1.1探究勾股定理（分层作业）数学北师大版2024八年级上册

1.1 探究勾股定理 7大知识点（基础）+能力提升练（3道）+拓展培优练（1道） 一、用勾股定理解直角三角形 1．已知一个直角三角形的两直角边长分别为和，则斜边的长度为（　　） A． B． C． D．或 【答案】A 【分析】本题主要考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题关键． 根据勾股定理即可求直角三角形的斜边长度． 【详解】解：直角三角形的两直角边长分别为和， 此直角三角形的斜边的长度为． 故选：A． 2．如图，在中，，中线，则（   ） A．8 B．12 C．16 D．18 【答案】C 【分析】本题考查的是等腰三角形的性质，勾股定理的应用，先证明，，再利用勾股定理求解，从而可得答案． 【详解】解：∵，中线， ∴，， ∴， BD=8 ∴． 故选：C． 3．已知一个的两边长分别为和，则第三边长的平方是（    ） A． B．或 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了利用勾股定理解直角三角形;已知直角三角形的两边长，但未明确这两条边是直角边还是斜边，所以求第三边的长必须分类讨论，即4是斜边或直角边的两种情况，然后利用勾股定理求解． 【详解】解：分两种情况：（1）3、4都为直角边，由勾股定理得，斜边的平方为：； （2）3为直角边，4为斜边，由勾股定理得，直角边的平方为：． ∴第三边长的平方是25或7， 故选：B． 二、勾股定理与折叠问题 1．如图，在中，，，．点E、F分别是边、上的点，连结，将沿翻折，使得点的对称点落在边的中点处，则的长为（　　）    A． B． C．3 D．2 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理与翻折问题，熟练掌握勾股定理和翻折的性质是解题的关键．根据勾股定理和翻折的性质即可求解． 【详解】解：点是边的中点， ， 由翻折的性质得，， 设，则， 在中，， ， 解得：， ． 故选：A． 2．如图，在中，，，，点为边上一点，把沿折叠，使落在直线上，则重叠部分（阴影部分）的面积是 ． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理及逆定理，勾股定理与折叠，先由，得出为直角三角形，且，设，由折叠的性质，可得，，然后通过勾股定理即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵在中，，，， ∴， ∴为直角三角形，且， 设，由折叠的性质，可得，， ∴， ∴， 解得， ∴重叠部分（阴影部分）的面积为， 故答案为：． 3．如图，将一张长方形纸片沿折叠，使、两点重合，点落在点处．已知，．则线段的长是 ． 【答案】 【分析】本题考查了长方形与折叠问题，勾股定理，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 设，则，由折叠的性质得：，，，最后在中，由勾股定理得，即，解出即可． 【详解】解：设，则， 四边形是长方形， ，，， 由折叠的性质得：，，， 在中，由勾股定理得，即， 解得：，即线段的长为， 故答案为：． 4如图，在中，，，，将折叠，使点C与点A重合，折痕为， (1)求的长； (2)求点B到斜边的距离； 【答案】(1)； (2)点B到斜边的距离为． 【分析】本题主要考查了勾股定理和折叠的性质． （1）根据勾股定理求出，由折叠的性质可得，设，则，利用勾股定理可得方程，解方程即可得到答案； （2）利用等积法求解即可． 【详解】（1）解：在中，，，， ∴， BC=4 由折叠的性质可得， 设，则， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ∴， ∴； （2）解：点B到斜边的距离为， ∵， ∴， 答：点B到斜边的距离为． 三、用勾股定理证明线段关系 1．对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形，对角线交于点．若，，则等于（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据垂美四边形的性质，勾股定理的运用即可求解，本题主要考查勾股定理的运用，掌握勾股定理的计算是解题的关键． 【详解】解：∵四边形是“垂美”四边形，即， ∴在中，，在中，， ∴， 在中，，在中，， ∴， ∴， 故选：． 2．如图，已知，，，于点D，求AD的长． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理. 由勾股定理得到，设，求出，计算即可. 【详解】∵ ∴,， ∴ 设，则， ∴ 整理得 解得 即 ∴. ∴AD=8 3．在中，， 若如图①，则有 ；若是锐角三角形，小明猜想，理由： 如图②， 过点A作， 垂足为D，设．在中，，在 中， ，，整理得 ， ，，， ，∴当是锐角三角形时， ，∴小明的猜想是正确的． (1)请你猜想，是钝角三角形且为钝角时， （填“>”“<”或“=”）； (2)根据图③证明你猜想的结论是正确的． (3)若， 则的面积是 ． 【答案】(1) (2)见解析 (3)24 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用， 对于（1），根据题意猜想即可； 对于（2），先过点A作，交的延长线于点D，设，再根据勾股定理得，整理可得答案； 对于（3），先说明三角形的形状，再根据勾股定理求出x，进而得出答案． 【详解】（1）是钝角三角形且为钝角时，． 故答案为：； （2）如图所示，过点A作，交的延长线于点D，设， 根据勾股定理得， 则， 即． ∵， ∴； （3）∵， ∴， ∴时钝角三角形． 过点A作，交的延长线于点D，设， 由（2），得， ∴， 解得， ∴． 在中，根据勾股定理，得， ∴． 故答案为：24． 四、勾股定理的证明方法 1．我国是最早了解勾股定理的国家之一．古代印度、希腊、阿拉伯等许多国家也都很重视对勾股定理的研究和应用．下面四幅图中，不能证明勾股定理的是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理的证明，正方形面积公式，三角形面积公式以及梯形面积公式，由正方形面积公式、三角形面积公式以及梯形面积公式分别对各个选项进行判断即可，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：、大正方形的面积为：，也可看作是4个直角三角形和一个小正方形组成，则其面积为：， ∴，故原选项能证明勾股定理，不符合题意； 、大正方形的面积为：，也可看作是个矩形和个小正方形组成，则其面积为：， ∴， ∴原选项不能证明勾股定理，符合题意； 、大正方形的面积为：，也可看作是个直角三角形和一个小正方形组成，则其面积为：， ∴， ∴，故原选项能证明勾股定理，不符合题意； 、梯形的面积为：，也可看作是2个直角三角形和一个等腰直角三角形组成，则其面积为：， ∴， ∴，故原选项能证明勾股定理，不符合题意； 故选：． 2．将边长分别为的两个直角三角形和一个两条直角边都是的直角三角形拼成如图所示的直角梯形．试用两种方法计算这个图形的面积，并写出一个关于的恒等式： ． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理的证明，整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．用两种方法求图形面积，一是直接利用梯形面积公式来求；一是利用三个三角形面积之和来求． 【详解】解：根据题意得：，， ∴， 即， 整理得：． 故答案为：． 3．【探究发现】我国三国时期的数学家赵爽利用四个全等的直角三角形拼成如图1所示图形，其中四边形和四边形都是正方形，巧妙地用面积法得出了直角三角形三边长，，之间的一个重要结论： 【深入思考】 如图2，在中，，，，，以为直角边在的右侧作等腰直角，其中，，过点作，垂足为点． (1)求证：，． (2)请你用两种不同的方法表示梯形的面积，并证明： 【答案】(1)详见解析 (2) ，详见解析 【分析】本题考查了勾股定理的验证和运用，全等三角形的性质与判定，理解勾股定理解决问题的关键． （1）依据题意，通过证明即可判断得解； （2）依据题意，用两种方法分别表示出梯形和，再列式变形即可得解． 【详解】（1）证明∶ ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 又， ， ∴． ∴； （2）证明： 由题意得，第一种方法： ， 第二种方法： ， ， ， ； 4．【材料】勾股定理的证明：两个全等的直角三角形按如图①所示的方式摆放，连接，的三边长分别为a，b，c（），四边形的面积可以表示为或，从而推导出． 【探究】（1）淇淇将从图①的位置开始沿向左移动，直到点F与点B重合时停止，如图②所示，与交于点O，下面是淇淇利用图②证明勾股定理的过程．请将淇淇的探究过程补充完整． 证明：连接，． ______； __________________． 由，可得到______；整理得：______． 【应用】（2）在图②的基础上，若四边形的面积为200，的长为12，求的长． 【答案】（1）见解析；（2）16． 【分析】本题考查勾股定理的证明和应用： （1）利用两种不同的方法表示出四边形的面积，即可得证； （2）分割法表示四边形的面积，进而求出的值，再利用勾股定理进行求解即可． 【详解】解：（1）证明：连接，． ， 如图1所示，，则由平移的性质可得在图2中， ， ， ， ； （2）， ， ， ， 或（舍去）， ． 5．用四个全等的直角三角形拼成如图①所示的大正方形，中间也是一个正方形，它是美丽的弦图，其中四个直角三角形的直角边长分别为，，斜边长为． (1)请利用图①证明：； (2)如图②，将这四个全等的直角三角形无缝隙无重叠地拼接在一起，得到图形，若该图形的周长为80，，求该图形的面积． 【答案】(1)见解析 (2)120 【分析】本题考查了几何法证明勾股定理及不规则图形面积求解，利用数形结合的思想，准确找出图中各个线段长度及面积关系是解题关键． （1）由图形可知，中间小正方形面积大正方形面积等于四个完全相同的直角三角形的面积，列出等式化简即可得到结论； （2）根据周长得到，设，则，结合勾股定理求出，利用三角形面积公式，进而求出该图形的面积． 【详解】（1）证明：由图可知， ， ． ； （2）解：由题意得，， 设，则，， 在中，由勾股定理，得， 即， 解得， 所以，该图形的面积是． 五、以弦图为背景的计算题 1．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成一个大正方形，设直角三角形较长直角边长为，较短直角边长为，若，大正方形的面积为36．则小正方形的边长为 ． 【答案】 【分析】本题考查与弦图为背景的问题，数形结合，表示出小正方形的边长为，再由完全平方差及勾股定理求解即可得到答案． 【详解】解：由题意可知，大正方形的面积为36，设大正方形边长为，则在“赵爽弦图”的直角三角形中，， 小正方形的边长为，则， ， ， 又小正方形的边长为，则小正方形的边长为， 故答案为：． 2．补充填空：完成证明 (1)勾股定理有数百种证法，我国汉代数学家赵爽的“出入相补”无字证明尤为绝妙！其思路是：如图1．把边长为、的两个正方形连在一起，其面积是．把这个图形分割成四个全等的直角三角形和一个正方形如图2，把和．分别旋转到和得到图3位置，就会形成一个以为边长的大正方形如图4，其面积为__________．由于它们的面积相等，即__________． (2)对于图4，可以利用两种不同的方法计算正方形的面积并完成上述推理，请你完成推理过程． 【答案】(1)， (2)见详解 【分析】本题考查了旋转性质，勾股定理以及完全平方公式的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）理解上下文，旋转不会改变面积大小，因此以为边长的大正方形的面积等于把边长为、的两个正方形连在一起的面积是，即可作答． （2）根据正方形的面积等于四个全等三角形的面积加上一个小正方形的面积以及正方形的面积等于边长乘边长，列式化简，即可作答． 【详解】（1）解：依题意，把和．分别旋转到和得到图3位置，就会形成一个以为边长的大正方形如图4，其面积为． 由于它们的面积相等，即． 故答案为：，； （2）解：观察图4：正方形的面积等于四个全等三角形的面积加上一个小正方形的面积， 或正方形的面积等于边长乘边长， 即． 六、用勾股定理构造图形解决问题 1．把5米长的梯子斜靠在墙上，若梯子底端离墙3米，则梯子顶端到离地面（   ） A．2米 B．3米 C．4米 D．4.5米 【答案】C 【分析】本题考查勾股定理解决实际问题，由题意，作出图形，如图所示，在中，由勾股定理代值求解即可得到答案，熟记勾股定理，根据题意构造直角三角形求解是解决问题的关键． 【详解】解：根据题意，作出图形，如图所示： 在中，，，则由勾股定理可得米， 故选：C． 2．如图，某自动感应门的正上方装着一个感应器A，离地距离，当人体进入感应范围内时，感应门就会自动打开，一个身高的学生刚走到离门间距的地方时，感应门自动打开，则该感应器感应长度为（   ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用，过点D作于点H，分别根据题意求出的长，再利用勾股定理求出的长即可得到答案． 【详解】如图，过点D作于点H， 依题意得，，， ∴， ∴．AD=1.3M 故选C．    3．如图，当秋千静止时，踏板离地的垂直高度，将它往前推至C处时（即水平距离），踏板离地的垂直高度，它的绳索始终拉直，则绳索的长是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，解题的关键是熟练掌握勾股定理，在一个直角三角形中，两条直角边分别为a、b，斜边为c，那么． 设的长为x m，则，故．在直角中利用勾股定理即可求解． 【详解】解：由题意可知，， ∴． 设的长为， 则， ∴． 在中，由勾股定理， 得， 即， 解得：． 故选：B． 4．一辆装满货物，宽为1.6米的卡车，欲通过如图所示的隧道（为以为直径的半圆），则卡车的高度必须低于（　　） A．3.0米 B．2.9米 C．2.8米 D．2.7米 【答案】B 【分析】本题考查勾股定理的应用，解题的关键是掌握勾股定理的应用，根据图形，可得，根据勾股定理求出，则，根据题意，则卡车的外形小于，即可． 【详解】解：由图形可得，（米），（米）， ∵， ∴， 解得：（米）， ∵， ∴（米）， ∴卡车的外形不得高于米． 故选：B． 七、以直角三角形三边为边长的图形面积 1．如图，在四边形中，，分别以四边形的四条边为边向外作四个正方形，其面积分别记为，，，，若，，，则的长为（    ） A．7 B．5 C．4 D．6 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键； 根据勾股定理可得，即为 ，求出即可解决问题. 【详解】解：连接，如图， ∵， ∴， 即 ， ∵，，， ∴， 即, ∴； 故选：D. 2．如图，在中，分别以这个三角形的三边为边长作正方形，面积分别记为，若，则阴影部分的面积为 （    ） A．10 B．8 C．6 D．5 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理，由勾股定理得出是解题的关键．由勾股定理得出，再根据已知，得出的值，即可求出答案； 【详解】解：由勾股定理得， ， 即， ∵， ， ， 由图形可知，阴影部分的面积， 故选：D． 3．如图是由两个直角三角形和三个正方形组成的图形，，则阴影部分的面积之和为 ． 【答案】25 【分析】本题主要考查了勾股定理，解题的关键是熟练掌握勾股树问题． 先利用勾股定理求出，再利用勾股定理计算出，根据计算即可． 【详解】解：如图， 在中，， 在中，， ∴ 故答案为：25． 4．如图，在中，，分别以三边为边长向外作正方形，如果其中两个正方形的面积分别是5，6，那么字母M所代表的正方形的面积是 ． 【答案】11 【分析】本题考查了勾股定理，直接根据勾股定理得，结果正方形的面积即可得答案． 【详解】由勾股定理得 ∵在中，，分别以三边为边长向外作正方形，正方形的面积分别是5，6， ∴ 即字母M所代表的正方形的面积是11. 故答案为：11 1．如图，在中，，，点D为边上的中点，点E在线段上（点E不与点B，点D重合），过点A作交于点F，过点B作交的延长线于点G．若已知的长，则可求出（   ） A．的长 B．的长 C．的长 D．的长 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，延长，交的延长线于，由可证，可得，，由可证，可得，，可证，由勾股定理可得，即可求解．添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键． 【详解】解：延长，交的延长线于， ，， ， ， 点是的中点， ， 又， ， ，， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， 已知的长， 可求的长， 故选：A． 2．阅读材料：意大利著名画家达•芬奇用一张纸板经过以下操作验证了勾股定理．第一步：在一张长方形的纸板上画两个边长分别为，的正方形和正方形，连接，得到以为对称轴的六边形，如图①； 第二步：将长方形纸板沿折叠，沿四边形的边剪下六边形，再沿把剩余的纸板剪开，得到两张纸板Ⅰ，Ⅱ，如图②； 第三步：将纸板Ⅱ上下翻转后与纸板I拼成如图③的图形； 第四步：比较图①，图③中的两个六边形和六边形，由它们的面积相等可得结论． 解决问题：若设图①中六边形的面积为，图③中六边形的面积为，．小强同学得出了以下四个结论： ①；②；③；④．则其中正确的是（   ） A．①② B．③④ C．①②③ D．②③④ 【答案】B 【分析】先分别分析、的构成并计算，再根据面积相等推导结论．本题主要考查勾股定理的验证，利用图形割补后面积不变建立等式是解题的关键． 【详解】解： 是由边长为的正方形、边长为的正方形和两个全等的直角三角形组成，正方形面积分别为、，直角三角形面积为，两个就是， ∴，故①错误． 是由边长为的正方形和两个全等的直角三角形组成，正方形面积为，直角三角形面积为，两个就是， ∴，故②错误． ∵操作过程只是裁剪、翻转、拼接，面积不变， ∴，即， 化简可得，故③④正确 ， 故选：B． 3．某校八年级（）班的小华和小轩学习了“勾股定理”之后，为了测得风筝的垂直高度，他们进行了如下操作：①测得水平距离的长为米；②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为米；③牵线放风筝的小明的身高为米． (1)求风筝的垂直高度； (2)如果小明想风筝沿方向下降米到点，则他应该往回收线多少米？ 【答案】(1)米 (2)米 【分析】（）利用勾股定理求出即可求解； （）利用勾股定理求出即可求解； 本题考查了勾股定理的应用，掌握勾股定理是解题的关键． 【详解】（1）解：由题意得，米，， 在中，，CD=16米 ∴米， 答：风筝的垂直高度为米； （2）解：∵米，米， ∴米， 在中，，BM=13米 ∴米， 答：他应该往回收线米． 1．【阅读理解】如图1是著名的赵爽弦图，由四个全等的直角三角形拼成，用它可以证明勾股定理，思路是大正方形的面积有两种求法，一种是等于，另一种是等于四个直角三角形与一个小正方形的面积之和，从而得到等式，化简便得结论．这里用两种求法来表示同一个量从而得到等式或方程的方法，我们称之为“双求法” 【方法运用】 （1）爱动脑筋的晓静同学把“弦图”中的四个三角形进行了运动变换，得到图2，请用两种不同方法表示图中阴影部分面积．方法1：____________；方法2：____________；根据以上信息，可以得到等式：____________； 【方法迁移】 （2）如图3，在中，，，，且是边上的高．求的长． （3）如图4，在中，，，，，设，求的值． 【答案】（1）（2）（3） 【分析】本题考查勾股定理的证明，等积法求线段的长，勾股定理，熟练掌握勾股定理，是解题的关键： （1）用正方形的面积公式和大正方形的面积减去4个直角三角形的面积来表示阴影部分的面积，作答即可； （2）勾股定理求出的长，等积法求出的长即可； （3）利用勾股定理结合为公用直角边，列出方程进行求解即可． 【详解】解：（1），， ∴； （2）∵，，， ∴， ∵是边上的高， ∴， ∴， ∴； （3）∵， ∴， ∵，设， ∴， ∵，， ∴在中，由勾股定理，得：， 在中，由勾股定理，得：， ∴， 解得：． 1 / 26 学科网（北京）股份有限公司 $$ 1.1 探究勾股定理 7大知识点（基础）+能力提升练（3道）+拓展培优练（1道） 一、用勾股定理解直角三角形 1．已知一个直角三角形的两直角边长分别为和，则斜边的长度为（　　） A． B． C． D．或 2．如图，在中，，中线，则（   ） A．8 B．12 C．16 D．18 3．已知一个的两边长分别为和，则第三边长的平方是（    ） A． B．或 C． D． 二、勾股定理与折叠问题 1．如图，在中，，，．点E、F分别是边、上的点，连结，将沿翻折，使得点的对称点落在边的中点处，则的长为（　　）    A． B． C．3 D．2 2．如图，在中，，，，点为边上一点，把沿折叠，使落在直线上，则重叠部分（阴影部分）的面积是 ． 3．如图，将一张长方形纸片沿折叠，使、两点重合，点落在点处．已知，．则线段的长是 ． 4如图，在中，，，，将折叠，使点C与点A重合，折痕为， (1)求的长； (2)求点B到斜边的距离； 三、用勾股定理证明线段关系 1．对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形，对角线交于点．若，，则等于（    ）    A． B． C． D． 2．如图，已知，，，于点D，求AD的长． 3．在中，， 若如图①，则有 ；若是锐角三角形，小明猜想，理由： 如图②， 过点A作， 垂足为D，设．在中，，在 中， ，，整理得 ， ，，， ，∴当是锐角三角形时， ，∴小明的猜想是正确的． (1)请你猜想，是钝角三角形且为钝角时， （填“>”“<”或“=”）； (2)根据图③证明你猜想的结论是正确的． (3)若， 则的面积是 ． 四、勾股定理的证明方法 1．我国是最早了解勾股定理的国家之一．古代印度、希腊、阿拉伯等许多国家也都很重视对勾股定理的研究和应用．下面四幅图中，不能证明勾股定理的是（    ） A．   B．   C．   D．   2．将边长分别为的两个直角三角形和一个两条直角边都是的直角三角形拼成如图所示的直角梯形．试用两种方法计算这个图形的面积，并写出一个关于的恒等式： ． 3．【探究发现】我国三国时期的数学家赵爽利用四个全等的直角三角形拼成如图1所示图形，其中四边形和四边形都是正方形，巧妙地用面积法得出了直角三角形三边长，，之间的一个重要结论： 【深入思考】 如图2，在中，，，，，以为直角边在的右侧作等腰直角，其中，，过点作，垂足为点． (1)求证：，． (2)请你用两种不同的方法表示梯形的面积，并证明： 4．【材料】勾股定理的证明：两个全等的直角三角形按如图①所示的方式摆放，连接，的三边长分别为a，b，c（），四边形的面积可以表示为或，从而推导出． 【探究】（1）淇淇将从图①的位置开始沿向左移动，直到点F与点B重合时停止，如图②所示，与交于点O，下面是淇淇利用图②证明勾股定理的过程．请将淇淇的探究过程补充完整． 证明：连接，． ______； __________________． 由，可得到______；整理得：______． 【应用】（2）在图②的基础上，若四边形的面积为200，的长为12，求的长． 5．用四个全等的直角三角形拼成如图①所示的大正方形，中间也是一个正方形，它是美丽的弦图，其中四个直角三角形的直角边长分别为，，斜边长为． (1)请利用图①证明：； (2)如图②，将这四个全等的直角三角形无缝隙无重叠地拼接在一起，得到图形，若该图形的周长为80，，求该图形的面积． 五、以弦图为背景的计算题 1．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成一个大正方形，设直角三角形较长直角边长为，较短直角边长为，若，大正方形的面积为36．则小正方形的边长为 ． 2．补充填空：完成证明 (1)勾股定理有数百种证法，我国汉代数学家赵爽的“出入相补”无字证明尤为绝妙！其思路是：如图1．把边长为、的两个正方形连在一起，其面积是．把这个图形分割成四个全等的直角三角形和一个正方形如图2，把和．分别旋转到和得到图3位置，就会形成一个以为边长的大正方形如图4，其面积为__________．由于它们的面积相等，即__________． (2)对于图4，可以利用两种不同的方法计算正方形的面积并完成上述推理，请你完成推理过程． 六、用勾股定理构造图形解决问题 1．把5米长的梯子斜靠在墙上，若梯子底端离墙3米，则梯子顶端到离地面（   ） A．2米 B．3米 C．4米 D．4.5米 2．如图，某自动感应门的正上方装着一个感应器A，离地距离，当人体进入感应范围内时，感应门就会自动打开，一个身高的学生刚走到离门间距的地方时，感应门自动打开，则该感应器感应长度为（   ）    A． B． C． D． 3．如图，当秋千静止时，踏板离地的垂直高度，将它往前推至C处时（即水平距离），踏板离地的垂直高度，它的绳索始终拉直，则绳索的长是（   ） A． B． C． D． 4．一辆装满货物，宽为1.6米的卡车，欲通过如图所示的隧道（为以为直径的半圆），则卡车的高度必须低于（　　） A．3.0米 B．2.9米 C．2.8米 D．2.7米 七、以直角三角形三边为边长的图形面积 1．如图，在四边形中，，分别以四边形的四条边为边向外作四个正方形，其面积分别记为，，，，若，，，则的长为（    ） A．7 B．5 C．4 D．6 2．如图，在中，分别以这个三角形的三边为边长作正方形，面积分别记为，若，则阴影部分的面积为 （    ） A．10 B．8 C．6 D．5 3．如图是由两个直角三角形和三个正方形组成的图形，，则阴影部分的面积之和为 ． 4．如图，在中，，分别以三边为边长向外作正方形，如果其中两个正方形的面积分别是5，6，那么字母M所代表的正方形的面积是 ． 1．如图，在中，，，点D为边上的中点，点E在线段上（点E不与点B，点D重合），过点A作交于点F，过点B作交的延长线于点G．若已知的长，则可求出（   ） A．的长 B．的长 C．的长 D．的长 2．阅读材料：意大利著名画家达•芬奇用一张纸板经过以下操作验证了勾股定理．第一步：在一张长方形的纸板上画两个边长分别为，的正方形和正方形，连接，得到以为对称轴的六边形，如图①； 第二步：将长方形纸板沿折叠，沿四边形的边剪下六边形，再沿把剩余的纸板剪开，得到两张纸板Ⅰ，Ⅱ，如图②； 第三步：将纸板Ⅱ上下翻转后与纸板I拼成如图③的图形； 第四步：比较图①，图③中的两个六边形和六边形，由它们的面积相等可得结论． 解决问题：若设图①中六边形的面积为，图③中六边形的面积为，．小强同学得出了以下四个结论： ①；②；③；④．则其中正确的是（   ） A．①② B．③④ C．①②③ D．②③④ 3．某校八年级（）班的小华和小轩学习了“勾股定理”之后，为了测得风筝的垂直高度，他们进行了如下操作：①测得水平距离的长为米；②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为米；③牵线放风筝的小明的身高为米． (1)求风筝的垂直高度； (2)如果小明想风筝沿方向下降米到点，则他应该往回收线多少米？ 1．【阅读理解】如图1是著名的赵爽弦图，由四个全等的直角三角形拼成，用它可以证明勾股定理，思路是大正方形的面积有两种求法，一种是等于，另一种是等于四个直角三角形与一个小正方形的面积之和，从而得到等式，化简便得结论．这里用两种求法来表示同一个量从而得到等式或方程的方法，我们称之为“双求法” 【方法运用】 （1）爱动脑筋的晓静同学把“弦图”中的四个三角形进行了运动变换，得到图2，请用两种不同方法表示图中阴影部分面积．方法1：____________；方法2：____________；根据以上信息，可以得到等式：____________； 【方法迁移】 （2）如图3，在中，，，，且是边上的高．求的长． （3）如图4，在中，，，，，设，求的值． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$