专题2.1 必要条件与充分条件（高效培优讲义）数学北师大版2019必修第一册

专题2.1 必要条件与充分条件 教学目标 (1)理解充分条件、必要条件与充要条件的概念； (2)掌握充分条件、必要条件与充要条件的判断方法. 教学重难点 1.重点 (1)充分条件、必要条件与充要条件的判断方法； (2)由充分性、必要性求参数的取值范围． 2.难点 (1)对充分条件、必要条件与充要条件概念的理解； (2)充要条件的证明． 知识点01 必要条件与性质定理 一般地，当命题“若p，则q”是真命题时，称_ ___是_ ___的必要条件，即 ⇒__ __. 也就是说，一旦q不成立，p一定也不成立，即q对于p的成立是必要的． 说明：q是p的必要条件，所谓“必要”，即q是p成立的必不可少的条件，缺其不可． 【即学即练】 1．从符号“”“”“”中选择适当的一个填空： （1） ； （2）a，b都是偶数 是偶数； （3） ； （4）n是偶数 n是4的倍数. 2.下列“若p，则q”形式的命题中，是的必要条件的命题有 （1）若是无理数，则是无理数． （2）若两个三角形全等，则这两个三角形面积相等． （3）若，则. （4）若和都是偶数，则是偶数． 知识点02 充分条件与判定定理 一般地，当命题“若p，则q”是真命题时，称_ __是_ ___的充分条件，即 ⇒__ ___. 说明：若p⇒q，则p是q的充分条件，所谓“充分”，即要使q成立，有p成立就足够了． 【即学即练】 1．已知，若p是q的充分条件，则实数a的取值范围是 ；若p是q的必要条件，则实数a的取值范围是 ． 2.已知p:x=0,q:xy=0,p是q的充分条件吗？ (2)已知p:x=1,q:则q是p的必要条件吗？ 知识点03 充要条件 一般地，如果p⇒q，且q⇒p，那么称__ __是_ ___的充分且必要条件，简称___是__的充要条件，记作_____． 【即学即练】“x＝1”是“x2－2x＋1＝0”的(　　) A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 题型01 用必要条件的语言表述定理 【典例】将下面的性质定理写成“若p则q”的形式，并用必要条件的语言表述： (1)平面四边形的外角和是360°； (2)在平面直角坐标系中，关于x轴对称的两个点的横坐标相同． 用必要条件的语言表述定理的一般步骤 (1)分析定理的条件和结论； (2)将定理写成“若p，则q”的形式； (3)利用必要条件的概念来表述定理． 【变式】判断下列各组中是否有p⇒q或q⇒p成立，并用必要条件的语言表述： (1)p：两个三角形相似，q：两个三角形全等； (2)p：一个四边形是矩形，q：四边形的对角线相等； (3)p：x＝1，q：(x－1)(x－2)＝0. 题型02 用充分条件的语言表述定理 【典例】用充分条件的语言表述下面的命题： (1)若a＝－b，则|a|＝|b|； (2)若点C是线段AB的中点，则|AC|＝|BC|； (3)当ac<0时，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有两个不相等的实数根． 充分条件的两种判断方法 (1)定义法 ①确定谁是条件，谁是结论； ②尝试从条件推结论，若条件能推出结论，则条件为充分条件，否则就不是充分条件． (2)命题判断法 ①如果命题：“若p，则q”为真命题，那么p是q的充分条件，同时q是p的必要条件； ②如果命题：“若p，则q”为假命题，那么p不是q的充分条件，同时q也不是p的必要条件． 【变式】用充分条件的语言表述下面的命题： (1)若a＝－b，则|a|＝|b|； (2)若点C是线段AB的中点，则|AC|＝|BC|； (3)当ac<0时，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有两个不相等的实数根． 题型03 定义法判断充分性与必要性 【典例】在下列各题中，分析p是q的什么条件：(在“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分又不必要条件”中选出一种) (1) (2) (3)p:x>0,y>0,q:xy>0. 利用定义判断充分性与必要性： (1)若pq，但p,则称p是q的充分而不必要条件； (2)若p不能推出q，但qp,则称p是q的必要而不充分条件； (3)若pq，且qp(即)则说p是q的充要条件； (4)pq，且qp，则说p是q的既不充分也不必要条件. 【变式1】设x，y都是实数，则“x＞2且y＞3”是“x＞2或y＞3”的（　　）条件 A．充分非必要 B．必要非充分 C．充要 D．既非充分也非必要 【变式2】设m∈R，则“m＜0”是“m＜1”的（　　） A．充分必要条件 B．即不充分也不必要条件 C．充分不必要条件 D．必要不充分条件 【变式3】设x∈R，则“x＞2”是“”的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 题型04 集合法判断充分性与必要性 【典例1】“”是“”成立的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【典例2】已知，，则是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 若p以集合A的形式出现，q以集合B的形式出现，即A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，则 (1)若A ⊆B，则p是q的充分条件． (2)若B ⊆A，则p是q的必要条件． (3)若A＝B，则p是q的充要条件． (4)若A ⊆B且BA，即AB，则p是q的充分不必要条件． (5)若B ⊆A且AB，即BA，则p是q的必要不充分条件． (6)若AB且BA，则p是q的既不充分也不必要条件. 【变式1】已知集合A＝{x|x≥0}，B＝{x|x﹣2＞0}，则x∈A是x∈B的（　　） A．充分不要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分他不要条件 【变式2】设p: -1<x<5,q: x<5,则p是q成立的( ) A.充分不必要条件 B.充要条件 C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 题型05 递推法判断充分性与必要性 【典例】已知p，q都是r的必要条件，s是r的充分条件，q是s的充分条件．那么： (1)s是q的什么条件？ (2)r是q的什么条件？ (3)p是q的什么条件？ 由于逻辑联结符号“⇒”“”“⇔”具有传递性，因此可根据几个条件的关系，经过若干次的传递，判断所要判断的两个条件之间的依存关系． 【变式1】已知是的充分非必要条件，的充要条件是，则是的（    ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分也非必要条件 【变式2】若甲是乙的充分不必要条件，乙是丙的充要条件，丙是丁的必要不充分条件，则下列说法正确的是（    ） A．乙是甲的必要不充分条件 B．甲是丙的充分不必要条件 C．丁是甲的既不充分也不必要条件 D．乙是丁的充要条件 题型06 充要条件的证明 【典例】求证：关于x的方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有一正根和一负根的充要条件是ac<0. 证明充要条件时要从充分性和必要性两个方面分别证明，首先分清哪个是条件，哪个是结论，然后确定推出方向，即充分性需要证明“条件”⇒“结论”，必要性需要证明“结论”⇒“条件”． 【变式】已知x，y都是非零实数，且x>y，求证：<的充要条件是xy>0. 题型07 充分、必要条件的探求 【典例】关于的一元二次方程有实数解的一个必要不充分条件的是（    ） A． B． C． D． 探求一个命题成立的充分、必要条件问题，首先要确定“条件”与“结论”及寻找“结论”的什么条件，其解题的通法是先推导出“结论”的充要条件，将充要条件“放大”即得“结论”的必要不充分条件，将充要条件“缩小”即得“结论”的充分不必要条件，将充要条件等价转化仍得“结论”的充要条件. 【变式1】 “x﹣1＞0”成立的一个必要不充分条件的是（　　） A．x＞1 B．x＞2 C．x＜3 D．x＞0 【变式2】已知p：0＜x＜1，那么p的一个充分不必要条件是（　　） A．1＜x＜3 B．﹣1＜x＜1 C． D． 【变式3】已知a，b∈R，则“ab≠0”的一个必要条件是（　　） A．a+b≠0 B．a2+b2≠0 C．a3+b3≠0 D． 题型08 充要条件的探求 【典例】求关于x的方程ax2＋2x＋1＝0至少有一个负实根的充要条件． 探求充要条件的两种方法: (1)先寻找必要条件，即将探求充要条件的对象视为结论，寻找使之成立的条件；再证明此条件是该对象的充分条件，即从充分性和必要性两方面说明． (2)将原命题进行等价变形或转换，直至获得其成立的充要条件，探求的过程同时也是证明的过程，因为探求过程每一步都是等价的，所以不需要将充分性和必要性分开来证． 【变式】等式成立的充要条件是（    ） A． B． C． D． 【变式2】设，则“”的充要条件是（   ） A．a，b中至少有一个为1 B．a，b都不为0 C．a，b都为1 D．不都为1 题型09 由充分、必要条件求参数的取值范围 【典例1】（2021秋•赫章县期末）若“1≤x≤4”是“a≤x≤a+4”的充分不必要条件，则实数a的取值范围为（　　） A．a≤0 B．0≤a≤1 C．0＜a＜1 D．a≤0或a≥1 【典例2】已知P＝{x|a﹣4＜x＜a+4}，Q＝{x|1＜x＜3}，“x∈P”是“x∈Q”的必要条件，则实数a的取值范围是（　　） A．﹣1≤a≤5 B．﹣1＜a≤5 C．﹣2≤a≤3 D．﹣2≤a＜3 根据充分、必要条件求参数的取值范围时，先将p，q等价转化，再根据充分、必要条件与集合间的关系，将问题转化为相应的两个集合之间的包含关系，然后建立关于参数的不等式(组)进行求解. 【变式1】已知条件p：﹣1＜x＜1，q：x＞m，若p是q的充分不必要条件，则实数m的取值范围是（　　） A．[﹣1，+∞） B．（﹣∞，﹣1） C．（﹣1，0） D．（﹣∞，﹣1] 【变式2】如果不等式|x﹣a|＜1成立的充分不必要条件是，则实数a的取值范围是（　　） A． B． C．或 D．或 题型10 与充分、必要条件相关的数学文化题 【典例】《墨经》上说：“小故，有之不必然，无之必不然．体也，若有端．大故，有之必然，若见之成见也．”其中“无之必不然”表述的逻辑关系一定是（   ） A．充分条件 B．必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式】在中国传统的十二生肖中，马､牛､羊､鸡､狗､猪为六畜，则“甲的生肖不是马”是“甲的生肖属于六畜”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 题型11 充分、必要条件与集合的交汇题 【典例】已知集合，. (1)若，求； (2)若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围. 充分、必要条件与集合的交汇涉及各种题型，但更多的是以解答题的形式出现，往往其中一部分考查集合运算，另一部分考查充分条件、必要条件，对于这类题型，一般采用各个击破法求解. 【变式】已知集合或，． (1)若，求实数的取值范围； (2)若是的必要不充分条件，求实数的取值范围． 1、 单选题 1. “”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．使成立的一个充分条件是（   ） A． B． C． D． 3．设，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．已知集合，集合，且是的充分条件，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 5．已知和，且p是q的必要条件，则实数m的值为（    ） A．0 B．2或 C．或 D．0或或 【答案】D 【解析】解法1  ．因为p是q的必要条件，所以．当，即时，符合题意；当时，由，得或，解得或．综上所述，m的值为0或或． 解法2（代入法）  ，当时，，符合题意；当时，；当时，，均满足题意． 6．王昌龄是盛唐著名的边塞诗人，被誉为“七绝圣手”．其名篇“但使龙城飞将在，不教胡马度阴山”（人在阵地在，人不在阵地在不在不知道），由此推断，胡马度过阴山是龙城飞将不在的（    ） A．既不充分也不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．充分不必要条件 7．已知p:或，，若是的必要不充分条件，则正实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8.下列命题中，为假命题的是（   ） A．“”是“”的必要条件 B．“”是“”的充分条件 C．“”的充要条件是“” D．“”是“”的必要条件 2、 多选题 9.设，，下列说法正确的是（   ） A．若，则是的充分不必要条件 B．若，则是的充分不必要条件 C．若，则是的充分必要条件 D．若，，则是的既不充分也不必要条件 10．p是q的充分不必要条件，q是r的必要不充分条件，r是s的充要条件，p是r的既不充分也不必要条件，则（    ） A．s是q的必要不充分条件 B．r是q的充分不必要条件 C．q是s的充要条件 D．p是s的既不充分也不必要条件 11．下列说法正确的是（    ） A．两个三角形全等是这两个三角形面积相等的充分不必要条件 B．设，是实数，则“”是“”的必要而不充分条件 C．设，一元二次方程有整数根的充要条件是 D．函数的图象关于直线对称的充要条件是 3、 填空题 12.若，则是的 条件．（填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”） 13．已知集合或,，若是的充分不必要条件，则a的取值范围是 . 14.在下列所示电路图中，下列说法正确的是 .（填序号）. （1）如图①所示，开关闭合是灯泡亮的充分不必要条件； （2）如图②所示，开关闭合是灯泡亮的必要不充分条件； （3）如图③所示，开关闭合是灯泡亮的充要条件； （4）如图④所示，开关闭合是奵泡亮的必要不充分条件. 4、 解答题 15.已知集合． (1)若“”是“”的充分条件，求实数a的取值范围． (2)是否存在实数a，使得“”是“”的充要条件？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由． 16．已知全集． (1)当时，求阴影部分表示的集合； (2)在①．②．③，这三个条件中任选一个补充到下列问题中并作答． 问题：设_______，，是否存在实数m，使得p是的必要不充分条件？若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由． 17．设集合． (1)证明：“”是“”的充分不必要条件； (2)写出“偶数属于M”的一个充要条件并证明． 18．已知集合 (1)若，求； (2)若，求实数的取值范围； (3)设命题，命题，若是成立的必要不充分条件，求实数的取值范围． 19．已知集合． (1)若，求; (2)若，求实数的取值范围； (3)若是的充分不必要条件，求实数的取值范围． 27 / 28 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题2.1 必要条件与充分条件 教学目标 (1)理解充分条件、必要条件与充要条件的概念； (2)掌握充分条件、必要条件与充要条件的判断方法. 教学重难点 1.重点 (1)充分条件、必要条件与充要条件的判断方法； (2)由充分性、必要性求参数的取值范围． 2.难点 (1)对充分条件、必要条件与充要条件概念的理解； (2)充要条件的证明． 知识点01 必要条件与性质定理 一般地，当命题“若p，则q”是真命题时，称_q___是_p___的必要条件，即 q ⇒__p__. 也就是说，一旦q不成立，p一定也不成立，即q对于p的成立是必要的． 说明：q是p的必要条件，所谓“必要”，即q是p成立的必不可少的条件，缺其不可． 【即学即练】 1．从符号“”“”“”中选择适当的一个填空： （1） ； （2）a，b都是偶数 是偶数； （3） ； （4）n是偶数 n是4的倍数. 【答案】 【分析】根据一元二次不等式的解法，偶数的性质、一元二次方程的解法、绝对值的性质进行逐一求解即可. 【解析】（1）因为，或，所以. （2）因为a，b都是偶数，所以设， ，因为，所以， 所以是偶数，但是当时，是偶数，但是a，b都不是偶数， 所以a，b都是偶数是偶数. （3）因为， 所以； （4）当时，n是偶数，但是n不是4的倍数， 所以n是偶数 n是4的倍数. 2.下列“若p，则q”形式的命题中，是的必要条件的命题有 （1）若是无理数，则是无理数． （2）若两个三角形全等，则这两个三角形面积相等． （3）若，则. （4）若和都是偶数，则是偶数． 【答案】（1）（2）（4） 【分析】根据必要条件的定义即可逐一求解. 【解析】（1）若是无理数，则是无限不循环小数，所以是无限不循环小数， 所以是无理数，所以，所以是的必要条件． （2）全等三角形面积相等，所以，所以是的必要条件． （3）若，则或； 所以，所以是的不必要条件． （4）两个偶数的乘积仍是偶数．所以，所以是的必要条件． 知识点02 充分条件与判定定理 一般地，当命题“若p，则q”是真命题时，称_p__是_q___的充分条件，即 p ⇒__ q___. 说明：若p⇒q，则p是q的充分条件，所谓“充分”，即要使q成立，有p成立就足够了． 【即学即练】 1．已知，若p是q的充分条件，则实数a的取值范围是 ；若p是q的必要条件，则实数a的取值范围是 ． 【答案】 【解析】由p是q的充分条件，知p可推出q，所以；由p是q的必要条件，知q可推出p，所以． 2.已知p:x=0,q:xy=0,p是q的充分条件吗？ (2)已知p:x=1,q:则q是p的必要条件吗？ 【答案】(1)是；（2）是 【解析】(1)命题“若x=0,则xy=0”是真命题，所以p是q的充分条件. (2)命题“若x=1,则”是真命题，可写成：x=1 所以p是q的必要条件. 知识点03 充要条件 一般地，如果p⇒q，且q⇒p，那么称__p__是_q___的充分且必要条件，简称_p___是_q___的充要条件，记作___p⇔q_____． 【即学即练】“x＝1”是“x2－2x＋1＝0”的(　　) A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】x＝1时，x2－2x＋1＝0成立，故是充分的，又当x2－2x＋1＝0时，即(x－1)2＝0，x＝1故是必要的，因此是充要条件． 题型01 用必要条件的语言表述定理 【典例】将下面的性质定理写成“若p则q”的形式，并用必要条件的语言表述： (1)平面四边形的外角和是360°； (2)在平面直角坐标系中，关于x轴对称的两个点的横坐标相同． 【答案】见解析 【解析】(1)“平面四边形的外角和是360°”可表述为“若平面多边形为四边形，则它的外角和为360°”，所以“外角和为360°”是“平面多边形为四边形”的必要条件； (2)“在平面直角坐标系中，关于x轴对称的两个点的横坐标相同”可表述为“若平面直角坐标系中的两个点关于x轴对称，则这两个点的横坐标相同”，所以“两个点的横坐标相同”是“在平面直角坐标系中，两个点关于x轴对称”的必要条件． 用必要条件的语言表述定理的一般步骤 (1)分析定理的条件和结论； (2)将定理写成“若p，则q”的形式； (3)利用必要条件的概念来表述定理． 【变式】判断下列各组中是否有p⇒q或q⇒p成立，并用必要条件的语言表述： (1)p：两个三角形相似，q：两个三角形全等； (2)p：一个四边形是矩形，q：四边形的对角线相等； (3)p：x＝1，q：(x－1)(x－2)＝0. 【答案】见解析 【解析】(1)因为两个三角形相似D⇒两个三角形全等，但两个三角形全等⇒两个三角形相似，所以q⇒p成立，所以“p：两个三角形相似”是“q：两个三角形全等”的必要条件． (2)因为矩形的对角线相等，而对角线相等的四边形不一定是矩形，所以p⇒q成立，所以“q：四边形的对角线相等”是“p：一个四边形是矩形”的必要条件． (3)因为(x－1)(x－2)＝0x＝1，但x＝1⇒(x－1)(x－2)＝0，所以p⇒q成立，所以“q：(x－1)(x－2)＝0”是“p：x＝1”的必要条件． 题型02 用充分条件的语言表述定理 【典例】用充分条件的语言表述下面的命题： (1)若a＝－b，则|a|＝|b|； (2)若点C是线段AB的中点，则|AC|＝|BC|； (3)当ac<0时，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有两个不相等的实数根． 【答案】见解析 【解析】(1)“a＝－b”是“|a|＝|b|”的充分条件； (2)“点C是线段AB的中点”是“|AC|＝|BC|的充分条件”； (3)“ac<0”是“一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有两个不相等的实数根”的充分条件． 充分条件的两种判断方法 (1)定义法 ①确定谁是条件，谁是结论； ②尝试从条件推结论，若条件能推出结论，则条件为充分条件，否则就不是充分条件． (2)命题判断法 ①如果命题：“若p，则q”为真命题，那么p是q的充分条件，同时q是p的必要条件； ②如果命题：“若p，则q”为假命题，那么p不是q的充分条件，同时q也不是p的必要条件． 【变式】用充分条件的语言表述下面的命题： (1)若a＝－b，则|a|＝|b|； (2)若点C是线段AB的中点，则|AC|＝|BC|； (3)当ac<0时，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有两个不相等的实数根． 【答案】见解析 【解析】(1)“a＝－b”是“|a|＝|b|”的充分条件； (2)“点C是线段AB的中点”是“|AC|＝|BC|的充分条件”； (3)“ac<0”是“一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有两个不相等的实数根”的充分条件． 题型03 定义法判断充分性与必要性 【典例】在下列各题中，分析p是q的什么条件：(在“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分又不必要条件”中选出一种) (1) (2) (3)p:x>0,y>0,q:xy>0. 【答案】(1)必要不充分条件；（2）充要条件；（3）既不充分也不必要. 【解析】 (1)∵， ∴p是q的必要不充分条件. (2) ∵,∴p是q的充要条件. (3) x>0,y>0xy>0,xy>0 x>0,y>0, ∴p是q的充分不必要条件． 利用定义判断充分性与必要性： (1)若pq，但p,则称p是q的充分而不必要条件； (2)若p不能推出q，但qp,则称p是q的必要而不充分条件； (3)若pq，且qp(即)则说p是q的充要条件； (4)pq，且qp，则说p是q的既不充分也不必要条件. 【变式1】设x，y都是实数，则“x＞2且y＞3”是“x＞2或y＞3”的（　　）条件 A．充分非必要 B．必要非充分 C．充要 D．既非充分也非必要 【答案】A 【分析】利用或和且的含义，再结合充要条件的定义判定即可． 【解析】①当x＞2且y＞3时，则x＞2或y＞3，∴充分性成立， ②∵x＞2或y＞3⇔x＞2或y＞3或x＞2且y＞3，∴必要性不成立， ∴x＞2且y＞3是x＞2或y＞3的充分不必要条件， 故选：A． 【变式2】设m∈R，则“m＜0”是“m＜1”的（　　） A．充分必要条件 B．即不充分也不必要条件 C．充分不必要条件 D．必要不充分条件 【答案】C 【分析】“m＜0”⇒“m＜1”，反之不成立，取m．即可判断出． 【解析】“m＜0”⇒“m＜1”，反之不成立，取m． 因此“m＜0”是“m＜1”的充分不必要条件． 故选：C． 【变式3】设x∈R，则“x＞2”是“”的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】A 【分析】先将结论等价化简，再根据充分与必要条件的概念即可求解． 【解析】∵“”等价于：，即，即x（x﹣2）＞0，即x＜0或x＞2， ∴“x＞2”是“”的充分不必要条件． 故选：A． 题型04 集合法判断充分性与必要性 【典例1】“”是“”成立的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】求出的解集即可求解. 【解析】， 因为， 所以“”是“” 必要不充分条件. 故选：B. 【典例2】已知，，则是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】结合区间的包含关系，根据充要条件的判断方法即得. 【解析】因为是的真子集，故是的充分不必要条件. 故选：A. 若p以集合A的形式出现，q以集合B的形式出现，即A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，则 (1)若A ⊆B，则p是q的充分条件． (2)若B ⊆A，则p是q的必要条件． (3)若A＝B，则p是q的充要条件． (4)若A ⊆B且BA，即AB，则p是q的充分不必要条件． (5)若B ⊆A且AB，即BA，则p是q的必要不充分条件． (6)若AB且BA，则p是q的既不充分也不必要条件. 【变式1】已知集合A＝{x|x≥0}，B＝{x|x﹣2＞0}，则x∈A是x∈B的（　　） A．充分不要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分他不要条件 【答案】B 【分析】分别化简集合A＝[0，+∞），B＝（2，+∞），即可判断出． 【解析】由集合A＝{x|x≥0}， 集合B：x﹣2＞0，解得x＞2，即B＝（2，+∞）． 因此“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件． 故选：B 【变式2】设p: -1<x<5,q: x<5,则p是q成立的( ) A.充分不必要条件 B.充要条件 C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】因为,所以p是q成立的必要不充分条件. 故选：A. 题型05 递推法判断充分性与必要性 【典例】已知p，q都是r的必要条件，s是r的充分条件，q是s的充分条件．那么： (1)s是q的什么条件？ (2)r是q的什么条件？ (3)p是q的什么条件？ 【答案】（1）充要条件；（2）充要条件；（3）必要条件 【分析】利用箭头画出示意图，再作判断. 【解析】由题意画出网络示意图. 由图可知： (1)qs，srq，所以s是q的充要条件． (2)rq，qsr，所以r是q的充要条件． (3)qsrp，所以p是q的必要条件． 由于逻辑联结符号“⇒”“”“⇔”具有传递性，因此可根据几个条件的关系，经过若干次的传递，判断所要判断的两个条件之间的依存关系． 【变式1】已知是的充分非必要条件，的充要条件是，则是的（    ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分也非必要条件 【答案】B 【分析】根据充分非必要条件和充要条件得到和的关系即可. 【解析】因为是的充分非必要条件，所以，， 又的充要条件是，所以，所以，， 所以是的必要非充分条件. 故选：B. 【变式2】若甲是乙的充分不必要条件，乙是丙的充要条件，丙是丁的必要不充分条件，则下列说法正确的是（    ） A．乙是甲的必要不充分条件 B．甲是丙的充分不必要条件 C．丁是甲的既不充分也不必要条件 D．乙是丁的充要条件 【答案】AB 【分析】利用充分条件和必要条件的定义进行判断. 【解析】依题，四个命题的关系图可化为：. 则，所以乙是甲的必要不充分条件，A正确； ，甲是丙的充分不必要条件，B正确； 若甲：，丁：，乙和丙均为，满足题设，但此时丁是甲的充分必要条件， C错误； ，所以乙是丁的必要不充分条件，D错误. 故选：AB 题型06 充要条件的证明 【典例】求证：关于x的方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有一正根和一负根的充要条件是ac<0. 【证明】必要性：由于方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有一正根和一负根， ∴Δ＝b2－4ac>0，x1·x2＝<0，∴ac<0. 充分性：由ac<0可得b2－4ac>0及x1·x2＝<0， ∴方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有两个不相等的实根，且两根异号， 即方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有一正根和一负根． 综上可知，关于x的方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有一正根和一负. 证明充要条件时要从充分性和必要性两个方面分别证明，首先分清哪个是条件，哪个是结论，然后确定推出方向，即充分性需要证明“条件”⇒“结论”，必要性需要证明“结论”⇒“条件”． 【变式】已知x，y都是非零实数，且x>y，求证：<的充要条件是xy>0. 【证明】证法一：①充分性：由xy>0及x>y， 得>，即<. ②必要性：由<，得－<0，即<0. 因为x>y，所以y－x<0，所以xy>0. 所以<的充要条件是xy>0. 证法二：<⇔－<0⇔<0. 由条件x>y⇔y－x<0，故由<0⇔xy>0. 所以<⇔xy>0，即<的充要条件是xy>0. 题型07 充分、必要条件的探求 【典例】关于的一元二次方程有实数解的一个必要不充分条件的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】探究“题干”的一个必要不充分条件，即找一个“选项”，使“题干”能推出“选项”，但“选项”不能推出“题干”. 【解析】关于的一元二次方程有实数解， 则，解得， 结合选项可知的一个必要不充分条件的是. 故选：A. 探求一个命题成立的充分、必要条件问题，首先要确定“条件”与“结论”及寻找“结论”的什么条件，其解题的通法是先推导出“结论”的充要条件，将充要条件“放大”即得“结论”的必要不充分条件，将充要条件“缩小”即得“结论”的充分不必要条件，将充要条件等价转化仍得“结论”的充要条件. 【变式1】 “x﹣1＞0”成立的一个必要不充分条件的是（　　） A．x＞1 B．x＞2 C．x＜3 D．x＞0 【答案】D 【分析】解不等式，可得x＞1，进而依次分析选项，判断选项所给的不等式与x＞1的关系，可判断选项． 【解析】对于不等式x﹣1＞0，解可得x＞1，根据题意，分析选项可得， A中，x＞1，即x＞1是x﹣1＞0成立的充分必要条件， B中，x＞2，当x＞2时，x﹣1＞0成立，反之若有x﹣1＞0成立，则不能推出x＞2成立，故x＞2是x﹣1＞0成立的充分不必要条件， C中，当x＜3时，x﹣1＞0不一定成立，反之x﹣1＞0成立，则不能推出x＜3成立，故x＜3是x﹣1＞0成立的既不充分也不必要条件， D中，x＞0，当x＞0时，x﹣1＞0不一定成立，反之若有x﹣1＞0成立，则能推出x＞0成立，故x＞0是x﹣1＞0成立的必要不充分条件， 故选：D． 【变式2】已知p：0＜x＜1，那么p的一个充分不必要条件是（　　） A．1＜x＜3 B．﹣1＜x＜1 C． D． 【答案】C 【分析】由（，）⫋（0，1），再结合充要条件的定义判定即可． 【解析】∵（，）⫋（0，1）， ∴p的一个充分不必要条件是x， 故选：C． 【变式3】已知a，b∈R，则“ab≠0”的一个必要条件是（　　） A．a+b≠0 B．a2+b2≠0 C．a3+b3≠0 D． 【答案】B 【分析】取特殊值判断ACD，根据充分必要条件的定义判断B． 【解析】对于A，令a＝1，b＝﹣1，推不出a+b≠0，故A错误， 对于B，由“ab≠0”得：a≠0且b≠0，故a2+b2≠0， 反之，若a2+b2≠0，推不出ab≠0，比如a＝1，b＝0， 故a2+b2≠0是ab≠0的必要不充分条件，故B正确， 对于C，令a＝1，b＝﹣1，推不出a3+b3≠0，故C错误， 对于D，令a＝1，b＝﹣1，推不出0，故D错误， 故选：B． 题型08 充要条件的探求 【典例】求关于x的方程ax2＋2x＋1＝0至少有一个负实根的充要条件． 【分析】找充要条件就是找等价条件. 【解析】当a＝0时，符合要求． 当a≠0时，显然方程没有零根，若方程有两个异号的实根，则由根与系数的关系可知a<0； 若方程有两个负实根，则解得0<a≤1. 综上所述，若方程ax2＋2x＋1＝0至少有一个负实根，则a≤1. 反之，若a≤1，则方程ax2＋2x＋1＝0至少有一个负实根， 因此，关于x的方程ax2＋2x＋1＝0至少有一个负实根的充要条件是a≤1. 探求充要条件的两种方法: (1)先寻找必要条件，即将探求充要条件的对象视为结论，寻找使之成立的条件；再证明此条件是该对象的充分条件，即从充分性和必要性两方面说明． (2)将原命题进行等价变形或转换，直至获得其成立的充要条件，探求的过程同时也是证明的过程，因为探求过程每一步都是等价的，所以不需要将充分性和必要性分开来证． 【变式】等式成立的充要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】对已知等式两边平方，根据绝对值的定义可得等式成立的充要条件. 【解析】因为， 两边平方得：， 所以，即， 所以等式成立的充要条件是. 故选：B 【变式2】设，则“”的充要条件是（   ） A．a，b中至少有一个为1 B．a，b都不为0 C．a，b都为1 D．不都为1 【答案】A 【分析】变形给定的等式，再利用充要条件的定义判断即可. 【解析】由题意， 则和中至少有一个为0，即，中至少有一个为1， 所以“”的充要条件是“a，b中至少有一个为1”. 故选：A. 题型09 由充分、必要条件求参数的取值范围 【典例1】（2021秋•赫章县期末）若“1≤x≤4”是“a≤x≤a+4”的充分不必要条件，则实数a的取值范围为（　　） A．a≤0 B．0≤a≤1 C．0＜a＜1 D．a≤0或a≥1 【答案】B 【分析】根据充分条件、必要条件的定义进行求解即可． 【解析】因为“1≤x≤4”是“a≤x≤a+4”的充分不必要条件， 所以，即0≤a≤1． 故选：B． 【典例2】已知P＝{x|a﹣4＜x＜a+4}，Q＝{x|1＜x＜3}，“x∈P”是“x∈Q”的必要条件，则实数a的取值范围是（　　） A．﹣1≤a≤5 B．﹣1＜a≤5 C．﹣2≤a≤3 D．﹣2≤a＜3 【答案】A 【分析】根据“x∈P”是“x∈Q”的必要条件，可得P⊇Q，再建立a的不等式组可求解． 【解析】∵“x∈P”是“x∈Q”的必要条件，∴P⊇Q， ∴，∴﹣1≤a≤5， 故选：A． 根据充分、必要条件求参数的取值范围时，先将p，q等价转化，再根据充分、必要条件与集合间的关系，将问题转化为相应的两个集合之间的包含关系，然后建立关于参数的不等式(组)进行求解. 【变式1】已知条件p：﹣1＜x＜1，q：x＞m，若p是q的充分不必要条件，则实数m的取值范围是（　　） A．[﹣1，+∞） B．（﹣∞，﹣1） C．（﹣1，0） D．（﹣∞，﹣1] 【答案】D 【分析】利用充分不必要条件的定义建立，建立条件关系即可求实数m的取值范围． 【解析】由p：﹣1＜x＜1，q：x＞m， 若p是q的充分不必要条件， 则{x|﹣1＜x＜1}⫋{x|x＞m}， 则m≤﹣1， 故选：D． 【变式2】如果不等式|x﹣a|＜1成立的充分不必要条件是，则实数a的取值范围是（　　） A． B． C．或 D．或 【答案】B 【分析】由题意，解不等式|x﹣a|＜1得其解集，进而结合充分、必要条件与集合间包含关系的对应关系可得不等式组 则有 ，（等号不同时成立），解可得答案． 【解析】根据题意，不等式|x﹣a|＜1的解集是a﹣1＜x＜a+1，设此命题为p， 命题 ，为q； 则p的充分不必要条件是q， 即q表示的集合是p表示集合的真子集； 则有 ，（等号不同时成立）； 解可得； 故选：B． 题型10 与充分、必要条件相关的数学文化题 【典例】《墨经》上说：“小故，有之不必然，无之必不然．体也，若有端．大故，有之必然，若见之成见也．”其中“无之必不然”表述的逻辑关系一定是（   ） A．充分条件 B．必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据充分条件和必要条件的定义进行判定. 【解析】由“小故，有之不必然，无之必不然”， 知“小故”只是构成某一结果的几个条件中的一个或一部分条件， 故“小故”是逻辑中的必要不充分条件， 所以“无之必不然”所表述的数学关系一定是必要条件. 故选：B. 【变式】在中国传统的十二生肖中，马､牛､羊､鸡､狗､猪为六畜，则“甲的生肖不是马”是“甲的生肖属于六畜”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】D 【分析】根据充分、必要条件的知识确定正确答案. 【解析】若甲的生肖不是马，则甲的生肖未必属于六畜； 若甲的生肖属于六畜，则甲的生肖不一定是马. 故“甲的生肖不是马”是“甲的生肖属于六畜”的既不充分也不必要条件. 故选：D 题型11 充分、必要条件与集合的交汇题 【典例】已知集合，. (1)若，求； (2)若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围. 【答案】(1)；(2) 【分析】（1）当时，求出集合，利用补集和交集的定义可求得集合； （2）分析可知是的真子集，分、两种情况讨论，结合集合的包含关系可得出关于实数的不等式（组），综合可得出实数的取值范围. 【解析】（1）当时，集合，可得或， 因为，所以. （2）若“”是“”的充分不必要条件，所以是的真子集， 当时，即时，此时，满足是的真子集； 当时，则满足，解得， 当时，，此时是的真子集，合乎题意； 当时，，此时是的真子集，合乎题意. 综上，实数的取值范围为. 充分、必要条件与集合的交汇涉及各种题型，但更多的是以解答题的形式出现，往往其中一部分考查集合运算，另一部分考查充分条件、必要条件，对于这类题型，一般采用各个击破法求解. 【变式】已知集合或，． (1)若，求实数的取值范围； (2)若是的必要不充分条件，求实数的取值范围． 【答案】(1)；(2) 【分析】（1）利用指数函数和对数函数的性质，化简集合，根据，即可得到满足的条件，求出结果； （2）结合（1）中的两集合，根据是的必要不充分条件，可得是的真子集，然后列出不等式，即可求出结果. 【解析】（1）由题知，，， 令，可得，解得或， 令，解得，， 则或，， 若，则，解得， 即实数的取值范围为. （2）由（1）知，或，， 若是的必要不充分条件，则是的真子集， 所以或， 解得或， 即实数的取值范围为. 1、 单选题 1. “”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】若，则，但不一定相等.若，则，故“”是“”的必要不充分条件. 2．使成立的一个充分条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】对于选项A，是成立的一个既不充分也不必要条件，故A错误；对于选项B，是成立的一个充分条件，故B正确；对于选项C，是成立的一个必要条件，故C错误；对于选项D，是成立的一个既不充分也不必要条件，故D错误． 3．设，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】由，得，因为不能推出，但可以推出，所以“”是“”的必要不充分条件. 4．已知集合，集合，且是的充分条件，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题可得，据此可得答案. 【解析】因是的充分条件，则，故， 则.故选：D 5．已知和，且p是q的必要条件，则实数m的值为（    ） A．0 B．2或 C．或 D．0或或 【答案】D 【解析】解法1  ．因为p是q的必要条件，所以．当，即时，符合题意；当时，由，得或，解得或．综上所述，m的值为0或或． 解法2（代入法）  ，当时，，符合题意；当时，；当时，，均满足题意． 6．王昌龄是盛唐著名的边塞诗人，被誉为“七绝圣手”．其名篇“但使龙城飞将在，不教胡马度阴山”（人在阵地在，人不在阵地在不在不知道），由此推断，胡马度过阴山是龙城飞将不在的（    ） A．既不充分也不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．充分不必要条件 【答案】D 【分析】根据充分条件和必要条件的定义结合题意分析判断即可 【解析】因为人在阵地在，所以胡马度过阴山说明龙城飞将不在， 因为人不在阵地在不在不知道，所以龙城飞将不在，不能确定胡马是否度过阴山， 所以胡马度过阴山是龙城飞将不在的充分不必要条件， 故选：D 7．已知p:或，，若是的必要不充分条件，则正实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】解不等式求得，成立时的解集，结合条件可得，求解即可. 【解析】解不等式，可得，所以成立时，或， 因为，由，可得， 又是的必要不充分条件，所以，解得. 故选：B. 8.下列命题中，为假命题的是（   ） A．“”是“”的必要条件 B．“”是“”的充分条件 C．“”的充要条件是“” D．“”是“”的必要条件 【答案】D 【解析】因为，所以“”是“”的必要条件，A是真命题；因为，所以“”是“”的充分条件，B是真命题；因为，C是真命题；因为，所以“”是“”的充分条件，D是假命题． 2、 多选题 9.设，，下列说法正确的是（   ） A．若，则是的充分不必要条件 B．若，则是的充分不必要条件 C．若，则是的充分必要条件 D．若，，则是的既不充分也不必要条件 【答案】BCD 【解析】若，则由可推出，所以是的充分条件，若，则由可推出，故A错误；若，则推不出，此时是的不必要条件，故B正确；若，则与间可互相推出，此时是的充分必要条件，故C正确；若，，即集合，没有包含关系，与之间不能互相推出，故是的既不充分也不必要条件，故D正确． 10．p是q的充分不必要条件，q是r的必要不充分条件，r是s的充要条件，p是r的既不充分也不必要条件，则（    ） A．s是q的必要不充分条件 B．r是q的充分不必要条件 C．q是s的充要条件 D．p是s的既不充分也不必要条件 【答案】BD 【分析】根据题意得出，即可由该条件判断各选项的正误. 【解析】由题意知， 所以是的充分不必要条件，是的充分不必要条件，是的必要不充分条件，是的既不充分也不必要条件．故BD正确. 故选：BD 11．下列说法正确的是（    ） A．两个三角形全等是这两个三角形面积相等的充分不必要条件 B．设，是实数，则“”是“”的必要而不充分条件 C．设，一元二次方程有整数根的充要条件是 D．函数的图象关于直线对称的充要条件是 【答案】AD 【分析】根据充分条件、必要条件的定义判断即可. 【解析】对于A，两个三角形全等两个三角形的面积相等，故充分性成立； 但两个三角形的面积相等不能推出两个三角形全等，故必要性不成立， 所以两个三角形全等是这两个三角形面积相等的充分不必要条件，故A正确； 对于B：由推不出，如，，满足，但是，故充分性不成立； 由也推不出，如，，满足，但是，故必要性不成立， 所以“”是“”的既不充分也不必要条件，故B错误； 对于C：当时一元二次方程的根为，故C错误； 对于D：若函数的图象关于直线对称，则，解得， 所以函数的图象关于直线对称的充要条件是，故D正确； 故选：AD 3、 填空题 12.若，则是的 条件．（填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”） 【答案】既不充分也不必要 【分析】解出，再利用集合之间关系以及充要条件的判断方法判断即可. 【解析】，解得， 显然与不具备包含关系， 则是的既不充分也不必要条件. 13．已知集合或,，若是的充分不必要条件，则a的取值范围是 . 【答案】C 【分析】由一元二次不等式解得集合，根据充分不必要条件可得集合的包含关系，建立不等式，可得答案. 【解析】由，则， 由是的充分不必要条件，则，且 可得，解得. 14.在下列所示电路图中，下列说法正确的是 .（填序号）. （1）如图①所示，开关闭合是灯泡亮的充分不必要条件； （2）如图②所示，开关闭合是灯泡亮的必要不充分条件； （3）如图③所示，开关闭合是灯泡亮的充要条件； （4）如图④所示，开关闭合是奵泡亮的必要不充分条件. 【答案】（1）（2）（3） 【分析】根据充分、必要条件的定义，结合图形依次判断即可求解. 【解析】（1）开关A闭合，灯泡B亮；灯泡B亮时，开关A不一定闭合. 所以开关A闭合是灯泡B亮的充分不必要条件，故（1）正确； （2）开关A闭合，灯泡B不一定亮；灯泡B亮时，开关A必须闭合. 所以开关A闭合是灯泡B亮的必要不充分条件，故（2）正确； （3）开关A闭合，灯泡B亮；灯泡B亮时，开关A必须闭合. 所以开关A闭合是灯泡B亮的充要条件，故（3）正确； （4）开关A闭合，灯泡B不一定亮；灯泡B亮时，开关A不一定闭合. 所以开关A闭合是灯泡B亮的既不充分也不必要条件，故（4）错误. 4、 解答题 15.已知集合． (1)若“”是“”的充分条件，求实数a的取值范围． (2)是否存在实数a，使得“”是“”的充要条件？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1);(2)不存在，理由见解析 【解析】（1）因为，所以．因为“”是“”的充分条件，所以解得，所以实数a的取值范围是． （2）因为，若“”是“”的充要条件，则解得故a不存在． 16．已知全集． (1)当时，求阴影部分表示的集合； (2)在①．②．③，这三个条件中任选一个补充到下列问题中并作答． 问题：设_______，，是否存在实数m，使得p是的必要不充分条件？若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由． 【答案】(1);(2)答案见解析 【解析】（1）或，当时，或，则，所以阴影部分表示的集合为． （2）由（1）可知，命题为．若选①，命题p为或，因为p是的必要不充分条件，则，所以或，则或，故存在m满足题意，且m的取值范围为或． 若选②，命题p为．因为p是的必要不充分条件，则，所以且等号不同时成立，故不存在满足题意的实数m． 若选③，命题p为，因为p是的必要不充分条件，则，所以且等号不同时成立，解得，故存在m满足题意，m的取值范围为． 17．设集合． (1)证明：“”是“”的充分不必要条件； (2)写出“偶数属于M”的一个充要条件并证明． 【答案】(1)证明见解析；(2)k为偶数；证明见解析 【解析】证明：（1）设集合中的元素，所以．因为，所以，所以，则成立，故“”是“”的充分条件． 若，则，可取，设．因为，所以与有相同的奇偶性．因为2为偶数，所以与均为偶数，所以应为4的倍数，而2不是4的倍数，所以假设不成立，所以，故“，”是“”的不必要条件． 综上所述，“”是“”的充分不必要条件． （2）“偶数属于M”的一个充要条件是k为偶数． 充分性：因为k为偶数，所以设，所以，而，所以满足集合，所以偶数属于M． 必要性：因为偶数属于M，所以．因为，所以与有相同的奇偶性．因为为偶数，所以与均为偶数，所以应为4的倍数，必为4的倍数，即k必为2的倍数，所以k为偶数． 18．已知集合 (1)若，求； (2)若，求实数的取值范围； (3)设命题，命题，若是成立的必要不充分条件，求实数的取值范围． 【答案】(1)；(2)；(3)． 【分析】（1）先解分式不等式得集合，再利用集合的并集定义求解； （2）由推出，对集合是否为分类讨论，求解即得； （3）由必要不充分条件可得是的真子集，列出不等式组，求解即得. 【解析】（1）由不等式移项可得，通分得到． 即，解得，故． 当时，，则. （2）由，可得， 因为， 当时，，解得，满足题意； 当时，则，解得， 综上，，故实数的取值范围为. （3）由题意可得，是的充分不必要条件，故是的真子集， 又，， 则，解得，故实数的取值范围是． 19．已知集合． (1)若，求; (2)若，求实数的取值范围； (3)若是的充分不必要条件，求实数的取值范围． 【答案】(1)；(2)；(3)． 【分析】 利用交集运算即可；利用子集关系，再分两类空集和非空集讨论即可； 把充分不必要关系转化为真子集关系，再求参数范围. 【解析】（1）当时，， 所以； （2）因为， 所以由，得， 当时，，解得，满足题意； 当时，则，解得， 综上，，故实数的取值范围为； （3）由是的充分不必要条件，可得 ， 又， 则，且式等号不同时成立，解得， 故实数的取值范围是． 27 / 28 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$