精品解析：2025年安徽省合肥寿春中学中考数学最后一卷

2025中考数学最后一卷 一、选择题 1. 下列为负数的是（ ） A. B. C. 0 D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据正负数的意义分析即可； 【详解】解：A、=2是正数，故该选项不符合题意； B、是正数，故该选项不符合题意； C、0不是负数，故该选项不符合题意； D、-5＜0是负数，故该选项符合题意． 故选D. 【点睛】本题考查正负数的概念和意义，熟练掌握绝对值、算术平方根和正负数的意义是解决本题的关键． 2. 2017年我省粮食总产量为695.2亿斤，其中695.2亿科学记数法表示（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值>1时，n是正数；当原数的绝对值<1时，n是负数． 【详解】695.2亿=69520000000，69520000000小数点向左移10位得到6.952， 所以635.2亿用科学记数法表示为：6.952×1010， 故选C． 【点睛】本题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值． 3. 如图，图中的几何体是圆柱沿竖直方向切掉一半后得到的，则该几何体的左视图是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题主要考查了简单几何体的三视图，左视图是从左边看所得到的视图，根据左视图所看的位置找出答案即可．关键是掌握三视图所看的位置． 【详解】解：该几何体的左视图是． 故选：C． 4. 计算的结果是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 5. 若关于的一元二次方程x(x+1)+ax=0有两个相等的实数根，则实数a的值为（ ） A. B. 1 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】整理成一般式后，根据方程有两个相等的实数根，可得△=0，得到关于a的方程，解方程即可得． 【详解】解：x(x+1)+ax=0， ∴x2+(a+1)x=0， 由方程有两个相等的实数根，可得△=（a+1）2-4×1×0=0， 解得：a1=a2=-1， 故选A． 【点睛】本题考查一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根． 6. 如图，中， ，点在上，．若，则的长度为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先根据，求出AB=5，再根据勾股定理求出BC=3，然后根据，即可得cos∠DBC=cosA=，即可求出BD． 【详解】∵∠C=90°， ∴， ∵， ∴AB=5， 根据勾股定理可得BC==3， ∵， ∴cos∠DBC=cosA=， ∴cos∠DBC==，即= ∴BD=， 故选：C． 【点睛】本题考查了解直角三角形和勾股定理，求出BC的长是解题关键． 7. 如图11-3-1，在四边形ABCD中，∠A=∠B=∠C，点E在边AB上，∠AED=60°，则一定有（ ） A. ∠ADE=20° B. ∠ADE=30° C. ∠ADE=∠ADC D. ∠ADE=∠ADC 【答案】D 【解析】 【详解】设∠ADE=x，∠ADC=y，由题意可得， ∠ADE+∠AED+∠A=180°，∠A+∠B+∠C+∠ADC=360°， 即x+60+∠A=180①，3∠A+y=360②， 由①×3-②可得3x-y=0， 所以，即∠ADE=∠ADC． 故答案选D． 考点：三角形的内角和定理；四边形内角和定理． 8. 已知实数a、b、c满足，有下列结论正确的是（ ） ①若，则；②若，则；③若，则；④若a、b、c中只有两个数相等，则． A. ①②③ B. ①③ C. ①③④ D. ①②③④ 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查等式得性质，一元一次方程的运用，解一元二次方程，按照字母满足的条件，逐一分析计算得出答案，进一步比较得出结论即可．灵活利用题目中的已知条件，选择正确的方法解决问题． 【详解】解：①∵，则等式两边除以，可得，故①正确； ②若，则,解得， ， ，故②错误； ③若，则, ， ，故③正确； ④中只有两个数相等， 当时，有， 解得，， 当时，不合题意， 当时，， ， 当时，得,则， 此时不符合题意， 当时，，此时，不符合题意； 故只能是，故④正确 其中正确的是①③④． 故选：C． 9. 二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示.则函数y＝bx+b2﹣4ac和y＝的图象应为下图的（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据二次函数图象的开口向上可得a＞0，再根据对称轴确定出b＝﹣a，然后根据x＝﹣1时函数图象在x轴的上方求出b、c的关系，最后确定出b2﹣4ac与c﹣2b的正负情况，从而确定出一次函数图象与反比例函数图象即可得解． 【详解】解：∵二次函数图象开口向上， ∴a＞0， ∵对称轴为直线x＝ ， ∴b＝﹣a＜0， 当x＝﹣1时，a﹣b+c＞0， ∴﹣b﹣b+c＞0， 解得c﹣2b＞0， ∵抛物线与x轴有两个交点， ∴b2﹣4ac＞0， ∴一次函数图象经过第一、二、四象限，反比例函数图象经过第一三象限． 故选：B． 【点睛】本题考查了二次函数图象，一次函数图象，反比例函数图象，此类题目通常根据二次函数图象的开口方向，对称轴以及x的特殊值求出a、b、c的关系是解题的关键． 10. 如图，矩形中，，，动点E，F分别从点A，C同时出发，以每秒1个单位长度的速度沿，向终点B，D运动，过点E，F作直线l，过点A作直线l的垂线，垂足为G，当取最大值时，值等于（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，圆周角定理，由勾股定理可求的长，由可证，可得，由，可得点在以为直径的圆上运动，则为直径时，有最大值，再计算，即可求解，确定点的运动轨迹是解答本题的关键． 【详解】解：如图，连接，交于， 四边形是矩形， ，， ，， ， 动点，分别从点，同时出发，以每秒1个单位长度的速度沿，向终点，运动， ， ， ， ， ， ， ， 点在以为直径的圆上运动， 为直径时，即点与点重合时，有最大值， 此时， ， ， ， ， ， 故选：B． 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11. 分解因式： __________ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了利用分组分解法进行因式分解；先把前两项、后两项结合，前两项利用平方差公式分解因式，则可提取公因式，即可分解因式． 【详解】解： ； 故答案为：． 12. 如图，圆O的半径为1，内接于圆O．若，，则______． 【答案】 【解析】 【分析】先根据圆的半径相等及圆周角定理得出∠ABO=45°，再根据垂径定理构造直角三角形，利用锐角三角函数解直角三角形即可 【详解】解：连接OB、OC、作OD⊥AB ∵ ∴∠BOC=2∠A=120° ∵OB=OC ∴∠OBC=30°又 ∴∠ABO=45° 在Rt△OBD中，OB=1 ∴BD== ∵OD⊥AB ∴BD=AD= ∴AB= 故答案为： 【点睛】本题考查垂径定理、圆周角定理，正确使用圆的性质及定理是解题关键 13. 如图，正比例函数y=kx与反比例函数y=的图象有一个交点A(2，m)，AB⊥x轴于点B，平移直线y=kx使其经过点B，得到直线l，则直线l对应的函数表达式是_________ . 【答案】y=x-3 【解析】 【详解】【分析】由已知先求出点A、点B的坐标，继而求出y=kx的解析式，再根据直线y=kx平移后经过点B，可设平移后的解析式为y=kx+b，将B点坐标代入求解即可得. 【详解】当x=2时，y==3，∴A(2，3)，B（2，0）， ∵y=kx过点 A(2，3)， ∴3=2k，∴k=， ∴y=x， ∵直线y=x平移后经过点B， ∴设平移后的解析式为y=x+b， 则有0=3+b， 解得：b=-3， ∴平移后的解析式为：y=x-3， 故答案为y=x-3. 【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数的综合应用，涉及到待定系数法，一次函数图象的平移等，求出k的值是解题的关键. 14. 将一张正方形纸片按如图步骤，通过折叠得到图④，再沿虚线剪去一个角，展开铺平后得到图⑤，其中是折痕，若正方形与五边形面积相等， （1）_______；（2）的值是__________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】（1）连接，如图所示，由题意可知，三点共线，根据正方形性质及等腰直角三角形的判定与性质求出相关角度，最后由邻补角定义求解即可得到答案； （2）连接，设直线与边的交点为，如图所示，根据剪纸的过程以及折叠的性质得，且正方形的面积正方形的面积，从而用分别表示出线段和线段的长即可求解． 【详解】解：（1）连接，如图所示： 由题意可知，三点共线， 在正方形中，，则， ， 故答案为：； （2）连接，设直线与边的交点为，如图所示： 由折叠可知点四点共线，且， 设正方形的边长为，则正方形的面积为， ∵正方形与五边形面积相等， ∴由折叠可知，正方形的面积正方形的面积， ∴正方形的边长， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了剪纸问题、正方形的性质、折叠的性质、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理等知识，由剪纸的过程得到图形中边的关系是解题关键． 三、解答题 15. 计算：． 【答案】1 【解析】 【分析】原式运用零指数幂，二次根式的化简，乘方的意义分别计算即可得到结果． 【详解】 【点睛】本题主要考查了实数的运算，熟练掌握零指数幂，二次根式的化简和乘方的意义是解本题的关键． 16. 如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，已知点O，A，B均为网格线的交点． （1）在给定的网格中，以点O为位似中心，将线段放大为原来的2倍，得到线段（点A，B的对应点分别为，），画出线段； （2）将线段绕点逆时针旋转得到线段，画出线段； （3）连接，在上作一点Q使得．（利用网格无刻度直尺作图） 【答案】（1） 线段即为求作； （2） 线段即为所求作； （3） 点Q即为所求作的． 【解析】 【分析】本题考查了作图——位似变换，旋转变换，能根据位似比、旋转方向和旋转角得到关键点的对应点是作图的关键． （1）结合网格特点，连接并延长至，使，同样的方法得到，连接即可得； （2）结合网格特点根据旋转作图的方法找到点，连接即可得； （3）作线段的垂直平分线即可得点Q． 【小问1详解】 解：连接并延长至，使，同样的方法得到，连接， 线段即为求作； 【小问2详解】 解：如图线段即为所求作； 【小问3详解】 解：如图，点Q在线段的垂直平分线上时，点Q即为所求作的． 17. 树上和地上有若干只鸽子．如果地上鸽子飞上树4只，则树上鸽子数是地上鸽子数的3倍；如果树上鸽子下地4只，则树上鸽子数是地上鸽子数的2倍．问树上、地上原来各有多少只鸽子？ 【答案】树上原有68只鸽子，地上原有28只鸽子 【解析】 【分析】本题考查二元一次方程组解决实际问题．设树上原有x只鸽子，地上原有y只鸽子，根据“如果地上鸽子飞上树4只，则树上鸽子数是地上鸽子数的3倍；如果树上鸽子下地4只，则树上鸽子数是地上鸽子数的2倍”列出方程组，求解即可． 【详解】解：设树上原有x只鸽子，地上原有y只鸽子．根据题意，得 ， 解得． 答：树上原有68只鸽子，地上原有28只鸽子． 18. 我们先从多米诺骨牌游戏说起．这是一种码放骨牌的游戏，码放时保证任意相邻的两块骨牌，若前一块骨牌倒下，则一定导致后一块骨牌也倒下，只要推倒第一块骨牌，由于第一块骨牌倒下，就可导致第二块骨牌倒下；而第二块骨牌倒下，就可导致第三块骨牌倒下…最后，不论有多少块骨牌，都能全部倒下．可以看出，只要满足以下两个条件，所有多米诺骨牌就都能倒下：（1）第一块骨牌倒下；（2）任意相邻的两块骨牌，前一块倒下一定导致后一块倒下． 由上述问题的启发，我们发现了一种新的数学证明方法． 一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行： （1）（归纳奠基）证明当n取第一个值（为正整数）时命题成立； （2）（归纳递推）假设（，k为正整数）时命题成立，证明当时命题也成立． 只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从开始的所有正整数n都成立． 上述证明方法叫做数学归纳法（）． 例：用数学归纳法证明：（n为正整数）． 证明：（1）当时，左边，右边，等式成立． （2）假设当（k为正整数）时等式成立，即．那么，，即当时等式也成立． 根据（1）和（2），可知等式对于任何正整数n都成立． 根据上述材料解决下面问题： （1）观察图形与等式的关系，并填空． ； ； （2）用数学归纳法证明上面的结论． ．（n为正整数） 【答案】（1）16， （2） 【解析】 【分析】本题考查了新定义——数学归纳法．熟练掌握方法运用是解题的关键． （1）运用 ，计算即可； （2）分，，的步骤证明即可． 【小问1详解】 解：，； 故答案为：16，； 【小问2详解】 证明：（1）当时， 左边，右边， 等式成立． （2）假设当（k为正整数）时等式成立， 即． 那么，， 即当时等式也成立． 根据（1）和（2）， 可知等式对于任何正整数n都成立． 故答案为：． 19. 图1是一盏台灯的照片，图2是其示意图．台灯底部立柱（与桌面垂直）的高为，支架长为，支架长为．若支架，的夹角为，支架与底部立柱的夹角为，求台灯的旋钮A到桌面的距离（精确到）．（参考数据：，） 【答案】 【解析】 【分析】过点作，垂足为点，分别过点、作直线的垂线、，垂足分别为点，可得是矩形，即得，，得到，，，再分别解、，求出即可求解． 【详解】解：如图，过点作，垂足为点，分别过点、作直线的垂线、，垂足分别为点，则， ∵， ∴， ∴是矩形， ，， ∵， ∴， ∴， 在中，， ， ∵， ， 在中，， ， ， 答：台灯的旋钮到桌面的距离约为． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，矩形的判定和性质，直角三角形的两个锐角互余，解题关键是通过作垂直构造直角三角形求解． 20. 如图，已知是以为直径的的外接圆，过点A作的切线交的延长线于点D，交的延长线于点E， （1）求证：； （2）若，求的半径． 【答案】（1） 证明：∵ 是的切线， ∴，即，             ∵是的直径， ∴， ∴，                               ∴，                               ∵，                        ∴， 又∵， ∴； （2）的半径为 【解析】 【分析】（1）由切线的性质可知，由直角所对的圆周为可知，根据同角的余角相等可知，然后由等腰三角形的性质可知，由对顶角的性质可知，故此可知； （2）先证明，求出的长，设的半径为，则，在中，由勾股定理列方程即可求出半径的长. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解： ∵， ∴， ∴即， ∴， 设的半径为，则， 在中，由勾股定理，得 ， 解得， 答：的半径为． 【点睛】本题主要考查了切线的性质、圆周角定理的推论、勾股定理的应用、相似三角形的性质和判定，证得是解题的关键． 21. 寒假期间观影是个好选择，电影《哪吒之魔童闹海》上映10天突破60亿票房成为中国电影票房榜冠军，为了解大家对电影的评分情况，小军同学从某电影院上午、下午观影后的观众中各随机抽取20名对电影评分（十分制）进行收集、整理、描述、分析．所有观众的评分均高于8分（电影评分共分成四组：，），下面给出了部分信息： 上午20名观众的评分为：8.1，8.7，8.9，9，9，9.2，9.2，9.4，9.4，9.4，9.4，9.6，9.6，9.7，9.7，9.8，9.9，10，10，10． 下午20名观众的评分在组的数据是：． 上、下午所抽观众的评分统计表 上午 下午 平均数 9.4 9.4 中位数 9.4 众数 9.3 下午所抽观众的评分扇形统计图 根据以上信息，解答下列问题： （1）填空：________，_______，________； （2）根据以上数据分析，你认为该影院上、下午观众中哪个时段的观众对电影的评分较高？说明理由（写出一条理由即可）； （3）上午有800名观众，下午有1000名观众参加了此次评分调查，估计上、下午参加此次评分调查认为电影特别优秀的观众人数一共是多少？ 【答案】（1）9.4，9.15，15 （2）认为该影院上午观众对电影的评分较高，因为上午的众数较高 （3）1150人 【解析】 【分析】本题主要考查了扇形统计图，求中位数和众数，用样本估计总体； （1）根据众数的定义求出a，再求出下午A组，B组的人数，根据中位数的定义解答，然后用1分别减去A，B，C三组的百分比，可得m； （2）根据众数解答即可； （3）用上下午的总人数分别乘以各自优秀人数的百分比，求和可得答案． 【小问1详解】 解：上午20名观众的评分出现的次数最多，可知； 下午A组有，B组有， ∴下午的第10个数是9.1，第11个数是9.2， ∴； 由扇形统计图可知， ∴. 故答案为：9.4；9.15；15； 【小问2详解】 解：认为该影院上午观众对电影的评分较高． 理由：上午的众数较高； 【小问3详解】 解：． 答：估计上下午参加评分调查认为电影特别优秀的观众一共是1150人． 22. 巴黎奥运会跳水女子10米台决赛的较量中，中国选手全红婵以425.60分夺得金牌．如图所示，建立平面直角坐标系．如果她从点起跳后的运动路线可以看作抛物线的一部分，从起跳到入水的过程中，她的竖直高度y（单位：米）与水平距离x（单位：米）近似满足函数关系式． （1）在平时训练完成一次跳水动作时，全红婵的水平距离x与竖直高度y的几组数据如下表： 水平距离 0 4 h 5 5.5 竖直高度 10 10 11.25 10 6.25 根据上述数据，求出y与x的函数关系式； （2）在比赛过程中，全红婵选择了一个极具难度的（向后翻腾三周半抱膝），从她起跳后达最高点B开始计时，设点B到水平面的距离为c，则她到水面的距离与时间之间近似满足，且她在达到最高点后需要1.5秒的时间才能完成动作．若此次跳水她的竖直高度与水平距离满足．求她在达到最高点后能顺利完成动作的a的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题属于二次函数综合题，主要考查二次函数的图象与性质，解题的关键是正确的求出函数解析式． （1）由待定系数法即可求解； （2）由，得到，则，进而求解． 【小问1详解】 解：由题意，根据表格数据，抛物线顶点为，抛物线过，， 抛物线的对称轴是直线． 抛物线为． 抛物线过， ． ． 抛物线为； 【小问2详解】 解：， 即， 则， 当时，， 解得：． 23. 如图，正方形ABCD中，，点M是射线BA上的一动点，，垂足为P，，与射线BC交于点N，连接DN． （1）若点M在边AB上（与点B、A不重合）． ①求证：； ②连接DN，设，，求y与x的函数关系式，并写出函数定义域； （2）若，求出BM的长． 【答案】（1）①证明：∵四边形ABCD是正方形， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴=， ∴； ② （2）BM的长为或 【解析】 【分析】（1）①通过证明，可得=，可得结论；②先求出，由勾股定理可求，通过证明，可得，即可求解； （2）分类讨论：①当点M在线段AB上时和②当点M在线段BA的延长线上时，由面积关系列出方程，即可求解． 【小问1详解】 ①略 ②解：如图， ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． 又∵， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 分类讨论：①如图，当点M在线段AB上时，过点P作于F，于E， ∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴（负值舍去）， ∴； ②如图，当点M在线段BA的延长线上时， 同理可得：， ∴， ∴， 综上所述：BM的长为或． 【点睛】本题是相似形综合题，考查了正方形的性质，直角三角形的性质，锐角三角函数，相似三角形的判定和性质等知识，证明三角形相似是解题的关键． 24. 四边形和四边形均为正方形，，分别为其对角线． （1）如图1，当B、A、E三点共线时，且，则的度数为_______； （2）如图2，将正方形绕点A逆时针旋转，当E、F、B三点共线时，的延长线交于点C，的延长线交于点H，若，求=_______． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）先根据正方形的性质，得到直角三角形中三角形的边的比值，再根据特殊的三角函数值得到答案即可； （2）根据三角形的相似算出相关线段的长度，根据勾股定理算出的值，最后根据三角函数的正切值等于对边比邻边得到答案即可； 【小问1详解】 解：∵四边形和四边形均为正方形，，分别为其对角线． ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为： 【小问2详解】 解：由题意易得：， 又， ∴， ∴， ∵， 可设，，， ∴， ∴， 即 ∵， 即， 在直角三角形中， ， 即 解得：（舍负） ∵ 故答案为： 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，三角形的相似，三角函数，一元二次方程的计算等知识点，解决此题的关键是合理的运用方程思想。 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025中考数学最后一卷 一、选择题 1. 下列为负数的是（ ） A. B. C. 0 D. 2. 2017年我省粮食总产量为695.2亿斤，其中695.2亿科学记数法表示（ ） A. B. C. D. 3. 如图，图中的几何体是圆柱沿竖直方向切掉一半后得到的，则该几何体的左视图是（　　） A. B. C. D. 4. 计算的结果是（ ） A. B. C. D. 5. 若关于的一元二次方程x(x+1)+ax=0有两个相等的实数根，则实数a的值为（ ） A. B. 1 C. D. 6. 如图，中， ，点在上，．若，则的长度为（ ） A. B. C. D. 7. 如图11-3-1，在四边形ABCD中，∠A=∠B=∠C，点E在边AB上，∠AED=60°，则一定有（ ） A. ∠ADE=20° B. ∠ADE=30° C. ∠ADE=∠ADC D. ∠ADE=∠ADC 8. 已知实数a、b、c满足，有下列结论正确的是（ ） ①若，则；②若，则；③若，则；④若a、b、c中只有两个数相等，则． A. ①②③ B. ①③ C. ①③④ D. ①②③④ 9. 二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示.则函数y＝bx+b2﹣4ac和y＝的图象应为下图的（ ） A. B. C. D. 10. 如图，矩形中，，，动点E，F分别从点A，C同时出发，以每秒1个单位长度的速度沿，向终点B，D运动，过点E，F作直线l，过点A作直线l的垂线，垂足为G，当取最大值时，值等于（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11. 分解因式： __________ 12. 如图，圆O的半径为1，内接于圆O．若，，则______． 13. 如图，正比例函数y=kx与反比例函数y=的图象有一个交点A(2，m)，AB⊥x轴于点B，平移直线y=kx使其经过点B，得到直线l，则直线l对应的函数表达式是_________ . 14. 将一张正方形纸片按如图步骤，通过折叠得到图④，再沿虚线剪去一个角，展开铺平后得到图⑤，其中是折痕，若正方形与五边形面积相等， （1）_______；（2）的值是__________． 三、解答题 15. 计算：． 16. 如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，已知点O，A，B均为网格线的交点． （1）在给定的网格中，以点O为位似中心，将线段放大为原来的2倍，得到线段（点A，B的对应点分别为，），画出线段； （2）将线段绕点逆时针旋转得到线段，画出线段； （3）连接，在上作一点Q使得．（利用网格无刻度直尺作图） 17. 树上和地上有若干只鸽子．如果地上鸽子飞上树4只，则树上鸽子数是地上鸽子数的3倍；如果树上鸽子下地4只，则树上鸽子数是地上鸽子数的2倍．问树上、地上原来各有多少只鸽子？ 18. 我们先从多米诺骨牌游戏说起．这是一种码放骨牌的游戏，码放时保证任意相邻的两块骨牌，若前一块骨牌倒下，则一定导致后一块骨牌也倒下，只要推倒第一块骨牌，由于第一块骨牌倒下，就可导致第二块骨牌倒下；而第二块骨牌倒下，就可导致第三块骨牌倒下…最后，不论有多少块骨牌，都能全部倒下．可以看出，只要满足以下两个条件，所有多米诺骨牌就都能倒下：（1）第一块骨牌倒下；（2）任意相邻的两块骨牌，前一块倒下一定导致后一块倒下． 由上述问题的启发，我们发现了一种新的数学证明方法． 一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行： （1）（归纳奠基）证明当n取第一个值（为正整数）时命题成立； （2）（归纳递推）假设（，k为正整数）时命题成立，证明当时命题也成立． 只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从开始的所有正整数n都成立． 上述证明方法叫做数学归纳法（）． 例：用数学归纳法证明：（n为正整数）． 证明：（1）当时，左边，右边，等式成立． （2）假设当（k为正整数）时等式成立，即．那么，，即当时等式也成立． 根据（1）和（2），可知等式对于任何正整数n都成立． 根据上述材料解决下面问题： （1）观察图形与等式的关系，并填空． ； ； （2）用数学归纳法证明上面的结论． ．（n为正整数） 19. 图1是一盏台灯的照片，图2是其示意图．台灯底部立柱（与桌面垂直）的高为，支架长为，支架长为．若支架，的夹角为，支架与底部立柱的夹角为，求台灯的旋钮A到桌面的距离（精确到）．（参考数据：，） 20. 如图，已知是以为直径的的外接圆，过点A作的切线交的延长线于点D，交的延长线于点E， （1）求证：； （2）若，求的半径． 21. 寒假期间观影是个好选择，电影《哪吒之魔童闹海》上映10天突破60亿票房成为中国电影票房榜冠军，为了解大家对电影的评分情况，小军同学从某电影院上午、下午观影后的观众中各随机抽取20名对电影评分（十分制）进行收集、整理、描述、分析．所有观众的评分均高于8分（电影评分共分成四组：，），下面给出了部分信息： 上午20名观众的评分为：8.1，8.7，8.9，9，9，9.2，9.2，9.4，9.4，9.4，9.4，9.6，9.6，9.7，9.7，9.8，9.9，10，10，10． 下午20名观众的评分在组的数据是：． 上、下午所抽观众的评分统计表 上午 下午 平均数 9.4 9.4 中位数 9.4 众数 9.3 下午所抽观众的评分扇形统计图 根据以上信息，解答下列问题： （1）填空：________，_______，________； （2）根据以上数据分析，你认为该影院上、下午观众中哪个时段的观众对电影的评分较高？说明理由（写出一条理由即可）； （3）上午有800名观众，下午有1000名观众参加了此次评分调查，估计上、下午参加此次评分调查认为电影特别优秀的观众人数一共是多少？ 22. 巴黎奥运会跳水女子10米台决赛的较量中，中国选手全红婵以425.60分夺得金牌．如图所示，建立平面直角坐标系．如果她从点起跳后的运动路线可以看作抛物线的一部分，从起跳到入水的过程中，她的竖直高度y（单位：米）与水平距离x（单位：米）近似满足函数关系式． （1）在平时训练完成一次跳水动作时，全红婵的水平距离x与竖直高度y的几组数据如下表： 水平距离 0 4 h 5 5.5 竖直高度 10 10 11.25 10 6.25 根据上述数据，求出y与x的函数关系式； （2）在比赛过程中，全红婵选择了一个极具难度的（向后翻腾三周半抱膝），从她起跳后达最高点B开始计时，设点B到水平面的距离为c，则她到水面的距离与时间之间近似满足，且她在达到最高点后需要1.5秒的时间才能完成动作．若此次跳水她的竖直高度与水平距离满足．求她在达到最高点后能顺利完成动作的a的取值范围． 23. 如图，正方形ABCD中，，点M是射线BA上的一动点，，垂足为P，，与射线BC交于点N，连接DN． （1）若点M在边AB上（与点B、A不重合）． ①求证：； ②连接DN，设，，求y与x的函数关系式，并写出函数定义域； （2）若，求出BM的长． 24. 四边形和四边形均为正方形，，分别为其对角线． （1）如图1，当B、A、E三点共线时，且，则的度数为_______； （2）如图2，将正方形绕点A逆时针旋转，当E、F、B三点共线时，的延长线交于点C，的延长线交于点H，若，求=_______． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $