2.4有理数的除法（讲义，4个知识点7大题型）数学新教材浙教版七年级上册

本讲义聚焦有理数除法核心知识点，通过类比有理数乘法推导除法法则，涵盖“除以一个数等于乘其倒数”“同号得正异号得负”两条法则，延伸至乘除混合及四则混合运算，结合数轴与实际情境串联运算逻辑，构建完整的符号运算认知体系。 资料特色在于以生活情境（如平均分）培养抽象能力，分层题型（基础运算到实际应用）提升运算能力与推理意识，通过票房计算、行程问题等实例强化模型意识。易错提醒与解题贴士助力规范运算，课中辅助教学，课后帮助学生查漏补缺。

第二章 有理数的运算 2.4 有理数的除法 课标要点 1.结合平均分、收支均分等真实生活情境，类比有理数乘法推导有理数除法法则，理解除法与乘法的互逆关系。 2.掌握两种有理数除法运算方法：一是先定商的符号，再将绝对值相除；二是“除以一个不为0的数，等于乘这个数的倒数”，熟练实现除法向乘法的转化。 3.巩固倒数概念，能快速求整数、分数、小数的倒数，明确0不能作除数的核心规定。 4.能规范完成整数、分数、小数的有理数除法运算，理清运算步骤，准确处理符号与约分。 5.结合数轴、实际均分问题列式计算，串联有理数乘、除运算逻辑，完善有理数符号运算的认知体系。 学习重难点 重点： 1.有理数除法两条运算法则，掌握除法变乘法的转化方法。 2.准确判断商的符号，熟练进行各类有理数除法计算。 难点： 1.带负号的分数、小数除法转化时，倒数与符号同步处理，避免变号失误。 2.乘除混合运算中，统一转化为乘法后分步约分、判定符号。 3.理解0不能作除数的原理，结合实际情境列除法算式解决应用问题。 知识点 有理数除法法则一（重点） 1.法则内容：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数。 2.字母表达式： 3.转化要点：除号变乘号，除数换成它的倒数；0不能作除数。 易错提醒 只有除数取倒数，被除数保持不变；0不可以作为除数，该式子无意义。 随学随练 1．（25-26七年级上·浙江金华·期中）计算得（    ） A． B．1 C． D．25 【答案】C 【分析】本题考查有理数除法，熟练掌握有理数除法法则是解题关键．根据除以一个分数等于乘以它的倒数，即可得答案． 【详解】解：∵除以一个分数等于乘以它的倒数， ∴， 故选：C． 2．（25-26七年级上·浙江杭州·期中）算式中的括号内应填（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题主要考查有理数的除法运算，解题的关键是熟知其运算法则．根据有理数的除法运算法则即可求解． 【详解】解：括号内应填． 故选：D． 知识点 有理数除法法则二（重点） 1. 两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。 2.0 除以任何一个不等于0的数，结果都得0。 特别提醒 法则二更适合整数整除计算；分数、小数计算优先用法则一转化乘法计算。 随学随练 1．（25-26七年级上·浙江温州·期末）计算：________． 【答案】 【分析】本题主要考查有理数的运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．根据运算法则进行计算即可． 【详解】解：． 故答案为：． 2．（25-26七年级上·浙江金华·期中）若，则的值为（   ） A．3 B． C．3或 D．3或1 【答案】C 【分析】此题考查绝对值的化简求值，由 可知 和 同号，分两种情况讨论：都正或都负，代入计算表达式的值． 【详解】∵ ，∴ 和 同号， 当 时，，，，∴ 原式 ； 当 时，，，，∴ 原式 ， ∴ 原式的值为 或 ， 故选：C 知识点 有理数乘除混合运算（难点） 1.运算顺序：全部统一转化为乘法，从左往右依次计算； 2.简便技巧：先确定整体符号，再约分计算绝对值； 3.运算规则：乘除同级运算，不能随意调换计算顺序，需统一化为乘法后分组简算。 特别提醒 乘除混合运算核心思路是“化除为乘”，结合倒数、约分简化计算；常与乘法分配律结合出综合计算题。 随学随练 1．（25-26七年级上·浙江台州·期中）下列算式运算正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查有理数混合运算，掌握算理是解决问题的关键。根据运算算理逐一判断即可。 【详解】解：， ∴选项不符合题意； ， ∴B选项不符合题意； ∴C选项符合题意； ∴D选项不符合题意， 故选：C． 2．（25-26七年级上·浙江·阶段检测）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了有理数的混合运算． （1）直接根据有理数的除法法则计算即可； （2）先将带分数化为假分数，并将除法转化为乘法，再计算乘法即可． 【详解】（1） ； （2） 知识点 有理数四则混合运算（难点） 1.运算顺序：先乘除，后加减；有括号先算括号内；同级运算从左到右； 2.解题方法：先统一除法为乘法，再分层分步计算，减少跳步出错； 3.简便思路：可结合加法、乘法运算律分组简化算式。 特别提醒 乘除、四则混合计算是本章核心大题考点，常结合分数、负数综合考查，计算后建议验算符号与数值。 随学随练 1．（25-26七年级上·浙江金华·阶段检测）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)25 (2)16 (3)14 (4) 【分析】本题主要考查了实数的混合运算，乘法运算律，解题的关键是掌握以上运算法则和乘法运算律． （1）根据有理数的加减运算法则进行计算即可； （2）根据有理数的乘除法法则进行计算即可； （3）利用有理数的除法法则和乘法分配律进行计算即可； （4）利用有理数的乘法分配律进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 2．（25-26七年级上·浙江金华·阶段检测）计算： (1)； (2)； (3)（用简便方法计算）； (4) 【答案】(1)6 (2) (3) (4)0 【分析】本题主要考查了有理数混合运算，熟练掌握相关运算法则和运算律是解题关键． （1）根据有理数加减运算法则求解即可； （2）首先确定正负符号，并将除法转化为乘法，然后根据有理数乘法运算法则求解即可； （3）将原式整理为，然后进一步计算即可； （4）利用乘法运算律将原数整理为，然后进一步计算即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ； （4）解：原式 ． 