专题05 特殊四边形动点问题分类训练2（数量关系函数图象求值折叠5种类型40道）（高效培优期末专项训练）九年级数学上学期北师大版

专题05 特殊四边形动点问题分类训练2 （数量关系函数图象求值折叠5种类型40道） 考点01 探究两条线段数量关系 考点02 探究三条线段数量关系 考点03 动点问题和函数图象综合 考点04 动点求值 考点05 动点与折叠综合问题 考点01 探究两条线段数量关系 1．如图，为正方形内一点，，将绕点按顺时针方向旋转，得到，（点的对应点为）．延长交，于点，连接． (1)试判断与之间的数量关系，并说明理由． (2)若，，求线段的长． 2．综合与探究 探究几何元素之间的关系 问题情境：四边形中，点O是对角线的中点，点E是直线上的一个动点（点E与点C，O，A都不重合），过点A，C分别作直线的垂线，垂足分别为F，G，连接． (1)初步探究： 如图1，已知四边形是正方形，且点E在线段上，求证； (2)深入思考： 如图2，已知四边形为菱形，且点E在的延长线上，其余条件不变．探究与的数量关系并说明理由； (3)拓展延伸： 如图3，已知四边形为矩形，且．点E在直线上运动的过程中，若，则的长为______． 3．如图1，已知正方形，是边上的一个动点（不与点、重合），连结，点关于直线的对称点为，连结并延长交于点，连接，． (1)①求证； ②求的度数． (2)如图2，连接，若，请探究线段与之间的数量关系，并说明理由． (3)如图3，过点作于点，连接，直接写出线段与的数量关系． 4．【问题情境】：数学活动课上，老师出示了一个问题：如图1，在正方形中，是的中点，，与正方形的外角的平分线交于点．试猜想与的数量关系； (1)【思考尝试】同学们发现，在图1中，取的中点G，连接可以解决这个问题．得出与的数量关系是______． (2)【实践探究】思辨小组受此问题启发，逆向思考这个题目，并提出新的问题：如图2，在正方形中，为边上一动点（点不重合），在中，，，连接，可以求出的大小，请你思考并解答这个问题． (3)【拓展迁移】耐思小组深入研究思辨小组提出的这个问题，发现并提出新的探究点：如图3，在正方形中，为边上一动点（点不重合），在中，，，连接．当正方形边长时，请你直接写出周长的最小值． 5．【问题探究】 （1）如图1，在正方形中，对角线、相交于内．在线段上任取一点（端点除外），连接、． 求证：； ②将线段绕点逆时针旋转，使点落在的延长线上的点处．当点在线段上的位置发生变化时，的大小是否发生变化？请说明理由； 【迁移探究】 （2）如图2，将正方形换成菱形．且，其他条件不变．试探究与的数量关系，并说明理由． 6．如图，在正方形中，对角线相交于点O，点P是线段上一点（不与点O，C重合），连接，点Q在的延长线上，且． (1)求证：； (2)求的度数； (3)探究之间的数量关系，并说明理由． 7．综合与探究 问题情境：数学课上，同学们以矩形为背景，添加适当条件后，探究图形元素之间的关系．已知矩形，善思小组添加条件如下：如图1，点是边上的一点，且，过点作于点． 初步分析：（1）善思小组发现图1中线段，请证明这个结论； 深度探究：（2）好问小组将图1中的“点是边上的一点”改为“点是的中点”，得到图2，其余条件不变．他们提出如下问题，请你解答． ①判断图2中线段与的数量关系，并说明理由； ②将图2中的绕点逆时针旋转得到（点，分别是的对应点），设直线，交于点．在绕点逆时针旋转过程中，当以点为顶点的四边形是菱形时，连接，直接写出的值． 8．在直角梯形中，，点是边上的动点，连接，将线段绕点顺时针旋转得到线段． (1)直接写出与的数量关系___________； (2)当时，求的长； (3)试说明当点落在边上时，； (4)当点到边或的距离等于1时，直接写出的面积． 考点02 探究三条线段数量关系 9．（1）【发现证明】如图1，在正方形中，点E，F分别是边上的动点，且，求证：． 小明发现，当把绕点A顺时针旋转至，使与重合时能够证明，请你给出证明过程． （2）【类比引申】①如图2，在正方形中，如果点E，F分别是延长线上的动点，且，则（1）中的结论还成立吗？请说明理由； ②如图3，如果点E，F分别是延长线上的动点，且，则之间的数量关系是______（不要求证明）； （3）【联想拓展】如图1，若正方形的边长为6，，求的长． 10．如图1，正方形中，、分别是、上的点，，垂足为M． (1)求证：； (2)如图2，将沿方向平移到，当点为的中点时，连接与、分别交于点、． ①猜想线段、、有何数量关系，说明理由； ②若正方形的边长为，且点为的中点，则________． 11．如图，正方形中，点在上（不与重合），交于点，连接． (1)设，求的大小（用含的式子表示） (2)延长与延长线交于点．用等式表示之间的数量关系，并证明． 12．在平行四边形中．，点在边所在直线上，，垂足为，垂足为，垂足为．请解答下列问题： (1)当点在的延长线上时，如图①，求证：； (2)当点在线段上时，如图②；当点在的延长线上时，如图③，请直接写出线段，，之间的数量关系，不需证明． 13．【问题背景】数学课上，我们以等腰直角三角形为背景，利用旋转的性质研究线段和角的关系． 【问题初探】 （1）如图1，在中，，点与直角顶点重合，射线交边于点，点在射线上，且满足，连接．判断线段与的关系为______． 【问题深探】 （2）如图2，在中，，点为斜边中点，射线交边于点，射线交边于点，且满足 问题①：线段与满足什么数量关系？请说明理由； 问题②：请直接写出线段之间的数量关系____________．    14．如图1，在中，，平分，，延长使得，连接． (1)判断四边形的形状，并说明理由； (2)如图2，过作交于点，点在上，平分，过作交的延长线于点． ①求证：为等腰直角三角形； ②试探究：的数量关系，并证明． 15．已知，在中，，点D为直线上一动点（点D不与B，C重合），连接，以为边作菱形，且，连接，如图1，当点D在线段上时，我们易得三条线段之间的数量关系为：． (1)如图2，当点D在线段的延长线上时，其他条件不变，请探究三条线段之间的数量关系并证明； (2)如图3，当时，点D在线段的反向延长线上，且点A、F分别在直线BC的两侧，其他条件不变； ①请直接写出三条线段之间的数量关系； ②若菱形的边长为，对角线相交于点O，连接，求的长． 16．如图，，，将线段绕着点A顺时针旋转α，，得到，连接、，点E为线段中点，过点D作交于点H．连接交于点F． (1)如图1，当时，求的度数． (2)如图2，过点C作于点Q，请猜想线段、、之间的数量关系，并证明你的猜想． (3)如图3，若，点M是直线上一动点，作点M关于点E的对称点N，连接、，对于α的每一个确定值，都有一个对应的最小值，当最小值等于时，请直接写出四边形的面积． 考点03 动点问题和函数图象综合 17．如图 1，在四边形中，，． 动点从点出发，沿运动，到达点时停止运动．设点的运动路程为，的面积为． (1)请直接写出关于的函数关系式并注明自变量的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中画出函数的图象，并写出函数的一条性质； (3)结合图象，请直接写出当的面积大于3时，的取值范围． 18．如图，在菱形中，对角线交于点O，，动点P从点A出发，沿运动，速度为每秒1个单位长度，到达C点停止运动，设点P的运动时间为t秒，的面积为． (1)直接写出y关于t的函数表达式，并注明自变量t的取值范围； (2)在直角坐标系中画出y与t的函数图象，并写出它的一条性质； (3)根据图象直接写出当时，t的取值范围． 19．如图，在菱形中，对角线相交于点O，，，动点E从点A出发，向点C运动，速度为每秒个单位，点F从点D出发，向点B运动，速度为每秒2个单位，点E，F同时开始运动，当点E到达C点时，两点同时停止运动．连接，，设点E的运动时间为的长度为，的面积记为，的面积记为，．      (1)请直接写出，分别关于x的函数表达式，并写出自变量x的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中画出，的图像，并写出函数的一条性质； (3)结合函数图像，请直接写出当时x的取值范围（近似值保留小数点后一位，误差不超过）． 20．如图，在矩形中，与交于点O，，，动点P从点A出发，沿折线A→O→D方向运动，当点P运动到点D时停止运动，交于点Q，设点P的运动路程为x点P与点A，D重合时的路程不计算在内，线段的长度为y． (1)请直接写出y关于x的函数关系式并注明自变量x的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中，画出这个函数图象，并写出该函数的一条性质； (3)结合图象，直接写出的长度为3时x的值． 21．如图，矩形中，，动点、以相同的速度同时从点出发，点沿运动，点沿运动，当其中一点到达点时，另一点也随之停止运动．连接，用表示点运动的路程表示矩形的面积，表示的面积，设表示的面积． (1)直接写出分别关于的函数表达式，并写出自变量的取值范围： (2)在给定的平面直角坐标系中画出函数的图象，并分别写出函数的一条性质； (3)请直接写出时的值（保留一位小数；误差不超过0.2）． 22．如图1，在矩形中，，，是边上一点，．动点从点出发以每秒2个单位长度的速度沿射线运动，同时动点也从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿方向运动．连接，，，，设运动时间为秒，与的面积之比为，的面积为． (1)直接写出，关于的函数表达式，并注明自变量的取值范围； (2)在图2的平面直角坐标系中，画出函数，的图象，并写出函数的一条性质； (3)观察，的函数图象，结合必要的计算，直接写出时的取值范围． 23．如图，四边形是边长为4的正方形，O是正方形的中心，动点P从点A出发沿折线方向运动，到达C点停止，在上和边上的运动速度为每秒1个单位长度，设运动时间为t秒， 的面积为y． (1)请直接写出y关于t的函数表达式并注明自变量t的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质； (3)结合函数图象，直接写出的面积为3时t的值． 24．如图-1，在菱形中，．点为边的中点，动点从点A出发，沿折线方向运动，速度为每秒2个单位长度，到达点时停止运动，连接．设点的运动时间为秒，记的面积为． (1)当________________秒时，点到达点处； (2)求关于的函数解析式，并写出自变量的取值范围． (3)在如图-2所示给定的平面直角坐标系中，画出（2）中的函数图象并根据图象直接写出的面积不大于2时自变量的取值范围． 考点04 动点求值 25．（1）如图1，在平行四边形中，，E是的中点，过E作直线，交于点P，交于点Q，连接，． ①求证：四边形是平行四边形； ②若，且，求平行四边形的面积； （2）如图2，在平行四边形中，点P，Q分别是，边上的动点，连接交对角线于点E，且，若，，连接，，当最小时，求的值． 26．综合与探究 问题背景：如图，在菱形中，是一条对角线，点为直线上一个动点，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，点是中点，连接． 【初步探究】 （1）如图1，当点在线段BC的中垂线上，则 ． 【深入分析】 （2）如图 2，若点与点重合，连接交于点，连接，请判断四边形的形状，并说明理由． 【拓展延伸】 （3）若点在点右侧，如图 3，连接，若，请直接写出的长． 27．在菱形中，，点M、N分别是、边上的动点，连结、相交于E点． (1)若点M是的中点，求证：； (2)若，试求的度数． 28．综合与探究：如图，在菱形中，，E是射线上一动点，作射线． （1）【操作判断】 如图①，，将射线绕点A逆时针旋转交于点F，根据题意在图①中画出射线，图中的度数为______度； （2）【问题探究】 如图②，点E在线段上（不与点B，C重合），将射线绕点A逆时针旋转交于点F，探究线段，，之间的数量关系，并说明理由： （3）【拓展延伸】 如图③，点E在射线上，将射线绕点A逆时针旋转交射线于点F．若菱形的边长为4，．求的长． 29．正方形中，点E是边上一动点，连接． (1)如图1，当时，连接交于点，若，求正方形的边长； (2)如图2，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，点是中点，连接，．猜想线段，之间的数量关系，并证明你的结论； (3)如图3，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，点在线段上运动的过程中，当是以为腰的等腰三角形时，直接写出的值． 30．如图，正方形的边长为4，点，分别在边，上，且，平分，连接，分别交，于点，，是线段上的一个动点，过点作垂足为，连接． (1)试证明：垂直平分； (2)求的面积． 31．如图，点为正方形的边上一动点（点不与点重合），将沿对折得到，延长交于点，延长交于点． (1)求证：； (2)若，求的值； (3)连接，若，求线段的长． 32．出入相补原理是我国古代数学的重要成就之一，最早是由三国时期数学家刘徽创建．“将一个几何图形，任意切成多块小图形，几何图形的总面积保持不变，等于所分割成的小图形的面积之和”是该原理的重要内容之一，如图，在矩形中，，对角线与交于点O，点E为边上的一个动点，，垂足分别为F，G． (1)当E为的中点时，求证：； (2)当E为边上任意一点时，求的值． 考点05 动点与折叠综合问题 33．在正方形中，点是边上的一点，点是直线上一动点，于，交直线于点． (1)当点F运动到与点B重合时（如图1），线段与的数量关系是_______． (2)若点F运动到如图2所示的位置时，（1）探究的结论还成立吗？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由． (3)如图3，将边长为的正方形折叠，使得点落在边的中点处，折痕为，点、分别在边、上，请直接写出折痕的长． 34．综合与探究 【问题背景】在矩形中，，，E是线段上异于点B的一个动点，连接，把沿直线折叠，使点B落在点P处． 【问题提出】如图①，当E为的中点时，延长交于点F，求证：． 【问题解决】经过学习小组合作、探究、展示，其中的两种作辅助线的方案如下： 方案一：连接，如图②； 方案二：将绕点E旋转至处，如图③． （1）请你任选其中一种方案进行证明． 【深入探究】 （2）点E在移动过程中，当点P恰好落在对角线上时，如图④，求的长． 35．在正方形中，点E是上一动点，连接，将正方形沿着折叠，点C落在正方形内部的点F处． (1)如图1，分别以点C，F为圆心，以，为半径画弧，两弧交于点P，连接，，判断四边形的形状，并证明你的结论： (2)如图2，延长交于点G，求证：； (3)如图3，在（2）条件下，延长交于点H．若，，求的长 36．数学兴趣小组探究勾股定理在折叠中的应用．如图长方形纸片，，，点为长方形纸片边上一动点，连结，将沿折叠，点落在点处． (1)的长为________． (2)如图①，当点在线段上时，求的长． (3)如图②，在（1）的条件下，当点与点重合时，沿将折叠得，与交于点，则的面积是________． 37．已知，分别为的边上的动点，将沿直线折叠，使点落在边上的点处，点的对应点为． (1)如图，当点落在的延长线上时，求证：四边形为平行四边形； (2)若，，，则的值为________； (3)若，，的面积为，求的取值范围． 38．已知矩形的一条边，是边上的一点，将矩形沿折痕折叠，使得顶点落在边上的点处，（如图1）． (1)求的长； (2) 擦去折痕，连接，设是线段上的一个动点（点与点，不重合）．是延长线上的一个动点，并且满足，过点作，垂足为，连接交于点（如图2）． ①若M是的中点，求的长； ②试问当点M、N在移动过程中，线段的长度是否发生变化？若变化，说明理由；若不变，求出线段的长度． 39．已知：如图1，正方形中，，点是对角线所在直线上一动点，连接，将沿折叠，得到，点的对应点为点，射线交直线于点，交边所在直线于点． (1)①求证：； ②求证：； (2)将沿折叠，得到，点的对应点为点． ①如图2，当点在对角线上，且时，求的度数： ②如图3，当点在延长线上，且时，连接，判断的形状，并说明理由； ③当点在同一直线上时，请直接写出以点为顶点的四边形面积． 40．人教版数学八年级下册教材的数学活动-----折纸，引起许多同学的兴趣．我们可以通过折纸开展数学探究，探索数学的奥秘． (1)如图1，对折矩形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展平；以为折痕再一次折叠纸片，使点A落在折痕上的点N处，把纸片展平；连接．观察图1中和，猜想这三个角的关系，并说明理由； (2)如图2，M为矩形纸片的边上的一点，连结，在上取一点P，折叠纸片，使B，P重合，展平纸片，得到折痕；折叠纸片，使点B、P分别落在上，展平纸片得到折痕l ， 折痕l与交于点O， 点B、P的对应点分别为G、N，连接．证明：； (3)如图3，矩形纸片中，， 点P是边上的动点，现将纸片折叠，使点A与点P重合，折痕与矩形边的交点分别为E，F，要使折痕始终与边有交点，直接写出的取值范围． 1 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 特殊四边形动点问题分类训练2 （数量关系函数图象求值折叠5种类型40道） 考点01 探究两条线段数量关系 考点02 探究三条线段数量关系 考点03 动点问题和函数图象综合 考点04 动点求值 考点05 动点与折叠综合问题 考点01 探究两条线段数量关系 1．如图，为正方形内一点，，将绕点按顺时针方向旋转，得到，（点的对应点为）．延长交，于点，连接． (1)试判断与之间的数量关系，并说明理由． (2)若，，求线段的长． 【答案】(1)，理由见解析 (2)的长为 【分析】（1）先根据旋转的性质得到，，，然后判断四边形为正方形，从而得到； （2）过点作于点，于点，则，利用四边形为正方形得到，，设，则，，在中，利用勾股定理得到，解方程得到，，根据旋转的性质得到，接着利用等面积法求出，则根据勾股定理可计算出，由四边形为矩形得到，，然后利用勾股定理可计算出的长． 【详解】（1）解：，理由如下： ， ， 将绕点按顺时针方向旋转，得到， ，，， ， 四边形为矩形， 而， 四边形为正方形， ； （2）如图，过点作于点，于点，则， 四边形为正方形， ，， 设，则，， 在中，， 即， 解得（负值已舍去）， ，， 绕点按顺时针方向旋转，得到， ， ， ， 在中，， ， 四边形为矩形， ，， ， ， 即的长为． 【点睛】本题考查了旋转的性质，矩形和正方形的判定与性质，勾股定理，解题的关键是掌握旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角，旋转前、后的图形全等． 2．综合与探究 探究几何元素之间的关系 问题情境：四边形中，点O是对角线的中点，点E是直线上的一个动点（点E与点C，O，A都不重合），过点A，C分别作直线的垂线，垂足分别为F，G，连接． (1)初步探究： 如图1，已知四边形是正方形，且点E在线段上，求证； (2)深入思考： 如图2，已知四边形为菱形，且点E在的延长线上，其余条件不变．探究与的数量关系并说明理由； (3)拓展延伸： 如图3，已知四边形为矩形，且．点E在直线上运动的过程中，若，则的长为______． 【答案】(1)见解析 (2)，理由见解析 (3)4 【分析】对于（1），根据正方形的性质可得，进而说明，再根据“角角边”证明，则此题可证； 对于（2），延长上交的延长线于点H，再证明，然后根据“角角边”证明，可得，最后根据直角三角形的性质得出答案； 对于（3），如图所示，连接，先证明是等边三角形，再说明，然后根据直角三角形的性质可得，接下来根据勾股定理求出,进而求出，则此题可解． 【详解】（1）证明：∵四边形是正方形， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：，理由如下： 延长上交的延长线于点H， ∵， ∴， ∴， ∴． ∵点O是的中点， ∴， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴； （3）解：如图所示，连接， 在直角三角形中，， ∵， ∴是等边三角形， ∴． ∵， ∴点B是的中点， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴, ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的性质和判定，等边三角形的性质和判定，勾股定理，直角三角形的性质等，作出辅助线构造全等三角形是解题的关键． 3．如图1，已知正方形，是边上的一个动点（不与点、重合），连结，点关于直线的对称点为，连结并延长交于点，连接，． (1)①求证； ②求的度数． (2)如图2，连接，若，请探究线段与之间的数量关系，并说明理由． (3)如图3，过点作于点，连接，直接写出线段与的数量关系． 【答案】(1)①证明见解析；② (2)，理由见解析 (3)．理由见解析 【分析】（1）①由轴对称的性质可知，，，利用即可得； ②根据全等三角形的性质可得，即可解决问题． （2）证得，设，，则，推出，，根据，构建关系式即可解决问题． （3）如图3中，过点作直线交，于，．证明，推出，，设．，推出，即可得出结论． 【详解】（1）①证明：四边形是正方形，点关于对称， ，，， ， ， ②解：， ， ； （2）解：，理由如下： 如图2中， ， ，， ， ， ， ， 设，，则， ，， ， ， ， ， ，即； （3）解：结论：． 理由：如图3中，过点作直线交，于，． ，， ， ，， ， ， ， ，， 设．， ， ， ， ，， ． 【点睛】本题属于四边形综合题，考查了轴对称的性质，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考压轴题． 4．【问题情境】：数学活动课上，老师出示了一个问题：如图1，在正方形中，是的中点，，与正方形的外角的平分线交于点．试猜想与的数量关系； (1)【思考尝试】同学们发现，在图1中，取的中点G，连接可以解决这个问题．得出与的数量关系是______． (2)【实践探究】思辨小组受此问题启发，逆向思考这个题目，并提出新的问题：如图2，在正方形中，为边上一动点（点不重合），在中，，，连接，可以求出的大小，请你思考并解答这个问题． (3)【拓展迁移】耐思小组深入研究思辨小组提出的这个问题，发现并提出新的探究点：如图3，在正方形中，为边上一动点（点不重合），在中，，，连接．当正方形边长时，请你直接写出周长的最小值． 【答案】(1)，理由见详解； (2)； (3) 【分析】（1）取的中点，连接，利用同角的余角相等说明，再根据证明，得； （2）在上取，连接，由（1）同理可得，则，再说明是等腰直角三角形即可得出答案； （3）作，交的延长线于，交于，连接，则是等腰直角三角形，可知点与关于对称，则的最小值为的长，利用勾股定理求出，进而得出答案． 【详解】（1）解：， 理由如下：取的中点，连接， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， 、分别为正方形的边、的中点， ， ， ， 平分， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； （2）解：在上取，连接， 由（1）同理可得， ，， ， ， ，， ，而， ， ， ， ； （3）解：连接，作，交的延长线于，交于，连接，， 由（2）知，， ， ∴， ∴， 是等腰直角三角形， 点与关于对称， ∴最小值为的长， ， ，， 由勾股定理得， 周长的最小值为． 【点睛】本题是四边形综合题，主要考查了正方形的性质，轴对称最短路线问题，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理等知识，作辅助线构造全等三角形是解题的关键． 5．【问题探究】 （1）如图1，在正方形中，对角线、相交于内．在线段上任取一点（端点除外），连接、． 求证：； ②将线段绕点逆时针旋转，使点落在的延长线上的点处．当点在线段上的位置发生变化时，的大小是否发生变化？请说明理由； 【迁移探究】 （2）如图2，将正方形换成菱形．且，其他条件不变．试探究与的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）①证明见解析；②不变化，，理由见解析 （2），理由见解析 【分析】（1）①根据正方形的性质证明，即可得到结论； ②作，，垂足分别为点、，可证明四边形是矩形，，进而得到，证明，得出，进而可得结论； （2）利用已知条件先证明，作交于点，交于点G，可得四边形是平行四边形，进而得到，、都是等边三角形，进一步即可证得结论． 【详解】解：（1）①证明：四边形是正方形， ，， 在和中， ， ， ； ②的大小不发生变化，； 证明：如图所示：作，，垂足分别为点、， 四边形是正方形， ，， 四边形是矩形， 在和中， ， ， ， ， ，即：； （2）； 证明：四边形是菱形，， ，， 是等边三角形，垂直平分， ，， ， 如图所示：作交于点，交于点G， 则四边形是平行四边形，，， ，、都是等边三角形， ， 如图所示：作于点，则，， ， ． 【点睛】本题是四边形综合题，主要考查了正方形、菱形的性质，矩形、平行四边形、等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质以及解直角三角形等知识，熟练掌握相关图形的判定和性质、正确添加辅助线是解题的关键． 6．如图，在正方形中，对角线相交于点O，点P是线段上一点（不与点O，C重合），连接，点Q在的延长线上，且． (1)求证：； (2)求的度数； (3)探究之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)见解析； (2)； (3)，理由见解析． 【分析】本题考查了正方形的性质，勾股定理，等腰直角三角形的判定与性质等知识，解题的关键是： （1）利用正方形性质得到垂直平分，利用垂直平分线性质，即可解题； （2）根据等角对等边得出，，结合正方形的性质得出 ，则，结合正方形的性质、三角形的内角和定理可求出，即可得证； （3）作于点，证明，得出，证明为等腰直角三角形，即可得出结论． 【详解】（1）解：四边形是正方形，对角线、交于点O． 垂直平分， ， 故答案为：； （2）证明：四边形是正方形， ． ． （3）解：，理由如下： 作于点 由（2）知 ， 为等腰直角三角形， ； ． 7．综合与探究 问题情境：数学课上，同学们以矩形为背景，添加适当条件后，探究图形元素之间的关系．已知矩形，善思小组添加条件如下：如图1，点是边上的一点，且，过点作于点． 初步分析：（1）善思小组发现图1中线段，请证明这个结论； 深度探究：（2）好问小组将图1中的“点是边上的一点”改为“点是的中点”，得到图2，其余条件不变．他们提出如下问题，请你解答． ①判断图2中线段与的数量关系，并说明理由； ②将图2中的绕点逆时针旋转得到（点，分别是的对应点），设直线，交于点．在绕点逆时针旋转过程中，当以点为顶点的四边形是菱形时，连接，直接写出的值． 【答案】（1）见解析；（2）①，理由见解析；②或2 【分析】本题考查矩形的性质，菱形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题． （1）根据矩形的性质，证明，即可得到结论； （2）①利用全等三角形的性质证明即可； ②先得到是等边三角形，当点落在的延长线上时，四边形是菱形，此时，，求出比值；当点G和E关于直线对称时，四边形为菱形，根据的直角三角形的性质和勾股定理求出，然后计算比值即可． 【详解】（1）证明：∵四边形都是矩形， ∴， ， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）①结论： ，理由： ∵四边形都是矩形， ∴， ∵是的中点， ∴， ∵， ∴， ∵， ； ②如图中， 连接， ∵，，， ∴， ∴， 是等边三角形， 当点落在的延长线上时，四边形是菱形， 此时，， ； 当点G和E关于直线对称时，四边形为菱形， 此时，， ∴， ∴， ∴； 综上所述，的值为或． 8．在直角梯形中，，点是边上的动点，连接，将线段绕点顺时针旋转得到线段． (1)直接写出与的数量关系___________； (2)当时，求的长； (3)试说明当点落在边上时，； (4)当点到边或的距离等于1时，直接写出的面积． 【答案】(1) (2) (3)见解析 (4)的面积为或或 【分析】本题考查矩形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，旋转的性质； （1）由旋转的性质得到，； （2）由旋转得到是等腰直角三角形，则，当时，得到，则，即可得到； （3）当点落在边上时，先证明，结合，即可证明； （4）过作于，证明，得到，，再根据点到边或的距离等于1时分情况讨论，求出的长，最后根据求解即可． 【详解】（1）解：∵将线段绕点顺时针旋转得到线段， ∴，， 故答案为：； （2）解：由旋转可得，， ∴， 当时， ∴， ∵， ∴， ∴， （3）解：当点落在边上时， ∵， ∴， ∵， ∴； （4）解：当点到边的距离等于1时，过作于，则， ∴ ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 当点到边的距离等于1，且在左边时，过作于，于，则， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 当点到边的距离等于1，且在右边时，过作于，于，则， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 综上所述，当点到边或的距离等于1时，的面积为或或． 考点02 探究三条线段数量关系 9．（1）【发现证明】如图1，在正方形中，点E，F分别是边上的动点，且，求证：． 小明发现，当把绕点A顺时针旋转至，使与重合时能够证明，请你给出证明过程． （2）【类比引申】①如图2，在正方形中，如果点E，F分别是延长线上的动点，且，则（1）中的结论还成立吗？