6.6简单几何体的再认识（1知识点+9题型+强化训练）-【帮课堂】2023-2024学年高一数学同步学与练（北师大版2019必修第二册）

6.6简单几何体的再认识 课程标准 学习目标 理解并掌握侧面展开图与几何体的表面积之间的关系，会求几何体的表面积与体积 1、熟记柱、锥、台的表面积和体积的计算公式 2、理解并掌握侧面展开图与几何体的表面积之间的关系，会求几何体的表面积与体积理解球的大、小圆，直线与球相切的意义 3、掌握球的表面积和体积公式，并能解决与球有关的组合体的相关计算问题 知识点01 柱、锥、台、球体的表面积体积 　名称 几何体　　 表面积 体积 柱体(棱柱和圆柱) S表面积＝S侧＋2S底 V＝Sh 锥体(棱锥和圆锥) S表面积＝S侧＋S底 V＝Sh 台体(棱台和圆台) S表面积＝S侧＋S上＋S下 V＝(S上＋S下＋)h 球 S＝4πR2 V＝πR3 【即学即练1】（2024·山东泰安·三模）已知圆台的母线长为4，下底面圆的半径是上底面圆的半径的3倍，轴截面周长为16，则该圆台的表面积为（    ） A． B． C． D． 【题型一：表面积问题】 例1.（23-24高一下·安徽合肥·期中）以边长为2的正三角形的一边所在直线为旋转轴，将该正三角形旋转一周所得几何体的侧面积为（    ） A． B． C． D． 变式1-1.（23-24高一下·福建莆田·期中）一圆锥的侧面展开图是半径为4的半圆，则该圆锥表面积为（    ） A． B． C． D． 变式1-2.（23-24高一下·重庆·期中）已知一个直四棱柱的高为4，其底面水平放置的直观图（斜二测画法）是边长为2的正方形，则这个直四棱柱的表面积为（    ） A．40 B． C． D． 变式1-3.（23-24高一下·安徽·期中）如图，已知正四棱柱的底面边长为2，侧棱长为，切割这个正四棱柱，得到四棱锥，则这个四棱锥的表面积为 . 【题型二：公式法求体积问题】 例2.（2024·山西临汾·三模）宋代是中国瓷器的黄金时代，涌现出了五大名窑：汝窑、官窑、哥窑、钧窑、定窑．其中汝窑被认为是五大名窑之首．如图1，这是汝窑双耳罐，该汝窑双耳罐可近似看成由两个圆台拼接而成，其直观图如图2所示．已知该汝窑双耳罐下底面圆的直径是12厘米，中间圆的直径是20厘米，上底面圆的直径是8厘米，高是14厘米，且上、下两圆台的高之比是，则该汝窑双耳罐的体积是（    ） A． B． C． D． 变式2-1.（23-24高一下·黑龙江绥化·期中）正多面体被古希腊圣哲认为是构成宇宙的基本元素．如图，该几何体是一个棱长为2的正八面体，则此正八面体的体积与表面积的数值之比为 .    变式2-2.（23-24高一下·安徽合肥·期中）如图所示，底面边长为的正四棱锥被平行于其底面的平面所截，截去一个底面边长为，高为4的正四棱锥. (1)求棱台的体积； (2)求棱台的表面积. 变式2-3.（23-24高一下·河北邢台·期中）如图，是圆柱的底面直径且，是圆柱的母线且，点C是圆柱底面圆周上靠近点A的三等分点，点E在线段上． (1)求圆柱的表面积与体积； (2)求三棱锥的体积； (3)若D是的中点，求的最小值． 【题型三：轮换顶点法求体积问题】 例3.（23-24高一下·河北沧州·期中）如图，直三棱柱所有的棱长都为1，，分别为和的中点．    (1)证明：平面． (2)求三棱锥的体积． 变式3-1.（23-24高一下·浙江宁波·期中）如图，在长方体中，，，点，分别是棱的中点． (1)证明：三条直线相交于同一点 (2)求三棱锥的体积． 变式3-2.（2024·内蒙古包头·一模）如图，在四棱锥中，平面，，点在棱上，，点，是棱上的三等分点，点是棱的中点.，. (1)证明：平面，且； (2)求三棱锥的体积. 变式3-3.（2024·全国·模拟预测）如图，在直三棱柱中，为正三角形，点E，F分别在棱，上，且，．    (1)证明：平面平面； (2)若，求三棱锥的体积． 【题型四：平行线换顶点法求体积问题】 例4．（2024高一下·全国·专题练习）如图，四棱锥为正四棱锥，底面ABCD是边长为2的正方形，四棱锥的高为1，点E在棱AB上，且． (1)若点F在棱PC上，是否存在实数满足，使得平面PDE？若存在，请求出实数的值；若不存在，请说明理由． (2)在第（1）问的条件下，当平面PDE时，求三棱锥的体积． 变式4-1．（22-23高一下·湖南邵阳·期末）如图，在四棱锥中，平面是的中点.    (1)证明： 面 (2)证明：平面平面； (3)求三棱锥的体积. 变式4-2．（22-23高一下·河南开封·期末）如图，在直四棱柱中，，，点为的中点.    (1)求证： 平面； (2)设是直线上的动点，求三棱锥的体积. 变式4-3．（2023·江西·校联考模拟预测）如图，三棱柱中，是的中点，. (1)证明：平面；