专题06 有理数的乘法与除法（5知识点+11大题型+4大拓展训练+过关测）-【暑假自学课】2025年新七年级数学暑假提升精品讲义（浙教版2024）

专题06 有理数的乘法与除法 （5知识点+11大题型+4大拓展训练+过关测） 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材 学知识：教材精讲精析、全方位预习 练题型 强知识：11大核心考点精准练+4大拓展训练 第二步：记 串知识 识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测 稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点1：有理数乘法法则 1. 两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘； 2. 0与任何数相乘都得0； 3. 任何数与1相乘都等于它本身，任何数与－1相乘都等于它的相反数； 4. 拓展： （1） 几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定．当负因数有奇数个时，积为负；当负因数的个数有偶数个时，积为正； （2） 几个数相乘，如果有一个因数为0，那么积就等于0．反之，如果积为0，那么至少有一个因数为0. （3） 一般地，在乘法运算中，若有带分数和小数，应先把带分数化为假分数，小数化为分数之后再计算，方便约分. 【即时训练】 1．（23-24七年级上·浙江杭州·阶段练习）下列算式中，积为负数的是（   ） A． B． C． D． 2．（23-24七年级上·浙江宁波·期末）用2、0、2、4这四个数进行如下运算，计算结果最大的式子是（   ） A． B． C． D． 3．（2024七年级上·浙江·专题练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 知识点2：有理数的乘法运算律 1. 乘法交换律：两个数相乘，交换因数的位置，积相等，即； 2. 乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积相等．即； 3. 乘法分配律：一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，再把积相加．即. 4. 拓展： （1） 三个或三个以上有理数相乘，任意交换因数的位置，或者先把其中几个因数相乘，积相等； （2） 乘法分配律对一个有理数同多个有理数的和相乘仍适用 【即时训练】 4．（24-25七年级上·浙江·期中）用简便方法计算： (1)； (2)． 5．（2023七年级上·浙江·专题练习）用简便方法计算： (1)； (2)． 6．（24-25七年级上·浙江金华·阶段练习）学习了有理数的乘法后，老师给同学们出了这样一道题目：计算：，看谁算的又快又对． 小明的解法：原式； 小军的解法：原式． (1)对于以上两种解法，你认为谁的解法较好？ (2)小强认为还有更好的方法：把看作，请把小强的解法写出来，并算出最后答案． (3)请你用最合适的方法计算：． 知识点3：倒数 1.倒数：乘积为1的两个数互为倒数，其中一个数叫做另一个数的倒数. PS：单独的一个数不能称为倒数；0与任何数相乘都等于0，不可能等于1，所以0没有倒数. 2求一个数的倒数的方法： （1）一个不为0的整数的倒数，是用这个数作分母，1作分子的分数； （2）求一个真分数的倒数，就是将这个分数的分子与分母交换一下位置； （3）求带分数的倒数，要先将带分数化成假分数，再交换分子与分母的位置； （4）求小数的倒数，先将小数化为分数，再求倒数. 3.化为倒数的两个数的符号是相同的，正数的倒数是正数，负数的倒数是负数，0没有倒数. 【即时训练】 7．（24-25七年级上·浙江衢州·随堂练习）的倒数是（　　） A． B． C． D． 8．（2024七年级上·浙江·专题练习）求下列各数的倒数： (1)； (2)； (3)； (4)． 9．（2024七年级上·浙江·专题练习）若，，，试比较，，的大小． 知识点4：有理数除法法则 1. 除以一个不等于0的数，等于乘以这个数的倒数； 2. 两个不为0的数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除； 3. 0除以任何一个不为0的数都等于0，0不能作为除数，无意义. 4. 一个非零的数除以它的本身等于1. 两数相除要先确定商的符号，再确定绝对值，其中商的符号的确定方法与有理数乘法中积的符号确定方法相同. 补充： （1） 两个数相除，若商是1，则这两个数相等；若商是-1，则这两个数互为相反数. （2） 有理数的除法中没有交换律、结合律、分配律. 【即时训练】 10．（24-25七年级上·浙江温州·期末）计算： ． 11．（23-24六年级上·浙江绍兴·期末）在这四个数中，任意两个数相除，所得的商最小是 ． 12．（23-24七年级上·浙江温州·阶段练习）数学老师布置了一道题： 计算：÷． 小明仔细思考了一番，用了一种特殊的方法来解决这个问题． 小明的解法： 原式的倒数为， 所以． (1)小明的解答是否正确？请说明理由； (2)请你运用小明的方法计算：÷． 知识点5：有理数乘除混合运算 1. 有理数乘除混合运算顺序：没有括号的情况下，按照从左到右的顺序计算，有括号的要先算括号里面的； 2. 要先将除法化为乘法，化成连乘的形式，同时，有带分数的先化成假分数，有小数的要先化成分数，然后按照有理数乘法运算法则进行计算. 【即时训练】 13．（23-24七年级上·浙江杭州·阶段练习）计算的结果是（    ） A． B． C． D．1 14．（24-25七年级上·浙江杭州·期中）高斯被认为是历史上最杰出的数学家之一，享有“数学王子”之称．现有一种高斯定义的计算式，已知a是有理数，[a]表示不超过a的最大整数，如，，，等，那么的值是（　　） A． B． C． D． 15．（22-23七年级上·浙江湖州·期中）阅读下面解题过程并解答问题： 计算： 解：原式＝（第一步） ＝（第二步） ＝（第三步） (1)上面解题过程有两处错误： 第一处是第________步，错误原因是______； 第二处是第________步，正确步骤的依据是______； (2)请写出正确的结果________． 【题型1 两个有理数的乘法运算】 1．计算：（    ） A． B．3 C． D．12 2．计算的结果等于（   ） A． B． C． D． 3． ． 4．在4，，6，这四个数中，任意取两个数相乘，所得的积最大是 ． 5．计算： (1)； (2)． 【题型2 多个有理数的乘法运算】 6．下列式子中，积的符号为负的是（     ） A． B． C． D． 7．已知三个数的积为负数，如果一个数为正数，那么另外两个数（   ） A．一定都是正数 B．一定都是负数 C．一定异号 D．无法确定 8．绝对值不小于2.4且小于5的所有整数的积是 ． 9．计算：． 10．计算： (1)； (2)． 【题型3 有理数乘法的实际应用】 11．小海去电影院购买电影票时付款100元找回44元．根据如图表信息，可判断小海看的场次是（    ） 《哪吒之魔童闹海》70元/张 上午场：六折    中午场：五折 下午场：八折    夜场：不打折 A．上午场 B．中午场 C．下午场 D．夜场 12．某奶茶店促销一款新饮品，每杯售价7元，为吸引顾客，店长推出A套餐和B套餐： 若晴晴想买12杯该饮品，则下列花费最少的方式是（   ） A．买6个A套餐 B．买4个B套餐 C．买3个A套餐，2个B套餐 D．买2个A套餐，3个B套餐 13．用正负数表示气温的变化，上升为正，下降为负.登山队攀登一座山峰，每登高气温的变化量为，登山队员在山脚测得气温是，那么他们登高后，气温是 ． 14．一间多媒体教室长15米，宽8米，高4米，要粉刷这间教室的墙壁和天花板（门窗除外）．门窗的面积是23平方米，如果每平方米需花8元涂料费，粉刷这间教室需要涂料费多少钱？ 15．股民曹先生上星期五买进某公司股票1000股，每股31元，下表为本周每日该股票的涨跌情况（单位：元）． 星期 一 二 三 四 五 每股涨跌 注：正数表示比前一天上涨，负数表示比前一天下跌． (1)星期三收盘时，每股是多少元？（列式计算） (2)本周内最高股价是每股多少元？最低价是每股多少元？ (3)如果曹先生在星期五收盘前将全部股票卖出，他的收益情况如何？ 【题型4 倒数】 16．的倒数是（   ） A．3 B． C． D． 17．互为倒数．则（   ） A． B． C． D． 18．的倒数是 ． 19．给出下列9个有理数，按下列要求解答： 3，，0，，0.45，，，， (1)把上面的9个数用“”排列起来； (2)把数3，0，，，表示在数轴上． (3)9个数中，①绝对值最小的数是______；②整数有______；③的倒数是______． 20．求下列各数的倒数： (1)； (2)； (3)； (4)． 【题型5 有理数乘法运算律】 21．计算： ． 22．乘法分配律是一条很重要的运算律，用字母表示： ．请运用乘法分配律简便计算： ． 23．利用运算律计算有时可以更简便． 例1：； 例2：． 请你参考示例，用运算律简便计算． (1)； (2)． 24．我们知道分配律，反过来可得，这叫分配律的逆用．请利用它计算： (1)； (2)． 25．下面是乐乐同学进行有理数运算的过程，请认真阅读并完成相应任务． 解： 第一步 第二步 第三步 ．第四步 任务： (1)填空： ①以上运算步骤中，第一步依据的运算律是　　； ②第　　步开始出现错误，错误的原因是　　． (2)请直接写出正确的计算结果． 【题型6 有理数的除法运算】 26．计算的结果等于（   ） A． B． C．2 D．3 27．算式，若使计算结果为；则中的运算符号是（    ） A． B． C． D． 28．计算： ． 29．计算： (1)； (2)． 30．计算： 【题型7 有理数除法的应用】 31．下列分数中，能化为有限小数的是（   ） A． B． C． D． 32．如题图，在一张日历表中，任意涂出一个竖列上相邻的三个数，则这三个数的和可能是（   ） A．38 B．40 C．51 D．62 33．学校团委组织37名团员去西柏坡红色教育基地进行为期两天的参观学习，其中女团员18名，男团员19名．在办理入住时，所有女团员办理完成后，再安排男团员办理．房间价目表如下（说明：客房未住满的房间按原价收费）： 房型 单人间 双人间 三人间 房价（元/天） 120 150 200 （1）所有女团员每天住宿的费用最少为 元； （2）所有男团员每天住宿的费用最少为 元． 34．某校六年级学生到郊外参加植树活动，已知用3辆小客车和一辆大客车每次可运送学生105人，用1辆小客车和两辆大客车每次可运送学生110人，求每辆小客车和每辆大客车各能坐多少名学生？ 35．乒乓球，被称为“国球”，在中华大地有着深厚的群众基础．2000年2月23日，国际乒乓球大会决定从2000年10月1日起，乒乓球比赛将使用直径、重量的大球，以取代的小球．某工厂按要求加工一批标准化的直径为乒乓球，但是实际生产的乒乓球直径可能会有一些偏差．随机抽查检验该批加工的10个乒乓球直径并记录如下：，，，，，，，，，（“”表示超出标准；“”表示不足标准）． (1)其中偏差最大的乒乓球直径是______； (2)抽查的这10个乒乓球中，最符合标准的乒乓球的直径是______？ (3)若误差在“”以内的球可以作为合格产品，误差在“”以内的球可以作为良好产品，这10个球的合格率是______；良好率是______． 【题型8 有理数乘除混合运算】 36．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 37．计算： 38．计算： 39．计算： 40．计算： (1) (2) 【题型9 有理数乘除中的简便运算】 41．简便计算 (1) (2) 42．脱式计算，能简便的要简便计算． ① ② ③ ④ 43．用简便方法计算 (1)； (2)； (3)； (4)． 44．利用运算律有时能进行简便计算． 例1：； 例2：． 解答下列问题： (1)方方同学计算：的过程如下： 原式． 请你判断方方同学的计算过程是否正确，若不正确，请你写出正确的计算过程； (2)请你参考黑板中老师的讲解，用运算律简便计算（请写出具体的解题过程）： ①； ②． 45．简便运算能使学生思维的灵活性得到充分锻炼，对提高学生的计算能力起到非常大的作用．阅读下列相关材料． 材料一，计算：． 分析：利用通分计算的结果很麻烦，可以采用以下方法进行计算． 解：． ． 材料二，下列算式是一类两个两位数相乘的一种特殊计算方法． ； ； 根据以上材料，完成下列问题： (1)请你根据对材料一的理解，计算：； (2)请你根据对材料二的理解，计算：． 【题型10 有理数的四则混合运算】 46．计算： 47．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 48．简便计算： (1) (2) 49．计算：． 50．计算：． 【题型11 有理数四则混合运算的实际应用】 51．某送货员负责为五个商场送货，每送一件甲种货物可收益1元，每送一件乙种货物可收益2元，某天五个商场需要的货物数量如下表所示： 商场 需甲种货物数量（件） 需乙种货物数量（件） A 4 7 B 13 4 C 10 5 D 8 5 E 15 6 (1)如果送货员一个上午最多前往三个商场，且要求他最少送甲种货物30件，最少送乙种货物15件，写出一种满足条件的送货方案 （写商场编号）； (2)在（1）的条件下，如果送货员想在上午达到最大的收益，写出他的最优送货方案是 （写商场编号）． 52．等额本金是指一种贷款的还款方式，是在还款期内把贷款数总额等分，每月偿还同等数额的本金和剩余贷款在该月所产生的利息，这样由于每月的还款本金额度固定，而利息越来越少，借款人起初还款压力较大，但是随时间的推移每月还款败也越来越少． 设小王贷款60万，月利率是，采用等额本金还款法，准备在半年内还清，请问他第一个月需还款多少万元？第二个月需还款多少万元？最后总共要还款多少万元？ 53．小明准备乘坐出租车从商场回家，商场到家的距离为30公里，当地出租车的收费标准是：起步价为12元（3公里以内），超过3公里低于15公里，每公里收费2元，15公里以上每公里单价是在2元的基础上上浮，小明发现身上只有75元现金，请问他能直接乘出租车回家吗？ 54．“十一”期间，某风景区在7天中每天游客的人数变化如下表（正数表示比前一天多的人负数表示比前一天少的人数），若9月30日的游客人数为1万人，人均消费为50元． 日期（10月） 1日 2日 3日 4日 5日 6日 7日 人数变化单位：万人 (1)10月4日的游客人数为 万人； (2)七天内游客人数最多的是10月 日，游客人数为 万人； (3)求该景区“十一”期间所有游客在此风景区的总消费是多少万元？ 55．某厂本周计划每天生产200辆自行车，由于工作人员轮休等原因，实际每天生产量与计划生产量相比情况如下表（增加的车辆数为正数，减少的车辆数为负数）： 星期 一 二 三 四 五 六 日 增减（单位：辆） (1)该厂星期三生产电动车________辆； (2)请求出该厂在本周实际生产自行车的数量； (3)该厂实行“每周计件工资制”，每生产一辆自行车可以得60元，若超额完成任务，则超过部分每辆在60元基础上另奖15元；少生产一辆则倒扣20元，那么该厂工人这一周的工资总额是多少元？ 【拓展训练一 有理数乘除法混合运算综合】 56．简便计算 (1) (2) (3) (4) (5) 57．计算： (1) (2) (3) (4) 58．计算： 59．阅读下列材料，计算：． 解法一：原式． 解法二：原式的倒数为．故原式． (1)上述得出的结果不同，肯定有错误的解法，你认为解法 是错误的． (2)请你选择合适的解法解答下列问题： ①； ②． 60．计算 (1) (2) 【拓展训练二 有理数乘除法规律探究】 61．已知有理数，我们规定是的“福倒数”，如：3的福倒数是，的福倒数是．如果，是的福倒数，是的福倒数，是的福倒数，⋯，依此类推，解答下列问题： (1)计算：________，_______，________； (2)求的值． 62．数学家基斯顿·卡曼于1808年发明了一种运算符号叫阶乘，用“!”表示．它的意思是：一个正整数的阶乘是所有小于及等于该数的正整数的积，如，．正整数的阶乘记作，即．裂项相消法可以和阶乘结合起来研究，例如，我们可以把拆分为两个分母含有阶乘形式的分子为1的分数的差，即． 根据以上规律，解答下列问题： (1)填空：________； (2)将化简为两个分母含有阶乘形式的分子为1的分数的差的形式为________； (3)计算：． 63．观察下列等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式： 按照以上规律，解决下列问题： (1)请直接写出第4个等式：______________________； (2)利用规律计算：的值； (3)直接写出的值． 64．观察下列等式 ①、 ； ②、 ； ③、 ； ④、 ：…… (1)根据以上规律，写出第5个等式 ； (2)运用以上规律的结论计算： (3)计算： 65．如图是“分数三角形”数表，记第i行从左往右数第j个数为（其中i、j均为正整数且），如，；请认真观察此数表的规律并完成下列作答． (1)第10行的第一个数为______，第10行的第二个数为______； (2)我发现了此数表有以下规律： ①第i行的第一个数与最后一个数均为______；（用字母i来表示） ②请仔细观察每行相邻两个数与它们头顶上的那个数的关系，并完成下面填空：=______；（其中i为正整数且） (3)请利用第（2）问②的规律计算：．（请给出运算过程） 【拓展训练三 有理数四则混合运算的新定义问题】 66．在学习完《有理数》后，小奇对运算产生了浓厚的兴趣，借助有理数的运算，定义了一种新运算“”，规则如下：． (1)求的值； (2)求的值． 67．学科素养·运算能力 观察下列两个等式：，，给出定义如下：我们称使等式成立的一对有理数a，b为“共生有理数对”，记为，如：数对，都是“共生有理数对”． (1)通过计算判断数对和是不是“共生有理数对”； (2)若是“共生有理数对”，判断是不是“共生有理数对”． 68．我们规定一种新定义：，其中符号“”是我们规定的一种新定义，如，根据新定义计算： (1)； (2)． 69．中考新趋势·新定义若规定：，例如：，试求的值． 70．定义新运算：，（右边的运算为平常的加、减、乘、除）． 例如：，． 若，则称有理数，为“隔一数对”． 例如：，，，所以2，3就是一对“隔一数对”． (1)下列各组数是“隔一数对”的是_____ （请填序号）． ①，；②，；③，． (2)计算：． (3)已知两个连续的非零整数都是“隔一数对”．计算：． 【拓展训练四 有理数四则混合运算的实际应用】 71．外卖送餐为我们生活带来了许多便利，某学习小组调查了一名外卖员小张一周的送餐情况，规定送餐量超过40单（送一次外卖为一单）的部分记为“+”，低于40单的部分记为“-”，下表是该外卖小哥一周的送餐量： 星期 一 二 三 四 五 六 日 送餐量/单 (1)求外卖员小张这一周一共送餐多少单？ (2)外卖员每周的工资由底薪700元加上送单补贴构成，送单补贴的方案如下：每周送餐量不超过200单的部分，每单补贴3元：超过200单但不超过300单的部分，每单补贴4元：超过300单的部分，每单补贴6元．求小张这一周工资收入是多少元？ (3)小张想用这周的工资买一台标价2400元的扫地机器人，商场促销这款扫地机器人让利销售，恰逢市政府面向全市人民发放4000万元消费券，小张幸运地抢到了一张满500元减180元的消费券．小张这周的工资够不够买下这台扫地机器人？ 72．综合实践 问题背景 某校编程社团为每位考生的准考证号设计二维码．二维码的图案由一系列黑白相间的方块（黑色代表1，白色代表0）组成，形成一串二进制序列，用于存储各种类型的数据． 查阅资料一 十进制，即“逢十进一”，使用十个数字记数，基数为10（基数10常省略不写）．例如，十进制数3925表示3个千，9个百，2个十，5个一的和，可得式子：（规定：当时，），可见，一个数可以表示成各数位上的数字与基数的幂的乘积之和的形式． 二进制，即“逢二进一”，各数位上的数字只有0和1，基数为2．例如，二进制数10100简记为（角标2为基数，除十进制外，基数不能省略），可利用上述方法将其转化为十进制数：． 查阅资料二 根据二进制数“逢二进一”的原则，可以用2连续去除十进制数，直到商为0为止，然后逆序取余数，得到二进制数．例如： 可得： 上述方法可以推广为把十进制数转换为k进制的第法（除k取余法） 制作二维码 图1是小南同学的二维码简易编码和制作说明．小南同学的准考证号是0207181124，其中“02”表示性别男，转化成二进制数为10，对应二维码第一行的五个方格从左到右分别为：白、白、白、黑、白；“07”表示年级为七年级，转化成二进制数为111，对应二维码第二行的五个方格从左到右分别为：白、白、黑、黑、黑：“18”表示班级为18班，转化成二进制数为10010，对应二维码第三行的五个方格从左到右分别为：黑、白、白、黑、白；“11”‘表示考场号为11，转化成二进制数为1011，对应二维码第四行的五个方格从左到右分别为：白、黑、白、黑、黑；“24”表示座位号为24，转化成二进制数为11000，对应二维码第五行的五个方格从左到右分别为：黑、黑、白、白、白． 图2是未完成的小宁同学准考证号的二维码． 请完成下列问题： 【图形感知】（1）根据图1的制作示意图，把小宁同学的考场号二进制数10101在图2中填涂出来； 【转化计算】（2）根据图2的二维码图形，求小宁同学所在的年级和班级； 【实践操作】（3）已知小宁的准考证座位号是13号，请先转化计算，再完善二维码制作． 73．小李在某超市做兼职，销售某种商品，规定每天销量超过400单(卖出一件称为一单)的部分记为“＋”，低于400单的部分记为“－”，他一周的销售情况如下表： 星期 一 二 三 四 五 六 日 销量/单 15 18 24 11 (1)小李这一周平均每天销售多少单？ (2)该超市兼职人员的工资采用“日结制”，每天的工资由底薪300元加上销售提成构成，方案如下：每天销量不超过400单，则每少一单罚款2元；超过400单，则超过的部分每单提成1元，求小李这一周的总收入． 74．小红家需要购一台冰箱、一台洗衣机和一台微波炉，请你来给他们当消费顾问，帮他们做出选择． 信息一、财联社1月19日电，据“上海商务”官方公众号，上海进一步做好国家家电以旧换新补贴工作．2025年1月20日起，对购买二级能效电器给与补贴（不超过1500元），对购买一级能效电器给与的补贴（不超过2000元）（注：电器国补按每一台计算） 信息二、小红家在某商店已经看中三种商品各有两个不同型号（见表），另有一张该商店的五一促销海报（见图） 能效等级 标价（元） 冰箱A 1级 6000 冰箱B 2级 5000 洗衣机A 1级 4000 洗衣机B 2级 2400 微波炉A 1级 900 微波炉B 2级 600 (1)如果在5月1日前，在该店购置一台价值8000元的电器，如果这是一台一级能效的电器，那么国补后只需要支付多少钱？ (2)小红家如果购买三种电器都选择A型号，那么在“五一”期间，可以得到的优惠率是多少？（优惠率，结果在百分号前保留1位小数） (3)如果小红家本次购置电器的消费预算在7200元以内，那么他们应该如何选择才能即不超过预算，又能得到最大的优惠率呢？（优惠率）经过计算：完成以下购置计划清单：（结果在百分号前保留1位小数） 购置计划清单： ________型号的电冰箱、________型号的洗衣机、________型号的微波炉，优惠率为_______． 75．小明与同学约定好在距家6千米的公园聚会，可供小明选择的出行方式如下表所示，其中从小明家往公园方向0.5千米处有公交专线直达公园． 出行方式 等待上车时间（分钟） 速度（千米/小时） 费用 出租车 2 30 不超过3千米 超过3千米部分 10元 里程费：2元/千米 时长费：0.5元/分钟 公交专线 3 20 票价共3元 便民自行车 0 15 每15分钟1元，不足15分钟按15分钟计算 步行 0 5 0元 (1)若小明乘坐公交专线前往，则小明需要花费的时间为多少分钟？ (2)下午5∶35同学聚会结束，小明想利用剩余的14元，并在下午6∶00前到家； ①若小明选择乘坐出租车，则小明能否按照计划到家并支付费用？若能，请计算出所需要的费用和到家的时间，若不能，请说明理由； ②请你帮他设计一种用时最短的返程方案，并计算出所需要的费用和到家时间． 1．若的运算结果为正数，则内的数字可以是（    ） A． B．0 C．3 D．5 2．下列各组数中，互为倒数的是（   ） A．2和 B．3和 C．1和 D．和 3．下列各式的值最大的是（   ） A． B． C． D． 4．如图，数轴上有三个点，，，其中是线段的中点，则原点的位置（    ） A．位于线段上，且靠近点 B．位于线段上，且靠近点 C．位于线段上，且靠近点 D．位于线段上，且靠近点 5．干支纪年法是中国历法上的传统文化，干支是天干和地支的总称．干支纪年法的组合方式是天干在前，地支在后，以十天干和十二地支循环配合（如对照表），60年为一个循环．我们把天干、地支按顺序排列，且给它们编上序号，天干的计算方法是：年份减3，除以10所得的余数对应天干栏中的汉字即为天干；地支的计算方法是：年份减3，除以12所得的余数对应地支栏中的汉字即为地支；属相的计算方法与地支一致． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 … 天干 甲 乙 丙 丁 戊 己 庚 辛 壬 癸 … 地支 子 丑 寅 卯 辰 巳 午 未 申 酉 戌 亥 … 属相 鼠 牛 虎 兔 龙 蛇 马 羊 猴 鸡 狗 猪 … 依据上述规律推断，2037年为（   ） A．戊酉鸡 B．丁巳蛇 C．丙申猴 D．己辰龙 6．据我国古代《易经》记载，远古时期人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳记数”．如图，一位老者在从右到左依次排列的绳子上打结，满五进一（例如：图中第2根上的一个绳结表示5个，第3根上的一个绳结表示个），用来记录采集到的野果的个数．若他一共采集到了47个野果，则在第2根绳子上的绳结数是（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 7． ． 8．定义运算：，如．则： ． 9．若是互不相等的整数，且，则 ． 10．规定图形表示运算，图形表示运算，则= ．（直接写出答案） 11．有两组数，第一组：，，，，；第二组：，，，．从第一组数中任取一个数与第二组数中任取一个数相乘，则所有乘积的总和是 ． 12．新定义：规定“”是一种数学运算符号，且，，，，，则 ． 13．计算：． 14．怎样简便就怎样算． (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 15．47中学初一学年体育课训练排球项目，要求每人每次垫球下，如果某同学垫球下，记作：；如果某同学垫球下，记作：．下面是某组6名同学垫球数量： 学生 同学A 同学B 同学C 同学D 同学E 同学F 数量／个 (1)从上面的记录中，哪名同学垫球最多？垫球最多的同学，垫球多少下？ (2)这一组的同学共垫球多少下？ (3)这一组同学平均垫球多少下？ 16．已知m为有理数，定义运算符号：当时，；当时，；当时，． (1)______，______； (2)计算：． 17．【阅读思考】中国人很早就开始使用负数．著名的中国古代数学著作《九章算术》的“方程”一章，在世界数学史上首次正式引入负数及其加减法运算法则，并给出名为“正负术”的算法．一节数学课上，老师布置了下列作业． (1)请你计算： ① ； ② ； ③ ． (2)在计算以上3道题之后，某同学回顾了自己的算法和算理．然后他再根据老师的提示写出了计算①的思考过程，并得到了老师的肯定，过程如下：a．判断出是两个有理数相加的问题；b．观察两个加数的符号，发现是异号两数相加；c．应用有理数加法法则中“异号的两个数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值”；d．确定的符号：计算出加数和的绝对值，分别是2和4，通过比较它们的绝对值发现，加数的绝对值较大，写出和的符号为“﹣”；e．确定绝对值的差： ；f．写出计算结果．请你帮助他完成以上空格． (3)【模仿应用】计算，并用简短语言解释你的依据． 18．体育课上全班女生进行了一分钟仰卧起坐测验，达标成绩为30个，第一组8名女生的成绩记录为：，0，，，，，，．其中+号表示超过达标成绩的个数，表示不足达标成绩的个数． (1)第一组8名女生中最好成绩与最差成绩相差________个； (2)求第一组8名女生的平均成绩； (3)规定：一分钟仰卧起坐次数为达标成绩，不得分；超过达标成绩，每多做1个得2分；未达到达标成绩，每少做1个扣1分．若一分钟仰卧起坐总积分超过60分，便可得到优秀体育小组称号，请通过计算说明第一组8名女生能否获得该称号． 11 / 11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题06 有理数的乘法与除法 （5知识点+11大题型+4大拓展训练+过关测） 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材 学知识：教材精讲精析、全方位预习 练题型 强知识：11大核心考点精准练+4大拓展训练 第二步：记 串知识 识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测 稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点1：有理数乘法法则 1. 两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘； 2. 0与任何数相乘都得0； 3. 任何数与1相乘都等于它本身，任何数与－1相乘都等于它的相反数； 4. 拓展： （1） 几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定．当负因数有奇数个时，积为负；当负因数的个数有偶数个时，积为正； （2） 几个数相乘，如果有一个因数为0，那么积就等于0．反之，如果积为0，那么至少有一个因数为0. （3） 一般地，在乘法运算中，若有带分数和小数，应先把带分数化为假分数，小数化为分数之后再计算，方便约分. 【即时训练】 1．（23-24七年级上·浙江杭州·阶段练习）下列算式中，积为负数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了有理数的乘法，熟练掌握乘法法则是解题的关键：根据有理数的乘法法则计算即可逐一判断； 【详解】解：由题意可得， ，选项A不符合题意， ，选项B不符合题意， ，选项C不符合题意， ，选项D符合题意， 故选：D． 2．（23-24七年级上·浙江宁波·期末）用2、0、2、4这四个数进行如下运算，计算结果最大的式子是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了有理数的混合运算，有理数的大小比较，正确求出计算结果是解题关键．先求出各选项的计算结果，再比较大小即可． 【详解】解：A、； B、； C、； D、； ， 计算结果最大的式子是， 故选：B． 3．（2024七年级上·浙江·专题练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3)504 (4) 【分析】本题考查有理数的乘法，掌握有理数的乘法法则是解题的关键． （1）根据有理数的乘法法则进行计算即可； （2）根据有理数的乘法法则进行计算即可； （3）根据有理数的乘法法则进行计算即可； （4）根据有理数的乘法法则进行计算即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ； （4）解：原式 ． 知识点2：有理数的乘法运算律 1. 乘法交换律：两个数相乘，交换因数的位置，积相等，即； 2. 乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积相等．即； 3. 乘法分配律：一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，再把积相加．即. 4. 拓展： （1） 三个或三个以上有理数相乘，任意交换因数的位置，或者先把其中几个因数相乘，积相等； （2） 乘法分配律对一个有理数同多个有理数的和相乘仍适用 【即时训练】 4．（24-25七年级上·浙江·期中）用简便方法计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了有理数乘法分配律： （1）根据乘法分配律求解即可； （2）先把原式变形为，再根据根据乘法分配律求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 5．（2023七年级上·浙江·专题练习）用简便方法计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查有理数的乘法运算．解答的关键是运用乘法运算律简化计算过程． （1）利用乘法交换律和结合律即可求解； （2）利用乘法交换律和结合律即可求解． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 6．（24-25七年级上·浙江金华·阶段练习）学习了有理数的乘法后，老师给同学们出了这样一道题目：计算：，看谁算的又快又对． 小明的解法：原式； 小军的解法：原式． (1)对于以上两种解法，你认为谁的解法较好？ (2)小强认为还有更好的方法：把看作，请把小强的解法写出来，并算出最后答案． (3)请你用最合适的方法计算：． 【答案】(1)小军的解法较好； (2)解法见解析， (3) 【分析】本题考查了有理数乘法，掌握乘法分配律的应用，把带分数进行适当的转换是解题的关键． （1）根据两人得计算过程可以判断出小军的解法较好； （2）观察算式转化成，再利用乘法分配律进行计算； （3）将写成，然后利用乘法分配律进行计算． 【详解】（1）解：小军的解法较好； （2）解：小强的解法： ； （3）解： ． 知识点3：倒数 1.倒数：乘积为1的两个数互为倒数，其中一个数叫做另一个数的倒数. PS：单独的一个数不能称为倒数；0与任何数相乘都等于0，不可能等于1，所以0没有倒数. 2求一个数的倒数的方法： （1）一个不为0的整数的倒数，是用这个数作分母，1作分子的分数； （2）求一个真分数的倒数，就是将这个分数的分子与分母交换一下位置； （3）求带分数的倒数，要先将带分数化成假分数，再交换分子与分母的位置； （4）求小数的倒数，先将小数化为分数，再求倒数. 3.化为倒数的两个数的符号是相同的，正数的倒数是正数，负数的倒数是负数，0没有倒数. 【即时训练】 7．（24-25七年级上·浙江衢州·随堂练习）的倒数是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了绝对值、相反数、倒数的定义，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 先根据绝对值、相反数的定义化简，再根据倒数的定义即可解答． 【详解】解：， 的倒数是， 故选：D． 8．（2024七年级上·浙江·专题练习）求下列各数的倒数： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查倒数，乘积为1的两个数互为倒数，据此解答各题即可． （1）根据倒数的定义求解即可； （2）根据倒数的定义求解即可； （3）根据倒数的定义求解即可； （4）根据倒数的定义求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴的倒数是； （2）∵， ∴的倒数是； （3）∵，， ∴的倒数是； （4）∵， ∴的倒数是． 9．（2024七年级上·浙江·专题练习）若，，，试比较，，的大小． 【答案】． 【分析】本题考查了倒数的定义，有理数的大小比较，先求出的倒数，然后比较倒数即可求解，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：的倒数是，的倒数是，的倒数是， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 知识点4：有理数除法法则 1. 除以一个不等于0的数，等于乘以这个数的倒数； 2. 两个不为0的数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除； 3. 0除以任何一个不为0的数都等于0，0不能作为除数，无意义. 4. 一个非零的数除以它的本身等于1. 两数相除要先确定商的符号，再确定绝对值，其中商的符号的确定方法与有理数乘法中积的符号确定方法相同. 补充： （1） 两个数相除，若商是1，则这两个数相等；若商是-1，则这两个数互为相反数. （2） 有理数的除法中没有交换律、结合律、分配律. 【即时训练】 10．（24-25七年级上·浙江温州·期末）计算： ． 【答案】 【分析】本题主要考查有理数的运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．根据运算法则进行计算即可． 【详解】解：． 故答案为：． 11．（23-24六年级上·浙江绍兴·期末）在这四个数中，任意两个数相除，所得的商最小是 ． 【答案】 【分析】本题考查有理数的除法、有理数的大小比较，要使两数相除所得的商最小，只需在所给的数中，用绝对值最大的正数除以绝对值最小的负数即可． 【详解】解：根据题意，所得商最小的是， 故答案为：． 12．（23-24七年级上·浙江温州·阶段练习）数学老师布置了一道题： 计算：÷． 小明仔细思考了一番，用了一种特殊的方法来解决这个问题． 小明的解法： 原式的倒数为， 所以． (1)小明的解答是否正确？请说明理由； (2)请你运用小明的方法计算：÷． 【答案】(1)正确，理由见解析 (2) 【分析】（1）正确，利用倒数的定义判断即可； （2）求出原式的倒数，即可确定出原式的值． 此题考查了有理数的除法，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 【详解】（1）解：正确，理由为：一个数的倒数的倒数等于原数； （2）解：原式的倒数为 ， 则． 知识点5：有理数乘除混合运算 1. 有理数乘除混合运算顺序：没有括号的情况下，按照从左到右的顺序计算，有括号的要先算括号里面的； 2. 要先将除法化为乘法，化成连乘的形式，同时，有带分数的先化成假分数，有小数的要先化成分数，然后按照有理数乘法运算法则进行计算. 【即时训练】 13．（23-24七年级上·浙江杭州·阶段练习）计算的结果是（    ） A． B． C． D．1 【答案】B 【分析】根据有理数的乘除混合计算法则求解即可． 【详解】解： ， 故选B． 【点睛】本题主要考查了有理数的乘除混合计算，熟知相关计算法则是解题的关键． 14．（24-25七年级上·浙江杭州·期中）高斯被认为是历史上最杰出的数学家之一，享有“数学王子”之称．现有一种高斯定义的计算式，已知a是有理数，[a]表示不超过a的最大整数，如，，，等，那么的值是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查有理数的乘除混合运算，根据新定义求出各个数，再进行乘除运算即可求解． 【详解】解： ， 故选：B． 15．（22-23七年级上·浙江湖州·期中）阅读下面解题过程并解答问题： 计算： 解：原式＝（第一步） ＝（第二步） ＝（第三步） (1)上面解题过程有两处错误： 第一处是第________步，错误原因是______； 第二处是第________步，正确步骤的依据是______； (2)请写出正确的结果________． 【答案】(1)二，运算顺序错误或者（先算了乘法）；三，两数相除同号得正，异号得负并把绝对值相除或者（有理数除法法则） (2)或 【分析】本题主要考查了有理数的乘除混合运算， 对于（1），观察计算步骤，可知要按照顺序计算有理数的乘除法判断第一步，再根据有理数的除法法则计算判断第二步； 对于（2），先计算括号内的，再根据运算顺序计算有理数的乘除法． 【详解】（1）第一处是第二步，错误原因是运算顺序错误，应该先计算除法，再计算乘法； 第二处是第三步，正确的步骤的依据是：两数相除同号得正，并把绝对值相除； 故答案为：二，运算顺序错误；三，两数相除同号得正，并把绝对值相除； （2） ． 【题型1 两个有理数的乘法运算】 1．计算：（    ） A． B．3 C． D．12 【答案】A 【分析】本题考查了两个有理数的乘法法则，熟练掌握有理数的乘法法则是解答本题的关键．两数相乘，同号的正，异号得负，并把绝对值相乘；任何数与0相乘，积仍得0．据此计算即可． 【详解】解：． 故选A． 2．计算的结果等于（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了有理数的乘法，根据有理数的乘法运算法则计算即可，掌握有理数的乘法运算法则是解题的关键． 【详解】解：， 故选：． 3． ． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的乘法和加法运算，先算乘法，再算加法即可求解，掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解：原式， 故答案为：． 4．在4，，6，这四个数中，任意取两个数相乘，所得的积最大是 ． 【答案】35 【分析】本题考查有理数的乘法，有理数大小比较．关键要明确不为零的有理数相乘的法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘． 两个非0数相乘，同号得正，异号得负，且正数大于一切负数，所以找积最大的应从同号的两个数中寻找即可． 【详解】解：要使所得的积最大，两数字必定同号， ， ∵， ∴任意取两个数相乘，所得的积最大是35， 故答案为：35． 5．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了有理数的乘法，两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘． （1）根据有理数的乘法法则进行计算即可； （2）根据有理数的乘法法则进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【题型2 多个有理数的乘法运算】 6．下列式子中，积的符号为负的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查有理数的乘法运算，根据有理数乘法的运算法则，积的符号由因数中负号的个数决定，奇负偶正，进行判断即可． 【详解】解：A、有2个负号，积的符号为正，不符合题意； B、有4个负号，积的符号为正，不符合题意； C、积为0，不符合题意； D、有3个负号，积的符号为负，符合题意； 故选D． 7．已知三个数的积为负数，如果一个数为正数，那么另外两个数（   ） A．一定都是正数 B．一定都是负数 C．一定异号 D．无法确定 【答案】C 【分析】本题考查了有理数的乘法，熟记“同号得正，异号得负”是解题的关键． 【详解】解：∵三个数的积为负数，一个数为正数， ∴另两个数异号， 故选：C． 8．绝对值不小于2.4且小于5的所有整数的积是 ． 【答案】144 【分析】本题考查绝对值的意义，有理数的乘法运算，根据题意，求出满足题意的所有整数，再利用有理数的乘法法则进行计算即可，熟练掌握绝对值的意义，是解题的关键． 【详解】解：由题意，绝对值不小于2.4且小于5的所有整数有， ∴； 故答案为：144． 9．计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查了多个有理数的乘法运算，有理数的乘法运算律等知识点，熟练掌握有理数的乘法运算法则及有理数的乘法运算律是解题的关键． 按照有理数的乘法运算法则进行计算即可． 【详解】解： ． 10．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了有理数的乘法运算，解题的关键是掌握有理数的乘法运算法则． （1）根据有理数的乘法运算法则计算即可； （2）根据有理数的乘法运算法则计算即可． 【详解】（1）解： ； （2） ． 【题型3 有理数乘法的实际应用】 11．小海去电影院购买电影票时付款100元找回44元．根据如图表信息，可判断小海看的场次是（    ） 《哪吒之魔童闹海》70元/张 上午场：六折    中午场：五折 下午场：八折    夜场：不打折 A．上午场 B．中午场 C．下午场 D．夜场 【答案】C 【分析】本题主要考查了有理数乘法和减法的实际应用，先求出小海所看电影的实际票价，再分别求出四个场次的实际票价即可得到答案． 【详解】解：由题意得，小海所看电影的实际票价为元， 上午场的实际票价为元， 中午场的实际票价为元， 下午场的实际票价为元， 夜场的实际票价为元， ∴可判断小海看的场次是下午场， 故选：C． 12．某奶茶店促销一款新饮品，每杯售价7元，为吸引顾客，店长推出A套餐和B套餐： 若晴晴想买12杯该饮品，则下列花费最少的方式是（   ） A．买6个A套餐 B．买4个B套餐 C．买3个A套餐，2个B套餐 D．买2个A套餐，3个B套餐 【答案】B 【分析】本题考查了有理数的混合运算，理解题意，正确列出算式是解题的关键． 根据题意分别计算出套餐和套餐的花费，然后比较大小即可． 【详解】解：解：套餐每买2杯的花费为（元）， 套餐每买3杯话费为（元）， 买6个套餐的花费为（元）； 买4个套餐的花费为（元）； 买3个套餐，2个套餐的花费为（元）； 买2个套餐，3个套餐，则（杯），不符合题意； ， ∴买4个套餐花费最少， 故选：B． 13．用正负数表示气温的变化，上升为正，下降为负.登山队攀登一座山峰，每登高气温的变化量为，登山队员在山脚测得气温是，那么他们登高后，气温是 ． 【答案】 【分析】本题考查有理数乘法的实际应用，根据题意分析得出变化量，再结合正负数的意义是解题的关键． 根据题意知，气温变化量为乘以攀登高度，即可求解． 【详解】解：登高后，气温变化量为：， ． 故答案为：． 14．一间多媒体教室长15米，宽8米，高4米，要粉刷这间教室的墙壁和天花板（门窗除外）．门窗的面积是23平方米，如果每平方米需花8元涂料费，粉刷这间教室需要涂料费多少钱？ 【答案】粉刷这间教室需要涂料费2248元钱 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，根据题意列出计算式是解题的关键． 根据题意可知教室需要粉刷的总面积为平方米，在乘以每平方米需花8元的涂料费，解答即可． 【详解】解： （元） ∴粉刷这间教室需要涂料费2248元钱． 15．股民曹先生上星期五买进某公司股票1000股，每股31元，下表为本周每日该股票的涨跌情况（单位：元）． 星期 一 二 三 四 五 每股涨跌 注：正数表示比前一天上涨，负数表示比前一天下跌． (1)星期三收盘时，每股是多少元？（列式计算） (2)本周内最高股价是每股多少元？最低价是每股多少元？ (3)如果曹先生在星期五收盘前将全部股票卖出，他的收益情况如何？ 【答案】(1)周三收盘时股价为元 (2)本周内最高股价是每股元，最低价是每股元 (3)如果曹先生在星期五收盘前将全部股票卖出他的收益元 【分析】本题考查了有理数的混合运算，以及正负数表示一对具有相反意义的量，解题关键在于认真的阅读题目，分析题意，认真的进行计算． （1）根据有理数的加法，可得答案； （2）根据有理数的加法，有理数的大小比较，可得答案； （3）分别求出卖出时的受益，买进的费用即可解决问题； 【详解】（1）解：周三收盘时股价为： (元)． 答：周三收盘时股价为元； （2）解：周一股价为：(元)； 周二股价为：(元)； 周三股价为：(元)； 周四股价为：(元)∶ 周五股价为：(元)； 答：本周内最高股价是每股元，最低价是每股元； （3）解：根据题意得∶（元） 答：如果曹先生在星期五收盘前将全部股票卖出他的收益元． 【题型4 倒数】 16．的倒数是（   ） A．3 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了有理数的加减，倒数的定义．先计算，再利用“乘积为的两个数互为倒数”求解即可． 【详解】解：∵，， ∴的倒数是． 故选：C． 17．互为倒数．则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】该题考查了倒数的定义，根据互为倒数的两个数的乘积等于1即可求解． 【详解】解：∵互为倒数， ∴， 故选：C． 18．的倒数是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了倒数的定义，掌握“乘积是1的两个数互为倒数”是解题关键．将带分数化为假分数，再求倒数即可． 【详解】解：， 的倒数是， 即的倒数是， 故答案为：． 19．给出下列9个有理数，按下列要求解答： 3，，0，，0.45，，，， (1)把上面的9个数用“”排列起来； (2)把数3，0，，，表示在数轴上． (3)9个数中，①绝对值最小的数是______；②整数有______；③的倒数是______． 【答案】(1) (2)见详解； (3)①0；②3，0，，；③ 【分析】本题考查了数轴、有理数的大小比较，绝对值及倒数、有理数的分类等知识点．熟知相关定义是正确解题的关键． （1）根据“正数都大于零，负数都小于零，正数大于负数”的法则即可结果； （2）根据数轴是用直线上的点表示数的一条直线，可把数在数轴上表示出来； （3）根据绝对值、整数、倒数的意义可得答案． 【详解】（1）解：将3，，0，，0.45，，，，用“”排列如下： ； （2）解：把数3，0，，，表示在数轴上，如下： （3）解：9个数中，①绝对值最小的数是0；②整数有3，0，，；③的倒数是． 故答案为：①0；②3，0，，；③． 20．求下列各数的倒数： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查倒数，解题的关键牢记倒数的定义：乘积为的两个数互为倒数． （1）根据倒数的定义求解即可； （2）先将小数化为分数，再根据倒数的定义求解； （3）先将带分数化为假分数，再根据倒数的定义求解； （4）先将小数化为分数，再根据倒数的定义求解． 【详解】（1）解：的倒数为； （2）， 的倒数为； （3）， 的倒数为； （4）， 的倒数为． 【题型5 有理数乘法运算律】 21．计算： ． 【答案】2025 【分析】本题主要考查有理数的混合运算，简便计算的方法，逆用乘法的分配律将原式变为，再进行计算即可． 【详解】解： ． 故答案为：2025． 22．乘法分配律是一条很重要的运算律，用字母表示： ．请运用乘法分配律简便计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的混合运算，根据乘法分配律进行计算即可求解． 【详解】解： ． 故答案为：． 23．利用运算律计算有时可以更简便． 例1：； 例2：． 请你参考示例，用运算律简便计算． (1)； (2)． 【答案】(1)0 (2)2 【分析】本题主要考查了有理数的简便运算，灵活运用加法运算律和乘法运算律成为解题的关键． （1）直接运用有理数的加法结合律进行简便运算即可； （2）运用加法交换律和乘法结合律进行简便运算即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 24．我们知道分配律，反过来可得，这叫分配律的逆用．请利用它计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)74 【分析】本题考查乘法运算律，解题的关键是准确识别式子中相同的因数，然后逆用乘法分配律进行简便计算． （1）找出式子的相同因数，逆用乘法分配律进行计算． （2）找出式子的相同因数，逆用乘法分配律进行计算． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 25．下面是乐乐同学进行有理数运算的过程，请认真阅读并完成相应任务． 解： 第一步 第二步 第三步 ．第四步 任务： (1)填空： ①以上运算步骤中，第一步依据的运算律是　　； ②第　　步开始出现错误，错误的原因是　　． (2)请直接写出正确的计算结果． 【答案】(1)①乘法分配律；②二，计算时符号出现错误 (2) 【分析】本题考查有理数的乘法、乘法分配律，利用乘法分配律简便运算是解答的关键． （1）①利用乘法分配律可得答案；②根据有理数的乘法运算法则判断即可； （2）根据乘法分配律和有理数的乘法和加减运算法则求解即可． 【详解】（1）解：①在所给运算步骤中，第一步依据的运算律是乘法分配律； ②第二步开始出现错误，错误的原因是计算时符号出现错误， 故答案为：①乘法分配律；②二，计算时符号出现错误； （2）解： ． 【题型6 有理数的除法运算】 26．计算的结果等于（   ） A． B． C．2 D．3 【答案】D 【分析】本题考查有理数的除法，根据除法公式进行计算即可． 【详解】解：； 故选D． 27．算式，若使计算结果为；则中的运算符号是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了有理数的四则运算，分别填入加减乘除符号，计算出对应式子的结果即可得到答案． 【详解】解：， 故选：B． 28．计算： ． 【答案】/ 【分析】本题考查了有理数的除法运算，掌握相关运算法则是解题关键．先将带分数化为假分数，再将除法化为乘法计算即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 29．计算： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查了有理数的加减乘除运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． （）先算括号内的减法运算，然后算除法即可； （）先算括号内的加法，乘法运算，然后算除法即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 30．计算： 【答案】 【分析】此题考查了有理数的混合运算，解题的关键是掌握运算法则和运算顺序． 首先将除法转化成乘法，然后利用乘法分配律求解即可． 【详解】 ． 【题型7 有理数除法的应用】 31．下列分数中，能化为有限小数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查有理数的除法，分数和小数的互化，解题的关键是利用有理数的除法法则计算即可作出判断． 【详解】解：A．，化成的小数是无限循环小数，故此选项不符合题意； B．，化成的小数是无限循环小数，故此选项不符合题意； C．，化成的小数是有限小数，故此选项符合题意； D．，化成的小数是无限循环小数，故此选项符合题意． 故选：C． 32．如题图，在一张日历表中，任意涂出一个竖列上相邻的三个数，则这三个数的和可能是（   ） A．38 B．40 C．51 D．62 【答案】C 【分析】此题考查了有理数的计算，通过观察发现日历中任意圈出同一竖列上相邻的三个数之间的内在联系，是完成本题的关键．通过观察可知，日历中任意圈出同一竖列上相邻的三个数中每相邻的两个数都相差7，且中间的数为三个数的平均数，据此特点对题目中的四个选项中的数据进行分析即可． 【详解】解：日历中任意圈出同一竖列上相邻的三个数中每相邻的两个数都相差7，且中间的数为三个数的平均数． A、，不能整除，不符合要求； B、，不能整除，不符合要求； C、，符合日历中数竖列上相邻的三个数的特点； D、，不能整除，不符合要求； 故选：C． 33．学校团委组织37名团员去西柏坡红色教育基地进行为期两天的参观学习，其中女团员18名，男团员19名．在办理入住时，所有女团员办理完成后，再安排男团员办理．房间价目表如下（说明：客房未住满的房间按原价收费）： 房型 单人间 双人间 三人间 房价（元/天） 120 150 200 （1）所有女团员每天住宿的费用最少为 元； （2）所有男团员每天住宿的费用最少为 元． 【答案】 1200 1300 【分析】本题考查了最优化问题中的费用问题．尽可能安排三人间，剩余人数再用单人间或双人间补足．通过调整三人间的数量，找到总费用最低的组合即可． 【详解】解：（1）单人间120元/人天；双人间75元/人天；三人间元/人天； ， 则要使每天住宿的费用最少，尽量选择三人间， 女团员18名，， 元， 所有女团员每天住宿的费用最少为1200元； 故答案为：1200； （2）男团员19名，余1人， 方案1：6个三人间，1个单人间，元， 方案2：5个三人间，2个双人间，元， ， 所有男团员每天住宿的费用最少为1300元； 故答案为：1300． 34．某校六年级学生到郊外参加植树活动，已知用3辆小客车和一辆大客车每次可运送学生105人，用1辆小客车和两辆大客车每次可运送学生110人，求每辆小客车和每辆大客车各能坐多少名学生？ 【答案】每辆小客车和每辆大客车各能坐名，名学生 【分析】本题考查有理数的混合运算，根据用6辆小客车和两辆大客车每次可运送学生数减去1辆小客车和两辆大客车每次可运送学生去除以多的小客车数得到每辆小客车能坐人数，然后计算每辆大客车能坐人数解答即可． 【详解】解：每辆小客车能坐人数为名， 每辆大客车能坐人数为名， 答：每辆小客车和每辆大客车各能坐名，名学生． 35．乒乓球，被称为“国球”，在中华大地有着深厚的群众基础．2000年2月23日，国际乒乓球大会决定从2000年10月1日起，乒乓球比赛将使用直径、重量的大球，以取代的小球．某工厂按要求加工一批标准化的直径为乒乓球，但是实际生产的乒乓球直径可能会有一些偏差．随机抽查检验该批加工的10个乒乓球直径并记录如下：，，，，，，，，，（“”表示超出标准；“”表示不足标准）． (1)其中偏差最大的乒乓球直径是______； (2)抽查的这10个乒乓球中，最符合标准的乒乓球的直径是______？ (3)若误差在“”以内的球可以作为合格产品，误差在“”以内的球可以作为良好产品，这10个球的合格率是______；良好率是______． 【答案】(1) (2) (3)， 【分析】此题考查了正数和负数的意义，解题的关键是理解正和负的相对性，明确什么是一对具有相反意义的量． （1）根据题意列式计算即可； （2）根据绝对值的定义即可得到结论； （3）根据误差在“”以内的球可以作为合格产品，误差在“”以内的球可以作为良好产品分别占总数的百分比，即可求解． 【详解】（1）解：其中偏差最大的乒乓球的直径是； （2）解：∵，，，，，，，，，中绝对值最小的是， ∴抽查的这10个乒乓球中，最符合标准的乒乓球的直径是； （3）解：∵，，，，，，，，，， 误差在“”以内的球可以作为合格产品， ∴合格的有，，，，，，， 这些球的合格率是； ∵误差在“”以内的球可以作为良好产品， ∴良好产品有，，，，， ∴良好率为； 【题型8 有理数乘除混合运算】 36．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2)3 (3) (4)12 【分析】本题主要考查了有理数的四则混合运算，乘法分配律，掌握其运算法则是关键． （1）先将除法变乘法，再根据有理数乘法运算法则计算即可； （2）先将除法变乘法，再根据有理数乘法，加减运算法则计算即可； （3）先将除法变乘法，再根据有理数乘法分配律的逆运算计算即可； （4）运用乘法分配律计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 37．计算： 【答案】 【分析】本题考查有理数的乘除混合运算，解题的关键是将带分数化为假分数，再根据有理数乘除法运算法则，从左到右依次进行计算． 将带分数化为假分数，按照从左到右的顺序进行乘除运算． 【详解】解：原式 ． 38．计算： 【答案】2 【分析】根据有理数乘除的混合运算解答即可． 本题考查了有理数乘除的混合运算，熟练掌握运算法则是阶梯的关键． 【详解】解： ． 39．计算： 【答案】 【分析】本题考查了有理数的乘除混合运算，解题的关键是熟练掌握运算法则； 先算乘除，再算加减即可得解． 【详解】解：原式 ． 40．计算： (1) (2) 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查有理数的混合运算，熟练掌握相关的运算法则是解题的关键． （1）先化除为乘，然后根据乘法交换律，进行计算，即可； （2）先根据有理数的乘法运算律进行计算，然后再进行减法运算即可 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 【题型9 有理数乘除中的简便运算】 41．简便计算 (1) (2) 【答案】(1)64 (2) 【分析】（1）根据乘除混合运算解答即可． （2）根据乘法的交换律，逆用分配律，解答即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 【点睛】本题考查了乘除混合运算，分配律，加法运算，交换律，熟练运算法则是解题的关键． 42．脱式计算，能简便的要简便计算． ① ② ③ ④ 【答案】①；②；③；④． 【分析】本题考查了有理数的乘除混合运算，除法运算以及乘法运算，正确掌握相关性质内容是解题的关键． ①先把除法化为乘法，再根据乘法法则进行计算，即可作答． ②先把除法化为乘法，再根据乘法运算律进行计算，即可作答． ③先运算括号内，再把除法化为乘法，根据乘法运算律进行计算，即可作答． ④先运算乘法，再运算加减，即可作答． 【详解】解：① ； ② ． ③ ； ④ ． 43．用简便方法计算 (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查的是化简绝对值，有理数的乘法的运算律的应用，除法运算； （1）把原式化为，再利用乘法的分配律进行简便运算即可； （2）把原式化为，再利用乘法的分配律进行简便运算即可； （3）把原式化为，再利用乘法的分配律进行简便运算即可； （4）先化简绝对值可得原式化为，再计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 44．利用运算律有时能进行简便计算． 例1：； 例2：． 解答下列问题： (1)方方同学计算：的过程如下： 原式． 请你判断方方同学的计算过程是否正确，若不正确，请你写出正确的计算过程； (2)请你参考黑板中老师的讲解，用运算律简便计算（请写出具体的解题过程）： ①； ②． 【答案】(1)不正确，见解析 (2)①；②99900 【分析】此题主要考查了有理数的混合运算，注意明确有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算． （1）方方同学的计算过程不正确，根据有理数的混合运算的运算方法，求出算式的值是多少即可． （2）① 把化成求解即可． ②变形后运用乘法分配律求解即可． 【详解】（1）解：方方同学的计算过程不正确， 正确的计算过程； （2）解：①； ② ． 45．简便运算能使学生思维的灵活性得到充分锻炼，对提高学生的计算能力起到非常大的作用．阅读下列相关材料． 材料一，计算：． 分析：利用通分计算的结果很麻烦，可以采用以下方法进行计算． 解：． ． 材料二，下列算式是一类两个两位数相乘的一种特殊计算方法． ； ； 根据以上材料，完成下列问题： (1)请你根据对材料一的理解，计算：； (2)请你根据对材料二的理解，计算：． 【答案】(1) (2) 【分析】本题以材料题为背景，介绍了有理数运算中的简便运算．正确理解题意加以运用是解题关键． （1）利用材料一所给方法，先计算即可求解； （2）利用材料二所给方法即可计算． 【详解】（1）解： ， ∴； （2）解： ． 【题型10 有理数的四则混合运算】 46．计算： 【答案】 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，解题关键是熟练掌握混合运算法则． 按照混合运算法则先算括号里面的乘法，再进行通分，然后先算括号里面的，再算括号外面的即可． 【详解】解：原式 ． 47．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)22 (2) (3) (4)1 【分析】本题考查有理数的四则混合运算，解题的关键是熟练掌握有理数的运算法则，包括去括号法则，乘除运算法则，乘法分配律以及运算顺序（先乘方，再乘除，最后加减；有括号先算括号内）． （1）按照有理数加减法法则计算； （2）依据有理数乘除法法则计算； （3）运用乘法分配律计算； （4）根据先乘方，再乘除，最后加减；有括号先算括号内． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 48．简便计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据有理数的混合运算法则计算即可． （2）利用分配律，计算即可． 本题考查了有理数的混合运算，分配律的应用，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 49．计算：． 【答案】8 【分析】本题考查了小数，分数，百分数的混合运算，熟练掌握以上知识点并灵活运用运算定律简化运算是解题的关键．先统一转化成小数，然后应用乘法分配律简化运算即可得到答案． 【详解】解： 50．计算：． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 先化简绝对值，计算乘法，再计算加减即可． 【详解】解： ． 【题型11 有理数四则混合运算的实际应用】 51．某送货员负责为五个商场送货，每送一件甲种货物可收益1元，每送一件乙种货物可收益2元，某天五个商场需要的货物数量如下表所示： 商场 需甲种货物数量（件） 需乙种货物数量（件） A 4 7 B 13 4 C 10 5 D 8 5 E 15 6 (1)如果送货员一个上午最多前往三个商场，且要求他最少送甲种货物30件，最少送乙种货物15件，写出一种满足条件的送货方案 （写商场编号）； (2)在（1）的条件下，如果送货员想在上午达到最大的收益，写出他的最优送货方案是 （写商场编号）． 【答案】(1)E，C，D（答案不唯一） (2)C，B，E 【分析】本题考查了数据分析，逻辑推理和方案选择能力，理解题目要求计算出每个组合，并计算出收益，然后选择最优方案是解题的关键． （1）根据三个商场送甲种货物，送乙种货物，分组列举求解即可； （2）分别计算出每组满足方案的收益，再比较，选择收益最多的，即可． 【详解】（1）解：E商场需送甲种货物数量15，需送乙种货物数量6，C商场需送甲种货物数量10，需送乙种货物数量5，D商场需送甲种货物数量8，需送乙种货物数量5， 若前往E、C、D 商场，需送甲种货物数量为，需送乙种货物数量为， ∴前往E，C，D 商场满足条件． 故答案为：E，C，D （答案不唯一）； （2）由题意得，前往A市场收益为：（元），前往B市场收益为：（元），前往C市场收益为：（元），前往D市场收益为：（元），前往E市场收益为：（元）． 又∵，，， ∴送货员想在上午达到最大的收益，写出他的最优送货方案是：C，B，E． 故答案为：C，B，E． 52．等额本金是指一种贷款的还款方式，是在还款期内把贷款数总额等分，每月偿还同等数额的本金和剩余贷款在该月所产生的利息，这样由于每月的还款本金额度固定，而利息越来越少，借款人起初还款压力较大，但是随时间的推移每月还款败也越来越少． 设小王贷款60万，月利率是，采用等额本金还款法，准备在半年内还清，请问他第一个月需还款多少万元？第二个月需还款多少万元？最后总共要还款多少万元？ 【答案】第一个月需还款10.6万元，第二个月需还款10.5万元，最后总共要还款62.1万元 【分析】本题考查了有理数混合运算的应用，利率问题，正确理解题意是解题的关键． 先求出每月应还本金，再由还款金额等于本金加利息求出每个月需要还款金额，再相加即可． 【详解】解：每月应还本金（万元）， 第一个月需还款（万元）， 第二个月需还款（万元）， 第三个月需还款（万元）， 第四个月需还款（万元）， 第五个月需还款（万元）， 第六个月需还款（万元）， ∴总共要还款：（万元）， 答：第一个月需还款10.6万元，第二个月需还款10.5万元，最后总共要还款62.1万元． 53．小明准备乘坐出租车从商场回家，商场到家的距离为30公里，当地出租车的收费标准是：起步价为12元（3公里以内），超过3公里低于15公里，每公里收费2元，15公里以上每公里单价是在2元的基础上上浮，小明发现身上只有75元现金，请问他能直接乘出租车回家吗？ 【答案】不能，理由见解析 【分析】本题考查了有理数的混合运算的实际应用，有理数的大小比较，正确理解题意是解题的关键． 先求出15公里以上每公里单价，然后分段求费用，再相加即可得到总费用，再与75元比较大小即可． 【详解】解：不能，理由如下： 15公里以上每公里单价为（元） 需要费用：（元）， ∵ ∴他不能直接乘出租车回家． 54．“十一”期间，某风景区在7天中每天游客的人数变化如下表（正数表示比前一天多的人负数表示比前一天少的人数），若9月30日的游客人数为1万人，人均消费为50元． 日期（10月） 1日 2日 3日 4日 5日 6日 7日 人数变化单位：万人 (1)10月4日的游客人数为 万人； (2)七天内游客人数最多的是10月 日，游客人数为 万人； (3)求该景区“十一”期间所有游客在此风景区的总消费是多少万元？ 【答案】(1)2.8 (2)3；3.2 (3)765万元 【分析】本题考查有理数的混合运算，正数和负数，结合已知条件列得正确的算式是解题的关键． （1）根据正数和负数的实际意义列式计算即可； （2）根据正数和负数的实际意义分别求得10月1日～7日每天的游客数量后即可求得答案； （3）结合（2）中所求列式计算即可． 【详解】（1）解：（万人）， 即10月4日的游客人数为2.8万人， 故答案为：2.8； （2）根据题意可得10月1日～7日每天的游客数量如下： 10月1日：（万人）； 10月2日：（万人）； 10月3日：（万人）； 10月4日：2.8万人； 10月5日：（万人）； 10月6日：（万人）； 10月7日：（万人）； 则七天内游客人数最多的是10月3日，游客人数为3.2万人， 故答案为：3；3.2； （3） （万元）， 即该景区“十一”期间所有游客在此风景区的总消费是765万元． 55．某厂本周计划每天生产200辆自行车，由于工作人员轮休等原因，实际每天生产量与计划生产量相比情况如下表（增加的车辆数为正数，减少的车辆数为负数）： 星期 一 二 三 四 五 六 日 增减（单位：辆） (1)该厂星期三生产电动车________辆； (2)请求出该厂在本周实际生产自行车的数量； (3)该厂实行“每周计件工资制”，每生产一辆自行车可以得60元，若超额完成任务，则超过部分每辆在60元基础上另奖15元；少生产一辆则倒扣20元，那么该厂工人这一周的工资总额是多少元？ 【答案】(1)195 (2)1410辆 (3)84750元 【分析】本题考查有理数的混合运算，正数和负数，结合已知条件列得正确的算式是解题的关键． （1）根据正数和负数的实际意义列式计算即可； （2）根据正数和负数的实际意义列式计算即可； （3）结合（2）中所求列式计算即可． 【详解】（1）解：（辆， 即该厂星期三生产电动车195辆， 故答案为：195； （2）解： （辆， 即该厂在本周实际生产自行车的数量为1410辆； （3）解： （元， 即该厂工人这一周的工资总额是84750元． 【拓展训练一 有理数乘除法混合运算综合】 56．简便计算 (1) (2) (3) (4) (5) 【答案】(1) (2) (3)1 (4) (5) 【分析】（1）根据，根据分数的拆项公式进行简算即可； （2）先将除法转化为乘法，再逆用乘法分配律进行计算即可； （3）先计算括号里面的，再计算最后计算乘法即可； （4）把原式转化为，再利用乘法分配律进行计算即可； （5）根据先将看着一个整体，利用乘法分配律把后面乘法部分展开，再逆用乘法分配律进行计算即可． 【详解】（1）解： （2） （3） （4） （5） 【点睛】本题主要考查了有理数的混合运算，解题的关键是熟练掌握有理数的混合运算顺序和运算法则．灵活运用乘法分配律进行计算． 57．计算： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1)10 (2) (3)0 (4) 【分析】本题主要考查了有理数混合运算，熟练掌握有理数混合运算法则是解题的关键． （1）逆用乘法分配律进行计算即可； （2）利用列项进行计算即可； （3）逆用乘法分配律进行计算即可； （4）将变形为，然后再用裂项的方法，进行求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 58．计算： 【答案】 【分析】本题主要考查了有理数的四则混合计算，先计算小括号内的减法，再计算中括号内的除法，接着把括号外的除法变成乘法后利用乘法分配律求解即可． 【详解】解： ． 59．阅读下列材料，计算：． 解法一：原式． 解法二：原式的倒数为．故原式． (1)上述得出的结果不同，肯定有错误的解法，你认为解法 是错误的． (2)请你选择合适的解法解答下列问题： ①； ②． 【答案】(1)一 (2)①；② 【分析】本题主要考查了有理数的四则混合计算，乘法分配律： （1）根据除法没有分配律可知解法一错误； （2）①先计算出的结果，再把结果取倒数即可得到答案；②先计算出的结果，再把结果取倒数得到的结果，据此计算求解即可． 【详解】（1）解：观察解题过程可知，解法一是有误的，原因是除法没有分配律， 故答案为：一． （2）解：① ， ∴； ② ， ∴， ∴ ． 60．计算 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了有理数的四则混合计算，按照先计算乘除法，再计算加减法，有括号先计算括号的运算顺序求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【拓展训练二 有理数乘除法规律探究】 61．已知有理数，我们规定是的“福倒数”，如：3的福倒数是，的福倒数是．如果，是的福倒数，是的福倒数，是的福倒数，⋯，依此类推，解答下列问题： (1)计算：________，_______，________； (2)求的值． 【答案】(1)，， (2) 【分析】本题考查了与有理数运算相关的规律题型，找到规律是解题的关键． （1）根据福倒数的定义求出，，； （2）根据（1）的结论，可发现每3个数一个循环，且3个数的和为，依照规律即可求解． 【详解】（1）解：根据题意得，， ， ， ； （2）解：∵，，，，…， 根据以上数据发现：3个数一个循环， 3个数的和为：， ∵， ∴第2025个数是， ∴. 62．数学家基斯顿·卡曼于1808年发明了一种运算符号叫阶乘，用“!”表示．它的意思是：一个正整数的阶乘是所有小于及等于该数的正整数的积，如，．正整数的阶乘记作，即．裂项相消法可以和阶乘结合起来研究，例如，我们可以把拆分为两个分母含有阶乘形式的分子为1的分数的差，即． 根据以上规律，解答下列问题： (1)填空：________； (2)将化简为两个分母含有阶乘形式的分子为1的分数的差的形式为________； (3)计算：． 【答案】(1)120 (2) (3) 【分析】本题主要考查了十字相乘法、因式分解解一元二次方程、裂项法、阶乘的运用等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）根据阶乘定义直接求解即可； （2）根据题干材料仿照即可得解； （3）根据（2）思路写出过程求解即可． 【详解】（1）解：， 故答案为：120； （2）解： ； （3）解： ． 63．观察下列等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式： 按照以上规律，解决下列问题： (1)请直接写出第4个等式：______________________； (2)利用规律计算：的值； (3)直接写出的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了有理数的混合运算； （1）根据题中所给的式子直接写出第4个等式即可； （2）根据（1）中的等式相加，计算即可得到答案； （3）根据（2）的方法，计算即可求解． 【详解】（1）解：根据题意可得： 第4个等式为：， 故答案为：； （2）解：第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； ． （3）解： ． 64．观察下列等式 ①、 ； ②、 ； ③、 ； ④、 ：…… (1)根据以上规律，写出第5个等式 ； (2)运用以上规律的结论计算： (3)计算： 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查有理数的混合运算规律的探究与应用，解答的关键是由所给的算式总结出规律． （1）根据所给的等式的形式可得第5个等式； （2）根据（1）中的规律，把原式化为，再计算即可得出答案； （3）结合前面的规律易得，原式化为：，再计算即可． 【详解】（1）解：∵①、 ； ②、 ； ③、 ； ④、 ； ∴第5个算式是． （2）解： ． （3）解： ． ． 65．如图是“分数三角形”数表，记第i行从左往右数第j个数为（其中i、j均为正整数且），如，；请认真观察此数表的规律并完成下列作答． (1)第10行的第一个数为______，第10行的第二个数为______； (2)我发现了此数表有以下规律： ①第i行的第一个数与最后一个数均为______；（用字母i来表示） ②请仔细观察每行相邻两个数与它们头顶上的那个数的关系，并完成下面填空：=______；（其中i为正整数且） (3)请利用第（2）问②的规律计算：．（请给出运算过程） 【答案】(1)， (2)①，② (3) 【分析】此题考查了有理数的混合运算． （1）根据已知数表写出答案即可； （2）①根据已知数表可知第i行的第一个数与最后一个数均为，②根据已知数表可知； （3）根据（2）中规律可得，即可求出答案． 【详解】（1）解：由题意可知，第10行的第一个数为，第10行的第二个数为； 故答案为：， （2）解：①第i行的第一个数与最后一个数均为， ②由题意可得，， 故答案为：， （3）由题意可得， 【拓展训练三 有理数四则混合运算的新定义问题】 66．在学习完《有理数》后，小奇对运算产生了浓厚的兴趣，借助有理数的运算，定义了一种新运算“”，规则如下：． (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1)2 (2)24 【分析】本题主要考查了有理数混合运算，理解题中的新定义计算是解题关键． （1）根据题目中新定义计算求解即可； （2）首先根据新定义计算可得，然后进一步求解即可． 【详解】（1）解：根据新定义计算，可知； （2）根据新定义计算，可知， 所以． 67．学科素养·运算能力 观察下列两个等式：，，给出定义如下：我们称使等式成立的一对有理数a，b为“共生有理数对”，记为，如：数对，都是“共生有理数对”． (1)通过计算判断数对和是不是“共生有理数对”； (2)若是“共生有理数对”，判断是不是“共生有理数对”． 【答案】(1)不是，是，理由见解析 (2)是，理由见解析 【分析】本题考查了新定义，有理数混合运算； （1）由新定义进行计算判断，即可求解； （2）由新定义得，对进行计算，即可求解； 理解新定义是解题的关键． 【详解】（1）解：因为， 所以， 所以不是“共生有理数对”； 因为， 所以， 所以是“共生有理数对”； （2）解：因为是“共生有理数对”， 所以， 因为 ， 所以是“共生有理数对”． 68．我们规定一种新定义：，其中符号“”是我们规定的一种新定义，如，根据新定义计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查有理数的混合运算、新定义，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． （1）根据※，可以计算出所求式子的值； （2）根据※，可以计算出所求式子的值． 【详解】（1）解：由题意可得，※4； （2）解：由题意可得，※． 69．中考新趋势·新定义若规定：，例如：，试求的值． 【答案】 【分析】本题主要考查了新定义运算，解题的关键是熟练掌握有理数混合运算法则，准确计算． 根据题干中提供的信息，列出算式进行计算即可． 【详解】解：∵， ∴． 70．定义新运算：，（右边的运算为平常的加、减、乘、除）． 例如：，． 若，则称有理数，为“隔一数对”． 例如：，，，所以2，3就是一对“隔一数对”． (1)下列各组数是“隔一数对”的是_____ （请填序号）． ①，；②，；③，． (2)计算：． (3)已知两个连续的非零整数都是“隔一数对”．计算：． 【答案】(1)①② (2) (3) 【分析】本题考查有理数的定义新运算，仔细审题，理解题干中的新定义，熟练掌握有理数的混合运算法则是解题关键． （1）按照题干定义进行计算，判断是否满足条件即可； （2）直接根据题目定义分别计算各项，然后再合并求解即可； （3）根据定义进行变形和拆项，然后根据规律求解即可． 【详解】（1）解：①； ∵，， ∴，则①是“隔一数对”； ②； ∵，， ∴，则②是“隔一数对”； ③； ∵，， ∴，则③不是“隔一数对”； 故答案为：①②； （2）解： ； （3）解： ． 【拓展训练四 有理数四则混合运算的实际应用】 71．外卖送餐为我们生活带来了许多便利，某学习小组调查了一名外卖员小张一周的送餐情况，规定送餐量超过40单（送一次外卖为一单）的部分记为“+”，低于40单的部分记为“-”，下表是该外卖小哥一周的送餐量： 星期 一 二 三 四 五 六 日 送餐量/单 (1)求外卖员小张这一周一共送餐多少单？ (2)外卖员每周的工资由底薪700元加上送单补贴构成，送单补贴的方案如下：每周送餐量不超过200单的部分，每单补贴3元：超过200单但不超过300单的部分，每单补贴4元：超过300单的部分，每单补贴6元．求小张这一周工资收入是多少元？ (3)小张想用这周的工资买一台标价2400元的扫地机器人，商场促销这款扫地机器人让利销售，恰逢市政府面向全市人民发放4000万元消费券，小张幸运地抢到了一张满500元减180元的消费券．小张这周的工资够不够买下这台扫地机器人？ 【答案】(1)310单； (2)1760元； (3)够买扫地机器人． 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，利用有理数的混合运算解决实际问题，解题的关键是根据题意列出算式． （1）根据题意利用有理数的混合运算进行求解即可； （2）根据题意利用有理数的混合运算进行求解即可； （3）根据题意求出购买机器人优惠完后的价格，然后和工资进行对比即可． 【详解】（1）解：（单） 所以，外卖员小张这一周一共送餐310单； （2）解：（元） 所以，小张这一周工资收入是1760元； （3）解：（元） （元） ， 所以，小张这周的工资够买下这台扫地机器人． 72．综合实践 问题背景 某校编程社团为每位考生的准考证号设计二维码．二维码的图案由一系列黑白相间的方块（黑色代表1，白色代表0）组成，形成一串二进制序列，用于存储各种类型的数据． 查阅资料一 十进制，即“逢十进一”，使用十个数字记数，基数为10（基数10常省略不写）．例如，十进制数3925表示3个千，9个百，2个十，5个一的和，可得式子：（规定：当时，），可见，一个数可以表示成各数位上的数字与基数的幂的乘积之和的形式． 二进制，即“逢二进一”，各数位上的数字只有0和1，基数为2．例如，二进制数10100简记为（角标2为基数，除十进制外，基数不能省略），可利用上述方法将其转化为十进制数：． 查阅资料二 根据二进制数“逢二进一”的原则，可以用2连续去除十进制数，直到商为0为止，然后逆序取余数，得到二进制数．例如： 可得： 上述方法可以推广为把十进制数转换为k进制的第法（除k取余法） 制作二维码 图1是小南同学的二维码简易编码和制作说明．小南同学的准考证号是0207181124，其中“02”表示性别男，转化成二进制数为10，对应二维码第一行的五个方格从左到右分别为：白、白、白、黑、白；“07”表示年级为七年级，转化成二进制数为111，对应二维码第二行的五个方格从左到右分别为：白、白、黑、黑、黑：“18”表示班级为18班，转化成二进制数为10010，对应二维码第三行的五个方格从左到右分别为：黑、白、白、黑、白；“11”‘表示考场号为11，转化成二进制数为1011，对应二维码第四行的五个方格从左到右分别为：白、黑、白、黑、黑；“24”表示座位号为24，转化成二进制数为11000，对应二维码第五行的五个方格从左到右分别为：黑、黑、白、白、白． 图2是未完成的小宁同学准考证号的二维码． 请完成下列问题： 【图形感知】（1）根据图1的制作示意图，把小宁同学的考场号二进制数10101在图2中填涂出来； 【转化计算】（2）根据图2的二维码图形，求小宁同学所在的年级和班级； 【实践操作】（3）已知小宁的准考证座位号是13号，请先转化计算，再完善二维码制作． 【答案】（1）见解析；（2）九年级六班；（3），二维码见解析 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，理解题目的意思是解题的关键． （1）根据题意即可填涂出来； （2）根据题意把二进制转化为十进制数，进行有理数运算即可得到答案； （3）根据题意把十进制转化为二进制数的方法即可求解． 【详解】解：（1）考场号二进制数10101，对应二维码的五个方格从左到右分别为：黑、白、黑、白、黑，填涂如下： （2）根据图的二维码图形，小张同学所在的年级：，即为九年级； 班级：，即为六班； （3）方法一：， 方法二：则， 补全图： 73．小李在某超市做兼职，销售某种商品，规定每天销量超过400单(卖出一件称为一单)的部分记为“＋”，低于400单的部分记为“－”，他一周的销售情况如下表： 星期 一 二 三 四 五 六 日 销量/单 15 18 24 11 (1)小李这一周平均每天销售多少单？ (2)该超市兼职人员的工资采用“日结制”，每天的工资由底薪300元加上销售提成构成，方案如下：每天销量不超过400单，则每少一单罚款2元；超过400单，则超过的部分每单提成1元，求小李这一周的总收入． 【答案】(1)小李这一周平均每天销售405单 (2)小李这一周的总收入为2102元 【分析】（1）由400单加上超过或不足部分数据的平均数即可得到答案； （2）每天的工资由底薪加上送餐部分的补贴，分别计算每天的工资，再求解代数和即可． 本题考查的是正负数的实际应用，平均数的计算，有理数的加法与乘法的实际应用，理解题意，正确的列代数式计算是解本题的关键． 【详解】（1）解： (单). 答：小李这一周平均每天销售405单． （2）解：(元) ． 答：小李这一周的总收入为2 102元． 74．小红家需要购一台冰箱、一台洗衣机和一台微波炉，请你来给他们当消费顾问，帮他们做出选择． 信息一、财联社1月19日电，据“上海商务”官方公众号，上海进一步做好国家家电以旧换新补贴工作．2025年1月20日起，对购买二级能效电器给与补贴（不超过1500元），对购买一级能效电器给与的补贴（不超过2000元）（注：电器国补按每一台计算） 信息二、小红家在某商店已经看中三种商品各有两个不同型号（见表），另有一张该商店的五一促销海报（见图） 能效等级 标价（元） 冰箱A 1级 6000 冰箱B 2级 5000 洗衣机A 1级 4000 洗衣机B 2级 2400 微波炉A 1级 900 微波炉B 2级 600 (1)如果在5月1日前，在该店购置一台价值8000元的电器，如果这是一台一级能效的电器，那么国补后只需要支付多少钱？ (2)小红家如果购买三种电器都选择A型号，那么在“五一”期间，可以得到的优惠率是多少？（优惠率，结果在百分号前保留1位小数） (3)如果小红家本次购置电器的消费预算在7200元以内，那么他们应该如何选择才能即不超过预算，又能得到最大的优惠率呢？（优惠率）经过计算：完成以下购置计划清单：（结果在百分号前保留1位小数） 购置计划清单： ________型号的电冰箱、________型号的洗衣机、________型号的微波炉，优惠率为_______． 【答案】(1)6400元 (2) (3)二级冰箱，一级洗衣机，一级微波炉， ． 【分析】本题考查了有理数的混合运算的应用，弄清题意，理清各量间的关系，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． （1）根据题意，国补后只需要支付元，解答即可． （2）根据题意，购买一级冰箱国补金额，购买一级洗衣机国补金额，购买一级微波炉国补金额，计算国补后的总金额，计算再优惠金额，根据题意，计算可得优惠率解答即可． （3）根据题意，分类计算，比较大小即可． 【详解】（1）解：根据题意，购买电器国补：元， 国补后只需要支付元， 答：国补后只需要支付元． （2）解：根据题意，购买一级冰箱国补元， 购买一级洗衣机国补元， 购买一级微波炉国补元， 国补后的总金额为元， 根据活动方案，可以再优惠1000元， 根据题意，优惠率． （3）解：根据题意，依据国补标准，计算如下： 一级冰箱国补元，实付4800元； 二级冰箱国补元，实付4250元； 一级洗衣机国补元，实付3200元； 二级洗衣机国补元，实付2140元； 一级微波炉国补元，实付720元； 二级微波炉国补元，实付510元； 第一种组合：购买一级冰箱，一级洗衣机，一级微波炉， 国补金额为：元； 国补后的总金额为元， 根据活动方案，可以再优惠1000元，实际支付7720元，超出预算，不符合题意； 第二种组合：购买一级冰箱，一级洗衣机，二级微波炉， 国补金额为：元； 国补后的总金额为元， 根据活动方案，可以再优惠1000元，实际支付7510元，超出预算，不符合题意； 第三种组合：购买一级冰箱，二级洗衣机，一级微波炉， 国补金额为：元； 国补后的总金额为元， 根据活动方案，可以再优惠600元，实际支付7060元，没有超出预算，符合题意； 优惠率． 第四种组合：购买一级冰箱，二级洗衣机，二级微波炉， 国补金额为：元； 国补后的总金额为元， 根据活动方案，可以再优惠600元，实际支付6940元，没有超出预算，符合题意； 优惠率． 第五种组合：购买二级冰箱，一级洗衣机，一级微波炉， 国补金额为：元； 国补后的总金额为元， 根据活动方案，可以再优惠1000，实际支付7170元，没有超出预算，符合题意； 优惠率． 第六种组合：购买二级冰箱，一级洗衣机，二级微波炉， 国补金额为：元； 国补后的总金额为元， 根据活动方案，可以再优惠600，实际支付7360元，超出预算，不符合题意； 第七种组合：购买二级冰箱，二级洗衣机，一级微波炉， 国补金额为：元； 国补后的总金额为元， 根据活动方案，可以再优惠600，实际支付6560元，不超出预算，符合题意； 优惠率． 第八种组合：购买二级冰箱，二级洗衣机，二级微波炉， 国补金额为：元； 国补后的总金额为元， 根据活动方案，可以再优惠600，实际支付6300元，不超出预算，符合题意； 优惠率． 故购买二级冰箱，购买一级洗衣机，购买一级微波炉，优惠率最高，且为， 故答案为：二级冰箱，一级洗衣机，一级微波炉， ． 75．小明与同学约定好在距家6千米的公园聚会，可供小明选择的出行方式如下表所示，其中从小明家往公园方向0.5千米处有公交专线直达公园． 出行方式 等待上车时间（分钟） 速度（千米/小时） 费用 出租车 2 30 不超过3千米 超过3千米部分 10元 里程费：2元/千米 时长费：0.5元/分钟 公交专线 3 20 票价共3元 便民自行车 0 15 每15分钟1元，不足15分钟按15分钟计算 步行 0 5 0元 (1)若小明乘坐公交专线前往，则小明需要花费的时间为多少分钟？ (2)下午5∶35同学聚会结束，小明想利用剩余的14元，并在下午6∶00前到家； ①若小明选择乘坐出租车，则小明能否按照计划到家并支付费用？若能，请计算出所需要的费用和到家的时间，若不能，请说明理由； ②请你帮他设计一种用时最短的返程方案，并计算出所需要的费用和到家时间． 【答案】(1)分钟； (2)①小明不能按照计划到家，理由见解析；②见解析． 【分析】本题考查了有理数的混合运算，理解题意是解题的关键． （1）根据“步行0.5千米的时间乘车的时间等车的时间”列式计算； （2）①根据收费标准计算； ②分别算出各种方式的费用和时间，再比较求解． 【详解】（1）解：（分钟）， 答：小明乘坐公交专线前往，需要花费的时间为分钟； （2）解：①小明不能按照计划到家并支付费用， 理由：所需要的时间为：（分钟），到家的时间为：， 所需要的费用为：（元，， 小明不能按照计划到家并支付费用； ②方案：先乘坐出租车4公里，再乘骑便民自行车2公里； 乘坐出租车时间：（分钟） 乘坐出租车费用：（元） 乘骑便民自行车时间：（分钟） 乘骑便民自行车费用：8分钟分钟，费用1元． 总费用：（元） 总时间：（分钟） 方案一：出租车＋便民自行车，最少时间18分钟，费用14元 方案二：公交车＋出租车，时间20分钟，费用13元 方案三：出租车＋公交＋便民自行车，时间20.5分钟，费用14元 方案四：公交车＋便民自行车，时间最少21.5分钟，费用4元 方案五：出租车＋公交＋走路，时间最少24.5分钟，费用13元 方案六：出租车，时间14分钟，费用19元； 方案七：公交车，时间25.5分钟，费用3元； 1．若的运算结果为正数，则内的数字可以是（    ） A． B．0 C．3 D．5 【答案】A 【分析】本题主要考查了有理数的乘法计算，根据两数相乘，同号为正，异号为负即可得到答案． 【详解】解：∵两数相乘，同号为正，异号为负， ∴内的数字一定要是负数， ∴四个数字中只有符合题意， 故选：A． 2．下列各组数中，互为倒数的是（   ） A．2和 B．3和 C．1和 D．和 【答案】A 【分析】本题考查了倒数的概念，熟练掌握乘积为1的两数互为倒数，是解题的关键． 根据倒数的定义分别进行解答，即可得出答案． 【详解】解：A. 2和互为倒数，符合题意； B、C、D选项均不符合倒数的定义，故不符合题意； 故选：A． 3．下列各式的值最大的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了有理数的加减乘除运算，有理数比较大小，算出每个选项的值，再比较大小即可． 【详解】解：，，，， ∵， ∴值最大的是， 故选：C． 4．如图，数轴上有三个点，，，其中是线段的中点，则原点的位置（    ） A．位于线段上，且靠近点 B．位于线段上，且靠近点 C．位于线段上，且靠近点 D．位于线段上，且靠近点 【答案】D 【分析】本题考查了数轴上找原点，理解中点和数轴的定义是解答关键． 根据中点求出点表示的数，再利用数轴的定义求解． 【详解】是线段的中点， 点表示的数是， 原点位于线段上，且靠近点． 故选：D． 5．干支纪年法是中国历法上的传统文化，干支是天干和地支的总称．干支纪年法的组合方式是天干在前，地支在后，以十天干和十二地支循环配合（如对照表），60年为一个循环．我们把天干、地支按顺序排列，且给它们编上序号，天干的计算方法是：年份减3，除以10所得的余数对应天干栏中的汉字即为天干；地支的计算方法是：年份减3，除以12所得的余数对应地支栏中的汉字即为地支；属相的计算方法与地支一致． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 … 天干 甲 乙 丙 丁 戊 己 庚 辛 壬 癸 … 地支 子 丑 寅 卯 辰 巳 午 未 申 酉 戌 亥 … 属相 鼠 牛 虎 兔 龙 蛇 马 羊 猴 鸡 狗 猪 … 依据上述规律推断，2037年为（   ） A．戊酉鸡 B．丁巳蛇 C．丙申猴 D．己辰龙 【答案】B 【分析】本题考查找规律，根据题意，理解天干、地支和属相的计算方法，利用有理数混合运算法则计算即可得到答案．理解题意，掌握题中描述的规律是解决问题的关键． 【详解】解：天干的计算方法是：年份减3，除以10所得的余数对应天干栏中的汉字即为天干， ，则天干是丁； 地支的计算方法是：年份减3，除以12所得的余数对应地支栏中的汉字即为地支， ，则地支是巳； 属相的计算方法与地支一致， ，则属相是蛇； 综上所述，2037年为丁巳蛇， 故选：B． 6．据我国古代《易经》记载，远古时期人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳记数”．如图，一位老者在从右到左依次排列的绳子上打结，满五进一（例如：图中第2根上的一个绳结表示5个，第3根上的一个绳结表示个），用来记录采集到的野果的个数．若他一共采集到了47个野果，则在第2根绳子上的绳结数是（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】根据题意，得第二根绳上共有个，结合一个结表示5个，故有(个)，解答即可． 本题考查了计算方法，正确理解数位的内涵是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得第二根绳上共有个， 由一个结表示5个， 故有(个)， 故选：C． 7． ． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的乘法，根据有理数的乘法运算律计算即可得解，熟练掌握有理数的乘法运算律是解此题的关键． 【详解】解：， 故答案为：． 8．定义运算：，如．则： ． 【答案】 【分析】本题考查了有理数混合运算，新定义，理解新定义是解题的关键．根据新定义先计算出的值即可． 【详解】解：， 故答案为：． 9．若是互不相等的整数，且，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了有理数的乘法计算，把169分解成四个整数的乘积形式，从而确定代表的数即可得到答案. 【详解】解：∵，且是互不相等的整数， ∴代表的是这四个数， ∴， 故答案为：． 10．规定图形表示运算，图形表示运算，则= ．（直接写出答案） 【答案】 【分析】本题考查根据新定义进行有理数的混合运算，解题的关键是准确理解两种图形所代表的运算规则，并按照规则进行计算． 分别依据三角形和正方形图形对应的运算规则，计算出各自的结果，再将结果相加． 【详解】解析： ， 故答案为：． 11．有两组数，第一组：，，，，；第二组：，，，．从第一组数中任取一个数与第二组数中任取一个数相乘，则所有乘积的总和是 ． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的混合运算，根据题意列出算式，再逆运用乘法分配律进行计算即可得解． 【详解】解：第一组所有数的和为， 第二组所有数的和为， 第一组数中取与第二组数中任取一个数相乘，所有乘积的总和是， 同理可得从第一组数中任取一个数与第二组数中任取一个数相乘，则所有乘积的总和是， 故答案为：． 12．新定义：规定“”是一种数学运算符号，且，，，，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了有理数乘除混合运算，理解新运算的定义是解题关键．根据新运算的定义将所求的式子进行转化，再计算有理数的乘除法即可得． 【详解】解：由题意得： ， 故答案为：． 13．计算：． 【答案】14 【分析】本题考查了有理数的混合运算，解题的关键是掌握运算法则和运算顺序． 利用有理数的乘法分配律求解即可． 【详解】原式 ． 14．怎样简便就怎样算． (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【答案】(1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【分析】本题考查了有理数的运算，运算律，掌握运算法则是解题的关键． （）先算乘法，然后根据加法结合律进行同分母运算，最后算加法即可； （）先算括号内的除法，再算加法，最后算减法即可； （）根据加法结合律进行同分母运算，最后算减法即可； （）分别算括号内的加法，乘法和减法，最后算除法即可； （）先算乘法，然后通过乘法分配律进行简便计算即可； （）先算括号内的加法，最后算除法即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ； （5）解： ； （6）解： ． 15．47中学初一学年体育课训练排球项目，要求每人每次垫球下，如果某同学垫球下，记作：；如果某同学垫球下，记作：．下面是某组6名同学垫球数量： 学生 同学A 同学B 同学C 同学D 同学E 同学F 数量／个 (1)从上面的记录中，哪名同学垫球最多？垫球最多的同学，垫球多少下？ (2)这一组的同学共垫球多少下？ (3)这一组同学平均垫球多少下？ 【答案】(1)同学E垫球最多，垫球最多的同学，垫球下 (2)这一组的同学共垫球下 (3)这一组同学平均垫球下 【分析】本题考查了正负数的意义，有理数的大小比较，有理数的混合运算，根据题意列出算式是解题的关键； （1）比较表格中各数的大小，进而求得垫球最多的人，根据下为标准，超过的记作正，即可得出最多垫球多少下； （2）用再加上表格数据，即可求解； （3）用（2）中数据，除以求得平均数，即可求解． 【详解】（1）解：根据表格数据，， 所以同学E垫球最多， ， 答：同学E垫球最多，垫球最多的同学，垫球下； （2）解：， 答：这一组的同学共垫球下； （3）解：， 答：这一组同学平均垫球下． 16．已知m为有理数，定义运算符号：当时，；当时，；当时，． (1)______，______； (2)计算：． 【答案】(1)，0 (2) 【分析】此题考查了有理数的混合运算． （1）根据新定义计算即可； （2）根据新定义先计算出，再计算，最后再根据新定义可得答案． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：，0； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴． 17．【阅读思考】中国人很早就开始使用负数．著名的中国古代数学著作《九章算术》的“方程”一章，在世界数学史上首次正式引入负数及其加减法运算法则，并给出名为“正负术”的算法．一节数学课上，老师布置了下列作业． (1)请你计算： ① ； ② ； ③ ． (2)在计算以上3道题之后，某同学回顾了自己的算法和算理．然后他再根据老师的提示写出了计算①的思考过程，并得到了老师的肯定，过程如下：a．判断出是两个有理数相加的问题；b．观察两个加数的符号，发现是异号两数相加；c．应用有理数加法法则中“异号的两个数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值”；d．确定的符号：计算出加数和的绝对值，分别是2和4，通过比较它们的绝对值发现，加数的绝对值较大，写出和的符号为“﹣”；e．确定绝对值的差： ；f．写出计算结果．请你帮助他完成以上空格． (3)【模仿应用】计算，并用简短语言解释你的依据． 【答案】(1)①，②6，③ (2) (3) ，依据：两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除 【分析】本题考查了有理数的运算，解题关键是熟记有理数运算法则，准确进行计算； （1）①根据有理数加法运算法则计算即可；②根据有理数减法运算法则计算即可；③根据有理数乘法运算法则计算即可； （2）根据有理数运算法则填空即可； （3）根据有理数除法法则计算即可； 【详解】（1）解：①； ②； ③； 故答案为：①，②6，③． （2）解：确定绝对值的差为：， 故答案为：． （3）解：， 依据：两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除． 18．体育课上全班女生进行了一分钟仰卧起坐测验，达标成绩为30个，第一组8名女生的成绩记录为：，0，，，，，，．其中+号表示超过达标成绩的个数，表示不足达标成绩的个数． (1)第一组8名女生中最好成绩与最差成绩相差________个； (2)求第一组8名女生的平均成绩； (3)规定：一分钟仰卧起坐次数为达标成绩，不得分；超过达标成绩，每多做1个得2分；未达到达标成绩，每少做1个扣1分．若一分钟仰卧起坐总积分超过60分，便可得到优秀体育小组称号，请通过计算说明第一组8名女生能否获得该称号． 【答案】(1)22 (2)第一组8名女生的平均成绩为33个 (3)能得到优秀体育小组称号，见解析 【分析】本题考查正负数的实际应用以及有理数的加减混合运算的应用． （1）找出最好成绩的与最差成绩的进行相减即可； （2）根据题意列出式子再进行计算即可； （3）根据题意列出式子，再进行计算，最后与60进行比较即可．根据题意列出式子是解题的关键． 【详解】（1）解：（个）， 故答案为：22； （2）解： （个）． 答：第一组8名女生的平均成绩为33个； （3）解： （分）． 因为， 所以能得到优秀体育小组称号． 11 / 11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$