请说明理由； ②如图3，如果点E，F分别是延长线上的动点，且，则之间的数量关系是______（不要求证明）； （3）【联想拓展】如图1，若正方形的边长为6，，求的长． 【答案】（1）证明见解析；（2）①不成立，，理由见解析；②；（3） 【分析】本题属于四边形综合题，主要考查正方形的性质、旋转的基本性质、全等三角形的判定与性质以及勾股定理的应用． （1）证明，可得出，则结论得证； （2）①将绕点A顺时针旋转至根据可证明，可得，则结论得证； ②将绕点A逆时针旋转至，证明，可得出，则结论得证； （3）求出，设，则，，在中，得出关于x的方程，解出x则可得解． 【详解】（1）证明：把绕点A顺时针旋转至，如图1， ，，， ， ，D，G三点共线， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ； （2）解：①不成立，此时，理由如下： 如图2，将绕点A顺时针旋转至， ，，，， ， 在和中， ， ， ； ②如图3，将绕点A逆时针旋转至， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， 即， 故答案为：； （3）解：由（1）可知， 正方形的边长为6， ， ， ， ， 设，则，， 在中，， ， 解得， ， ． 10．如图1，正方形中，、分别是、上的点，，垂足为M． (1)求证：； (2)如图2，将沿方向平移到，当点为的中点时，连接与、分别交于点、． ①猜想线段、、有何数量关系，说明理由； ②若正方形的边长为，且点为的中点，则________． 【答案】(1)见解析 (2)①，理由见解析；② 【分析】主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，解本题的关键是熟练掌握以上知识． （1）证明，得出； （2）①由平移得，，连接、，过作 ，，在正方形对角线上，则，，，证明，得出，则可得出结论； ②求出的长，根据三角形的面积比得出，即可求解． 【详解】（1）证明：四边形是正方形， ，，， ， ， ， ， ； （2）①猜想：， 理由如下：由平移得，，连接、， 为的中点，， ， 过作 ，，在正方形对角线上，则，， ， ， ， 为的中点， ∴ 又∵ ∴ ②如图，过点分别作的垂线，垂足分别为， ∵是正方形的对角线， ∴平分 ∴， ∴ ∴ ∵正方形的边长为，且点为的中点， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴． 11．如图，正方形中，点在上（不与重合），交于点，连接． (1)设，求的大小（用含的式子表示） (2)延长与延长线交于点．用等式表示之间的数量关系，并证明． 【答案】(1) (2)，理由见解析 【分析】（1）由，得，则得； （2）根据全等三角形的性质得到，求得，过作交于点．根据平行线的性质得到，根据全等三角形的性质得到，根据勾股定理即可得到结论． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵是正方形的对角线， ∴， ∴； （2）答：数量关系是：， 证明：在和中， ， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴， 过作交于点， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题是四边形的综合题，考查了全等三角形的判定和性质，正方形的性质，勾股定理，平行线的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质定理是解题的关键． 12．在平行四边形中．，点在边所在直线上，，垂足为，垂足为，垂足为．请解答下列问题： (1)当点在的延长线上时，如图①，求证：； (2)当点在线段上时，如图②；当点在的延长线上时，如图③，请直接写出线段，，之间的数量关系，不需证明． 【答案】(1)见解析 (2)当点E在线段上时，；当点E在延长线上时，． 【分析】（1）过点G作延长线于N，由是等边三角形可得，由可得，于是，进而，由是矩形可得，便可证明； （2）当点E在线段上时，过点G作延长线于N，中，可得，由是矩形可得，计算线段差即可解答；当点E在延长线上时，过点G作于N，同理可得，，计算线段和即可解答． 【详解】（1）解：如图，过点G作延长线于N， ∵是平行四边形，则， 又，则是等边三角形， ∴， ∵，，则， ∴， ∵，则， ∵， ∴， ∵，则是矩形， ∴， ∴， ∴； （2）解：当点E在线段上时， 如图，过点G作延长线于N， 是等边三角形，则， 又，，则， ∴， ∵，则， 又，则， ∵，则是矩形， ∴， ∴； 当点E在延长线上时，如图，过点G作于N， 是等边三角形，则， ∵，，则， ∴， ∵，则， ∵， ∴， ∵，则是矩形， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，等边三角形的判定和性质，30度角的直角三角形的性质，矩形的判定和性质，正确作出辅助线是解题关键． 13．【问题背景】数学课上，我们以等腰直角三角形为背景，利用旋转的性质研究线段和角的关系． 【问题初探】 （1）如图1，在中，，点与直角顶点重合，射线交边于点，点在射线上，且满足，连接．判断线段与的关系为______． 【问题深探】 （2）如图2，在中，，点为斜边中点，射线交边于点，射线交边于点，且满足 问题①：线段与满足什么数量关系？请说明理由； 问题②：请直接写出线段之间的数量关系____________．    【答案】（1）且；（2）①，理由见解析， 【分析】本题主要考查的是全等三角形的判定与性质、斜边上的中线等于斜边的一半、勾股定理的运用等知识点，正确作出辅助线是解题的关键． （1）用证明，再结合，列式，即可求解； （2）①先根据点为斜边中点，得，再利用证明，得到即可解答； ②先说明，再在中，即可求解； 【详解】解：（1）且，理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即． 故答案为：且． （2）①，理由如下： 如图：连接，    ∵，点为斜边中点， ∴， ， ∵，， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； ②，过程如下： ∵， ∴； ∵， ∴； 在中，， 即． 故答案为：． 14．如图1，在中，，平分，，延长使得，连接． (1)判断四边形的形状，并说明理由； (2)如图2，过作交于点，点在上，平分，过作交的延长线于点． ①求证：为等腰直角三角形； ②试探究：的数量关系，并证明． 【答案】(1)四边形是矩形，理由见解析 (2)①证明见解析；②，证明见解析 【分析】（1）先证出，再证出四边形是平行四边形，然后根据矩形的判定即可得； （2）①先根据角平分线的定义可得，，从而可得，再根据三角形的外角性质可得，由此即可得证； ②过点作，交延长线于点，连接，先证出，根据全等三角形的性质可得，再根据等腰三角形的性质可得，根据勾股定理可得，然后证出四边形是平行四边形，根据平行四边形的性质可得，由此即可得． 【详解】（1）解：四边形是矩形，理由如下： ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∴四边形是矩形． （2）证明：①∵在中，， ∴， ∵平分， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形． ②，证明如下： 如图，过点作，交延长线于点，连接， 由上已得：，，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， 由（1）已证：四边形是矩形， ∴， 又∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了矩形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、三角形全等的判定与性质、勾股定理等知识，较难的是题（2）②，通过作辅助线，构造全等三角形和等腰直角三角形是解题关键． 15．已知，在中，，点D为直线上一动点（点D不与B，C重合），连接，以为边作菱形，且，连接，如图1，当点D在线段上时，我们易得三条线段之间的数量关系为：． (1)如图2，当点D在线段的延长线上时，其他条件不变，请探究三条线段之间的数量关系并证明； (2)如图3，当时，点D在线段的反向延长线上，且点A、F分别在直线BC的两侧，其他条件不变； ①请直接写出三条线段之间的数量关系； ②若菱形的边长为，对角线相交于点O，连接，求的长． 【答案】(1)，理由见解析 (2)①；② 【分析】本题主要考查了菱形的性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形斜边中线定理，勾股定理等知识点，解题的关键是掌握以上性质，并灵活应用． （1）根据菱形的性质得出相等的边，证明，得出对应边相等即可得出结论； （2）①根据菱形的性质得出相等的边，证明，得出对应边相等即可得出结论； ②根据菱形的性质得出直角三角形，得出是斜边的中线，然后利用勾定理求出的长度即可求解． 【详解】（1）解：，理由如下： ∵， ∴，即， ∵四边形是菱形， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）解：①，理由如下： 因为， 所以，即． 由于四边形是菱形， 所以． 又， 所以，则． 因为， 所以，即； ②因为四边形是菱形， 所以． 因为， 所以． ， 得， 所以． 因为， 所以是斜边的中线（直角三角形斜边中线等于斜边的一半）． 在菱形中， ，， 根据勾股定理． 所以． 16．如图，，，将线段绕着点A顺时针旋转α，，得到，连接、，点E为线段中点，过点D作交于点H．连接交于点F． (1)如图1，当时，求的度数． (2)如图2，过点C作于点Q，请猜想线段、、之间的数量关系，并证明你的猜想． (3)如图3，若，点M是直线上一动点，作点M关于点E的对称点N，连接、，对于α的每一个确定值，都有一个对应的最小值，当最小值等于时，请直接写出四边形的面积． 【答案】(1) (2)，证明见解析 (3) 【分析】（1）根据等腰三角形的性质求解，，再结合平行四边形的性质与三角形的外角的性质可得答案； （2）仿照（1）求解，，可得，，结合点E为线段中点，，证明，可得为等腰直角三角形，，过作于，而，证明为等腰直角三角形，可得，即，进一步可得结论； （3）如图，由（2）同理可得：，，延长至，使，证明，可得，可得当三点共线时，最小，即的长，此时三点重合，如图，记的交点为，可得，过作于，过作于，证明，可得，再进一步求解即可． 【详解】（1）解：∵，，将线段绕着点A顺时针旋转α得到，， ∴，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴． （2）解：，理由如下： 如图， ∵，，将线段绕着点A顺时针旋转α得到， ∴，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵点E为线段中点，， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴，， ∴， 过作于，而， ∴， ∴四边形为矩形，， ∴，， ∵，， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴，即， ∴， 即． （3）解：如图，由（2）同理可得：，， ∵点M关于点E的对称点N， ∴， ∴， 延长至，使， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴当三点共线时，最小，即的长， 此时三点重合，如图，记的交点为， ∵此时，， ∴， 过作于，过作于， ∵， 结合（2）可得： ，，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，，， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∵为等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴四边形的面积为：． 【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，三角形的内角和定理与外角的性质，矩形的判定与性质，勾股定理的应用，二次根式的运算，旋转的性质，轴对称的性质，作出合适的辅助线是解本题的关键． 考点03 动点问题和函数图象综合 17．如图 1，在四边形中，，． 动点从点出发，沿运动，到达点时停止运动．设点的运动路程为，的面积为． (1)请直接写出关于的函数关系式并注明自变量的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中画出函数的图象，并写出函数的一条性质； (3)结合图象，请直接写出当的面积大于3时，的取值范围． 【答案】(1) (2)图见解析，当时，随的增大而增大 (3) 【分析】（1）根据题意，当点在上运动时，解析式为，当点在上运动时，过点作于根据长方形的性质得到，，根据勾股定理得到，求得，，，根据三角形的面积公式即可得到结论； （2）根据题意画出函数的图象，根据函数图象得到函数的性质； （3）根据函数图象即可得到结论． 【详解】（1）解：根据题意，当点在上运动时，解析式为， 当点在上运动时，过点作于， ，， ， 四边形是长方形， ，， 在中，， ∴， ，，， 的面积四边形的面积的面积的面积， ， ； （2）解：如图所示； 当时，随的增大而增大； （3）解：当的面积大于3时，由图象得：； 【点睛】本题考查动点函数问题，三角形的面积，一次函数的图象和性质，利用函数图象解不等式，掌握相关知识是解决问题的关键． 18．如图，在菱形中，对角线交于点O，，动点P从点A出发，沿运动，速度为每秒1个单位长度，到达C点停止运动，设点P的运动时间为t秒，的面积为． (1)直接写出y关于t的函数表达式，并注明自变量t的取值范围； (2)在直角坐标系中画出y与t的函数图象，并写出它的一条性质； (3)根据图象直接写出当时，t的取值范围． 【答案】(1) (2)图象见解析，一条性质为：当或，函数取得最大值为（答案不唯一） (3)或 【分析】本题考查了菱形的性质，一次函数的图象与性质，利用图象解不等式等知识点，正确求出函数关系式是解题的关键． （1）先根据菱形的性质得到，，，再分两种情况，根据三角形面积公式建立函数关系式； （2）根据两点确定一条直线，分别作出和，再由图象可得相关性质（可从函数最值，增减性，对称性等角度分析）； （3）画一条直线，在直线上方时的取值范围即为所求． 【详解】（1）解：∵菱形中，， ∴，, 由题意得， 当， ； 当， ， 综上：； （2）解：图象如图： 一条性质为：当或，函数取得最大值为（答案不唯一）； （3）解：如图，当时，或． 19．如图，在菱形中，对角线相交于点O，，，动点E从点A出发，向点C运动，速度为每秒个单位，点F从点D出发，向点B运动，速度为每秒2个单位，点E，F同时开始运动，当点E到达C点时，两点同时停止运动．连接，，设点E的运动时间为的长度为，的面积记为，的面积记为，．      (1)请直接写出，分别关于x的函数表达式，并写出自变量x的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中画出，的图像，并写出函数的一条性质； (3)结合函数图像，请直接写出当时x的取值范围（近似值保留小数点后一位，误差不超过）． 【答案】(1)， (2)作图见解析，性质见解析 (3)（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了菱形的性质，勾股定理，列函数表达式，画函数图像，根据图像求不等式的解集，解题的关键是掌握数形结合的思想． （1）根据菱形的性质求出相关线段的长度，确定自变量的取值范围，然后分情况进行求函数表达式即可； （2）利用描点法画出函数的图像即可； （3）根据函数图像及其交点可得不等式的解集． 【详解】（1）解：∵四边形为菱形， ∴ 设点E的运动时间为，当时，则，, 由勾股定理得； 当时，则，, 由勾股定理得； 综上，； ，， ∴； （2）解：当时，，此点为空心圆； 当时，； 当时，，此点为空心圆； 根据两点确定一条直线，画出图像即可； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 用一条平滑的曲线画出图像即可； 作图： 当，随x增大而减小，当，随x增大而增大； （3）解：根据函数图像及其交点可得，当时， ． 20．如图，在矩形中，与交于点O，，，动点P从点A出发，沿折线A→O→D方向运动，当点P运动到点D时停止运动，交于点Q，设点P的运动路程为x点P与点A，D重合时的路程不计算在内，线段的长度为y． (1)请直接写出y关于x的函数关系式并注明自变量x的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中，画出这个函数图象，并写出该函数的一条性质； (3)结合图象，直接写出的长度为3时x的值． 【答案】(1)y关于x的函数关系式为 (2)图象见详解，该函数图象关于直线对称（答案不唯一） (3)当时，或 【分析】本题主要考查一次函数的图象与性质，含直角三角形的性质及矩形的性质，熟练掌握一次函数的图象与性质，含直角三角形的性质及矩形的性质是解题的关键； （1）由矩形的性质可知，，，则有，然后可得，进而根据当时，当时，分类讨论进行求解即可； （2）根据（1）中函数解析式进行作图即可，然后问题可求解； （3）根据（2）中的函数图象可进行求解． 【详解】（1）解：∵四边形是矩形，，， ∴，，， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵设点P的运动路程为x点P与点A，D重合时的路程不计算在内， ∴， 当时， ∵， ∴， ∵， ∴，即； 当时， ∵点P的运动路程为x， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，即； 综上所述：y关于x的函数关系式为； （2）解：由（1）可知：y关于x的函数关系式为， 由函数关系式可列表如下： x 2 4 6 y 3 2 3 所画函数图象如下： 由图象可知：该函数图象关于直线对称（答案不唯一）； （3）解：由图象可知：当时，或． 21．如图，矩形中，，动点、以相同的速度同时从点出发，点沿运动，点沿运动，当其中一点到达点时，另一点也随之停止运动．连接，用表示点运动的路程表示矩形的面积，表示的面积，设表示的面积． (1)直接写出分别关于的函数表达式，并写出自变量的取值范围： (2)在给定的平面直角坐标系中画出函数的图象，并分别写出函数的一条性质； (3)请直接写出时的值（保留一位小数；误差不超过0.2）． 【答案】(1)，． (2)作图见解析，性质：随x的增大而增大；当时，随x的增大而增大，当时，随x的增大而减小． (3) 【分析】本题主要考查了矩形的性质、三角形面积、画函数图象、一次函数与方程等知识点，灵活运用数形结合思想和分类讨论思想是解题的关键． （1）由矩形的性质可得，，矩形的面积，；由题意可得，再根据等高三角形可得，然后代入计算即可求得；分点F在上和上两种情况，分别利用三角形的面积公式即可求得； （2）先画出函数图象，然后根据函数图象写出性质即可； （3）如图：由函数图象可得：当时，自变量，然后联立函数关系式求解即可． 【详解】（1）解：∵矩形中，， ∴，，矩形的面积， 由题意可知：， ∵和等高， ∴，即，解得：， ∴，即； 如图：当点F在上时，即时， 所以的面积，即； 如图：如图：当点F在上时，即时，则， 所以的面积，即． 综上，． （2）解：根据题意画出函数图象如下： 性质：随x的增大而减少；当时，随x的增大而增大，当时，随x的增大而减小． （3）解：如图：当时，自变量， 则，解得：（已舍弃负值）． 22．如图1，在矩形中，，，是边上一点，．动点从点出发以每秒2个单位长度的速度沿射线运动，同时动点也从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿方向运动．连接，，，，设运动时间为秒，与的面积之比为，的面积为． (1)直接写出，关于的函数表达式，并注明自变量的取值范围； (2)在图2的平面直角坐标系中，画出函数，的图象，并写出函数的一条性质； (3)观察，的函数图象，结合必要的计算，直接写出时的取值范围． 【答案】(1)，（），； (2)画函数图象见解析，当时，随增大而增大；当时，随增大而减小（答案不唯一）． (3)时，． 【分析】本题主要考查矩形性质、三角形面积公式、函数图象绘制与性质，熟练掌握三角形面积计算、分情况讨论动点位置及分析函数图象是解题关键． （1）利用与同高，根据面积比等于底边长比，结合的运动速度表示出，进而得出． 分在（）和在（）两段，依据三角形面积公式，结合不同阶段底和高的特点分别计算函数表达式． （2）根据（1）中函数表达式取值描点连线画图，再观察图象总结的增减性等性质． （3）观察函数图象，结合函数表达式，找出图象在图象上方对应的区间． 【详解】（1）解：矩形中，，和以为共同的高．，， ． ，（）． 当G在上时，即，根据三角形面积公式，． 当在上时，即时， ，， （）． ∴； （2）解：函数，的图象的图象如图所示， 由图可得，当时，随增大而增大；当时，随增大而减小（答案不唯一）． （3）解：当时，． ， ，即恒成立． 当时，． 令， ， ． 综上，时，． 23．如图，四边形是边长为4的正方形，O是正方形的中心，动点P从点A出发沿折线方向运动，到达C点停止，在上和边上的运动速度为每秒1个单位长度，设运动时间为t秒， 的面积为y． (1)请直接写出y关于t的函数表达式并注明自变量t的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质； (3)结合函数图象，直接写出的面积为3时t的值． 【答案】(1) (2)作图见解析，性质见解析（不唯一） (3)或 【分析】本题考查了一次函数在实际问题中的应用，正方形的性质，掌握函数的解析式求解、函数图象、数形结合的数学思想是解题关键． （1）分类讨论、两种情况，画出对应的图形即可求解； （2）描点、连线即可完成作图，根据图象即可得到其一条性质； （3）作出直线，确定其与函数图象的交点横坐标即可求解． 【详解】（1）解：①当时，动点P在上运动， 作，如图所示： ∵， ∴ ∵O是正方形的中心， ∴ ∴； ②当时，动点P在上运动， 作，如图所示： 此时， ∵O是正方形的中心， ∴ ∴； 综上所述： （2）解：如图所示：      当时，y随t的增大而减小； （3）解：作出直线，如图所示：；    可知直线与函数的图象的交点横坐标为和 ∴的面积为3时，或． 24．如图-1，在菱形中，．点为边的中点，动点从点A出发，沿折线方向运动，速度为每秒2个单位长度，到达点时停止运动，连接．设点的运动时间为秒，记的面积为． (1)当________________秒时，点到达点处； (2)求关于的函数解析式，并写出自变量的取值范围． (3)在如图-2所示给定的平面直角坐标系中，画出（2）中的函数图象并根据图象直接写出的面积不大于2时自变量的取值范围． 【答案】(1) (2) (3)且 【分析】本题主要考查了动点问题、菱形的性质、含30度直角三角形的性质、函数图象与不等式等知识点，掌握数形集合思想成为解题的关键． （1）先根据菱形的性质求得，再根据速度、路程、时间的关系即可解答； （2）分点P在上和上两种情况、分别根据菱形的性质、含30度直角三角形的性质、三角形面积公式求解即可； （3）先根据（2）得到的函数解析式画出函数图象，然后根据函数图象即可解答． 【详解】（1）解：∵菱形，， ∴， ∴， ∴点到达点处时，． （2）解：①当点P在上时，即时， 如图：分别过D、E作，则， ∵在菱形中，． ∴，即， ∴， ∴的面积为，即； ②当点P在上时，即时， 如图：分别过E作，则 ∵在菱形中，，点为边的中点， ∴，即， ∵， ∴， ∴的面积为，即。 综上，关于的函数解析式为． （3）解：根据，画出函数图象如下： 由函数图象可得：的面积不大于2时自变量的取值范围为且． 考点04 动点求值 25．（1）如图1，在平行四边形中，，E是的中点，过E作直线，交于点P，交于点Q，连接，． ①求证：四边形是平行四边形； ②若，且，求平行四边形的面积； （2）如图2，在平行四边形中，点P，Q分别是，边上的动点，连接交对角线于点E，且，若，，连接，，当最小时，求的值． 【答案】（1）①见解析；②；（2） 【分析】本题考查了平行四边形的判定和性质，菱形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理. （1）①根据平行四边形的性质得到，进而得到，，根据点E是的中点得到，根据证明，得到，即可证明四边形是平行四边形； ②作于W，根据平行四边形的性质得到，，证明四边形是菱形，，根据菱形面积公式求出，根据勾股定理得到，根据等腰三角形三线合一得到，进而根据面积公式计算即可； （2）作，并截取，连接，，设交于，可知四边形是平行四边形，可知，根据勾股定理得到，根据可知当A、Q、F共线时，即Q在处时，最小，此时P在，证明四边形是菱形，即可求出的值． 【详解】（1）①证明：四边形是平行四边形， ， ，， 点E是的中点， ， ， ， 四边形是平行四边形； ②解：如图1，作于W， 由①知，四边形是平行四边形， ，， ， 四边形是菱形，， 由， ， ， ， ， ， ， ； （2）如图2，作，并截取，连接，，设交于， 四边形是平行四边形， ，， ， ， ， ， 当A、Q、F共线时，即Q在处时，最小，此时P在， 此时， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是菱形， ∴，即 26．综合与探究 问题背景：如图，在菱形中，是一条对角线，点为直线上一个动点，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，点是中点，连接． 【初步探究】 （1）如图1，当点在线段BC的中垂线上，则 ． 【深入分析】 （2）如图 2，若点与点重合，连接交于点，连接，请判断四边形的形状，并说明理由． 【拓展延伸】 （3）若点在点右侧，如图 3，连接，若，请直接写出的长． 【答案】（1）；（2）四边形是矩形，理由见解析；（3）的长为或 【分析】本题考查了菱形的性质、等边三角形的判定与性质、三角形中位线定理、矩形的判定以及旋转的性质等，解题的关键是根据图形的旋转性质和菱形的特点，结合三角形的相关定理进行分析与推理． （1）利用线段中垂线性质、旋转性质和菱形等边三角形特征，推导的度数； （2）通过旋转与菱形性质，先证平行四边形，再结合垂直条件证矩形； （3）分和两种情况，用中位线定理、等边三角形性质及方程思想求． 【详解】解∶（1）在菱形中，，且， 是等边三角形 ， 已知点在线段的中垂线上， ， ， 由旋转的性质可知：， ， ， 故答案为：； （2）四边形是矩形． 理由∶由旋转可得，，， 在菱形中，，，， ，， 为等边三角形， ，， 点是中点， ， 又，，， ， ， ， 又， ， ， ，， 四边形是平行四边形， 又， ， 平行四边形为矩形． （3）的长为或． 理由：①当时，如图， ， ， 点为的中点， 为的中位线， 点为中点， ， ， ， ∴． ①当时，如图， 取中点为，连接， ∵点为中点， ∴为的中位线， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， 设，则，，， ∵为中点， ∴ 即， 解得：， ∴． 综上所述，的长为或． 27．在菱形中，，点M、N分别是、边上的动点，连结、相交于E点． (1)若点M是的中点，求证：； (2)若，试求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接，判定是等边三角形，由等边三角形的性质得，由勾股定理即可得证； （2）过点D作的延长线于F，过点D作于G，连接，再根据判定，再根据判定，得出，结合角平分线的判定定理，即可求解． 【详解】（1）证明：连接， 四边形是菱形， ， ， 是等边三角形， ，， 点M是的中点， ，， ， ； （2）解：过点D作的延长线于F，过点D作于G，连接， 由（1）知，和都是等边三角形， ， ， ， ， ， ， ， 即， ， ， 又，， ， ， ，， 平分， ， ， ． 【点睛】本题主要考查菱形的性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形的特征，勾股定理，角平分线的判定定理等；掌握菱形的性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，能添加恰当的辅助线构建全等三角形是解题关键． 28．综合与探究：如图，在菱形中，，E是射线上一动点，作射线． （1）【操作判断】 如图①，，将射线绕点A逆时针旋转交于点F，根据题意在图①中画出射线，图中的度数为______度； （2）【问题探究】 如图②，点E在线段上（不与点B，C重合），将射线绕点A逆时针旋转交于点F，探究线段，，之间的数量关系，并说明理由： （3）【拓展延伸】 如图③，点E在射线上，将射线绕点A逆时针旋转交射线于点F．若菱形的边长为4，．求的长． 【答案】（1）图见解析，90；（2），见解析；（3）的长为或 【分析】（1）根据作一个角等于已知角画出直线；根据菱形的性质得，结合外角的性质得，即可求得； （2）连接，根据菱形的性质得，进一步得是等边三角形和是等边三角形，可证明，则，即有； （3）∵点E在射线上，需分两种情况讨论：当点E在线段上时，连接，过点A作于点H，由（2）可知是等边三角形，利用勾股定理求得、和，由（2）可知，即可知；当点E在的延长线上时，连接，过点A作于点H，同（3）①可得， 和，，由（2）可知，则． 【详解】解：（1）画出图形如解图， ∵在菱形中，， ∴． ∵，， ∴， ∴． （2）， 理由：如图，连接， ∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）∵点E在射线上，需分两种情况讨论： ①当点E在线段上时，如图，连接，过点A作于点H， 由（2）可知是等边三角形， ∴，， ∴， ∵， ∴， 由（2）可知， ∴； ②当点E在的延长线上时，如图，连接，过点A作于点H， 同（3）①可得， ， ∵， ∴， 由（2）可知， ∴ 综上所述，的长为或． 【点睛】本题主要考查作一个角等于已知角、菱形的性质、外角的性质、等边三角形的性质和判定、全等三角形的判定和性质和勾股定理．解题的关键是熟悉菱形的性质和分类讨论思想的应用． 29．正方形中，点E是边上一动点，连接． (1)如图1，当时，连接交于点，若，求正方形的边长； (2)如图2，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，点是中点，连接，．猜想线段，之间的数量关系，并证明你的结论； (3)如图3，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，点在线段上运动的过程中，当是以为腰的等腰三角形时，直接写出的值． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）作于点H，则是等腰直角三角形，是含30度角的直角三角形，结合即可求解； （2）延长至点N，使，连接，证明，进而得出，，再证，可得； （3）设正方形边长为a，，则，分两种情况：当时，作于O，作交的延长线于点P，连接，得到矩形， 由等腰三角形的性质可得，进而可得，再证，推出，进而可得 的值；当时，作交的延长线于点Q，连接，同理可证，则，，可得，进而可得 的值． 【详解】（1）解：如图，作于点H， 四边形是正方形， ， 是等腰直角三角形， ， ， ，， ， ， ， 即正方形的边长为； （2）解：，理由如下： 如图，延长至点N，使，连接， 点是中点， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ， ， ，， ， 在和中， ， ， ， ， ； （3）解：设正方形边长为a，，则， 分两种情况： 当时，作于O，作交的延长线于点P，连接， ，， ， ， 四边形是矩形， ， 由旋转知，， ， 又， ， 又，， ， ， 又， ， ； 当时，作交的延长线于点Q，连接， 同理可证， ，， ， ， ． 综上可知，的值为1或． 【点睛】本题考查正方形的性质，矩形的判定与性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的性质，含30度角的直角三角形的性质等，解题的关键是添加辅助线构造全等三角形． 30．如图，正方形的边长为4，点，分别在边，上，且，平分，连接，分别交，于点，，是线段上的一个动点，过点作垂足为，连接． (1)试证明：垂直平分； (2)求的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的判定等知识，解题的关键是掌握以上知识点． （1）证明，则，再证明，则，得到垂直平分； （2）求出，，由图可知，和等高，设高为，由求出，则． 【详解】（1）证明：为正方形， ，， ， ， ， ， ， ， 平分， ． ， ． ， ， 垂直平分； （2）为正方形，且边长为4， ， 在中， 由（1）可知，， ， 由图可知，和等高，设高为， ， ， ， ． 31．如图，点为正方形的边上一动点（点不与点重合），将沿对折得到，延长交于点，延长交于点． (1)求证：； (2)若，求的值； (3)连接，若，求线段的长． 【答案】(1)见解析 (2)4 (3) 【分析】本题主要考查了正方形的性质、折叠的性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键． （1）由折叠的性质以及正方形的性质证明即可证明结论； （2）设，则、，设，由（1）知 易得，，再根据勾股定理可得、进而得到，然后代入化简即可解答； （3）如图：延长到使得，连接，先证明可得、，易得，运用勾股定理可得；设，则，，易得；设，则，根据勾股定理列方程可得，则，进而得到；设，易得，解得，即、；设，则、、，最后根据勾股定理列方程求解即可． 【详解】（1）解：由翻折得到的， ， 又∵为正方形， 在和中， ， ， ． （2）解：设，则， ， 设，由（1）知 ，， 在中，， ，化简得， ． （3）解：如图：延长到使得，连接， ， ， ，， ， ， 设，则，， ， ， ， 设，则， 在中，， 在中，， ，解得， ∴ 设，则， ， ， ，解得， ， 设，则 又∵ ，即． 32．出入相补原理是我国古代数学的重要成就之一，最早是由三国时期数学家刘徽创建．“将一个几何图形，任意切成多块小图形，几何图形的总面积保持不变，等于所分割成的小图形的面积之和”是该原理的重要内容之一，如图，在矩形中，，对角线与交于点O，点E为边上的一个动点，，垂足分别为F，G． (1)当E为的中点时，求证：； (2)当E为边上任意一点时，求的值． 【答案】(1)证明见解析； (2)． 【分析】（1）由矩形的性质得，得到，由，得到，由点E为的中点，得到，证明即可求证； （2）连接，根据勾股定理求出，再根据三角形面积即可求解； 本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，三角形的面积等知识，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】（1）证明：∵ 四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵ 点E为的中点， ∴， ∴， ∴； （2）解：连接，如图： ∵ 四边形是矩形，， ∴， ∴ ， 又， ∵ ， ∴ ，     ∴ ． 考点05 动点与折叠综合问题 33．在正方形中，点是边上的一点，点是直线上一动点，于，交直线于点． (1)当点F运动到与点B重合时（如图1），线段与的数量关系是_______． (2)若点F运动到如图2所示的位置时，（1）探究的结论还成立吗？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由． (3)如图3，将边长为的正方形折叠，使得点落在边的中点处，折痕为，点、分别在边、上，请直接写出折痕的长． 【答案】(1) (2)成立，理由见解析 (3) 【分析】（1）利用证明全等即可得到结论； （2）过点F作，垂足为M，利用证明，即可得到结论； （3）过点Q作于H，根据翻折变换的性质可得，然后求出，再利用“角角边”证明，根据全等三角形对应边相等可得，再利用勾股定理列式求出，从而得解． 【详解】（1）解：∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． （2）解：成立，理由是： 过点F作，垂足为M， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． （3）解：如图，过点Q作于H，则四边形中，，连接， 由翻折变换的性质得， ∵， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵点M是的中点， ∴， 在中，由勾股定理得，， ∴的长为． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理的应用，化为最简二次根式，翻折变换的问题，折叠问题其实质是轴对称，对应线段相等，对应角相等，找到相应的直角三角形利用勾股定理求解是解决本题的关键． 34．综合与探究 【问题背景】在矩形中，，，E是线段上异于点B的一个动点，连接，把沿直线折叠，使点B落在点P处． 【问题提出】如图①，当E为的中点时，延长交于点F，求证：． 【问题解决】经过学习小组合作、探究、展示，其中的两种作辅助线的方案如下： 方案一：连接，如图②； 方案二：将绕点E旋转至处，如图③． （1）请你任选其中一种方案进行证明． 【深入探究】 （2）点E在移动过程中，当点P恰好落在对角线上时，如图④，求的长． 【答案】（1）见解析    （2）3 【分析】本题主要考查矩形的性质，全等三角形的判定与性质，旋转的性质，勾股定理与折叠等知识，熟练掌握相关知识是解答本题的关键． （1）方案一：连接，根据证明即可得出结论； 方案二：证明，，得，由可得结论； （2）由勾股定理求出，根据折叠的性质得，，．，．在中，由勾股定理，得，即，解得， 【详解】解：（1）方案一：连接． ∵四边形是矩形， ∴． ∵E为的中点， ∴． 由折叠的性质，得，，， ∴，． 又∵， ∴． ∴． 方案二：将绕点旋转至处． ∵四边形是矩形， ∴． 由旋转的性质，得，，． ∴，即点D，C，R共线． 由折叠的性质，得，， ∴，． ∴． ∴，即． （2）∵四边形是矩形， ∴，． ∵，， ∴． 由折叠的性质，得，，． ∴，． 在中，由勾股定理，得， 即，解得， ∴的长为3． 35．在正方形中，点E是上一动点，连接，将正方形沿着折叠，点C落在正方形内部的点F处． (1)如图1，分别以点C，F为圆心，以，为半径画弧，两弧交于点P，连接，，判断四边形的形状，并证明你的结论： (2)如图2，延长交于点G，求证：； (3)如图3，在（2）条件下，延长交于点H．若，，求的长 【答案】(1)四边形是菱形，证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】本题考查了正方形的性质、菱形的判定、全等三角形的判定及性质、折叠的性质、勾股定理的应用； （1）由折叠的性质得，再由分别以点C，F为圆心，以，为半径画弧，两弧交于点P，可得，，从而得出四边形是四边相等的四边形，所以四边形是菱形； （2）由折叠的性质得，利用同角的余角相等可得，即可找到三角形全等的条件； （3）连接，由三角形全等和折叠性质可得，，，再结合平行线的性质可得出，从而得出，，最后利用建立方程求解即可. 