专题07 算术平方根（2知识点+7大题型+思维导图+过关测）-【暑假自学课】2025年新八年级数学暑假提升精品讲义（北师大版2024）

专题07 算术平方根 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材 学知识：教材精讲精析、全方位预习 练题型 强知识：7大核心考点精准练 第二步：记 串知识 识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测 稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点01 算术平方根 （1）定义：一般地，如果一个正数x的平方根等于a,即：那么这个正数x就叫做a的算术平方根，记作，读作“根号a”, （2）表示方法：非负数a的算术平方根记作，读作根号a, （3）性质：①正数只有一个算术平方根，并且恒为正；②0的算术平方根为0，即；③负数没有算术平方根，当式子有意义时，a一定是一个非负数。 知识点02 开平方 （1）定义:求一个数a的平方根的运算，叫做开平方，a叫做被开方数； （2） （1） （2） （3） 区别：取值范围不同：中a为任意实数； 中a； 被开方数不同：中被开方数为； 中被开方数为a； 运算顺序不同：先平方再开方；先开方再平方。 联系：结果为非负数；中a≧0时，= 【题型1 算术平方根概念理解】 例题：（24-25七年级下·湖南邵阳·期中）下列说法正确的是（    ） A．表示25的算术平方根 B．表示2的算术平方根 C．2的算术平方根记作 D．2是的算术平方根 【答案】A 【知识点】求一个数的算术平方根 【分析】本题考查了算术平方根的定义，根据算术平方根的意义可得答案． 【详解】A、表示25的算术平方根，故A正确； B、不是2的算术平方根，故B错误； C、2的算术平方根为，故C错误； D、是2的算术平方根，故D错误； 故选：A． 【变式训练】 1．（24-25七年级下·安徽亳州·阶段练习）算术平方根是它本身的数是（    ） A．0和1 B．1和 C．2和 D．0和 【答案】A 【知识点】求一个数的算术平方根 【分析】本题考查算术平方根，根据算术平方根的性质，进行判断即可． 【详解】解：算术平方根是它本身的数是0和1； 故选A． 2．（合肥市新站区七下数学月考卷沪科版）如果有算术平方根，那么可以取的值为（   ） A．3 B．2 C．1 D．0 【答案】D 【知识点】求一个数的算术平方根 【分析】本题主要考查了平方根的定义，解题的关键是掌握一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数，零的平方根是零，负数没有平方根．根据负数没有平方根，即可解答此题． 【详解】解：∵有算术平方根， ∴， 解得：， 可以取的值为0． 故选：D． 3．（23-24八年级下·山东聊城·期中）下列各数没有算术平方根的是（    ） A．0 B． C． D． 【答案】C 【知识点】求一个数的算术平方根 【分析】本题考查了算术平方根的定义，分别计算出选项B、C、D中的数值，根据负数没有算术平方根解答即可． 【详解】解：，，根据负数没有算术平方根得C选项符合题意． 故选：C． 【题型2 求一个数的算术平方根】 例题：（24-25七年级下·黑龙江哈尔滨·期中）的算术平方根是 ． 【答案】 【知识点】求一个数的算术平方根 【分析】本题考查了算术平方根的意义，一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x2=a，那么这个正数x叫做a的算术平方根．正数a有一个正的算术平方根， 0的算术平方根是0，负数没有算术平方根．根据算术平方根的定义，即可求解． 【详解】解：的算术平方根是 故答案为：． 【变式训练】 1．（24-25七年级下·重庆·期中）4的算数平方根是 ． 【答案】 【知识点】求一个数的算术平方根 【分析】本题考查了求算术平方根，解题的关键是掌握算术平方根的非负性，根据正数的算术平方根为正数即可求解． 【详解】解：4的算数平方根是， 故答案为：． 2．（24-25八年级上·江苏连云港·期中）计算 的结果为 ． 【答案】6 【知识点】求一个数的算术平方根 【分析】本题考查了求一个数的算术平方根，熟练掌握知识点是解题的关键．根据算术平方根的定义即可求解． 【详解】解：， 故答案为：6． 3．（24-25八年级上·河南周口·期中）计算： ． 【答案】 【知识点】求一个数的算术平方根 【分析】本题考查了利用一个数的算术平方根的定义进行化简，熟练掌握知识点是解题的关键．根据的算术平方根是，进行解答即可． 【详解】解：∵的算术平方根是， ∴， ∴． 故答案为：． 4．（23-24八年级下·江西九江·期末）的算术平方根是 ． 【答案】 【知识点】求一个数的算术平方根 【分析】此题考查了求算术平方根，根据算术平方根的定义得到，，即可得到答案． 【详解】解：∵，， ∴的算术平方根是， 答案为： 5．（22-23八年级上·河南驻马店·期中）的算术平方根是 ． 【答案】 【知识点】求一个数的算术平方根 【分析】本题考查了算术平方根，熟练掌握算术平方根的概念是解题的关键． 先计算，然后计算9的算术平方根即可得出答案． 【详解】，9的算术平方根为 的算术平方根为． 故答案为：． 【题型3 利用算术平方根的非负性解题】 例题：（2025·云南西双版纳·二模）若，则的值为 ． 【答案】 【知识点】绝对值非负性、利用算术平方根的非负性解题 【分析】本题主要考查了非负性的性质，几个非负数的和为0，那么这几个非负数都为0，据此可得，求出m、n的值，即可得到答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式训练】 1．（2025七年级下·河南·专题练习）已知x、y是实数，，则的值是 ． 【答案】 【知识点】利用算术平方根的非负性解题、已知字母的值 ，求代数式的值 【分析】本题考查了非负数的性质和代数式求值．解题的关键是掌握非负数的性质：几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0． 根据非负数的性质列出方程求出x、y的值，代入所求代数式计算即可． 【详解】解：∵， ∴，， 解得，， 则． 故答案为：． 2．（2025·四川宜宾·二模）若，是实数，且，则的值为 ． 【答案】1 【知识点】绝对值非负性、利用算术平方根的非负性解题、已知字母的值 ，求代数式的值 【分析】本题考查了非负数的性质，根据非负数的性质列出方程求出未知数的值，再代入所求代数式计算即可．掌握几个非负数的和为0，则这几个非负数分别等于0，并正确得出未知数的值是解题的关键． 【详解】解：， ，， ，， ． 故答案为：1． 3．（24-25七年级下·河南周口·期中）已知m，n满足，那么 ． 【答案】0.5/ 【知识点】求一个数的算术平方根、利用算术平方根的非负性解题 【分析】此题主要考查了非负数的性质，正确把握算术平方根和绝对值的定义是解题的关键．直接利用算术平方根的性质以及绝对值的性质得出m，n的值，进而得出答案． 【详解】解：∵， ∴，， 解得：，， ∴， 故答案为： 【题型4 求算术平方根的整数部分和小数部分】 例题：（23-24八年级下·河北廊坊·阶段练习）已知的整数部分是，小数部分是，则 ， ． 【答案】 【知识点】求算术平方根的整数部分和小数部分 【分析】根据的取值范围，根据整数部分和小数部分的定义，即可求解， 本题考查了，求算术平方根的整数部分和小数部分，解题的关键是：熟练掌握相关定义． 【详解】解：∵的整数部分是，小数部分是，， ∴，， 故答案为：，． 【变式训练】 1．（24-25七年级上·山东泰安·阶段练习）的整数部分是 ．小数部分是 ． 【答案】 3 【知识点】估计算术平方根的取值范围、求算术平方根的整数部分和小数部分 【分析】根据算术平方根的整数部分和小数部分求解的方法直接进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴的整数部分为3， ∴的小数部分为； 故答案为3，． 【点睛】本题主要考查算术平方根，熟练掌握求一个算术平方根的整数部分和小数部分是解题的关键． 2．（24-25七年级下·甘肃定西·阶段练习）若的整数部分为，小数部分为，则 ， ． 【答案】 【知识点】求算术平方根的整数部分和小数部分 【分析】根据首先确定的值，则小数部分即可确定． 【详解】解：， ， 则． 故答案是：3，． 【点睛】本题主要考查了无理数的估算，解题的关键是确定无理数的整数部分即可解决问题． 3．（23-24八年级下·河北廊坊·阶段练习）已知的整数部分是，小数部分是，则 ， ． 【答案】 【知识点】求算术平方根的整数部分和小数部分 【分析】根据的取值范围，根据整数部分和小数部分的定义，即可求解， 本题考查了，求算术平方根的整数部分和小数部分，解题的关键是：熟练掌握相关定义． 【详解】解：∵的整数部分是，小数部分是，， ∴，， 故答案为：，． 【题型5 利用算术平方根的性质化简】 例题：（24-25八年级下·广东广州·期中）已知：实数a，b在数轴上的位置如图所示，化简：． 【答案】 【知识点】根据点在数轴的位置判断式子的正负、求一个数的算术平方根、带有字母的绝对值化简问题 【分析】先判断，，，，后化简计算即可． 本题考查了数轴上字母表示数，绝对值的化简，熟练掌握实数的大小比较，绝对值的化简是解题的关键． 【详解】 解：根据， ∴，，，，， ∴ ， ． 【变式训练】 1．（2025八年级下·湖北·专题练习）实数a，b，c在数轴上对应的点的位置如图所示，则化简得 ． 【答案】 【知识点】根据点在数轴的位置判断式子的正负、带有字母的绝对值化简问题、求一个数的算术平方根 【分析】本题主要考查了数轴，化简绝对值和求一个数的算术平方根，先根据数轴得到，，，据此化简绝对值和计算算术平方根，再根据整式的加减计算法则求解即可． 【详解】解：由数轴可知，，， ∴原式 ， 故答案为：． 2．（24-25七年级下·湖南湘西·阶段练习）有理数a、b、c在数轴上的位置如图： (1)用“>”或“<”填空：_______0，_______0，_______0， (2)化简：． 【答案】(1)<，<，> (2) 【知识点】求一个数的算术平方根、整式的加减运算、实数与数轴 【分析】本题考查根据数轴判断式子的符号，化简绝对值，整式的加减运算： （1）由数轴可得，由此可解； （2）根据（1）中结论去绝对值，再合并同类项即可． 【详解】（1）解：由数轴可得， 因此，，， 故答案为： ；；． （2）解：∵， ∴，， ∴ ． 3．（24-25七年级下·安徽亳州·阶段练习）探究发散： (1)完成下列填空①，②，③___________． ④，⑤，⑥___________． (2)根据上述计算结果，若，则___________． (3)利用你发现的规律完成下题：有理数在数轴上的位置如图所示． 化简： 【答案】(1)； (2) (3) 【知识点】求一个数的算术平方根、整式的加减运算、带有字母的绝对值化简问题 【分析】（1）先确定乘方的符号，再计算算术平方根即可； （2）结合（1）中计算可知，不一定等于a，并发现其中规律即可； （3）由a、b、c在数轴上的位置可知，，，进而判断式子正负，再结合（2）所得规律化简算术平方根，同时去绝对值符号，再合并同类项即可． 【详解】（1）解：③；⑥； （2）解：由（1）总结归纳可得： 当，则； （3）解：由数轴可得：，， ∴，，， ∴ ． 【点睛】本题考查了算术平方根、数轴、相反数和绝对值，整式的加减运算等知识，熟练掌握相关性质和运算法则是解题关键． 【题型6 与算术平方根有关的规律探索题】 例题：（2025七年级下·全国·专题练习）按要求填空： (1)填表并观察规律： a 4 400 (2)根据你发现的规律填空： 已知：，则______； 已知：，，则______； (3)从以上问题的解决过程中，你发现了什么规律，试简要说明． 【答案】(1)见解析 (2)，68 (3)求一个数的算术平方根时，当被开方数的小数点向左（或右）每移动2位，则它的算术平方根的小数点向左（或右）移动1位 【知识点】与算术平方根有关的规律探索题 【分析】本题考查了与算术平方根有关的规律问题，熟练掌握算术平方根的性质是解题关键． （1）先求出每个数的算术平方根，再填表即可； （2）根据（1）可得规律：求一个数的算术平方根时，当被开方数的小数点向左（或右）每移动2位，则它的算术平方根的小数点向左（或右）移动1位，由此即可得； （3）根据（1）解题过程找出规律即可． 【详解】（1）解：∵，，，， ∴，，，， 填表如下： 4 400 2 20 （2）解：由（1）可知，求一个数的算术平方根时，当被开方数的小数点向左（或右）每移动2位，则它的算术平方根的小数点向左（或右）移动1位， ∵， ∴被开方数的小数点向右移动2位得到580，则它的算术平方根的小数点向右移动1位，即； ∵，， ∴将被开方数的小数点向右移动4位即可得到， ∴； 故答案为：，68． （3）解：从以上问题的解决过程中，发现的规律：求一个数的算术平方根时，当被开方数的小数点向左（或右）每移动2位，则它的算术平方根的小数点向左（或右）移动1位． 【变式训练】 1．（2025七年级下·全国·专题练习）计算探究题： (1)①______，___________，______； ②对于任意负数a，等于多少？ (2)根据上面发现的规律，求的算术平方根． 【答案】(1)①，11，13；② (2) 【知识点】与算术平方根有关的规律探索题 【分析】此题主要考查了算术平方根的计算以及规律的探究，根据已知能准确归纳探究结果并能运用其正确化简是解题的关键，此题重点培养学生的归纳应用能力． （1）①分别计算各式的值即可；②根据算术平方根的定义进行计算即可； （2）根据（1）中的结论进行化简即可． 【详解】（1）解：①，，， 故答案为：，11，13； ②， ； （2）解：由题意得： 2．（24-25七年级下·广东东莞·阶段练习）（1）填表： … 1 100 10000 … … 100 … （2）利用上表中的规律，解决下列问题：已知，，则的值为 ； （3）当时，比较和的大小． 【答案】（1）填表见解析；（2）；（3）当时，；当时，；当或时，； 【知识点】与算术平方根有关的规律探索题 【分析】本题考查了实数的大小比较，算术平方根的规律探究，弄清题中的规律是解题的关键． （1）根据算术平方根的含义填表即可； （2）根据表格得出规律，再利用得出的规律求出a的值即可； （3）分类讨论a的范围，再比较大小即可． 【详解】解：（1）填表如下： … 1 100 10000 … … 100 … （2）观察表格可得规律：当被开方数a的小数点向左或向右移动2位，它的算术平方根的小数点相应地向左或向右移动1位； ，， 即从19到1900小数点向右移动2位，则a的小数点向右移动了4位 ； （3）根据题意得：当时，； 当时，； 当或时，； 3．（24-25七年级下·广东汕头·阶段练习）观察表格并回答下列问题． … 0.0001 0.01 1 100 10000 … … 0.01 x 1 y 100 … (1)表格中______，______； (2)由表格中数据，归纳总结：被开方数的小数点每向右移动2位，相应的算术平方根的小数点就向______移动______位； (3)①已知，则______； ②已知，，求m的值． 【答案】(1)0.1，10 (2)右，一 (3)①0.245；②600 【知识点】求一个数的算术平方根、与算术平方根有关的规律探索题 【分析】本题考查数式规律问题、算术平方根的定义等知识点，从表格数据总结出数式变化规律是解题的关键． （1）利用算术平方根的定义即可得出答案； （2）①根据表格中数据总结规律，继而求得答案； （3）①根据表格中数据总结规律，继而求得答案； ②根据表格中数据总结规律，继而求得答案． 【详解】（1）解：根据算术平方根的定义得， ， 故答案为：0.1，10； （2）解：由根据题意，由表格中数据可得，被开方数的小数点每往右移动两位， 则它的算术平方根的小数点就向右移动一位， 故答案为：右，一； （3）解：①∵， ∴， 故答案为：0.245； ②∵， ∴根据表格中数据总结规律可知，0.03464的小数点向右移动了3位得到34.64， ∴由上述表格可知被开方数0.0012小数点需要向右移动6个单位得到2m， 解得，， ∴的值为600． 【题型7 算术平方根的实际应用】 例题：（24-25七年级下·陕西安康·期中）希望工程活动开展以来，爱心人士张叔叔一直在资助家庭困难的小明同学．为了表达感谢，小明同学亲手绘制了一幅面积为的正方形书画作品，准备通过快递邮寄给张叔叔．已知快递站的一种长方形包装袋的长、宽之比为，面积为． (1)求这种长方形包装袋的长和宽； (2)请通过计算判断小明同学能否在不折叠书画作品的前提下，使用该包装袋进行邮寄． 【答案】(1)长方形包装袋的长为，宽为 (2)能，见解析 【知识点】算术平方根的实际应用 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程组，再求解． （1）设长方形包装袋的长为，宽为，由题意得，求解即可； （2）面积为的正方形书画作品的边长是，再进行比较即可． 【详解】（1）解：包装袋的长、宽之比为， 设长方形包装袋的长为，宽为， 由题意得， （负值舍去）， ，， 长方形包装袋的长为，宽为； （2）解：面积为的正方形书画作品的边长是． ， 包装袋的宽大于正方形书画作品的边长， 小明能将这幅书画作品不折叠就放入此包装袋进行邮寄． 【变式训练】 1．（24-25七年级下·山西忻州·期中）《清秘藏》是明代所著工艺美术鉴赏著作，其中所述的刺绣在中国经过长时间的发展，已经形成了极高的工艺水平和独特的工艺门类．现有一张长方形绣布，长、宽之比为，绣布面积为．求绣布的周长． 【答案】 【知识点】算术平方根的实际应用 【分析】本题考查了算术平方根的应用，设绣布的长为，宽为，根据题意列出方程，解方程，即可求解． 【详解】解：设绣布的长为，宽为，根据题意， 得，即， ， ， ， 绣布的长为，宽为， 周长为， 答：绣布的周长为． 2．（24-25七年级下·安徽池州·期中）为了装饰房间，小明制作了一个面积为的正方形拼图．他准备把这个拼图装进一个长方形相框中，这个长方形相框的长和宽之比为，且面积为． (1)求长方形相框的长和宽． (2)小明能将拼图放入这个相框中吗？请通过计算说明． 【答案】(1)长方形相框的长为，宽为． (2)小明不能将拼图放入这个相框中，理由见解析 【知识点】算术平方根的实际应用 【分析】本题考查算术平方根的应用，以及无理数的估算，解题的关键是掌握由算术平方根的定义求出正方形拼图的边长． （1）设长方形相框的长为，宽为，根据面积为列方程求解即可； （2）先求出正方形拼图的边长，然后与相框的宽比较即可． 【详解】（1）解：设长方形相框的长为，宽为， 由题意得， ， ． 答：长方形相框的长为，宽为． （2）解；面积为的正方形拼图的边长是， ， ， ，即相框的宽小于正方形拼图的边长， 小明不能将拼图放入这个相框中． 3．（24-25七年级下·广东东莞·期中）如图，用两个面积为的小正方形剪拼成一个大的正方形． (1)则大正方形的边长是_________； (2)若沿此大正方形边的方向剪出一个长方形，能否使剪出的长方形纸片的长宽之比为，且面积为，若能，试求出剪出的长方形纸片的长宽；若不能，试说明理由． （参考数据：） 【答案】(1)4 (2)不能，理由见解析 【知识点】算术平方根的实际应用 【分析】本题考查算术平方根的实际应用： （1）求出大正方形的面积，再开方求出边长即可； （2）设长方形纸片的长为，宽为，求出长方形的长和宽，与正方形的边长进行比较即可得出结果． 【详解】（1）解：由题意，大正方形的面积为， ∴大正方形的边长：； 故答案为：4； （2）设长方形纸片的长为，宽为， 则， 解得：（负值已舍掉）， ， 所以沿此大正方形边的方向剪出一个长方形，不能使剪出的长方形纸片的长宽之比为，且面积为． 一、单选题 1．（24-25七年级下·陕西榆林·期中）如果实数a有算术平方根，那么a的值可以为（   ） A． B． C． D．0 【答案】D 【知识点】求一个数的算术平方根 【分析】本题主要考查二次根式有意义的条件，根据题意得到即可． 【详解】解：∵实数a有算术平方根， ∴， 故选：D． 2．（24-25八年级下·广西防城港·期中）已知，则值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】利用算术平方根的非负性解题、已知字母的值 ，求代数式的值 【分析】本题考查二次根式有意义的条件，代数式求值，熟练掌握二次根式有意义的条件是解题的关键．先根据二次根式有意义的条件得出且，得出，再进行求值即可． 【详解】解：∵， ∴且， 得， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 3．（24-25七年级下·贵州黔南·期中）如图是一个数值转换器，当按照程序输入时，输出的y值是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】求一个数的算术平方根、无理数 【分析】本题考查求一个数的算术平方根，无理数的定义，先取的算术平方根，即求9的算术平方根；再判断9的算术平方根是无理数还是有理数，如果是无理数，直接输出即可，如果是有理数，继续求算术平方根，据此解答即可． 【详解】解：依题意，3为有理数， ∴把输入，得，为无理数， ∴输出的的值是． 故选：C． 4．（24-25八年级下·广东中山·期中）若实数、满足，且、恰好是的两条边长，则第三条边长为（   ） A． B． C．或 D． 【答案】C 【知识点】用勾股定理解三角形、绝对值非负性、利用算术平方根的非负性解题 【分析】本题主要考查了勾股定理，非负数的性质，熟练掌握勾股定理是解题关键． 根据非负数的性质分别求出、的值，分是直角边、是斜边两种情况，根据勾股定理计算即可求解． 【详解】解：， ，， 解得：，， 当是直角边时，斜边长， 当是斜边，则第三条边长， 综上所述，第三条边长为或． 故选：C． 5．（24-25七年级下·山东临沂·期中）将1，，，按如图方式排列，若规定表示第m排从左向右第n个数，则与表示的两数之和是（   ） A．2 B． C． D． 【答案】D 【知识点】与算术平方根有关的规律探索题 【分析】本题考查实数运算中的规律探究．由图可知，第排有个数，以、、、四个数字为一组进行循环，前排共有个数字，进而确定与的数字，求和即可． 【详解】解：由图可知：第一排： 1 个数，第二排 2 个数，第三排 3 个数，第四排 4 个数，第排有个数，从第一排到第排共有：个数，且每四个数一个轮回，表示第3排第1个数，为， ∵前20排共有个数， ∴表示第21排第2个数即第212个数， ， ∴表示的数为， ∴与表示的两数之和是； 故选：D． 二、填空题 6．（甘肃省临夏州2024-2025学年下学期5月考七年级数学试题） ． 【答案】3 【知识点】求一个数的算术平方根 【分析】本题考查了求一个数的算术平方根，掌握算术平方根的定义是解题的关键． 根据一个数的平方根中，正的平方根叫做算术平方根，即可求解． 【详解】解：， 故答案为：3． 7．（24-25八年级下·甘肃定西·期中）已知、满足，则 ． 【答案】 【知识点】利用算术平方根的非负性解题、利用平方根解方程、运用完全平方公式进行运算 【分析】本题主要考查了非负数的性质，求平方根的方法解方程，完全平方公式，根据非负数的性质可推出，据此求出a、b的值即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 8．（24-25八年级下·全国·单元测试）已知、在数轴上的位置如图所示，化简的结果是 ． 【答案】 【知识点】根据点在数轴的位置判断式子的正负、利用算术平方根的非负性解题、带有字母的绝对值化简问题、整式的加减运算 【分析】本题考查了利用数轴判断代数式的大小，绝对值、算术平方根的意义以及整式的加减，熟练掌握绝对值、算术平方根的意义是解答本题的关键． 由数轴可得，，然后利用绝对值、算术平方根的意义以及整式的加减进行化简即可． 【详解】解：由数轴可得，， ∴， 故答案为：． 9．（2025·黑龙江哈尔滨·模拟预测）观察下列等式：，，，，第10个式子可表示为 ． 【答案】 【知识点】数字类规律探索、求一个数的算术平方根 【分析】观察所给的等式，得到第个式子为，然后利用规律解答即可． 【详解】解：∵第个式子为， 第个式子为， 第个式子为， 第个式子为， ， 第个式子为， ∴第10个式子为， 故答案为：． 10．（22-23八年级上·湖南郴州·期末）定义为不大于x的最大整数，如，，，则满足，则的最大整数为 ． 【答案】35 【知识点】求算术平方根的整数部分和小数部分、已知一个数的平方根，求这个数 【分析】根据题意可知，然后利用平方运算进行计算即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴的最大整数为35． 故答案为：35． 【点睛】本题主要考查了算术平方根，根据题目得出是解此题的关键． 三、解答题 11．（24-25七年级下·四川广安·阶段练习）求下列各式的值： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4)15 【知识点】求一个数的算术平方根 【分析】本题考查了算术平方根以及二次根式的运算，解题的关键是理解平方根和算术平方根的定义，以及掌握二次根式的运算规则． （1）根据算术平方根的定义分别计算； （2）根据算术平方根的定义分别计算； （3）根据算术平方根的定义分别计算； （4）先计算根号内的数值，再求算术平方根． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 12．（24-25七年级下·广西河池·期中）已知，，是9的算术平方根，求的值． 【答案】11 【知识点】求一个数的算术平方根、已知一个数的平方根，求这个数、已知字母的值 ，求代数式的值 【分析】本题考查算术平方根、平方根，解答本题的关键是明确它们各自的含义和计算方法．根据，，z是9的算术平方根，可以求得x、y、z的值，从而可以解答本题． 【详解】解：∵，，z是9的算术平方根， ∴，，， ∴．　　 13．（2025七年级·全国·专题练习）有一个数值转换器，其工作原理如下图所示． (1)若输入x的值是256，则输出y的值是_______； (2)若输入有效的x的值后，始终输不出y的值，请写出所有满足要求的x的值，并说明你的理由． 【答案】(1) (2)1或0，见解析 【知识点】求一个数的算术平方根、无理数 【分析】本题考查了算术平方根的计算和无理数的判断，正确理解给出的运算方法是关键． （1）根据运算规则即可求解； （2）根据0的算术平方根是0，1的算术平方根是1即可判断； 【详解】（1）解：当时，取算术平方根，不是无理数， 继续取算术平方根，不是无理数， 继续取算术平方根，不是无理数， 继续取算术平方根，是无理数，所以输出的值为； （2）解：满足要求的x的值是1或0． 理由如下： 一个有理数，若算术平方根等于其本身，则求算术平方根的结果总是有理数，始终输不出y的值，而算术平方根等于本身的数是1和0， 所以满足要求的x的值是1或0． 14．（24-25七年级下·甘肃陇南·期中）在学习算术平方根时，同学们发现了如下的规律，当被开方数是正数时． (1)__________；__________；… ；__________；__________；… (2)当时，_________； (3)当时，_________；当时，_________． 【答案】(1)，，2，7 (2) (3)， 【知识点】求一个数的算术平方根 【分析】本题考查了与算术平方根有关的知识点，熟练掌握算术平方根的定义以及求法是解题的关键． （1）根据算术平方根的定义直接求解； （2）根据算术平方根的定义比较； （2）根据算术平方根的定义比较． 【详解】（1）解：，，，， 故答案为：，，2，7； （2）解：∵被开方数， ∴， 而 ∴， 故答案为：； （3）解：当时，， ∴， 即； 当时，， ∴， 即， 故答案为：，． 15．（23-24七年级上·浙江湖州·期中）如图，在甲、乙两个4×4的方格图中，每个小正方形的边长都为1． （1）求图甲中阴影正方形的面积和边长； （2）请在图乙中画一个与图甲阴影部分面积不相等的正方形，要求它的边长为无理数，并求出它的边长，及边长的整数部分和小数部分（答案直接写在横线上即可）． 解：（1）甲：面积______；边长______． （2）乙：边长______，该边长的整数部分为______该边长的小数部分为______． 【答案】（1）10；；（2）；2； 【知识点】求算术平方根的整数部分和小数部分、算术平方根的实际应用 【分析】本题考查了作图，无理数等知识． （1）根据用整体正方形的面积减去周围四个三角形的面积即可； （2）令正方形的边长为即可，再根据算术平方根的估算即可求解． 【详解】解：（1）面积为， 边长为：； 故答案为：10；； （2）正方形如图所示， 面积为， 边长为：； ， 该边长的整数部分为2；该边长的小数部分为． 故答案为：；2； 16．（24-25七年级下·天津北辰·期中）请阅读材料：一般地，如果一个正数的平方等于，即，那么正数就叫做的算术平方根，记作（即），如叫做9的算术平方根． (1)计算下列各式的值：___________，___________，___________． (2)观察（1）中的结果，之间存在怎样的关系？写出关系式___________． (3)由（2）的猜想：___________（） (4)根据（3）计算：①；② 【答案】(1)2；5；10 (2) (3) (4)①4；② 【知识点】求一个数的算术平方根、与算术平方根有关的规律探索题 【分析】本题考查了求一个数的算术平方根，掌握算术平方根运算法则是解题的关键． （）根据算术平方根的定义即可求解； （）根据（）的结果即可求解； （）根据（）所得的关系即可求解； （）根据（）所得猜想计算即可． 【详解】（1）解：∵，，， ∴，，， 故答案为：，，； （2）解：由（）的结果可得，， 故答案为：； （3）解：由（）猜想：， 故答案为：； （4）解：①； ②． 11 / 11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题07 算术平方根 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材 学知识：教材精讲精析、全方位预习 练题型 强知识：7大核心考点精准练 第二步：记 串知识 识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测 稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点01 算术平方根 （1）定义：一般地，如果一个正数x的平方根等于a,即：那么这个正数x就叫做a的算术平方根，记作，读作“根号a”, （2）表示方法：非负数a的算术平方根记作，读作根号a, （3）性质：①正数只有一个算术平方根，并且恒为正；②0的算术平方根为0，即；③负数没有算术平方根，当式子有意义时，a一定是一个非负数。 知识点02 开平方 （1）定义:求一个数a的平方根的运算，叫做开平方，a叫做被开方数； （2） （1） （2） （3） 区别：取值范围不同：中a为任意实数； 中a； 被开方数不同：中被开方数为； 中被开方数为a； 运算顺序不同：先平方再开方；先开方再平方。 联系：结果为非负数；中a≧0时，= 【题型1 算术平方根概念理解】 例题：（24-25七年级下·湖南邵阳·期中）下列说法正确的是（    ） A．表示25的算术平方根 B．表示2的算术平方根 C．2的算术平方根记作 D．2是的算术平方根 【变式训练】 1．（24-25七年级下·安徽亳州·阶段练习）算术平方根是它本身的数是（    ） A．0和1 B．1和 C．2和 D．0和 2．（合肥市新站区七下数学月考卷沪科版）如果有算术平方根，那么可以取的值为（   ） A．3 B．2 C．1 D．0 3．（23-24八年级下·山东聊城·期中）下列各数没有算术平方根的是（    ） A．0 B． C． D． 【题型2 求一个数的算术平方根】 例题：（24-25七年级下·黑龙江哈尔滨·期中）的算术平方根是 ． 【变式训练】 1．（24-25七年级下·重庆·期中）4的算数平方根是 ． 2．（24-25八年级上·江苏连云港·期中）计算 的结果为 ． 3．（24-25八年级上·河南周口·期中）计算： ． 4．（23-24八年级下·江西九江·期末）的算术平方根是 ． 5．（22-23八年级上·河南驻马店·期中）的算术平方根是 ． 【题型3 利用算术平方根的非负性解题】 例题：（2025·云南西双版纳·二模）若，则的值为 ． 【变式训练】 1．（2025七年级下·河南·专题练习）已知x、y是实数，，则的值是 ． 2．（2025·四川宜宾·二模）若，是实数，且，则的值为 ． 3．（24-25七年级下·河南周口·期中）已知m，n满足，那么 ． 【题型4 求算术平方根的整数部分和小数部分】 例题：（23-24八年级下·河北廊坊·阶段练习）已知的整数部分是，小数部分是，则 ， ． 【变式训练】 1．（24-25七年级上·山东泰安·阶段练习）的整数部分是 ．小数部分是 ． 2．（24-25七年级下·甘肃定西·阶段练习）若的整数部分为，小数部分为，则 ， ． 3．（23-24八年级下·河北廊坊·阶段练习）已知的整数部分是，小数部分是，则 ， ． 【题型5 利用算术平方根的性质化简】 例题：（24-25八年级下·广东广州·期中）已知：实数a，b在数轴上的位置如图所示，化简：． 【变式训练】 1．（2025八年级下·湖北·专题练习）实数a，b，c在数轴上对应的点的位置如图所示，则化简得 ． 2．（24-25七年级下·湖南湘西·阶段练习）有理数a、b、c在数轴上的位置如图： (1)用“>”或“<”填空：_______0，_______0，_______0， (2)化简：． 3．（24-25七年级下·安徽亳州·阶段练习）探究发散： (1)完成下列填空①，②，③___________． ④，⑤，⑥___________． (2)根据上述计算结果，若，则___________． (3)利用你发现的规律完成下题：有理数在数轴上的位置如图所示． 化简： 【题型6 与算术平方根有关的规律探索题】 例题：（2025七年级下·全国·专题练习）按要求填空： (1)填表并观察规律： a 4 400 (2)根据你发现的规律填空： 已知：，则______； 已知：，，则______； (3)从以上问题的解决过程中，你发现了什么规律，试简要说明． 4 400 2 20 【变式训练】 1．（2025七年级下·全国·专题练习）计算探究题： (1)①______，___________，______； ②对于任意负数a，等于多少？ (2)根据上面发现的规律，求的算术平方根． 2．（24-25七年级下·广东东莞·阶段练习）（1）填表： … 1 100 10000 … … 100 … （2）利用上表中的规律，解决下列问题：已知，，则的值为 ； （3）当时，比较和的大小． … 1 100 10000 … … 100 … 3．（24-25七年级下·广东汕头·阶段练习）观察表格并回答下列问题． … 0.0001 0.01 1 100 10000 … … 0.01 x 1 y 100 … (1)表格中______，______； (2)由表格中数据，归纳总结：被开方数的小数点每向右移动2位，相应的算术平方根的小数点就向______移动______位； (3)①已知，则______； ②已知，，求m的值． 【题型7 算术平方根的实际应用】 例题：（24-25七年级下·陕西安康·期中）希望工程活动开展以来，爱心人士张叔叔一直在资助家庭困难的小明同学．为了表达感谢，小明同学亲手绘制了一幅面积为的正方形书画作品，准备通过快递邮寄给张叔叔．已知快递站的一种长方形包装袋的长、宽之比为，面积为． (1)求这种长方形包装袋的长和宽； (2)请通过计算判断小明同学能否在不折叠书画作品的前提下，使用该包装袋进行邮寄． 【变式训练】 1．（24-25七年级下·山西忻州·期中）《清秘藏》是明代所著工艺美术鉴赏著作，其中所述的刺绣在中国经过长时间的发展，已经形成了极高的工艺水平和独特的工艺门类．现有一张长方形绣布，长、宽之比为，绣布面积为．求绣布的周长． 2．（24-25七年级下·安徽池州·期中）为了装饰房间，小明制作了一个面积为的正方形拼图．他准备把这个拼图装进一个长方形相框中，这个长方形相框的长和宽之比为，且面积为． (1)求长方形相框的长和宽． (2)小明能将拼图放入这个相框中吗？请通过计算说明． 3．（24-25七年级下·广东东莞·期中）如图，用两个面积为的小正方形剪拼成一个大的正方形． (1)则大正方形的边长是_________； (2)若沿此大正方形边的方向剪出一个长方形，能否使剪出的长方形纸片的长宽之比为，且面积为，若能，试求出剪出的长方形纸片的长宽；若不能，试说明理由． （参考数据：） 一、单选题 1．（24-25七年级下·陕西榆林·期中）如果实数a有算术平方根，那么a的值可以为（   ） A． B． C． D．0 2．（24-25八年级下·广西防城港·期中）已知，则值为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25七年级下·贵州黔南·期中）如图是一个数值转换器，当按照程序输入时，输出的y值是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25八年级下·广东中山·期中）若实数、满足，且、恰好是的两条边长，则第三条边长为（   ） A． B． C．或 D． 5．（24-25七年级下·山东临沂·期中）将1，，，按如图方式排列，若规定表示第m排从左向右第n个数，则与表示的两数之和是（   ） A．2 B． C． D． 二、填空题 6．（甘肃省临夏州2024-2025学年下学期5月考七年级数学试题） ． 7．（24-25八年级下·甘肃定西·期中）已知、满足，则 ． 8．（24-25八年级下·全国·单元测试）已知、在数轴上的位置如图所示，化简的结果是 ． 9．（2025·黑龙江哈尔滨·模拟预测）观察下列等式：，，，，第10个式子可表示为 ． 10．（22-23八年级上·湖南郴州·期末）定义为不大于x的最大整数，如，，，则满足，则的最大整数为 ． 三、解答题 11．（24-25七年级下·四川广安·阶段练习）求下列各式的值： (1)； (2)； (3)； (4)． 12．（24-25七年级下·广西河池·期中）已知，，是9的算术平方根，求的值． 13．（2025七年级·全国·专题练习）有一个数值转换器，其工作原理如下图所示． (1)若输入x的值是256，则输出y的值是_______； (2)若输入有效的x的值后，始终输不出y的值，请写出所有满足要求的x的值，并说明你的理由． 14．（24-25七年级下·甘肃陇南·期中）在学习算术平方根时，同学们发现了如下的规律，当被开方数是正数时． (1)__________；__________；… ；__________；__________；… (2)当时，_________； (3)当时，_________；当时，_________． 15．（23-24七年级上·浙江湖州·期中）如图，在甲、乙两个4×4的方格图中，每个小正方形的边长都为1． （1）求图甲中阴影正方形的面积和边长； （2）请在图乙中画一个与图甲阴影部分面积不相等的正方形，要求它的边长为无理数，并求出它的边长，及边长的整数部分和小数部分（答案直接写在横线上即可）． 解：（1）甲：面积______；边长______． （2）乙：边长______，该边长的整数部分为______该边长的小数部分为______． 16．（24-25七年级下·天津北辰·期中）请阅读材料：一般地，如果一个正数的平方等于，即，那么正数就叫做的算术平方根，记作（即），如叫做9的算术平方根． (1)计算下列各式的值：___________，___________，___________． (2)观察（1）中的结果，之间存在怎样的关系？写出关系式___________． (3)由（2）的猜想：___________（） (4)根据（3）计算：①；② 11 / 11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$null