精品解析： 浙江省杭州学军中学2023-2024学年高二下学期6月月考数学试题

2023学年第二学期高二数学学科测试卷（五） 命题人：崔舒静 审题人：詹长刚 一. 单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知角的终边上一点，且，则（ ） A. B. C. D. 3. 函数的单调递减区间为（ ） A. B. C. D. 4. 下列图像中，不可能成为函数的图像的是（ ）． A. B. C. D. 5. 已知向量，满足，，，则在上的投影向量的坐标为（ ） A. B. C. D. 6. “欢乐颂”是尊称为“乐圣”“交响乐之王”的神圣罗马帝国音乐家贝多芬一生创作的重要作品之一．如图，以时间为横轴、音高为纵轴建立平面直角坐标系，那么写在五线谱中的音符就变成了坐标系中的点，如果这些点在函数的图象上，且图象过点，相邻最大值与最小值之间的水平距离为，则是函数的单调递增区间的是（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数，若有三个零点，则实数m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 张衡是中国东汉时期伟大天文学家、数学家， 他曾在数学著作《算罔论》中得出结论：圆周率的平方除以十六约等于八分之五． 已知在菱形中，， 将沿进行翻折， 使得． 按张衡的结论， 三棱锥外接球的表面积约为（ ） A. 72 B. C. D. 二. 多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得3分，有选错的得0分. 9. 中，为边上一点，且满足，若为边上的一点，且满足，则下列结论正确的是（ ） A. B. 的最大值为 C. 的最小值为 D. 的最小值为 10. 对于数列，若存在正数M，使得对一切正整数n，都有，则称数列是有界的.若这样的正数M不存在，则称数列是无界的.记数列的前n项和为，下列结论正确的是（ ） A. 若，则数列是无界的 B. 若，则数列是有界的 C. 若，则数列是有界的 D. 若，则数列是有界的 11. 已知函数及其导函数的定义域均为，若是奇函数，，且对任意x，，，则（ ） A. B. C. D. 三. 填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知复数满足（其中虚数单位），则_____________. 13. 某艺校在一天的6节课中随机安排语文、数学、外语三门文化课和其他三门艺术课各1节，则在课表上的相邻两节文化课之间最多间隔1节艺术课的概率为 （用数字作答）. 14. 已知，，过轴上一点分别作两圆的切线，切点分别是，，求的最小值为_____________. 四. 解答题：本题共5小题，共77分，其中第15题13分，第16题和第17题每题15分，第18题和第19题每题17分，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知的角的对边分别为 ，且， （1）求角; （2）若平分交线段于点，且，求的周长. 16. 如图，在正方体中，.分别是棱，的中点. （1）证明：平面. （2）求二面角的余弦值. 17. 已知某系统由一个电源和并联的三个元件组成，在电源电压正常的情况下，至少一个元件正常工作才可保证系统正常运行，电源及各元件之间工作相互独立. （1）电源电压（单位：）服从正态分布，且的累积分布函数为，求. （2）在统计中，指数分布常用于描述事件发生的时间间隔.已知随机变量（单位：天）表示某元件的使用寿命，服从指数分布，其累积分布函数为 . （ⅰ）设，证明：； （ⅱ）若第天只有元件发生故障，求第天系统正常运行的条件概率. 附：若随机变量服从正态分布，则， ，. 18. 已知双曲线实轴长为2，离心率为，圆的方程为，过圆上任意一点作圆的切线交双曲线于，两点. （1）求双曲线的方程； （2）求证：； （3）若直线与双曲线的两条渐近线的交点为，，且，求实数的范围. 19 给定常数，定义函数，数列满足. （1）若，求及； （2）求证：对任意，； （3）是否存在，使得成等差数列？若存在，求出所有这样的，若不存在，说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023学年第二学期高二数学学科测试卷（五） 命题人：崔舒静 审题人：詹长刚 一. 单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由对数型函数的值域结合集合运算判定选项即可. 【详解】由题意可得，即， 所以，，，即A、B、C三选项错误，D正确. 故选：D 2. 已知角的终边上一点，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先通过三角函数的定义求出，代入求出，继而求出的值. 【详解】角的终边上一点 ， 解得. . 故选：B. 3. 函数的单调递减区间为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先求出定义域，再利用复合函数同增异减求出函数的单调递减区间. 【详解】令得， 故的定义域为， 在上单调递增， 由复合函数单调性满足同增异减可得， 只需求出在上的单调递减区间， 在上单调递减， 故数的单调递减区间为. 故选：C 4. 下列图像中，不可能成为函数的图像的是（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用导数讨论函数的单调性和讨论函数值的正负得到答案. 【详解】因为，，所以 当时，无解，且 此时在，单调递增，D选项符合此种情况. 当时有两个解，且 此时在，单调递增，B选项符合此种情况. 当时当时易知，时 所以函数图像不可能是C. 故选：C 5. 已知向量，满足，，，则在上的投影向量的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据投影向量的定义以及向量的坐标运算求解即可. 【详解】因为，所以， 又把两边平方得 ，即， 解得， 所以在的投影向量坐标为， 故选：A. 6. “欢乐颂”是尊称为“乐圣”“交响乐之王”的神圣罗马帝国音乐家贝多芬一生创作的重要作品之一．如图，以时间为横轴、音高为纵轴建立平面直角坐标系，那么写在五线谱中的音符就变成了坐标系中的点，如果这些点在函数的图象上，且图象过点，相邻最大值与最小值之间的水平距离为，则是函数的单调递增区间的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题意求出最小正周期，从而求出，再利用特殊点求出的值，从而得到函数的解析式，利用正弦函数的单调性求解单调增区间，即可得到结果． 【详解】因为函数图象相邻最大值与最小值之间的水平距离为， 所以函数的周期为，所以， 又图象过点， 所以，可得， 则有或， 即或， 又，所以，所以， 令，解得， 所以函数的单调区间为， 当时，函数的单调递增区间为，故选项B正确． 故选：B． 7. 已知函数，若有三个零点，则实数m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题可知时，函数至多有一个零点，进而可得时，要使得有两个零点，然后根据二次函数的性质结合条件即得. 【详解】当时，单调递增且，此时至多有一个零点， 若有三个零点，则时，函数有两个零点； 当时，，故； 当时，要使有两个零点， 则， 所以，又， 所以实数m的取值范围是. 故选：C. 8. 张衡是中国东汉时期伟大的天文学家、数学家， 他曾在数学著作《算罔论》中得出结论：圆周率的平方除以十六约等于八分之五． 已知在菱形中，， 将沿进行翻折， 使得． 按张衡的结论， 三棱锥外接球的表面积约为（ ） A. 72 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由球的性质确定三棱锥外接球的球心位置和球的半径，由此可求球的表面积. 【详解】如图1， 取BD的中点M，连接．由，可得为正三角形，且，所以，则， 以M为原点，为轴，为轴，过点M且与平面垂直的直线为轴建立空间直角坐标系如图2， 则， ．设为三棱锥的外接球球心，则在平面的投影必为的外心，则设．由可得，解得，所以． 由张衡的结论，，所以， 则三棱锥的外接球表面积为， 故选：B． 二. 多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得3分，有选错的得0分. 9. 中，为边上的一点，且满足，若为边上的一点，且满足，则下列结论正确的是（ ） A. B. 的最大值为 C. 的最小值为 D. 的最小值为 【答案】BD 【解析】 【分析】根据平面向量共线定理可知A错误； 根据，利用基本不等式可求得最大值，知B正确； 由，利用基本不等式可求得最小值，知C错误； 利用基本不等式可得，知D正确. 【详解】对于A，， 三点共线，，A错误； 对于B，，（当且仅当时取等号），B正确； 对于C，（当且仅当，即时取等号），C错误； 对于D，（当且仅当时取等号），D正确. 故选：BD. 【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：一正二定三相等. （1）“一正”就是各项必须为正数； （2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，必须把构成积的因式的和转化成定值； （3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方. 10. 对于数列，若存在正数M，使得对一切正整数n，都有，则称数列是有界的.若这样的正数M不存在，则称数列是无界的.记数列的前n项和为，下列结论正确的是（ ） A. 若，则数列是无界的 B. 若，则数列是有界的 C. 若，则数列是有界的 D. 若，则数列是有界的 【答案】BC 【解析】 【分析】利用有界数列与无界数列的定义，结合放缩法与等比数列的前项和公式即可得解. 【详解】对于A，恒成立， 存在正数，使得恒成立， 数列是有界的，A错误； 对于B，，， ， ， 所以存在正数，使得恒成立， 则数列是有界的，B正确； 对于C，因为， 所以当为偶数时，；当为奇数时，； ，存在正数，使得恒成立， 数列是有界的，C正确； 对于D，， ； 在上单调递增，， 不存在正数，使得恒成立， 数列是无界的，D错误. 故选：BC. 11. 已知函数及其导函数的定义域均为，若是奇函数，，且对任意x，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】根据赋值法，结合原函数与导函数的对称性，奇、偶函数的定义、函数周期性进行求解即可. 【详解】令，得，因为， 所以，所以A错误； 令，得①，所以， 因为是奇函数，所以是偶函数， 所以②，由①②， 得， 即， 所以， 所以，是周期为3的函数，所以， ， 所以B正确，C错误； 因为， 在①中令得， 所以， ，所以D正确． 故选：BD． 【点睛】对于可导函数有： 奇函数的导数为偶函数 偶函数的导数为奇函数 若定义在R上的函数是可导函数，且周期为T，则其导函数是周期函数，且周期也为T 三. 填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知复数满足（其中为虚数单位），则_____________. 【答案】 【解析】 【分析】根据复数的乘法运算求出复数z，即可求得答案. 【详解】由题意得， 故， 故答案为： 13. 某艺校在一天的6节课中随机安排语文、数学、外语三门文化课和其他三门艺术课各1节，则在课表上的相邻两节文化课之间最多间隔1节艺术课的概率为 （用数字作答）. 【答案】： 【解析】 【分析】三门文化课排列，中间有两个空，若每个空各插入1节艺术课，则排法种数为，若两个空中只插入1节艺术课，则排法种数为，三门文化课中相邻排列，则排法种数为，而所有的排法共有种，由此求得所求事件的概率． 【详解】解：把语文、数学、外语三门文化课排列，有种方法，这三门课中间存在两个空，在两个空中， ①若每个空各插入1节艺术课，则排法种数为， ②若两个空中只插入1节艺术课，则排法种数为， ③若语文、数学、外语三门文化课相邻排列，把三门文化课捆绑为一个整体， 然后和三门艺术课进行排列，则排法种数为， 而所有的排法共有种， 故在课表上的相邻两节文化课之间最多间隔1节艺术课的概率为， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查等可能事件的概率，体现了分类讨论的数学思想，属于基础题． 14. 已知，，过轴上一点分别作两圆切线，切点分别是，，求的最小值为_____________. 【答案】 【解析】 【分析】根据圆的切线的几何性质可推出，可看作点到的距离的和，结合几何意义即可求得答案. 【详解】由题意知的圆心为，半径， 的圆心为，半径， 设，则， ， 则， 设，则， 当且仅当三点共线时取等号， 此时的最小值为， 故答案为： 四. 解答题：本题共5小题，共77分，其中第15题13分，第16题和第17题每题15分，第18题和第19题每题17分，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知的角的对边分别为 ，且， （1）求角; （2）若平分交线段于点，且，求的周长. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先利用余弦定理化简，然后代入已知式子中利用正弦定理统一成边的形式，再利用余弦定理可求出角， （2）由结合平分，可得，作于，则由结合已知条件可得，解方程组可求得，再利用余弦定理可求出，从而可求出三角形的周长. 【小问1详解】 由余弦定理得 所以可化为 再由正弦定理，得，得， 所以. 因， 所以 【小问2详解】 因为平分，所以. 由， 得. 作于， 则. 由，解得 由余弦定理，得，所以 故的周长为 16. 如图，在正方体中，.分别是棱，的中点. （1）证明：平面. （2）求二面角的余弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 分析】（1）法一：建立空间直角坐标系，得到，，所以，，证明出线面垂直； 法二：作出辅助线，先由线面垂直得到，再根据三角形全等得到，进而得到平面，得到，从而证明出平面； （2）利用空间向量求解二面角余弦值. 【小问1详解】 法一：以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系. 设正方体的棱长为2，则，，，，，. ，，. 因为，，所以，. 因为，平面，所以平面. 法二：连接，，. 在正方体中，平面，所以. 因为，，平面，所以平面. 因为平面，所以. 因为平面，平面，所以. 在正方形，，分别是边，的中点，可得， 所以，，所以. 因为，平面，所以平面. 因为平面，所以. 因为，平面，所以平面. 【小问2详解】 结合（1）可得为平面的一个法向量. . 设平面的法向量为，则， 解得，令，得，所以， . 由图可知二面角为锐角，故二面角的余弦值为. 17. 已知某系统由一个电源和并联的三个元件组成，在电源电压正常的情况下，至少一个元件正常工作才可保证系统正常运行，电源及各元件之间工作相互独立. （1）电源电压（单位：）服从正态分布，且的累积分布函数为，求. （2）在统计中，指数分布常用于描述事件发生的时间间隔.已知随机变量（单位：天）表示某元件的使用寿命，服从指数分布，其累积分布函数为 . （ⅰ）设，证明：； （ⅱ）若第天只有元件发生故障，求第天系统正常运行条件概率. 附：若随机变量服从正态分布，则， ，. 【答案】（1） （2）（ⅰ）证明见解析（ⅱ） 【解析】 【分析】（1）根据正态分布的对称性即可结合的定义求解;（2）（ⅰ）根据条件概率的计算公式集合的定义以及的定义域即可求解，（ⅱ）根据独立事件的概率公式求解即可.． 【小问1详解】 由题设得，， 所以 【小问2详解】 （ⅰ）由题设得： ， , 所以． （ⅱ）由（ⅰ）得 ， 所以第天元件正常工作的概率均为． 为使第天系统仍正常工作，元件必须至少有一个正常工作， 因此所求概率为. 18. 已知双曲线的实轴长为2，离心率为，圆的方程为，过圆上任意一点作圆的切线交双曲线于，两点. （1）求双曲线的方程； （2）求证：； （3）若直线与双曲线的两条渐近线的交点为，，且，求实数的范围. 【答案】（1） （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）由题意列式求出，即可得答案； （2）分类讨论，求出和时，结论成立；当时，利用圆在处的切线方程为，联立双曲线方程，可得根与系数的关系式，计算的值，即可证明结论； （3）求出弦长以及的表达式，可得，再结合特殊情况下的取值，即可确定答案. 【小问1详解】 由题意知双曲线的实轴长为2，离心率为， 故，解得， 故双曲线的方程为； 【小问2详解】 证明：设，则，当时，不妨取， 此时不妨取，则，即； 同理可证当时，有； 当时，圆在处的切线方程为， 即； 由可得， 因为切线交双曲线于，两点， 故，， 设，则， 故 ， 故， 综合上述可知； 【小问3详解】 由（2）可得当时，， ； 的渐近线方程为， 联立，得， 同理可得， 则 ， 由于，故， 由于，则； 当时，不妨取，则， 此时； 当时，不妨取，则， 此时； 综合上述可知. 19. 给定常数，定义函数，数列满足. （1）若，求及； （2）求证：对任意，； （3）是否存在，使得成等差数列？若存在，求出所有这样的，若不存在，说明理由. 【答案】见解析 【解析】 【详解】（1）因为，，故， （2）要证明原命题，只需证明对任意都成立， 即只需证明 若，显然有成立； 若，则显然成立 综上，恒成立，即对任意的， （3）由（2）知，若为等差数列，则公差，故n无限增大时，总有 此时， 即 故， 即， 当时，等式成立，且时，，此时为等差数列，满足题意； 若，则， 此时，也满足题意； 综上，满足题意的的取值范围是． 【考点定位】考查数列与函数的综合应用，属难题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$