【详解】（1）解：四边形是菱形，证明如下： ∵正方形沿着折叠，点C落在正方形内部的点F处， ∴， ∵分别以点C，F为圆心，以，为半径画弧，两弧交于点P， ∴，， ∴， ∴四边形是菱形 （2）证明：∵四边形是正方形， ∴，， ∵正方形沿着折叠，点C落在正方形内部的点F处， ∴， ∴，， ∴， 在和中 ∴ （3）解：连接，如图所示， ∵， ∴， 由折叠得，， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴或（舍去）， 故的长为 36．数学兴趣小组探究勾股定理在折叠中的应用．如图长方形纸片，，，点为长方形纸片边上一动点，连结，将沿折叠，点落在点处． (1)的长为________． (2)如图①，当点在线段上时，求的长． (3)如图②，在（1）的条件下，当点与点重合时，沿将折叠得，与交于点，则的面积是________． 【答案】(1)5 (2) (3) 【分析】本题主要考查勾股定理，折叠的性质，矩形的性质，三角形全等的判断与性质，设要求的线段长为x，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程是解决问题的关键． （1）根据勾股定理求值即可； （2）根据折叠的性质得，再设，，再由勾股定理列方程求解即可； （3）根据折叠的性质得出，则，设，则，再由勾股定理列方程求解出，再由即可求出的面积． 【详解】（1）解：为长方形， 为直角三角形， ，， ． （2）由折叠可知，， ， ， 设， 则，， ， 在中，， 即， 整理得， 解得． 的长为． （3）由折叠可知，， ， 在和中， ， ， ， 设，则， 在中，， 即， 整理得， 解得， ， ，， ． 37．已知，分别为的边上的动点，将沿直线折叠，使点落在边上的点处，点的对应点为． (1)如图，当点落在的延长线上时，求证：四边形为平行四边形； (2)若，，，则的值为________； (3)若，，的面积为，求的取值范围． 【答案】(1)证明见解析； (2)； (3)． 【分析】（）由折叠性质得：，，，由四边形是平行四边形，得，，，然后证明，，则有，，从而求证； （）延长交于，证明四边形是菱形，设，则，则，由折叠性质可知，，然后利用直角三角形的性质得，由勾股定理得，最后用线段和差即可求解； （）当时，最小，当与重合时，最大，根据等面积法和勾股定理，求解的最小及最大值即可． 【详解】（1）证明：由折叠性质得：，，， ∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴四边形为平行四边形； （2）解：延长交于，如图， ∵四边形为平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形， ∵， ∴， 设，则， ∴， 由折叠性质可知：，， ∴， ∵， ∴， ∴， 由勾股定理得， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴＝； （3）解：求取值范围即是求取值范围，当时，最小， 作， ∵，的面积为， ∴， ∴， 设， ∴， ∴, ∴， 解得：， ∴的最小值为； 当与重合时，最大， 在中，， ∴， ∴， ∴最大值为， ∴． 【点睛】本题主要考查了翻折的性质，勾股定理，，全等三角形的判定与性质，菱形的判定，平行四边形的判定与性质，掌握知识点的应用是解题的关键． 38．已知矩形的一条边，是边上的一点，将矩形沿折痕折叠，使得顶点落在边上的点处，（如图1）． (1)求的长； (2) 擦去折痕，连接，设是线段上的一个动点（点与点，不重合）．是延长线上的一个动点，并且满足，过点作，垂足为，连接交于点（如图2）． ①若M是的中点，求的长； ②试问当点M、N在移动过程中，线段的长度是否发生变化？若变化，说明理由；若不变，求出线段的长度． 【答案】(1) (2)①；②当点、在移动过程中，线段的长度是不发生变化，长度为 【分析】（1）设，根据折叠可得，，利用勾股定理，在中，，即，即可解答； （2）①过点A作于点G，延长，取，连接， 根据勾股定理求出的长，由，所以，在中，证明，得出，，证明四边形为平行四边形，得出，说明H是的中点，根据中位线的性质得到即可； ②作，交于点Q，求出，，得出，根据，得出，根据，证出，得出，再求出，最后代入即可得出线段的长度不变． 【详解】（1）解：设，则，， 在中，， 即， 解得：， 即． （2）解：①如图2，过点A作于点G，延长，取，连接， 由（1）中的结论可得：，，， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∵M是的中点， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∴， ∴H是的中点， ∴． ②当点M、N在移动过程中，线段的长度是不发生变化； 作，交于点Q，如图3， ∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． ∵，， ∴． ∵， ∴， 在和中，， ∴． ∴， ∴． ∴当点M、N在移动过程中，线段的长度是不发生变化，长度为． 【点睛】此题考查了四边形综合，用到的知识点是全等三角形的判定与性质、勾股定理、等腰三角形的性质，矩形的性质，平行四边形的判定和性质，解题的关键是做出辅助线，找出全等三角形． 39．已知：如图1，正方形中，，点是对角线所在直线上一动点，连接，将沿折叠，得到，点的对应点为点，射线交直线于点，交边所在直线于点． (1)①求证：； ②求证：； (2)将沿折叠，得到，点的对应点为点． ①如图2，当点在对角线上，且时，求的度数： ②如图3，当点在延长线上，且时，连接，判断的形状，并说明理由； ③当点在同一直线上时，请直接写出以点为顶点的四边形面积． 【答案】(1)①证明过程见详解；②证明过程见详解； (2)①；②是等腰直角三角形；③ 【分析】（1）①根据正方形的性质可得，根据折叠的性质，可得，由此即可求证； ②根据正方形的性质可得，则有，由全等三角形的性质可得，由，即可求证； （2）①根据全等三角形的性质，折叠的性质，正方形的性质可得，，由平行线的性质可得，再由，即可求解； ②根据题意可证是等边三角形，是等腰三角形，得到，根据折叠的性质，三角形内角和定理可得，由此可得，由此即可求解； ③如图所示，点三点共线，连接与交于点，沿折叠得到，沿折叠得到，可得，，，由此可得，，由此即可求解． 【详解】（1）证明：①∵四边形是正方形，是对角线， ∴，， 在和中， ， ∴， ∵将沿折叠，得到， ∴， ∴； ②∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴在中，， ∴； （2）解：①由（1）可知， ∴， ∵将沿折叠，得到，点的对应点为点， ∴， ∴， ∵是正方形的对角线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； ②沿折叠得到，沿折叠得到， ∴， ∴，， ∵， ∴，则， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴是等边三角形，， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴，， ∴是等腰直角三角形； ③如图所示，点三点共线，连接与交于点，沿折叠得到，沿折叠得到， ∴，，， 由（1）可知，， ∴在中，， ∴， ∴， ∴，即， ∵四边形是正方形，， ∴，则， 在中，， ∵折叠， ∴， 由上述证明可得， 设，则， 在中，， ∴， 解得，， ∴， ∴， ∴，， ∴点为顶点的四边形面积为． 【点睛】本题主要考查正方形的性质，折叠的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理等知识的综合运用，掌握正方形的性质，折叠的性质，全等三角形的判定和性质是解题的关键． 40．人教版数学八年级下册教材的数学活动-----折纸，引起许多同学的兴趣．我们可以通过折纸开展数学探究，探索数学的奥秘． (1)如图1，对折矩形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展平；以为折痕再一次折叠纸片，使点A落在折痕上的点N处，把纸片展平；连接．观察图1中和，猜想这三个角的关系，并说明理由； (2)如图2，M为矩形纸片的边上的一点，连结，在上取一点P，折叠纸片，使B，P重合，展平纸片，得到折痕；折叠纸片，使点B、P分别落在上，展平纸片得到折痕l ， 折痕l与交于点O， 点B、P的对应点分别为G、N，连接．证明：； (3)如图3，矩形纸片中，， 点P是边上的动点，现将纸片折叠，使点A与点P重合，折痕与矩形边的交点分别为E，F，要使折痕始终与边有交点，直接写出的取值范围． 【答案】(1)，见解析 (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了折叠的性质，勾股定理，等边三角形的判定和性质，作出正确辅助线是解题的关键． （1）利用折叠的性质，可得是等边三角形，即可得到，即可证明； （2）连接，证明，可得，即可求得，即可解答； （3）当F、D重合时，的值最小，当E、B重合时，的值最大，利用折叠的性质和勾股定理即可解答． 【详解】（1）解： 理由如下： 由折叠可知：直线是线段的垂直平分线， ， 对折至，折痕为， ，， ， 是等边三角形， ， ∴， ∵四边形为矩形， ， ， ∴； （2）解：如图，连接， ∵四边形是矩形，是折痕， ， ∴， 由折叠的性质可知，，， 在和中， ， ， ∴ ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ （3）解： 如图，当F、D重合时，的值最小， 根据折叠的性质知：， 在中，， 则， 此时的最小值为； 如图，当E、B重合时，的值最大， 根据折叠的性质知：，即的最大值为4． 综上，． 1 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $