专题05 有理数的加法与减法（4知识点+9大题型+4大拓展训练+过关测）-【暑假自学课】2025年新七年级数学暑假提升精品讲义（浙教版2024）

专题05 有理数的加法与减法 （4知识点+9大题型+4大拓展训练+过关测） 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材 学知识：教材精讲精析、全方位预习 练题型 强知识：9大核心考点精准练+4大拓展训练 第二步：记 串知识 识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测 稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点1：有理数加法法则 1. 同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加。 若则； 若则。 2.异号两数相加，绝对值相等时，和为0；绝对值不等时，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。 绝对值相等：若且，则； 绝对值不相等： 1 若且，则； 2 若且，则。 3.一个数与0相加，仍得这个数。 4.有理数加法运算步骤： （1）看：看两个加数是同号还是异号； （2）定：确定和的符号； （3）求：根据有理数加法法则求和. 【即时训练】 1．（2024七年级上·浙江·专题练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【答案】(1)5 (2) (3) (4) (5)0 (6) 【分析】本题考查了有理数的加法，在进行有理数加法运算时，首先判断两个加数的符号：是同号还是异号，是否有0．从而确定用那一条法则．在应用过程中，要牢记“先符号，后绝对值”． （1）根据有理数的加法法则计算即可求解． （2）根据有理数的加法法则计算即可求解． （3）根据有理数的加法法则计算即可求解． （4）根据有理数的加法法则计算即可求解． （5）根据有理数的加法法则计算即可求解． （6）根据有理数的加法法则计算即可求解． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：； （5）解：； （6）解：． 2．（2024七年级上·浙江·专题练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查有理数的加法，解题的关键是掌握有理数的加法法则． （1）根据同号两个数的加法法则计算即可； （2）根据异号两个数的加法法则计算即可； （3）零加任何数等于这个数本身； （4）互为相反数的两个数相加为零． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 3．（23-24七年级上·浙江湖州·阶段练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) 【分析】根据有理数加法运算法则进行计算即可． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式； （3）解：原式； （4）解：原式； （5）解：原式． 【点睛】本题主要考查了有理数加法运算，解题的关键是熟练掌握有理数加法运算法则，准确计算． 知识点2：有理数加法运算律 1. 有理数相加，两个数相加，交换加数的位置，和不变； 加法交换律：a＋b＝b＋a 2. 有理数相加，三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变. 加法交换律：（a＋b）＋c＝a＋（b＋c） 在有理数加法运算中，常利用有理数加法运算律先把正数和负数分开计算，各自求和后再相加. 3. 有理数加法中的一些计算技巧： （1） 相反数结合法：互为相反数的两个数先相加； （2） 同号结合法：符号相同的数先相加； （3） 同分母结合法：分母相同的数先相加； （4） 凑整法：几个数相加能够得到整数的先相加. 【即时训练】 4．（23-24七年级上·浙江杭州·阶段练习）计算：． 【答案】 【分析】利用加法交换律和结合律进行加法运算即可． 【详解】解： ． 【点睛】本题考查有理数的加法运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 5．（2023七年级上·浙教衢州·专题练习）计算下列各题： (1) (2) (3) 【答案】(1) (2) (3) 【分析】优先负数和负数相加，正数和正数相加，能凑整先凑整的原则进行简便运算即可． 【详解】（1） （2） （3） 【点睛】本题考查的是有理数的加法运算以及加法运算律，解题的关键是判断哪些数能凑整进行简便运算． 6．（23-24七年级上·浙江台州·阶段练习）（1）加法交换律： ， 例： ； （2）加法结合律：( )， 例：[ ]． 【答案】 【分析】（1）由有理数的加法交换律即可以得解； （2）由有理数的加法结合律即可得解． 【详解】解：（1）； ． 故答案为：；． （2）； ． 故答案为：；． 【点睛】本题主要考查了有理数的加法的交换律和结合律等知识点，解题时要熟练掌握运算律并准确计算是关键． 知识点3：有理数减法法则 减去一个数，等于加上这个数的相反数， 1. 较大的数－较小的数＝正数，即若，则； 2. 较小的数－较大的数＝负数，即若，则； 3. 相等的两个数相减等于0，即若，则； 4. 0减去任何数都等于这个数的相反数，任何数减去0仍等于这个数. 【即时训练】 7．（23-24七年级上·浙江杭州·期中）计算： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了有理数的减法计算： （1）根据有理数的减法法则进行计算即可； （2）先去括号，再根据有理数的减法法则进行计算即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 8．（24-25七年级上·浙江杭州·阶段练习）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2)2 【分析】本题考查有理数的加减运算，熟练掌握有理数的加减运算法则，正确的计算，是解题的关键： （1）根据减法法则进行计算即可； （2）根据加减法则进行计算即可． 【详解】（1）解：原式 （2）原式 9．（2024七年级上·浙江·专题练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)12 (2) (3) (4) 【分析】此题主要考查了有理数的减法，正确掌握相关运算法则是解题关键． （1）直接去括号，利用有理数的加减运算法则计算得出答案； （2）直接利用有理数的加减运算法则计算得出答案； （3）直接去括号，利用有理数的加减运算法则计算得出答案； （4）直接去括号，利用有理数的加减运算法则计算得出答案． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：． 知识点4：有理数加减法混合运算 1. 利用减法运算法则，将有理数加减混合运算转化为有理数加法运算； 2. 去掉括号和括号前的加号（有绝对值的要先去掉绝对值后再计算）； 3. 利用加法法则和加法运算律进行计算. 【即时训练】 10．（24-25七年级上·浙江杭州·期中）计算： (1)； (2)． 【答案】(1)12 (2)107.5 【分析】本题考查了有理数的加法混合运算，掌握有理数的加减混合运算法则是关键． （1）根据去括号法则，可变为，计算可得； （2）可变为，然后利用加法的结合律将两个加数相加． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 11．（24-25七年级上·浙江杭州·期中）计算： (1) (2) 【答案】(1)12 (2) 【分析】本题主要考查了有理数加减混合运算、绝对值化简，解题的关键是熟练掌握有理数加减混合运算顺序和运算法则． （1）利用有理数的加减法法则和绝对值化简计算即可． （2）利用有理数的加减法法则计算即可． 【详解】（1） ； （2）解： ． 12．（2024七年级上·浙江·专题练习）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了有理数的加减混合运算及运算律，熟练掌握运算律是解题的关键． （1）先把减法运算统一为加法运算，然后利用加法交换律、结合律进行简便计算即可； （2）先把减法运算统一为加法运算，然后利用加法交换律、结合律进行简便计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【题型1 有理数的加法运算】 1．根据有理数加法法则，计算过程正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了有理数的加法运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 根据有理数的加法运算法则计算，逐项判断即可． 【详解】解：； ，故A选项错误不符合题意； ，故B选项错误不符合题意； ，故C选项错误不符合题意； ，故D选项正确，符合题意； 故选：D． 2．计算的结果是（　　） A． B．7 C． D．13 【答案】C 【分析】本题主要考查了有理数的加法运算．根据有理数的加法运算法则解答即可． 【详解】解：． 故选：C 3．比大且比小的所有整数的和为 ． 【答案】 【分析】本题考查了有理数大小比较的方法及有理数的加法，正确把握整数的定义是解答本题的关键．根据整数的定义结合已知得出符合题意的所有整数，再求和即可得到答案． 【详解】解：比大且比小的所有整数为，，，0，1，2， 它们的和为， 故答案为：． 4．我国是历史上最早认识和使用负数的国家．数学家刘徽在“正负术”的注文中指出，可将算筹（小棍形状的记数工具）正放表示正数，斜放表示负数．根据刘徽的这种表示法，图1表示算式，则图2表示的算式为 ． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的加法，根据正放表示正数，斜放表示负数列式求解即可． 【详解】解：由图得，． 故答案为：． 5．计算 (1) (2) 【答案】(1)32 (2) 【分析】本题主要考查有理数的加法运算，熟练掌握有理数的加法运算是解题的关键； （1）根据有理数的加法法则可进行求解； （2）根据有理数的加法交换律和结合律可进行求解． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式． 【题型2 有理数加法中的符号问题】 6．如果两数相加的和小于每一个加数，那么下列判断正确的是（   ） A．这两个加数一定有一个数是0 B．这两个加数一定都是负数 C．这两个加数一正一负 D．这两个加数的符号不能确定 【答案】B 【分析】本题主要考查了有理数加法中的符号问题， 根据负数的特点结合有理数加法法则即可得出答案． 【详解】解∶只有两个负数相加和才小于这两个加数． 故选：B． 7．如果，那么，，三个数中（   ） A．有一个数必为 B．至少有一个负数 C．有且只有一个负数 D．至少有两个负数 【答案】B 【分析】根据有理数的加法计算法则求解即可． 【详解】解：∵， ∴，，三个数中必然会有负数，即，，三个数中至少有一个负数， 故选B． 【点睛】本题主要考查了有理数的加法计算，熟知相关计算法则是解题的关键． 8．将改写成省略加号的和的形式应为 ． 【答案】 【分析】根据如果括号前面是正号，直接去掉括号，括号内的数不变号，如果括号前面是负号，去掉括号，括号内的数变为原来的相反数，据此进行运算，即可得出答案． 【详解】， 故答案为：． 【点睛】本题考查了去括号法则，熟练掌握知识点是解题的关键． 9．用“”或“”填空： （1）如果，那么 0； （2）如果，那么 0； （3）如果，那么 0； （4）如果，那么 0． 【答案】 【分析】根据有理数的加法法则判断和的符号即可． 【详解】解：（1）同号两数相加，取相同的符号，两数都为正数，所以两数的和为正． 故答案为：； （2）同号两数相加，取相同的符号，两数都为负数，所以两数的和为负． 故答案为：； （3）异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，由于，所以两数的和取a的符号，即两数和的符号为正 故答案为：； （4）异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，由于，所以两数的和取b的符号，即两数和的符号为负． 故答案为：； 【点睛】本题考查有理数加法的符号法则，解决本题的关键是熟悉加法法则，并正确判断绝对值的大小． 10．计算 (1)； (2)． 【答案】(1)-10 (2)-10 【分析】（1）先去括号，再添括号，将正数和负数分开计算，再作减法即可； （2）将小数部分相同的或能凑整的放在一起计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【点睛】本题主要考查了有理数的加减混合运算．计算含小数的式子时，可先观察，可将小数部分相同或能凑整的放在一起计算，这样能简化计算过程，避免出错．括号前是“＋”，去括号后，括号里的各项都不改变符号；括号前是“−”，去括号后，括号里的各项都改变符号．添括号时，若括号前是“＋”，添括号后，括号里的各项都不改变符号；若括号前是“−”，添括号后，括号里的各项都改变符号． 【题型3 有理数加法运算律】 11．下列交换加数位置的变形，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查加法交换律，根据加法交换律逐一进行判断即可． 【详解】解：A、，原选项变形错误，不符合题意； B、，原选项变形错误，不符合题意； C、，原选项变形正确，符合题意； D、，原选项变形错误，不符合题意； 故选C． 12．这个运算中运用了（   ） A．加法的交换律 B．加法的结合律 C．加法的交换律和结合律 D．以上均不对 【答案】C 【分析】本题考查了有理数的加法，根据有理数加法的结合律和交换律，即可解答． 【详解】解：这个运算中运用了加法的结合律和交换律， 故选：C． 13．计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了有理数加法，掌握有理数加法交换律和结合律是解题的关键． 先根据有理数的加法运算律，把互为相反数结合，再计算． 【详解】解：原式 ． 故答案为： 14．计算： (1)； (2)＋＋＋＋． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查有理数加法运算律及加法运算法则，熟练掌握有理数加法运算法则是解决问题的关键． （1）先将分数化为小数，再由加法结合律恒等变形，最后由有理数的加法运算法则求解即可得到答案； （2）先由加法交换律与结合律恒等变形，再由有理数的加法运算法则求解即可得到答案． 【详解】（1）解： ； （2）解：＋＋＋＋ ＋＋＋＋ ． 15．如图是老师写在黑板上的一道例题． 计算： ……步骤① ……步骤② (1)步骤①的运算依据是________，步骤②的运算依据是________；（以上两空均填“加法交换律”或“加法结合律”） (2)请仿照例题的计算方法，将算式“”进行简便计算． 【答案】(1)加法的交换律；加法结合律 (2) 【分析】本题考查的是有理数的加法运算，熟练的使用运算律是解本题的关键； （1）根据加法的交换律与结合律可得答案； （2）先使用交换律把原式化为：，再利用结合律进行计算即可． 【详解】（1）解：     利用的是加法的交换律，   利用加法结合律； （2）解： ； 【题型4 有理数加法在生活中的应用】 16．某工地记录了仓库水泥的进货和出货数量，某天进货2吨，出货3吨，记进货为正，出货为负，下列算式能表示当天库存变化的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了有理数加法的实际应用，进货为正，出货为负，那么进货2吨为吨，出货3吨为吨，据此把二者相加即可得到答案． 【详解】解；由题意得，当天库存变化的是， 故选：A． 17．手机移动支付给生活带来便捷．如图是小陈某天微信账单的全部收支明细（正数表示收入，负数表示支出，单位：元），小陈当天微信收支的最终结果是（    ） A．收入36元 B．支出26元 C．收入10元 D．支出10元 【答案】C 【分析】本题考查正负数的意义，有理数加法的应用，掌握有理数的加法运算法则是解题关键．线列出算式再根据有理数的加法法则计算即可． 【详解】解：（元）， 即小陈当天微信收支的最终结果是收入10元． 故选：C． 18．为了备战校园足球联赛，一名守门员练习折返跑，从球门线出发，向前记作正数，返回记作负数，记录（单位：米）为：，，，，，，，守门员最后 （选填“回到了”或“没回到”）球门线的位置． 【答案】回到了 【分析】本题考查正负数的意义，有理数加法的实际应用．理解并掌握正负数的意义，熟练掌握有理数的加法法则，是解题的关键．将所有数据相加，根据和的情况进行判断即可． 【详解】由题意得， ， ∴回到了球门线的位置． 故答案为：回到了． 19．在一个趣味冒险游戏中，玩家从一个特定的起点出发．游戏规定正东方向为正方向．一个玩家首先朝着正东方向前进了米，随后又改变方向走了米到达终点．大家都在思考，终点在起点的什么方向多少米呢？这个位置应该怎么表示？还有玩家在这个过程中一共走过的路程是多少米？ 【答案】终点在起点向西20米处，表示为米，一共走了100米 【分析】本题考查有理数加、减法的应用，正负数的实际应用，根据题意列式计算即可解答． 【详解】解：（米） 则终点在起点向西20米处，表示为米． （米） 答：终点在起点向西20米处，表示为米，一共走了100米． 20．小华本周体育锻炼时长的变化情况如下表（正数表示锻炼时长比前一天增加，负数表示锻炼时长比前一天减少）． 星期 一 二 三 四 五 六 日 时长变化 0 (1)的意思是______； (2)本周日小华的体育锻炼时长与上周日相比情况如何？ 【答案】(1)星期五小华的体育锻炼时长与前一天相比没有变化； (2)本周日小华的体育锻炼时长与上周日相比增加． 【分析】本题考查了有理数的加减法，掌握有理数的加减法则是解题的关键． 只要求出本周7天体育锻炼时长变化的和即可． 【详解】（1）解：的意思是星期五小华的体育锻炼时长与前一天相比没有变化； 故答案为：星期五小华的体育锻炼时长与前一天相比没有变化； （2）解：计算一周时长变化总和： 结果为正，说明本周日小华的体育锻炼时长与上周日相比增加了． 【题型5 有理数的减法运算】 21．计算： ；    ； ； ；        ；      ； ； ； ； ． 【答案】；；；；；；；；； 【分析】本题考查了有理数的加减运算，运用有理数的加法法则和减法法则进行计算即可求解． 【详解】解：； ； ； ； ； ； ； ； ； ， 故答案为：；；；；；；；；；． 22．计算：． 【答案】6 【分析】本题考查有理数的减法运算，根据运算法则进行计算即可． 【详解】解：原式 ． 23．已知点在数轴上对应的有理数分别为，，则点的距离为 【答案】 【分析】本题考查了两点之间的距离，熟练掌握两点之间的距离公式是解题的关键． 利用两点之间的距离公式计算即可． 【详解】解：点在数轴上对应的有理数分别为，， 点的距离为， 故答案为：． 24．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了有理数的减法运算，直接利用有理数的减法运算法则进行计算即可，能够正确计算是解题的关键． 【详解】解：（1）原式； （2）原式； （3）原式； （4）原式． 25．计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) 【分析】本题考查了有理数的减法，熟练掌握减法计算法则是解题的关键． （1）根据有理数的减法法则计算即可； （2）根据有理数的减法法则计算即可； （3）根据有理数的减法法则计算即可； （4）根据有理数的减法法则计算即可； （5）根据有理数的减法法则计算即可． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：； （5）解：． 【题型6 有理数减法的实际应用】 26．某天14：00，我国五个城市的气温如表，其中与济南气温最接近的城市是（   ） 城市 哈尔滨 北京 广州 济南 上海 气温/℃ 13 5 A．哈尔滨 B．北京 C．广州 D．上海 【答案】B 【分析】本题考查有理数的大小比较，数轴上两点间的距离． 将各个城市的温度从小到大排列，再比较与济南接近的两个城市，即可解答． 【详解】解：∵，且， 即， ∴北京与济南气温最接近． 故选B． 27．武汉市年的最高温度是月日的，最低温度是月日的．则年武汉市全年温度的最大相差 ． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的减法法则，熟练掌握有理数的减法法则是解答本题的关键． 用最高温度减去最低温度即可． 【详解】解：， 故答案为：． 28．六年级一名男生进行一分钟跳绳锻炼．下面是他对自己一周一分钟跳绳个数的统计．他将个记为，超出个的部分用正数表示，不足个的部分用负数表示．《国家学生体质健康标准》规定：六年级男生一分钟跳绳个数在个以上（含个）记为优秀．该同学这一周有 次一分钟跳绳成绩为优秀． 星期一 星期二 星期三 星期四 星期五 星期六 星期日 【答案】5 【分析】本题考查了正数、负数的实际应用，解题关键是根据正数、负数的意义表示出实际跳绳个数． 先将该男生一周的跳绳个数用实际跳绳个数表示出来，再与个进行比较，看是否记为优秀，将优秀次数相加即可． 【详解】解：按照该同学对自己跳绳个数的统计方法，可知： 星期一跳了（个）， 星期二跳了（个）， 星期三跳了（个）， 星期四跳了（个）， 星期五跳了（个）， 星期六跳了（个）， 星期日跳了（个）， 因为，，，，， 所以该同学这一周有次一分钟跳绳成绩为优秀， 故答案为：． 29．财商教育有助于培养孩子的独立生活能力和积极向上的价值观、社会责任感．小昆在妈妈的协助下，通过售卖废报纸、饮料瓶，转卖二手书，义卖闲置物品等方式获得一定收入，并用于购买学习用具和一些日常所需品．为了更好的理财，他每周做一次收支记录，其中一个月的收入和支出记录如下（收入用“”，支出用“”，单位：元）： ，，，，，，，． (1)小昆这个月是超支了还是有结余？如果超支，超支了多少？如果结余，结余了多少？ (2)若规定：收入元，支出元，经手金额为元，则小昆这个月经手总金额离元超过或不足多少元？ 【答案】(1)小昆这个月有结余，结余了元； (2)不足元 【分析】（） 把各数相加，求出和，再根据正负数的意义即可判断求解； （）求出各数绝对值的和，再利用有理数的减法即可判断求解； 本题考查了有理数加法和减法的实际应用，正负数的意义的实际应用，绝对值的意义，根据题意正确列出算式是解题的关键． 【详解】（1）解：， 答：小昆这个月有结余，结余了元； （2）解：， ∵， ∴小昆这个月经手总金额离元不足元． 30．某学生的储蓄账户一周内资金（单位：元）变动情况（“”表示存入，“”表示取出）如下：，，，，，，． (1)经过这7天后，账户里的资金是增多了还是减少了？增多或减少了多少元？ (2)经过这7天后，账户主人查看发现账户里还存有800元，则7天前账户里原有资金多少元？ 【答案】(1)账户里的资金是减少了，减少了11元 (2)7天前账户里原有资金为811元 【分析】本题考查有了正数和负数以及有理数的混合运算，正确列出算式并掌握相关运算法则是解答本题的关键． （1）求出这7天账户里的资金和，根据结果的符号和绝对值进行判断即可； （2）根据（1）的结果的意义，可列算式计算． 【详解】（1）解： （元）； 答：账户里的资金是减少了，减少了11元； （2）解：由题意得： （元）； 答：7天前账户里原有资金为811元 【题型7 有理数的加减混合运算】 31．计算： (1) ； (2)． (3)， (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查了有理数的加减法计算，熟知相关计算法则是解题的关键． （1）根据有理数加法计算法则求解即可； （2）根据有理数减法计算法则求解即可； （3）根据有理数加减法计算法则求解即可； （4）根据有理数加减法计算法则求解即可． 【详解】（1）解；； （2）解：； （3）解： ； （4）解： ． 32．计算：． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的加减运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 根据有理数的加减运算法则计算即可． 【详解】解： ． 33．计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查了有理数加减混合运算，熟练掌握有理数加减运算法则是解题的关键；根据有理数的加减混合运算法则进行计算即可． 【详解】解： ． 34．计算： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是加减混合运算； （1）先把互为相反数的两数相加，再计算即可； （2）先计算括号内的运算，再进一步计算加减运算即可. 【详解】（1）解： ； （2）解： ； 35．计算： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2) 【分析】本题考查了有理数的加减混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键； （1）根据有理数的加减混合运算法则计算即可； （2）根据有理数的加减混合运算法则计算即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 【题型8 有理数加减中的简便运算】 36．学习情境·过程性纠错请指出下面计算错在哪一步（   ） ① ② ③ ④ A．① B．② C．③ D．④ 【答案】B 【分析】本题主要考查了有理数的加减法，根据有理数的减法运算法则判断出②错误，然后进行计算即可得解，熟练掌握减去一个数等于加上这个数的相反数是解决此题的关键． 【详解】 ① ② ③ ④ ∴错在②的第二个括号内的运算， 故选：B． 37．下面各题，怎样简便就怎样算 (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查了有理数的加减计算，熟知有理数的加减计算法则是解题的关键． （1）把原式变形为，再计算加减法即可； （2）先把除法变成分式形式，再先计算两个分数的加法，最后计算减法即可； （3）先去括号，然后变形得到，再计算加减法即可； （4）把原式变形为，再计算加法即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： （4）解： ． 38．计算：． 【答案】10 【分析】本题考查了有理数加减运算的简便计算，利用交换律和结合律是解题的关键． 利用交换律和结合律进行有理数的加减法计算． 【详解】解：原式 ． 39．阅读计算的方法，再用这种方法解答下列各题． 解：原式 ． (1)计算：； (2)计算：． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了有理数加减混合运算，熟练掌握有理数加法运算律，是解题的关键． （1）根据题干提供的方法进行计算即可； （2）用提供提供的方法进行计算即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 40．计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查了有理数的加法运算；把整数与整数部分、分数与分数部分分别加在一起，然后把每个分数分别拆成两个分数相减的形式，通过分数的加减，相互抵消，求出结果． 【详解】解： ． 【题型9 有理数加减混合运算的应用】 41．小王在网店上销售文具，计划每天销售100千克，但实际每天销售量与计划销售量相比有增减，超过计划量记为正，不足计划量记为负，下表是小王第一周文具的销售情况： 星期 一 二 三 四 五 六 日 文具销售超过或不足计划量情况（单位：千克） (1)小王第一周销售文具最多的一天比最少的一天多销售多少千克？ (2)小王第一周实际销售文具的总量是多少千克？ (3)若文具售价为8元/千克，包装及快递费为3元/千克，则小王这一周文具销售收入共多少元？ 【答案】(1)小王第一周销售文具最多的一天比最少的一天多销售20千克 (2)小王第一周实际销售文具的总量是718千克 (3)小王这一周文具销售收入共3590元 【分析】本题考查了正负数的实际应用，涉及了有理数的混合运算，注意计算的准确性． （1）用周六文具的销量减去周五文具的销量即可； （2）计算即可求解； （3）收入=（售价－运费）×总量，据此即可求解． 【详解】（1）解：根据表格可知，实际每天销售量最多超过13千克，实际每天销售量最少低7千克， 所以（千克）， 答：小王第一周销售文具最多的一天比最少的一天多销售20千克． （2）解：小王第一周实际销售文具的总量： （千克）， 答：小王第一周实际销售文具的总量是718千克． （3）解：小王这一周文具销售收入共： （元）， 答：小王这一周文具销售收入共3590元． 42．某工艺厂计划一周生产工艺品2100个，平均每天生产300个，但实际每天生产量与计划相比有出入．下表是某周的生产情况（超产记为正、减产记为负）： 星期 一 二 三 四 五 六 日 增减（单位：个） (1)写出该厂星期一生产工艺品的数量是______；本周产量最少的一天生产工艺品的数量是______； (2)本周产量最多的一天比最少的一天多生产多少个工艺品？ (3)请求出该工艺厂在本周实际生产工艺品的数量； 【答案】(1)305个；290个 (2)26个 (3)2110个 【分析】本题主要考查正负数的应用，掌握相反数与实际问题结合的运用，有理数的加减法等知识是解题的关键． （1）根据正负数与实际运用的意义即可求解； （2）分别找出产量最多的一天，产量最少的一天，由此即可求解； （3）计算出本周的实际产量，由此即可求解． 【详解】（1）解：平均每天生产300个，超产记为正，减产记为负， ∴该厂星期一生产工艺品的数量为（个）， 本周产量最少的一天生产工艺品的数量是（个） 故答案为：305个；290个； （2）解：根据题意可得，周五的产量最少，比计划产量少10（个），周六的产量最多，比计划产量多16（个）， （个） ∴产量中最多的一天比最少的一天多26个； （3）解：∵（个）， ∴超额完成任务，比计划多生产10个，即本周总的生产了个． 43．元旦放假期间，小湖与同学相约外出游玩．已知他当日微信钱包的初始余额为10元，当日微信钱包的账单如表所示，请你解决如下问题：                        表 交易 金额（元） 微信红包—来自妈妈 手机充值—中国移动 转账—来自小华 美团支付 滴滴出行支付 (1)账单中支出费用最大的交易是______________； (2)求小湖当日的微信钱包余额是多少？ 【答案】(1)美团支付 (2)143元 【分析】本题考查了正数和负数，有理数的加减运算，熟练掌握相反意义的量用正数和负数表示是解题的关键； （1）根据图中数据即可求解； （2）将图中得数据相加即可求解； 【详解】（1）解：由图可得，账单中支出费用最大的交易是美团支付155元； （2）解：（元） 答：小湖的当日的微信红包余额是143元． 44．足球比赛中，根据场上攻守形势，守门员会在门前来回跑动，如果以球门线为基准，向前跑记作正数，向后跑则记作负数，一段时间内，某守门员的跑动情况记录如下（单位：米）：，，，，，，，，（假定开始计时时，守门员正好在球门线上）． (1)守门员最后是否回到球门线上？ (2)守门员离球门线的最远距离达多少米？ (3)如果守门员离开球门线的距离超过10米（不包括10米），则对方球员挑射极可能造成破门．问：在这一时间段内，对方球员有几次挑射破门的机会？简述理由． 【答案】(1)守门员最后没有回到球门线上 (2)守门员离球门线的最远距离为35米 (3)对方球员有6次挑射破门的机会，理由见解析 【分析】本题考查正负数的实际应用，有理数加减法的实际应用，有理数大小比较的实际应用．理解题意，理解本题中正负数的意义是解题关键． （1）将记录的数字相加，即可作出判断； （2）求出每次离球门的距离，判断即可； （3）根据题意，结合（2）找出守门员离开球门线的距离超过的数据即可． 【详解】（1）解：（米）. 答：守门员最后没有回到球门线上； （2）解：第一次跑距离球门线10米， 第二次跑距离球门线（米）， 第三次跑距离球门线（米）， 第四次跑距离球门线（米）， 第五次跑距离球门线（米）， 第六次跑距离球门线（米）， 第七次跑距离球门线（米）， 第八次跑距离球门线（米）， 第九次跑距离球门线（米）， 答：守门员离球门线的最远距离为35米． （3）解：对方球员有6次挑射破门的机会．理由如下： 由（2）可知守门员每次离球门线的距离分别为10米，8米，18米，23米，35米，29米，20米，24米，10米，则符合题意的有18米，23米，35米，29米，20米，24米， 故对方球员有6次挑射破门的机会． 45．滴滴出行为人们带来了方便．某天上午，滴滴司机小李的运营路线可以看作是在东西走向的大道上来回行驶．若规定向东为正方向，则行车记录情况（单位：km）如下： ，，，，，，． (1)当司机小李将最后一名乘客送到目的地时，小李距离出车地点多少千米？ (2)若平均运营额为3.5元/km，平均成本为1.5元/km，则这天上午小李盈利多少元？[盈利＝（平均运营额－平均成本）×行驶路程] 【答案】(1)10 (2) 【分析】本题主要考查了正负数的实际应用，有理数乘法和有理数加减法的实际应用： （1）把七次记录的结果相加，所得结果的绝对值即为答案； （2）先求出总路程，再用总路程乘以每千米的盈利即可得到答案． 【详解】（1） （千米） ∴司机小李将最后一名乘客送到目的地时，小李与出车地点的距离是10千米； （2） （千米） （元） ∴这天上午小李盈利元． 【拓展训练一 有理数加减法与幻方问题】 46．数学兴趣小组在幻方游戏的基础上创新出了“幻圆”游戏．游戏要求将这8个数分别填入如图所示的幻圆的8个空圈中，使横、纵以及内外两圈上的4个数字之和都相等．某同学已完成了部分填空，则的值不可能的是（   ） A． B． C． D．3 【答案】D 【分析】本题考查了有理数的加法，掌握有理数的加法是解题的关键． 设小圈上的数为和，大圈上的数为，根据，横，竖以及内外两圈上的4个数字之和都相等，得出两个圈的和是2，横，竖的和也是2，由此进行分析即可． 【详解】解：设小圈上的数为和，大圈上的数为， ∵，横，竖以及内外两圈上的4个数字之和都相等， ∴两个圈的和是2，横，竖的和也是2， ， 得， ， ∴和为和和为和6；或和为和和为和4， 或6或或4， 或或或， ∴不可能为3， 故选：D． 47．幻方，最早源于我国，古人称之为纵横图，如图所示的幻方中，各行、各列及各条对角线上的三个数之和都相等，则图中“”代表的数字是 ． 5 7 【答案】1 【分析】本题考查有理数的运算，根据题意，得到，进行求解即可． 【详解】解：由题意得，， ∴； 故答案为：1． 48．对幻方的研究体现了中国古人的智慧，如图①是一个幻方的图案，其中9个格中的点数分别为1，2，3，4，5，6，7，8，9．每一横行、每一竖列、每一斜对角线上的点数的和都是15．如图②是一个没有填完整的幻方，如果它处于同一横行、同一竖列、同一斜对角线上的3个数的和都相等，那么正中间的方格中的数字为 ，方格中所有数字的和为 ． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的加法运算，根据九宫格特点“同一横行、同一竖列、同一斜对角线上的3个数的和都相等”列数等式解题即可． 【详解】解：如图所示， 则 ∴ 解得：， ∴正中间的方格中的数字为 如图所示， ∵， ∴ ∴中间一行的和为 ∴所有数字的和为 故答案为：，． 49．课本再现：填幻方 有人建议向火星发射如图1所示的图案，它叫做幻方，其中9个格中的点数分别是1，2，3，4，5，6，7，8，9．每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的点数的和都相同．如果火星上有智慧生物，那么他们可以从这种“数学语言”了解到地球上也有智能生物（人）． （1）如图1，每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的点数的和都是 ； （2）如图2，在一个由6个圆圈组成的三角形里，把到这6个连续整数分别填入圆圈中，要求三角形的每条边上的三个数的和都相等，请直接写出的最大值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的加法的应用，理解题意是解题的关键． （1）根据图中数据计算即可作答； （2）根据三角形的每条边上的三个数的和S都相等，且和最大，把到这个数较大的三个数放在三个顶点处即可求解； 【详解】解：（1）任取两组数据，由图可知，， 故答案为：； （2）将填入三角形的三个顶点处， 与之间填， 与之间填， 与之间填， 如图， 则三角形的每条边上的三个数的和都相等，且和最大， 此时，， ∴的最大值为， 故答案为：． 50．据说夏禹治水时，在黄河支流洛水中浮现出一只大乌龟，背上有一个很奇怪的图形，古人认为是一种祥瑞，预示着洪水将被夏禹王彻底制服．后人称之为“洛书”（如图1所示），即现在的三阶幻方． (1)请将1～9这九个数按照“洛书”表达的意思填在三行三列的数表中（图2），使每行、每列、每条对角线上的三个数之和都相等． (2)将，，0，1，2，3，4，5，6填入到图3的方格中，使得每行、每列、斜对角的三个数之和相等． (3)图4是一个不完整的幻方，请将你认为正确的7个整数填入表格中，使得每行、每列、斜对角的三个数之和相等． (4)请将1-16剩余数字填入到图5的表格中，使得每行、每列、斜对角的四个数之和相等，构成四阶幻方． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 (4)见解析 【分析】（1）由图直接填表即可； （2）这批数据是1-9的数据减去3得到，由此可填入表格； （3）可先确定和为24，则可得出中间数为8，从而可逐步求出其它格的数，即可求解； （4）正向，从左往右，位于对角线上的数字就写上去．从左往右数，1、2、3、4，其中 1 在对角线上， 4 也在对角线上，把它们写上去．继续数，5、6、7、8，其中 6 和 7 也在对角线上，把它们写上去．9、10、11、12，其中的 10 和 11 也在对角线上，写上去．再继续数，13、14、15、16，其中的 13 和 16 也在对角线上，把它们写上去．剩下的数字就反向填写，从右往左数，剩下的空格数到几就填上几．方法和刚才的一样，只是反向操作．1、2、3、4，其中 2 和 3 有位置，填上去．继续数，5、6、7、8，其中的 5 和 8 有空位可以填上去．继续，9、10、11、12，其中 9 和 12 有空位，填上去．继续数，13、14、15、16，其中 14 和 15 有空位，可以填上去．这样，每列、每行、对角线的四个数字加起来的和都是 34 ．这样，这道题就完成了． 【详解】（1）解：如表所示， 4 9 2 3 5 7 8 1 6 （2）解：如表所示， 1 6 0 2 4 5 3 （答案不唯一） （3）解：如表所示， 9 13 2 1 8 15 14 3 7 （答案不唯一） （4）解：如表所示， 1 15 14 4 12 6 7 9 8 10 11 5 13 3 2 16 （答案不唯一） 【点睛】本题考查了有理数加法，熟知三阶幻方与四阶幻方的填法是解题的关键． 【拓展训练二 有理数加减混合运算的综合】 51．计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) 【分析】（1）根据有理数加减混合运算法则计算即可； （2）先将带分数拆成整数和分数两部分，然后利用加法的交换律和结合律，整数和整数相结合，同分母分数相结合，进行计算即可． （3）将带分数转化为假分数再进行有理数加减乘除运算即可； （4）乘方后，计算小括号部分，再运算乘除即可； （5）将带分数转化为假分数再进行有理数乘除运算即可； （6）先计算前两项，再与后一项运算即可． 本题考查了有理数的混合运算，熟练掌握分数与小数的转化是关键． 【详解】（1） ； （2） ； （3） ； （4） ； （5） ； （6） ． 52．阅读理解下题的计算方法，并解决问题： 计算：． 解：原式 ． 上面的方法叫作拆项法，按此方法计算： ． 【答案】 【分析】本题考查有理数加法运算，理解阅材料内容中的做拆项法，按照拆项法应用有理数的混合运算计算即可． 【详解】解：原式 ． 53．【信息提取】 在有些情况下，不需要计算出结果也能把绝对值符号去掉．例如：，，，． 【初步体验】 （1）根据上面的规律，把下列各式写成去掉绝对值符号的形式（不要计算出结果）： ①________； ②________． 【拓广应用】 （2）计算：． 【答案】（1）①；②；（2） 【分析】本题主要考查了有理数的加减混合运算和绝对值的性质，解题关键是熟练掌握绝对值的性质和有理数的加减法则． （1）①根据负数的绝对值是其相反数可得答案；②根据负数的绝对值是其相反数可得答案； （2）根据绝对值的性质化简后计算可得答案． 【详解】解：（1）由题目规律可得：负数的绝对值是其相反数，正数的绝对值等于本身； ①； ②； （2） ． 54．计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3)885 【分析】本题考查了有理数的混合运算； （1）将带分数拆分为整数和真分数的和，再分别相加即可求解； （2）裂项计算即可求解； （3）把原式记为①，把①式括号内的数倒序后与①式相加，进而除以2，即可求解． 【详解】（1）解：原式 ； （2）原式 ； （3）把记为①， 把①式括号内的数倒序后， 得②， ，得， 所以原式． 55．（1）计算下列各式，将结果直接写在横线上： __________，__________； __________，__________； __________，__________ （2）将（1）中每行计算的结果进行比较，利用你发现的规律计算： 【答案】（1），（2） 【分析】此题考查的是绝对值及有理数的减法，掌握绝对值性质及有理数减法法则是解决此题关键． （1）利用有理数的减法法则和绝对值的意义运算即可； （2）利用（1）中的结论对绝对值进行化简运算即可． 【详解】解：（1）解：，， ，， ，， 故答案为：； （2） ． 【拓展训练三 有理数加减法的实际应用综合】 56．为纪念红军长征胜利88周年，特技飞行队在名胜风景旅游区特技表演，其中一架飞机起飞后的高度变化如表： 高度变化 记作 上升 下降 上升 下降 (1)此时这架飞机比起飞点高了多少千米？ (2)如果飞机每上升或下降1千米需消耗2升燃油，那么这架飞机在这4个动作表演过程中，一共消耗了多少升燃油？ (3)如果飞机做特技表演时，有4个规定动作，起飞后高度变化如下：上升千米，下降千米，再上升千米．若要使飞机最终比起飞点高出1千米，问第4个动作是上升还是下降，上升或下降多少千米？ 【答案】(1) (2)升 (3)下降 【分析】本题考查了有理数的四则混合运算的实际应用，熟练掌握运算法则是解本题的关键． （1）求得三个数的和，根据结果的符号和绝对值即可判断位置； （2）求得三个数的绝对值的和，乘以2即可求解； （3）计算，根据计算结果即可确定上升或下降，以及上升与下降的距离． 【详解】（1）解：； 答：此时这架飞机比起飞点高了1km； （2）解： （升） 答：一共消耗了升燃油； （3）解： ∵要使飞机最终比起飞点高出1千米， ∴第四个动作是下降，下降的距离为 57．如图，在一张纸上画出一条水平的数轴，在数轴上放置一枚黑棋、一枚白棋，黑棋和白棋在数轴上的位置对应的数分别是-5，5，甲、乙两人做沿数轴移动棋子的游戏（甲移动黑棋，乙移动白棋）． 甲、乙两人同时出示“石头、剪子、布”三种手势中的一种，再根据获胜或平局的结果移动棋子（石头胜剪子，剪子胜布，布胜石头），移动规则如下：①若甲赢，则甲将黑棋向右移动2个单位长度，同时乙将白棋向右移动1个单位长度；②若乙赢，则乙将白棋向左移动2个单位长度，同时甲将黑棋向左移动1个单位长度：③若平局，则甲将黑棋向右移动1个单位长度，同时乙将白棋向左移动1个单位长度．前四局的部分手势情况如下表： 局次 第一局 第二局 第三局 第四局 甲的手势 石头 剪子 布 布 乙的手势 石头 布 石头 (1)从起始位置开始，第一局后黑棋和白棋在数轴上的位置所对应的数的和为_______； (2)规定若每局结束后黑棋的位置离原点更近，则甲获胜，若白棋的位置离原点更近，则乙获胜，那么第三局结束时获胜的是_______（填“甲”或“乙”）： (3)若第四结束后，在数轴上黑棋和白棋之间的距离最小，则乙第四局的手势是（填“石头”或“剪子”或“布”）； 【答案】(1)0 (2)甲 (3)布 【分析】本题考查了数轴上表示有理数以及数轴上动点问题，有理数的加减的应用； （1）根据移动规则，向右移动则运用加法，向左移动则运用减法，计算即可求解； （2）根据移动规则，向右移动则运用加法，向左移动则运用减法，计算第二、三局，黑棋对应点数即可求解； （3）根据游戏规则可得黑棋和白棋相向运动，即可求解． 【详解】（1）解：∵黑棋和白棋在数轴上的位置所对应的数分别是，5，第一局是平局， ∴， ∴第一局后黑棋和白棋在数轴上的位置所对应的数的和为 故答案为：． （2）∵黑棋和白棋在数轴上的位置所对应的数分别是，4，则第二局是甲赢， ∴，， ∵黑棋和白棋在数轴上的位置所对应的数分别是，5，则第三局是甲赢， 故答案为：甲． （3）解：由（2）可得， ∵黑棋和白棋在数轴上的位置所对应的数分别是，5，第三局是甲赢， ∴， 第三局结束时黑棋和白棋在数轴上的位置所对应的数分别是， ∵第四结束后，在数轴上黑棋和白棋之间的距离最小， 根据游戏规则可得黑棋和白棋相向运动，即甲将黑棋向右移动1个单位长度，同时乙将白棋向左移动1个单位长度 ∴乙第四局的手势是布 58．出租车司机小诚一天下午从公司出发，在一条东西方向的大街上营运．规定向东为正，向西为负，行车里程（单位：千米）依先后次序记录如下：-1，+9，-5，+4，-8． (1)司机将最后一名乘客送到目的地时，出租车在公司的什么方向，距离公司多少千米？ (2)若出租车每千米耗油0.2升，油价为每升6元．求这天下午运营过程中，共需要多少油费？ (3)在第（2）问的条件下，若该出租车的计价标准为每趟乘车行驶路程不超过3千米收费8元，超过3千米的部分每千米加收2元，该司机这天下午运营是盈利还是亏损？盈利或亏损了多少元？（运营收入乘客所给的总车费油费） 【答案】(1)出租车司机在公司的西方，距离公司1千米 (2)共需32.4元油费 (3)该司机这天下午运营是盈利，盈利了35.6元 【分析】本题考查了正负数的实际应用，以及有理数的运算在实际问题中的应用．注意计算的准确性． （1）计算即可求解； （2）根据计算出总的里程数，乘以每千米耗油及油价即可求解； （3）根据收费标准计算出乘客所给的总车费即可求解； 【详解】（1）解：（千米）． 答：出租车司机在公司的西方，距离公司1千米． （2）解：（千米）， （元）． 答：共需32.4元油费． （3）解：根据题意，因为，所以第一单营业额元， 因为，所以第二单营业额元， 因为，所以第三单营业额元， 因为，所以第四单营业额元， 因为，所以第五单营业额元， 总营业额为元， 所以总收入元． 该司机这天下午运营是盈利，盈利了35.6元． 59．小茹利用计算机软件绘制了一条数轴，数轴上有A，B，C，D四点，其中点A在点B的左侧，点B在原点处，点C，D分别与5和8对应，A，B之间的距离与C，D之间的距离相等．    (1)点A表示的数为________． (2)小茹利用软件制作了一只电子蟋蟀，蟋蟀从点A处开始第一次沿数轴向右跳动1个单位长度，第二次沿数轴向左跳动3个单位长度，第三次沿数轴向右跳动5个单位长度，第四次沿数轴向左跳动7个单位长度，……，且按此规律进行跳动． ①求电子蟋蟀跳动5次后落点所对应的数轴上的数，并直接写出第几次跳动后落在原点处． ②求出电子蟋蟀跳动100次后的落点与点C之间的距离． 【答案】(1) (2)①5次后落点所对应的数轴上的数为2，第3次跳动后落在原点处；②108 【分析】本题考查数轴上两点间距离、数轴上的动点问题，清楚电子蟋蟀的运动规律是解题的关键． （1）先计算出C，D之间的距离，再根据点B表示的数及点A与点B的相对位置，即可求解； （2）①电子蟋蟀从点A处开始，奇数次时向右跳，偶数次时向左跳，第n次时跳个单位长度，由此列式进行加减运算即可；②根据电子蟋蟀的运动规律求出跳动100次后的落点对应的数，再利用数轴上两点间距离公式计算即可． 【详解】（1）解：点C，D分别与5和8对应， ， 由题意得， 点A在点B的左侧，点B在原点处， 点A表示的数为: ， 故答案为：． （2）解：①由题意知，电子蟋蟀从点A处开始，奇数次时向右跳，偶数次时向左跳，第n次时跳个单位长度，点A表示的数为， 第5次后落点所对应的数轴上的数为：， ， 第3次跳动后落在原点处． ②第100次后落点所对应的数轴上的数为： ， 又点C与5对应， ． 电子蟋蟀跳动100次后的落点与点C之间的距离为108． 60．在体育课中，我们经常根据“立正，向右转，向左转、向后转”这些口令进行相应的运动，这些运动是可以连续进行的，现规定：把连续执行2个口令的结果，叫作这2个口令相加所得到的和，并用“”表示相加．例如：向右转向左转立正，向左转向左转向后转，等等．分别用数字符号0，1，，2表示立正，向右转，向左转，向后转，可以建立如下的体育口令加法运算表． 0（立正） 1（向右转） （向左转） 2（向后转） 0（立正） 0 1 2 1（向右转） 1 2 0 n （向左转） 0 2 1 2（向后转） 2 x y m 请完成下面问题： (1)上述表格中， ， ， ． (2)若用字母a表示任何一种体育口令，则 ． (3)判断这种体育口令的加法运算是否满足交换律和结合律？请举例验证（各举一个例子即可）． 【答案】(1)；1；0 (2) (3)都符合，举例见解析 【分析】本题主要考查了新定义： （1）根据新定义分别求出向后转向右转，向后转向左转，向后转向后转的结果即可得到答案； （2）根据任意口令立正该任意口令即可得到答案； （3）只需要证明向右转向左转立正，向左转向右转立正，向右转向左转+向后转向右转（向左转+向后转）即可． 【详解】（1）解：∵向后转向右转向左转， ∴； ∵向后转向左转向右转， ∴ ∵向后转向后转立正， ∴； （2）解：∵任意口令立正该任意口令， ∴； （3）解：由表可知向右转向左转立正，向左转向右转立正， ∴符合加法的交换律； ∵向右转向左转立正，立正向后转向后转， ∴向右转向左转+向后转向右转， ∵向右转（向左转+向后转）向右转向右转向后转， ∴向右转向左转+向后转向右转（向左转+向后转）， ∴符合加法交换律． 【拓展训练四 有理数加减法与数轴、绝对值结合】 61．【阅读】：表示7与3差的绝对值，也可理解为7与3两数在数轴上所对应的两点之间的距离；可以看做，表示7与的差的绝对值，也可理解为7与两数在数轴上所对应的两点之间的距离． 【探索】： (1)计算： (2)利用数轴，写出所有符合条件的整数x，使x所表示的点到5和所对应的点的距离之和为7． (3)直接写出的最小值及此时x的取值范围． (4)直接写出最小值及此时x的值． 【答案】(1)7 (2)，，0，1，2，3，4，5 (3)时，最小值为9 (4)最小值为9， 【分析】（1）根据题意，得，解答即可； （2）根据题意，得，得到解答即可． （3）根据题意，，根据距离和的意义解答即可． （4）根据题意，得表示的是x与这19个数的距离之和，即解答即可． 【详解】（1）解：， 故答案为：． （2）解：根据题意，得， 得到． ∴，，0，1，2，3，4，5． （3）解：根据题意，得， 当时，，此时； 当时，，此时； 当时，， 故当时，取得最小值，且最小值为9． （4）解：根据题意，当时，，此时； 当时，，此时； 当时， 当时，的最小值为． 【点睛】本题考查数轴上两点间的距离公式，绝对值的意义，距离之和最小的意义，有理数的加法．熟练掌握数轴上两点间的距离公式，以及当点在两点之间时，点到两点间的距离之和最小，是解题的关键． 62．如图，甲、乙两人(看成点)分别在从数轴上表示和9的点的位置开始，沿数轴做移动游戏．每次移动游戏规则：两人先进行“石头、剪刀、布”，而后根据输赢结果进行移动． ①若平局，则甲向东移动1个单位长度，同时乙向西移动1个单位长度； ②若甲赢，则甲向东移动3个单位长度，同时乙向东移动1个单位长度； ③若乙赢，则甲向西移动1个单位长度，同时乙向西移动3个单位长度． 前三局结果如下表(提示：剪刀胜布，布胜石头，石头胜剪刀)： 第一局 第二局 第三局 … 甲的手势 石头 剪刀 石头 … 乙的手势 石头 布 布 … (1)从如图的位置开始，第一局后甲乙两人相距 个单位长度； (2)从如图的位置开始，从前五局来看，甲一平两胜两负，这五局游戏结束后，乙离原点的距离为 ． (3)从如图的位置开始，若进行了k局游戏后，甲与乙的位置相距3个单位长度，直接写出 ． 【答案】(1)13 (2)4 (3)6或9 【分析】本题主要考查了数轴及有理数的混合运算，本题是动点型题目，找出移动后甲乙距离变化的规律是解题的关键． （1）利用规则：若平局，则甲向东移动个单位长度，同时乙向西移动个单位长度，即可得结论； （2）根据题意可得整个过程乙一平两输两赢，利用规则，结合数轴进行计算便可； （3）由题意可得刚开始两人的距离为，分①若两人尚未相遇，②若两人已经相遇两种情况分析即可得解． 【详解】（1）解：完成了次移动游戏，结果为平局， 则甲向东移动个单位长度到， 乙向西移动个单位长度到； ∴第一局后甲乙两人相距个单位长度 故答案为：13； （2）因为从前五局来看，甲一平两胜两负， 整个过程看：甲一平两胜两负，而乙一平两负两胜，向东为正， 根据规则五局之后甲对应的数为：， 根据规则五局之后乙对应的数为：， 故乙离原点个单位， 故答案为：； （3）的值为或，理由如下： 刚开始甲乙两人相距个单位长度， ①若两人尚未相遇， 若平局，则甲向东移动个单位长度，同时乙向西移动个单位长度， 若平局，移动后甲乙的距离缩小个单位， 若甲赢，则甲向东移动个单位长度；同时乙向东移动个单位长度， 若甲赢，移动后甲乙的距离缩小个单位， 若乙赢，则甲向西移动个单位长度，同时乙向西移动个单位长度， 若乙赢，移动后甲乙的距离缩小个单位， 甲乙每移动一次甲乙的距离缩小个单位， 最终甲与乙的位置相距个单位， 则共需缩小个单位 ②若两人已经相遇， 按照相遇前的距离缩小规律，第七局甲与乙的位置相距1个单位， 同理分析可得：第八局甲与乙的相对位置交换，且相距1个单位， 继续则甲乙的距离每局增加个单位，第九局甲与乙的位置相距个单位 综上所述：的值为或． 故答案为：或． 63．同学们都知道表示5与之差的绝对值，也可理解为5与两数在数轴上所对的两点之间的距离，试探索： (1)数轴上表示和两点之间的距离是 ； (2)找出所有符合条件的整数x，使得取最小值时，相应的x的整数解是 ； (3)对于任何有理数x，取最小值时，相应的x的值是 ； (4)由以上探索猜想，对于任何有理数x，是否有最小值？如果有，写出最小值，并求出x的整数解；如果没有，说明理由． 【答案】(1)3； (2)，0，1，2； (3)1； (4)有最小值，最小值为7，x的整数解，0，1 【分析】本题考查绝对值的最值问题，解题的关键是掌握绝对值的几何意义． （1）根据数轴上两点之间的距离公式求解即可； （2）根据绝对值的几何意义求解； （3）根据绝对值的几何意义求解； （4）根据绝对值的几何意义求解． 【详解】（1）解：， 即数轴上表示和两点之间的距离是3， 故答案为：3； （2）解：根据绝对值的定义，可表示为x到与2两点距离的和， 根据绝对值的几何意义知， 当x在的左边时，x到2的距离大于，则可表示为x到与2两点距离的和大于3， 当x在与2之间时，x到与2两点距离的和为3， 当x在2的右边时，x到的距离大于3，则可表示为x到与2两点距离的和大于3， ∴当x在与2之间时，有最小值3，x的整数解为：，0，1，2， 故答案为：，0，1，2； （3）解：∵ ∴可以理解为数轴上表示x的点到点的距离，与到点2的距离之和， 由（2）知：当时，有最小值，最小值为， ∵， ∴当时，的最小值为0， ∴当时，有最小值为3， 故答案为：1； （4）解：表示x到，，1，2这四个点的距离之和． 令， 时，， 时，， 时，， 时，， 观察数轴， 当时，由于四点分列在x两边，恒有， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 综合以上： 即有最小值，最小值为7．x在和1之间时取最小值，x的整数解是：，0，1． 64．操作发现．    操作一：如图1，已知点A、M所表示的数分别为、1，将点A绕点M旋转得到点B，此时点B所表示的数为4．将上述过程记作：或； 操作二：如图2，已知点M和线段，将点A、M绕同一点旋转，使点A和点B重合，此时点M所对应的点用N表示．将上述过程记作： ；如：； (1)利用图3、图4，直接填空： ； ； (2)点A表示的数为a，点B与点A的距离为4，点C是数轴上一动点，且，． ①点A在运动过程中，D、E两点之间的距离是否为定值，如果是，请直接写出这个值，如果不是，请求出它的取值范围； ②当点C表示的数是，B、D两点之间距离刚好为1，若点B在点A右侧，求a的值． 【答案】(1) (2)①是，；②的值为2或4 【分析】（1）按照题中操作一与操作二分别画图即可完成； （2）①由题意得点B表示的数为或；设点C表示的数为x，点D表示的数为d，点E表示的数为e；当点B表示的数为时，点B在点A的右侧；由题意表示出点D及点E表示的数，再计算出即可；当点B表示的数为时，点B在点A的左侧；同理可计算出，从而可作出判断； ②由①得，点B表示的数为，由题意得：，由此即可求得a的值． 【详解】（1）解：由图3知，；由图4知，；    故答案为：； （2）解：①点A在运动过程中，D、E两点之间的距离是定值4； 理由如下：∵点A表示的数为a，点B与点A的距离为4， ∴点B表示的数为或； 设点C表示的数为x，点D表示的数为d，点E表示的数为e； 当点B表示的数为时，点B在点A的右侧； ∵， ∴A为的中点， ∴， 即； ∵， ∴的中点是同一点， 而的中点表示的数为， ∴， ∴； ∴ ； 当点B表示的数为时，点B在点A的左侧； 同理得：； ∵， ∴的中点是同一点， 而的中点表示的数为， ∴， ∴； ∴ ； 即点A在运动过程中，D、E两点之间的距离是定值4． ②∵点C表示的数是， ∴由①得， ∴； ∵点B表示的数为， ∴由题意得：， 即， ∴或， 解得：或． 故的值为2或4． 【点睛】本题是新概念问题，有一定的综合性，考查了数轴的点表示数，数轴上两点间的距离，绝对值的计算，有理数加减运算等知识，理解新概念是解题的关键． 65．平移和翻折是初中数学两种重要的图形变换    (1)平移运动 ①把笔尖放在数轴的原点处，先向负方向移动4个单位长度，再向正方向移动1个单位长度，这时笔尖的位置表示什么数？用算式表示以上过程及结果是______． A、    B、 C、    D、 ②一机器人从原点开始，第1次向左跳1个单位，紧接着第2次向右跳2个单位，第3次向左跳3个单位，第4次向右跳4个单位，，依此规律跳，当它跳2023次时，落在数轴上的点表示的数是______． (2)翻折变换 ①若折叠纸条，表示的点与表示3的点重合，则表示2023的点与表示______的点重合； ②若数轴上两点之间的距离为2024（在的左侧，且折痕与①折痕相同），且两点经折叠后重合，则点表示______，点表示______． (3)一条数轴上有点，其中点表示的数分别是、8，现以点为折点，将数轴向右对折，若点对应的点落在数轴上，并且，求点表示的数． 【答案】(1)①D；② (2)①；②，1013 (3)点表示的数或 【分析】（1）①读懂题意，根据移动过程列式计算即可；②读懂题意，根据跳动过程列算式，在算式中发现规律，利用规律计算即可； （2）①先通过折叠重叠在一起的两个数，确定折叠的中心点对应的数，再找到与表示2023的点重合的点即可；②根据①可得出折痕处表示的数为1，再根据两点之间的距离进行计算即可得到答案； （3）分两种情况：当点在的左侧时；当点在的右侧时；分别进行计算即可得到答案． 【详解】（1）解：①根据移动过程得：， 故选：D； ②向左为，向右为， 机器人跳动过程可以用算式表示为： ， 当它跳2023次时，落在数轴上的点表示的数是：， 故答案为：； （2）解：①表示的点与表示3的点重合， 折痕处的点表示的数为， 与表示2023的点重合的点为：， 表示2023的点与表示的点重合， 故答案为：； ②由①得折痕处的点表示的数为1， 数轴上两点之间的距离为2024，且两点经折叠后重合， 两点到1的距离都是， 点表示，点表示， 故答案为：，1013； （3）解：当点在的左侧时， ，点表示的数为8， 表示的数为， 以点为折点，将数轴向右对折，若点对应的点落在数轴上， 点表示的数为：， 当点在的右侧时， ，点表示的数为8， 表示的数为， 以点为折点，将数轴向右对折，若点对应的点落在数轴上， 点表示的数为：， 综上所述：点表示的数或． 【点睛】本题主要考查了数轴，折叠与对称，有理数的加减运算，解题的关键是熟练掌握以上知识点． 1．比大4的数是（    ） A． B．2 C．6 D． 【答案】B 【分析】本题考查有理数的加法，根据题意进行列式再计算即可． 【详解】解：． 故选：B． 2．以花花家为起点，向东走为正，向西走为负．如果花花从家先走了米，又走了米，这时花花在家的（   ） A．正西方向20米处 B．正西方向50米处 C．正东方向20米处 D．正东方向50米处 【答案】A 【分析】根据有理数的加法运算法则计算即可，本题考查了有理数的加法运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解：由题意得：（米）， 这时花花在家的正西方向20米处， 故选：A． 3．如果， 那么的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了绝对值的非负性，有理数的加法，先根据非负数的性质求出x和y的值，然后代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴，即，； ∴， 故选：B． 4．某市2025年1月份连续四天的天气预报信息如图所示，其中日温差最大的一天是（   ） 1月28日（除夕） 1月29日（春节） 1月30日（初二） 1月31日（初三） A．1月28日 B．1月29日 C．1月30日 D．1月31日 【答案】C 【分析】本题主要考查了有理数减法的实际应用，用当天的最高气温减去最低气温可求出当天的温差，据此求出四天的温差，比较即可得到答案． 【详解】解：1月28日的温差为， 1月29日的温差为， 1月30日的温差为， 1月31日的温差为， ∵， ∴1月30日的温差最大， 故选：C． 5．如图，某品牌乒乓球的产品参数中标明球的直径是，下列乒乓球的尺寸中，不合格的是（   ） ★★★ 型号 3星级 质量 黄色 质量 直径 包装规格 10只/盒 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了正负数的应用，有理数加法在实际生活中的应用，根据题意算出直径上限和下限，即可得出答案，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：由题意可得： 该品牌乒乓球的产品参数中标明球的直径上限是：， 直径下限是：， ∴只要乒乓球直径在和之间都是合格的， ∴选项中，直径为的乒乓球不合格， 故选：A． 6．若有理数a，b满足，且，则的值是（   ） A． B．1 C．或 D．1或 【答案】C 【分析】本题考查绝对值的定义和性质，有理数的减法，先利用绝对值的定义得出或，或，再根据，得，得出符合条件的a、b，再进行计算的值． 【详解】解：∵， ∴或，或， ∵， ∴， ∴，或，， 当，时，， 当，时，， 即的值是或， 故选：C． 7．为计数方便，某果园以每筐水果为准，超过的千克数记作正数，不足的千克数记作负数．“”表示的实际千克数是 ． 【答案】22 【分析】此题考查了正负数的应用，首先要知道以谁为标准，规定超出标准的为正，低于标准的为负，由此用正负数解答问题． 【详解】解：由题意，得“”表示的实际千克数是千克． 故答案为：22． 8．有一只蚂蚁在直线上表示3的数字位置上开始向西爬行（向东为正方向），每秒钟爬行1个单位，那么5秒后这只蚂蚁所在的位置表示的数是 ． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的加减运算，数轴上点的移动规律是“左减右加”，所以此蚂蚁所在的位置表示的数是． 【详解】解：蚂蚁所在的位置为：． 故答案为：． 9．已知，且，则 ． 【答案】或 【分析】本题考查了有理数的加法，绝对值的性质，熟记运算法则和性质并准确判断出m、n的对应情况是解题的关键．根据绝对值的性质和有理数的加法运算法则判断出m、n的对应情况，然后相加计算即可得解． 【详解】解：∵，， ∴，， ∵ ∴， ∴，时，， ，时，， 综上所述，的值是或． 故答案为：或． 10．爸爸带奇奇去买镇尺和木箱，奇奇将镇尺价格的十分位上的7看成了1，将木箱价格的十位上的2看成了3，计算两件物品的总价得，他们购买这两件物品实际应付 元． 【答案】 【分析】本题主要考查了有理数加减法的实际应用，用奇奇计算出的总价加上镇尺少加的钱数再减去木箱多加的钱数即可得到答案． 【详解】解： 元， ∴他们购买这两件物品实际应付元， 故答案为：． 11．计算 . 【答案】1 【分析】此题主要考查了加法中的巧算问题，注意加法结合律的应用，根据加法结合律，通过观察题目可以发现，1后面每相邻的四项的和为0，从而可以解答本题． 【详解】解： ． 故答案为：1． 12．（1）已知，，则的值为 ． （2）若，，且，则 ． 【答案】 2或 或 【分析】本题考查了绝对值的性质，解题关键在于掌握其性质：一个正数的绝对值等于它的本身，零的绝对值还是零，一个负数的绝对值等于它的相反数，绝对值等于一个正数的数有2个，它们是互为相反数的关系． （1）根据绝对值的意义求出的值，然后代入计算即可． （2）根据绝对值的性质求出、的值，然后代入进行计算即可求解． 【详解】解：（1）∵， ∴． ∴或． 故答案为：或． （2）∵，． ∴或；或． 又∵， ∴，或． ∴或． 故答案为：或． 13．计算 (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) 【答案】(1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)； (7)； (8)； (9)． 【分析】本题考查了有理数的加减法，掌握有理数的加减法法则是解题的关键． （1）根据有理数的减法则运算即可； （2）根据有理数的减法则运算即可； （3）根据有理数的减法则运算即可； （4）根据有理数的减法则运算即可； （5）根据有理数的减法则运算即可； （6）根据有理数的减法则运算即可； （7）根据有理数的减法则运算即可； （8）根据有理数的减法则运算即可； （9）根据有理数的加法则运算即可； 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：； （5）解：； （6）解：； （7）解：； （8）解：； （9）解：； 14．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4)4.5 【分析】本题考查有理数的加减混合运算，正确计算是解题的关键： （1）根据有理数的加减混合运算计算即可； （2）根据有理数的加减混合运算计算即可； （3）根据有理数的加减混合运算计算即可； （4）根据有理数的加减混合运算计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： （4）解： 15．设表示不超过a的最大整数，例如，，． (1)求的值； (2)令，求的值． 【答案】(1)19 (2) 【分析】本题主要考查新定义，有理数的加减混合运算，理解新定义，掌握有理数加减运算法则是解题的关键． （1）根据新定义的计算进行即可； （2）根据题意将原式变形得到，再根据有理数的加减混合运算法则计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解：令， ∴ ． 16．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查有理数的加减混合运算及加法运算律，熟练掌握有理数的加减混合运算法则和加法运算律是解题的关键． （1）利用有理数的加减混合运算法则计算即可； （2）利用有理数的加减混合运算法则计算，注意利用加法运算律． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 17．正值中秋佳节，小梦和妈妈一块去购买月饼，妈妈买了一盒某品牌月饼共计8枚．小梦将8枚月饼的质量称重后统计表如下（单位：克）： 第枚 1 2 3 4 5 6 7 8 质量 56 55 54.8 56.2 55.3 55.3 54.7 54.3 (1)小梦为了简化运算，选取了一个恰当的标准质量，依据这个标准质量，小梦把超出的部分记为正，不足的部分记为负，列出表格（不完整）．请根据表格计算这个标准质量_______克，下面表格中第3枚月饼的质量是________克； 第枚 1 2 3 4 5 6 7 8 质量 ________ ________ ________ ________ ________ (2)当小梦看到说明书上标记的总质量为克时，小梦妈妈买的月饼在总质量上是否合格？请你通过计算说明为什么． 【答案】(1)55； (2)合格，理由见详解 【分析】本题考查了正数和负数以及有理数的加减混合运算，正确理解本题中正数和负数的意义是解答本题的关键． （1）根据题意可知，标准质量为55克，据此可得结果； （2）求出8次记录的数的和，判断其是否在至之间即可得出答案． 【详解】（1）解：由题意，得标准质量为55克，； 故答案为：55；； （2）解：由题意得：， ，即， 这盒月饼在总质量上是合格的． 18．妈妈在超市买了一袋面粉，发现包装袋上有这样一段字样：“净重：”． (1)这段文字表示这袋面粉的重量在________和________之间． (2)在一次检测中，检验员从一个包装箱中任取了5袋有上述字样的面粉，记录劈如下： 袋号 1 2 3 4 5 质量 803 798 800 794 805 请你结合（1）和上表中的数据，以为标准，超出标准记为正，不足的记为负，用正、负数表示出这5袋面粉的质量，并判断这5袋面粉中不合格的有________袋． 【答案】(1)795，805 (2)袋分别标记为：，，，，，1． 【分析】本题考查正负数在实际质量误差问题中的应用．解题关键是理解“”所表示的合格质量范围，通过计算各袋面粉与标准质量的差值并用正负数表示，进而判断是否合格． （1）理解“”在“”中的含义，即表示在基础上可上下浮动，分别通过计算下限，计算上限，从而确定面粉重量范围． （2）以为标准，用每袋面粉实际质量减去得到差值，差值为正记为“” 、为负记为“” ，表示出各袋质量情况；再依据第一问得出的合格范围，判断超出此范围的袋数． 【详解】（1）(克) (克) 答：这段文字表示这袋面粉的重量在和之间． 故答案为：795；805． （2）1号袋：，1号袋面粉的质量是，1号袋面粉合格． 2号袋：，2号袋面粉的质量是，2号袋面粉合格． 3号袋：，3号袋面粉的质量是，3号袋面粉合格． 4号袋：，4号袋面粉的质量是，4号袋面粉不合格． 5号袋：，5号袋面粉的质量是，5号袋面粉合格． 所以，这5袋面粉中不合格的有1袋． 故答案为：1． 11 / 11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题05 有理数的加法与减法 （4知识点+9大题型+4大拓展训练+过关测） 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材 学知识：教材精讲精析、全方位预习 练题型 强知识：9大核心考点精准练+4大拓展训练 第二步：记 串知识 识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测 稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点1：有理数加法法则 1. 同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加。 若则； 若则。 2.异号两数相加，绝对值相等时，和为0；绝对值不等时，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。 绝对值相等：若且，则； 绝对值不相等： 1 若且，则； 2 若且，则。 3.一个数与0相加，仍得这个数。 4.有理数加法运算步骤： （1）看：看两个加数是同号还是异号； （2）定：确定和的符号； （3）求：根据有理数加法法则求和. 【即时训练】 1．（2024七年级上·浙江·专题练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 2．（2024七年级上·浙江·专题练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 3．（23-24七年级上·浙江湖州·阶段练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)． 知识点2：有理数加法运算律 1. 有理数相加，两个数相加，交换加数的位置，和不变； 加法交换律：a＋b＝b＋a 2. 有理数相加，三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变. 加法交换律：（a＋b）＋c＝a＋（b＋c） 在有理数加法运算中，常利用有理数加法运算律先把正数和负数分开计算，各自求和后再相加. 3. 有理数加法中的一些计算技巧： （1） 相反数结合法：互为相反数的两个数先相加； （2） 同号结合法：符号相同的数先相加； （3） 同分母结合法：分母相同的数先相加； （4） 凑整法：几个数相加能够得到整数的先相加. 【即时训练】 4．（23-24七年级上·浙江杭州·阶段练习）计算：． 5．（2023七年级上·浙教衢州·专题练习）计算下列各题： (1) (2) (3) 6．（23-24七年级上·浙江台州·阶段练习）（1）加法交换律： ， 例： ； （2）加法结合律：( )， 例：[ ]． 知识点3：有理数减法法则 减去一个数，等于加上这个数的相反数， 1. 较大的数－较小的数＝正数，即若，则； 2. 较小的数－较大的数＝负数，即若，则； 3. 相等的两个数相减等于0，即若，则； 4. 0减去任何数都等于这个数的相反数，任何数减去0仍等于这个数. 【即时训练】 7．（23-24七年级上·浙江杭州·期中）计算： (1)． (2)． 8．（24-25七年级上·浙江杭州·阶段练习）计算： (1) (2) 9．（2024七年级上·浙江·专题练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 知识点4：有理数加减法混合运算 1. 利用减法运算法则，将有理数加减混合运算转化为有理数加法运算； 2. 去掉括号和括号前的加号（有绝对值的要先去掉绝对值后再计算）； 3. 利用加法法则和加法运算律进行计算. 【即时训练】 10．（24-25七年级上·浙江杭州·期中）计算： (1)； (2)． 11．（24-25七年级上·浙江杭州·期中）计算： (1) (2) 12．（2024七年级上·浙江·专题练习）计算： (1)； (2)． 【题型1 有理数的加法运算】 1．根据有理数加法法则，计算过程正确的是（    ） A． B． C． D． 2．计算的结果是（　　） A． B．7 C． D．13 3．比大且比小的所有整数的和为 ． 4．我国是历史上最早认识和使用负数的国家．数学家刘徽在“正负术”的注文中指出，可将算筹（小棍形状的记数工具）正放表示正数，斜放表示负数．根据刘徽的这种表示法，图1表示算式，则图2表示的算式为 ． 5．计算 (1) (2) 【题型2 有理数加法中的符号问题】 6．如果两数相加的和小于每一个加数，那么下列判断正确的是（   ） A．这两个加数一定有一个数是0 B．这两个加数一定都是负数 C．这两个加数一正一负 D．这两个加数的符号不能确定 7．如果，那么，，三个数中（   ） A．有一个数必为 B．至少有一个负数 C．有且只有一个负数 D．至少有两个负数 8．将改写成省略加号的和的形式应为 ． 9．用“”或“”填空： （1）如果，那么 0； （2）如果，那么 0； （3）如果，那么 0； （4）如果，那么 0． 10．计算 (1)； (2)． 【题型3 有理数加法运算律】 11．下列交换加数位置的变形，正确的是（   ） A． B． C． D． 12．这个运算中运用了（   ） A．加法的交换律 B．加法的结合律 C．加法的交换律和结合律 D．以上均不对 13．计算： ． 14．计算： (1)； (2)＋＋＋＋． 15．如图是老师写在黑板上的一道例题． 计算： ……步骤① ……步骤② (1)步骤①的运算依据是________，步骤②的运算依据是________；（以上两空均填“加法交换律”或“加法结合律”） (2)请仿照例题的计算方法，将算式“”进行简便计算． 【题型4 有理数加法在生活中的应用】 16．某工地记录了仓库水泥的进货和出货数量，某天进货2吨，出货3吨，记进货为正，出货为负，下列算式能表示当天库存变化的是（   ） A． B． C． D． 17．手机移动支付给生活带来便捷．如图是小陈某天微信账单的全部收支明细（正数表示收入，负数表示支出，单位：元），小陈当天微信收支的最终结果是（    ） A．收入36元 B．支出26元 C．收入10元 D．支出10元 18．为了备战校园足球联赛，一名守门员练习折返跑，从球门线出发，向前记作正数，返回记作负数，记录（单位：米）为：，，，，，，，守门员最后 （选填“回到了”或“没回到”）球门线的位置． 19．在一个趣味冒险游戏中，玩家从一个特定的起点出发．游戏规定正东方向为正方向．一个玩家首先朝着正东方向前进了米，随后又改变方向走了米到达终点．大家都在思考，终点在起点的什么方向多少米呢？这个位置应该怎么表示？还有玩家在这个过程中一共走过的路程是多少米？ 20．小华本周体育锻炼时长的变化情况如下表（正数表示锻炼时长比前一天增加，负数表示锻炼时长比前一天减少）． 星期 一 二 三 四 五 六 日 时长变化 0 (1)的意思是______； (2)本周日小华的体育锻炼时长与上周日相比情况如何？ 【题型5 有理数的减法运算】 21．计算： ；    ； ； ；        ；      ； ； ； ； ． 22．计算：． 23．已知点在数轴上对应的有理数分别为，，则点的距离为 24．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 25．计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)． 【题型6 有理数减法的实际应用】 26．某天14：00，我国五个城市的气温如表，其中与济南气温最接近的城市是（   ） 城市 哈尔滨 北京 广州 济南 上海 气温/℃ 13 5 A．哈尔滨 B．北京 C．广州 D．上海 27．武汉市年的最高温度是月日的，最低温度是月日的．则年武汉市全年温度的最大相差 ． 28．六年级一名男生进行一分钟跳绳锻炼．下面是他对自己一周一分钟跳绳个数的统计．他将个记为，超出个的部分用正数表示，不足个的部分用负数表示．《国家学生体质健康标准》规定：六年级男生一分钟跳绳个数在个以上（含个）记为优秀．该同学这一周有 次一分钟跳绳成绩为优秀． 星期一 星期二 星期三 星期四 星期五 星期六 星期日 29．财商教育有助于培养孩子的独立生活能力和积极向上的价值观、社会责任感．小昆在妈妈的协助下，通过售卖废报纸、饮料瓶，转卖二手书，义卖闲置物品等方式获得一定收入，并用于购买学习用具和一些日常所需品．为了更好的理财，他每周做一次收支记录，其中一个月的收入和支出记录如下（收入用“”，支出用“”，单位：元）： ，，，，，，，． (1)小昆这个月是超支了还是有结余？如果超支，超支了多少？如果结余，结余了多少？ (2)若规定：收入元，支出元，经手金额为元，则小昆这个月经手总金额离元超过或不足多少元？ 30．某学生的储蓄账户一周内资金（单位：元）变动情况（“”表示存入，“”表示取出）如下：，，，，，，． (1)经过这7天后，账户里的资金是增多了还是减少了？增多或减少了多少元？ (2)经过这7天后，账户主人查看发现账户里还存有800元，则7天前账户里原有资金多少元？ 【题型7 有理数的加减混合运算】 31．计算： (1) ； (2)． (3)， (4) 32．计算：． 33．计算：． 34．计算： (1)； (2) 35．计算： (1)； (2)． 【题型8 有理数加减中的简便运算】 36．学习情境·过程性纠错请指出下面计算错在哪一步（   ） ① ② ③ ④ A．① B．② C．③ D．④ 37．下面各题，怎样简便就怎样算 (1) (2) (3) (4) 38．计算：． 39．阅读计算的方法，再用这种方法解答下列各题． 解：原式 ． (1)计算：； (2)计算：． 40．计算：． 【题型9 有理数加减混合运算的应用】 41．小王在网店上销售文具，计划每天销售100千克，但实际每天销售量与计划销售量相比有增减，超过计划量记为正，不足计划量记为负，下表是小王第一周文具的销售情况： 星期 一 二 三 四 五 六 日 文具销售超过或不足计划量情况（单位：千克） (1)小王第一周销售文具最多的一天比最少的一天多销售多少千克？ (2)小王第一周实际销售文具的总量是多少千克？ (3)若文具售价为8元/千克，包装及快递费为3元/千克，则小王这一周文具销售收入共多少元？ 42．某工艺厂计划一周生产工艺品2100个，平均每天生产300个，但实际每天生产量与计划相比有出入．下表是某周的生产情况（超产记为正、减产记为负）： 星期 一 二 三 四 五 六 日 增减（单位：个） (1)写出该厂星期一生产工艺品的数量是______；本周产量最少的一天生产工艺品的数量是______； (2)本周产量最多的一天比最少的一天多生产多少个工艺品？ (3)请求出该工艺厂在本周实际生产工艺品的数量； 43．元旦放假期间，小湖与同学相约外出游玩．已知他当日微信钱包的初始余额为10元，当日微信钱包的账单如表所示，请你解决如下问题：                        表 交易 金额（元） 微信红包—来自妈妈 手机充值—中国移动 转账—来自小华 美团支付 滴滴出行支付 (1)账单中支出费用最大的交易是______________； (2)求小湖当日的微信钱包余额是多少？ 44．足球比赛中，根据场上攻守形势，守门员会在门前来回跑动，如果以球门线为基准，向前跑记作正数，向后跑则记作负数，一段时间内，某守门员的跑动情况记录如下（单位：米）：，，，，，，，，（假定开始计时时，守门员正好在球门线上）． (1)守门员最后是否回到球门线上？ (2)守门员离球门线的最远距离达多少米？ (3)如果守门员离开球门线的距离超过10米（不包括10米），则对方球员挑射极可能造成破门．问：在这一时间段内，对方球员有几次挑射破门的机会？简述理由． 45．滴滴出行为人们带来了方便．某天上午，滴滴司机小李的运营路线可以看作是在东西走向的大道上来回行驶．若规定向东为正方向，则行车记录情况（单位：km）如下： ，，，，，，． (1)当司机小李将最后一名乘客送到目的地时，小李距离出车地点多少千米？ (2)若平均运营额为3.5元/km，平均成本为1.5元/km，则这天上午小李盈利多少元？[盈利＝（平均运营额－平均成本）×行驶路程] 【拓展训练一 有理数加减法与幻方问题】 46．数学兴趣小组在幻方游戏的基础上创新出了“幻圆”游戏．游戏要求将这8个数分别填入如图所示的幻圆的8个空圈中，使横、纵以及内外两圈上的4个数字之和都相等．某同学已完成了部分填空，则的值不可能的是（   ） A． B． C． D．3 47．幻方，最早源于我国，古人称之为纵横图，如图所示的幻方中，各行、各列及各条对角线上的三个数之和都相等，则图中“”代表的数字是 ． 5 7 48．对幻方的研究体现了中国古人的智慧，如图①是一个幻方的图案，其中9个格中的点数分别为1，2，3，4，5，6，7，8，9．每一横行、每一竖列、每一斜对角线上的点数的和都是15．如图②是一个没有填完整的幻方，如果它处于同一横行、同一竖列、同一斜对角线上的3个数的和都相等，那么正中间的方格中的数字为 ，方格中所有数字的和为 ． 49．课本再现：填幻方 有人建议向火星发射如图1所示的图案，它叫做幻方，其中9个格中的点数分别是1，2，3，4，5，6，7，8，9．每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的点数的和都相同．如果火星上有智慧生物，那么他们可以从这种“数学语言”了解到地球上也有智能生物（人）． （1）如图1，每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的点数的和都是 ； （2）如图2，在一个由6个圆圈组成的三角形里，把到这6个连续整数分别填入圆圈中，要求三角形的每条边上的三个数的和都相等，请直接写出的最大值是 ． 则三角形的每条边上的三个数的和都相等，且和最大， 此时，， 50．据说夏禹治水时，在黄河支流洛水中浮现出一只大乌龟，背上有一个很奇怪的图形，古人认为是一种祥瑞，预示着洪水将被夏禹王彻底制服．后人称之为“洛书”（如图1所示），即现在的三阶幻方． (1)请将1～9这九个数按照“洛书”表达的意思填在三行三列的数表中（图2），使每行、每列、每条对角线上的三个数之和都相等． (2)将，，0，1，2，3，4，5，6填入到图3的方格中，使得每行、每列、斜对角的三个数之和相等． (3)图4是一个不完整的幻方，请将你认为正确的7个整数填入表格中，使得每行、每列、斜对角的三个数之和相等． (4)请将1-16剩余数字填入到图5的表格中，使得每行、每列、斜对角的四个数之和相等，构成四阶幻方． 【拓展训练二 有理数加减混合运算的综合】 51．计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 52．阅读理解下题的计算方法，并解决问题： 计算：． 解：原式 ． 上面的方法叫作拆项法，按此方法计算： ． 53．【信息提取】 在有些情况下，不需要计算出结果也能把绝对值符号去掉．例如：，，，． 【初步体验】 （1）根据上面的规律，把下列各式写成去掉绝对值符号的形式（不要计算出结果）： ①________； ②________． 【拓广应用】 （2）计算：． 54．计算： (1)； (2)； (3)． 55．（1）计算下列各式，将结果直接写在横线上： __________，__________； __________，__________； __________，__________ （2）将（1）中每行计算的结果进行比较，利用你发现的规律计算： 【拓展训练三 有理数加减法的实际应用综合】 56．为纪念红军长征胜利88周年，特技飞行队在名胜风景旅游区特技表演，其中一架飞机起飞后的高度变化如表： 高度变化 记作 上升 下降 上升 下降 (1)此时这架飞机比起飞点高了多少千米？ (2)如果飞机每上升或下降1千米需消耗2升燃油，那么这架飞机在这4个动作表演过程中，一共消耗了多少升燃油？ (3)如果飞机做特技表演时，有4个规定动作，起飞后高度变化如下：上升千米，下降千米，再上升千米．若要使飞机最终比起飞点高出1千米，问第4个动作是上升还是下降，上升或下降多少千米？ 57．如图，在一张纸上画出一条水平的数轴，在数轴上放置一枚黑棋、一枚白棋，黑棋和白棋在数轴上的位置对应的数分别是-5，5，甲、乙两人做沿数轴移动棋子的游戏（甲移动黑棋，乙移动白棋）． 甲、乙两人同时出示“石头、剪子、布”三种手势中的一种，再根据获胜或平局的结果移动棋子（石头胜剪子，剪子胜布，布胜石头），移动规则如下：①若甲赢，则甲将黑棋向右移动2个单位长度，同时乙将白棋向右移动1个单位长度；②若乙赢，则乙将白棋向左移动2个单位长度，同时甲将黑棋向左移动1个单位长度：③若平局，则甲将黑棋向右移动1个单位长度，同时乙将白棋向左移动1个单位长度．前四局的部分手势情况如下表： 局次 第一局 第二局 第三局 第四局 甲的手势 石头 剪子 布 布 乙的手势 石头 布 石头 (1)从起始位置开始，第一局后黑棋和白棋在数轴上的位置所对应的数的和为_______； (2)规定若每局结束后黑棋的位置离原点更近，则甲获胜，若白棋的位置离原点更近，则乙获胜，那么第三局结束时获胜的是_______（填“甲”或“乙”）： (3)若第四结束后，在数轴上黑棋和白棋之间的距离最小，则乙第四局的手势是（填“石头”或“剪子”或“布”）； 58．出租车司机小诚一天下午从公司出发，在一条东西方向的大街上营运．规定向东为正，向西为负，行车里程（单位：千米）依先后次序记录如下：-1，+9，-5，+4，-8． (1)司机将最后一名乘客送到目的地时，出租车在公司的什么方向，距离公司多少千米？ (2)若出租车每千米耗油0.2升，油价为每升6元．求这天下午运营过程中，共需要多少油费？ (3)在第（2）问的条件下，若该出租车的计价标准为每趟乘车行驶路程不超过3千米收费8元，超过3千米的部分每千米加收2元，该司机这天下午运营是盈利还是亏损？盈利或亏损了多少元？（运营收入乘客所给的总车费油费） 59．小茹利用计算机软件绘制了一条数轴，数轴上有A，B，C，D四点，其中点A在点B的左侧，点B在原点处，点C，D分别与5和8对应，A，B之间的距离与C，D之间的距离相等．    (1)点A表示的数为________． (2)小茹利用软件制作了一只电子蟋蟀，蟋蟀从点A处开始第一次沿数轴向右跳动1个单位长度，第二次沿数轴向左跳动3个单位长度，第三次沿数轴向右跳动5个单位长度，第四次沿数轴向左跳动7个单位长度，……，且按此规律进行跳动． ①求电子蟋蟀跳动5次后落点所对应的数轴上的数，并直接写出第几次跳动后落在原点处． ②求出电子蟋蟀跳动100次后的落点与点C之间的距离． 60．在体育课中，我们经常根据“立正，向右转，向左转、向后转”这些口令进行相应的运动，这些运动是可以连续进行的，现规定：把连续执行2个口令的结果，叫作这2个口令相加所得到的和，并用“”表示相加．例如：向右转向左转立正，向左转向左转向后转，等等．分别用数字符号0，1，，2表示立正，向右转，向左转，向后转，可以建立如下的体育口令加法运算表． 0（立正） 1（向右转） （向左转） 2（向后转） 0（立正） 0 1 2 1（向右转） 1 2 0 n （向左转） 0 2 1 2（向后转） 2 x y m 请完成下面问题： (1)上述表格中， ， ， ． (2)若用字母a表示任何一种体育口令，则 ． (3)判断这种体育口令的加法运算是否满足交换律和结合律？请举例验证（各举一个例子即可）． 【拓展训练四 有理数加减法与数轴、绝对值结合】 61．【阅读】：表示7与3差的绝对值，也可理解为7与3两数在数轴上所对应的两点之间的距离；可以看做，表示7与的差的绝对值，也可理解为7与两数在数轴上所对应的两点之间的距离． 【探索】： (1)计算： (2)利用数轴，写出所有符合条件的整数x，使x所表示的点到5和所对应的点的距离之和为7． (3)直接写出的最小值及此时x的取值范围． (4)直接写出最小值及此时x的值． 62．如图，甲、乙两人(看成点)分别在从数轴上表示和9的点的位置开始，沿数轴做移动游戏．每次移动游戏规则：两人先进行“石头、剪刀、布”，而后根据输赢结果进行移动． ①若平局，则甲向东移动1个单位长度，同时乙向西移动1个单位长度； ②若甲赢，则甲向东移动3个单位长度，同时乙向东移动1个单位长度； ③若乙赢，则甲向西移动1个单位长度，同时乙向西移动3个单位长度． 前三局结果如下表(提示：剪刀胜布，布胜石头，石头胜剪刀)： 第一局 第二局 第三局 … 甲的手势 石头 剪刀 石头 … 乙的手势 石头 布 布 … (1)从如图的位置开始，第一局后甲乙两人相距 个单位长度； (2)从如图的位置开始，从前五局来看，甲一平两胜两负，这五局游戏结束后，乙离原点的距离为 ． (3)从如图的位置开始，若进行了k局游戏后，甲与乙的位置相距3个单位长度，直接写出 ． 63．同学们都知道表示5与之差的绝对值，也可理解为5与两数在数轴上所对的两点之间的距离，试探索： (1)数轴上表示和两点之间的距离是 ； (2)找出所有符合条件的整数x，使得取最小值时，相应的x的整数解是 ； (3)对于任何有理数x，取最小值时，相应的x的值是 ； (4)由以上探索猜想，对于任何有理数x，是否有最小值？如果有，写出最小值，并求出x的整数解；如果没有，说明理由． 64．操作发现．    操作一：如图1，已知点A、M所表示的数分别为、1，将点A绕点M旋转得到点B，此时点B所表示的数为4．将上述过程记作：或； 操作二：如图2，已知点M和线段，将点A、M绕同一点旋转，使点A和点B重合，此时点M所对应的点用N表示．将上述过程记作： ；如：； (1)利用图3、图4，直接填空： ； ； (2)点A表示的数为a，点B与点A的距离为4，点C是数轴上一动点，且，． ①点A在运动过程中，D、E两点之间的距离是否为定值，如果是，请直接写出这个值，如果不是，请求出它的取值范围； ②当点C表示的数是，B、D两点之间距离刚好为1，若点B在点A右侧，求a的值． 65．平移和翻折是初中数学两种重要的图形变换    (1)平移运动 ①把笔尖放在数轴的原点处，先向负方向移动4个单位长度，再向正方向移动1个单位长度，这时笔尖的位置表示什么数？用算式表示以上过程及结果是______． A、    B、 C、    D、 ②一机器人从原点开始，第1次向左跳1个单位，紧接着第2次向右跳2个单位，第3次向左跳3个单位，第4次向右跳4个单位，，依此规律跳，当它跳2023次时，落在数轴上的点表示的数是______． (2)翻折变换 ①若折叠纸条，表示的点与表示3的点重合，则表示2023的点与表示______的点重合； ②若数轴上两点之间的距离为2024（在的左侧，且折痕与①折痕相同），且两点经折叠后重合，则点表示______，点表示______． (3)一条数轴上有点，其中点表示的数分别是、8，现以点为折点，将数轴向右对折，若点对应的点落在数轴上，并且，求点表示的数． 1．比大4的数是（    ） A． B．2 C．6 D． 2．以花花家为起点，向东走为正，向西走为负．如果花花从家先走了米，又走了米，这时花花在家的（   ） A．正西方向20米处 B．正西方向50米处 C．正东方向20米处 D．正东方向50米处 3．如果， 那么的值为（   ） A． B． C． D． 4．某市2025年1月份连续四天的天气预报信息如图所示，其中日温差最大的一天是（   ） 1月28日（除夕） 1月29日（春节） 1月30日（初二） 1月31日（初三） A．1月28日 B．1月29日 C．1月30日 D．1月31日 5．如图，某品牌乒乓球的产品参数中标明球的直径是，下列乒乓球的尺寸中，不合格的是（   ） ★★★ 型号 3星级 质量 黄色 质量 直径 包装规格 10只/盒 A． B． C． D． 6．若有理数a，b满足，且，则的值是（   ） A． B．1 C．或 D．1或 7．为计数方便，某果园以每筐水果为准，超过的千克数记作正数，不足的千克数记作负数．“”表示的实际千克数是 ． 8．有一只蚂蚁在直线上表示3的数字位置上开始向西爬行（向东为正方向），每秒钟爬行1个单位，那么5秒后这只蚂蚁所在的位置表示的数是 ． 9．已知，且，则 ． 10．爸爸带奇奇去买镇尺和木箱，奇奇将镇尺价格的十分位上的7看成了1，将木箱价格的十位上的2看成了3，计算两件物品的总价得，他们购买这两件物品实际应付 元． 11．计算 . 12．（1）已知，，则的值为 ． （2）若，，且，则 ． 13．计算 (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) 14．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 15．设表示不超过a的最大整数，例如，，． (1)求的值； (2)令，求的值． 16．计算： (1)； (2)． 17．正值中秋佳节，小梦和妈妈一块去购买月饼，妈妈买了一盒某品牌月饼共计8枚．小梦将8枚月饼的质量称重后统计表如下（单位：克）： 第枚 1 2 3 4 5 6 7 8 质量 56 55 54.8 56.2 55.3 55.3 54.7 54.3 (1)小梦为了简化运算，选取了一个恰当的标准质量，依据这个标准质量，小梦把超出的部分记为正，不足的部分记为负，列出表格（不完整）．请根据表格计算这个标准质量_______克，下面表格中第3枚月饼的质量是________克； 第枚 1 2 3 4 5 6 7 8 质量 ________ ________ ________ ________ ________ (2)当小梦看到说明书上标记的总质量为克时，小梦妈妈买的月饼在总质量上是否合格？请你通过计算说明为什么． 18．妈妈在超市买了一袋面粉，发现包装袋上有这样一段字样：“净重：”． (1)这段文字表示这袋面粉的重量在________和________之间． (2)在一次检测中，检验员从一个包装箱中任取了5袋有上述字样的面粉，记录劈如下： 袋号 1 2 3 4 5 质量 803 798 800 794 805 请你结合（1）和上表中的数据，以为标准，超出标准记为正，不足的记为负，用正、负数表示出这5袋面粉的质量，并判断这5袋面粉中不合格的有________袋． 11 / 11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$