专题08 平方根（2知识点+7大题型+思维导图+过关测）-【暑假自学课】2025年新八年级数学暑假提升精品讲义（北师大版2024）

专题07 平方根 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材 学知识：教材精讲精析、全方位预习 练题型 强知识：7大核心考点精准练 第二步：记 串知识 识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测 稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点01 平方根 （1）定义:一般地，如果一个正数x的平方根等于a,即：那么数x就叫做a的平方根，记作，读作“正负根号a”, （2）表示方法：一个数a（a≧0）的平方根记作(a≧0)，读作根号a,“正负根号a”, （3）性质：一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0只有一个平方根，是它本身，负数没有平方根。 知识点02 开平方 （1）定义:求一个数a的平方根的运算，叫做开平方，a叫做被开方数； （2） （1） （2） （3） 区别：取值范围不同：中a为任意实数； 中a； 被开方数不同：中被开方数为； 中被开方数为a； 运算顺序不同：先平方再开方；先开方再平方。 联系：结果为非负数；中a≧0时，= 【题型1 平方根概念理解】 例题：（24-25七年级下·吉林·期中）下列各数中没有平方根的是（    ） A．π B． C．0 D． 【变式训练】 1．（24-25七年级下·河北唐山·阶段练习）下列说法正确的是（   ） A．的平方根是 B．的平方根是 C．负数有个平方根 D．正数只有个平方根 2．（24-25七年级下·吉林·期中）下列说法中，正确的是（   ） A．的平方根是 B．的算术平方根是 C．0的平方根与算术平方根都是0 D．带根号的数都是无理数 3．（22-23七年级下·天津东丽·阶段练习）下列说法正确的是（   ） A．4的平方根是2 B．的平方根是 C．的算术平方根是6 D．25的平方根是 【题型2 求一个数的平方根】 例题：（2025七年级下·河南安阳·专题练习）9的平方根是 【变式训练】 1．（24-25八年级上·广西桂林·期末） ． 2．（24-25七年级上·浙江金华·阶段练习）的平方根是 ；5的算术平方根是 ；的绝对值是 ． 3．（24-25八年级上·四川达州·期中）64的算术平方根是 ，的平方根是 ． 4．（24-25八年级上·山东青岛·阶段练习）的算术平方根是 ；的算术平方根是 ；的平方根是 ． 【题型3 已知一个数的平方根，求这个数】 例题：（24-25七年级下·甘肃陇南·期中）一个正数的平方根分别为和，则这个正数是 ． 【变式训练】 1．（24-25七年级下·辽宁大连·阶段练习）若一个正数的两个平方根分别是和，则 2．（24-25七年级下·湖北黄石·期中）已知一个正数的平方根分别是与，则这个数为 ． 3．（24-25七年级下·吉林·期中）已知一个正数的两个不同的平方根分别是与，则 ． 【题型4 求代数式的平方根】 例题：（24-25七年级下·河南信阳·期中）若，则的平方根为 ． 【变式训练】 1．（24-25八年级下·山东潍坊·期中）若，则的平方根是 ． 2．（23-24七年级下·山东滨州·期末）若x，y为实数，且与互为相反数，则的平方根为 ． 3．（23-24八年级上·四川巴中·阶段练习）若，求的平方根是 ． 【题型5 利用平方根解方程】 例题：（24-25七年级下·北京·阶段练习）求下列各式中的值． (1)； (2)． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·广东广州·阶段练习）解方程： (1) (2) 2．（24-25七年级下·新疆吐鲁番·期中）利用平方根的性质解下列方程． (1)； (2)． 3．（24-25七年级下·天津东丽·阶段练习）解方程 (1)； (2)． 【题型6 平方根的实际应用】 例题：（24-25七年级下·河南洛阳·阶段练习）如图，用两个边长为的小正方形拼成一个大的正方形． (1)大正方形的边长为 ； (2)若沿此大正方形边长的方向剪出一个长方形，能否使剪出的长方形纸片的长宽之比为且面积为？ 【变式训练】 1．（24-25七年级下·福建龙岩·阶段练习）数学活动课上，数学兴趣小组的几名同学探究用个面积为的小正方形纸片剪拼成一个面积为的大正方形．下面是他们探究的部分结果： (1)如图1，当时，拼成的大正方形的边长为___________； (2)如图2，当时，拼成的大正方形的边长为___________cm； (3)小李想沿着正方形纸片边的方向能否裁出一块面积为的长方形纸片，使它的长宽之比为？他能裁出吗？请说明理由． 2．（24-25七年级上·山东烟台·期末）观察正方形方格，每个小正方形的边长均是1． (1)如图1，求阴影正方形的面积和边长； (2)图2是的正方形方格，请在图2中画出长为的线段，并说明理由． 3．（23-24七年级下·河北保定·期末）如图，用两个面积为的小正方形纸片拼成一个大正方形． (1)求拼成的大正方形纸片的边长； (2)小丽想：若沿此大正方形纸片的边的方向剪出一个长方形，能否使剪出的长方形纸片的长、宽之比为且面积为？她不知能否剪得出来，正在发愁．小明见了说：“别发愁，一定能用一块面积大的纸片剪出一块面积小的纸片．”你同意小明的说法吗？你认为小丽能用这块纸片剪出符合要求的纸片吗？为什么？ 【题型7 算术平方根与平方根综合问题】 例题：（24-25七年级下·湖北黄石·期中）已知的平方根为，的算术平方根为． (1)求的值； (2)求的平方根． 【变式训练】 1．（24-25七年级下·甘肃定西·期中）已知一个正数的两个平方根分别是和． (1)求和的值； (2)若，求的算术平方根． 2．（24-25七年级下·福建龙岩·阶段练习）已知的平方根是，的平方根是． (1)求m，n的值； (2)求的平方根． 3．（24-25七年级下·陕西榆林·阶段练习）一个正数的两个不同的平方根分别是和． (1)求和的值； (2)求的算术平方根． 一、单选题 1．（24-25七年级下·贵州黔南·期中）用式子表示“9的平方根等于”正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·江苏宿迁·期末）下列说法正确的是（    ） A．是16的平方根 B．0没有平方根 C．25的平方根是5 D． 3．（24-25七年级下·云南昆明·阶段练习）若和为同一个正数的不同平方根，则的值为（   ） A． B．4 C． D．或 4．（2025七年级下·全国·专题练习）在数轴上有，两点分别表示实数和，且有与互为相反数，则的平方根为（   ） A． B． C．7 D． 5．（24-25八年级下·山西大同·阶段练习）做浮力实验时，小华用一根细线将一个铁块拴住，完全浸入盛满水的圆柱形溢水杯中，并用量筒量得从溢水杯中溢出的水的体积为，小华将铁块从溢水杯中拿出来后．量得溢水杯的水位下降了，则溢水杯内部的底面半径为（取3）（　　） A． B． C． D． 二、填空题 6．（24-25七年级下·广东广州·期中）平方根是的数是 ． 7．（23-24八年级上·陕西咸阳·阶段练习）的平方根是 ，的算术平方根是 ． 8．（24-25七年级下·北京·期中）一个正数的两个平方根分别是和，那么这个数是 ． 9．（23-24七年级下·广东江门·期中）若，则的平方根是 ． 10．（24-25七年级下·北京大兴·期中）物体自由下落时，下落的高度（单位：）可用公式来计算，其中，是重力加速度，取，（单位：）表示物体下落的时间．若一个小球从离地面的高处自由下落，则小球落到地面的时间是 ． 三、解答题 11．（24-25七年级下·全国·课后作业）求下列各数的平方根： (1)81； (2)； (3)1.69； (4)； (5)； (6) 12．（24-25七年级下·全国·课后作业）求下列各式中的值． (1)； (2)； (3)； (4)． 13．（24-25八年级上·内蒙古包头·阶段练习）小明家要买一批正方形地板砖铺地板，已知小明家的住房面积为，计划用400块．求每块地板砖的边长． 14．（24-25七年级上·全国·期末）已知的值是2，的算术平方根是4． (1)求a、b的值； (2)求的平方根． 15．（2025七年级下·全国·专题练习）（1）已知且，求的平方根； （2）已知的平方根是的立方根是3，求的算术平方根． 16．（24-25八年级上·贵州毕节·期中）如图，点A表示的实数为，点A沿数轴向右移动了2个单位长度到达点B，设点B表示的实数为m． (1)实数m的值为_________； (2)求的值； (3)若数轴上的C，D两点分别表示实数c和d，且与互为相反数，求的平方根． 11 / 11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题07 平方根 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材 学知识：教材精讲精析、全方位预习 练题型 强知识：7大核心考点精准练 第二步：记 串知识 识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测 稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点01 平方根 （1）定义:一般地，如果一个正数x的平方根等于a,即：那么数x就叫做a的平方根，记作，读作“正负根号a”, （2）表示方法：一个数a（a≧0）的平方根记作(a≧0)，读作根号a,“正负根号a”, （3）性质：一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0只有一个平方根，是它本身，负数没有平方根。 知识点02 开平方 （1）定义:求一个数a的平方根的运算，叫做开平方，a叫做被开方数； （2） （1） （2） （3） 区别：取值范围不同：中a为任意实数； 中a； 被开方数不同：中被开方数为； 中被开方数为a； 运算顺序不同：先平方再开方；先开方再平方。 联系：结果为非负数；中a≧0时，= 【题型1 平方根概念理解】 例题：（24-25七年级下·吉林·期中）下列各数中没有平方根的是（    ） A．π B． C．0 D． 【答案】D 【知识点】平方根概念理解 【分析】根据负数没有平方根，解答即可． 本题考查了平方根的特点，熟练掌握特点是解题的关键． 【详解】解：由负数没有平方根，得没有平方根，其余有， 故选：D． 【变式训练】 1．（24-25七年级下·河北唐山·阶段练习）下列说法正确的是（   ） A．的平方根是 B．的平方根是 C．负数有个平方根 D．正数只有个平方根 【答案】A 【知识点】平方根概念理解 【分析】本题考查了平方根，根据平方根的性质即可求解，掌握平方根的性质是解题的关键． 【详解】解：、的平方根是，该选项说法正确，符合题意； 、的平方根是，该选项说法错误，不合题意； 、负数没有平方根，该选项说法错误，不合题意； 、正数有个平方根，该选项说法错误，不合题意； 故选：． 2．（24-25七年级下·吉林·期中）下列说法中，正确的是（   ） A．的平方根是 B．的算术平方根是 C．0的平方根与算术平方根都是0 D．带根号的数都是无理数 【答案】C 【知识点】求一个数的算术平方根、求一个数的平方根、无理数 【分析】本题考查了实数的相关概念，注意带根号的数不一定是无理数，负数没有平方根． 根据平方根、算术平方根及无理数的定义逐一判断选项即可解答． 【详解】解：A、 的平方根是，故该选项错误； B、 的算术平方根是3，故该选项错误； C、 0的平方根与算术平方根都是0，故该选项正确； D、 带根号的数不一定都是无理数，如，故该选项错误． 故选C． 3．（22-23七年级下·天津东丽·阶段练习）下列说法正确的是（   ） A．4的平方根是2 B．的平方根是 C．的算术平方根是6 D．25的平方根是 【答案】D 【知识点】求一个数的算术平方根、求一个数的平方根 【分析】本题主要考查了求一个数的算术平方根和平方根，平方根的性质，掌握()的平方根为，算术平方根为，“正数有两个平方根，的平方根是，负数没有平方根”，能区分的平方根和的平方根是解题的关键．根据平方根和算术平方根定义进行求解即可． 【详解】解：A、 4的平方根是，结论错误，不符合题意； B、的平方根是，结论错误，不符合题意； C、没有算术平方根，结论错误，不符合题意； D、25的平方根是，结论正确，符合题意． 故选：D． 【题型2 求一个数的平方根】 例题：（2025七年级下·河南安阳·专题练习）9的平方根是 【答案】 【知识点】求一个数的平方根 【分析】本题考查求一个数的平方根，根据平方根的定义，进行求解即可． 【详解】解：9的平方根是； 故答案为：． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·广西桂林·期末） ． 【答案】 【知识点】求一个数的平方根 【分析】本题考查了求一个数的平方根，根据平方根的定义，即可求解． 【详解】解： 故答案为：． 2．（24-25七年级上·浙江金华·阶段练习）的平方根是 ；5的算术平方根是 ；的绝对值是 ． 【答案】 / 【知识点】求一个数的算术平方根、求一个数的平方根、求一个数的绝对值 【分析】此题考查求一个数的平方根，求算术平方根，求绝对值，根据定义依次解答即可． 【详解】解：的平方根是，5的算术平方根是；的绝对值是； 故答案为：；；． 3．（24-25八年级上·四川达州·期中）64的算术平方根是 ，的平方根是 ． 【答案】 8 【知识点】求一个数的算术平方根、求一个数的平方根 【分析】本题考查了算术平方根以及平方根．根据一个正数的平方根有两个，互为相反数，正的平方根为算术平方根，即可作答． 【详解】解：依题意，64的算术平方根是； ∵ ∴的平方根是 故答案为：；． 4．（24-25八年级上·山东青岛·阶段练习）的算术平方根是 ；的算术平方根是 ；的平方根是 ． 【答案】 2 【知识点】求一个数的算术平方根、求一个数的平方根 【分析】本题主要考查了算术平方根、平方根的定义，熟练掌握相关内容是解题的关键． 根据算术平方根、平方根的定义，即可进行解答． 【详解】解：的算术平方根是2； 的算术平方根是； 的平方根是． 故答案为：2，，． 【题型3 已知一个数的平方根，求这个数】 例题：（24-25七年级下·甘肃陇南·期中）一个正数的平方根分别为和，则这个正数是 ． 【答案】 【知识点】已知一个数的平方根，求这个数 【分析】此题主要考查了平方根的性质，正确得出a的值是解题关键．直接利用平方根的定义得出a的值，进而得出答案． 【详解】解：∵一个正数的两个平方根分别是：与， ∴， 解得：， 故， 则这个正数是：． 故答案为：． 【变式训练】 1．（24-25七年级下·辽宁大连·阶段练习）若一个正数的两个平方根分别是和，则 【答案】 【知识点】已知一个数的平方根，求这个数 【分析】本题考查了平方根的定义，根据一个正数的两个平方根互为相反数得出，求解即可，熟练掌握平方根的定义是解此题的关键． 【详解】解：∵一个正数的两个平方根分别是和， ∴， ∴， 故答案为：． 2．（24-25七年级下·湖北黄石·期中）已知一个正数的平方根分别是与，则这个数为 ． 【答案】9 【知识点】已知一个数的平方根，求这个数 【分析】本题考查了正数的平方根，且正数的平方根是互为相反数，熟练掌握这些知识是解题的关键． 根据一个正数的平方根有两个，且互为相反数，可得出a的值，继而得出这个数． 【详解】解：∵一个正数的平方根分别是与， ∴， 解得：， 则， ∴， 则这个数为9． 故答案为：9． 3．（24-25七年级下·吉林·期中）已知一个正数的两个不同的平方根分别是与，则 ． 【答案】3 【知识点】已知一个数的平方根，求这个数、解一元一次方程（一）——合并同类项与移项 【分析】本题考查平方根的性质、解一元一次方程，熟知一个正数有两个平方根，且互为相反数是解答的关键．先根据平方根的性质列方程，然后解方程即可求解． 【详解】解：∵一个正数的两个不同的平方根分别是与， ∴，解得， 故答案为：3． 【题型4 求代数式的平方根】 例题：（24-25七年级下·河南信阳·期中）若，则的平方根为 ． 【答案】 【知识点】利用算术平方根的非负性解题、求一个数的平方根、绝对值非负性 【分析】本题考查算术平方根和绝对值的非负性、求一个数的平方根．首先根据算术平方根具有非负性，以及任意一个数的绝对值都是非负数，求出的大小，然后代入求解即可． 【详解】解：， ，， ，， ， 的平方根为． 故答案为：． 【变式训练】 1．（24-25八年级下·山东潍坊·期中）若，则的平方根是 ． 【答案】 【知识点】利用算术平方根的非负性解题、求一个数的平方根、绝对值非负性 【分析】本题考查了非负数的性质，先根据绝对值和算术平方根的非负性求出m、n的值，然后代入计算，最后根据平方根的定义求解即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∴，， ∴， ∴的平方根是， 故答案为：． 2．（23-24七年级下·山东滨州·期末）若x，y为实数，且与互为相反数，则的平方根为 ． 【答案】 【知识点】利用算术平方根的非负性解题、求代数式的平方根 【分析】此题主要考查了非负数的性质以及平方根的定义．直接利用非负数的性质得出x，y的值，进而利用平方根的定义得出答案． 【详解】解：∵与互为相反数， ∴， ∴，， 解得：，， 则， 故的平方根为：． 故答案为：． 3．（23-24八年级上·四川巴中·阶段练习）若，求的平方根是 ． 【答案】 【知识点】利用算术平方根的非负性解题、求代数式的平方根 【分析】根据非负数的性质列出方程求出、的值，代入所求代数式计算即可． 【详解】解：根据题意得：，， 解得：，， ， 的平方根是． 故答案为： 【点睛】本题考查了非负数的性质与求代数式的平方根，即几个非负数的和为0，则每个非负数都是0．现阶段学习的非负数的形式主要有三种：，，（为正整数）． 【题型5 利用平方根解方程】 例题：（24-25七年级下·北京·阶段练习）求下列各式中的值． (1)； (2)． 【答案】(1)或 (2)或 【知识点】利用平方根解方程 【分析】本题主要考查了根据平方根求方程的解， 对于（1），先整理得，再开方得出答案； 对于（2），直接开方得，计算得出答案． 【详解】（1）解：整理，得， 开方，得或； （2）解：开方，得， 即或， 解得或． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·广东广州·阶段练习）解方程： (1) (2) 【答案】(1)， (2)， 【知识点】利用平方根解方程 【分析】本题考查了利用平方根的性质解方程． （1）先移项，然后利用平方根的性质解方程； （2）先两边同时除以2，再利用平方根的性质解方程． 【详解】（1）解：， ∴， 解得，； （2）解：， 或， 解得，． 2．（24-25七年级下·新疆吐鲁番·期中）利用平方根的性质解下列方程． (1)； (2)． 【答案】(1) (2)或 【知识点】利用平方根解方程 【分析】本题主要考查了求平方根的方法解方程，熟知求平方根的方法是解题的关键． （1）先把方程两边同时除以3，再把方程两边同时开平方即可得到答案； （2）先把常数项移到方程右边，再把方程两边同时开平方得到两个一元一次方程，解方程即可得到答案． 【详解】（1）解；∵， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴，即或， ∴或． 3．（24-25七年级下·天津东丽·阶段练习）解方程 (1)； (2)． 【答案】(1) (2)或． 【知识点】利用平方根解方程 【分析】本题主要考查了平方根的应用，熟练掌握平方根定义，是解题的关键． （1）先移项，然后方程两边同除以81，最后开平方即可； （2）直接开平方，解方程即可． 【详解】（1）解：， 移项得：， 方程两边同除以81得：， 开平方得：； （2）解：， 即， 开平方得：， 解得：或． 【题型6 平方根的实际应用】 例题：（24-25七年级下·河南洛阳·阶段练习）如图，用两个边长为的小正方形拼成一个大的正方形． (1)大正方形的边长为 ； (2)若沿此大正方形边长的方向剪出一个长方形，能否使剪出的长方形纸片的长宽之比为且面积为？ 【答案】(1) (2)不能，理由见解析 【知识点】算术平方根的实际应用、平方根的应用 【分析】本题考查了平方根的应用、算术平方根的应用，理解题意，正确列式计算是解此题的关键． （1）根据题意计算即可得解； （2）设长方形的长为，宽为，根据题意得出，求出，再结合题意判断即可得解． 【详解】（1）解：由题意可得，大正方形的边长为； （2）解：不能，理由如下： ∵长方形纸片的长宽之比为， ∴设长方形的长为，宽为， 由题意可得：， 解得：或（不符合题意，舍去）， ∴， ∴不能使剪出的长方形纸片的长宽之比为且面积为． 【变式训练】 1．（24-25七年级下·福建龙岩·阶段练习）数学活动课上，数学兴趣小组的几名同学探究用个面积为的小正方形纸片剪拼成一个面积为的大正方形．下面是他们探究的部分结果： (1)如图1，当时，拼成的大正方形的边长为___________； (2)如图2，当时，拼成的大正方形的边长为___________cm； (3)小李想沿着正方形纸片边的方向能否裁出一块面积为的长方形纸片，使它的长宽之比为？他能裁出吗？请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)能，理由见详解 【知识点】算术平方根的实际应用、平方根的应用 【分析】本题主要考查图形的探究、算术平方根等知识，解题关键是正确理解题意，灵活运用相关知识． （1）先得出时图形的面积，然后根据正方形的性质，求得边长； （2）先得出时图形的面积，然后根据正方形的性质，求得边长； （3）设长方形的长宽分别为，，，则根据面积可求得的值，易得，即可得到答案． 【详解】（1）解：∵， ∴即用2个面积为的小正方形纸片剪拼成一个面积为的大正方形， ∴大正方形的边长为； 故答案为：； （2）解：∵， ∴即用5个面积为的小正方形纸片剪拼成一个面积为的大正方形， ∴大正方形的边长为； 故答案为：； （3）解：能，理由如下： 设长方形纸片的长为，宽为， 则有：，解得，， ∵为长方形的长， ∴， ∴， 则长为， ∵， ∴能沿着正方形边的方向裁出一块面积为的长方形纸片，且它的长宽之比为． 2．（24-25七年级上·山东烟台·期末）观察正方形方格，每个小正方形的边长均是1． (1)如图1，求阴影正方形的面积和边长； (2)图2是的正方形方格，请在图2中画出长为的线段，并说明理由． 【答案】(1)5； (2)画图见解析；理由见解析 【知识点】平方根的应用、勾股定理与网格问题 【分析】题目主要考查算术平方根的应用及网格与勾股定理． （1）利用网格与勾股定理求出的平方即正方形的面积，再利用算术平方根即可求出边长的值． （2）利用网格与勾股定理画出的线段即可． 【详解】（1）解：因为， 所以阴影正方形的面积是5； 边长长为． （2）解：如图，线段就是长为的线段． 理由： 3．（23-24七年级下·河北保定·期末）如图，用两个面积为的小正方形纸片拼成一个大正方形． (1)求拼成的大正方形纸片的边长； (2)小丽想：若沿此大正方形纸片的边的方向剪出一个长方形，能否使剪出的长方形纸片的长、宽之比为且面积为？她不知能否剪得出来，正在发愁．小明见了说：“别发愁，一定能用一块面积大的纸片剪出一块面积小的纸片．”你同意小明的说法吗？你认为小丽能用这块纸片剪出符合要求的纸片吗？为什么？ 【答案】(1) (2)解：不同意小明的说法，我认为小丽不能用这块纸片剪出符合要求的纸片，理由见解析 【知识点】算术平方根的实际应用、平方根的应用、利用平方根解方程 【分析】本题考查平方根的实际应用，读懂题意，由算术平方根及平方根定义列式求解即可得到答案，读懂题意，由平方根定义列式求解是解决问题的关键． （1）根据题意，利用算术平方根列式求解即可得到答案； （2）设长方形纸片的长为，宽为，由题意得到求解即可得到答案． 【详解】（1）解：用两个面积为的小正方形纸片拼成一个大正方形， 大正方形的边长为； （2）解：不同意小明的说法；我认为小丽不能用这块纸片剪出符合要求的纸片． 理由如下： 设长方形纸片的长为，宽为，根据题意得，解得或（负值，舍去），即长方形的长为，宽为， ∵，不符合题意， ∴小丽不能用这块纸片剪出符合要求的纸片． 【题型7 算术平方根与平方根综合问题】 例题：（24-25七年级下·湖北黄石·期中）已知的平方根为，的算术平方根为． (1)求的值； (2)求的平方根． 【答案】(1) (2) 【知识点】求一个数的平方根、已知一个数的平方根，求这个数、求一个数的算术平方根 【分析】本题考查了平方根，算术平方根，根据题意正确列式是解题的关键． （1）由题得，求出，继而得到，求出； （2）由得到，再根据平方根的定义即可得到答案． 【详解】（1）解：的平方根为， ， ； 的算术平方根为， ， ； （2）解：， ， 的平方根为 【变式训练】 1．（24-25七年级下·甘肃定西·期中）已知一个正数的两个平方根分别是和． (1)求和的值； (2)若，求的算术平方根． 【答案】(1)， (2)3 【知识点】利用算术平方根的非负性解题、已知一个数的平方根，求这个数、求一个数的算术平方根 【分析】本题主要考查平方根、算术平方根的非负性及立方根． （1）根据平方根的意义可直接列方程求解； （2）由绝对值、算术平方根、偶次幂的非负性可求出的值，然后代入求解即可． 【详解】（1）依题意得：， 解得：， ； （2）∵ ∴， ∴， ， 的算术平方根为3． 2．（24-25七年级下·福建龙岩·阶段练习）已知的平方根是，的平方根是． (1)求m，n的值； (2)求的平方根． 【答案】(1) (2) 【知识点】求一个数的平方根、已知一个数的平方根，求这个数 【分析】本题考查平方根，熟练掌握其定义是解题的关键． （1）根据平方根的定义即可求得答案； （2）将（1）中结果代入中计算后根据平方根的定义即可求得答案． 【详解】（1）解：由题意，得， 解得， ∴ （2）解：， ， ， 的平方根为． 3．（24-25七年级下·陕西榆林·阶段练习）一个正数的两个不同的平方根分别是和． (1)求和的值； (2)求的算术平方根． 【答案】(1) (2)5 【知识点】求一个数的算术平方根、已知一个数的平方根，求这个数 【分析】本题主要考查平方根及算术平方根，熟练掌握平方根及算术平方根的意义是解题的关键； （1）根据平方根的意义可得，则可求出a的值，进而得出x的值即可； （2）把（1）中a、x的值代入进行求解即可． 【详解】（1）解：由题意得：， ∴， ∴， ∴； （2）解：由（1）可知：， ∴， ∴25的算术平方根为5． 一、单选题 1．（24-25七年级下·贵州黔南·期中）用式子表示“9的平方根等于”正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】平方根概念理解 【分析】本题考查了平方根，如果一个数x的平方等于a，那么x叫做a的平方根；根据平方根的定义和表示方法解答即可. 【详解】解：用式子表示“9的平方根等于”为； 故选：D. 2．（24-25八年级上·江苏宿迁·期末）下列说法正确的是（    ） A．是16的平方根 B．0没有平方根 C．25的平方根是5 D． 【答案】A 【知识点】求一个数的算术平方根、求一个数的平方根、平方根概念理解 【分析】本题主要考查的是算术平方根和平方根，掌握相关定义和性质是解题的关键．依据平方根和算术平方根的性质求解即可． 【详解】解：A．如果（），那么叫做的平方根．因为，所以是16的平方根，该选项说法正确，符合题意； B．因为，所以的平方根是，该选项说法错误，不符合题意； C．因为，所以25的平方根是，而不只是，该选项说法错误，不符合题意； D．表示49的算术平方根，算术平方根是非负的，因为，所以，而不是，该选项说法错误，不符合题意． 故选：A． 3．（24-25七年级下·云南昆明·阶段练习）若和为同一个正数的不同平方根，则的值为（   ） A． B．4 C． D．或 【答案】A 【知识点】已知一个数的平方根，求这个数 【分析】本题考查了平方根的运用，掌握平方根的计算是关键． 一个正数的平方根有两个，且这两个根互为相反数，由此即可求解． 【详解】解：若和为同一个正数的不同平方根， ∴， 解得，， 故选：A ． 4．（2025七年级下·全国·专题练习）在数轴上有，两点分别表示实数和，且有与互为相反数，则的平方根为（   ） A． B． C．7 D． 【答案】A 【知识点】绝对值非负性、利用算术平方根的非负性解题、求一个数的平方根 【分析】本题主要考查了平方根的定义，绝对值和算术平方根的非负性，先根据非负数的性质和相反数的定义求出，，得出，最后根据平方根定义求出结果即可． 【详解】解：∵与互为相反数， ∴， ∴，， 解得：，， ∴， ∵14的平方根为， ∴的平方根为． 故选：A 5．（24-25八年级下·山西大同·阶段练习）做浮力实验时，小华用一根细线将一个铁块拴住，完全浸入盛满水的圆柱形溢水杯中，并用量筒量得从溢水杯中溢出的水的体积为，小华将铁块从溢水杯中拿出来后．量得溢水杯的水位下降了，则溢水杯内部的底面半径为（取3）（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】平方根的应用 【分析】本题考查了平方根的应用，理解题意是解本题的关键． 由圆柱的体积公式求出底面半径即可． 【详解】解：设溢水杯内部的底面半径为， 根据题意得：，即， 即解得：或（舍去）， ∴溢水杯内部的底面半径约为． 故选：C． 二、填空题 6．（24-25七年级下·广东广州·期中）平方根是的数是 ． 【答案】 【知识点】平方根概念理解 【分析】本题考查平方根，根据平方根的定义求解即可． 【详解】解：∵， ∴的平方根是，即平方根是的是． 故答案为： 7．（23-24八年级上·陕西咸阳·阶段练习）的平方根是 ，的算术平方根是 ． 【答案】 【知识点】求一个数的算术平方根、求一个数的平方根 【分析】本题考查平方根和算术平方根计算．根据平方根和算术平方根定义直接计算即可得到本题答案． 【详解】解：∵的平方根是， ∵，即的算术平方根是， 故答案为：，． 8．（24-25七年级下·北京·期中）一个正数的两个平方根分别是和，那么这个数是 ． 【答案】81 【知识点】已知一个数的平方根，求这个数 【分析】本题考查了平方根，根据一个正数有两个平方根，且它们互为相反数得出，即可求出a的值，从而求出这个数． 【详解】解：根据题意得， 解得， ∴， ∴这个数是， 故答案为：81． 9．（23-24七年级下·广东江门·期中）若，则的平方根是 ． 【答案】 【知识点】利用算术平方根的非负性解题、求一个数的平方根 【分析】本题考查了非负数的性质：几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0．根据非负数的性质列方程求出a、b的值即可． 【详解】解：∵， ∴， ， 解得， ， ， 的平方根是， 故答案为：． 10．（24-25七年级下·北京大兴·期中）物体自由下落时，下落的高度（单位：）可用公式来计算，其中，是重力加速度，取，（单位：）表示物体下落的时间．若一个小球从离地面的高处自由下落，则小球落到地面的时间是 ． 【答案】 【知识点】利用平方根解方程 【分析】本题考查利用算术平方根的性质解方程，通过代入已知量到自由下落公式，关键步骤是正确代入数值并解方程，舍去不符合实际的负解．根据题目给出的自由下落公式，将已知高度和重力加速度代入，利用算术平方根的性质解方程求出下落时间． 【详解】解：由题意将，， 代入公式，可得：， 化简得：， 表示物体下落的时间， ，即小球落到地面的时间是． 故答案为：． 三、解答题 11．（24-25七年级下·全国·课后作业）求下列各数的平方根： (1)81； (2)； (3)1.69； (4)； (5)； (6) 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) 【知识点】求一个数的平方根 【分析】此题考查了求平方根． （1）根据平方根的定义进行解答即可； （2）根据平方根的定义进行解答即可； （3）根据平方根的定义进行解答即可； （4）根据平方根的定义进行解答即可； （5）根据平方根的定义进行解答即可； （6）根据平方根的定义进行解答即可． 【详解】（1）解：， ∴81的平方根是． （2） ∴的平方根是． （3）， ∴1.69的平方根是． （4） ∴的平方根是． （5）， 的平方根是． （6） ∴的平方根是． 12．（24-25七年级下·全国·课后作业）求下列各式中的值． (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4)或 【知识点】利用平方根解方程 【分析】本题考查利用平方根解方程．熟练掌握求一个数的平方根是解题的关键，注意整体思想的运用． （1）直接求361的平方根即可； （2）先变形为，再求平方根即可； （3）先变形为，再求平方根即可； （4）先变形为，然后把看成一个整体，求平方根得，再解一元一次方程，即可求解． 【详解】（1）解：， ， 即； （2）解：， ， ， 即； （3）解：， ， ， 即； （4）解：， ， ， 当时，； 当时，． 综上所述，或． 13．（24-25八年级上·内蒙古包头·阶段练习）小明家要买一批正方形地板砖铺地板，已知小明家的住房面积为，计划用400块．求每块地板砖的边长． 【答案】 【知识点】利用平方根解方程、平方根的应用 【分析】此题主要考查了平方根的应用，正确表示出总面积是解题关键．根据正方形的性质结合总面积为得出方程求解即可． 【详解】解：设需要的地板砖的边长是，根据题意可得： ， 解得：或（不合题意，舍去）， 答：需要的地板砖的边长是． 14．（24-25七年级上·全国·期末）已知的值是2，的算术平方根是4． (1)求a、b的值； (2)求的平方根． 【答案】(1)， (2) 【知识点】求一个数的算术平方根、求一个数的平方根 【分析】本题考查了算术平方根，掌握运算法则是解题关键． （1）根据的值是2，求出，再根据的算术平方根是4，得，解出b值即可； （2）将a，b的值代入计算即可． 【详解】（1）解：∵的值是2，的算术平方根是4． ∴，， ∴，； （2）解：∵， ∴的平方根为：． 15．（2025七年级下·全国·专题练习）（1）已知且，求的平方根； （2）已知的平方根是的立方根是3，求的算术平方根． 【答案】（1）0；（2）12 【知识点】已知一个数的平方根，求这个数、求一个数的算术平方根、求一个数的平方根 【分析】本题考查平方根、算术平方根、立方根、绝对值： （1）先根据已知条件判断出与y的数量关系，进而求出的平方根； （2）先根据平方根、立方根的定义得出，解方程组求出x，y的值，进而求出的值，再根据算术平方根的定义求解． 【详解】解：（1） 或． 且， ， ， ， 的平方根是0． （2）由题意可知，， 解得， ． ， 的算术平方根是12． 16．（24-25八年级上·贵州毕节·期中）如图，点A表示的实数为，点A沿数轴向右移动了2个单位长度到达点B，设点B表示的实数为m． (1)实数m的值为_________； (2)求的值； (3)若数轴上的C，D两点分别表示实数c和d，且与互为相反数，求的平方根． 【答案】(1) (2)4 (3) 【知识点】绝对值非负性、求一个数的平方根、数轴上两点之间的距离、带有字母的绝对值化简问题 【分析】（1）根据两点间的距离公式可得答案； （2）由（1）可知，则可得出，，再利用绝对值的性质化简绝对值号，继而求得答案； （3）根据非负数的性质求出，，或，．的值，再代入，进而求其平方根． 【详解】（1）解： （2）解：因为，则，， 所以 （3）解：因为与互为相反数， 所以， 所以，， 解得，，或，． ①当，时，， 所以无平方根． ③当，时，， 所以的平方根为． 综上，的平方根为． 【点睛】本题考查了实数与数轴、绝对值的性质、相反数的性质、非负数的性质、求一个数的平方根等，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 11 / 11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$null