第6章 立体几何初步 章末梳理(学案)-【成才之路】2024-2025学年高中新课程数学必修第二册同步学习指导(北师大版2019)

KLMN%OPQ １．若一个球的直径为２，则此球的表面积为 （　 　 ） 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　Ａ． ２π Ｂ． ４π Ｃ． ８π Ｄ． １６π ２．用与球心距离为１的平面去截球，所得截面圆的面积 为π，则球的表面积为 （　 　 ） Ａ． ８π３ Ｂ． ３２π ３ Ｃ． ８π Ｄ． ８槡２π３ ３．已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若球的体 积为９π２ ，则正方体的棱长为　 　 　 　 ． ４．若球的半径由Ｒ增加为２Ｒ，则这个球的体积变为原 来的　 　 　 　 倍，表面积变为原来的　 　 　 　 倍． ５．某组合体的直观图如图所示，它的中间为圆柱形，左 右两端均为半球形，若图中ｒ ＝ １，ｌ ＝ ３，试求该组合体 的表面积和体积． 请同学们认真完成练案［５１                             ］ 章末梳理 +,±²%ª³´ 立体几何初步 基本立体图形及直观图 简单多面体——棱柱、棱锥、棱台 简单旋转体——球、圆柱、圆锥、圆台{直观图 空间点、线、面的位置关系 刻画位置关系的四个基本事实 平行关系直线与平面平行{平面与平面平行 垂直关系直线与平面垂直{        平面与平面垂直 简单几何体的再认识 柱、锥、台的侧面展开图与面积 柱、锥、台的体积{                球的表面积和体积 !)% µB¶‘%·¸1 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　●678%üý»¼þ<±²øùz Ò(“ １．（１）下列说法正确的是 （　 　 ） Ａ．有两个平面互相平行，其余各面都是平行四边形的多面体是棱柱 Ｂ．四棱锥的四个侧面都可以是直角三角形 Ｃ．有两个平面互相平行，其余各面都是梯形的多面体是棱台 Ｄ．棱台的各侧棱延长后不一定交于一点 （２）如图，四边形ＡＢＣＤ是一水平放置的平面图形的斜二测 直观图，ＡＢ∥ＣＤ，ＡＤ⊥ＣＤ，且ＢＣ与ｙ轴平行，若ＡＢ ＝ ６， ＣＤ ＝ ４，ＢＣ ＝ ２槡２，则原平面图形的实际面积是　 　 　 　 ． ［归纳提升］ 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　●67E%üý»¼þ<`nodþo ２．如图所示（单位：ｃｍ），求图中阴影部分绕ＡＢ旋转一周所形成 的几何体的表面积和体积． ［归纳提升］ 归纳提升： １． hiŽ4aÂ-@ ABÓVnh^+» -GH?Ö[_‡^ +»-ˆ£Tý?] ^´µ–—£¤^+ áâ?p^+áâX ùú<= ． ２． hiŽ4aÂ-Š ‹á § ´ µt À ´ µt§´ºtÀ´º B¦F-^+áâ? R«`a]^¶F% ûŽThiʔà (¶FLkl4 -yaùú¶M ． ３． FcèaÒIÒu 7;…†‡Åw.Œ O?²¯.:7?u jÒ ４５ ¬ （ Ê １３５ ¬ ）． 归纳提升： １ 'b#^+»-ÔÆ 0‘I （１） IÆ»-ÔÆ0 B_eÆ-Æ0ª å?3“»ÔÆ0( O×ð…ê-mn' （２） ~b»-ÔÆ0 `a(Oî¿ÆS{ ;-ÂF' ２ 'b#^+»»0` a¦ë4â （１） FÓlG-^+ »B]uðF/Ÿ‘ h-µ»tº»Ê¹ »?ô]uð¶F/ Ÿùú‘h' （２） FÓl-^+» -»0Œ#uð¶F /ŸÑ+?ô¦Fb ûItêÔIt“ž IxIùú‘h' !)& 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　●67H%üý;<ʋ/Û ３．如图所示，四边形ＡＢＣＤ是平行四边形，ＰＢ⊥平面ＡＢＣＤ， ＭＡ∥ＰＢ，ＰＢ ＝ ２ＭＡ．在线段ＰＢ上是否存在一点Ｆ，使平面 ＡＦＣ∥平面ＰＭＤ？若存在，请确定点Ｆ的位置；若不存在，请 说明理由． ［归纳提升］ 归纳提升： ¶F¯¯wút¯Æ wútÆÆwú-š ±bchiwú@¿ -<G`a'?% ƒ„ z !Ê Ø3 d !ÉØ3-bc?6 z!¯ ¯ w ú3 d !¯ Æ w ú3 ¡ d !ÆÆwú3 D F>ÍGn'?îÜ ·[Wš ． p·¸ -ha&2X?<G Gnå>ÍGn% …š±ˆ“?*+, F ． !)' 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　●67]%üý;<ÑÒ/Û ４．如图，在四棱锥Ｐ － ＡＢＣＤ中，ＡＢ∥ＣＤ，ＡＢ⊥ＡＤ，ＣＤ ＝ ２ＡＢ，平面ＰＡＤ⊥底面ＡＢＣＤ，ＰＡ⊥ＡＤ，Ｅ和Ｆ分别是ＣＤ 和ＰＣ的中点，求证： （１）ＰＡ⊥底面ＡＢＣＤ； （２）ＢＥ∥平面ＰＡＤ； （３）平面ＢＥＦ⊥平面ＰＣＤ． ［归纳提升］ 归纳提升： ²u`a-bc pb#²u@¿X?¯Æ ²uB%î?˜™¯Æ² u?Ì]0JK¯¯²u ä墵?±]0¶F< GGnJKÆƲuºW ÙÚ ． ÂFÆƲu->Í Gn'?%„ºˆb ¯?¤ŽºIB&îX% ewÆf%κ;¯-² ¯?zD_ÆƲu`a bc0¯Æ²u`a?ù D]bc0¯¯²u`a ． !)( 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　●67%üý;<T<sš ５．如图，在四棱锥Ｐ － ＡＢＣＤ中，ＡＤ⊥平面ＰＤＣ，ＡＤ∥ＢＣ，ＰＤ⊥ＰＢ，ＡＤ ＝ １， ＢＣ ＝ ３，ＣＤ ＝ ４，ＰＤ ＝ ２． （１）求异面直线ＡＰ与ＢＣ所成角的余弦值； （２）求证：ＰＤ⊥平面ＰＢＣ； （３）求直线ＡＢ与平面ＰＢＣ所成角的正弦值． ［归纳提升］ 归纳提升： １． b#X-jÛ?áuÆ u¯ÓX-jtu¯rw ÆÓX-j^}èÆj' 4«jBLÎtu¯tw ÆÓ3Xb#;ž-ÈÉ @¿ùúG>êMåG" Cü-)…3X…ê?à Ü'…{|nh%û-V H?g#`“ÂFb#_ •j-klåwÆ^+- ™´¥¦ha'b#j- aÂ%QB_•™´- ;²Î?»Ø?%BÉQ )ÎQy-fƪ%? ÝäUÝ)7' ２． ‘uÆu¯ÓX-j¦F w¨bcI （ bc0š;u ¯-3j ） ' ３． ‘u¯rwÆÓX-j ¦FÀLbcI （ 6º² ¯tãÀL ） ' ４． ¦F-§•èÆj-w Æj-ºIá （１） GHI  （２） ²¯I  （３） ²ÆI' ’ª?‘b#_•j- Z%Qbc0wÆjg Cü?b#j-CüÞ ßá % º? è J? § Cü' 请同学们认真完成考案（五）（六） !)) ＝ ４πＲ２，半径增加为２Ｒ后，球的体积为Ｖ２ ＝ ４３ π（２Ｒ） ３ ＝ ３２ ３ πＲ ３，表面积为Ｓ２ ＝ ４π（２Ｒ）２ ＝ １６πＲ２ ．所以Ｖ２Ｖ１ ＝ ３２ ３ πＲ ３ ４ ３ πＲ ３ ＝ ８，Ｓ２Ｓ１ ＝ １６πＲ２ ４πＲ２ ＝ ４，即体积变为原来的８倍，表面积变为原来 的４倍． ５．该组合体的表面积Ｓ ＝ ４πｒ２ ＋ ２πｒｌ ＝ ４π × １２ ＋ ２π × １ × ３ ＝ １０π．该组合体的体积Ｖ ＝ ４３ πｒ ３ ＋ πｒ２ ｌ ＝ ４３ π × １ ３ ＋ π × １２ × ３ ＝ １３π３ ． 章末梳理 考点整合　 提技能 例１：（１）Ｂ　 （２） 槡２０ ２　 （１）有两个面互相平行，其余各面 都是四边形，并且相邻两个四边形的公共边互相平行，这些面所 围成的几何体叫棱柱，故Ａ错误；四棱锥的四个侧面都可以是直 角三角形，故Ｂ正确，有两个面互相平行，其余各面都是梯形，若 侧棱延长不相交于一点，则不是棱台，故Ｃ错误，Ｄ错误． （２）由斜二测直观图的作图规则知，原平面图形是直角梯 形，且ＡＢ，ＣＤ的长度不变，仍为６和４，高ＢＣ 槡＝ ４ ２，故所求面积 Ｓ ＝ １２ ×（４ ＋ ６） 槡 槡× ４ ２ ＝ ２０ ２． 例２：由题意知，所求几何体的表面积由三部分组成： 圆台下底面、侧面和一半球面， Ｓ半球＝ ８π（ｃｍ２），Ｓ圆台侧＝ ３５π（ｃｍ２），Ｓ圆台底＝ ２５π（ｃｍ２）， 故所求几何体的表面积为６８π ｃｍ２ ． 由Ｖ圆台＝ １３ ×［π ×２ ２ ＋ （π ×２２）×（π ×５２槡 ）＋π ×５２］×４ ＝ ５２π（ｃｍ３），Ｖ半球＝ ４３ π × ２ ３ × １２ ＝ １６ ３ π（ｃｍ ３）， 所以所求几何体的体积为 Ｖ圆台－ Ｖ半球＝ ５２π － １６ ３ π ＝ １４０ ３ π（ｃｍ ３）． 例３：当点Ｆ是ＰＢ的中点时，平面ＡＦＣ∥平面ＰＭＤ，证明如 下： 如图连接ＢＤ与ＡＣ交于点Ｏ，连接ＦＯ， 则ＰＦ ＝ １２ ＰＢ． ∵四边形ＡＢＣＤ是平行四边形， ∴ Ｏ是ＢＤ的中点，∴ ＯＦ∥ＰＤ． 又ＯＦ平面ＰＭＤ，ＰＤ平面ＰＭＤ， ∴ ＯＦ∥平面ＰＭＤ． 又ＭＡ∥ＰＢ且ＭＡ ＝ １２ ＰＢ， ∴ ＰＦ∥ＭＡ且ＰＦ ＝ＭＡ， ∴四边形ＡＦＰＭ是平行四边形， ∴ ＡＦ∥ＰＭ． 又ＡＦ平面ＰＭＤ，ＰＭ平面ＰＭＤ， ∴ ＡＦ∥平面ＰＭＤ． 又ＡＦ∩ＯＦ ＝ Ｆ，ＡＦ平面ＡＦＣ，ＯＦ平面ＡＦＣ， ∴平面ＡＦＣ∥平面ＰＭＤ． 例４：【证明】　 （１）因为平面ＰＡＤ⊥底面ＡＢＣＤ，平面ＰＡＤ∩ 底面ＡＢＣＤ ＝ ＡＤ，ＰＡ平面ＰＡＤ，ＰＡ⊥ＡＤ， 所以ＰＡ⊥底面ＡＢＣＤ． （２）因为ＡＢ∥ＣＤ，ＣＤ ＝ ２ＡＢ，Ｅ为ＣＤ的中点， 所以ＡＢ∥ＤＥ，且ＡＢ ＝ ＤＥ． 所以四边形ＡＢＥＤ为平行四边形， 所以ＢＥ∥ＡＤ． 又因为ＢＥ平面ＰＡＤ，ＡＤ平面ＰＡＤ， 所以ＢＥ∥平面ＰＡＤ． （３）因为ＡＢ⊥ＡＤ，且四边形ＡＢＥＤ为平行四边形， 所以ＢＥ⊥ＣＤ，ＡＤ⊥ＣＤ． 由（１）知ＰＡ⊥底面ＡＢＣＤ， 所以ＡＰ⊥ＣＤ． 又因为ＡＰ∩ＡＤ ＝ Ａ，ＡＰ，ＡＤ平面ＰＡＤ， 所以ＣＤ⊥平面ＰＡＤ，所以ＣＤ⊥ＰＤ． 因为Ｅ和Ｆ分别是ＣＤ和ＰＣ的中点， 所以ＰＤ∥ＥＦ，所以ＣＤ⊥ＥＦ． 又因为ＣＤ⊥ＢＥ，ＥＦ∩ＢＥ ＝ Ｅ，ＥＦ，ＢＦ平面ＢＥＦ， 所以ＣＤ⊥平面ＢＥＦ． 又ＣＤ平面ＰＣＤ， 所以平面ＢＥＦ⊥平面ＰＣＤ． 例５：（１）由已知ＡＤ∥ＢＣ，故∠ＤＡＰ或其补角即为异面直线 ＡＰ与ＢＣ所成的角．因为ＡＤ⊥平面ＰＤＣ，ＰＤ平面ＰＤＣ，所以 ＡＤ⊥ＰＤ．在Ｒｔ△ＰＤＡ中，由已知，得ＡＰ ＝ ＡＤ２ ＋ ＰＤ槡 ２ 槡＝ ５，故 ｃｏｓ ∠ＤＡＰ ＝ ＡＤＡＰ ＝ 槡５ ５ ．所以异面直线ＡＰ与ＢＣ所成角的余弦值 为槡５５ ． （２）证明：因为ＡＤ⊥平面ＰＤＣ，直线ＰＤ平面ＰＤＣ，所以 ＡＤ⊥ＰＤ．又ＢＣ∥ＡＤ，所以ＰＤ⊥ＢＣ，又ＰＤ⊥ＰＢ，ＢＣ∩ＰＢ ＝ Ｂ， ＢＣ，ＰＢ平面ＰＢＣ，所以ＰＤ⊥平面ＰＢＣ． （３）过点Ｄ作ＡＢ的平行线交ＢＣ 于点Ｆ，连接ＰＦ，则ＤＦ与平面ＰＢＣ 所成的角等于ＡＢ与平面ＰＢＣ所成 的角． 因为ＰＤ⊥平面ＰＢＣ，故ＰＦ为ＤＦ 在平面ＰＢＣ上的射影，所以∠ＤＦＰ为直线ＤＦ和平面ＰＢＣ所成 的角． 由于ＡＤ∥ＢＣ，ＤＦ∥ＡＢ，故ＢＦ ＝ ＡＤ ＝ １．由已知，得ＣＦ ＝ ＢＣ － ＢＦ ＝ ２．又ＡＤ⊥ＤＣ，故ＢＣ⊥ＤＣ． 在Ｒｔ△ＤＣＦ中，可得ＤＦ ＝ ＣＤ２ ＋ ＣＦ槡 ２ 槡＝ ２ ５． 在Ｒｔ△ＤＰＦ中，可得ｓｉｎ∠ＤＦＰ ＝ ＰＤＤＦ ＝槡 ５ ５ ． 所以直线ＡＢ与平面ＰＢＣ所成角的正弦值为槡５５                                                                      ． —８４３—