精品解析：江苏省宿迁市宿城区教学共同体2024-2025学年八年级下学期4月期中数学试题

2024-2025学年度第二学期期中学情调研试卷 八年级数学 答题注意事项 1．本卷满分150分，答题时间120分钟． 2．答案全部写在答题卡上，写在本卷上无效． 3．答题使用0.5mm黑色签字笔，在答题卡上对应题号的答题区域书写答案．注意不要答错位置，也不要超界． 4．作图题必须用2B铅笔作答，并请加黑、加粗，描涂清楚． 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 未来将是一个可以预见的时代．一般指人工智能，它是一门研究、开发用于模拟、延伸和扩展人的智能的理论、方法、技术及应用系统的新的技术科学．下列是世界著名人工智能品牌公司的图标，其中是轴对称图形也是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列成语描述的事件中，发生的可能性最小的是（ ） A. 守株待兔 B. 瓮中捉鳖 C. 顺藤摸瓜 D. 日落西山 3. 根据“五项管理”和“双减”的政策要求，要充分保障学生的睡眠时间，我市某中学为了解本校1200名学生的睡眠情况，从中抽查了300名学生的睡眠时间进行统计，下面叙述正确的是（ ） A. 总体是该校1200名学生 B. 个体是该校每名学生 C. 样本是从中抽查的300名学生 D. 样本容量是300 4. 检查一个门框是否为矩形，下列方法中正确的是（　　） A. 测量两条对角线，是否相等 B. 测量两条对角线，是否互相平分 C. 测量门框的三个角，是否都是直角 D. 测量两条对角线，是否互相垂直 5. 如图，△ABC绕点O逆时针旋转100°后得到△A′B′C′，若∠AOB＝35°，则∠A′OB＝（　　） A. 35° B. 65° C. 100° D. 135° 6. 如图，在中，、相交于点，则的长为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在平行四边形中，用直尺和圆规作的平分线交于点E；以点A为圆心，的长为半径画弧交于点F．若，则的长为（ ） A. 16 B. 15 C. 14 D. 13 8. 将正方形ABCD与正方形BEFG按如图方式放置，点F、B、C在同一直线上．已知BG =，BC = 3，连接DF．M是DF中点，连接AM，则AM的长是（　　　） A. B. C. D. 二、填空题：本题共10小题，每小题3分，共30分． 9. 为了调查某品牌护眼灯的使用寿命，比较适合的调查方式是________（填“普查”或“抽样调查”）． 10. 为了全校名八年级学生的身高，抽查某一班名学生测量身高．在这个问题中，________是样本． 11. 已知数据：，，，，，其中无理数出现的频率是_____________． 12. 已知一个样本的容量为50，把它分成5组，第一组到第三组的频数和为35，第五组的频率为，则第四组的频数为____________． 13. 如图，在边长为的正方形区域内，为了估计图中黑白部分的面积，在正方形区域内随机掷点，经过大量重复试验，发现点落入黑色部分的频率稳定在0.45左右，据此可以估计黑色部分的总面积为________． 14. 在平行四边形中，，则的度数是_____________． 15. 如图，直线a、b垂直相交于点O，曲线C关于点O成中心对称，点A的对称点是点A'，AB⊥a于点B，A'D⊥b于点D．若OB=3，OD=2，则阴影部分的面积之和为______． 16. 如图，矩形的顶点的坐标为，则______． 17. 如图，正方形纸片的边长为12，是边上一点，连接．折叠该纸片，使点落在上的点，并使折痕经过点，得到折痕，点在上．若，则的长为__________． 18. 如图，等边边长为，是边上的中线，是上的动点，是边上一点，若，的最小值为________． 三、解答题：本题共10小题，共96分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 19. 已知分式，回答下列问题． （1）若分式值是零，求的值； （2）若分式的值是正数，求的取值范围． 20. 如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，△ABC的顶点均为格点（网格线的交点）． （1）将△ABC向上平移6个单位，再向右平移2个单位，得到，请画出﹔ （2）以边AC的中点O为旋转中心，将△ABC按逆时针方向旋转180°，得到，请画出． 21. 如图，已知ABCD中，AE、CF分别是∠BAD、∠BCD的角平分线．求证：AE=CF． 22. 如图，在中，， D点是的中点，、分别是、的角平分线．求证：四边形是矩形． 23. 已知分式M=+． （1）若x=6且分式M的值等于4，求y的值； （2）若y=4，当x取哪些整数时，M值是整数？ （3）若x、y均为正整数，写出使M的值等于2的所有x、y的值． 24. 为了解某地区九年级学生的视力情况，从该地区九年级学生中抽查了部分学生，根据调查结果，绘制了如下两幅不完整的统计图． 根据以上信息，解决下列问题： （1）此次调查的样本容量为 ； （2）扇形统计图中对应圆心角的度数为 °； （3）请补全条形统计图； （4）若该地区九年级学生共有人，请估计其中视力正常的人数． 25. 如图，在平行四边形中，E、F是对角线上的点，且，连接． （1）求证：； （2）连接，若，求证：四边形是菱形． 26. 如图，在四边形ABCD中，∠ABC=90°，AC=AD，M，N分别为AC，CD的中点，连接BM，MN，BN． （1）求证：BM=MN； （2）∠BAD=60°，AC平分∠BAD，AC=2，求BN的长． 27. 知识背景：过中心对称图形的对称中心的任意一条直线都将其分成全等的两个部分． （1）如图①，直线m经过平行四边形ABCD对角线的交点O，则S四边形AEFB　　S四边形DEFC（填“＞”“＜”“=”）； （2）如图②，两个正方形如图所示摆放，O为小正方形对角线的交点，求作过点O的直线将整个图形分成面积相等的两部分； （3）八个大小相同的正方形如图③所示摆放，求作直线将整个图形分成面积相等的两部分（用三种方法分割）． 28. 如图1，在正方形中，点E，F分别是边，上的点，且．连接，过点E作，使，连接，． （1）请判断：与的关系是___； （2）如图2，若点E，F分别是边，延长线上的点，其它条件不变，（1）中结论是否仍然成立？请作出判断并给予证明； （3）如图3，若点E，F分别是边，延长线上点，其它条件不变，（1）中结论是否仍然成立？请直接写出你的判断． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年度第二学期期中学情调研试卷 八年级数学 答题注意事项 1．本卷满分150分，答题时间120分钟． 2．答案全部写在答题卡上，写在本卷上无效． 3．答题使用0.5mm黑色签字笔，在答题卡上对应题号的答题区域书写答案．注意不要答错位置，也不要超界． 4．作图题必须用2B铅笔作答，并请加黑、加粗，描涂清楚． 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 未来将是一个可以预见的时代．一般指人工智能，它是一门研究、开发用于模拟、延伸和扩展人的智能的理论、方法、技术及应用系统的新的技术科学．下列是世界著名人工智能品牌公司的图标，其中是轴对称图形也是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查轴对称图形和中心对称图形的识别．如果一个平面图形沿着一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形；在平面内一个图形绕着一点旋转180度，旋转后的图形与原来的图形完全重合,这个图形就叫做中心对称图形．根据定义逐项判断即可． 【详解】解：A，不是轴对称图形，是中心对称图形，不合题意； B，轴对称图形，不是中心对称图形，不合题意； C，不轴对称图形，也不是中心对称图形，不合题意； D，是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意； 故选D． 2. 下列成语描述的事件中，发生的可能性最小的是（ ） A. 守株待兔 B. 瓮中捉鳖 C. 顺藤摸瓜 D. 日落西山 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了随机事件，必然事件，不可能事件．一般地必然事件的可能性大小为1，不可能事件发生的可能性大小为0，随机事件发生的可能性大小在0至1之间． 【详解】解：A、守株待兔是极小概率事件，本选项符合题意； B、瓮中捉鳖是必然事件，本选项不符合题意； C、顺藤摸瓜是必然事件，本选项不符合题意； D、日落西山是必然事件，本选项不符合题意； 故选：A． 3. 根据“五项管理”和“双减”的政策要求，要充分保障学生的睡眠时间，我市某中学为了解本校1200名学生的睡眠情况，从中抽查了300名学生的睡眠时间进行统计，下面叙述正确的是（ ） A. 总体是该校1200名学生 B. 个体是该校每名学生 C. 样本是从中抽查的300名学生 D. 样本容量是300 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了总体、个体、样本、样本容量，总体是指考查的对象的全体，个体是总体中的每一个考查的对象，样本是总体中所抽取的一部分个体，而样本容量则是指样本中个体的数目．我们在区分总体、个体、样本、样本容量，这四个概念时，首先找出考查的对象．从而找出总体、个体．再根据被收集数据的这一部分对象找出样本，最后再根据样本确定出样本容量． 【详解】解：A．总体是该校1200名学生的睡眠情况，不是该校1200名学生，故A错误，不符合题意； B．每名学生的睡眠时间是一个个体，故B错误，不符合题意； C．300名学生的睡眠情况是总体的一个样本，故C错误，不符合题意； D．300是样本容量，故D正确，符合题意． 故选：D． 4. 检查一个门框是否为矩形，下列方法中正确的是（　　） A. 测量两条对角线，是否相等 B. 测量两条对角线，是否互相平分 C. 测量门框的三个角，是否都是直角 D. 测量两条对角线，是否互相垂直 【答案】C 【解析】 【分析】根据对角线相等的平行四边形是矩形或有三个角是直角的四边形是矩形进行判断即可得． 【详解】A.只测量两条对角线是否相等，不能判断出是否为矩形，故A选项不符合题意； B. 只测量两条对角线是否互相平分不能判断出是否为矩形，故B选项不符合题意； C. 测量门框的三个角，是否都是直角，根据“三个角是直角的四边形是矩形”，可以判断有三个角是直角的四边形为矩形，故C选项符合题意； D. 测量两条对角线，是否互相垂直，据此不能判断是否为矩形， 故选:C． 【点睛】本题考查矩形的判定，熟练掌握矩形的判定方法是解题的关键． 5. 如图，△ABC绕点O逆时针旋转100°后得到△A′B′C′，若∠AOB＝35°，则∠A′OB＝（　　） A. 35° B. 65° C. 100° D. 135° 【答案】B 【解析】 【分析】先根据旋转的性质得到∠AOA′＝100°，然后计算∠AOA′﹣∠AOB即可． 【详解】解：∵△ABC绕点O逆时针旋转100°后得到△A′B′C′， ∴∠AOA′＝100°， ∴∠A′OB＝∠AOA′﹣∠AOB＝100°﹣35°＝65°． 故选B． 【点睛】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等． 6. 如图，在中，、相交于点，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查了平行四边形的性质：平行四边形的对角线互相平分，解题时还要注意勾股定理的应用． 由平行四边形，根据平行四边形的对角线互相平分，可得，又由，根据勾股定理，即可求得的长． 【详解】解：∵四边形是平行四边形，， ， ， ， ， 故选：A． 7. 如图，在平行四边形中，用直尺和圆规作的平分线交于点E；以点A为圆心，的长为半径画弧交于点F．若，则的长为（ ） A. 16 B. 15 C. 14 D. 13 【答案】A 【解析】 【分析】连接，设交于点，根据平行四边形的性质和作图可知,，进而证明四边形是菱形，根据勾股定理求得的长，即可求得的长． 【详解】解：如图，连接，设交于点， 平分 四边形平行四边形 ， 又 四边形是平行四边形 四边形是菱形 ， 在中，， 故选A 【点睛】本题考查了作角平分线，等角对等边，菱形的性质与判定，平行四边形的性质与判定，勾股定理，证明是菱形是解题的关键． 8. 将正方形ABCD与正方形BEFG按如图方式放置，点F、B、C在同一直线上．已知BG =，BC = 3，连接DF．M是DF的中点，连接AM，则AM的长是（　　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据正方形的性质和全等三角形的判定与性质得出BH，继而利用勾股定理解答即可． 【详解】 延长AM交BC于点H 四边形ABCD和四边形BEFG都是正方形，BG =，BC = 3 点F，B，C在同一直线上 ∴AD//CF M是DF的中点 在中， 故选：A． 【点睛】本题考查了正方形的性质和全等三角形的判定与性质、勾股定理，熟练掌握知识点是解题的关键． 二、填空题：本题共10小题，每小题3分，共30分． 9. 为了调查某品牌护眼灯的使用寿命，比较适合的调查方式是________（填“普查”或“抽样调查”）． 【答案】抽样调查 【解析】 【分析】根据全面调查得到的结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的结果比较近似进行解答即可． 【详解】解：调查某品牌护眼灯的使用寿命，具有破坏性，适合采用的调查方式是抽样调查， 故答案为：抽样调查． 【点睛】本题考查了抽样调查和全面调查的区别，选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查． 10. 为了全校名八年级学生的身高，抽查某一班名学生测量身高．在这个问题中，________是样本． 【答案】名学生的身高 【解析】 【分析】根据题意可得本题考查的对象是全校800名八年级学生的身高，由此可得样本是50名学生的身高． 【详解】本题考查的对象是全校800名八年级学生的身高，所以在这个问题中，样本是50名学生的身高． 故答案为名学生的身高. 【点睛】解题要分清具体问题中的总体、个体与样本，关键是明确考查的对象．总体、个体与样本的考查对象是相同的，所不同的是范围的大小．样本容量是样本中包含的个体的数目，不能带单位． 11. 已知数据：，，，，，其中无理数出现的频率是_____________． 【答案】0.4 【解析】 【分析】直接利用无理数的定义得出无理数的个数，进而利用频率求法得出答案． 【详解】解：在，，，，的5个数据中，无理数有，，共2个 ∴无理数出现的频率是2÷5=0.4 故答案为：0.4 【点睛】此题主要考查了频率与频数以及无理数，正确掌握频率求法是解题关键． 12. 已知一个样本的容量为50，把它分成5组，第一组到第三组的频数和为35，第五组的频率为，则第四组的频数为____________． 【答案】5 【解析】 【分析】先计算出第五组的频数，再计算第四组的频数． 【详解】解：第五组的频数为：， 所以第四组的频数为：， 故答案为：5． 【点睛】本题考查了频率、频数及总数间关系，掌握频率，各频数之和等于总数，各频率之和等于1是解决本题的关键． 13. 如图，在边长为的正方形区域内，为了估计图中黑白部分的面积，在正方形区域内随机掷点，经过大量重复试验，发现点落入黑色部分的频率稳定在0.45左右，据此可以估计黑色部分的总面积为________． 【答案】45 【解析】 【分析】本题考查了用频率来估计概率，解题关键是理解频率与概率的关系与概率计算公式，明确题中黑色部分的面积与正方形的面积比等于概率是解题的关键．先计算正方形的面积，再建立方程求解即可． 【详解】解：边长为正方形面积为， 设黑色部分的总面积为， ∴， ∴， ∴黑色部分的总面积为 故答案为：45． 14. 在平行四边形中，，则的度数是_____________． 【答案】##110度 【解析】 【分析】根据平行四边形的邻角互补，得到，再根据对角相等，即可得解． 【详解】解：∵平行四边形中，，， ∴， ∴， 故答案：． 【点睛】本题考查平行四边形的性质．熟练掌握平行四边形的对角相等，邻角互补，是解题的关键． 15. 如图，直线a、b垂直相交于点O，曲线C关于点O成中心对称，点A的对称点是点A'，AB⊥a于点B，A'D⊥b于点D．若OB=3，OD=2，则阴影部分的面积之和为______． 【答案】6 【解析】 【详解】∵直线a、b垂直相交于点O，曲线C关于点O成中心对称，点A的对称点是点A'，AB⊥a于点B，A'D⊥b于点D，OB=3，OD=2， ∴AB=2， ∴阴影部分的面积之和为3×2=6． 故答案为：6． 【点睛】考点：中心对称． 16. 如图，矩形的顶点的坐标为，则______． 【答案】 【解析】 【分析】如图，连接，由矩形的性质可得，，求解的值，进而可得结果． 【详解】解：如图，连接， 由矩形的性质可得，， ∵， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质，勾股定理求两点距离．解题的关键在于熟练掌握矩形的两条对角线相等． 17. 如图，正方形纸片的边长为12，是边上一点，连接．折叠该纸片，使点落在上的点，并使折痕经过点，得到折痕，点在上．若，则的长为__________． 【答案】 【解析】 【分析】先根据勾股定理得出AE的长，然后根据折叠的性质可得BF垂直平分AG，再根据,求出AM 的长，从而得出AG,继而得出GE的长 【详解】解：在正方形中，∠BAD=∠D =， ∴∠BAM+∠FAM= 在Rt中， ∵由折叠的性质可得 ∴AB=BG，∠FBA=∠FBG ∴BF垂直平分AG， ∴AM=MG，∠AMB= ∴∠BAM+∠ABM= ∴∠ABM=∠FAM ∴ ∴ ，∴ ∴AM=, ∴AG= ∴GE=13- 【点睛】本题考查了正方形与折叠，勾股定理，等腰三角形的性质，以及三角形相似的判定和性质，熟练掌握相关的知识是解题的关键 18. 如图，等边的边长为，是边上的中线，是上的动点，是边上一点，若，的最小值为________． 【答案】 【解析】 【分析】连接，与交于点，取中点，连接，推出，则就是的最小值，利用中位线定理推出和的长度，再通过勾股定理运算求解即可． 【详解】解：连接，与交于点，取中点，连接，如图所示： ∵为等边三角形，是边上的中线， ∴为的中垂线， ∴，则就是的最小值， ∵等边的边长为6，， ∴， ∴， 又∵D是边上的中点， ∴是的中位线， ∴，， 又∵为的中点， ∴为的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴， ∴， ∴， 在直角中，, ， ∴， ∴， ∴的最小值为：； 故答案为：． 【点睛】本题考查了轴对称的性质，最短路径问题，等边三角形的性质，中位线定理，勾股定理等知识点，合理作出辅助线是解题的关键． 三、解答题：本题共10小题，共96分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 19. 已知分式，回答下列问题． （1）若分式的值是零，求的值； （2）若分式的值是正数，求的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】此题主要考查了分式值为零、分式值为正，关键是掌握各种情况下，分式所应具备的条件． （1）根据分式值为零的条件：分子为零，分母不为零，解答即可； （2）分式值为正数，则分子分母同号，进而可得两个不等式组，再解即可． 【小问1详解】 解：∵分式的值是， ∴且， ∴， ∴当时分式的值是零． 【小问2详解】 解：∵分式的值为正数， ∴或 不等式组①无解， 解不等式组②得：， ∴的取值范围是． 20. 如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，△ABC的顶点均为格点（网格线的交点）． （1）将△ABC向上平移6个单位，再向右平移2个单位，得到，请画出﹔ （2）以边AC的中点O为旋转中心，将△ABC按逆时针方向旋转180°，得到，请画出． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】（1）根据平移的方式确定出点A1，B1，C1的位置，再顺次连接即可得到； （2）根据旋转可得出确定出点A2，B2，C2的位置，再顺次连接即可得到． 【小问1详解】 如图，即为所作； 【小问2详解】 如图，即为所作； 【点睛】本题考查作图-旋转变换与平移变换，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 21. 如图，已知ABCD中，AE、CF分别是∠BAD、∠BCD的角平分线．求证：AE=CF． 【答案】证明见解析 【解析】 【分析】先根据平行四边形的性质可得，再根据角平分线的定义可得，根据平行线的性质可得，从而可得，然后根据平行线的判定可得，最后根据平行四边形的判定可得四边形是平行四边形，根据平行四边形的性质即可得证． 【详解】证明：四边形是平行四边形， ， 分别是的角平分线， ， ， 又， ， ， ， 四边形是平行四边形， ． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定与性质，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题关键． 22. 如图，在中，， D点是的中点，、分别是、的角平分线．求证：四边形是矩形． 【答案】证明见详解 【解析】 【分析】根据， D点是的中点，可得，结合是的角平分线，即可得到，同理证得 ，根据有三个角是直角的四边形是矩形，即可得到证明． 【详解】证明：∵， D点是中点， ∴， ∵是的角平分线， ∴ ∴， 同理可得：， ∴ ∴四边形是矩形． 【点睛】本题主要考查了矩形的判定：有三个角是直角的四边形是矩形，涉及了等腰三角形底边上三线合一，直角三角形斜边中线等于斜边一半等知识点． 23. 已知分式M=+． （1）若x=6且分式M的值等于4，求y的值； （2）若y=4，当x取哪些整数时，M的值是整数？ （3）若x、y均为正整数，写出使M的值等于2的所有x、y的值． 【答案】（1）y=6；（2）x=0、2、4、6；（3）x=2，y=4；x=4，y=2；x=1，y=5；x=5，y=1． 【解析】 【分析】（1）直接将x，M的值代入，进而化简求出答案； （2）利用y=4时，代入进而利用整数的定义求出答案； （3）利用M=2，分别得出符合题意的答案． 【详解】解：（1）∵x=6且分式M的值等于4， ∴4=+ ， 整理得：2= 解得：y=6； （2）∵y=4， ∴M=+4， 当x=0时，M=4， 当x=2时，M=2， 当x=4时，M=0， 当x=6时，M=6； （3）∵x、y均为正整数，使M的值等于2， ∴2=+， ∴所有x、y的值为：x=2，y=4；x=4，y=2；x=1，y=5；x=5，y=1． 【点睛】此题主要考查了分式的值，正确把握整数的定义是解题关键． 24. 为了解某地区九年级学生的视力情况，从该地区九年级学生中抽查了部分学生，根据调查结果，绘制了如下两幅不完整的统计图． 根据以上信息，解决下列问题： （1）此次调查的样本容量为 ； （2）扇形统计图中对应圆心角的度数为 °； （3）请补全条形统计图； （4）若该地区九年级学生共有人，请估计其中视力正常的人数． 【答案】（1）450 （2） （3）见解析 （4）人 【解析】 【分析】（1）根据的人数是人，所占的比例是，据此即可求得此次调查的样本容量； （2）用类学生数除以，再乘以即可得解； （3）利用总人数减去、、三类的人数即可求得的人数，从而补全直方图； （4）利用总人数乘以对应的百分比即可求得． 【小问1详解】 解：， 答：此次调查的样本容量为是， 故答案为． 【小问2详解】 解：， 故答案为； 【小问3详解】 解： 补全图形如下： 【小问4详解】 解：（人） 答：九年级学生共有人，请估计其中视力正常的人数共有人． 【点睛】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小． 25. 如图，在平行四边形中，E、F是对角线上的点，且，连接． （1）求证：； （2）连接，若，求证：四边形是菱形． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】（1）由可证； （2）先证明是菱形，可得，然后利用，即可得出结论． 【小问1详解】 ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ 【小问2详解】 连接交于点O， ∵，四边形是平行四边形， ∴是菱形， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， 又∵ ∴四边形是菱形． 【点睛】本题考查菱形的判定和性质，平行四边形的性质，全等三角形的判定，灵活运用这些性质解决问题的关键． 26. 如图，在四边形ABCD中，∠ABC=90°，AC=AD，M，N分别为AC，CD的中点，连接BM，MN，BN． （1）求证：BM=MN； （2）∠BAD=60°，AC平分∠BAD，AC=2，求BN的长． 【答案】（1）证明见解析；（2） 【解析】 【分析】（1）在△CAD中，由中位线定理得到MN∥AD，且MN=AD，在Rt△ABC中，因为M是AC的中点，故BM=AC，即可得到结论； （2）由∠BAD=60°且AC平分∠BAD，得到∠BAC=∠DAC=30°，由（1）知，BM=AC=AM=MC，得到∠BMC =60°．由平行线性质得到∠NMC=∠DAC=30°，故∠BMN=90°，得到，再由MN=BM=1，得到BN的长． 【详解】（1）在△CAD中，∵M、N分别是AC、CD的中点， ∴MN∥AD，且MN=AD， 在Rt△ABC中，∵M是AC的中点， ∴BM=AC， 又∵AC=AD， ∴MN=BM； （2）∵∠BAD=60°且AC平分∠BAD， ∴∠BAC=∠DAC=30°， 由（1）知，BM=AC=AM=MC， ∴∠BMC=∠BAM+∠ABM=2∠BAM=60°． ∵MN∥AD， ∴∠NMC=∠DAC=30°， ∴∠BMN=∠BMC+∠NMC=90°， ∴， 而由（1）知，MN=BM=AC=×2=1， ∴BN=． 27. 知识背景：过中心对称图形的对称中心的任意一条直线都将其分成全等的两个部分． （1）如图①，直线m经过平行四边形ABCD对角线的交点O，则S四边形AEFB　　S四边形DEFC（填“＞”“＜”“=”）； （2）如图②，两个正方形如图所示摆放，O为小正方形对角线的交点，求作过点O的直线将整个图形分成面积相等的两部分； （3）八个大小相同的正方形如图③所示摆放，求作直线将整个图形分成面积相等的两部分（用三种方法分割）． 【答案】（1）＝（2）作图见解析（3）作图见解析 【解析】 【分析】（1）根据知识背景即可求解； （2）先找到两个矩形的中心，然后过中心作直线即可； （3）先分成两个矩形，找到中心，然后过中心作直线即可． 【详解】（1）如图①，直线m经过平行四边形ABCD对角线的交点O，则S四边形AEFB=S四边形DEFC 故答案是：=； （2）如图所示： （3）如图所示： 28. 如图1，在正方形中，点E，F分别是边，上的点，且．连接，过点E作，使，连接，． （1）请判断：与的关系是___； （2）如图2，若点E，F分别是边，延长线上的点，其它条件不变，（1）中结论是否仍然成立？请作出判断并给予证明； （3）如图3，若点E，F分别是边，延长线上的点，其它条件不变，（1）中结论是否仍然成立？请直接写出你的判断． 【答案】（1）， （2），理由见详解 （3），理由见详解 【解析】 【分析】（1）只要证明四边形是平行四边形即可得出，； （2）构造辅助线后证明，利用对应边相等求证四边形是矩形后，利用等量代换即可求出，； （3）证明后，即可证明四边形是平行四边形． 【小问1详解】 在正方形中，有，， ∵， ∴， ∴，， 即， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴，； 【小问2详解】 过点G作，交于的延长线于点H， ∵， ∴， ∵， ∴． ∵在与中，，，， ∴， ∴，． ∵， ∴． ∵，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴． ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 ∵四边形是正方形， ∴，． 在与中， ∵，，， ∴， ∴，． ∵， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形平行四边形， ∴，． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，矩形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质， 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$