理解矩形的性质，熟练掌握全等三角形的判定，等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理是解决问题的关键 【详解】解：①四边形ABCD是矩形， ，， 的平分线DE交AB于点E， ， ， 是等腰直角三角形， ，， ， ，， ，故①正确； ②在中，，， ， ，故②正确； ③， ， 又， ， ，故③不正确； ④，于点H， 是等腰直角三角形， ， ， ， ， 在中，， ， ，故④不正确， ⑤于点H，， ， ，， ， 在和中， ， ≌，故⑤正确， 综上所述：正确的结论有①②⑤． 故选：A 12．如图，在矩形中，为中点，过点且分别交于，交于，点是中点且，则下列结论正确的个数为（   ） ①；②；③；④． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，再根据等边对等角可得，根据直角三角形两锐角互余求出，，故①正确；设，表示出，利用勾股定理求出，得到，再求出，得到，故③错误；求出，证明出，得到，求出，故②正确；再根据三角形的面积和矩形的面积列式求出判断出④正确． 【详解】解：∵，点G是中点， ∴， ∵， ∴， ∴，，故①正确； ∴是等边三角形， 设，则， 由勾股定理得，， ∵O为中点， ∴， ∴， ∴，故③错误； 在中，由勾股定理得，， ∵四边形是矩形， ∴， ∵ ∴ 又∵， ∴ ∴， ∴， ∴，故②正确； ∵，， ∴，故④正确； 综上所述，结论正确的是①②④． 故选：C． 【点睛】本题考查了矩形的性质、直角三角形斜边上的中线的性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理，全等三角形的性质和判定等知识，设出，然后用a表示出相关的边是解题的关键． 13．如图，在矩形中，，的平分线交于点，，垂足为，连结并延长，交于点，连结交于点下列结论：；；；其中正确的有（ ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】D 【分析】此题重点考查矩形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、勾股定理等知识，证明及≌是解题的关键． 由矩形的性质得，，因为，所以，则，则，则，可求得，而，所以，可判断正确；由，得，则，所以，可求得，则，所以，则，所以，再证明，则，可判断正确；再证明≌，得，，可判断正确；由，，推导出，而，则，可判断正确，于是得到问题的答案． 【详解】解：四边形是矩形， ，，， 的平分线交于点， ， ， ， ， ， ， ， ∵， ， ， 故正确； ，垂足为， ， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， 故正确； ，， ， ， ， ，， ， 在和中， ， ≌， ，， 故正确； ，， ， ， ， ， 故正确， 故选：D． 14．如图，在矩形中，的平分线交于点E，且，于点H，连接并延长，交于点F，连接．下列结论：①；②；③；④．其中正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】证明为等腰直角三角形，得到，根据，判断①；根据等边对等角，结合角的和差关系，三角形的内角和定理，推出，判断②；证明判断③；角平分线的性质，得到，根据线段的和差关系，推出，判断④即可． 【详解】解：∵矩形， ∴， ∵的平分线交于点E， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴，， ∵， ∴，；故①正确； ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴；故②正确； ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴，；故③正确； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴；故④正确； 故选D． 【点睛】本题考查矩形的性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，角平分线的性质等知识点，熟练掌握相关知识点，理清角度，线段之间的关系，是解题的关键． 15．如图，在矩形中，点，分别在边，上，且将矩形沿直线折叠，使点恰好落在边上的点处，连接交于点现有下列结论：；；；是等边三角形．其中正确的有(   ) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了翻折变换的性质，直角三角形角所对的直角边等于斜边的一半的性质，直角三角形两锐角互余的性质，等边三角形的判定等知识，熟记各性质并准确识图是解题的关键．求出，根据翻折的性质可得，再根据直角三角形角所对的直角边等于斜边的一半求出，然后求出，再根据翻折的性质求出，根据直角三角形两锐角互余求出，然后根据直角三角形角所对的直角边等于斜边的一半可得，判断①；进而根据判断②；求出，，然后求出，判断③；求出，然后得到是等边三角形，故④正确． 【详解】解：， ， 由翻折的性质得，， ， ， ， ， ，故①正确； ， ， ， ，故②错误； 由翻折可知， ， ，， ，故③错误； 由翻折的性质，， ， ， ， 是等边三角形，故④正确； 综上所述，结论正确的是①④． 故选：D． 16．如图，在矩形中，，的平分线交于点E，于点H，连接并延长交于点F，连接交于点O．下列结论：①；②平分；③；④．其中正确的结论有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】根据角平分线的定义可得，然后求出和是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质可得，从而得到； 然后利用角角边证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得，再根据等腰三角形两底角相等求出，根据平角等于求出，从而进一步判断出正确； 求出，然后根据等角对等边可得，判断出正确； 连接，利用全等三角形的性质证明，再证明，可得结论． 【详解】解：四边形是矩形， ， 平分，于点H， ，， 和是等腰直角三角形， ， ， ∴， 在和中， ， ∴， ， 故正确， ， ， ，， ，， ∴平分； 故正确； ， ， ， ， ， ， ， ，故正确； 连接．   ， ， ， ， ， ， ， ，故正确． 故选：D． 【点睛】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，角平分线的定义，等腰三角形的判定与性质；熟记各性质并仔细分析题目条件，根据相等的度数求出相等的角，从而得到三角形全等的条件或判断出等腰三角形是解题的关键． 考点03 “斜中半”相关综合性问题 17．如图，在等腰直角中，，点是斜边的中点，平分交于点，交于点，连接交于点，则下列结论：①；②垂直平分；③是等边三角形；④．其中正确的结论有(   ) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查等腰三角形判定和性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定，垂直平分线的判定等知识，通过求角度证明边角关系是解题的关键．根据等腰直角三角形的性质得到，且，，从而判定，从而判断出③错误；通过计算得到，从而得到，再根据角平分线和平行线推导等腰三角形的方法证明，再根据垂直平分线的判定定理即可证明②；通过证明可以证明①，设，则，，继而求出和，证明，从而求出，即可证明④正确． 【详解】解：在等腰直角中，，点是斜边的中点， ∴，且，， ∴， ∵，即， ∴不是等边三角形，故③错误． 又∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴点C、M都在的垂直平分线上，即垂直平分，故②正确． ∵，垂直平分， ∴， 又∵，， ∴， ∴，故①正确， 设， 则，， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴，故④正确． 故正确的有：①②④，共3个， 故选：C． 18．如图，在中，，，点为边上一点，连接，将沿翻折，使点落在点处，点为边上一点，连接，将沿翻折，点恰好与点重合．，则下列结论：①点是的中点；②是等腰三角形；③与互补；④的长是1；⑤的面积是2．其中结论正确的有（   ）个． A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】C 【分析】根据折叠的性质，得，，，，得到，可判定①正确；结合，可判定②正确；根据折叠的性质，可证，判定③正确；设，由勾股定理，得,解得，判定④⑤错误，解答即可． 本题考查了折叠的性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，四边形内角和定理，勾股定理，熟练掌握性质和定理是解题的关键． 【详解】解：根据折叠的性质，得，， ，， ∴， ∴点是的中点， 故①正确； ∵，， ∴， ∴是等腰三角形， 故②正确； 根据折叠的性质，得，，，， ∵，， ∴，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴与互补， 故③正确； ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴，， 设， ∴， 根据勾股定理，得， ∴, 解得， ∴的长是， ∴的面积是， 故④⑤错误； ∴结论正确的有3个， 故选：C． 19．如图，等腰中，，，是边上的中点，点、分别在、边上运动，且保持．连接、、．在此运动变化的过程中，下列结论：①保持不变；②长度有最小值；③在发生变化；④四边形的面积保持不变．其中正确的结论有（    ）个 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，解决本题的关键是作辅助线构造全等三角形．根据全等三角形的性质找出边之间的关系、面积之间的关系． 【详解】解：如下图所示，连接， 是等腰直角三角形，， ， 是边上的中点， ，， ， 在和中， ， ， ， ， 故正确； 当点是中点时， ， ， ， 垂线段最短， 的长度有最小值为， 故正确； 在运动过程中， ， ， 不发生变化， 故错误； ， ， ， 四边形的面积保持不变， 故正确． 综上所述，正确的结论有个． 故选：C． 20．如图，在中，，点是的中点，延长至点，使得，过点作于点，为的中点，给出结论： ①； ②； ③四边形是平行四边形； ④． 其中说法正确的个数为（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查全等三角形的性质与判定，三角形中位线定理，平行四边形的判定，解题的关键是灵活应用这些知识点．由，，可得，从而判断①；延长交于点，，得出，进而根据直角三角形的性质从而判断②；延长交于，作于，先证，再证出，从而判断③，由与，得出，从而判断④． 【详解】解：，， ， 故①不正确； 如图，延长交于点, ∵，， ∴ ∴ ∵为的中点， ∴， 又∵ ∴ ∴ ∵ ∴ 故②正确； 延长交于，作于，连接 ，，， ， ， 又， ∴是的中位线， ， ， ∵ ∴ ∵ ， ， ，，， ， ， 四边形是平行四边形， 故 ③正确； ， ， ， 故④正确， 正确的有②③④，共3个 故选：C． 21．如图，矩形ABCD中，分别是边AD，BC的中点，于P，DP的延长线交AB于．下列结论：①；②；③．其中结论正确的有（      ） A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 【答案】D 【分析】连接，根据分别证明、，再利用勾股定理求出，逐个选项判断即可． 【详解】解：连接GF， ∵矩形， ∴，，，， ∵，是边的中点， ∴，故①正确； ∵分别是边，的中点， ∴ ∴四边形是平行四边形 ∴ ∴ ∵ ∴垂直平分 ∴ ∴（） ∴，即，故②正确； ∵，，， ∴（） ∴， 设，则，， 在中，， ∴解得，即，故③正确； 综上所述，正确的是①②③ 故选：D． 【点睛】本题考查矩形的性质、平行四边形的判定与性质、直角三角形斜边上中线、勾股定理、全等三角形的性质与判定，涉及知识点比较多，熟记各性质并作辅助线构造出全等三角形是解题的关键． 22．如图，在等腰直角中，，是斜边的中点，点分别在直角边、上，且，连接、．下列结论：①；②；③；④．其中正确的个数是（  ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】根据等腰直角三角形的性质得到，再证得，进而证得①②正确，根据勾股定理可证得③④正确． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， 故①②正确； ∵， ∴， ∵， ∴， 即， 故③正确； ∵， ∴， ∵ ∴， 故④正确； 故选：D． 【点睛】本题考查全等三角形的判定可性质，等腰直角三角形的性质和判定，勾股定理，证得是解题的关键． 23．如图，在中，AD和BE是高，，点F是AB的中点，AD与FE、BE分别交于点G、H，．有下列结论：；；；④连接H，C，则．其中正确的有（　   ） A．1个 B．2 个 C．3 个 D．4个 【答案】D 【分析】由直角三角形斜边上的中线性质得出， ，从而得出，①正确；由 证明 ，得出，②正确；由， 得，由点F是AB的中点，求得，从而有，③正确； 先证得，从而求得，即可得到，④正确． 【详解】解：∵在中，AD和BE是高， ， ∵点F是AB的中点， ∴， ， ∴，①正确； ∵， ∴， ， ， ， ， ， ， 在 和中， ， ， ，②正确； ∴， ∵点F是AB的中点， ∴， ∴， ∴，③正确； 连接HC，如下图， ，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴，④正确； 综上所述，①②③④正确， 故选：D． 【点睛】本题主要考查全等三角形的性质与判定、线段垂直平分线的性质、直角三角形斜边中线定理及等腰三角形的性质与判定，熟练掌握全等三角形的性质与判定、直角三角形斜边中线定理及等腰三角形的性质与判定是解题的关键． 24．如图，在等腰中，于D，的平分线分别交AC、AD于E、F两点，M为EF的中点，延长AM交BC于点N，连接DM、NE，下列结论：①；②；③是等边三角形；④；⑤．其中正确的结论有（    ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【答案】B 【分析】根据等腰直角三角形的性质、直角三角形斜边上的中线等于斜边一半以及角平分线的性质计算得出∠ABE＝∠CBE＝22.5°，∠AFE＝∠BFD＝∠AEB＝67.5°，结合等腰三角形的性质可判断①②③；利用ASA证明△FBD≌△NAD，判断④；利用SAS证明△EBA≌△EBN，判断⑤；从而得到结论． 【详解】解：∵∠BAC＝90°，AC＝AB，AD⊥BC， ∴∠ABC＝∠C＝45°，AD＝BD＝CD，∠ADN＝∠ADB＝90°， ∴∠BAD＝45°＝∠CAD， ∵BE平分∠ABC， ∴∠ABE＝∠CBE＝∠ABC＝22.5°， ∴∠BFD＝∠AEB＝90°﹣22.5°＝67.5°， ∴∠AFE＝∠BFD＝∠AEB＝67.5°， ∴AF＝AE，故①正确，③错误； ∵M为EF的中点， ∴AM⊥EF，故②正确； ∵AM⊥EF， ∴∠AMF＝∠AME＝90°， ∴∠DAN＝90°﹣67.5°＝22.5°＝∠MBN， 在△FBD和△NAD中， ， ∴△FBD≌△NAD（ASA）， ∴DF＝DN，故④正确； ∵∠BAM＝∠BNM＝67.5°， ∴BA＝BN， 又∵∠EBA＝∠EBN，BE＝BE， ∴△EBA≌△EBN（SAS）， ∴∠BNE＝∠BAE＝90°， ∴∠ENC＝∠ADC＝90°， ∴，故⑤正确． 综上所述，①②④⑤正确，共4个． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、三角形外角性质、等腰三角形的判定与性质以及直角三角形斜边上中线性质的应用，主要考查学生的推理能力，能灵活运用全等三角形的判定与性质是解题的关键． 考点04 正方形相关综合性问题 25．如图，在边长为2 的正方形中，E，F分别为的中点，连接交于点G，将沿对折，得到，延长交的延长线于点Q，下列结论正确的有（   ） ①；②； ；④ A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【分析】根据条件证明，根据全等三角形的性质即可证明①②，根据折叠的性质和正方形的性质证明， 在中，设，用勾股定理即可证明③；根据同高三角形的面积比等于底边比，判断④即可． 【详解】解：∵四边形为边长为2正方形， ∴，， ∵E、F分别为、的中点， ∴， ∴， ∴，故①正确； ∴， ∵， ∴， ∴，故②正确； 由折叠可知，，，，， ∵， ∴ ∴， ∴， 在中，设，则， ∴， ∴， ∴，故③正确； ∴， ∴， ∴， ∵翻折， ∴， ∴；故④错误； 故选B． 【点睛】本题主要考查了四边形的综合题，涉及正方形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理以及折叠的性质等知识点，解决的关键是明确三角形翻转后边的大小不变，找准对应边，角的关系求解． 26．如图，正方形边长为，从出发沿对角线向运动，连接，将线段绕点顺时针旋转得到，连接，设，下列说法： ①是直角三角形；②当时，； ③有且只有一个实数，使得； ④取中点，连接，则．正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】根据正方形的性质可得，，，再根据旋转的性质可得，，从而证得，得到，即可求得，可判断①正确；根据正方形的性质可得的长，再根据可得的长，再利用勾股定理可得，可判断②正确；根据题意列出关于面积的一元二次方程，求得有且只有一个实数，使得，可判断③正确；由，点G为的中点，可得，可判断④正确；即可得解． 【详解】解：∵四边形是正方形，为对角线， ∴，，， ∵线段绕点C顺时针旋转得到， ∴，， 又∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴是直角三角形， 故①正确； ∵正方形边长为， ∴， ∵，，， ∴， ∴， 故②正确； 由题可知：， 要， 则， 整理得：， 解得， ∴有且只有一个实数m，使得， 故③正确； ∵，点G为的中点， ∴， 故④正确； 故选：D． 【点睛】本题考查了正方形与旋转．熟练掌握正方形的性质，等腰直角三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，三角形面积产生的一元二次方程，旋转的性质，直角三角形斜边上中线性质，是解题的关键． 27．如图，在正方形中，，为中点，为上的一点，且，，连接，延长交于点，交于点，则以下结论：①；②；③；④中，正确的有（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌以上知识点是解题的关键．将绕点逆时针旋转得到，连接线段，则，通过证明、、，即可判断出①③④正确；再通过勾股定理，设，则，，在中，，即可判断出②正确，据此即可求解． 【详解】如图所示， 将绕点逆时针旋转得到，连接线段，则， 四边形是正方形， ，， ， ， ， ，， 点、、共线， ， ， ， 即， ，， ， ， ，故④正确； ，， ， 在中，，即，故①正确； ，，， ， ，故③正确； ，为中点， ， 设，则，， 在中，， 即， 解得， ，故②正确； 综上，正确的有4个， 故选：D． 28．如图，在正方形的对角线上取一点E，使得，连接并延长到F，使，与相交于点H，有下列结论：①；②；③；④，则其中正确的结论有 （    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的性质和判定，等边三角形的性质和判定，综合运用以上知识点，正确做辅助线构造全等是解题的关键；由正方形的性质可证，即可判断①，根据三角形的内角和定理分别求出即可判断③，根据三角形的内角和定理分别求出即可判断④，在上截取，连接， 则是等边三角形，证明即可得解． 【详解】解：四边形是正方形， ， ， ， ， ，，， 故①正确； ， ， ， ， ， ， ， 故③正确； ， ， ， ， ， ， 故④正确； 在上截取，连接， ， ， 是等边三角形， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， 故②正确； 综上所述，正确的结论有4个， 故选：． 29．如图，已知四边形ABCD为正方形，，点E为对角线AC上一点，连接DE．过点E作，交BC延长线于点F，以DE、EF为邻边作矩形DEFG，连接CG．在下列结论中：①矩形DEFG是正方形；②；③CG平分；④．其中正确的结论有（    ） A．①③ B．②④ C．①②③ D．①③④ 【答案】A 【分析】本题主要考查了正方形的判定和性质，勾股定理，矩形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，过作于点, 过作于点，根据正方形的性质得到，，推出四边形为正方形，由矩形的性质得到，，根据全等三角形的性质得到，推出矩形为正方形；故正确；根据正方形的性质得到，，推出，得到，求得，故错误；当时，点与点重合，所以不一定等于，故错误；掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图，过作于点, 过作于点， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴， ∴四边形为正方形， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴矩形为正方形，故正确； ∴，， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴平分，故正确； ∴，故错误； 当时，点与点重合， ∴不一定等于，故错误； 综上可得：正确； 故选：A． 30．如图，正方形的边长为4，点O是对角线的中点，点、分别在、边上运动，且保持，连接，，．在此运动过程中，下列结论：①；②；③四边形的面积保持不变；④当时，，其中正确的结论个数是（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】A 【分析】过O作于G，于H，由正方形的性质得到，求得，，得到，根据全等三角形的性质得到，，故①正确；推出，故②正确；得到四边形的面积正方形的面积，四边形的面积保持不变；故③正确；根据平行线的性质得到，，求得，得到，于是得到，故④正确． 【详解】解：如图，过O作于G，于H， ∵四边形是正方形， ∴， ∴，， ∵点O是对角线的中点， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， 在与中， ， ∴， ∴，， 故①正确； ∴， ∴， 故②正确； ∵， ∴四边形的面积正方形的面积， ∴四边形的面积保持不变； 故③正确； ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故④正确； 综上，正确的结论是①②③④，一共4个， 故选：A． 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，平行线的性质，熟练掌握正方形的性质是解题的关键． 31．如图，四边形是正方形，点O为对角线的中点，E、F分别是、边上的点，且，与、分别交于点H、G，与交于点I， 有下列命题： ①；②； ③； ④； ⑤；⑥．其中正确的有 （      ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【答案】A 【分析】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，①先证得，进而再证得，由此得，据此可对结论①进行判断；②过点O作交于K，证得，进而得为等腰直角三角形，据此可对结论②进行判断；③证得，进而再证即可对结论③进行判断；④设的中点为M，连接，则，，假设，则，则，从而得，则为的平分线，这与点E为边上的点相矛盾，据此可对结论④进行判断；⑤根据可对结论⑤进行判断；⑥过点O作交于P，先证为等腰直角三角形，则，，证得，则，据此可对结论⑥进行判断，综上所述即可得出答案． 【详解】解：①如图1所示： ∵四边形为正方形，点O为对角线的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，故结论①正确； ②过点O作交于K，如图2所示： ∵， ∴， ∴， 由结论①正确得， ∴， 又∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， 即，故结论②正确； ③∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴ 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，故结论③正确； ④设的中点为M，连接，如图3所示： ∵， ∴为斜边上的中线， ∴， ∴， 假设，则， ∴， ∴， ∴， ∴为的平分线，这与点E为边上的点相矛盾， ∴假设不正确，故结论④不正确； ⑤∵， ∴， 即，故结论⑤正确； ⑥过点O作交于P，如图4所示： ∵， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， 由勾股定理得：， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 即， 故结论⑥正确． 综上所述：正确的结论是①②③⑤⑥，共5个． 故选：A． 32．已知如图，在正方形中，为上一点，在的延长线上，连接，，，点为的中点，连接若，；小宇同学过中点作，交于，构造一条中位线，探究出以下一些结论：①；②是等腰直角三角形；③；④；⑤，其中正确的结论有（   ） A．①②③④ B．①③④⑤ C．①②③⑤ D．①②③④⑤ 【答案】C 【分析】此题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，理解正方形的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质，三角形中位线定理是解决问题的关键．过点作交于点，由，，则，证明和全等得，则，证明是的中位线得，，进而得，由勾股定理得，进行逐一判断即可解决问题． 【详解】解：过点作交于点，如图所示： ， ，， 四边形是正方形， ，， 和均为直角三角形，， 在和中， ， ，故正确； ，， ， ， 是等腰直角三角形，故正确； ，， ， 点为的中点，， ， 是的中位线， ∴， ，，故正确，错误； ， ， 是等腰直角三角形， ，故正确， 正确的结论有， 故选：C． 考点05 折叠相关综合性问题 33．如图，正方形中，，E 在上， ，将沿折叠至，延长 交于 G，连，下列结论：①；②；③；④，其中正确的有（   ） A．1 个 B．2个 C．3 个 D．4 个 【答案】C 【分析】①根据正方形的性质和翻折的性质即可证明； ②设，则，根据翻折可得，再根据勾股定理可得x的值，进而证明； ③根据可得，由，可得，进而得，可得；④过点作于点H，求出的长，由求出的面积，即可判断． 【详解】解：∵在正方形中，， ∴，， ∵， ∴， ①由翻折可知： ， ∴， ∵， ∴， 所以①正确； ②∵， ∴， 设，则， 由翻折可知：，， ∴ ∴在中，根据勾股定理，得 ∴， 解得， ∴， 所以②正确； ③由可知：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 所以③正确； ④过点作于点H， ∵， ∴利用勾股定理得： ∴，即，则： ∴ ． 所以④错误． 综上所述，正确的有①②③． 故选：C． 【点睛】本题考查了翻折变换、全等三角形的判定、勾股定理、正方形的性质，解决本题的关键是通过图形的性质找到边与边、角与角的关系． 34．如图，矩形周长为8，且．连接，将沿折叠得，交于点P，作，交于点G．下列说法中正确的有（   ） ①；②的周长为定值4；③一定是等边三角形；④当变大时，也变大． A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 【答案】B 【分析】根据矩形的性质可得，再结合，可得，进而判断①正确，连接，令与交于点，再证，可证得则的周长，进而判断②正确，无法证明温恩等边三角形，进而判断③错误；由题意得，，则在中，，整理得，进而判断④正确． 【详解】解：在矩形中，，，， ∵矩形周长为8， ∴，则， ∵， ∴, ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，故①正确； 由折叠可知，， ∵ ∴，则 ∴， 则的周长，故②正确； 无法证明为等边三角形，故③错误； ∵，， 在中，， 整理得：， ∴当变大时，也变大，故④正确， 综上，正确的有①②④， 故选：B． 【点睛】本题考查矩形与折叠问题，勾股定理，等腰三角形的判定，理解并掌握相关图形的性质是解决问题的关键． 35．如图，现有一张矩形纸片，，，点，分别在矩形的边，上，将矩形纸片沿直线折叠，使点落在边上点处，点落在点处，连接，交于点，连接．有以下结论：①；②四边形是菱形；③当点，重合时，；④点，，三点共线．其中正确的有（    ） A．①②③ B．①④ C．②③④ D．①②③④ 【答案】C 【分析】本题考查了矩形的性质、菱形的判定与性质、折叠的性质、勾股定理，由矩形的性质结合折叠的性质可得，从而即可得出，结合题意可得，即可判断②；由勾股定理和折叠的性质计算即可判断①③；由折叠的性质结合菱形的性质即可判断④；熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：在矩形中，有， ∴． 由翻折可知：， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形． 又∵， ∴四边形是菱形，故②正确． ∴，． ∴， 当点与点重合时，如图，设，则． ， 在中，， 即，解得， ∴， ， （此时，故①错误）， ∴， ∴，故③正确． 由折叠可知：，， ∴， ∴． 四边形是菱形， ∴． 由过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，可得，，三点共线，故④正确． 综上所述，正确的结论有②③④， 故选：C． 36．如图，在一张矩形纸片中，，，点，分别在，上，将沿直线折叠，点落在上的一点处，点落在点处，有以下四个结论： 四边形是菱形；平分；线段的取值范围为；当点与点重合时，． 其中正确的结论个数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了翻折变换的性质，菱形的判定与性质，矩形的性质，勾股定理的应用，难点在于灵活运用菱形的判定与性质与勾股定理等其它知识有机结合．先判断出四边形是平行四边形，再根据翻折的性质可得，然后根据邻边相等的平行四边形是菱形证明，判断出①正确；由菱形的性质可得，由点C落在上的一点H处，不一定等于30°，可判断②；当点H与点A重合时，有最小值，由勾股定理可求的最小值，若与重合时，有最大值，由正方形的性质可求的最大值，可判断③；如图，过点H作于M，由勾股定理可求的长，可判断④；即可求解． 【详解】解：由矩形的性质可得：， ， ， ， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是菱形，故①正确； 四边形是菱形， ， 若平分， ， ， 点落在上的一点处， 不一定等于 不一定平分，故②错误； 当点与点重合时，有最小值， 设，则， 在中，， 即， 解得， ， 若落在上时，有最大值， 四边形是正方形， ， 最大值为， ，故③正确； 如图，过点作于， 四边形是矩形， ，， 四边形是菱形， ， ， ，故④正确， 故选：D． 37．如图，正方形的边长为，点在边上（不与，重合），将沿直线折叠，点落在点处，连接，将绕点顺时针旋转得到，连接，，．给出下列四个结论：①；②；③点是直线上动点，则的最小值为；④当时，的面积为．其中正确的结论有几个（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】本题考查正方形的性质，勾股定理，翻折变换，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．根据证明三角形全等即可正确；过点作于点，证明即可判断正确；连接因为关于对称，推出，推出，可得结论正确；过点作于点，求出，可得结论正确． 【详解】解：四边形是正方形， ， ， ， ， ，故正确； 过点作于点， ， ， ， ， ， ， ，故正确； 连接． 关于对称， ， ， 的最小值为，故正确； 过点作于点， ， ， ， ，则 ， ，故正确； 故选：D． 38．如图，正方形纸片中，对角线、交于点O，折叠正方形纸片，使落在上，点A恰好与上的点F重合，展开后折痕分别交、于点E、G，连接，给出下列结论：①；②；③；④四边形是菱形；⑤；⑥若，则正方形的面积是，其中正确的结论个数为（  ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】①由四边形是正方形，可得，又由折叠的性质，可求得的度数； ②由，可得，即可判断； ③由，可得的面积的面积，即可判断； ④由折叠的性质与平行线的性质，得是等腰三角形，即可证得； ⑤证得四边形是菱形，由等腰直角三角形的性质，即可得； ⑥根据四边形是菱形可知，，再由，可得出时等腰直角三角形，由求出的长，进而可得出及的长，利用正方形的面积公式可得出结论． 【详解】解：四边形是正方形， ∴， 由折叠的性质可得：，故①正确． 由折叠的性质可得：，， ∴， ， ，故②错误． ， ∴，与同高， ， ∴，故③错误． ∵， ， ∴， ∵， ∴， ， ， ， ∵，， ∴， 四边形是菱形，故④正确． ∴， ∴， ∴．故⑤正确． 四边形是菱形， ，． ，， 是等腰直角三角形． ， ，解得， ∴，， ∴， ∴， ∴，故⑥错误． 其中正确结论的序号是：①④⑤，共三个． 故选：B． 【点睛】本题考查的是四边形综合题，涉及到正方形的性质、折叠的性质、等腰直角三角形的性质以及菱形的判定与性质，勾股定理等知识，注意掌握折叠前后图形的对应关系，注意数形结合思想的应用是解题的关键． 39．用一张正方形的纸片按如下方式折叠：如图，先将纸片对折得到折痕，再沿过点C的直线翻折纸片，得到折痕，使点D落在上的点H处，连接与交于点I．则下列结论中正确的个数为（    ） ①；②为等边三角形；③；④． A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【分析】由折叠得：，垂直平分，，故，那么为等边三角形，即可判断①②；由四边形是正方形得到，那么，由三角形内角和定理可得，故③正确；对于和，通过勾股定理计算说明不相等即可． 【详解】解：由折叠得：，垂直平分， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∴； 故①②正确， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， ∴，故③正确； ∵为等边三角形，，， ∴，， 设，则， 由勾股定理得：， ∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∴四边形为矩形， ∴， ∴， ∴在中，， 而， ∴，故④错误， 故选：B． 【点睛】本题考查了正方形的性质，矩形的判定与性质，勾股定理，等腰三角形的判定与性质，折叠的性质，三角形的内角和定理等知识点，综合性较强，难度较大． 40．如图，在正方形中，，点在边上，且，将沿直线折叠，得到，延长交边于点，连接、，则下列结论：①；②；③；④，其中正确的结论有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】根据翻折变换的性质和正方形的性质可证；翻折的性质得出，结合①即可得出；在直角中，根据勾股定理可证；通过证明，由平行线的判定可得． 【详解】解：∵四边形是正方形，将沿对折至， ∴，，， 在与中， ； ∴，故①正确； ∵由①得， ∴， 又∵折叠， ∴， ∴， ∴，故②错误； ∵， ∴ 设，则， 在中， 根据勾股定理，得， 解得， ∴，故③正确； ∵， ∴， 又，， ∴， ∴，故④正确， 故选：C． 【点睛】本题考查了翻折变换的性质和正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，平行线的判定，解题的关键是注意数形结合思想应用． 1 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 特殊平行四边形相关的综合性问题 （5种类型40道） 考点01 菱形相关综合性问题 考点02 矩形相关综合性问题 考点03 “斜中半”相关综合性问题 考点04 正方形相关综合性问题 考点05 折叠相关综合性问题 考点01 菱形相关综合性问题 1．如图，菱形的周长为40，对角线，相交于点，，垂足为，．下列结论：①；②；③；④．其中正确的个数是（   ）    A．4 B．3 C．2 D．1 2．如图，在菱形中，，点分别是上任意的点（不与端点重合），且，连接与相交于点G，连接与相交于点H．给出如下几个结论：①；②；③与一定不垂直；④．其中正确的结论个数为（   ） A．5 B．4 C．3 D．2 3．如图，在菱形中，，，E，F分别是，的中点，，相交于点G，连接，，有下列结论：①；②；③；④．其中正确的结论有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．如图，将等边沿射线BC向右平移到的位置，连接，则下列结论：①；②、互相平分；③四边形是菱形；④．其中正确的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 5．如图，在菱形中，，点E，F分别是边上任意点（不与端点重合），且，连接相交于点G，连接与相交于点H，下列结论：①；②的大小为定值；③与一定不垂直；④若，则，其中正确的结论有（ ） A．①② B．①②④ C．③④ D．①③④ 6．如图，在菱形中，，在射线、上有两点、，连接、、，下列说法：①若、分别是、的中点，且，则菱形的面积为．②若菱形的周长为16，则． ③若，且，则的长度为．④若，则面积的最小值为．其中正确的有（   ） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①③④ 7．如图，菱形中，，与交于点，为延长线上的一点，且，连接分别交，于点，连接．则下列结论：①；②；③；④由点构成的四边形是菱形．其中正确的个数是（    ） A． B． C． D． 8．如图，在菱形中，，对角线、相交于点，是对角线上的一动点，且于点，于点．由以下结论：①为等边三角形；②；③；④．其中正确的有（     ）个． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 考点02 矩形相关综合性问题 9．如图，在矩形中，的平分线交于点，交的延长线于点，取的中点，连接，，，，下列结论： ①；②；③；④若，则．其中正确的结论有（   ）个． A．1 B．2 C．3 D．4 10．如图，矩形中，，是线段上的一个动点，将线段绕点逆时针旋转得到，过点作于点，连接，取的中点，连接．点在运动过程中，下列结论：①；②当点和点互相重合时，；③；④．其中结论正确的序号有（   ） A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②③④ 11．如图，在矩形ABCD中，的平分线DE交AB于点E，，于点H，连结AH并延长，交CB于点F，连结给出下列结论：；；的面积是矩形ABCD面积的；；其中正确的有（   ） A． B． C． D． 12．如图，在矩形中，为中点，过点且分别交于，交于，点是中点且，则下列结论正确的个数为（   ） ①；②；③；④． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 13．如图，在矩形中，，的平分线交于点，，垂足为，连结并延长，交于点，连结交于点下列结论：；；；其中正确的有（ ） A．个 B．个 C．个 D．个 14．如图，在矩形中，的平分线交于点E，且，于点H，连接并延长，交于点F，连接．下列结论：①；②；③；④．其中正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 15．如图，在矩形中，点，分别在边，上，且将矩形沿直线折叠，使点恰好落在边上的点处，连接交于点现有下列结论：；；；是等边三角形．其中正确的有(   ) A． B． C． D． 16．如图，在矩形中，，的平分线交于点E，于点H，连接并延长交于点F，连接交于点O．下列结论：①；②平分；③；④．其中正确的结论有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 考点03 “斜中半”相关综合性问题 17．如图，在等腰直角中，，点是斜边的中点，平分交于点，交于点，连接交于点，则下列结论：①；②垂直平分；③是等边三角形；④．其中正确的结论有(   ) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 18．如图，在中，，，点为边上一点，连接，将沿翻折，使点落在点处，点为边上一点，连接，将沿翻折，点恰好与点重合．，则下列结论：①点是的中点；②是等腰三角形；③与互补；④的长是1；⑤的面积是2．其中结论正确的有（   ）个． A．5 B．4 C．3 D．2 19．如图，等腰中，，，是边上的中点，点、分别在、边上运动，且保持．连接、、．在此运动变化的过程中，下列结论：①保持不变；②长度有最小值；③在发生变化；④四边形的面积保持不变．其中正确的结论有（    ）个 A． B． C． D． 20．如图，在中，，点是的中点，延长至点，使得，过点作于点，为的中点，给出结论： ①； ②； ③四边形是平行四边形； ④． 其中说法正确的个数为（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 21．如图，矩形ABCD中，分别是边AD，BC的中点，于P，DP的延长线交AB于．下列结论：①；②；③．其中结论正确的有（      ） A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 22．如图，在等腰直角中，，是斜边的中点，点分别在直角边、上，且，连接、．下列结论：①；②；③；④．其中正确的个数是（  ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 23．如图，在中，AD和BE是高，，点F是AB的中点，AD与FE、BE分别交于点G、H，．有下列结论：；；；④连接H，C，则．其中正确的有（　   ） A．1个 B．2 个 C．3 个 D．4个 24．如图，在等腰中，于D，的平分线分别交AC、AD于E、F两点，M为EF的中点，延长AM交BC于点N，连接DM、NE，下列结论：①；②；③是等边三角形；④；⑤．其中正确的结论有（    ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 考点04 正方形相关综合性问题 25．如图，在边长为2 的正方形中，E，F分别为的中点，连接交于点G，将沿对折，得到，延长交的延长线于点Q，下列结论正确的有（   ） ①；②； ；④ A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 26．如图，正方形边长为，从出发沿对角线向运动，连接，将线段绕点顺时针旋转得到，连接，设，下列说法： ①是直角三角形；②当时，； ③有且只有一个实数，使得； ④取中点，连接，则．正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 27．如图，在正方形中，，为中点，为上的一点，且，，连接，延长交于点，交于点，则以下结论：①；②；③；④中，正确的有（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 28．如图，在正方形的对角线上取一点E，使得，连接并延长到F，使，与相交于点H，有下列结论：①；②；③；④，则其中正确的结论有 （    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 29．如图，已知四边形ABCD为正方形，，点E为对角线AC上一点，连接DE．过点E作，交BC延长线于点F，以DE、EF为邻边作矩形DEFG，连接CG．在下列结论中：①矩形DEFG是正方形；②；③CG平分；④．其中正确的结论有（    ） A．①③ B．②④ C．①②③ D．①③④ 30．如图，正方形的边长为4，点O是对角线的中点，点、分别在、边上运动，且保持，连接，，．在此运动过程中，下列结论：①；②；③四边形的面积保持不变；④当时，，其中正确的结论个数是（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 31．如图，四边形是正方形，点O为对角线的中点，E、F分别是、边上的点，且，与、分别交于点H、G，与交于点I， 有下列命题： ①；②； ③； ④； ⑤；⑥．其中正确的有 （      ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 32．已知如图，在正方形中，为上一点，在的延长线上，连接，，，点为的中点，连接若，；小宇同学过中点作，交于，构造一条中位线，探究出以下一些结论：①；②是等腰直角三角形；③；④；⑤，其中正确的结论有（   ） A．①②③④ B．①③④⑤ C．①②③⑤ D．①②③④⑤ 考点05 折叠相关综合性问题 33．如图，正方形中，，E 在上， ，将沿折叠至，延长 交于 G，连，下列结论：①；②；③；④，其中正确的有（   ） A．1 个 B．2个 C．3 个 D．4 个 34．如图，矩形周长为8，且．连接，将沿折叠得，交于点P，作，交于点G．下列说法中正确的有（   ） ①；②的周长为定值4；③一定是等边三角形；④当变大时，也变大． A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 35．如图，现有一张矩形纸片，，，点，分别在矩形的边，上，将矩形纸片沿直线折叠，使点落在边上点处，点落在点处，连接，交于点，连接．有以下结论：①；②四边形是菱形；③当点，重合时，；④点，，三点共线．其中正确的有（    ） A．①②③ B．①④ C．②③④ D．①②③④ 36．如图，在一张矩形纸片中，，，点，分别在，上，将沿直线折叠，点落在上的一点处，点落在点处，有以下四个结论： 四边形是菱形；平分；线段的取值范围为；当点与点重合时，． 其中正确的结论个数是（   ） A． B． C． D． 37．如图，正方形的边长为，点在边上（不与，重合），将沿直线折叠，点落在点处，连接，将绕点顺时针旋转得到，连接，，．给出下列四个结论：①；②；③点是直线上动点，则的最小值为；④当时，的面积为．其中正确的结论有几个（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 38．如图，正方形纸片中，对角线、交于点O，折叠正方形纸片，使落在上，点A恰好与上的点F重合，展开后折痕分别交、于点E、G，连接，给出下列结论：①；②；③；④四边形是菱形；⑤；⑥若，则正方形的面积是，其中正确的结论个数为（  ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 39．用一张正方形的纸片按如下方式折叠：如图，先将纸片对折得到折痕，再沿过点C的直线翻折纸片，得到折痕，使点D落在上的点H处，连接与交于点I．则下列结论中正确的个数为（    ） ①；②为等边三角形；③；④． A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 40．如图，在正方形中，，点在边上，且，将沿直线折叠，得到，延长交边于点，连接、，则下列结论：①；②；③；④，其中正确的结论有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 1 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $