6.6简单几何体的再认识 学案-2024-2025学年高一下学期数学北师大版（2019）必修第二册

6.6简单几何体的再认识 【学习目标】 1.了解棱柱、棱锥、棱台的表面积与体积的计算公式.(重点) 2.理解并掌握侧面展开图与几何体的表面积之间的关系，并能利用计算公式求几何体的表面积与体积.(难点) 【导学流程】 1、 基础感悟 1.圆柱、圆锥、圆台的表面积： （是底面半径，是母线长）， （是底面半径，是母线长）， （，分别是上、下底面半径，是母线长）. 2.各个面的面积的和棱柱、棱锥、棱台的表面积：多面体的表面积就是围成多面体各个面的面积的和.棱柱、棱锥、棱台的表面积就是围成它们的 . 3.棱柱、棱锥、棱台、圆柱、圆锥、圆台的体积： （为底面面积，为高） （为底面面积，为高） （分别为上、下底面面积，为高） （是底面半径，是高）， （是底面半径，是高）， （，分别是上、下底面半径，是高）. 4.球的表面积： （是球的半径）. 5.球的体积： （是球的半径）. 思维拓展 1.棱柱、棱锥、棱台的表面积的求解方法有哪些？ 2.圆柱、圆锥、圆台的表面积的求解方法和步骤是什么？ 二、我的困惑与质疑 三、基础练习 1.已知一个圆锥的母线长为，高为3，则该圆锥的表面积为( ) A. B. C. D. 2.已知圆台的上底面半径为2，母线长为4，母线与底面所成的角为，则圆台的体积为( ) A. B. C. D. 3.已知圆锥的表面积为9，它的侧面展开图是一个半圆，则圆锥的体积为( ) A. B. C. D. 4.已知一个正四棱台的上、下底面边长分别是4和6，高是，则它的侧面积为( ) A.10 B. C.40 D.44 5.若正四面体的棱长为，则该正四面体的外接球的表面积为( ) A. B. C. D. 6．已知圆锥的母线长是底面半径的2倍，则该圆锥的侧面积与表面积的比值为( ) A. B. C. D.2 7．在母线长为4,底面直径为6的一个圆柱中挖去一个体积最大的圆锥后,得到一个几何体,则该几何体的表面积为( ) A. B. C. D. 8．已知某正四棱台的上、下底面面积分别为1，16，高为2，则该正四棱台的体积为( ) A.12 B.14 C.15 D.16 9．若圆台的上底面面积与下底面面积分别为，，且圆台的体积为，则该圆台的母线长为( ) A.6 B. C.3 D. 空间几何体外接球、内切球8大模型 【知识必备】 一、正方体、长方体外接球模型 1．正方体的外接球的球心为其体对角线的中点，半径为体对角线长的一半． 2．长方体的外接球的球心为其体对角线的中点，半径为体对角线长的一半． 3．补成长方体 （1）若三棱锥的三条侧棱两两互相垂直，则可将其放入某个长方体内，如图1所示． （2）若三棱锥的四个面均是直角三角形，则此时可构造长方体，如图2所示． （3）正四面体可以补形为正方体且正方体的棱长，如图3所示． （4）若三棱锥的对棱两两相等，则可将其放入某个长方体内，如图4所示 二、正四面体外接球模型 如图，设正四面体的的棱长为，将其放入正方体中，则正方体的棱长为，显然正四面体和正方体有相同的外接球．正方体外接球半径为，即正四面体外接球半径为． 三、直棱柱外接球模型 如图1，图2，图3，直三棱柱内接于球（同时直棱柱也内接于圆柱，棱柱的上下底面可以是任意三角形） 第一步：确定球心的位置，是的外心，则平面； 第二步：算出小圆的半径，（也是圆柱的高）； 第三步：勾股定理：，解出 四、直棱锥外接球 如图，平面，求外接球半径． 解题步骤： 第一步：将画在小圆面上，为小圆直径的一个端点，作小圆的直径，连接，则必过球心； 第二步：为的外心，所以平面，算出小圆的半径(三角形的外接圆直径算法：利用正弦定理，得)，； 第三步：利用勾股定理求三棱锥的外接球半径：①； ②． 五、正棱锥与侧棱相等模型 1．正棱锥外接球半径： ． 2．侧棱相等模型： 如图，的射影是的外心三棱锥的三条侧棱相等 三棱锥的底面在圆锥的底上，顶点点也是圆锥的顶点． 解题步骤： 第一步：确定球心的位置，取的外心，则三点共线； 第二步：先算出小圆的半径，再算出棱锥的高（也是圆锥的高）； 第三步：勾股定理：，解出． 六、共斜边拼接模型 如图，在四面体中，，，此四面体可以看成是由两个共斜边的直角三角形拼接而形成的，为公共的斜边，故以“共斜边拼接模型”命名之．设点为公共斜边的中点，根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半的结论可知，，即点到，，，四点的距离相等，故点就是四面体外接球的球心，公共的斜边就是外接球的一条直径． 七、垂面模型 如图1所示为四面体，已知平面平面，其外接球问题的步骤如下： （1）找出和的外接圆圆心，分别记为和． （2）分别过和作平面和平面的垂线，其交点为球心，记为． （3）过作的垂线，垂足记为，连接，则． （4）在四棱锥中，垂直于平面，如图2所示，底面四边形的四个顶点共圆且为该圆的直径． 八、二面角模型 如图1所示为四面体，已知二面角大小为，其外接球问题的步骤如下： （1）找出和的外接圆圆心，分别记为和． （2）分别过和作平面和平面的垂线，其交点为球心，记为． （3）过作的垂线，垂足记为，连接，则． （4）在四棱锥中，垂直于平面，如图2所示，底面四边形的四个顶点共圆且为该圆的直径． 九、圆锥圆柱圆台模型 1．球内接圆锥 如图，设圆锥的高为，底面圆半径为，球的半径为．通常在中，由勾股定理建立方程来计算．如图，当时，球心在圆锥内部；如图，当时，球心在圆锥外部．和本专题前面的内接正四棱锥问题情形相同，图2和图3两种情况建立的方程是一样的，故无需提前判断． 由图、图可知，或，故，所以． 2．球内接圆柱 如图，圆柱的底面圆半径为，高为，其外接球的半径为，三者之间满足． 3．球内接圆台，其中分别为圆台的上底面、下底面、高． 十、锥体内切球模型方法：等体积法，即 例1 长方体的长，宽，高分别为3，，1，其顶点都在球O的球面上，则球O的体积为（    ） A． B． C． D． 例2 已知三棱锥的所有顶点都在球的球面上，且平面，，，，则球的表面积为___________. 例3 在直三棱柱中，若，则该直三棱柱外接球的表面积为（    ）A． B． C． D． 例4已知正三棱柱的外接球表面积为，则正三棱柱的所有棱长之和的最大值为______． 例5 正三棱锥P－ABC底面边长为2，M为AB的中点，且PM⊥PC，则三棱锥P－ABC外接球的体积为（ ） A． B． C． D． 例6 已知三棱锥的四个顶点都在球的球面上是边长为的正三角形，则球的表面积等于（       ） A． B． C． D． 例7 如图，在三棱锥中，，，，则三棱锥外接球的体积为（       ）    A． B． C． D． 例8 三棱锥中，平面平面， ，，，则三棱锥的外接球的半径为______ 例9 在三棱锥中，是等边三角形，平面平面，，则三棱锥的外接球体积为（ ） A． B． C． D． 例10 在三棱锥中，为等腰直角三角形，，为正三角形，且二面角的平面角为，则三棱锥的外接球表面积为（       ） A． B． C． D． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 6.6简单几何体的再认识 知识填空 1.圆柱、圆锥、圆台的表面积： （是底面半径，是母线长）， （是底面半径，是母线长）， （，分别是上、下底面半径，是母线长）. 2.各个面的面积的和棱柱、棱锥、棱台的表面积：多面体的表面积就是围成多面体各个面的面积的和.棱柱、棱锥、棱台的表面积就是围成它们的 . 3.棱柱、棱锥、棱台、圆柱、圆锥、圆台的体积： （为底面面积，为高） （为底面面积，为高） （分别为上、下底面面积，为高） （是底面半径，是高）， （是底面半径，是高）， （，分别是上、下底面半径，是高）. 4.球的表面积： （是球的半径）. 5.球的体积： （是球的半径）. 思维拓展 1.棱柱、棱锥、棱台的表面积的求解方法有哪些？ 2.圆柱、圆锥、圆台的表面积的求解方法和步骤是什么？ 3.常见的几何体与球的切、接问题的解决策略有哪些？ 基础练习 1.已知一个圆锥的母线长为，高为3，则该圆锥的表面积为( ) A. B. C. D. 2.已知圆台的上底面半径为2，母线长为4，母线与底面所成的角为，则圆台的体积为( ) A. B. C. D. 3.已知圆锥的表面积为9，它的侧面展开图是一个半圆，则圆锥的体积为( ) A. B. C. D. 4.已知一个正四棱台的上、下底面边长分别是4和6，高是，则它的侧面积为( ) A.10 B. C.40 D.44 5.若正四面体的棱长为，则该正四面体的外接球的表面积为( ) A. B. C. D. 6．已知圆锥的母线长是底面半径的2倍，则该圆锥的侧面积与表面积的比值为( ) A. B. C. D.2 7．在母线长为4,底面直径为6的一个圆柱中挖去一个体积最大的圆锥后,得到一个几何体,则该几何体的表面积为( ) A. B. C. D. 8．已知某正四棱台的上、下底面面积分别为1，16，高为2，则该正四棱台的体积为( ) A.12 B.14 C.15 D.16 9．若圆台的上底面面积与下底面面积分别为，，且圆台的体积为，则该圆台的母线长为( ) A.6 B. C.3 D. 一、知识填空 1. 2.各个面的面积的和 3. 4. 5. 二、思维拓展 1.求棱柱、棱锥、棱台的表面积就是求它们的侧面积与底面积之和.其中，侧面积就是侧面展开图的面积，一定要清楚侧面展开图的形状及侧面展开图中各线段的长，再根据有关公式分别求出其侧面积和底面积. 2.解决圆柱、圆锥、圆台的表面积问题，要利用好旋转体的轴截面及侧面展开图，借助于平面几何知识，求得所需几何要素，代入公式求解即可，基本步骤如下： （1）得到空间几何体的平面展开图. （2）依次求出各个平面图形的面积. （3）将各平面图形的面积相加. 3.（1）解决有关几何体外接球或内切球的相关问题时，要注意球心的位置与几何体的关系，一般情况下，由于球的对称性，球心总在几何体的特殊位置，比如中心、对角线的中点等. （2）解决此类问题的实质就是根据几何体的相关数据求球的直径或半径，关键是根据“切点”和“接点”，作出轴截面图，把空间问题转化为平面问题来计算. 三、基础练习 1.答案：C 解析：因为圆锥的母线长为，高为3，所以圆锥底面圆半径为，则该圆锥的表面积为.故选:C 2.答案：A 解析：由题意，得圆台的高为，下底面半径为，所以圆台的体积为.故选：A. 3.答案：B 解析：设圆锥的底面半径为r，圆锥的母线长为l，圆锥的侧面展开图是一个半圆，则，得，又表面积，解得，所以圆锥的高为，所以圆锥的体积为.故选：B. 4.答案：C 解析：正四棱台的侧面为等腰梯形，又正四棱台的上、下底面的边长为4，6，高为，所以侧面梯形的斜高为，所以棱台的侧面积为.，故选:C 5.答案：A 解析：如图，正四面体中， 作底面的高，由正四面体的性质，点E为的中心，设O为外接球的球心，外接球的半径为R，由正三角形的性质，，；由，得，解得，该球的表面积为.故选：A. 6．答案：B 解析：设圆锥底面圆的半径为r，则母线长为， ，， . 故选：B. 7．答案：C 解析：体积最大的圆锥的母线为, 则. 故选:C. 8．答案：B 解析：. 故选：B. 9．答案：C 解析：已知圆台的上底面与下底面的半径分别为， 设圆台的高为h， 又圆台的体积为， 故，即， 故圆台的母线长为. 故选：C. 例1 长方体的长，宽，高分别为3，，1，其顶点都在球O的球面上，则球O的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求出长方体外接球半径，再由球体体积公式求体积. 【详解】球O的半径为， ∴体积． 故选：A 例2 已知三棱锥的所有顶点都在球的球面上，且平面，，，，则球的表面积为___________. 【答案】 【解析】平面，平面，，， 又，，， ，，则可将三棱锥放入如下图所示的长方体中， 则长方体的外接球即为三棱锥的外接球， 球的半径， 球的表面积.故答案为：. 例3 在直三棱柱中，若，则该直三棱柱外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意可得三棱柱的上下底面为直角三角形，取直角三角形斜边的中点， 直三棱柱的外接球的球心O为上下底面的外接圆圆心的连线的中点，连接AO，,设外接球的半径为R，下底面外接圆的半径为r，r=，则，该直三棱柱外接球的表面积为, 故选：C 例4已知正三棱柱的外接球表面积为，则正三棱柱的所有棱长之和的最大值为______． 【答案】 【解析】设正三棱柱上下底面中心分别为，连， 取中点为正三棱柱外接球的球心， 连为外接球的半径，如图， ， 设正三棱柱的底面边长为x， ，在中， ， 三棱柱的所有棱长之和为. ， 令，解得， 当时，，当时，， 所以是函数在定义域内有唯一极大值点， 故当时，有最大值. 故答案为: . 例5 正三棱锥P－ABC底面边长为2，M为AB的中点，且PM⊥PC，则三棱锥P－ABC外接球的体积为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 由图，设，则，而， 因为PM⊥PC，所以由勾股定理得即解得， 由对称性可知：三棱锥P－ABC外接球的球心在三棱锥P－ABC的高PD上， 假设为O点，则，因为,所以， 又由于点D是三角形ABC的外心，且三角形ABC为等边三角形，所以, 在三角形ODC中，由勾股定理得,即， 解得， 所以三棱锥P－ABC外接球的体积为.故选：C 例6 已知三棱锥的四个顶点都在球的球面上是边长为的正三角形，则球的表面积等于（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】已知三棱锥的四个顶点都在球O的球面上，是边长为的正三角形，如图所示： 取BC的中点D，点H为底面的中心，所以 设外接球的半径为R，所以， 利用勾股定理可得，解得 则球的表面积为 故选：B. 例7 如图，在三棱锥中，，，，则三棱锥外接球的体积为（       ）    A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意，，，，将三棱锥放到长方体中，可得长方体的三条对角线分别为，2，， 设长方体的长、宽、高分别为， 则，，， 解得，，． 所以三棱锥外接球的半径． 三棱锥外接球的体积．故选：C 例8 三棱锥中，平面平面， ，，，则三棱锥的外接球的半径为______ 【答案】1 【解析】因为，，故是公共的斜边，的中点是球心 ，球半径为． 故答案为：1 例9 在三棱锥中，是等边三角形，平面平面，，则三棱锥的外接球体积为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】中，， 所以，， 设是中点，则是外心，又是等边三角形，所以， 而平面平面，平面平面，平面，所以平面，所以的外心即中三棱锥外接球的球心， 所以球半径，球体积为．故选：C． 例10 在三棱锥中，为等腰直角三角形，，为正三角形，且二面角的平面角为，则三棱锥的外接球表面积为（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】如图所示，为直角三角形，又， 所以， 因为为正三角形，所以， 连接，为的中点，E为中点， 则，所以为二面角的平面角 所以． 因为为直角三角形，E为中点， 所以点为的外接圆的圆心， 设G为的中心，则G为的外接圆圆心．过E作面的垂线，过G作面的垂线，设两垂线交于O． 则O即为三棱锥的外接球球心．设与交于点H， ，所以,， ∴．所以，故选：C. 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$