专题05 利用勾股定理解决折叠问题（6知识点+6大题型+思维导图+过关测）-【暑假自学课】2025年新八年级数学暑假提升精品讲义（北师大版2024）

专题05 利用勾股定理解决折叠问题 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材 学知识：教材精讲精析、全方位预习 练题型 强知识：6大核心考点精准练 第二步：记 串知识 识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测 稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点01 长方形中折痕过对角线模型 【模型解读】沿着长方形的对角线所在直线进行翻折。 已知矩形ABCD中，以对角线AC为折痕，折叠ABC，点B的对应点为B’. 结论1：≌； 结论2：折痕AC垂直平方BB’； 结论3：AEC是等腰三角形。 知识点02 长方形中折痕过一顶点模型 【模型解读】沿着长方形的一个顶点和一边上的点的线段所在直线进行翻折。 已知矩形ABCD中，以AE为折痕，点B的对应点为B’. 折在矩形内 结论1：≌； 结论2：折痕AC垂直平方BB’。 折在矩形边上 结论1：≌； 结论2：折痕AC垂直平方BB’。 折在矩形外 结论1：四边形≌四边形； 结论2：折痕AC垂直平方BB’； 结论3：AEF是等腰三角形。 知识点03 长方形中折痕过任意两点模型 【模型解读】沿着长方形边上的任意两点所在直线进行翻折。 已知矩形ABCD中，以E，F为折痕，点B的对应点为B’，点C的对应点为C’. 折在矩形内 结论1：≌； 结论2：折痕EF垂直平方BB’。 折在矩形边上 结论1：四边形≌四边形； 结论2：折痕AC垂直平方BB’。 折在矩形外 结论1：四边形≌四边形； 结论2：折痕AC垂直平方BB’； 结论3：GC’F是直角三角形。 知识点04 直角三角形中过一个顶点所在直线（落点在一边上）翻折模型 【模型解读】 （1）沿过点A的直线翻折使得点B的对应点为B’落在斜边AC上，折痕为AD； （2）沿过点C的直线翻折使得点B的对应点为B’落在斜边AC上，折痕为CD； （3）沿过点B的直线翻折使得点A的对应点为E落在BC边上，折痕为BD。 知识点05 直角三角形中过斜边中点所在直线翻折模型 【模型解读】 （1）沿直线MN（N为斜边中点）翻折使得点A与点C重合； （2）沿中线BE翻折，使得点A落在点F处，连结AF，FC，AF与BE交于点O. （3）沿中线BE翻折，使得点C落在点D处，连结AD，CD. 知识点06 直角三角形中过任意两点所在直线（落在其中一边）翻折模型 【模型解读】 （1）沿直线MN翻折，使得点C落在点D处，连结CD. （2）沿直线DE翻折使得点C与边AB上的点F重合； 【题型1 长方形中折痕过对角线模型】 例题：（23-24八年级下·北京海淀·期中）如图所示，把一张长方形纸片沿对角线折叠，若，求的长． 【变式训练】 1．如图，在长方形ABCD中，，将△ABD沿对角线BD对折，得到△EBD，DE与BC交于F，，则（    ） A． B．3 C． D．6 2．如图，在长方形纸片中，，. 把长方形纸片沿直线折叠，点落在点处，交于点，则的长为（ ） A． B． C． D． 3．如图，长方形ABCD中，，，如果将该长方形沿对角线BD折叠，使点C落在点F处，那么图中阴影部分的面积是______． 【题型2 长方形中折痕过一顶点模型】 例题：（23-24八年级上·四川成都·期末）如图，长方形纸片中，已知，折叠纸片使边与对角线重合，点B落在点F处，折痕为，且． (1)求的长； (2)求的长． 【变式训练】 1．（23-24八年级上·山东济南·期中）如图，将长方形纸片折叠，使边落在对角线上，折痕为，且D点落在对角线上处，若，则的长为（　　） A． B．3 C．1 D． 2．（23-24七年级下·重庆·期末）如图，将长方形沿折叠，点D恰好落在边的F点上，已知，，则 ． 3．（23-24八年级下·河南南阳·期末）如图所示，有一张长方形纸片，，．现折叠该纸片使得边与对角线重合，折痕为，点落在处，求 ． 【题型3 长方形中折痕过任意两点模型】 例题：（23-24七年级下·山东济南·期末）如图，长方形纸片中，，，将此长方形纸片折叠，使点与点重合，点落在点的位置，折痕为，则的长度为(   ) A．6 B．10 C．24 D．48 【变式训练】 1．（23-24八年级下·江西赣州·期中）如图，将长方形纸片沿折叠，使顶点C恰好落在边的中点上．若，，求的长． 2．（23-24八年级上·江苏苏州·阶段练习）已知，如图长方形中，，，将此长方形折叠，使点与点重合，折痕为，求的面积．    3．（23-24八年级上·广东深圳·阶段练习）如图，长方形中，边，．将此长方形沿折叠，使点与点重合，点落在点处．    (1)证明； (2)求的面积． 【题型4 直角三角形中过一个顶点所在直线（落点在一边上）翻折模型】 例题：（23-24八年级下·湖北十堰·阶段练习）如图，有一块的纸片，，，，将沿折叠，使点落在上的处，连接，则的长为（    ） A． B． C． D． 【变式训练】 1．（23-24八年级下·安徽芜湖·期中）如图所示，有一块直角三角形纸片，，，，将斜边翻折，使得点B恰好落在直角边的延长线上的点E处，折痕为，则的长为（    ） A． B． C． D． 2．（22-23八年级下·江西南昌·期中）如图，在等腰直角三角形中，，，点P是边上任意一点，连接，将沿翻折，点B的对应点为，当有一边与垂直时，的长为 ． 3．（23-24八年级下·江西南昌·期中）如图是一张直角三角形纸片，，，． (1)在图1中，将直角边沿折叠，使点落在斜边上的点处，求的长； (2)在图2中，将沿折叠，使点与点重合，求的长． 【题型5 直角三角形中过斜边中点所在直线翻折模型】 例题：（23-24八年级下·河南安阳·期末）如图，直角三角形纸片的两直角边长分别为6，8，现将如图那样折叠，使点与点重合，折痕为．则的长是（    ）    A． B． C． D． 【变式训练】 1．（23-24八年级下·四川广安·期中）如图，在直角坐标系中，C点在线段上，D点在线段上，将沿直线折叠后，B点与A重合，则点C坐标是 ． 2．（23-24八年级下·河南漯河·阶段练习）如图，在中，，，．将按如图所示的方式折叠，使B，C两点重合，折痕为．求的长． 3．（23-24八年级下·辽宁葫芦岛·阶段练习）如图、为一块直角三角形纸片，． 【问题初探】：直角三角形纸片的对折问题，可以通过全等变换把所求线段转化成直角三角形的边，进而通过勾股定理来解决，体现数学中的转化思想． （1）如图1，现将纸片沿直线折叠，使直角边落在斜边上，的对应点为，若，求的长． 【学以致用】 （2）如图2，若将直角沿折叠，点与中点重合，点分别在，上，则之间有怎样的数量关系？并证明你的结论． 【题型6 直角三角形中过任意两点所在直线（落在其中一边）翻折模型】 例题：在中，，将沿直线折叠，使B落在的三等分点处，求的长． 【变式训练】 1．（2024·山东滨州·三模）如图，在中，，，．将折叠，使点落在的中点处，折痕为，则线段的长为（    ） A． B． C．5 D．4 2．（23-24八年级下·广东中山·期中）如图，在中，，，，将它的锐角翻折，使得点落在边的中点处，折痕交边于点，交边于点，则的长为（    ） A．3 B．4 C． D． 3．（23-24八年级下·贵州遵义·阶段练习）在中，，，，分别是斜边和直角边上的点．把沿着直线折叠，顶点的对应点是点． (1)如图1，若点和顶点重合，求的长； (2)如图2，若点落在直角边的中点上，求的长． 一、单选题 1．（24-25八年级下·安徽合肥·期中）如图，长方形纸片中，，将此长方形纸片折叠，使点重合，点C落在点H的位置，折痕为，则的面积为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·北京·期中）如图，在中，，，，是的中点，是上一点，连接、．将沿翻折，点落在上的点处，则的长是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级下·山东德州·期中）如图，在中，，D、E分别是斜边和直角边上的点．把沿着直线折叠，顶点B的对应点是点．若点落在直角边的中点上，则的长是（   ） A． B．4 C．5 D． 4．（24-25八年级上·河南新乡·期末）如图，在长方形中，，，将此长方形折叠，使点与点重合，折痕为，则的长为（    ） A． B． C．1 D． 5．（24-25八年级上·河南郑州·期中）小明在帮妹妹完成手工作业的时候发现了其中的数学问题，如图，在中，，，，沿过点的直线折叠，使点落在边上的点处，再次折叠，使点与点重合，折痕交于点E，则的长度为（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 二、填空题 6．（24-25八年级上·四川成都·期末）如图是一张直角三角形的纸片，两直角边，，现将折叠，使点与点重合．折痕为，则的长为 ． 7．（24-25八年级上·江西抚州·期末）如图，在长方形中，，，将此长方形沿折叠，使点D与点B重合，则的长度为 ．    8．（23-24八年级下·河南南阳·期末）如图所示，有一张长方形纸片，，．现折叠该纸片使得边与对角线重合，折痕为，点落在处，求 ． 9．（24-25八年级上·辽宁沈阳·阶段练习）如图，将边长为8的正方形纸片折叠，折痕为，点，分别在边，上，点，的对应点分别为，，当点为三等分点时，的长为 ． 10．（24-25八年级下·河北廊坊·阶段练习）如图，在长方形中，，，，沿边所在直线翻折，与重合，点F在上，则的长是 ． 三、解答题 11．（24-25八年级上·浙江金华·期中）如图，有一张直角三角形纸片，两直角边，将折叠，使点B与点A重合，折痕为． (1)求的周长． (2)求的长． 12．（23-24八年级上·宁夏银川·期中）如图，在中，，，，按图中所示方法将沿折叠，使点落在边的点．    (1)求的长度； (2)求的面积． 13．（24-25八年级上·北京石景山·期末）如图，在中，，，，是的中点，是边上一点，连接，．将沿直线翻折，点恰好落在上的点处． (1)求的长； (2)求的长． 14．（24-25八年级下·辽宁葫芦岛·阶段练习）如图，把一张长方形纸片折叠起来，使其对角顶点与点重合，点与点重合，若，求： (1)求的长； (2)求阴影部分的面积． 15．（24-25八年级下·北京·期中）八年级开展了手工制作竞赛，每个同学都在规定时间内完成一件手工作品．陈莉同学在制作手工作品的第①②步骤是： ①先裁下了一张长，宽的长方形纸片； ②将纸片沿着直线折叠，点D恰好落在边上的点F处． 请你根据①②步骤解答下列问题：求，的长． 11 / 11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题05 利用勾股定理解决折叠问题 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材 学知识：教材精讲精析、全方位预习 练题型 强知识：6大核心考点精准练 第二步：记 串知识 识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测 稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点01 长方形中折痕过对角线模型 【模型解读】沿着长方形的对角线所在直线进行翻折。 已知矩形ABCD中，以对角线AC为折痕，折叠ABC，点B的对应点为B’. 结论1：≌； 结论2：折痕AC垂直平方BB’； 结论3：AEC是等腰三角形。 知识点02 长方形中折痕过一顶点模型 【模型解读】沿着长方形的一个顶点和一边上的点的线段所在直线进行翻折。 已知矩形ABCD中，以AE为折痕，点B的对应点为B’. 折在矩形内 结论1：≌； 结论2：折痕AC垂直平方BB’。 折在矩形边上 结论1：≌； 结论2：折痕AC垂直平方BB’。 折在矩形外 结论1：四边形≌四边形； 结论2：折痕AC垂直平方BB’； 结论3：AEF是等腰三角形。 知识点03 长方形中折痕过任意两点模型 【模型解读】沿着长方形边上的任意两点所在直线进行翻折。 已知矩形ABCD中，以E，F为折痕，点B的对应点为B’，点C的对应点为C’. 折在矩形内 结论1：≌； 结论2：折痕EF垂直平方BB’。 折在矩形边上 结论1：四边形≌四边形； 结论2：折痕AC垂直平方BB’。 折在矩形外 结论1：四边形≌四边形； 结论2：折痕AC垂直平方BB’； 结论3：GC’F是直角三角形。 知识点04 直角三角形中过一个顶点所在直线（落点在一边上）翻折模型 【模型解读】 （1）沿过点A的直线翻折使得点B的对应点为B’落在斜边AC上，折痕为AD； （2）沿过点C的直线翻折使得点B的对应点为B’落在斜边AC上，折痕为CD； （3）沿过点B的直线翻折使得点A的对应点为E落在BC边上，折痕为BD。 知识点05 直角三角形中过斜边中点所在直线翻折模型 【模型解读】 （1）沿直线MN（N为斜边中点）翻折使得点A与点C重合； （2）沿中线BE翻折，使得点A落在点F处，连结AF，FC，AF与BE交于点O. （3）沿中线BE翻折，使得点C落在点D处，连结AD，CD. 知识点06 直角三角形中过任意两点所在直线（落在其中一边）翻折模型 【模型解读】 （1）沿直线MN翻折，使得点C落在点D处，连结CD. （2）沿直线DE翻折使得点C与边AB上的点F重合； 【题型1 长方形中折痕过对角线模型】 例题：（23-24八年级下·北京海淀·期中）如图所示，把一张长方形纸片沿对角线折叠，若，求的长． 【答案】3 【分析】本题主要考查了勾股定理与折叠问题，等角对等边，由平行线的性质和折叠的性质证明，则，设，则，在中，由勾股定理得，解方程即可得到答案． 【详解】解：∵一张长方形纸片沿对角线折叠， ∴， ∴， ∴， ∴， 设，则， 在中，由勾股定理得 ∴， 解得， ∴ ． 【变式训练】 1．如图，在长方形ABCD中，，将△ABD沿对角线BD对折，得到△EBD，DE与BC交于F，，则（    ） A． B．3 C． D．6 【答案】A 【分析】根据折叠的性质，可知BF=DF=-EF，在Rt中，由勾股定理得：，由此即可求得EF值． 【详解】解：∵，，∴AD=，， 由折叠可知，AB=BE=6，AD=ED=，，， ∵，∴∠BDF=∠DBF∴BF=DF=-EF， ∴在Rt中，由勾股定理得：， ∴，解得：EF=，故选：A． 【点睛】本题主要考查的是勾股定理的应用，灵活利用折叠进行发掘条件是解题的关键． 2．如图，在长方形纸片中，，. 把长方形纸片沿直线折叠，点落在点处，交于点，则的长为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由已知条件可证△CFE≌△AFD，得到DF=EF,利用折叠知AE=AB=8cm，设AF=xcm，则DF=(8-x)cm，在Rt△AFD中，利用勾股定理即可求得x的值. 【解析】∵四边形ABCD是长方形，∴∠B=∠D=900，BC=AD, 由翻折得AE=AB=8m，∠E=∠B=900,CE=BC=AD 又∵∠CFE=∠AFD∴△CFE≌△AFD ∴EF=DF设AF=xcm，则DF=（8-x）cm 在Rt△AFD中，AF2=DF2+AD2,AD=6cm， 故选择A. 【点睛】此题是翻折问题，利用勾股定理求线段的长度. 3．如图，长方形ABCD中，，，如果将该长方形沿对角线BD折叠，使点C落在点F处，那么图中阴影部分的面积是______． 【答案】 【分析】要求阴影部分的面积就要先求得它的底和高，这个三角形的高就是，，由此关系就可利用勾股定理求出AE及EF的长，从而求三角形的面积． 【详解】解：四边形ABCD是矩形，，，，， 由折叠的性质，可得，，，，， 设，则， ，即，解得，．故答案为． 【点睛】此题考查翻折变换的性质，解题的关键是利用勾股定理求三角形的底和高，从而求三角形的面积． 【题型2 长方形中折痕过一顶点模型】 例题：（23-24八年级上·四川成都·期末）如图，长方形纸片中，已知，折叠纸片使边与对角线重合，点B落在点F处，折痕为，且． (1)求的长； (2)求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查勾股定理与折叠问题，掌握折叠的性质，利用勾股定理进行求解，是解题的关键． （1）根据折叠的性质，得到，进而得到，利用勾股定理进行求解即可； （2）根据折叠的性质，得到，设，在中，利用勾股定理进行求解即可． 【详解】（1）解：∵长方形纸片中，，折叠纸片使边与对角线重合， ∴， ∴，， ∴； （2）∵折叠， ∴， 设，则：， 在中，， ∴， ∴， ∴． 【变式训练】 1．（23-24八年级上·山东济南·期中）如图，将长方形纸片折叠，使边落在对角线上，折痕为，且D点落在对角线上处，若，则的长为（　　） A． B．3 C．1 D． 【答案】B 【分析】本题考查矩形的折叠，勾股定理，熟练掌握运用勾股定理解决长方形的折叠是解题的关键．首先利用勾股定理计算出的长，再根据折叠可得，设，则，再根据勾股定理可得方程，再解方程即可． 【详解】∵， ∴， ∴根据勾股定理得， 根据折叠可得：， ∴， 设，则， 在中：，即， 解得：， 故答案为：B． 2．（23-24七年级下·重庆·期末）如图，将长方形沿折叠，点D恰好落在边的F点上，已知，，则 ． 【答案】10 【分析】本题考查了折叠的性质、勾股定理，根据折叠的性质得出，设，则，根据勾股定理得出，求出，即可得出答案． 【详解】解：根据折叠的性质，， 长方形中， 设，则， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得：， ∴， 故答案为：10． 3．（23-24八年级下·河南南阳·期末）如图所示，有一张长方形纸片，，．现折叠该纸片使得边与对角线重合，折痕为，点落在处，求 ． 【答案】3 【分析】本题考查了勾股定理与折叠问题； 先利用勾股定理求出，然后根据折叠的性质得到，，，求出，然后在中，利用勾股定理构建方程，即可求出． 【详解】解：∵，，， ∴， 由折叠得：，，， ∴，， 在中，， ∴， ∴， 故答案为：3． 【题型3 长方形中折痕过任意两点模型】 例题：（23-24七年级下·山东济南·期末）如图，长方形纸片中，，，将此长方形纸片折叠，使点与点重合，点落在点的位置，折痕为，则的长度为(   ) A．6 B．10 C．24 D．48 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理与折叠问题；由折叠可知，设利用勾股定理进行分析计算即可． 【详解】解：由折叠可知， 设 由勾股定理可得， 即， 解得， ， 故选：B． 【变式训练】 1．（23-24八年级下·江西赣州·期中）如图，将长方形纸片沿折叠，使顶点C恰好落在边的中点上．若，，求的长． 【答案】 【分析】本题主要考查了勾股定理与折叠问题，由折叠的性质得到，设，则，由线段中点的定义得到，再由勾股定理建立方程，解方程即可得到答案． 【详解】解：由折叠的性质可得， 设，则， ∵是边的中点， ∴， 由长方形的性质可得， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ∴． 2．（23-24八年级上·江苏苏州·阶段练习）已知，如图长方形中，，，将此长方形折叠，使点与点重合，折痕为，求的面积．    【答案】 【分析】过点作于点，由四边形是长方形和折叠知，再用平行线的性质和勾股定理即可求解． 【详解】解：过点作于点，    过点作于点， 四边形是长方形 四边形是矩形 设， 由折叠知， ， 在中， 解得， ， ， 又， ， ， ∴的面积为 【点睛】此题考查了折叠的性质、长方形的性质以及勾股定理，解题的关键是掌握折叠前后图形的对应关系，注意数形结合思想与方程思想的应用． 3．（23-24八年级上·广东深圳·阶段练习）如图，长方形中，边，．将此长方形沿折叠，使点与点重合，点落在点处．    (1)证明； (2)求的面积． 【答案】(1)见解析 (2)10 【分析】（1）根据同角的余角相等，可得，通过即可证明，可得结论； （2）设，则，在中，利用勾股定理列出方程，即可解决问题． 【详解】（1）解：证明：四边形是长方形， ，， 将此长方形沿折叠，使点与点重合，点落在点处， ，，， ，， ， ， 在和中， ， ， ； （2）设，则， 在中，由勾股定理得， ， 解得， ， ， 的面积为． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质，翻折的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识，运用勾股定理列方程是解题的关键． 【题型4 直角三角形中过一个顶点所在直线（落点在一边上）翻折模型】 例题：（23-24八年级下·湖北十堰·阶段练习）如图，有一块的纸片，，，，将沿折叠，使点落在上的处，连接，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查勾股定理，折叠的性质，解题关键在于求得的长. 由题意可得，，由勾股定理即可求得的长，则可得的长，然后设，则，由勾股定理，即可得方程，解方程即可求得答案． 【详解】解：点是沿折叠，点的对应点，连接， ，， 在中，，，， ， ， 设，则， 在中，， 即：， 解得：， ． 故选：A． 【变式训练】 1．（23-24八年级下·安徽芜湖·期中）如图所示，有一块直角三角形纸片，，，，将斜边翻折，使得点B恰好落在直角边的延长线上的点E处，折痕为，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查勾股定理，折叠的性质，先根据勾股定理求出，设，根据折叠前后对应边相等得出，，再用勾股定理解即可． 【详解】解：，，， ， 设，则， 由折叠的性质可得，， ， 在中，由勾股定理得， ， 解得， ， 故选B． 2．（22-23八年级下·江西南昌·期中）如图，在等腰直角三角形中，，，点P是边上任意一点，连接，将沿翻折，点B的对应点为，当有一边与垂直时，的长为 ． 【答案】或1或2 【分析】本题考查了折叠的性质，勾股定理，分三种情况讨论，当时，当时，当时，利用勾股定理建立方程求解即可． 【详解】解：当时，如图， 在等腰直角三角形中，，， ∴，， 设，则，， ∵将沿翻折， ∴，， ∴，即， 解得； ∴ 当时，如图， 此时，； 当时，如图， 此时，点A，B，在同一直线上，； 综上，当有一边与垂直时，的长为或1或2． 故答案为：或1或2． 3．（23-24八年级下·江西南昌·期中）如图是一张直角三角形纸片，，，． (1)在图1中，将直角边沿折叠，使点落在斜边上的点处，求的长； (2)在图2中，将沿折叠，使点与点重合，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查的是翻折变换以及勾股定理的应用；熟练掌握翻折的性质和勾股定理是解题的关键． （1）由勾股定理可得，由折叠可知，，，设，则，，在中，根据，列出方程即可求解； （2）由折叠知，设，则，在中，根据，列出方程即可求解． 【详解】（1）解：在中，，， ． 由题意知，，． ． 设，则，． 在中，， ． 解得． ． （2）由题意知， 设，则． 在中，， ． 解得． ． 【题型5 直角三角形中过斜边中点所在直线翻折模型】 例题：（23-24八年级下·河南安阳·期末）如图，直角三角形纸片的两直角边长分别为6，8，现将如图那样折叠，使点与点重合，折痕为．则的长是（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是图形翻折变换的性质及勾股定理，先设，再根据图形翻折变换的性质得出，再根据勾股定理求出的值． 【详解】解：设，则， 是翻折而成， ， 在中，， 即， 解得． 故选：C． 【变式训练】 1．（23-24八年级下·四川广安·期中）如图，在直角坐标系中，C点在线段上，D点在线段上，将沿直线折叠后，B点与A重合，则点C坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查勾股定理的折叠问题，设，由折叠可知，，在中，根据列出方程求解是解决问题的关键． 【详解】解：设，则， 由折叠可知，， 在中，，即：， 解得：，即， ∴点坐标是， 故答案为：． 2．（23-24八年级下·河南漯河·阶段练习）如图，在中，，，．将按如图所示的方式折叠，使B，C两点重合，折痕为．求的长． 【答案】 【分析】本题考查的是勾股定理和图形折叠的性质，在中由于，，，所以根据勾股定理可求出的长，由折叠可知，，设，则在中，由 即可求出x的值，故可得出结论． 【详解】解：在中由于，，， 由勾股定理得：， ∵由折叠可知， ， 设，则． 在中，， 即，解得， ∴． 3．（23-24八年级下·辽宁葫芦岛·阶段练习）如图、为一块直角三角形纸片，． 【问题初探】：直角三角形纸片的对折问题，可以通过全等变换把所求线段转化成直角三角形的边，进而通过勾股定理来解决，体现数学中的转化思想． （1）如图1，现将纸片沿直线折叠，使直角边落在斜边上，的对应点为，若，求的长． 【学以致用】 （2）如图2，若将直角沿折叠，点与中点重合，点分别在，上，则之间有怎样的数量关系？并证明你的结论． 【答案】（1），（2）， 理由见解析． 【分析】本题考查了翻折的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，掌握相关性质是解题的关键． （1）先求出，由由翻折的性质可得，，再进一步得到即可求解． （2）过点作交延长线于点，连接，先证明，得到，进一步即可得到． 【详解】（1）解：在中， ， 由翻折的性质可知：，， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴． （2）， 理由如下： 过点作交延长线于点，连接，如图： ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【题型6 直角三角形中过任意两点所在直线（落在其中一边）翻折模型】 例题：在中，，将沿直线折叠，使B落在的三等分点处，求的长． 【答案】的长度为或3 【分析】本题考查了翻折变换的性质，勾股定理的应用，熟记性质并表示出的三边的长度，然后利用勾股定理列出方程是解题的关键，要注意分情况讨论，设，则，再根据翻折的性质可得，然后分两种情况求出，再利用勾股定理列出方程求解即可． 【详解】解：设，则， 沿直线折叠B落在处， ， 点为的三等分点，， 或， 当时，在中， ，即， 解得：； 当时，在中， ，即， 解得：， 综上所述，的长度为或3． 【变式训练】 1．（2024·山东滨州·三模）如图，在中，，，．将折叠，使点落在的中点处，折痕为，则线段的长为（    ） A． B． C．5 D．4 【答案】C 【分析】本题主要考查的是翻折的性质、勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理的运用，从而列出关于x的方程是解题的关键． 设，由翻折的性质可知，在中利用勾股定理列方程求解即可得到答案． 【详解】解：设， 由翻折的性质可知， ∵D是的中点， ， 在中，由勾股定理得： 即， 解得：， ∴， 故选：C． 2．（23-24八年级下·广东中山·期中）如图，在中，，，，将它的锐角翻折，使得点落在边的中点处，折痕交边于点，交边于点，则的长为（    ） A．3 B．4 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了折叠的性质、勾股定理，由题意得出，由折叠的性质可得，则，再勾股定理计算即可得出答案． 【详解】解：点为的中点， ， 由折叠的性质可得：， 设，则， 由勾股定理可得：， ， 解得：， ， 故选：D． 3．（23-24八年级下·贵州遵义·阶段练习）在中，，，，分别是斜边和直角边上的点．把沿着直线折叠，顶点的对应点是点． (1)如图1，若点和顶点重合，求的长； (2)如图2，若点落在直角边的中点上，求的长． 【答案】(1) (2)． 【分析】本题考查了折叠的性质、勾股定理，熟练掌握折叠的性质和勾股定理是解此题的关键． （1）由折叠可得，设，则，再由勾股定理进行计算即可得出答案； （2）由题意得，由折叠的性质可得：，设，则，再由勾股定理计算即可得解． 【详解】（1）解：若点和顶点重合，由折叠的性质可得：， 设，则， 由勾股定理得：， ， 解得：， ； （2）解：点落在直角边的中点上， ， 由折叠的性质可得：， 设，则， 由勾股定理可得：， ， 解得：， ∴． 一、单选题 1．（24-25八年级下·安徽合肥·期中）如图，长方形纸片中，，将此长方形纸片折叠，使点重合，点C落在点H的位置，折痕为，则的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】勾股定理与折叠问题 【分析】设，则，根据勾股定理可求得，的长，从而不难求得的面积，本题考查了利用勾股定理与折叠的问题． 【详解】解：设，由折叠可知：， 在中， ， 故选：A． 2．（24-25八年级下·北京·期中）如图，在中，，，，是的中点，是上一点，连接、．将沿翻折，点落在上的点处，则的长是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】勾股定理与折叠问题 【分析】本题考查勾股定理与折叠问题，勾股定理求出的长，折叠得到，，设，在中，利用勾股定理进行求解即可． 【详解】解：∵，，，D是边的中点， ∴， ∴， ∵将沿翻折，点C落在上的点F处， ∴，， ∴， 设，则：， 在中，由勾股定理，得：， 解得：； ∴； 故选：A． 3．（24-25八年级下·山东德州·期中）如图，在中，，D、E分别是斜边和直角边上的点．把沿着直线折叠，顶点B的对应点是点．若点落在直角边的中点上，则的长是（   ） A． B．4 C．5 D． 【答案】D 【知识点】勾股定理与折叠问题 【分析】根据题意，得，，则， 根据勾股定理，得，解答即可． 本题考查了折叠的性质，勾股定理，熟练掌握定理和性质是解题的关键． 【详解】解：∵，沿着直线折叠，顶点B的对应点是点．且点落在直角边的中点上， ∴，， 则， 根据勾股定理，得， 解得， 则， 故选：D． 4．（24-25八年级上·河南新乡·期末）如图，在长方形中，，，将此长方形折叠，使点与点重合，折痕为，则的长为（    ） A． B． C．1 D． 【答案】D 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、勾股定理与折叠问题 【分析】本题考查了折叠的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理的运用，理解折叠的性质，掌握勾股定理的运用是解题的关键． 根据折叠的性质可证，得，设，则，在中运用勾股定理得到，由此列式求解即可． 【详解】解：∵四边形是长方形， ∴，， ∵折叠，点与点重合， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 设，则， 在中，， ∴， 解得，， ∴， 故选：D ． 5．（24-25八年级上·河南郑州·期中）小明在帮妹妹完成手工作业的时候发现了其中的数学问题，如图，在中，，，，沿过点的直线折叠，使点落在边上的点处，再次折叠，使点与点重合，折痕交于点E，则的长度为（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】B 【知识点】勾股定理与折叠问题 【点睛】本题考查了折叠的性质，勾股定理，掌握折叠的性质以及勾股定理是解题的关键． 根据题意可得，，，，可得，继而设，则，根据勾股定理即可求解． 【详解】解：∵沿过点A的直线将纸片折叠，使点B落在边上的点D处，， ∴，， ∵折叠纸片，使点C与点D重合， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 设，， 则， ∴， 解得， 即， 故选：B． 二、填空题 6．（24-25八年级上·四川成都·期末）如图是一张直角三角形的纸片，两直角边，，现将折叠，使点与点重合．折痕为，则的长为 ． 【答案】 【知识点】勾股定理与折叠问题 【分析】本题考查了折叠问题和勾股定理的综合运用，由折叠得，设，则，在直角三角形中，利用勾股定理即可求得长，掌握折叠的性质是解题的关键． 【详解】解：由折叠得，， 设，则， ∵， ∴， ∴， 解得， 即， 故答案为：． 7．（24-25八年级上·江西抚州·期末）如图，在长方形中，，，将此长方形沿折叠，使点D与点B重合，则的长度为 ．    【答案】 【知识点】勾股定理与折叠问题 【分析】本题考查勾股定理与折叠问题．折叠得到，设，利用勾股定理进行求解即可，掌握折叠的性质和勾股定理，是解题的关键． 【详解】解：∵将此长方形沿折叠，使点D与点B重合， ∴， 设， ∵在长方形中，，， ∴， 由勾股定理得， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 8．（23-24八年级下·河南南阳·期末）如图所示，有一张长方形纸片，，．现折叠该纸片使得边与对角线重合，折痕为，点落在处，求 ． 【答案】3 【知识点】勾股定理与折叠问题 【分析】本题考查了勾股定理与折叠问题； 先利用勾股定理求出，然后根据折叠的性质得到，，，求出，然后在中，利用勾股定理构建方程，即可求出． 【详解】解：∵，，， ∴， 由折叠得：，，， ∴，， 在中，， ∴， ∴， 故答案为：3． 9．（24-25八年级上·辽宁沈阳·阶段练习）如图，将边长为8的正方形纸片折叠，折痕为，点，分别在边，上，点，的对应点分别为，，当点为三等分点时，的长为 ． 【答案】或 【知识点】用勾股定理解三角形、勾股定理与折叠问题、折叠问题 【分析】本题主要考查了折叠的性质，勾股定理，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．连接，过点N作于H，由折叠的性质可知：，，，，，当点E是靠近点D的三等分点时，可得，，利用勾股定理可求得，，，再利用勾股定理即可求得的长；同理可求得，当点E为靠近点C的三等分点时，的长即可． 【详解】解：如图所示，连接，过点N作于H， 则，， 由折叠的性质可知：，，，，， 当点E是靠近点D的三等分点时， ，， 在中，， 在中，， ，即， 解得：， ， 设，则， 在中，，由勾股定理得：， ， 解得， ， ， ； 当E为靠近点C的三等分点时，如图， 同理，， 综上所述，的长为或， 故答案为：或． 10．（24-25八年级下·河北廊坊·阶段练习）如图，在长方形中，，，，沿边所在直线翻折，与重合，点F在上，则的长是 ． 【答案】/ 【知识点】勾股定理与折叠问题 【分析】本题考查了长方形的性质，勾股定理与折叠问题，连接．证明垂直平分得．在中，由勾股定理求出，然后根据求解即可． 【详解】解：如图，连接． ∵四边形是长方形， ∴． 根据题意，，． ∵， ∴， ∴， ∴垂直平分， ∴． ∵，，， ∴， ∴． 在中，， 在中，． ∵， ∴， ∴， 解得． 故答案为：． 三、解答题 11．（24-25八年级上·浙江金华·期中）如图，有一张直角三角形纸片，两直角边，将折叠，使点B与点A重合，折痕为． (1)求的周长． (2)求的长． 【答案】(1) (2) 【知识点】勾股定理与折叠问题、折叠问题 【分析】（1）由翻折易得，则的周长； （2）由翻折易得，利用直角三角形，勾股定理即可求得长． 本题考查了折叠性质以及勾股定理，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 【详解】（1）解：∵将折叠，使点B与点A重合，折痕为， ∴， 则的周长； （2）解：由题意得； 设，则， ， 在中，根据勾股定理得：， 即， 解得； 即． 12．（23-24八年级上·宁夏银川·期中）如图，在中，，，，按图中所示方法将沿折叠，使点落在边的点．    (1)求的长度； (2)求的面积． 【答案】(1)3 (2)15 【知识点】与三角形的高有关的计算问题、勾股定理与折叠问题 【分析】本题主要考查了勾股定理、折叠的性质、三角形面积公式等知识，熟练掌握相关知识是解题关键． （1）由勾股定理得，设，由折叠的性质得，从而可得，，再由勾股定理得，代入数值并求解即可； （2）由三角形面积公式得，即可求解． 【详解】（1）解：∵在中，，，， ∴， 设，由折叠可得，，，， ∴，，， 在中，可有， 即，解得， ∴， 故的长度为3； （2）解：结合（1），可知，，， ∴， 故的面积为15． 13．（24-25八年级上·北京石景山·期末）如图，在中，，，，是的中点，是边上一点，连接，．将沿直线翻折，点恰好落在上的点处． (1)求的长； (2)求的长． 【答案】(1) (2) 【知识点】勾股定理与折叠问题 【分析】本题主要考查了勾股定理，折叠的性质： （1）由线段中点的定义得到的长，再利用勾股定理求解即可； （2）由折叠的性质得到，则可得到，设，则，再由勾股定理建立方程求解即可． 【详解】（1）解：∵，是的中点， ∴， 在中，由勾股定理得； （2）解：由折叠的性质可得， ∴， 设，则， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ∴． 14．（24-25八年级下·辽宁葫芦岛·阶段练习）如图，把一张长方形纸片折叠起来，使其对角顶点与点重合，点与点重合，若，求： (1)求的长； (2)求阴影部分的面积． 【答案】(1) (2)阴影部分的面积为 【知识点】勾股定理与折叠问题 【分析】此题主要考查了折叠的性质、勾股定理的应用： （1）由折叠可知，设，则，在中，根据，求出的长；过点作于，在 中，由勾股定理的长，在中，由勾股定理即可得出答案； （2）过点作于，根据三角形面积不变性，，求出的长，根据三角形面积求出结果即可． 【详解】（1）解：由折叠可知， 设，则， 在中，， ， 解得：， ； 过点作于，则， 在中， ，由勾股定理：，即， ． ， ， ， ； （2）解：过点作于， ， ，， ， ， ． 15．（24-25八年级下·北京·期中）八年级开展了手工制作竞赛，每个同学都在规定时间内完成一件手工作品．陈莉同学在制作手工作品的第①②步骤是： ①先裁下了一张长，宽的长方形纸片； ②将纸片沿着直线折叠，点D恰好落在边上的点F处． 请你根据①②步骤解答下列问题：求，的长． 【答案】 【知识点】勾股定理与折叠问题 【分析】本题考查折叠的性质，勾股定理．熟练掌握折叠的性质，勾股定理是解题的关键． 由折叠的性质可知，， ，由勾股定理得，则，设，由勾股定理得，即，计算求解然后作答即可． 【详解】解：∵长方形， ∴，， 由折叠的性质可知，， ， 由勾股定理得，， ∴， 设，则， 由勾股定理得，，即， 解得，， ∴， ∴． 11 / 11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$null