精品解析：2025年江苏省盐城市鹿鸣路初级中学第三次中考模拟数学试卷

盐城市鹿鸣路初级中学 2025届初三年级第三次模拟考试 数学试卷 一、选择题：共有8小题，每小题3分，共24 分，每小题只有一项是符合题目要求的． 1. 《九章算术》记载的“余”和“不足”等概念，充分说明中国是世界上最早采用正负数表示相反意义量的国家，若将“收入80元”记作“元”，则“支出30元”记作（ ） A. 50元 B. 元 C. 30元 D. 元 2. 下列四幅照片中，主体建筑的构图不对称的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列运算正确是（ ） A. B. C. D. 4. 盐城风力发电发展迅猛，已成为全国海上风电产业的核心基地，2024年累计发电量312亿千瓦时，将数312亿用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 5. 如果一个几何体的展开图如下图所示，则它是下列哪个几何体（ ） A. B. C. D. 6. 不等关系在生活中广泛存在．如图，、分别表示两位同学的身高，表示台阶的高度．图中两人的对话体现的数学原理是（　　） A. 若，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 7. 如图，在中，平分，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 8. 函数的图像如图所示，类似地，函数的图像为（ ） A. B. C. D. 二、填空题：共有8小题，每小题3分，共24分． 9. 16的平方根是______． 10. 分解因式∶__________ 11. 一个多边形的内角和是，这个多边形的边数是______． 12. 如图，和是以点为位似中心的位似图形，点在线段，若，则和的周长比为_______ 13. 如图，点在以为直径的半圆上，半径，，则的长度为______(结果保留) 14. 若关于一元二次方程的两个解是，，则的值是____ 15. 如图，已知一次函数的图像分别与、轴交于两点，若则关于的不等式的解集为_______ 16. 平面直角坐标系中，直线与双曲线相交于两点，其中点在第二象限．设为双曲线上一点，直线分别交轴于两点，则 的值为_______ 三、解答题：本大题共有 11 小题，共102分，解答时应写出文字说明、推理过程或演算步骤． 17. 计算： 18. 解不等式组，并写出它的最小整数解． 19. 先化简，再求值．，其中． 20. 盐城是著名的“湿地之都”，境内有三处湿地景观：A处为丹顶鹤自然保护区内；B处为麋鹿自然保护区；C处为黄海森林公园．游客可以随机选择其中一个进行游览． （1）求丹顶鹤自然保护区被选中的概率为 （2）小盐和小城两位同学分别从三个景点中随机选择一个游览，请用列树状图或者表格的方法，求两人选择游览同一景点的概率． 21. 中国新能源产业异军突起：中国车企在政策引导和支持下，瞄准纯电、混动和氢燃料等多元技术路线，加大研发投入形成了领先技术优势，2024年，中国新能源汽车产销量均突破1200万辆，连续10年位居全球第一．在某次汽车展览会上，工作人员随机抽取了部分参展人员进行了“我最喜欢的汽车类型”的调查活动(每人限选其中一种类型)，并将数据整理后，绘制成下面有待完成的统计表、条形统计图和扇形统计图． 类型 人数 百分比 纯电 混动 氢燃料 油车 请根据以上信息，解答下列问题∶ （1）请计算本次调查活动随机抽取的人数 ，及的值 （2）请计算扇形统计图中“混动”类所在扇形的圆心角的度数 （3）若此次汽车展览会的参展人员共有人，请你估计喜欢新能源(纯电、混动、氢燃料)汽车的有多少人？ 22. 我校为进一步激发学生劳动热情，在校园开辟了蔬菜种植基地“空翠圃”：种植基地一面利用学校的墙(墙的最大可用长度为 米)，另三面用长为米的篱笆，围成中间隔有一道篱笆的矩形菜地，在菜地的前端及中间篱笆上设计了三个宽1米的小门，便于同学们进入． （1）若围成的菜地面积为平方米(中间篱笆忽略不计)，求此时边的长； （2）若每平方米可收获千克菜，问该片菜地最多可收获多少千克的菜？ 23. 如图1所示，某种型号的机器人在展示中国功夫时的精彩瞬间，图2是其瞬间的几何示意图，机器人的一腿直立于地面，小腿部分刚好与地面平行，上身垂直于大腿，即 于点，，于点是机器人小腿上踢后与大腿在同一直线的瞬间．(这里的小腿都包括脚面部分，上身包括头部部分)．已知 ，，求∶ （1）的度数 （2）点P距离地面的高度．(结果精确到．参考数据∶) 24. 已知，如图中，于点 （1）如图①，若是边上一点，将绕点H顺时针旋转，得到，连接．求证： （2）如图②，，利用直尺和圆规，分别在上作点使．(要求∶保留作图痕迹，并写出简要作法．) 25. 综合与实践 综合与实践 背 景 打印纸中的数学： 我们生活中常见的A4纸是由国际标准化组织的定义的，规格，世界上多数国家所使用的纸张尺寸都是采用这一国际标准，我们通过计算发现纸的长、宽之比约为，猜想纸的长、宽之比为，我们取一张纸，记为矩形，并通过以下几种折纸操作证明这一结论． 操 作 一 折叠一：如图1，是纸边上一点，将矩形沿折叠，使点的对应点恰好落在边上，另一张纸的长边恰好与重合． 操 作 二 折 叠 二 ：如图2，分别是纸边上一点，先将矩形沿折叠，使点的对应点恰好落在边上，再继续沿折叠，使点的对应点落在边上，点的对应点为点，发现此时点与点重合． 操 作 三 折叠三：如图3，是纸边上的点，将矩形沿折叠，使点的对应点落在边上，然后将矩形展开，再将矩形沿折叠，使点的对应点恰好落在边上，然后将矩形展开，折痕与交于点．如图4，将如图3的纸片沿折叠，发现与重合，与重合 ……． 问题解决 任 务 1 根据折叠一中的图1，求图1中的值为 ； 任 务 2 根据折叠二中的图2，若矩形边长，则长度为 ； 任 务 3 根据折叠三中的图4，连接并延长交于F，求 26. “鹿鸣学堂”数学兴趣小组研究发现∶在平面直角坐标系中，某些点的纵坐标比横坐标的倍还大(为常数)，则称此点为“倍大点”，例如、都是“倍大点”． 【验证感知】若时，“倍大点”为，则一次函数的图像上的“倍大点”的坐标为 【知识应用】若反比例函数 存在“倍大点”，求的取值范围； 【拓展延伸】若时，二次函数在的范围内，图像上有且只有个“倍大点”，求的取值范围． 27. 在平面直角坐标系中有正方形，点的坐标． （1）如图1，点在第一象限，半圆与轴、轴相切于点，半圆的半径为5，半圆交边于．则点的坐标是 ，的坐标是 ，点的坐标是 （2）如图2，在（1）的条件下，将半圆绕点顺时针旋转()，当半圆与边相切时，则点P坐标为 ，半圆从图1位置旋转到与边相切时，半圆扫过的面积为 （结果保留π） （3）如图3，在（1）条件下，将半圆沿线段向右平移一个单位到点，将半圆绕点顺时针旋转()．求当半圆正好过点时，在五边形中所剪出最大圆的面积．（参考数据∶） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 盐城市鹿鸣路初级中学 2025届初三年级第三次模拟考试 数学试卷 一、选择题：共有8小题，每小题3分，共24 分，每小题只有一项是符合题目要求的． 1. 《九章算术》记载的“余”和“不足”等概念，充分说明中国是世界上最早采用正负数表示相反意义量的国家，若将“收入80元”记作“元”，则“支出30元”记作（ ） A. 50元 B. 元 C. 30元 D. 元 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了具有相反意义的量，正负数是一对具有相反意义的量，若收入用“”表示，那么支出就用“”表示，据此求解即可． 【详解】解：若将“收入80元”记作“元”，则“支出30元”记作元， 故选：D． 2. 下列四幅照片中，主体建筑的构图不对称的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称图形的识别，根据轴对称图形的定义进行逐一判断即可：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就叫做对称轴． 【详解】解：由题意得，B、C、D三个选项中的图形都是对称图形， A选项中的图形不是对称图形， 故选：A 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了同底数幂乘除法计算，积的乘方计算，合并同类项，根据相关计算法则求出对应选项中式子的结果即可得到答案． 【详解】解：A、，原式计算错误，不符合题意； B、，原式计算错误，不符合题意； C、与不是同类项，不能合并，原式计算错误，不符合题意； D、，原式计算正确，符合题意； 故选：D． 4. 盐城风力发电发展迅猛，已成为全国海上风电产业的核心基地，2024年累计发电量312亿千瓦时，将数312亿用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了科学记数法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案． 【详解】解：312亿， 故选：B． 5. 如果一个几何体的展开图如下图所示，则它是下列哪个几何体（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查几何体的展开图，根据三棱柱的展开图特点解题即可． 