精品解析： 浙江省杭州学军中学2024-2025学年高二下学期5月月考数学试题

杭州学军中学2024学年第二学期5月月考 高二数学试卷 命卷人：胡洋溱、高程宇 审卷人：张志强 一、单项选择题（每小题5分） 1. 已知全集，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意结合运算求解即可. 【详解】因为， 所以. 故选：C. 2. 已知复数均不为0，则下列等式不恒成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据复数的运算性质可一一验证. 【详解】设， 对A，， ，，故A正确； ， ，，故B正确； ， ，故C错误； ，， ，故D正确； 故选：C. 3. 已知函数的图象关于原点对称，则（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】D 【解析】 【分析】由奇函数的定义，转化为恒成立问题求解即可. 【详解】易知定义域为，且是奇函数， 则对任意均成立， ， 即 解得． 故选：D. 4. 下列可以作为方程的图象的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】借助排除法，得到，不可能同时成立，即可排除A，B，C. 【详解】当时，， 若，则，即，不符合， 故，不可能同时成立，故A，B，C，选项错误. 故选：D 5. 若数列满足，且则的前2025项的和为（ ）． A. 1350 B. 1352 C. 2025 D. 2026 【答案】B 【解析】 【分析】由数列的递推公式可得数列可以看作以为一个周期的数列，然后代入计算，即可得到结果. 【详解】由题意可得， 因为，所以， 因为，所以， 因为，所以， 因为，所以，， 所以数列从第二项起是以1，1，0为周期的数列， 则. 故选：B 6. 若过点可以作曲线的两条切线，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】解法一：根据导数几何意义求得切线方程，再构造函数，利用导数研究函数图象，结合图形确定结果； 解法二：画出曲线的图象，根据直观即可判定点在曲线下方和轴上方时才可以作出两条切线. 【详解】在曲线上任取一点，对函数求导得， 所以，曲线在点处的切线方程为，即， 由题意可知，点在直线上，可得， 令，则. 当时，，此时函数单调递增， 当时，，此时函数单调递减， 所以，， 由题意可知，直线与曲线的图象有两个交点，则， 当时，，当时，，作出函数的图象如下图所示： 由图可知，当时，直线与曲线的图象有两个交点. 故选：D. 解法二：画出函数曲线的图象如图所示，根据直观即可判定点在曲线下方和轴上方时才可以作出两条切线.由此可知. 故选：D. 【点睛】解法一是严格的证明求解方法，其中的极限处理在中学知识范围内需要用到指数函数的增长特性进行估计，解法二是根据基于对指数函数的图象的清晰的理解与认识的基础上，直观解决问题的有效方法. 7. 对于非空集合，定义函数，，若存在，使得，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先由余弦函数的性质求解集合，再根据题意得，则，再讨论的情况即可． 【详解】由得，，故， 因为，所以， 所以， 因为集合补集中一段区间的长为， 所以当时，一定成立， 当时，时，有， 解得，所以满足的范围是， 综上所述，， 故选：B． 8. 已知定义在上的奇函数满足，且，当时，，则方程在区间上的根的个数为（ ） A. 9 B. 10 C. 17 D. 12 【答案】C 【解析】 【分析】根据函数的奇偶性、对称性，得出函数是周期函数，再根据当时，，结合其单调性、对称性、周期性作出函数在区间上的图象，利用函数与函数的图象，由交点的个数可得出方程根的个数. 【详解】因为是定义在上的奇函数，所以， 由可知，函数的图象关于直线对称， 则有，则，则， 所以，故是周期函数，周期. 又因为，所以，且有，则. 当时，是增函数， 且时，，时，，所以在上有且仅有一个零点. 函数与函数的图象如图， 由图可知，方程在区间上有10个根，去除后，还有9个根， 方程的根，即函数的图象与函数的图象的交点，有8个， 所以，方程在区间上的根的个数为. 故选：C. 二、多项选择题（每小题6分） 9. 如图，四边形的斜二测画法的直观图为等腰梯形，已知，，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. 四边形的面积为 D. 四边形的周长为 【答案】BC 【解析】 【分析】A选项，作出辅助线，得到各边长，结合，求出；B选项，由斜二测法可知；C选项，作出原图形，求出各边，由梯形面积公式得到C正确；D选项，在C基础上，求出各边长，得到周长. 【详解】A选项，过点作垂直于轴于点， 因为等腰梯形中，， 所以， 又，所以，A错误； B选项，由斜二测法可知，B正确； C选项，作出原图形，可知，，，， 故四边形的面积为，C正确； D选项，过点作于点， 则， 由勾股定理得， 四边形的周长为，D错误． 故选：BC. 10. 已知随机事件相互独立，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据条件概率公式和独立事件乘法公式即可判断ABC，再根据即可判断D. 【详解】对于B，，所以，故B正确； 对于A，，解得，故A错误； 对于C，，，故C正确； 对于D，，故D正确. 故选：BCD. 11. 已知双曲线的左､右焦点分别为、，过点的直线与双曲线的左､右两支分别交于、两点，下列命题正确的有（ ） A. 当点为线段的中点时，直线的斜率为 B. 若，则 C. D. 若直线的斜率为，且，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于A选项，设，代入双曲线，用点差法即可判断；对于B选项，设，表示出和，得出，再结合即可得出结论；对于C选项，设，其中，由双曲线方程，得出，利用两点之间距离公式，分别表示出和，通过做差即可得出结论；对于D选项，根据双曲线的定义，得出，再证出点与点关于直线对称，则，即可得出结论． 【详解】选项A： 设，代入双曲线得， ，两式相减得， ， ∵点为线段的中点， ∴，， 即，， ∴， ，此时直线方程为,与双曲线无交点，故A错误； 选项B： 设， ，， ， ， 又 ， ，故B正确； 选项C： 设，其中， 则，即， ， ， ， ， ， ，故C正确； 选项D： ，， ，， ， ∵直线的斜率为即，且过点， ∴直线的方程为：， 又∵，， ， 即， 又∵点到直线距离：， 点到直线的距离：， 即， ∴点与点关于直线对称， ， ，故D正确； 故选：BCD． 【点睛】结论点睛：本题涉及到双曲线中的有关结论： （1）若点是双曲线上一条弦的中点，则直线的斜率； （2）若双曲线上有两点、，且位于不同两支，则． 三、填空题（每小题5分） 12. 已知的面积为，，，则______. 【答案】2 【解析】 【分析】应用三角形面积公式可得，再由向量数量积的运算律有，结合已知即可得. 【详解】由题设，则， 又， 所以，则， 综上，. 故答案为：2 13. 已知直三棱柱的侧棱长为，底面为等边三角形.若存在球O与该三棱柱的各条棱都相切，求该直三棱柱的外接球的体积为__________. 【答案】 【解析】 【分析】设棱柱的下底面和上底面的中心分别为，可得的中点即球的球心，取中点，则为棱与球的切点，为球的半径，而点到棱的距离等于，利用勾股定理即可求得棱切球的半径，利用对称性，可得点也是该棱柱的外接球的球心，借助于即可求出外接球的半径，进而求得体积. 【详解】由题意,三棱柱是正三棱柱，设点分别为棱柱的下底面和上底面的中心， 由对称性知，的中点即球的球心，取中点(为切点)，则（等于点到棱的距离）， 设球的半径为，由正三角形的性质，与底面垂直， 则必与底面上直线垂直，故,解得. 又由对称性知，该直三棱柱的外接球球心即点，连接,因, 则即该直三棱柱的外接球的半径， 故该球的体积为：. 故答案：. 14. 甲、乙、丙、丁四人玩踢毽子游戏，第一次由甲踢出，每次踢出时，踢出者都等可能地将毽子踢给另外三个人中的任何一人．若第二次踢出后恰好踢给乙，则此毽子是由丙踢出的概率为__________，第次踢出后，毽子恰好踢给乙的概率为__________． 【答案】 ①. ## ②. 【解析】 【分析】（1）根据条件概率公式可得第二次毽子由丙踢出的概率； （2）若第次踢出后，毽子恰好踢给乙，则第次踢出后，毽子恰好不踢给乙，再由其踢给乙，即可根据马尔科夫链求出概率的递推关系，进而可得概率. 【详解】由已知条件可知，前两次踢出的毽子被接到的情况有（乙，甲），（乙，丙），（乙，丁），（丙，甲），（丙，乙），（丙，丁），（丁，甲），（丁，乙），（丁，丙），共种， 设事件：第二次踢出后恰好踢给乙，事件：第二次的毽子由丙踢出，乙接到， 则事件包含：（丙，乙），（丁，乙）两种情况；事件包含（丙，乙）一种情况， 则，， 则； 设第次踢出后，毽子恰好踢给乙的概率为， 易知若第次踢出后，毽子恰好踢给乙，则第次踢出后，毽子恰好不踢给乙，再由其踢给乙， 则，且， 则， 则数列是以为首项，为公比的等比数列， 则，即. 故答案为：；. 四、解答题（13+15+15+17+17） 15. 手机用户可通过某软件查看自己每天行走的步数，同时也可以和好友进行运动量的比较和点赞.若某人一天的行走步数超过8000，则评定为“积极型”，否则评定为“懈怠型”.从小王的男性和女性好友中各随机抽取了50名，统计其一天的步数并给出评定，得到如下数据： （1）能否有95%的把握认为“评定类型”与“性别”有关？ （2）以样本数据估计总体数据，且以频率估计概率.若从小王的所有男性好友中抽取3人，记其中评定为“积极型”的人数为，求随机变量的数学期望. 积极型 懈怠型 合计 男 女 10 合计 70 0.050 0.025 0.010 0.005 3.841 5.024 6.635 附：，其中. 【答案】（1）有95%把握认为“评定类型”与“性别”有关 （2） 【解析】 【分析】（1）先利用题目数据完善列联表，利用公式求出，根据临界值表进行判定； （2）先求出评定为“积极型”的概率，由二项分布求解概率，列表得到分布列，利用期望公式进行求解. 【小问1详解】 列联表如下： 积极型 懈怠型 合计 男 20 30 50 女 10 40 50 合计 30 70 100 则的观测值为， 所以有95%的把握认为“评定类型”与“性别”有关. 【小问2详解】 从小王的男性好友中任选一人，评定为“积极型”的概率为， 随机变量的可能值为，， 则，， ，， 所以的分布列为： 0 1 2 3 所以随机变量的数学期望. 16. 如图，等腰梯形的面积为，过点作于点.将沿翻折到的位置，使得平面平面. （1）求证：； （2）求平面与平面的夹角的余弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2）. 【解析】 【分析】（1）由平面平面得，利用勾股定理证，即可得平面，即得证； （2）建立空间直角坐标系，求平面的法向量为，平面的法向量为，利用向量的夹角公式即可求解. 【小问1详解】 连接，如图. 由梯形的面积公式可得梯形的高. 因为平面平面，平面平面， 即，平面，所以平面， 又平面，所以. 在中，利用勾股定理可得， 同理可得， 在中，，所以， 又平面， 所以平面，平面， 所以. 【小问2详解】 以为坐标原点，以所在直线分别为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 所以. 设平面的法向量为， 则，取. 设平面的法向量为， 则，取. 所以， 所以平面与平面的夹角的余弦值为. 17. 已知函数． （1）求的最小值； （2）若恒成立，求m的最大值； （3）求零点的个数，并求出所有零点之和． 【答案】（1） （2） （3）2个零点，和为0 【解析】 【分析】（1）求出，再利用导数求出最小值. （2）由（1）的信息确定的单调性，求出最小值，进而确定m的最大值. （3）由（2）的信息，结合零点存在性定理求出函数零点个数，探讨性质求出零点和. 【小问1详解】 函数的定义域为R，求导得，令， 求导得，当时，；当时，， 函数，即在上单调递减，在上单调递增， 所以当时，取得最小值. 【小问2详解】 由（1）知，即在上单调递减，在上单调递增， ，则存在，使得，即， 当时，，而当时，，因此当时，； 当时，，函数在上单调递减，在上单调递增， ，依题意，， 函数在上递增，，而，则， 所以m的最大值是. 【小问3详解】 由（2）知，函数在上单调递减，在上单调递增，， 又，， 因此函数在和各有一个零点，共两个零点， 设是零点，， 又，即也是零点， 所以函数的零点和为. 18. 已知椭圆左焦点为，离心率为，以坐标原点为圆心，为半径作圆使之与直线相切. （1）求的方程； （2）设点，，是椭圆上关于轴对称的两点，交于另一点， ①证明：直线经过定点； ②求的内切圆半径的范围. 【答案】（1） （2）①证明见解析；② 【解析】 【分析】（1）由题意得，解方程组可求出，从而可得椭圆的方程； （2）①设的方程为，代入椭圆方程化简利用根与系数的关系，再由点三点共线且斜率一定存在，可求得，即可求证直线过定点， ②再结合为椭圆右焦点，所求内切圆半径为，则，化简换元后可求出其范围. 【小问1详解】 依题意， 解得，， 所以的方程为. 小问2详解】 ①因为不与轴重合，所以设的方程为， 设点，，则 联立，得， 则，， 因为点，，三点共线且斜率一定存在， 所以， 所以，将，代入 化简可得，故， 解得，满足 所以直线过定点，且为椭圆右焦点 ②设所求内切圆半径为，因为， 所以 令，则， 所以， 因为，对勾函数在上单调递增， 所以，则. 所以内切圆半径的范围为. 【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下： （1）设直线方程，设交点坐标为； （2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，必要时计算； （3）列出韦达定理； （4）将所求问题或题中的关系转化为、（或、）的形式； （5）代入韦达定理求解. 19. 给定正整数，数列，其中，且．若数列满足：，，时，或，则称数列B为数列A的“调节数列”． （1）写出数列的所有调节数列B； （2）若数列A满足通项（），将数列A的调节数列中的递增数列记为，数列中的各项和为（），求m及所有的值； （3）已知数列A满足：，，且A的所有调节数列是递增数列，求满足条件的A的个数． 【答案】（1） （2）， （3）所有符合条件的数列A共有个 【解析】 【分析】（1）根据“调节数列”的定义即可求解； （2）由“调节数列”和数列的定义易得的值，根据条件依次写出满足条件的，再根据分组转化法求和； （3）首先由数列A为递增数列，则条件①，②，③都恒成立，再由④分析，得到的不同取法种数，即可求解符合条件的数列A的个数. 【小问1详解】 . 【小问2详解】 因为，由题意共个数， 而共有项，则“调节数列”共有种情况，所以. 不妨设；则 ；则 依此类推；则 故 【小问3详解】 依题意，对任意， 有或或， 因为均为递增数列，所以，即同时满足： ①，②，③，④. 因为A为递增数列，因此①和②恒成立. 又因为A为整数数列，对于③，也恒成立. 对于④，一方面，由，得，即. 另一方面，，所以， 即A从第2项到第项是连续的正整数， 所以， 因此， 故共有种不同取值，即所有符合条件的数列A共有个. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 杭州学军中学2024学年第二学期5月月考 高二数学试卷 命卷人：胡洋溱、高程宇 审卷人：张志强 一、单项选择题（每小题5分） 1. 已知全集，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数均不为0，则下列等式不恒成立的是（ ） A. B. C. D. 3. 已知函数的图象关于原点对称，则（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 4. 下列可以作为方程的图象的是（ ） A. B. C. D. 5. 若数列满足，且则的前2025项的和为（ ）． A. 1350 B. 1352 C. 2025 D. 2026 6. 若过点可以作曲线的两条切线，则（ ） A. B. C. D. 7. 对于非空集合，定义函数，，若存在，使得，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知定义在上的奇函数满足，且，当时，，则方程在区间上的根的个数为（ ） A 9 B. 10 C. 17 D. 12 二、多项选择题（每小题6分） 9. 如图，四边形的斜二测画法的直观图为等腰梯形，已知，，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. 四边形的面积为 D. 四边形的周长为 10. 已知随机事件相互独立，且，则（ ） A. B. C D. 11. 已知双曲线的左､右焦点分别为、，过点的直线与双曲线的左､右两支分别交于、两点，下列命题正确的有（ ） A. 当点为线段的中点时，直线的斜率为 B 若，则 C. D. 若直线的斜率为，且，则 三、填空题（每小题5分） 12. 已知的面积为，，，则______. 13. 已知直三棱柱的侧棱长为，底面为等边三角形.若存在球O与该三棱柱的各条棱都相切，求该直三棱柱的外接球的体积为__________. 14. 甲、乙、丙、丁四人玩踢毽子游戏，第一次由甲踢出，每次踢出时，踢出者都等可能地将毽子踢给另外三个人中的任何一人．若第二次踢出后恰好踢给乙，则此毽子是由丙踢出的概率为__________，第次踢出后，毽子恰好踢给乙的概率为__________． 四、解答题（13+15+15+17+17） 15. 手机用户可通过某软件查看自己每天行走的步数，同时也可以和好友进行运动量的比较和点赞.若某人一天的行走步数超过8000，则评定为“积极型”，否则评定为“懈怠型”.从小王的男性和女性好友中各随机抽取了50名，统计其一天的步数并给出评定，得到如下数据： （1）能否有95%的把握认为“评定类型”与“性别”有关？ （2）以样本数据估计总体数据，且以频率估计概率.若从小王的所有男性好友中抽取3人，记其中评定为“积极型”的人数为，求随机变量的数学期望. 积极型 懈怠型 合计 男 女 10 合计 70 0.050 0.025 0.010 0.005 3.841 5.024 6.635 附：，其中. 16. 如图，等腰梯形的面积为，过点作于点.将沿翻折到的位置，使得平面平面. （1）求证：； （2）求平面与平面的夹角的余弦值. 17. 已知函数． （1）求的最小值； （2）若恒成立，求m的最大值； （3）求零点的个数，并求出所有零点之和． 18. 已知椭圆左焦点为，离心率为，以坐标原点为圆心，为半径作圆使之与直线相切. （1）求的方程； （2）设点，，是椭圆上关于轴对称的两点，交于另一点， ①证明：直线经过定点； ②求的内切圆半径的范围. 19. 给定正整数，数列，其中，且．若数列满足：，，时，或，则称数列B为数列A“调节数列”． （1）写出数列所有调节数列B； （2）若数列A满足通项（），将数列A的调节数列中的递增数列记为，数列中的各项和为（），求m及所有的值； （3）已知数列A满足：，，且A的所有调节数列是递增数列，求满足条件的A的个数． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $