专题16 圆的标准方程（4知识点+5大题型+思维导图+过关检测）-【暑假自学课】2025年新高二数学暑假提升精品讲义（人教A版2019选择性必修第一册）

专题16 圆的标准方程 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材 学知识：教材精讲精析、全方位预习 练题型 强知识：5大核心考点精准练 第二步：记 串知识 识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测 稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点01：圆的定义 平面内到定点的距离等于定长的点的集合叫作圆，定点称为圆心，定长称为圆的半径. 如图，在平面直角坐标系中，的圆心的坐标为, 半径为, 为圆上任意一点， 可用集合表示为： 知识点02：圆的标准方程 1、圆的标准方程：我们把 称为圆心为，半径长为的圆的标准方程． 注：圆的标准方程的右端，当方程右端小于或等于0时，对应方程不是圆的标准方程． 2、圆的标准方程的推导过程 （1）建系设点：建立坐标系时，原点在圆心是特殊情况，就一般情况来说，因为是定点，设，半径为，且设圆上任意一点的坐标为． （2）写点集：根据定义，圆就是集合． （3）列方程：由两点间的距离公式得． （4）化简方程：将上式两边平方得． 知识点03：点与圆的位置关系 判断点与：位置关系的方法: 1、几何法（优先推荐） 设到圆心的距离为，则 ①则点在外 ②则点在上 ③则点在内 2、代数法 将点带入：方程内 ①点在外 ②点在上 ③点在内 知识点04：圆上的点到定点的最大、最小距离 设的方程，圆心，点是上的动点，点为平面内一点；记; 1、若点在外，则; 2、若点在上，则; 3、若点在内，则; 【题型01：由标准方程确定圆心和半径】 一、单选题 1．（23-24高二上·江苏徐州·期末）圆的圆心坐标和半径分别为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·福建福州·期中）给定圆的方程，则过坐标原点和圆心的直线方程为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高二上·陕西西安·月考）若直线是圆的一条对称轴，则（    ） A．0 B．1 C．2 D．4 4．（23-24高二上·广东广州·期中）曲线与轴所围成区域的面积为（    ） A． B． C． D． 【题型02：求圆的标准方程】 一、单选题 1．（24-25高二上·北京密云·期末）圆心为且过原点的圆的方程是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·北京昌平·期末）以，为直径的两个端点的圆的方程为（   ） A． B． C． D． 3．（23-24高二上·四川乐山·期末）已知圆的圆心在轴上且经过两点，则圆的标准方程是（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高二上·海南·月考）的三个顶点的坐标分别为，，，则的外接圆方程是（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高二上·浙江台州·期中）已知圆经过，两点，且圆心在直线，则圆的标准方程是（    ） A． B． C． D． 6．（24-25高二上·天津河北·期末）过点，且圆心在直线上的圆的方程是（   ） A． B． C． D． 【题型03：点与圆的位置关系判断】 一、单选题 1．（23-24高二下·河北石家庄·期末）点P与圆的位置关系为（    ） A．点在圆外 B．点在圆上 C．点在圆内 D．无法确定 2．（24-25高二上·福建泉州·月考）点与圆的位置关系是（    ） A．在外 B．在上 C．在内 D．不确定，与的取值有关 3．（23-24高二上·全国·课后作业）点与圆的位置关系是（　　） A．在圆外 B．在圆上 C．在圆内 D．与a的值有关 4．（24-25高二上·广东·开学考试）“”是“点在圆内”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件 5．（23-24高二上·山东烟台·期中）已知圆C：上总存在两个点到原点的距离为2，则圆C半径r的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【题型04：点与圆的位置关系中的最值问题】 一、单选题 1．（24-25高二上·湖北·期中）已知半径为3的圆经过点，则其圆心到原点的距离的最小值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．（24-25高二上·辽宁·月考）已知直线过定点，若为圆上任意一点，则的最大值为（    ） A．3 B．5 C．7 D．9 3．（24-25高二上·福建泉州·期中）已知点在圆上，点，则的值可能为（   ） A．1 B．7 C．13 D．15 【题型05：圆的标准方程中对称条件的突破】 一、单选题 1．（23-24高二上·河南周口·期末）若曲线上相异两点P、Q关于直线对称，则k的值为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 2．（23-24高二上·福建福州·期中）在平面直角坐标系中，若圆关于直线的对称圆为圆，则、的值分别为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高二下·云南昆明·月考）已知圆与圆关于直线对称，则的方程为（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高二上·重庆·期中）已知圆M：，求圆M关于直线l：的对称圆方程（   ） A． B． C． D． 一、单选题 1．（24-25高二上·北京·期中）圆心为，且半径为的圆的方程是（   ） A． B． C． D． 2．（2024高二·全国·专题练习）圆x2＋y2＝4上的点到点(1，0)的距离的最大值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．5 3．（24-25高二上·浙江杭州·月考）若点在圆外，则实数m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高二上·河南南阳·月考）已知圆经过，两点，且圆心在直线，则圆的标准方程是（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高二上·黑龙江哈尔滨·期中）已知圆M的方程为，则直线关于点M的对称直线方程为（    ） A． B． C． D． 6．（24-25高二上·重庆长寿·期末）已知点是圆上任意一点，则的最大值为（   ） A．5 B．6 C．25 D．36 7．（24-25高二上·河北石家庄·期中）点与圆（）的位置关系为（   ）. A．点在圆外 B．点在圆上 C．点在圆内 D．与的取值有关，无法确定 8．（24-25高二上·江苏盐城·期中）圆，圆与圆关于直线对称，则圆的标准方程为（   ） A． B． C． D． 9．（24-25高二上·江苏苏州·期中）若圆上总存在两个点到点的距离为2，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 10．（23-24高二上·广东惠州·月考）已知圆关于直线（，）对称，则的最小值为（    ） A． B．9 C．4 D．8 二、多选题 11．（23-24高二上·青海海南·期中）已知，两点，以线段为直径的圆为圆，则（    ） A．在圆上 B．在圆外 C．在圆内 D．在圆外 12．（23-24高二上·福建福州·期中）圆与轴相切，且经过两点，则圆可能是（    ） A． B． C． D． 13．（23-24高二上·新疆巴音郭楞·期末）过四点中的三点的圆的方程为（    ） A． B． C． D． 11 / 11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 圆的标准方程 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材 学知识：教材精讲精析、全方位预习 练题型 强知识：5大核心考点精准练 第二步：记 串知识 识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测 稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点01：圆的定义 平面内到定点的距离等于定长的点的集合叫作圆，定点称为圆心，定长称为圆的半径. 如图，在平面直角坐标系中，的圆心的坐标为, 半径为, 为圆上任意一点， 可用集合表示为： 知识点02：圆的标准方程 1、圆的标准方程：我们把 称为圆心为，半径长为的圆的标准方程． 注：圆的标准方程的右端，当方程右端小于或等于0时，对应方程不是圆的标准方程． 2、圆的标准方程的推导过程 （1）建系设点：建立坐标系时，原点在圆心是特殊情况，就一般情况来说，因为是定点，设，半径为，且设圆上任意一点的坐标为． （2）写点集：根据定义，圆就是集合． （3）列方程：由两点间的距离公式得． （4）化简方程：将上式两边平方得． 知识点03：点与圆的位置关系 判断点与：位置关系的方法: 1、几何法（优先推荐） 设到圆心的距离为，则 ①则点在外 ②则点在上 ③则点在内 2、代数法 将点带入：方程内 ①点在外 ②点在上 ③点在内 知识点04：圆上的点到定点的最大、最小距离 设的方程，圆心，点是上的动点，点为平面内一点；记; 1、若点在外，则; 2、若点在上，则; 3、若点在内，则; 【题型01：由标准方程确定圆心和半径】 一、单选题 1．（23-24高二上·江苏徐州·期末）圆的圆心坐标和半径分别为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用圆的标准方程即可求得圆心坐标和半径. 【详解】根据圆的标准方程， 即可得圆心坐标为，半径为. 故选：D 2．（24-25高二上·福建福州·期中）给定圆的方程，则过坐标原点和圆心的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意可得圆心为，从而可得直线方程的斜率为-4，由直线的点斜式方程即可求解. 【详解】由圆的标准方程可知，圆心为， 则过坐标原点和圆心的直线方程的斜率为： ， 由直线的点斜式可得 ，即 . 故选：B. 3．（23-24高二上·陕西西安·月考）若直线是圆的一条对称轴，则（    ） A．0 B．1 C．2 D．4 【答案】A 【分析】根据直线经过圆心即可求解. 【详解】由题意可得，直线过圆心，则，解得. 故选：A 4．（23-24高二上·广东广州·期中）曲线与轴所围成区域的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据圆的标准方程求解. 【详解】    由可得，， 所以曲线表示圆的部分， 因为圆心坐标为，所以圆关于轴对称， 所以曲线与轴所围成区域的面积为， 故选:B. 【题型02：求圆的标准方程】 一、单选题 1．（24-25高二上·北京密云·期末）圆心为且过原点的圆的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据圆上一点到圆心的距离即为半径，即可写出圆的方程. 【详解】圆心为的圆的方程为， 又因为原点在圆上，则， 所以. 故选：D. 2．（24-25高二上·北京昌平·期末）以，为直径的两个端点的圆的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用圆的标准方程待定系数计算即可． 【详解】易知该圆圆心为的中点，半径， 所以该圆方程为：． 故选：D． 3．（23-24高二上·四川乐山·期末）已知圆的圆心在轴上且经过两点，则圆的标准方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设圆的标准方程是，将代入求解即可. 【详解】解：由题意设圆的标准方程是， 因为圆经过两点， 所以，解得， 所以圆的标准方程是， 故选：A 4．（24-25高二上·海南·月考）的三个顶点的坐标分别为，，，则的外接圆方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设出的外接圆方程，将，，代入即可求解. 【详解】设的外接圆方程为， 所以，解得， 所以外接圆的方程为. 故选：. 5．（24-25高二上·浙江台州·期中）已知圆经过，两点，且圆心在直线，则圆的标准方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设出圆心，根据得到方程，求出，得到圆心和半径，得到圆的方程. 【详解】设圆心为， 由题意得，即， 解得，故圆心， 半径为， 故圆的标准方程为. 故选：C 6．（24-25高二上·天津河北·期末）过点，且圆心在直线上的圆的方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题设得的中垂线方程为，其与交点即为所求圆心，并应用两点距离公式求半径，写出圆的方程即可． 【详解】由题设，的中点坐标为，且， ∴的中垂线方程为，联立， ∴，可得，即圆心为，而， ∴圆的方程是． 故选：B． 【题型03：点与圆的位置关系判断】 一、单选题 1．（23-24高二下·河北石家庄·期末）点P与圆的位置关系为（    ） A．点在圆外 B．点在圆上 C．点在圆内 D．无法确定 【答案】A 【分析】先求点到圆心的距离，再根据这个距离与圆的半径的关系确定点与圆的位置关系. 【详解】因为圆的圆心为：，半径为：1. 由点与圆心的距离为：， 又. 所以点在圆外. 故选：A 2．（24-25高二上·福建泉州·月考）点与圆的位置关系是（    ） A．在外 B．在上 C．在内 D．不确定，与的取值有关 【答案】A 【分析】根据圆心与点的距离与半径的关系判断即可. 【详解】由圆心， 可得， 所以在外. 故选：A 3．（23-24高二上·全国·课后作业）点与圆的位置关系是（　　） A．在圆外 B．在圆上 C．在圆内 D．与a的值有关 【答案】A 【分析】求出点到圆心的距离与半径比较大小即可得结论 【详解】圆的圆心，半径， 因为， 所以点在圆外， 故选：A 4．（24-25高二上·广东·开学考试）“”是“点在圆内”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】A 【分析】先求出“点在圆内”的充要条件，对比即可得解. 【详解】点在圆内， 所以“”是“点在圆内”的充分不必要条件. 故选：A. 5．（23-24高二上·山东烟台·期中）已知圆C：上总存在两个点到原点的距离为2，则圆C半径r的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由原点到的距离，讨论原点与圆的位置关系，结合题设条件求半径的范围. 【详解】由圆心为，半径为，则原点到的距离， 要使总存在两个点到原点的距离为2， 若原点在圆外，则； 若原点在圆上，即，满足； 若原点在圆内，则； 综上，圆C半径r的取值范围是. 故选：C 【题型04：点与圆的位置关系中的最值问题】 一、单选题 1．（24-25高二上·湖北·期中）已知半径为3的圆经过点，则其圆心到原点的距离的最小值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据圆心轨迹是为圆心，3为半径的圆，即可根据求解. 【详解】半径为3的圆经过点，可得该圆的圆心轨迹是为圆心，3为半径的圆， 由，， 所以圆心到原点距离的最小值是． 故选：B．    2．（24-25高二上·辽宁·月考）已知直线过定点，若为圆上任意一点，则的最大值为（    ） A．3 B．5 C．7 D．9 【答案】C 【分析】先分析出直线过定点，然后分析出定点在圆外，从而得到最大值为圆心距加半径. 【详解】由，得，所以直线过定点， 由，知圆心坐标，半径为2， 所以到圆心的距离为， 所以在圆外，故的最大值为. 故选：C. 3．（24-25高二上·福建泉州·期中）已知点在圆上，点，则的值可能为（   ） A．1 B．7 C．13 D．15 【答案】B 【分析】先确定在圆内，再求出到圆心的距离，然后得到的取值范围即可. 【详解】因为，所以点在圆内， 又圆心，半径为7，点到圆心的距离为， 所以，即的取值范围为， 所以的值可能为7. 故选：B. 【题型05：圆的标准方程中对称条件的突破】 一、单选题 1．（23-24高二上·河南周口·期末）若曲线上相异两点P、Q关于直线对称，则k的值为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】根据圆上的任意两点关于直径对称即可求解. 【详解】若曲线上相异两点P、Q关于直线对称， 则圆心在直线上，故代入解得， 故选：D． 2．（23-24高二上·福建福州·期中）在平面直角坐标系中，若圆关于直线的对称圆为圆，则、的值分别为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意可知两圆半径相等，求得r，且可知两圆圆心关于直线对称，即可结合直线垂直的条件求得a的值，即得答案. 【详解】由题意可知圆与圆的半径相等， 故，且关于直线对称， 故直线与直线垂直，则， 故选：A 3．（23-24高二下·云南昆明·月考）已知圆与圆关于直线对称，则的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先确定圆心坐标，再求出两圆心的中点坐标与斜率，即可得到直线的斜率，再由点斜式计算可得. 【详解】圆的圆心为， 圆的圆心为， 所以、的中点坐标为，又， 则，所以直线的方程为，即. 故选：A 4．（24-25高二上·重庆·期中）已知圆M：，求圆M关于直线l：的对称圆方程（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设对称圆的圆心，解方程组即得解. 【详解】圆的圆心为，设对称圆的圆心为， 依题意得，解得， 又圆的半径与对称圆的半径相等， 所以对称圆的方程为. 故选：D. 一、单选题 1．（24-25高二上·北京·期中）圆心为，且半径为的圆的方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据圆心与半径直接可得圆的方程. 【详解】由已知圆心为，且半径为， 则圆的方程是. 故选：D. 2．（2024高二·全国·专题练习）圆x2＋y2＝4上的点到点(1，0)的距离的最大值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．5 【答案】C 【详解】因为点(1，0)在圆x2＋y2＝4内，且点(1，0)到圆心(0，0)的距离为1，所以圆上的点到点(1，0)的距离的最大值为2＋1＝3. 3．（24-25高二上·浙江杭州·月考）若点在圆外，则实数m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据点在圆外，列出关于的不等式，求出不等式的解集即可得到的取值范围． 【详解】点在圆外， 且， 解得． 故选：C． 4．（24-25高二上·河南南阳·月考）已知圆经过，两点，且圆心在直线，则圆的标准方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设出圆的标准方程，根据条件列出方程组，进而求解即可. 【详解】由题知，设圆的标准方程为， 则，解得， 所以圆的标准方程为. 故选：C 5．（23-24高二上·黑龙江哈尔滨·期中）已知圆M的方程为，则直线关于点M的对称直线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先给出点的坐标，所求直线应平行于已知直线，且点到这两条直线的距离相等. 【详解】点坐标为，设所求直线方程为 则有 两直线不能重合， 所以 故选：D. 6．（24-25高二上·重庆长寿·期末）已知点是圆上任意一点，则的最大值为（   ） A．5 B．6 C．25 D．36 【答案】D 【分析】根据给定条件，利用目标函数的几何意义，结合圆上的点与定点距离的最大值求解即可. 【详解】圆的圆心，半径， 目标函数表示圆上的点与定点距离的平方， 而， 所以的最大值为36. 故选：D 7．（24-25高二上·河北石家庄·期中）点与圆（）的位置关系为（   ）. A．点在圆外 B．点在圆上 C．点在圆内 D．与的取值有关，无法确定 【答案】A 【分析】求出点与圆心的距离，和半径比较即可判断位置关系. 【详解】圆（）的圆心为，半径为. 因为点与圆心的距离为，且， 所以，故， 所以点在圆（）外. 故选：A. 8．（24-25高二上·江苏盐城·期中）圆，圆与圆关于直线对称，则圆的标准方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求出圆心关于直线的对称点即可得解. 【详解】设，的圆心，半径， 由题意则与关于直线对称， 所以，解得， 所以圆的标准方程为， 故选：A 9．（24-25高二上·江苏苏州·期中）若圆上总存在两个点到点的距离为2，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出圆心和半径，表达出圆心与的距离为，数形结合得到，从而得到不等式，求出答案. 【详解】的圆心为，半径为1， 与的距离为， 要想圆上总存在两个点到点的距离为2， 则，即，解得. 故选：B 10．（23-24高二上·广东惠州·月考）已知圆关于直线（，）对称，则的最小值为（    ） A． B．9 C．4 D．8 【答案】B 【分析】由题可得，然后利用基本不等式即得. 【详解】圆的圆心为，依题意，点在直线上， 因此，即， ∴， 当且仅当，即时取“=”， 所以的最小值为9. 故选：B. 二、多选题 11．（23-24高二上·青海海南·期中）已知，两点，以线段为直径的圆为圆，则（    ） A．在圆上 B．在圆外 C．在圆内 D．在圆外 【答案】ABC 【分析】根据条件求圆心和半径，即可求得圆的标准方程，再将点代入圆的方程，即可判断点与圆的位置关系. 【详解】线段的中点坐标为， 又， 因为线段为圆的直径，所以圆的圆心为，半径， 所以圆的方程为， 对于A，点代入，所以点在圆上，故A正确； 对于B，点代入，所以点在圆外，故B正确； 对于C，点代入，所以点在圆内，故C正确； 对于D，点代入，所以点在圆上，故D错误. 故选：ABC. 12．（23-24高二上·福建福州·期中）圆与轴相切，且经过两点，则圆可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】设圆的圆心为，则半径.根据已知可得，代入坐标化简得出.，整理可得，.联立即可得出圆心以及半径，进而得出答案. 【详解】设圆的圆心为，则半径. 又点，在圆上， 所以有， 即， 整理可得，. 又，即， 整理可得，. 联立可得，或， 所以，圆心坐标为或. 当圆心坐标为时，，圆的方程为； 当圆心坐标为时，，圆的方程为. 综上所述，圆的方程为或. 故选：BC. 13．（23-24高二上·新疆巴音郭楞·期末）过四点中的三点的圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】分四种情况讨论，利用待定系数法求出圆的方程即可. 【详解】设圆的方程为， 当圆过三点时， 则，解得， 所以圆的方程为， 当圆过三点时， 则，解得， 所以圆的方程为， 当圆过三点时， 则，解得， 所以圆的方程为， 当圆过三点时， 则，解得， 所以圆的方程为. 故选：ABC. 【点睛】方法点睛：求圆的方程，主要有两种方法： （1）几何法：具体过程中要用到初中有关圆的一些常用性质和定理． 如：①圆心在过切点且与切线垂直的直线上； ②圆心在任意弦的中垂线上； ③两圆相切时，切点与两圆心三点共线； （2）待定系数法：根据条件设出圆的方程，再由题目给出的条件，列出等式，求出相关量．一般地，与圆心和半径有关，选择标准式，否则，选择一般式．不论是哪种形式，都要确定三个独立参数，所以应该有三个独立等式． 11 / 11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$