题型 有理数的除法运算 ▌例1 （25-26七年级上·浙江温州·期中）在算式中的□处填上“+、−、×或÷”后，能使结果最大的选项（    ） A．+ B．− C．× D．÷ 【答案】D 【分析】本题考查了有理数的加法运算，减法运算，乘法运算，除法运算，正数大于0，0大于负数，分别计算四种运算的结果，并比较大小，从而确定使结果最大的运算，即可作答． 【详解】解：A、， B、， C、， D、， 故选：D 解题贴士 除以一个数等于乘它的倒数，负数的倒数是负数。 ▌对点练1-1 （25-26七年级上·浙江湖州·阶段检测）已知是有理数，当，时，求的值为（    ） A．1或 B．1 C．0 D． 【答案】B 【分析】本题考查了有理数乘法，有理数加法和绝对值，学生必须熟练掌握才能正确解答．根据，，可得三个数一定是两负一正，然后再进行化简计算即可． 【详解】解：∵，， ∴三个数中必须有两个负数，一个正数，可设， ， ， 故选：B． ▌对点练1-2 （2026七年级上·浙江·专题练习）计算 (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)8 (2) (3) (4)0 【分析】此题考查了有理数的除法，熟练掌握运算法则是解本题的关键． （1）原式各项利用除法法则计算即可得到结果； （2）原式各项利用除法法则计算即可得到结果； （3）原式各项利用除法法则计算即可得到结果； （4）原式各项利用除法法则计算即可得到结果． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ； （4）解：原式 ． 题型 有理数乘除混合运算 ▌例2 （26-27七年级·浙江·暑假作业）计算 (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）先算乘法，除以转化为乘4，算出结果； （2）式子含乘数0，任何数乘0都得0，结果直接为0； （3）除法转乘法，提取公因数，括号内化简后相乘； （4）带分数化为假分数，约分后相乘得到答案． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 解题贴士 步骤：先除变乘，除数取倒数；再数负因数个数，偶正奇负定符号；最后约分后再算绝对值乘积。 ▌对点练2-1 （26-27七年级·浙江·暑假作业）计算： (1)； (2)； 【答案】(1)； (2)． 【分析】（1）先将式子省略成“和”的形式，再从左往右计算即可； （2）先确定符号，再将式子统一为“乘”的形式计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． ▌对点练2-2 （25-26七年级上·浙江绍兴·期中）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查有理数的加减及乘除运算，熟练掌握有理数的运算是解题的关键； （1）根据有理数的加减运算可进行求解； （2）根据有理数的乘除运算可进行求解． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式． 题型 有理数四则混合运算 ▌例3 （25-26七年级上·浙江舟山·期中）舟舟和山山在某堂课计算的过程如下： 解：原式  ①   ②   ③ 舟舟的解答 解：原式  ①   ②   ③ 山山的解答 (1)你对舟舟和山山两人做题的评价是（    ） A．舟舟对山山错        B．山山对舟舟错        C．两人都错        D．两人都对 (2)写出你的计算过程． 【答案】(1)C (2)，过程见解析 【分析】本题主要考查了有理数的四则混合计算，熟知相关计算法则是解题的关键． （1）由于乘除法优先级一样，而舟舟的解题过程中先计算了除法后面的乘法，山山的解题过程中错误使用除法分配律； （2）先把小括号内的式子通分并计算，再计算乘除法，最后计算减法即可． 【详解】（1）解：观察解题过程可知，舟舟的解题过程中，先计算了除法后面的乘法导致计算错误，山山的解题过程中，错误使用除法分配律， 故选：C． （2）解： ． 解题贴士 运算顺序：先乘除，后加减；有括号先算括号内。 ▌对点练3-1 （25-26七年级上·浙江杭州·期中）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查了有理数的四则运算、运算律（加法交换律与结合律、乘法分配律）的应用，熟练掌握有理数的运算规则和运算律的使用方法是解题的关键． （1）按照有理数加减运算的顺序，从左到右依次计算． （2）利用加法交换律和结合律，将同分母分数、小数分别结合后再计算． （3）运用乘法分配律，将括号内的每一项分别与相乘，再进行加减运算． （4）先将带分数化为假分数，再将除法转化为乘法，最后按照有理数乘法法则计算． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ▌对点练3-2 （25-26七年级上·浙江杭州·期中）计算： (1) (2) (3) 【答案】(1) (2)1 (3) 【分析】本题考查有理数的加减混合运算、有理数的乘除混合运算、有理数的运算律，（1）变为省略加号和括号的加法计算即可； （2）把除法变为乘法进行多个有理数的乘法运算即可； （3）把除法化为乘法用乘法分配律进行计算即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ． 题型 简便运算 ▌例4 （25-26七年级上·浙江绍兴·阶段检测）用简便方法计算． (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了有理数混合运算，解题的关键是熟练掌握有理数混合运算法则． （1）根据乘法分配律进行计算即可． （2）先将带分数化为假分数，然后计算乘法和除法，最后再从左往右进行计算即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 解题贴士 乘除：凑整约分，负因数判符号；活用交换、结合、分配律简化计算 ▌对点练4-1 （25-26七年级上·浙江绍兴·阶段检测）阅读以下题目解答： 计算：． 分析：利用倒数的意义，先求出原式的倒数，再得到原式的值． 解：先求原式的倒数． 所以原式． 根据阅读材料提供的方法，完成下面的计算： 【答案】 【分析】本题考查有理数的混合运算和对阅读材料问题的运用，理解材料所给的方法是解题的关键． 仿照材料中的方法，利用倒数的意义，先求出原式的倒数，再得到原式的值． 【详解】解：先求原式的倒数， ， 所以原式． ▌对点练4-2 （25-26七年级上·浙江温州·开学考试）计算： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1)10 (2)15900 (3)0.36 (4)1 【分析】本题考查了有理数的运算，解题的关键是∶ （1）先计算小括号内，再计算中括号内，最后计算括号外即可； （2）原式变形为，然后逆用乘法分配律计算即可； （3）把除法转化为乘法，然后逆用乘法分配律计算即可； （4）先去括号，然后根据乘法的交换律和结合律计算即可． 【详解】（1）解∶ ； （2）解∶ ； （3）解∶ ； （4）解∶ ． 题型 有理数四则运算的实际应用 ▌例5 （25-26七年级上·浙江绍兴·开学考试）甲、乙、丙三个人同时开始沿公园中的人造湖慢跑，乙、丙按顺时针跑，甲按逆时针跑，甲第一次遇到丙后过1分钟遇到乙，再过3分钟第二次遇到丙，已知丙的速度是甲的速度的，人造湖的周长是800米，求乙的速度是每分钟多少米？ 【答案】米/分 【分析】先求出甲丙速度和，进而得出甲的速度，再根据甲乙速度和，求出乙的速度即可． 【详解】解：因为，甲丙第一次相遇后过分钟又相遇， 所以，甲丙速度和：（米/分） 因为，丙的速度是甲的速度的， 所以，甲的速度： （米/分）， 因为，甲、丙第一次相遇用时为（分钟）， 所以，甲、乙第一次相遇用时为（分钟）， 所以，甲乙速度和： （米/分）， 所以，乙的速度：（米/分）． 解题贴士 · 定正负：明确相反意义量的符号 · 列算式：根据题意套四则运算 · 简算求值，结合题意解释正负结果 ▌对点练5-1 （25-26七年级上·浙江杭州·期末）某商店出售一批水果，最初以每箱元的价格出售箱，后来每箱降价至元，又售出箱，剩下箱又以每箱再降价元出售． (1)用代数式表示这批水果共售多少元？ (2)如果，，，进这批水果共花去元，那么该商店赚了多少元？ 【答案】(1)这批水果共售元 (2)该商店赚了元 【分析】本题考查列代数式，代数式求值，掌握利润的计算公式是解题关键． （1）分三次计算销售额，再将三次销售额相加，整理得到总销售额的代数式； （2）将、、代入（1）中的代数式求出总销售额，再用总销售额减去进货总成本元，即可得到商店的利润． 【详解】（1）解：根据题意，第一次出售元，第二次出售元，第三次出售元， 则商店共出售元． 答：这批水果共售元． （2）解：当，，时， 这批水果共售（元）， 已知这批水果进价为元， 则该商店赚了（元）． 答：该商店赚了元． ▌对点练5-2 （25-26七年级上·浙江杭州·期末）2025年动画电影《哪吒之魔童闹海》上映后，全国多个城市票房表现亮眼．下表为甲、乙、丙、丁四个城市该电影的票房，及与目标票房的对比： 城市 甲市 乙市 丙市 丁市 该城市电影票房（万元） 3500 b 4200 c 目标票房（万元） 5800 6500 4500 4800 票房差（万元） a d 注：票房差指该城市《哪吒之魔童闹海》票房与目标票房的差． (1)上表中______， ______． (2)已知四个城市的总票房为15600万元，电影票的价格为35元/张，求丁市的观影人数为多少万人？ 【答案】(1)；4400 (2)100万人 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算以及正数和负数，解题关键是理解题意，列出算式． （1）根据正数和负数的意义解答即可； （2）根据“单价×数量=总价”解答即可． 【详解】（1）解：由题意得，，， 故答案为：，4400； （2）解：丁市的票房为（万元）， 万元元， 丁市的观影人数为（人）（万人）， 答：丁市的观影人数为100万人． 题型 根据点在数轴位置判断式子正负 ▌例6 （25-26七年级上·浙江台州·期末）实数a，b在数轴上对应的点的位置如图所示，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了实数与数轴，根据数轴正确判断式子的正负是解题的关键． 根据数轴可得，，再逐项分析判断即可得出答案． 【详解】解：由数轴得，，， ∴，，， 结合选项可知，只有D选项结论正确． 故选：D． 解题贴士 · 右大左小，原点右为正、左为负； · 两数相加：绝对值大的数定符号； · 两数相减：右减左得正，左减右得负； · 乘除：同号正，异号负。 ▌对点练6-1 （25-26七年级上·浙江宁波·期中）如图，点表示的数分别为a，b，下列式子中，不正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了根据数轴上点的位置判断式子的值，有理数的乘除法，有理数的减法，绝对值， 先根据数轴上的点可知，再逐个判断即可． 【详解】解：观察数轴可知， 则． 故选：B． ▌对点练6-2 （25-26七年级上·浙江杭州·期中）有理数a，b，c在数轴上对应的点的位置如图所示，则下列各式不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查有理数与数轴，有理数的运算，根据点在数轴上的位置，判断式子的符号，即可得出结果． 【详解】解：由数轴可知：， ∴，，，； 故不正确的是选项C； 故选：C． 题型 数轴上的翻折 ▌例7 （25-26七年级上·浙江丽水·期末）已知在一条可以折叠的数轴上，B表示的数是4，如图①，以点C为折点，将此数轴向右折叠，得图②，点A落在点B的右边处，且． (1)若点C为原点，求点A表示的数； (2)若点A表示的数为，求线段的长． 【答案】(1) (2)6 【分析】（1）先求出点表示的数，再结合折叠性质求出点A表示的数； （2）先求出的长度，再根据折叠性质求出的长度． 【详解】（1）解：根据题意得点表示的数为， ∴点A表示的数为； （2）解：∵点A表示的数为，B表示的数是4， ，． ． ∴线段的长为6． 解题贴士 翻折两点到折点距离相等，折点是两点中点。 · 中点公式：中点数 =(左点 + 右点)÷2 · 已知一点求另一点：2× 中点−已知数 ▌对点练7-1 （25-26七年级上·浙江宁波·期中）如图，一个点从数轴上的原点开始，先向左移动1个单位长度到达点，再向左移动3个单位长度到达点，然后再向右移动9个单位长度到达点．已知数轴上一点，当将数轴折叠，使得点与点重合时，点恰好与点重合，则点表示的数为_______． 【答案】8 【分析】本题主要考查了数轴上的点表示的数，折叠的性质， 先根据点的移动可得点A，B，C，D表示的数，再根据折叠的性质得出答案． 【详解】解；一个点从数轴上的原点开始，向左平移1个单位长度得到点A表示的数是，再向左平移3个单位长度得到点B表示的数是，然后向右平移9个单位长度得到点C表示的数是． 将数轴折叠，使得点A与点C重合，则折痕处的点为线段的中点，为， 所以折痕处的点到点B和点D的距离相等，点D表示的数是． 故答案为：8． ▌对点练7-2 （25-26七年级上·浙江杭州·期中）数轴上点O为原点，点A表示2．现在将数轴折叠，使O与A重合．折叠后，点B与数轴上表示的点C重合，若点B表示的数是8，则C表示的数为________． 【答案】 【分析】本题考查了数轴上两点之间的距离，数轴上两点中点的求解，关键是掌握数轴上两点距离求解． 折叠后点O与点A重合，求出折痕对应的数为，然后根据点B与数轴上表示的点C重合即可求出点C表示的数． 【详解】解：∵折叠后，点O与点A重合， ∴折痕对应的数为． ∵折叠后，点B与数轴上表示的点C重合， ∴点B与数轴上表示的点C重合分布在折痕的两侧． ∵点B表示的数是8， ∴点C表示的数为． 故答案为：． 基础通关 1．（25-26七年级上·浙江绍兴·期中）计算下列算式的值，其中绝对值最小的是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是有理数的加法，减法，乘法与除法运算，绝对值的含义，先计算每个选项的值，并求其绝对值，比较大小． 【详解】解：∵ A、，， B、，， C、，， D、，， ∴ 绝对值最小的是B． 故选：B 2．（25-26七年级上·浙江杭州·期末）若算式的运算结果为，则算式中的“”内应填入的运算符号是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查有理数的混合运算，熟练掌握计算法则是解题的关键． 分别计算出填入各个不同符号的运算结果，再进行比较即可． 【详解】解：选项A，若算式中的“”内应填入的运算符号是“”，即，故选项A不符合题意； 选项B，若算式中的“”内应填入的运算符号是“”，即，故选项B不符合题意； 选项C，若算式中的“”内应填入的运算符号是“”，即，故选项C符合题意； 选项D，若算式中的“”内应填入的运算符号是“”，即，故选项D不符合题意． 故选：C． 3．（25-26七年级上·浙江宁波·期末）如图，一把刻度尺放在数轴上，发现数轴上表示数和3的点分别与刻度尺上和的刻度线对应，则数轴上1个单位的长度是（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了数轴上两点之间的距离，有理数的四则混合运算的应用． 根据数轴上两点之间的距离公式求解即可． 【详解】解：由题意得，， 故选：A． 4．（24-25七年级上·浙江金华·阶段检测）一列“动车组”高速列车和一列普通列车的车身长分别为80米与100米，它们相向行驶在平行的轨道上，若坐在高速列车上的旅客看见普通列车驶过窗口的时间是6秒，则坐在普通列车上的旅客看见高速列车驶过窗口的时间是（　　） A．秒 B．秒 C．5秒 D．4秒 【答案】B 【分析】两车相向行驶，相对速度保持不变，旅客看见对方列车驶过窗口时，行驶路程等于对方列车的车身长，先根据已知条件求出相对速度，再计算所求时间． 【详解】解：∵两车相向行驶，相对速度不变，坐在高速列车上的旅客观察普通列车时，行驶路程为普通列车车身长100米，时间为6秒， ∴两车的相对速度为（米/秒）． ∵坐在普通列车上的旅客观察高速列车时，行驶路程为高速列车车身长80米， ∴坐在普通列车上的旅客看见高速列车驶过窗口的时间为（秒）． 5．（25-26七年级上·浙江宁波·期中）区别于十进制，古巴比伦使用的是60进 制．这与他们独特的计数方式有关，如图：右手4根手指的12个指关节表示1~12，另一只手用五根手指表示12的1~5倍．如当古巴比伦人左手伸出1根手指，右手掐住第八指关节时，表示的数是．若当其左手伸出三根手指，右手大拇指掐中第3指关节时，表示的十进制数字是（    ） A．9 B．19 C．29 D．39 【答案】D 【分析】本题考查了有理数的混合运算，先根据题目定义可得所表示的数为，再进行计算求解. 【详解】解：， 故选：D． 6．（25-26七年级上·浙江杭州·开学考试）如果a和b互为倒数，那么的值是______． 【答案】2 【分析】本题主要考查倒数的性质以及分式的乘除运算．先根据a、b互为倒数得出，再将除法运算转化为乘法运算，最后代入计算得出结果． 【详解】解：互为倒数， 原式 故答案为． 7．（25-26七年级上·浙江嘉兴·期中）有理数、、在数轴上的位置如图所示，下列结论正确的有______．（填编号） ①  ②  ③  ④ 【答案】①②③ 【分析】本题主要考查了有理数与数轴，有理数的四则运算，根据数轴可得，再根据有理数的四则运算法则逐一判断即可． 【详解】解：由数轴可得， ∴，，，， ∴正确的有①②③， 故答案为：①②③． 8．（25-26七年级上·浙江杭州·阶段检测）现定义同级的两种运算“”“”：对于任意两个数，，，则的结果是________． 【答案】 【分析】此题考查了有理数的混合运算，弄清题中的新定义是解本题的关键． 原式利用题中的新定义计算即可求出值． 【详解】解：根据题中的新定义得： ，， 则 ． 故答案为：． 9．（25-26七年级上·浙江杭州·阶段检测）点，，在数轴上，点，表示的数分别是和，点在，之间，现以点为折叠点，将数轴向右对折．若点对折后对应的点为，并且点和点的距离为个单位长度，则点表示的数是________． 【答案】或 【分析】本题主要考查数轴与有理数的对应关系，两点间距离的计算，中点的计算方法，根据点与点的位置与距离可得点表示的数为或，根据折叠后，中点的计算方法即可求解． 【详解】解：点表示的数为，点表示的数为， ∵若点对折后对应的点为，并且点和点的距离为个单位长度， ∴点表示的数是，或 ∴折叠点为或， ∴点表示的数为或， 故答案为：或． 10．（25-26七年级上·浙江杭州·阶段检测）计算： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查的是有理数的混合运算． （1）先化为省略加号的和的形式，再计算即可． （2）按照有理数的加减运算法则计算即可． （3）先确定符号，再把除法化为乘法运算计算即可． （4）按照分配律进行简便运算即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． （3）解： ． （4）解： ． 11．（25-26七年级上·浙江温州·期中）用简便方法计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了有理数乘法运算律的简便运算，掌握乘法分配律是解题的关键． （1）按照乘法分配律和有理数乘法运算法则计算即可； （2）按照乘法分配律和有理数乘法运算法则计算即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 12．（23-24七年级上·浙江绍兴·开学考试）递等式计算（能简便的用简便方法计算） (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了有理数的乘除混合运算，乘法运算律，加法运算，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先运算乘除，再运算减法，即可作答． （2）根据乘法运算律进行简便运算，即可作答． （3）先把除法化为乘法，再根据乘法运算律进行简便运算，即可作答． （4）先整理原式，然后整理得，再运算括号内，最后运算乘法，即可作答． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 13．（25-26七年级上·浙江宁波·期末）近年来，我国的新能源汽车产销量大幅增加．王老师购置了一辆新能源纯电汽车，他连续7天记录了每天行驶的路程（如下表）．以为标准，多于的记为“”，不足的记为“”，刚好的记为“0”． 第一天 第二天 第三天 第四天 第五天 第六天 第七天 路程 0 (1)这7天里路程最多的一天比最少的一天多行驶__________． (2)若该新能源汽车每行驶耗电量15度，每度电为0.56元，求王老师这7天开新能源汽车的电费． 【答案】(1)32 (2)王老师这7天开新能源汽车的电费为元 【分析】本题考查了正负数的应用、有理数减法的应用、有理数四则混合运算的应用，理解题意，正确列出运算式子是解题关键． （1）将表格中的最大数减去最小数即可得； （2）先求出王老师这7天开新能源汽车行驶的总路程，再求出总耗电量，然后乘以每度电的费用即可得． 【详解】（1）解：， 所以这7天里路程最多的一天比最少的一天多行驶， 故答案为：32． （2）解： （元）， 答：王老师这7天开新能源汽车的电费为元． 素养提升 14．（25-26七年级上·浙江·阶段检测）阅读下列材料： 在计算时，某班三位同学分别给出了如下思路： 思路1：用分别除以，，，再把所得结果相加． 思路2：先求出，，的和，再用除以这个和． 思路3：先算，再求所得结果的倒数． (1)上述三种思路中，不正确的是思路_____． (2)请选择一种正确的思路计算：． 【答案】(1)1 (2) 【分析】本题考查了有理数的除法法则、分配律的适用范围及倒数的应用，解题的关键是明确“除法不满足分配律（即）”，并能利用“除以一个数等于乘它的倒数”结合分配律简化计算． （1）判断思路正误：根据除法法则，分配律仅适用于乘法（），除法不满足此规律，故思路1错误；思路2（先算括号内和再除）、思路3（先算倒数的除法再求倒数）均符合法则，正确；   （2）计算时选择思路3更简便：先计算括号内的式子除以（即乘，利用分配律简化分数运算），再求结果的倒数，避免直接通分的复杂计算． 【详解】（1）解：∵有理数除法不满足分配律，即；   思路1将拆分为，违背除法法则；   思路2先算括号内和再相除、思路3先算倒数的除法再求倒数，均符合除法法则，正确．   思路3：先算，再求所得结果的倒数，正确．   故答案为：1． （2）解：选择思路2计算： . 选择思路3计算: ∵原算式是上述结果的倒数，   ∴ 答：结果为． 15．（25-26七年级上·浙江嘉兴·期末）【问题呈现】 为缓解百姓停车压力，政府新建多个公用停车场、小嘉同学家所在小区附近也建有一个．该停车场收费标准的指示牌如图所示． 【应用体验】 今年国庆期间，小嘉邀请同学小兴一家到家里做客，小兴爸爸将车停在了该停车场，从进场停车到取车驶离，共经过了小时，则小兴爸爸共花费了停车费___________元． 【深入思考】 今年秋假期间，小嘉妈妈的好友小禾阿姨到访，她也将车停在了该停车场，已知小禾阿姨的停车时长为整数小时，她一共花了15元停车费，求小禾阿姨的停车时长． 【答案】应用体验：8；深入思考：5小时 【分析】本题主要考查了有理数乘除法的实际应用，正确理解收费标准是解题的关键． 应用体验：停车时长为小时，那么需要按照4小时收费，据此列式求解即可； 深入思考：根据题意可推出小禾阿姨的停车时长一定大于4小时，小于6小时，根据停车费为15元列式求解即可． 【详解】解：应用体验：，元 ∴小兴爸爸共花费了停车费8元； 深入思考：停车4小时时，停车费为元， 停车6小时时，停车费为元， ∵ ∴小禾阿姨的停车时长一定大于4小时，小于6小时， ∵，且小禾阿姨的停车时长为整数小时， ∴小禾阿姨的停车时长为5小时． 16．（25-26七年级上·浙江湖州·阶段检测）阅读材料，回答问题． 类比推理是一种重要的推理方法，根据两种事物在某些特征上相似，得出它们在其他特征上也可能相似的结论．阅读感知：在异分母的分数的加减法中，往往先化作同分母，然后分子相加减，例如： ，我们将上述计算过程倒过来，得到，这一恒等变形过程在数学中叫做裂项．类似地，对于可以用裂项的方法变形为：．类比上述方法，解决以下问题． 【类比探究】（）计算：______； 【理解运用】（）类比裂项的方法，计算：； 【迁移应用】（）探究并计算：． 【答案】（）；（）；（） 【分析】（）利用裂项法解答即可求解； （）把算式转化为，再利用裂项法解答即可求解； （）用裂项的方法变形为，进而计算即可求解； 本题考查了有理数的混合运算，掌握裂项法是解题的关键． 【详解】解：（）， 故答案为：； （） ； （） ． 17．（25-26七年级上·浙江温州·阶段检测）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2)1 【分析】本题考查了有理数的混合运算，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先把原式整理得，再结合乘法运算律进行简便运算，即可作答． （2）先整理得，再代入进行计算，即可作答． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； ∴ ． 18．（25-26七年级上·浙江·阶段检测）根据图中的数轴，解答下面的问题： (1)请你根据图中A，B两点的位置，分别写出它们所表示的有理数：点A表示 ，点B表示 ． (2)观察数轴，与点A的距离为4的点表示的数是 ． (3)若将数轴对折，使得点A与表示的点重合，则： ①点B与表示数______的点重合； ②若数轴上M，N两点之间的距离为点M在点N的左侧，且将数轴对折后M，N两点重合，求M，N两点表示的数． 【答案】(1)1； (2)5或 (3)①；②点M表示的数为，点N表示的数为2024 【分析】本题主要考查了数轴上的两点的距离计算，有理数与数轴，数轴上的折叠问题，熟知有理数与数轴的相关知识是解题的关键． （1）根据数轴上点的位置即可得到答案； （2）当该点在点A右侧时，用点A表示的数加上两点之间的距离，即为该点表示的数，当该点在点A左侧时，用点A表示的数减去两点之间的距离，即为该点表示的数，据此求解即可； （3）①根据题意可得对折中心表示的数为点A与表示的点的中点表示的数，据此求出对称中心表示的数即可得到答案；②可求出点M和点N到折叠中心的距离都为2025，再根据数轴上两点距离计算求解即可． 【详解】（1）解：由数轴可得，点A表示的数为1，点B表示的数为； （2）解：当该点在点A右侧时，该点表示的数为， 当该点在点A左侧时，该点表示的数为； 综上所述，该点表示的数为5或； （3）解：①∵将数轴对折，使得点A与表示的点重合， ∴折叠中心表示的数为， ∴点B与表示数的点重合； ②∵数轴上M，N两点之间的距离为点M在点N的左侧，且将数轴对折后M，N两点重合， ∴点M和点N到折叠中心的距离都为， ∴点M表示的数为，点N表示的数为． 迁移创新 19．（25-26七年级上·浙江金华·期中）规定一种新运算“”，，例如：，根据上面规定解答下题： (1)求的值； (2)新运算“”是否满足交换律，请说明理由． 【答案】(1)21 (2)不满足，理由见解析 【分析】（1）把所给定义式中的a换成7、b换成代入计算即可． （2）根据（1）中所给的定义先分别计算出a※与b※的值，然后比较计算结果即可． 本题考查了有理数的混合运算，解题的关键是理解所给运算的意义、运算顺序． 【详解】（1）根据题意得，； （2）“※”运算不满足交换律，理由是： ， ， 不一定成立， “”运算不满足交换律． 20．（25-26七年级上·浙江金华·期末）研究新定义的有理数运算“☆”，并解答下列问题． 【观察运算】 ①；；；； ②；；；； ③；；；；． (1)【归纳法则】补全“☆”运算的运算法则： ①同号两数进行“☆”运算，结果为两数差的绝对值； ②异号两数进行“☆”运算，结果为_______； ③特别地，0和任何数进行“☆”运算，或任何数和0进行“☆”运算，结果为________． (2)【应用法则】计算：． (3)【拓展延伸】探究结合律是否成立？_______． A．成立     B．不成立 【答案】(1)两数差的绝对值的相反数（答案不唯一）；仍为这个数； (2)； (3)B 【分析】（1）根据所给算式总结即可； （2）根据（1）中的运算法则计算即可； （3）可通过举反例来判断； 本题主要考查了新定义，有理数的混合运算，根据所给算式总结出运算法则是解答本题的关键． 【详解】（1）解：②观察归纳得异号两数进行“☆”运算，结果为两数差的绝对值的相反数； ③0和任何数进行“☆”运算，或任何数和0进行“☆”运算，结果仍为这个数． 故答案为：两数差的绝对值的相反数（答案不唯一）；仍为这个数． （2） ． （3）假设 则 ， ， 此时，则结合律不成立； 故选：B． 学科网（北京）股份有限公司1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二章 有理数的运算 2.4 有理数的除法 课标要点 1.结合平均分、收支均分等真实生活情境，类比有理数乘法推导有理数除法法则，理解除法与乘法的互逆关系。 2.掌握两种有理数除法运算方法：一是先定商的符号，再将绝对值相除；二是“除以一个不为0的数，等于乘这个数的倒数”，熟练实现除法向乘法的转化。 3.巩固倒数概念，能快速求整数、分数、小数的倒数，明确0不能作除数的核心规定。 4.能规范完成整数、分数、小数的有理数除法运算，理清运算步骤，准确处理符号与约分。 5.结合数轴、实际均分问题列式计算，串联有理数乘、除运算逻辑，完善有理数符号运算的认知体系。 学习重难点 重点： 1.有理数除法两条运算法则，掌握除法变乘法的转化方法。 2.准确判断商的符号，熟练进行各类有理数除法计算。 难点： 1.带负号的分数、小数除法转化时，倒数与符号同步处理，避免变号失误。 2.乘除混合运算中，统一转化为乘法后分步约分、判定符号。 3.理解0不能作除数的原理，结合实际情境列除法算式解决应用问题。 知识点 有理数除法法则一（重点） 1.法则内容：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数。 2.字母表达式： 3.转化要点：除号变乘号，除数换成它的倒数；0不能作除数。 易错提醒 只有除数取倒数，被除数保持不变；0不可以作为除数，该式子无意义。 随学随练 1．（25-26七年级上·浙江金华·期中）计算得（    ） A． B．1 C． D．25 2．（25-26七年级上·浙江杭州·期中）算式中的括号内应填（   ） A． B． C． D． 知识点 有理数除法法则二（重点） 1. 两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。 2.0 除以任何一个不等于0的数，结果都得0。 特别提醒 法则二更适合整数整除计算；分数、小数计算优先用法则一转化乘法计算。 随学随练 1．（25-26七年级上·浙江温州·期末）计算：________． 2．（25-26七年级上·浙江金华·期中）若，则的值为（   ） A．3 B． C．3或 D．3或1 知识点 有理数乘除混合运算（难点） 1.运算顺序：全部统一转化为乘法，从左往右依次计算； 2.简便技巧：先确定整体符号，再约分计算绝对值； 3.运算规则：乘除同级运算，不能随意调换计算顺序，需统一化为乘法后分组简算。 特别提醒 乘除混合运算核心思路是“化除为乘”，结合倒数、约分简化计算；常与乘法分配律结合出综合计算题。 随学随练 1．（25-26七年级上·浙江台州·期中）下列算式运算正确的是（　　） A． B． C． D． 2．（25-26七年级上·浙江·阶段检测）计算： (1)； (2)． 知识点 有理数四则混合运算（难点） 1.运算顺序：先乘除，后加减；有括号先算括号内；同级运算从左到右； 2.解题方法：先统一除法为乘法，再分层分步计算，减少跳步出错； 3.简便思路：可结合加法、乘法运算律分组简化算式。 特别提醒 乘除、四则混合计算是本章核心大题考点，常结合分数、负数综合考查，计算后建议验算符号与数值。 随学随练 1．（25-26七年级上·浙江金华·阶段检测）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 2．（25-26七年级上·浙江金华·阶段检测）计算： (1)； (2)； (3)（用简便方法计算）； (4) 题型 有理数的除法运算 ▌例1 （25-26七年级上·浙江温州·期中）在算式中的□处填上“+、−、×或÷”后，能使结果最大的选项（    ） A．+ B．− C．× D．÷ 解题贴士 除以一个数等于乘它的倒数，负数的倒数是负数。 ▌对点练1-1 （25-26七年级上·浙江湖州·阶段检测）已知是有理数，当，时，求的值为（    ） A．1或 B．1 C．0 D． ▌对点练1-2 （2026七年级上·浙江·专题练习）计算 (1)； (2)； (3)； (4)． 题型 有理数乘除混合运算 ▌例2 （26-27七年级·浙江·暑假作业）计算 (1)； (2)； (3)； (4)． 解题贴士 步骤：先除变乘，除数取倒数；再数负因数个数，偶正奇负定符号；最后约分后再算绝对值乘积。 ▌对点练2-1 （26-27七年级·浙江·暑假作业）计算： (1)； (2)； ▌对点练2-2 （25-26七年级上·浙江绍兴·期中）计算： (1)； (2)． 题型 有理数四则混合运算 ▌例3 （25-26七年级上·浙江舟山·期中）舟舟和山山在某堂课计算的过程如下： 解：原式  ①   ②   ③ 舟舟的解答 解：原式  ①   ②   ③ 山山的解答 (1)你对舟舟和山山两人做题的评价是（    ） A．舟舟对山山错        B．山山对舟舟错        C．两人都错        D．两人都对 (2)写出你的计算过程． 解题贴士 运算顺序：先乘除，后加减；有括号先算括号内。 ▌对点练3-1 （25-26七年级上·浙江杭州·期中）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． ▌对点练3-2 （25-26七年级上·浙江杭州·期中）计算： (1) (2) (3) 题型 简便运算 ▌例4 （25-26七年级上·浙江绍兴·阶段检测）用简便方法计算． (1) (2) 解题贴士 乘除：凑整约分，负因数判符号；活用交换、结合、分配律简化计算 ▌对点练4-1 （25-26七年级上·浙江绍兴·阶段检测）阅读以下题目解答： 计算：． 分析：利用倒数的意义，先求出原式的倒数，再得到原式的值． 解：先求原式的倒数． 所以原式． 根据阅读材料提供的方法，完成下面的计算： ▌对点练4-2 （25-26七年级上·浙江温州·开学考试）计算： (1) (2) (3) (4) 题型 有理数四则运算的实际应用 ▌例5 （25-26七年级上·浙江绍兴·开学考试）甲、乙、丙三个人同时开始沿公园中的人造湖慢跑，乙、丙按顺时针跑，甲按逆时针跑，甲第一次遇到丙后过1分钟遇到乙，再过3分钟第二次遇到丙，已知丙的速度是甲的速度的，人造湖的周长是800米，求乙的速度是每分钟多少米？ 解题贴士 · 定正负：明确相反意义量的符号 · 列算式：根据题意套四则运算 · 简算求值，结合题意解释正负结果 ▌对点练5-1 （25-26七年级上·浙江杭州·期末）某商店出售一批水果，最初以每箱元的价格出售箱，后来每箱降价至元，又售出箱，剩下箱又以每箱再降价元出售． (1)用代数式表示这批水果共售多少元？ (2)如果，，，进这批水果共花去元，那么该商店赚了多少元？ ▌对点练5-2 （25-26七年级上·浙江杭州·期末）2025年动画电影《哪吒之魔童闹海》上映后，全国多个城市票房表现亮眼．下表为甲、乙、丙、丁四个城市该电影的票房，及与目标票房的对比： 城市 甲市 乙市 丙市 丁市 该城市电影票房（万元） 3500 b 4200 c 目标票房（万元） 5800 6500 4500 4800 票房差（万元） a d 注：票房差指该城市《哪吒之魔童闹海》票房与目标票房的差． (1)上表中______， ______． (2)已知四个城市的总票房为15600万元，电影票的价格为35元/张，求丁市的观影人数为多少万人？ 题型 根据点在数轴位置判断式子正负 ▌例6 （25-26七年级上·浙江台州·期末）实数a，b在数轴上对应的点的位置如图所示，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 解题贴士 · 右大左小，原点右为正、左为负； · 两数相加：绝对值大的数定符号； · 两数相减：右减左得正，左减右得负； · 乘除：同号正，异号负。 ▌对点练6-1 （25-26七年级上·浙江宁波·期中）如图，点表示的数分别为a，b，下列式子中，不正确的是（   ） A． B． C． D． ▌对点练6-2 （25-26七年级上·浙江杭州·期中）有理数a，b，c在数轴上对应的点的位置如图所示，则下列各式不正确的是（    ） A． B． C． D． 题型 数轴上的翻折 ▌例7 （25-26七年级上·浙江丽水·期末）已知在一条可以折叠的数轴上，B表示的数是4，如图①，以点C为折点，将此数轴向右折叠，得图②，点A落在点B的右边处，且． (1)若点C为原点，求点A表示的数； (2)若点A表示的数为，求线段的长． 解题贴士 翻折两点到折点距离相等，折点是两点中点。 · 中点公式：中点数 =(左点 + 右点)÷2 · 已知一点求另一点：2× 中点−已知数 ▌对点练7-1 （25-26七年级上·浙江宁波·期中）如图，一个点从数轴上的原点开始，先向左移动1个单位长度到达点，再向左移动3个单位长度到达点，然后再向右移动9个单位长度到达点．已知数轴上一点，当将数轴折叠，使得点与点重合时，点恰好与点重合，则点表示的数为_______． ▌对点练7-2 （25-26七年级上·浙江杭州·期中）数轴上点O为原点，点A表示2．现在将数轴折叠，使O与A重合．折叠后，点B与数轴上表示的点C重合，若点B表示的数是8，则C表示的数为________． 基础通关 1．（25-26七年级上·浙江绍兴·期中）计算下列算式的值，其中绝对值最小的是（  ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级上·浙江杭州·期末）若算式的运算结果为，则算式中的“”内应填入的运算符号是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26七年级上·浙江宁波·期末）如图，一把刻度尺放在数轴上，发现数轴上表示数和3的点分别与刻度尺上和的刻度线对应，则数轴上1个单位的长度是（    ）． A． B． C． D． 4．（24-25七年级上·浙江金华·阶段检测）一列“动车组”高速列车和一列普通列车的车身长分别为80米与100米，它们相向行驶在平行的轨道上，若坐在高速列车上的旅客看见普通列车驶过窗口的时间是6秒，则坐在普通列车上的旅客看见高速列车驶过窗口的时间是（　　） A．秒 B．秒 C．5秒 D．4秒 5．（25-26七年级上·浙江宁波·期中）区别于十进制，古巴比伦使用的是60进 制．这与他们独特的计数方式有关，如图：右手4根手指的12个指关节表示1~12，另一只手用五根手指表示12的1~5倍．如当古巴比伦人左手伸出1根手指，右手掐住第八指关节时，表示的数是．若当其左手伸出三根手指，右手大拇指掐中第3指关节时，表示的十进制数字是（    ） A．9 B．19 C．29 D．39 6．（25-26七年级上·浙江杭州·开学考试）如果a和b互为倒数，那么的值是______． 7．（25-26七年级上·浙江嘉兴·期中）有理数、、在数轴上的位置如图所示，下列结论正确的有______．（填编号） ①  ②  ③  ④ 8．（25-26七年级上·浙江杭州·阶段检测）现定义同级的两种运算“”“”：对于任意两个数，，，则的结果是________． 9．（25-26七年级上·浙江杭州·阶段检测）点，，在数轴上，点，表示的数分别是和，点在，之间，现以点为折叠点，将数轴向右对折．若点对折后对应的点为，并且点和点的距离为个单位长度，则点表示的数是________． 10．（25-26七年级上·浙江杭州·阶段检测）计算： (1) (2) (3) (4) 11．（25-26七年级上·浙江温州·期中）用简便方法计算： (1)； (2)． 12．（23-24七年级上·浙江绍兴·开学考试）递等式计算（能简便的用简便方法计算） (1) (2) (3) (4) 13．（25-26七年级上·浙江宁波·期末）近年来，我国的新能源汽车产销量大幅增加．王老师购置了一辆新能源纯电汽车，他连续7天记录了每天行驶的路程（如下表）．以为标准，多于的记为“”，不足的记为“”，刚好的记为“0”． 第一天 第二天 第三天 第四天 第五天 第六天 第七天 路程 0 (1)这7天里路程最多的一天比最少的一天多行驶__________． (2)若该新能源汽车每行驶耗电量15度，每度电为0.56元，求王老师这7天开新能源汽车的电费． 素养提升 14．（25-26七年级上·浙江·阶段检测）阅读下列材料： 在计算时，某班三位同学分别给出了如下思路： 思路1：用分别除以，，，再把所得结果相加． 思路2：先求出，，的和，再用除以这个和． 思路3：先算，再求所得结果的倒数． (1)上述三种思路中，不正确的是思路_____． (2)请选择一种正确的思路计算：． 15．（25-26七年级上·浙江嘉兴·期末）【问题呈现】 为缓解百姓停车压力，政府新建多个公用停车场、小嘉同学家所在小区附近也建有一个．该停车场收费标准的指示牌如图所示． 【应用体验】 今年国庆期间，小嘉邀请同学小兴一家到家里做客，小兴爸爸将车停在了该停车场，从进场停车到取车驶离，共经过了小时，则小兴爸爸共花费了停车费___________元． 【深入思考】 今年秋假期间，小嘉妈妈的好友小禾阿姨到访，她也将车停在了该停车场，已知小禾阿姨的停车时长为整数小时，她一共花了15元停车费，求小禾阿姨的停车时长． 16．（25-26七年级上·浙江湖州·阶段检测）阅读材料，回答问题． 类比推理是一种重要的推理方法，根据两种事物在某些特征上相似，得出它们在其他特征上也可能相似的结论．阅读感知：在异分母的分数的加减法中，往往先化作同分母，然后分子相加减，例如： ，我们将上述计算过程倒过来，得到，这一恒等变形过程在数学中叫做裂项．类似地，对于可以用裂项的方法变形为：．类比上述方法，解决以下问题． 【类比探究】（）计算：______； 【理解运用】（）类比裂项的方法，计算：； 【迁移应用】（）探究并计算：． 17．（25-26七年级上·浙江温州·阶段检测）计算： (1) (2) 18．（25-26七年级上·浙江·阶段检测）根据图中的数轴，解答下面的问题： (1)请你根据图中A，B两点的位置，分别写出它们所表示的有理数：点A表示 ，点B表示 ． (2)观察数轴，与点A的距离为4的点表示的数是 ． (3)若将数轴对折，使得点A与表示的点重合，则： ①点B与表示数______的点重合； ②若数轴上M，N两点之间的距离为点M在点N的左侧，且将数轴对折后M，N两点重合，求M，N两点表示的数． 迁移创新 19．（25-26七年级上·浙江金华·期中）规定一种新运算“”，，例如：，根据上面规定解答下题： (1)求的值； (2)新运算“”是否满足交换律，请说明理由． 20．（25-26七年级上·浙江金华·期末）研究新定义的有理数运算“☆”，并解答下列问题． 【观察运算】 ①；；；； ②；；；； ③；；；；． (1)【归纳法则】补全“☆”运算的运算法则： ①同号两数进行“☆”运算，结果为两数差的绝对值； ②异号两数进行“☆”运算，结果为_______； ③特别地，0和任何数进行“☆”运算，或任何数和0进行“☆”运算，结果为________． (2)【应用法则】计算：． (3)【拓展延伸】探究结合律是否成立？_______． A．成立     B．不成立 学科网（北京）股份有限公司1 / 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