【详解】由题可知，几何体为三棱柱． 故选：C． 6. 不等关系在生活中广泛存在．如图，、分别表示两位同学的身高，表示台阶的高度．图中两人的对话体现的数学原理是（　　） A. 若，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查不等式的性质，熟记不等式性质是解决问题的关键．根据不等式的性质即可解答． 【详解】解：由作图可知：，由右图可知：，即A选项符合题意． 故选：A． 7. 如图，在中，平分，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，由三角形内角和定理可得的度数，再由角平分线的定义即可得到答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， 故选：D． 8. 函数的图像如图所示，类似地，函数的图像为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数图像的识别，分别求出当时和当时的函数解析式，进而得到当时和当时函数的开口方向和对称轴，再结合函数图象即可得到答案． 【详解】解：当时，函数解析式为， 当时，函数解析式为， ∴当时，该函数是二次函数，开口向上，对称轴为直线， 当时，该函数是二次函数，开口向上，对称轴为直线， 故的图像为 故选：C． 二、填空题：共有8小题，每小题3分，共24分． 9. 16的平方根是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了平方根的定义，熟练掌握平方根的定义是解答本题的关键，如果一个数的平方等于a，则这个数叫做a的平方根，即，那么x叫做a的平方根．正数有两个不同的平方根，它们是互为相反数，0的平方根是0，负数没有平方根． 根据平方根的定义作答即可． 【详解】解：∵， ∴16的平方根是． 故答案为：． 10. 分解因式∶__________ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了因式分解，提取公因式，即可求解． 【详解】解： 故答案为：． 11. 一个多边形的内角和是，这个多边形的边数是______． 【答案】六 【解析】 【分析】利用多边形内角和公式（为边数且且为整数 ），将内角和代入公式，通过解方程求出边数．本题主要考查了多边形内角和公式，熟练掌握多边形内角和公式是解题的关键． 【详解】边形的内角和为， ， 解得， 这个多边形的边数是六． 故答案为六． 12. 如图，和是以点为位似中心的位似图形，点在线段，若，则和的周长比为_______ 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了位似图形的性质，位似图形的周长之比等于位似比，据此只需要根据得到即可得到答案． 【详解】解：∵和是以点为位似中心的位似图形，点在线段，且， ∴， ∴和的周长比为， 故答案为：． 13. 如图，点在以为直径的半圆上，半径，，则的长度为______(结果保留) 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了弧长公式、根据，得出，进而根据弧长公式计算，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∴的长度为， 故答案为：． 14. 若关于的一元二次方程的两个解是，，则的值是____ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了根与系数的关系：若是一元二次方程的两根时， ， ．也考查了一元二次方程的解．先根据分别是关于的一元二次方程的两个根，得，再利用整体代入的方法计算． 【详解】∵关于的一元二次方程的两个根是，， ∴， ∴ 故答案为：． 15. 如图，已知一次函数的图像分别与、轴交于两点，若则关于的不等式的解集为_______ 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数与一元一次不等式之间的关系，根据一次函数与轴交点坐标可得出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵一次函数的图象与轴交于点， ∴关于的不等式的解集为． 故答案为：． 16. 平面直角坐标系中，直线与双曲线相交于两点，其中点在第二象限．设为双曲线上一点，直线分别交轴于两点，则 的值为_______ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查反比例函数与一次函数的综合题，掌握二者的基本性质是解决本题的关键．设则，分别表示出，的解析式，令可计算出和的长，相减即可得到结论． 【详解】解：设则， 设直线的解析式为：，代入， 则， 解得：， ∴直线的解析式为：， ∴， 设直线的解析式为：，代入， 则， 解得：， ∴直线的解析式为： ， ∴， ∵， ∴， ∴ ， 故答案为：． 三、解答题：本大题共有 11 小题，共102分，解答时应写出文字说明、推理过程或演算步骤． 17. 计算： 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了实数的混合运算，熟练掌握负整数指数幂、特殊角的三角函数值、绝对值的性质、二次根式的性质是解答本题的关键． 【详解】解： 18. 解不等式组，并写出它的最小整数解． 【答案】，最小整数解为： 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，不等式的整数解，解题的关键是掌握不等式的求解方法，先求出不等式组的解集，再得出最小整数解即可． 【详解】解：， ， 解得：； ， ， 解得：； 故不等式组的解为：， 其最小整数解：． 19. 先化简，再求值．，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的化简求值，先把小括号内的式子通分，再把除号后面的分式的分子和分母分解因式，接着把除法变成乘法后约分化简，最后代值计算即可得到答案． 【详解】解： ， 当时，原式． 20. 盐城是著名的“湿地之都”，境内有三处湿地景观：A处为丹顶鹤自然保护区内；B处为麋鹿自然保护区；C处为黄海森林公园．游客可以随机选择其中一个进行游览． （1）求丹顶鹤自然保护区被选中的概率为 （2）小盐和小城两位同学分别从三个景点中随机选择一个游览，请用列树状图或者表格的方法，求两人选择游览同一景点的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了简单的概率计算，树状图法或列表法求解概率，熟知概率计算公式是解题的关键． （1）直接根据概率计算公式求解即可； （2）先列表得到所有等可能性的结果数，再找到两人选择游览同一景点的结果数，最后依据概率计算公式求解即可． 【小问1详解】 解：∵一共有3个景观，且每个景观被选择的概率相同， ∴丹顶鹤自然保护区被选中的概率为； 【小问2详解】 解：列表如下： 小盐 小城 由表格可知， 一共有9种等可能性的结果数，其中两人选择游览同一景点的结果数有3种， ∴两人选择游览同一景点的概率为． 21. 中国新能源产业异军突起：中国车企在政策引导和支持下，瞄准纯电、混动和氢燃料等多元技术路线，加大研发投入形成了领先的技术优势，2024年，中国新能源汽车产销量均突破1200万辆，连续10年位居全球第一．在某次汽车展览会上，工作人员随机抽取了部分参展人员进行了“我最喜欢的汽车类型”的调查活动(每人限选其中一种类型)，并将数据整理后，绘制成下面有待完成的统计表、条形统计图和扇形统计图． 类型 人数 百分比 纯电 混动 氢燃料 油车 请根据以上信息，解答下列问题∶ （1）请计算本次调查活动随机抽取的人数 ，及的值 （2）请计算扇形统计图中“混动”类所在扇形圆心角的度数 （3）若此次汽车展览会的参展人员共有人，请你估计喜欢新能源(纯电、混动、氢燃料)汽车的有多少人？ 【答案】（1），； （2）； （3）估计喜欢新能源（纯电、混动、氢燃料）汽车的有人． 【解析】 【分析】本题考查了条形统计图和扇形统计图，用样本估计总体等知识，掌握相关知识是解题的关键． （1）用喜欢纯电的人数除以所占的百分比，进而可以求出的值； （2）用乘以喜欢混动所占的百分比即可求解； （3）用总人数乘以样本中喜欢新能源车所占的百分比即可求解． 【小问1详解】 解：本次调查活动随机抽取的人数为： （人）， ， ∴； 故答案为：，；． 【小问2详解】 解：本次调查活动喜欢混动类的人数为： （人） ∴“混动”类所在扇形的圆心角的度数为： ； 故答案为：． 【小问3详解】 解：（人）， ∴估计喜欢新能源（纯电、混动、氢燃料）汽车的有人． 22. 我校为进一步激发学生劳动热情，在校园开辟了蔬菜种植基地“空翠圃”：种植基地一面利用学校墙(墙的最大可用长度为 米)，另三面用长为米的篱笆，围成中间隔有一道篱笆的矩形菜地，在菜地的前端及中间篱笆上设计了三个宽1米的小门，便于同学们进入． （1）若围成的菜地面积为平方米(中间篱笆忽略不计)，求此时边的长； （2）若每平方米可收获千克的菜，问该片菜地最多可收获多少千克的菜？ 【答案】（1）菜地的面积能达到时的长为． （2）该片菜地最多可收获千克的菜． 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，二次函数的应用，熟练掌握方程的应用和二次函数最值的应用是解题的关键． （1）设，则，依题意列方程计算即可． （2）设菜地的面积为，依题意构造二次函数计算即可． 【小问1详解】 设，则，依题意，得： ， 即， 解得：，， 当时，（不合题意，舍去）， 当时，． 答：菜地的面积能达到时的长为． 【小问2详解】 设菜地面积为，依题意，得： ， ∴当时，y有最大值为． 即菜地的最大面积是． ∴（千克）， 答：该片菜地最多可收获千克的菜． 23. 如图1所示，某种型号的机器人在展示中国功夫时的精彩瞬间，图2是其瞬间的几何示意图，机器人的一腿直立于地面，小腿部分刚好与地面平行，上身垂直于大腿，即 于点，，于点是机器人小腿上踢后与大腿在同一直线的瞬间．(这里的小腿都包括脚面部分，上身包括头部部分)．已知 ，，求∶ （1）的度数 （2）点P距离地面的高度．(结果精确到．参考数据∶) 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，平行线的性质，垂线的定义，正确作出辅助线是解题的关键． （1）由垂线的定义得到，再证明，由平行线的性质可得，据此可得答案； （2）过点P作交延长线于T，证明，解求出的长即可得到答案． 【小问1详解】 解：如图所示，过点A作， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解；如图所示，过点P作交延长线于T， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴， 答：点P距离地面的高度约为． 24. 已知，如图中，于点 （1）如图①，若是边上一点，将绕点H顺时针旋转，得到，连接．求证： （2）如图②，，利用直尺和圆规，分别在上作点使．(要求∶保留作图痕迹，并写出简要作法．) 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形性质与判定，垂线的尺规作图，线段的尺规作图，作与已知角相等的角的尺规作图，熟知相关知识是解题的关键． （1）只需要证明，即可证明 （2）以H为圆心，的长为半径画弧，交于G，作交于B，过点H作交于A，则点A和点B即为所求． 【小问1详解】 证明：∵， ∴， 由旋转的性质得， ∴， 又∵， ∴， ∴ 【小问2详解】 解：如图所示，以H为圆心，的长为半径画弧，交于G，作交于B，过点H作交于A，则点A和点B即为所求； 由作图方法可得， 同理可证明，则，则． 25. 综合与实践 综合与实践 背 景 打印纸中的数学： 我们生活中常见的A4纸是由国际标准化组织的定义的，规格，世界上多数国家所使用的纸张尺寸都是采用这一国际标准，我们通过计算发现纸的长、宽之比约为，猜想纸的长、宽之比为，我们取一张纸，记为矩形，并通过以下几种折纸操作证明这一结论． 操 作 一 折叠一：如图1，是纸边上一点，将矩形沿折叠，使点的对应点恰好落在边上，另一张纸的长边恰好与重合． 操 作 二 折 叠 二 ：如图2，分别是纸边上一点，先将矩形沿折叠，使点的对应点恰好落在边上，再继续沿折叠，使点的对应点落在边上，点的对应点为点，发现此时点与点重合． 操 作 三 折叠三：如图3，是纸边上的点，将矩形沿折叠，使点的对应点落在边上，然后将矩形展开，再将矩形沿折叠，使点的对应点恰好落在边上，然后将矩形展开，折痕与交于点．如图4，将如图3的纸片沿折叠，发现与重合，与重合 ……． 问题解决 任 务 1 根据折叠一中的图1，求图1中的值为 ； 任 务 2 根据折叠二中的图2，若矩形边长，则长度为 ； 任 务 3 根据折叠三中的图4，连接并延长交于F，求 【答案】任务1：；任务2：；任务3： 【解析】 【分析】本题主要考查矩形的折叠问题、等腰直角三角形的判定和性质、勾股定理等，熟练掌握矩形的性质、折叠的性质是解题的关键． 任务1：结合矩形的性质、折叠的性质，可知是等腰直角三角形，即可得出；设，则，设，则，利用勾股定理解，用含a的式子表示出x，即可求解； 任务2：由折叠的性质得出是等腰直角三角形，进而可得； 任务3：证明是等腰直角三角形，同理可得是等腰直角三角形，则是等腰直角三角形，设，则，，，分别求得的长，证明，等面积法求得，进而求比值，即可． 【详解】解：任务1：四边形是矩形， ，， 由折叠知， ， ，即是等腰直角三角形， ， ； 故答案为：． 任务2：同方法一可得， ∵，则，， 由折叠知， ， ， ， 设，则， 由折叠知， 在中，， ， 解得， 故答案为：． 任务3：解：纸片沿折叠，发现与重合，与重合， ，，， 又矩形中，， ，， 是等腰直角三角形， ， ． 同理可得是等腰直角三角形，则是等腰直角三角形， ∴， ∴ 又∵ ∴ ∴， 设，则，， ∴， ∴ ∴， ∴ 在中， ∵是等腰直角三角形， ∴ ∵折叠， ∴ ∵，， ∴ ∴ 又∵， ∴ ∴ ∵ ∴， ∴ ∴， ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ 26. “鹿鸣学堂”数学兴趣小组研究发现∶在平面直角坐标系中，某些点的纵坐标比横坐标的倍还大(为常数)，则称此点为“倍大点”，例如、都是“倍大点”． 【验证感知】若时，“倍大点”为，则一次函数的图像上的“倍大点”的坐标为 【知识应用】若反比例函数 存在“倍大点”，求的取值范围； 【拓展延伸】若时，二次函数在的范围内，图像上有且只有个“倍大点”，求的取值范围． 【答案】[验证感知]；[知识应用] 或；[拓展延伸] 或 【解析】 【分析】本题考查了一次函数、反比例函数，二次函数的性质，理解新定义是解题的关键； [验证感知]根据题意“倍大点”在上，联立直线解析式，即可求解； [知识应用]联立反比例函数解析式，得出一元二次方程，根据一元二次方程根判别式的意义，即可求解； [拓展延伸]分两种情况讨论，设，；①抛物线与直线相切；②当时，，且当时，，此时图像上有且只有个“倍大点”，解不等式，即可求解． 【详解】解：[验证感知]当，“倍大点”为， 则“倍大点”在上， 联立 解得： ∴一次函数的图像上的“倍大点”的坐标为； [知识应用]解：依题意，“倍大点”在上， 当反比例函数 存在“倍大点” ∴有解， ∴ ∴ 解得：或 [拓展延伸]∵，则“倍大点”在上， 设， ∵二次函数在的范围内，图像上有且只有个“倍大点”， ①当时， 即， ∴ 解得： ②当时，，且当时， 解得： 综上所述，或 27. 在平面直角坐标系中有正方形，点的坐标． （1）如图1，点在第一象限，半圆与轴、轴相切于点，半圆的半径为5，半圆交边于．则点的坐标是 ，的坐标是 ，点的坐标是 （2）如图2，在（1）的条件下，将半圆绕点顺时针旋转()，当半圆与边相切时，则点P坐标为 ，半圆从图1位置旋转到与边相切时，半圆扫过的面积为 （结果保留π） （3）如图3，在（1）的条件下，将半圆沿线段向右平移一个单位到点，将半圆绕点顺时针旋转()．求当半圆正好过点时，在五边形中所剪出最大圆的面积．（参考数据∶） 【答案】（1）；； （2）； （3） 【解析】 【分析】（1）连接，设直线与交于T，由切线的性质可得，则，即可得到点D的坐标为，点P的坐标为；证明四边形是矩形， 得到，，则，由勾股定理得，则，即可得到点F的坐标为； （2）设半圆P与边相切于K，连接并延长交于S，则，，证明四边形是矩形，得到，，则，由勾股定理得，则，即可得到点P的坐标为；解，得到，则可证明，再根据扇形面积计算公式求解即可； （3）先求出点M的坐标为，；设点P的坐标为，根据题意可得，则，解方程可得点P的坐标为；设所剪出的圆的圆心为W，设的半径为，分当恰好与相切时， 当恰好与相切时， 当恰好与相切时，三种情况分别求出对应的r的值， 比较即可得到答案． 【小问1详解】 解：如图所示，连接，设直线与交于T， ∵半圆与轴、轴相切于点，半圆的半径为5， ∴， ∴， ∴点D的坐标为，点P的坐标为； ∵四边形是正方形，且， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴， ∴点F的坐标为， 故答案为：，，； 【小问2详解】 解：如图所示，设半圆P与边相切于K，连接并延长交于S， ∴，， 又∵， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴， ∴点P的坐标为； 如图所示，半圆P扫过的图形面积即为半圆P的面积加上扇形的面积， 在中，， ∴， ∵， ∴， ∴半圆扫过的面积为， 故答案为：；； 【小问3详解】 解：∵将半圆沿线段向右平移一个单位到点， ∴点M的坐标为， ∵四边形是正方形， ∴， ∴； 设点P的坐标为， ∵半圆P恰好经过点C， ∴， ∴， 解得或（舍去）， ∴点P的坐标为， ∴此时点P在上， ∴， 又∵， ∴， 设所剪出的圆的圆心为W，设的半径为 如图所示，当恰好与相切时，则点W到的距离都为， ∴点W到的距离为， ∵， ∴， 解得； 如图所示，当恰好与相切时，则点W到的距离都为， ∴点W到的距离为， ∵， ∴， 解得； 如图所示，当恰好与相切时，则点W到的距离都为， ∴点W到的距离为， ∵， ∴， 解得； ∵， ∴当恰好与相切时，的面积最大，最大为； 综上所述，在五边形中所剪出最大圆的面积为． 【点睛】本题主要考查了切线的性质，扇形面积计算，勾股定理，解直角三角形，正方形的性质，矩形的性质与判定等等，利用分类讨论的思想求解是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $