专题07 中点模型之斜边中线、中点四边形（2知识点+5大题型+思维导图+过关测）-【暑假自学课】2025年新九年级数学暑假提升精品讲义（北师大版）

专题07 中点模型之斜边中线、中点四边形 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材 学知识：教材精讲精析、全方位预习 练题型 强知识：5大核心考点精准练 第二步：记 串知识 识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测 稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 中点模型是初中数学中一类重要模型，主要是结合三角形、四边形、圆的运用，在各类考试中都会出现中点问题，有时甚至会出现在压轴题当中，我们不妨称之为“中点模型”，它往往涉及到平分、平行、垂直等问题，因此探寻这类问题的解题规律对初中几何的学习有着十分重要的意义. 常见的中点模型：①垂直平分线模型；②等腰三角形“三线合一”模型；③“平行线+中点”构造全等或相似模型（与倍长中线法类似）；④中位线模型；⑤直角三角形斜边中点模型；⑥中点四边形模型.本专题就中点模型的后两类模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握. 知识点01：直角三角形斜边中线模型 定理：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半． 如图1，若AD为斜边上的中线，则： （1）；（2），为等腰三角形；（3），． 图1 图2 拓展：如图2，在由两个直角三角形组成的图中，M为中点，则（1）；（2）． 模型运用条件：连斜边上的中线（出现斜边上的中点时） 知识点02：中点四边形模型 中点四边形：依次连接四边形四边中点连线的四边形得到中点四边形. 中点四边形是中点模型中比较经典的应用.中点四边形不仅结合了常见的特殊四边形的性质，而且还会涉及中位线这一重要知识点，总体来说属于比较综合的几何模块. 结论1：顺次连结任意四边形各边中点组成的四边形是平行四边形． 如图1，已知点M、N、P、Q是任意四边形ABCD各边中点，则四边形MNPQ为平行四边形. 图1 图2 图3 图4 结论2：顺次连结对角线互相垂直四边形各边中点组成的四边形是矩形．（特例：筝形与菱形） 如图2，已知点M、N、P、Q是四边形ABCD各边中点，AC⊥DB，则四边形MNPQ为矩形. 结论3：顺次连结对角线相等四边形各边中点组成的四边形是菱形．（特例：等腰梯形与矩形） 如图3，已知点M、N、P、Q是四边形ABCD各边中点，AC=DB，则四边形MNPQ为菱形. 结论4：顺次连结对角线相等且垂直的四边形各边中点组成的四边形是正方形． 如图4，已知点M、N、P、Q是四边形ABCD各边中点，AC=DB，AC⊥DB，则四边形MNPQ为正方形. 推广与应用 1）中点四边形的周长：中点四边形的周长等于原四边形对角线之和. 2）中点四边形的面积：中点四边形的面积等于原四边形面积的. 【题型1 利用斜边的中线等于斜边的一半求角度】 例题：（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，在中，，，点是的中点，则 ． 【答案】50 【知识点】三角形内角和定理的应用、等边对等角、斜边的中线等于斜边的一半 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，等边对等角，直角三角形的性质，先求出的度数，再由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到，再由等边对等角即可得到答案． 【详解】解：∵在中，，， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式训练】 1．（24-25八年级下·云南昆明·期中）如图，在中，，于点，，是斜边的中点，则 ． 【答案】45 【知识点】三角形的外角的定义及性质、等边对等角、斜边的中线等于斜边的一半 【分析】本题考查了直角三角形斜边中线的性质，等边对等角，三角形外角的性质等知识，先求出，根据直角三角形斜边中线的性质得出，根据等边对等角得出，最后根据三角形外角的性质求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，是斜边的中点， ∴， ∴， ∴， 故答案为：45． 2．（23-24八年级上·湖北宜昌·期中）中，是高，E是的中点，且线段平分的周长，若，则 ． 【答案】/64度 【知识点】三角形的外角的定义及性质、等腰三角形的性质和判定、斜边的中线等于斜边的一半 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质与判定，直角三角形的性质；在边上截取，由直角三角形的性质得到，再由线段平分的周长得到，进而可证明，则，再由三角形外角的性质可得答案． 【详解】解：如图所示，在边上截取， 是高， ， ， 是AC的中点， ， 线段平分的周长， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 故答案为：． 3．（24-25八年级下·福建厦门·期中）如图，四边形中，，取的中点，的中点，连接、，，则的度数为 ． 【答案】 【知识点】三角形的外角的定义及性质、等边对等角、与三角形中位线有关的求解问题、斜边的中线等于斜边的一半 【分析】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，等边对等角，三角形的外角的性质，三角形中位线定理，熟练掌握各知识点是解题的关键． 根据点是中点，，则，所以，由三角形外角性质可得，又为的中点，点是中点，则为中位线，最后根据角度和差即可求解，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵点是中点，， ∴， ∴， ∴， ∵为的中点，点是中点， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【题型2 利用斜边的中线等于斜边的一半求线段长】 例题：（23-24八年级下·湖南·期中）如图，在中，，是边上的中线，且，则的长为 ． 【答案】12 【知识点】斜边的中线等于斜边的一半 【分析】本题考查了直角三角形斜边上的中线是斜边的一半，掌握直角三角形的性质是解题的关键，根据直角三角形的性质可知，再根据已知条件即可解答． 【详解】解：∵在中，， ∴是直角三角形， ∵是边上的中线， ∴， ∵， ∴， ∴， 即的长为， 故答案为：． 【变式训练】 1．（24-25八年级下·云南昆明·期中）如图，在四边形中，，点O是对角线的中点，若，则的长为 ． 【答案】3 【知识点】斜边的中线等于斜边的一半 【分析】本题考查了直角三角形的性质，掌握直角三角形，斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键． 在和，由斜边上中线等于斜边的一半得到，即可求解． 【详解】解：∵，点O是对角线的中点， ∴， 故答案为：3． 2．（24-25八年级下·广东东莞·期中）如图所示，为的中位线，点F在上，，若，，则的长为 ． 【答案】2 【知识点】与三角形中位线有关的求解问题、斜边的中线等于斜边的一半 【分析】本题考查了三角形的中位线、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，熟练掌握三角形的中位线定理是解题关键．先根据三角形的中位线定理可得，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，最后根据线段的和差求解即可得． 【详解】解：∵为的中位线，， ∴，点是的中点， ， ∴， ， 故答案为：2． 3．（24-25八年级下·四川广元·期中）如图，在中，，，，为边上一动点，于，于，为的中点，则的最小值为 ． 【答案】1.2 【知识点】垂线段最短、用勾股定理解三角形、斜边的中线等于斜边的一半、根据矩形的性质与判定求线段长 【分析】此题主要考查了勾股定理、矩形的判定与性质、垂线段最短和直角三角形斜边上的中线性质；由直角三角形的面积求出是解决问题的关键． 先求证四边形是矩形，再根据直线外一点到直线上任一点的距离，垂线段最短，利用等面积法即可求得最短时的长，然后即可求出最短时的长． 【详解】解：连接，如图所示： ，，， ， ，， ∴， 四边形是矩形， ．， 是的中点， ∴， 根据直线外一点到直线上任一点的距离，垂线段最短， 即时，最短，同样也最短， 当时，，此时最短， ， 当最短时， 故答案为：． 【题型3 利用斜边的中线等于斜边的一半证明】 例题：（2025·江苏扬州·一模） 如图，在中，，D为的中点，过A作，过D作分别交于点O、E，连接． (1)证明：四边形为菱形； (2)若，求菱形面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】用勾股定理解三角形、斜边的中线等于斜边的一半、利用菱形的性质求线段长、证明四边形是菱形 【分析】题目主要考查菱形的判定和性质，平行四边形的判定与性质，勾股定理解三角形，直角三角形的中线性质，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键． （1）根据平行四边形的判定得出四边形为平行四边形，确定，再由直角三角形斜边中线的性质得出，结合菱形的判定即可证明； （2）根据菱形的性质得出，再由平行四边形的性质确定，结合勾股定理得出，利用菱形的性质即可求解． 【详解】（1）证明：∵，， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∵，D为的中点， ∴， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴四边形为菱形； （2）∵四边形为菱形， ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴菱形面积为：． 【变式训练】 1．（2025·北京大兴·二模）如图，在中，，是中点，，是的角平分线，连接． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】等边三角形的判定和性质、用勾股定理解三角形、斜边的中线等于斜边的一半、证明四边形是菱形 【分析】（）由平行线的性质可得，又是的角平分线，则，故有，所以，然后通过直角三角形的性质得，再证明四边形是平行四边形，又从而求证； （）先证明是等边三角形，则，由平行四边形的性质得，所以，然后得出是等边三角形，则有，，再通过角度和差求出，最后由勾股定理即可求解． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∴， ∴， ∵，是中点， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形； （2）解：∵， 又∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了菱形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理等知识，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 2．（2025·云南昆明·一模）如图，在中，，点D是的中点，连接．过点C作，过点A作相交于点E． (1)求证：四边形是菱形； (2)已知的周长为，求平行线与之间的距离． 【答案】(1)见解析 (2)4 【知识点】用勾股定理解三角形、斜边的中线等于斜边的一半、利用菱形的性质求线段长、证明四边形是菱形 【分析】本题主要考查了菱形的判定和性质，勾股定理，直角三角形斜边中线等于斜边的一半等知识点，熟练掌握其性质，正确添加辅助线是解决此题的关键． （1）先证出四边形是平行四边形，再利用直角三角形斜边中线等于斜边的一半得出，进而即可得证； （2）如图，连接，先利用直角三角形的性质得出，再利用勾股定理得出，进而利用菱形的性质得出，最后利用菱形的面积公式代换即可得解． 【详解】（1）证明∵，， ∴四边形是平行四边形，         ∵在中，，点是的中点， ∴， ∴四边形是菱形； （2）解：如图，连接， ∵， ∴，         ∵，， ∴， ∵在中，， ∴， ∴， ∵在菱形中， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∴， ， 设平行线与之间的距离为， ， ， ， ∴平行线与之间的距离为4． 3．（2025·山东潍坊·二模）我们学过直角三角形的性质定理2：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半． 【定理证明】 （1）如图1，中，，D是的中点，连接．请证明直角三角形的性质定理2； 【定理应用】 （2）如图2，在，，点D是上一点，过点D作，连接并取其中点F，连接．求证：； 【综合探究】 （3）如图3，在（2）的基础上将图2中绕顶点A旋转至，连接，取其中点F，连接，．请判断与是否相等？并说明理由． 【答案】（1）见解析，（2）见解析，（3），见解析 【知识点】全等三角形综合问题、与三角形中位线有关的证明、斜边的中线等于斜边的一半、根据旋转的性质求解 【分析】（1）延长至点E，使得，连接．证明，得出，，，再证明，得出，即可证明． （2）在直角中，根据“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”得出，同理，在中有，即可证明． （3）取的中点G，和的中点H，连接，，，，根据是的中位线，是的中位线，得出，，，，平行线的性质和等量代换证明，根据旋转得，，根据“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”得，，即，，根据等腰三角形的性质和三角形外角的性质得出，，即可得，即，证明，即可得． 【详解】证明：（1）延长至点E，使得，连接． ∵点D是的中点， ∴， 在和中 ， ∴， ∴，，， 又∵， ∴， ∴， ∴在和中 ， ∴， ∴， ∵， ∴． （2）∵， ∴， 即是直角三角形， 又∵点F是的中点， ∴， 同理，在中有， ∴． （3）成立 理由如下： 取的中点G，和的中点H，连接，，，， ∵点F是中点，点G是的中点，点H是的中点， ∴是的中位线，是的中位线， ∴，，，， ∴，， ∴， ∵在（2）的基础上将图2中绕顶点A旋转至，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 即， ∵，，，， ∴，， ∴， ∴． 【点睛】该题考查了旋转的性质，全等三角形的性质和判定，等腰三角形的性质和判定，直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，三角形中位线定理，平行线的性质等知识点，解题的关键是正确做出辅助线． 【题型4 中点四边形中的规律探究问题】 例题：（24-25八年级下·广东广州·期中）如图，在菱形中，边长为1，顺次连接菱形各边中点，可得四边形；顺次连接四边形各边中点，可得四边形；顺次连接四边形边中点，可得四边形；按此规律继续下去，则四边形的面积是 ． 【答案】/ 【知识点】中点四边形、利用菱形的性质求线段长、证明四边形是矩形、与三角形中位线有关的求解问题 【分析】本题考查的是中点四边形，掌握三角形中位线定理、菱形的性质、矩形的判定是解题的关键．连接、交于点，根据菱形的性质得到，，根据等边三角形的性质求出，根据勾股定理求出，根据三角形中位线定理、矩形的判定得到四边形为矩形，求出四边形的面积，总结规律，关键规律解答即可． 【详解】解：解：如图，连接、交于点， 四边形为菱形， ，， ， 为等边三角形， ， ， ， ， ， 顺次连接菱形各边中点，可得四边形， ，，，，， 四边形为矩形， 四边形的面积为， 则四边形的面积是， 故答案为：． 【变式训练】 1．（23-24九年级上·山东青岛·期中）如图，依次连接第一个矩形各边上的中点，得到一个菱形，在依次连接菱形各边上的中点得到第二个矩形，按照此方法继续下去，已知第一个矩形的面积是1，则第n个矩形的面积是 ． 【答案】 【知识点】图形类规律探索、根据矩形的性质求面积、证明四边形是菱形、中点四边形 【分析】由中点四边形的含义可得矩形的中点四边形是菱形，菱形的中点四边形是矩形，而中点四边形的面积是原四边形的面积的一半，可得原矩形的面积为1，矩形的中点四边形（菱形）的面积为 再得到菱形的中点四边形（矩形）的面积为： 从而总结归纳出规律，可得答案．本题考查了中点四边形的性质，是一道找规律的题目． 【详解】已知第一个矩形的面积是1， 第二个矩形的面积为 第三个矩形的面积是 则第n个矩形的面积是 故答案为：． 2．（23-24八年级下·广东河源·期中）如图，四边形的两条对角线、互相垂直，将四边形各边中点依次相连，得到四边形，若四边形的面积为15，则四边形的面积为 ． 【答案】30 【知识点】与三角形中位线有关的求解问题、中点四边形 【分析】根据三角形的中位线定理证明四边形是矩形，从而根据矩形的面积和三角形的每件公式进行计算．此题主要考查中点四边形和三角形的面积，注意三角形中位线定理这一知识点的灵活运用，此题难易程度适中，是一道典型的题目． 【详解】解：，，，是四边形的中点四边形， 四边形的对角线、互相垂直， 四边形为矩形， 设，， 是的中位线， ， 同理可得， 四边形的面积为． ， 四边形的面积， 故答案为：30． 3．（23-24八年级下·广东惠州·期中）如图，顺次连接矩形四边的中点得到四边形，再顺次连接四边形四边的中点得四边形，…，按此规律得到四边形，若矩形的面积为15，那么四边形的面积为 ．    【答案】 【知识点】图形类规律探索、中点四边形 【分析】设四边形的面积为，矩形的长为x，宽为y，根据题意，， ，，确定规律为，代入计算即可，本题考查了矩形的性质，菱形的性质，规律探索，熟练掌握规律探索，菱形的性质是解题的关键． 【详解】设四边形的面积为，矩形的长为x，宽为y，根据题意，得，， ， 故， 故答案为：． 【题型5 与中点四边形有关的证明问题】 例题：（24-25九年级上·福建三明·阶段练习）定义：顺次连结四边形各边中点所得的四边形叫做中点四边形． 如图，在四边形中，顺次连结各边中点E、F、G、H得到的四边形叫做四边形的中点四边形． 利用三角形中位线的相关知识解决下列问题： (1)求证：四边形是平行四边形； (2)当对角线满足下列条件时，请你探究中点四边形的形状：(写出结果并证明)当时， 四边形是 ． 【答案】(1)见解析 (2)矩形 【知识点】与三角形中位线有关的证明、证明四边形是矩形、中点四边形 【分析】本题考查了三角形的中位线定理，中点四边形，矩形的判定，解题的关键是掌握三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半． （1）连接，根据中位线定理，得出进而得出，，即可求证； （2）根据三角形的中位线定理得出，结合推出，即可得出结论． 【详解】（1）证明：连接， ∵点E、F、G、H是四边形各边中点， ∴ ∴，， ∴四边形是平行四边形； （2）解：∵点E、F、G、H是四边形各边中点， ∴， ∵， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴四边形是矩形． 故答案为：矩形． 【变式训练】 1．（22-23九年级上·江西抚州·期中）如图①，将四边形纸片沿两组对边中点连线剪切为四部分，将这四部分镶嵌可得到如图②所示的四边形．    (1)试判断四边形的形状，并证明． (2)若要镶嵌后的平行四边形为矩形，则四边形需要满足什么条件，并证明． 【答案】(1)四边形是平行四边形，证明见解析； (2)，证明见解析 【知识点】矩形性质理解、利用菱形的性质证明、证明四边形是菱形、中点四边形 【分析】（1）利用平行四边形的判定方法得出即可； （2）首先认真读题，理解题意．密铺后的平行四边形成为矩形，必须四个内角均为直角，据此需要判定中点四边形为菱形，进而由中位线定理判定四边形的对角线垂直． 【详解】（1）解：平行四边形， 理由： ∵将四边形纸片沿两组对边中点连线剪切为四部分，将这四部分镶嵌可得到如图②所示的四边形， ∴，， ∴四边形是平行四边形； （2）对角线时，密铺后的平行四边形为矩形． 理由：根据密铺后的平行四边形成为矩形，必须四个内角均为直角． 如图所示，    连接、、、，设与交于点O， 连接、， 由中位线定理得：，且， ，且， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴， ∴中点四边形为菱形， ∴， 故要镶嵌后的平行四边形为矩形， 则四边形需要满足的条件为． 【点睛】本题考查图形剪拼与中点四边形．解题关键是理解三角形中位线的性质，熟练应用矩形、菱形等特殊四边形的判定与性质． 2．（24-25八年级下·广东东莞·期中）综合与实践 顺次连接任意一个四边形的中点得到一个新四边形，我们称这个新四边形为原四边形的中点四边形．数学兴趣小组通过作图、测量，猜想：原四边形的对角线对中点四边形的形状有着决定性作用． 以下从对角线的数量关系和位置关系两个方面展开探究． 原四边形对角线关系 中点四边形形状 数量关系、位置关系 特殊四边形 不相等、不垂直 平行四边形 【探究一】 （1）如图1，在四边形中，E、F、G、H分别是各边的中点，求证：中点四边形是平行四边形．（请写出完整的证明过程） 【探究二】 （2）由图2，从作图、测量结果得出猜想Ⅰ：原四边形对角线________时，中点四边形是________． 【探究三】 （3）由图3，从作图、测量结果得出猜想Ⅱ：原四边形对角线________时，中点四边形是________． 【探究四】 （4）结合图2、图3，得出猜想Ⅲ：原四边形对角线________时，中点四边形是正方形． 【答案】（1）见解析（2）相等，菱形（3）垂直，矩形（4）相等且垂直 【知识点】中点四边形 【分析】本题考查中点四边形，平行四边形，菱形，矩形，正方形的判定，熟练掌握三角形的中位线定理，是解题的关键： （1）根据三角形的中位线定理，推出，即可得证； （2）根据有一组邻边相等的平行四边形为菱形，作答即可； （3）根据有一个角为直角的平行四边形为矩形，作答即可； （4）根据有一个角为直角的菱形是正方形，作答即可． 【详解】解：（1）∵在四边形中，E、F、G、H分别是各边的中点， ∴分别为的中位线， ∴， ∴， ∴中点四边形是平行四边形． （2）当原四边形对角线相等时，中点四边形是菱形； 由（1）知：中点四边形是平行四边形，， ∵在四边形中，E、F、G、H分别是各边的中点， ∴是的中位线， ∴， ∵， ∴， ∴中点四边形是菱形； （3）当原四边形对角线垂直时，中点四边形是矩形； 由（1）（2）可知：，中点四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∴， ∴中点四边形是矩形； （4）当原四边形对角线相等且垂直时，中点四边形是正方形； 由（2）可知：中点四边形是菱形； 由（3）可知：， ∴中点四边形是正方形． 3．（24-25八年级下·山东菏泽·期中）阅读理解：我们把依次连接任意一个四边形各边中点得到的四边形叫中点四边形，如图1，在四边形中，，，，分别是边，，，的中点，依次连接各边中点得到中点四边形． (1)（填空）判断图1中的中点四边形的形状为______，菱形的中点四边形的形状是______； (2)如图2，在四边形中，点在上且和为等边三角形，，，，分别为，，，的中点，试判断四边形的形状并证明． (3)若四边形的中点四边形为正方形，的最小值为4，求的长． 【答案】(1)平行四边形；矩形 (2)菱形，证明见解析 (3) 【知识点】中点四边形、与三角形中位线有关的求解问题、用勾股定理解三角形 【分析】（1）连接，由三角形中位线定理可推出，则可证明四边形是平行四边形；同理可证明四边形为平行四边形，由菱形的性质得到，则，即可证明平行四边形为矩形 （2）连接、，由等边三角形的性质得出，，，证出，由证明，得出，由三角形中位线定理得出，，，，，得出，，证出四边形是平行四边形；再得出，即可得出结论； （3）连接交于O，连接，当点O在上（即M、O、N共线）时，最小，最小值为的长，再证明即可求得答案． 【详解】（1）解：如图所示，连接， ∵，，，分别是边，，，的中点， ∴分别是的中位线， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形； 如图，四边形是菱形时，连接各边中点，得到四边形， 根据中位线性质得到，， ∴， 同理可得， ∴四边形为平行四边形， 又∵四边形是菱形， ∴，则， ∴平行四边形为矩形； （2）解：四边形为菱形．证明如下： 连接，，如图2所示： ∵和为等边三角形， ，，， ∴， ， 在和中， ， ， ， ，，，分别是边，，，的中点， 是的中位线，是的中位线，是的中位线， ，，，，， ，， 四边形是平行四边形； ， ， 四边形为菱形； （3）解：如图3，连接交于O，连接、， 当点O在上（即M、O、N共线）时，最小，最小值为的长， ∴的最小值， ∵四边形是正方形， ∴， ∵M，E分别是的中点， ∴， 同理可得， ∴； 又∵M，N分别是的中点， ∴，， ∴， ∴的最小值， 同理可得的最小值， ∵四边形是正方形， ∴，，， ∴， ∵N，F分别是的中点， ∴， ∴； ∴， ∴． 【点睛】本题是四边形综合题，主要考查了三角形中位线定理，平行四边形、矩形、菱形的判定，全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，利用前面得出的结论解决新问题是解题的关键． 一、单选题 1．（24-25八年级下·辽宁盘锦·期中）如图，在中，，，是边的中点，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】三角形的外角的定义及性质、等边对等角、斜边的中线等于斜边的一半 【分析】本题考查直角三角形斜边中线的性质，等腰三角形的性质，三角形外角的性质，熟练掌握相关性质是解题的关键．由，是边的中点，得出，则可得，再利用三角形外角的性质即可得． 【详解】解：∵，是边的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：A． 2．（24-25八年级下·广西来宾·期中）如图，公路互相垂直，的中点与点被湖隔开．测得长为，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】斜边的中线等于斜边的一半 【分析】本题考查了直角三角形的性质，根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半解答即可求解，掌握直角三角形的性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵点是的中点， ∴， 故选：． 3．（24-25九年级上·广东广州·阶段练习）直角三角形中有两条边分别为，，则此直角三角形斜边上的中线长等于（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【知识点】用勾股定理解三角形、斜边的中线等于斜边的一半 【分析】本题考查了勾股定理，直角三角形斜边上的中线性质，合理分类讨论斜边的长是解题的关键． 分类讨论斜边的情况，根据斜边上的中线等于斜边的一半求解即可． 【详解】解：①当和均为直角边时，斜边为， 则斜边上的中线为， ②当为直角边，为斜边时， 则斜边上的中线为， 综上，此直角三角形斜边上的中线长等于或， 故选：D． 4．（24-25八年级下·河南许昌·期中）如图，，，和都是等边三角形，F为中点，交于G点，下列结论中，正确的结论有（    ）． ①；  ②四边形是菱形； ③； ④． A．①④ B．①②③ C．①③④ D．①③ 【答案】C 【知识点】等边三角形的性质、利用平行四边形性质和判定证明、斜边的中线等于斜边的一半、证明四边形是菱形 【分析】由和都是等边三角形，可得，，则，，如图，连接，则，由，，可得垂直平分，即，可判断①的正误；，，由，可得，则四边形不是菱形，可判断②的正误；由是等边三角形，F为中点，可得，即，证明，，可证四边形是平行四边形，则，，即，可判断③的正误；由，，，可证，可判断④的正误． 【详解】解：∵和都是等边三角形， ∴，， ∴，， 如图，连接， ∵，F为中点， ∴， ∵，， ∴垂直平分，即，①正确，故符合要求； ∴， ∴， ∵， ∴，四边形不是菱形，②错误，故不符合要求； 是等边三角形，F为中点， ∴，即， ∵，， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∴，，即，③正确，故符合要求； ∵，，， ∴，④正确，故符合要求； 故选：C． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质，直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，垂直平分线的判定，平行四边形的判定与性质，菱形的判定，全等三角形的判定等知识．熟练掌握等边三角形的性质，直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，垂直平分线的判定，平行四边形的判定与性质，菱形的判定，全等三角形的判定是解题的关键． 二、填空题 5．（24-25八年级下·江苏盐城·期中）如图，在四边形中中，，点E、F、G分别是、、的中点，连接、．若，则 ． 【答案】7 【知识点】与三角形中位线有关的求解问题、斜边的中线等于斜边的一半 【分析】此题主要考查三角形的中位线，直角三角形斜边上的中线性质，熟知相关性质是正确解答此题的关键． 直接利用三角形中位线与直角三角形斜边上的中线性质解答即可． 【详解】证明：点E、F分别是、的中点， 是的中位线， ， ， ， 是的中点，， ． 故答案为：7． 6．（23-24八年级上·贵州安顺·期末）如图，是的高，是的中线，是的角平分线．若，则的度数为 ． 【答案】 【知识点】三角形的外角的定义及性质、与角平分线有关的三角形内角和问题、斜边的中线等于斜边的一半 【分析】本题考查的是直角三角形的性质、三角形的中线、角平分线、高的概念、三角形的外角性质．根据三角形的高的概念得到，根据直角三角形、等腰三角形的性质得到，，再根据角平分线的定义、三角形的外角性质计算，得到答案． 【详解】解：是的高， ， ，是的中线， ，， ， ， 是的角平分线， ， ， 故答案为：． 7．（24-25八年级下·江苏镇江·期中）如图，四边形的两条对角线分别为和，且满足，，那么依次连接它的各边中点得到的四边形的面积为 ． 【答案】 【知识点】证明四边形是平行四边形、与三角形中位线有关的求解问题、证明四边形是矩形、中点四边形 【分析】此题考查了中点四边形的性质．学生灵活运用三角形的中位线定理，平行四边形的判定和矩形的判定进行证明，是一道综合题． 由三角形中位线的性质，可判定且，同理，得且．继而可证得四边形为平行四边形，． 再由证明为矩形，即可求出四边形的面积． 【详解】证明：∵分别为的中点， ∴且． ∵分别为的中点， ∴且． ∴且． 同理，得且． ∴四边形为平行四边形． ∵， ∴． ∴四边形为矩形． ∴ 即四边形的面积为． 故答案为： 8．（24-25八年级下·江苏苏州·期中）如图，、、、分别是、、、的中点，且，下列结论：①；②四边形是矩形；③平分；其中正确的是 ． 【答案】①③/③① 【知识点】与三角形中位线有关的求解问题、证明四边形是菱形、中点四边形 【分析】本题考查了三角形中位线定理与菱形的判定与菱形的性质，根据三角形的中位线定理与判定四边形是菱形是解答本题的关键． 根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半与可得四边形是菱形，然后根据菱形的对角线互相垂直平分，并且平分每一组对角的性质对各小题进行判断． 【详解】解：、、、分别是、、、的中点， ，，，， ， ， 四边形是菱形， ，平分，故①③正确； 无法证明四边形是矩形，故②错误； 综上所述，①③共2个正确． 故答案为：①③． 三、解答题 9．（24-25八年级下·北京·期中）如图，在中，点、分别是、的中点，连接，点是的中点，连接，．若，，，求证：． 【答案】见解析 【知识点】判断三边能否构成直角三角形、与三角形中位线有关的求解问题、斜边的中线等于斜边的一半 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半，中位线的性质；先证明是直角三角形，可得，根据已知可得，则，进而根据中位线的性质可得，即可得证． 【详解】证明：∵，，， ∴ ∴是直角三角形， 又∵是的中点 ∴ ∵是的中点， ∴ ∴ ∵点、分别是、的中点， ∴ ∴． 10．（24-25九年级上·陕西咸阳·期末）如图，在中，，是的斜边上的中线，过点和点分别作和的平行线交于点． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】用勾股定理解三角形、斜边的中线等于斜边的一半、证明四边形是菱形 【分析】（1）根据题意得到，四边形是平行四边形，根据直角三角形斜边中线等于斜边一半得到，结合菱形的判定方法即可求解； （2）过点作于点，得到是等腰直角三角形，运用勾股定理得到，根据四边形是菱形，直角三角形斜边中线等于斜边一半得到，则，再根据即可求解． 【详解】（1）证明：∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵是的斜边上的中线， ∴， ∴四边形是菱形； （2）解：过点作于点， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∵， ∴，则（负值舍去）， ∵四边形是菱形， ∴，则， ∴． 【点睛】本题主要考查了直角三角形斜边中线等于斜边一半，菱形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理的知识的综合，掌握菱形的判定和性质，直角三角形斜边中线等于斜边一半等知识，数形结合分析是解题的关键． 11．（2025八年级下·湖南·专题练习）如图，中，，、分别是、的中点，以为斜边作． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)证明见详解 (2) 【知识点】等边对等角、与三角形中位线有关的求解问题、与三角形中位线有关的证明、斜边的中线等于斜边的一半 【分析】本题主要考查了三角形中位线的性质定理和直角三角形斜边中线定理，平行线的性质和等腰三角形的性质等知识点，解题的关键是熟练掌握以上性质定理，并灵活应用． （1）利用三角形中位线性质定理和直角三角形斜边中线定理即可得出； （2）根据平行线的性质得到，根据直角三角形的性质得到，根据等腰三角形的性质计算即可． 【详解】（1）证明：∵、分别是、的中点 ∴ ∵是的中点，， ∴， ∵， ∴； （2）解：∵、分别是、的中点， ∴， ∴， ∵是的中点，， ∴, ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 12．（2025八年级下·全国·专题练习）如图，在直角中，，是边上一点，连接为的中点，过作交延长线于，且平分，连接． (1)求证：四边形是菱形． (2)连接交于，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2)的度数为 【知识点】三角形的外角的定义及性质、全等三角形综合问题、斜边的中线等于斜边的一半、证明四边形是菱形 【分析】（1）证，则，再证四边形是平行四边形，然后证，得，即可得出结论； （2）由菱形的性质得，则，再由直角三角形斜边上的中线性质得，则，然后由三角形的外角性质即可得出结论． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵为的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴平行四边形是菱形； （2）解：∵，， ∴， ∴， ∴， 由（1）可知，四边形是菱形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即的度数为． 【点睛】本题考查了菱形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线性质以及三角形的外角性质等知识，熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键． 13．（23-24八年级下·河北秦皇岛·期末）阅读下面材料： 在数学课上，老师请同学们思考如下问题：如图1，我们把一个四边形的四边中点E，F，G，H依次连接起来得到的四边形是平行四边形吗？ 小敏在思考问题时，有如下思路：连接． 结合小敏的思路作答： （1）若只改变图1中四边形的形状（如图2），则四边形还是平行四边形吗？请说明理由； 参考小敏思考问题的方法，解决以下问题： （2）如图2，在（1）的条件下，若连接，．当与满足什么关系时，四边形是正方形．直接写出结论． 【答案】（1）是，理由见解析；（2）且 【知识点】与三角形中位线有关的证明、中点四边形 【分析】本题考查了中点四边形，涉及了三角形的中位线定理、平行四边形的判定、菱形的判定、正方形的判定等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． （1）结论：四边形还是平行四边形．连接．根据中位线定理证明，即可； （2）利用（1）的结论，可知需要满足而且，由此可知当与满足且即可． 【详解】解：（1）结论：四边形还是平行四边形． 理由：如图2，连接． 、分别是、中点 ，， 同理：，， ，， 四边形是平行四边形． （2）结论：当且时，四边形是正方形． 理由：如图3中，由（1）四边形是平行四边形 、是、中点 同理： 平行四边形是菱形． ，， ， ， ， ， 四边形是正方形． 14．（23-24八年级下·河北唐山·期末）如图①，在四边形中，，是对角线的中点，是的中点，是的中点．求证：． 【应用】如图②，连结图①中的，并取中点，连结、． （1）若，则四边形的周长为 ． （2）图③，若，且，则四边形的面积为 ． 【答案】见解析；（1）①四边形的周长为；（2） 【知识点】等腰三角形的性质和判定、与三角形中位线有关的求解问题、与三角形中位线有关的证明、中点四边形 【分析】运用三角形中位线定理和等腰三角形性质即可证得结论； （1）运用三角形中位线定理可得，，再由，可得，即可得出答案； （2）由（1）得，得出四边形是菱形，再证得，得出四边形是正方形，即可求得答案． 【详解】证明：如图①， 、、分别是、、的中点， 、分别是、的中位线，   ，， ， ， ． （1）如图②， 、、、分别是、、、的中点， ，，   ， ， 四边形的周长为16； （2）：如图③， 、、、分别是、、、的中点， ，，，， ，，   ， ， 四边形是菱形， ， ， ， 菱形是正方形， ． 【点睛】本题是四边形综合题，主要考查了三角形的中位线定理，平行线的性质，菱形和正方形的判定和性质，等腰三角形的性质，熟练掌握三角形中位线定理是解本题的关键． 15．（24-25八年级下·江苏南京·阶段练习）阅读理解：我们把依次连接任意一个四边形各边中点得到的四边形叫中点四边形，如图1，在四边形中，分别是边的中点，依次连接各边中点得到中点四边形． (1)菱形的中点四边形的形状是_______； (2)如图2，在四边形中，点在上且和为等边三角形，分别为的中点，试判断四边形的形状并证明． (3)若四边形的中点四边形为正方形，的最小值为4，则_______． 【答案】(1)矩形 (2)四边形为菱形；证明见解析 (3) 【知识点】用勾股定理解三角形、与三角形中位线有关的求解问题、证明四边形是菱形、中点四边形 【分析】（1）由菱形的性质及矩形的判定可得出答案； （2）连接、，由等边三角形的性质得出，，，证出，由证明，得出，由三角形中位线定理得出，，，，，得出，，证出四边形是平行四边形；再得出，即可得出结论； （3）连接交于O，连接，当点O在上（即M、O、N共线）时，最小，最小值为的长，再证明即可求得答案． 【详解】（1）解：如图， 四边形是菱形时，连接各边中点，得到四边形， 根据中位线性质得到，， ∴， 同理可得， ∴为平行四边形， 又∵是菱形， ∴，则， ∴为矩形． 故答案为：矩形； （2）解：四边形为菱形．理由如下： 连接与，如图2所示： ∵和为等边三角形， ，，， ， 在和中， ， ， ， ，，，分别是边，，，的中点， 是的中位线，是的中位线，是的中位线， ，，，，， ，， 四边形是平行四边形； ， ， 四边形为菱形； （3）解：如图3，连接交于O，连接、， 当点O在上（即M、O、N共线）时，最小，最小值为的长， ∴的最小值， 由性质探究知：， 又∵M，N分别是的中点， ∴，， ∴， ∴的最小值， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∵N，F分别是的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题是四边形综合题，主要考查了三角形中位线定理，平行四边形、矩形、菱形的判定，全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，利用前面得出的结论解决新问题是解题的关键． 11 / 11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题07 中点模型之斜边中线、中点四边形 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材 学知识：教材精讲精析、全方位预习 练题型 强知识：5大核心考点精准练 第二步：记 串知识 识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测 稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 中点模型是初中数学中一类重要模型，主要是结合三角形、四边形、圆的运用，在各类考试中都会出现中点问题，有时甚至会出现在压轴题当中，我们不妨称之为“中点模型”，它往往涉及到平分、平行、垂直等问题，因此探寻这类问题的解题规律对初中几何的学习有着十分重要的意义. 常见的中点模型：①垂直平分线模型；②等腰三角形“三线合一”模型；③“平行线+中点”构造全等或相似模型（与倍长中线法类似）；④中位线模型；⑤直角三角形斜边中点模型；⑥中点四边形模型.本专题就中点模型的后两类模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握. 知识点01：直角三角形斜边中线模型 定理：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半． 如图1，若AD为斜边上的中线，则： （1）；（2），为等腰三角形；（3），． 图1 图2 拓展：如图2，在由两个直角三角形组成的图中，M为中点，则（1）；（2）． 模型运用条件：连斜边上的中线（出现斜边上的中点时） 知识点02：中点四边形模型 中点四边形：依次连接四边形四边中点连线的四边形得到中点四边形. 中点四边形是中点模型中比较经典的应用.中点四边形不仅结合了常见的特殊四边形的性质，而且还会涉及中位线这一重要知识点，总体来说属于比较综合的几何模块. 结论1：顺次连结任意四边形各边中点组成的四边形是平行四边形． 如图1，已知点M、N、P、Q是任意四边形ABCD各边中点，则四边形MNPQ为平行四边形. 图1 图2 图3 图4 结论2：顺次连结对角线互相垂直四边形各边中点组成的四边形是矩形．（特例：筝形与菱形） 如图2，已知点M、N、P、Q是四边形ABCD各边中点，AC⊥DB，则四边形MNPQ为矩形. 结论3：顺次连结对角线相等四边形各边中点组成的四边形是菱形．（特例：等腰梯形与矩形） 如图3，已知点M、N、P、Q是四边形ABCD各边中点，AC=DB，则四边形MNPQ为菱形. 结论4：顺次连结对角线相等且垂直的四边形各边中点组成的四边形是正方形． 如图4，已知点M、N、P、Q是四边形ABCD各边中点，AC=DB，AC⊥DB，则四边形MNPQ为正方形. 推广与应用 1）中点四边形的周长：中点四边形的周长等于原四边形对角线之和. 2）中点四边形的面积：中点四边形的面积等于原四边形面积的. 【题型1 利用斜边的中线等于斜边的一半求角度】 例题：（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，在中，，，点是的中点，则 ． 【变式训练】 1．（24-25八年级下·云南昆明·期中）如图，在中，，于点，，是斜边的中点，则 ． 2．（23-24八年级上·湖北宜昌·期中）中，是高，E是的中点，且线段平分的周长，若，则 ． 3．（24-25八年级下·福建厦门·期中）如图，四边形中，，取的中点，的中点，连接、，，则的度数为 ． 【题型2 利用斜边的中线等于斜边的一半求线段长】 例题：（23-24八年级下·湖南·期中）如图，在中，，是边上的中线，且，则的长为 ． 【变式训练】 1．（24-25八年级下·云南昆明·期中）如图，在四边形中，，点O是对角线的中点，若，则的长为 ． 2．（24-25八年级下·广东东莞·期中）如图所示，为的中位线，点F在上，，若，，则的长为 ． 3．（24-25八年级下·四川广元·期中）如图，在中，，，，为边上一动点，于，于，为的中点，则的最小值为 ． 【题型3 利用斜边的中线等于斜边的一半证明】 例题：（2025·江苏扬州·一模） 如图，在中，，D为的中点，过A作，过D作分别交于点O、E，连接． (1)证明：四边形为菱形； (2)若，求菱形面积． 【变式训练】 1．（2025·北京大兴·二模）如图，在中，，是中点，，是的角平分线，连接． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，求的长． 2．（2025·云南昆明·一模）如图，在中，，点D是的中点，连接．过点C作，过点A作相交于点E． (1)求证：四边形是菱形； (2)已知的周长为，求平行线与之间的距离． 3．（2025·山东潍坊·二模）我们学过直角三角形的性质定理2：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半． 【定理证明】 （1）如图1，中，，D是的中点，连接．请证明直角三角形的性质定理2； 【定理应用】 （2）如图2，在，，点D是上一点，过点D作，连接并取其中点F，连接．求证：； 【综合探究】 （3）如图3，在（2）的基础上将图2中绕顶点A旋转至，连接，取其中点F，连接，．请判断与是否相等？并说明理由． 【题型4 中点四边形中的规律探究问题】 例题：（24-25八年级下·广东广州·期中）如图，在菱形中，边长为1，顺次连接菱形各边中点，可得四边形；顺次连接四边形各边中点，可得四边形；顺次连接四边形边中点，可得四边形；按此规律继续下去，则四边形的面积是 ． 【变式训练】 1．（23-24九年级上·山东青岛·期中）如图，依次连接第一个矩形各边上的中点，得到一个菱形，在依次连接菱形各边上的中点得到第二个矩形，按照此方法继续下去，已知第一个矩形的面积是1，则第n个矩形的面积是 ． 2．（23-24八年级下·广东河源·期中）如图，四边形的两条对角线、互相垂直，将四边形各边中点依次相连，得到四边形，若四边形的面积为15，则四边形的面积为 ． 3．（23-24八年级下·广东惠州·期中）如图，顺次连接矩形四边的中点得到四边形，再顺次连接四边形四边的中点得四边形，…，按此规律得到四边形，若矩形的面积为15，那么四边形的面积为 ．    【题型5 与中点四边形有关的证明问题】 例题：（24-25九年级上·福建三明·阶段练习）定义：顺次连结四边形各边中点所得的四边形叫做中点四边形． 如图，在四边形中，顺次连结各边中点E、F、G、H得到的四边形叫做四边形的中点四边形． 利用三角形中位线的相关知识解决下列问题： (1)求证：四边形是平行四边形； (2)当对角线满足下列条件时，请你探究中点四边形的形状：(写出结果并证明)当时， 四边形是 ． 【变式训练】 1．（22-23九年级上·江西抚州·期中）如图①，将四边形纸片沿两组对边中点连线剪切为四部分，将这四部分镶嵌可得到如图②所示的四边形．    (1)试判断四边形的形状，并证明． (2)若要镶嵌后的平行四边形为矩形，则四边形需要满足什么条件，并证明． 2．（24-25八年级下·广东东莞·期中）综合与实践 顺次连接任意一个四边形的中点得到一个新四边形，我们称这个新四边形为原四边形的中点四边形．数学兴趣小组通过作图、测量，猜想：原四边形的对角线对中点四边形的形状有着决定性作用． 以下从对角线的数量关系和位置关系两个方面展开探究． 原四边形对角线关系 中点四边形形状 数量关系、位置关系 特殊四边形 不相等、不垂直 平行四边形 【探究一】 （1）如图1，在四边形中，E、F、G、H分别是各边的中点，求证：中点四边形是平行四边形．（请写出完整的证明过程） 【探究二】 （2）由图2，从作图、测量结果得出猜想Ⅰ：原四边形对角线________时，中点四边形是________． 【探究三】 （3）由图3，从作图、测量结果得出猜想Ⅱ：原四边形对角线________时，中点四边形是________． 【探究四】 （4）结合图2、图3，得出猜想Ⅲ：原四边形对角线________时，中点四边形是正方形． 3．（24-25八年级下·山东菏泽·期中）阅读理解：我们把依次连接任意一个四边形各边中点得到的四边形叫中点四边形，如图1，在四边形中，，，，分别是边，，，的中点，依次连接各边中点得到中点四边形． (1)（填空）判断图1中的中点四边形的形状为______，菱形的中点四边形的形状是______； (2)如图2，在四边形中，点在上且和为等边三角形，，，，分别为，，，的中点，试判断四边形的形状并证明． (3)若四边形的中点四边形为正方形，的最小值为4，求的长． 一、单选题 1．（24-25八年级下·辽宁盘锦·期中）如图，在中，，，是边的中点，则的度数是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·广西来宾·期中）如图，公路互相垂直，的中点与点被湖隔开．测得长为，则的长为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25九年级上·广东广州·阶段练习）直角三角形中有两条边分别为，，则此直角三角形斜边上的中线长等于（   ） A． B． C．或 D．或 4．（24-25八年级下·河南许昌·期中）如图，，，和都是等边三角形，F为中点，交于G点，下列结论中，正确的结论有（    ）． ①；  ②四边形是菱形； ③； ④． A．①④ B．①②③ C．①③④ D．①③ 二、填空题 5．（24-25八年级下·江苏盐城·期中）如图，在四边形中中，，点E、F、G分别是、、的中点，连接、．若，则 ． 6．（23-24八年级上·贵州安顺·期末）如图，是的高，是的中线，是的角平分线．若，则的度数为 ． 7．（24-25八年级下·江苏镇江·期中）如图，四边形的两条对角线分别为和，且满足，，那么依次连接它的各边中点得到的四边形的面积为 ． 8．（24-25八年级下·江苏苏州·期中）如图，、、、分别是、、、的中点，且，下列结论：①；②四边形是矩形；③平分；其中正确的是 ． 三、解答题 9．（24-25八年级下·北京·期中）如图，在中，点、分别是、的中点，连接，点是的中点，连接，．若，，，求证：． 10．（24-25九年级上·陕西咸阳·期末）如图，在中，，是的斜边上的中线，过点和点分别作和的平行线交于点． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求四边形的面积． 11．（2025八年级下·湖南·专题练习）如图，中，，、分别是、的中点，以为斜边作． (1)求证：； (2)若，求的度数． 12．（2025八年级下·全国·专题练习）如图，在直角中，，是边上一点，连接为的中点，过作交延长线于，且平分，连接． (1)求证：四边形是菱形． (2)连接交于，，求的度数． 13．（23-24八年级下·河北秦皇岛·期末）阅读下面材料： 在数学课上，老师请同学们思考如下问题：如图1，我们把一个四边形的四边中点E，F，G，H依次连接起来得到的四边形是平行四边形吗？ 小敏在思考问题时，有如下思路：连接． 结合小敏的思路作答： （1）若只改变图1中四边形的形状（如图2），则四边形还是平行四边形吗？请说明理由； 参考小敏思考问题的方法，解决以下问题： （2）如图2，在（1）的条件下，若连接，．当与满足什么关系时，四边形是正方形．直接写出结论． 14．（23-24八年级下·河北唐山·期末）如图①，在四边形中，，是对角线的中点，是的中点，是的中点．求证：． 【应用】如图②，连结图①中的，并取中点，连结、． （1）若，则四边形的周长为 ． （2）图③，若，且，则四边形的面积为 ． 15．（24-25八年级下·江苏南京·阶段练习）阅读理解：我们把依次连接任意一个四边形各边中点得到的四边形叫中点四边形，如图1，在四边形中，分别是边的中点，依次连接各边中点得到中点四边形． (1)菱形的中点四边形的形状是_______； (2)如图2，在四边形中，点在上且和为等边三角形，分别为的中点，试判断四边形的形状并证明． (3)若四边形的中点四边形为正方形，的最小值为4，则_______． 11 / 11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$