1.9 有理数的乘法 课件 -2025-2026学年华东师大版数学七年级上册

1.9 有理数的乘法 知识回顾 计算下列各题： (1) (－2)＋(－2)＝________； (2) (－2)＋(－2)＋(－2)＝________； (2) (－2)＋(－2)＋(－2)＋(－2)＝_______. －4 －6 －8 新课导入 根据上面的值，猜猜下面的值： (1) (－2) × 2 ＝________； (2) (－2) × 3 ＝________； (2) (－2) × 4 ＝________. －4 －6 －8 1.有理数的乘法法则 问题1 一只小虫沿一条东西向的路线，以 3 m/min 的速度向东爬行 2 min，那么它现在位于原来位置的哪个方向? 相距多少米? 我们知道，这个问题可以用乘法来解答： 3×2＝6. 即小虫位于原来位置的东边 6m 处. 能用数轴表示这一事实吗?动手画一画。 注意：这里我们规定向东为正，向西为负. 新课讲解 能用数轴表示这一事实吗?动手画一画。 能. 规定向东为正，向西为负，原来的位置为原点，画出数轴如图所示. 如果上述问题变为： 问题2 小虫向西以 3m/min 的速度爬行 2 min，那么结果有何变化? 这时小虫位于原来位置的西边 6 m 处，写成算式是： (－3)×2 ＝－6. 比较问题1、问题2中的两个算式：左边的乘数有什么不同，所得的积又有什么改变? 你有什么发现? 当我们把“3×2＝6”中的一个乘数“3”换成它的相反数“－3”时，所得的积是原来的积“6”的相反数“－6”. 一般地，我们有： 两数相乘，若把一个乘数换成它的相反数，则所得的积是原来的积的相反数. 试一试：3×(－2)＝? 与 3×2＝6 相比较，这里把一个乘数“2”换成了它的相反数“－2”，所得的积应是原来的积“6”的相反数“－6”，即 3×(－2)＝－6. 再试一试：(－3)×(－2)＝? 把它与 (－3)×2＝－6 对比，这里把一个乘数“2”换成了它的相反数“－2”，所得的积应是原来的积“－6”的相反数“6”，即 (－3)×(－2)＝6. 把它与 3× (－2)＝－6对比，结果怎样? 把它与 3× (－2)＝－6对比，结果怎样? 把 3×(－2)＝－6 与 (－3)×(－2)＝6 对比，结果的绝对值相同，符号相反. 此外，两数相乘时，如果有一个乘数是 0，那么所得的积也是 0. 例如： (－3)×0＝0，0×(－2)＝0. 概括 综合以上各种情况，有如下有理数的乘法法则： 两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘：任何数与 0 相乘，都得 0. 例如： (－5)×(－3)， 同号两数相乘 (－5)×(－3)＝＋( )， 得正 5×3＝15. 把绝对值相乘 所以 (－5) ×(－3)＝15. 再如： (－ 6)×4， 异号两数相乘 (－6)×4＝－( )， 得负 6×4＝24. 把绝对值相乘 所以 (－6)×4＝－24. ▶ 例1 计算： (1) (－5)×(－6)； (2) (－)×. 解：(1) (－5)×(－6)＝30； (2) (－)×＝－. 1. 确定下列各乘积的正负号： (1) 5×(－3)； (2) (－3)×3； (3) (－2)×(－7)； (4) ×. － － ＋ ＋ 练习 2. 计算： (1) 3×(－4)； (2) 2×(－6)； (3) (－6)×2； (4) 6×(－2)； (5) (－6)×0； (6) 0×(－6)； (7) (－4)×0.25； (8) (－0.5)×(－8)； (8) ×(－)； (10) (－2)×(－). －12 －12 －12 －12 0 0 －1 4 － 1 练习 3. 计算： (1) 3×(－1)； (2) (－5)×(－1)； (3) ×(－1)； (4) 0×(－1)； (5) (－6)×1； (6) 2×1； (7) 0×1； (8) 1×(－1). － －3 5 0 －6 2 0 －1 练习 4. 做完第 3 题，你能发现什么规律? 一个数与 －1 相乘，积是什么? 一个数与 1 相乘呢? 解：一个数与－1相乘，积是这个数的相反数； 一个数与 1 相乘，积是这个数本身. 练习 2.有理数的乘法法则 在小学里我们知道，数的乘法满足交换律，例如 3×5＝5×3； 还满足结合律，例如 (3×5)×2＝3×(5×2). 新课讲解 引进了负数以后，这些运算律是否还成立呢? 也就是说，上面两个等式中将 3、5、2 换成任意的有理数，是否仍然成立? 探索 (1) 任意选择两个有理数 (至少有一个是负数)，分别填入下列□和〇内，并比较两个运算结果： × 和 × ； (2) 任意选择三个有理数 (至少有一个是负数)，分别填入下列□、○和◇内，并比较两个运算结果： ( × ) × 和 ×( × ) ； 你能发现什么? 概括 有理数的乘法仍满足交换律和结合律. 乘法交换律：两个数相乘，交换乘数的位置，积不变. ab＝ba. 乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘积不变. 概括 (ab) c＝a(bc). 根据乘法交换律和乘法结合律，三个或三个以上的有理数相乘，可以任意交换乘数的位置，也可以先把其中的几个数相乘. ab＝ba. (ab) c＝a(bc). 计算(－2)×5×(－3)，有哪些不同的算法? 哪种算法比较简便? 计算(－2)×5×(－3)，有哪些不同的算法? 哪种算法比较简便? (－2)×5×(－3) 有以下 3 种不同的算法： ① [(－2)×5]×(－3)； ② [(－2)×(－3)]×5 ③ (－2)×[5×(－3)]. 其中算法 ① 比较简便. ▶ 例2 计算：(－10)××0.1×6. 解：(－10)××0.1×6 ＝[(－10)×0.1]×(×6) ＝(－1)×2 ＝－2. 从例2的解答过程中，你能得到什么启发? 试直接写出下列各式的结果： (－10)×(－)×0.1×6＝_______； (－10)×(－)×(－0.1)×6＝_________； (－10)×(－)×(－0.1)×(－6)＝_________. 2 －2 2 观察以上各式，你能发现几个不等于 0 的有理数相乘时，积的正负号与各乘数的正负号之间的关系吗? 一般地，我们有： 几个不等于 0 的数相乘，积的正负号由负乘数的个数决定，当负乘数的个数为奇数时，积为负；当负乘数的个数为偶数时，积为正. 几个不等于 0 的数相乘，首先确定积的正负号，然后把绝对值相乘. 直接写出下列各式的结果： (1) (－5)×(－)×3×(－2)×2＝_________； (2) (－5)×(－8.1)×3.14×0＝__________. 几个数相乘，有一个乘数为 0，积就为 0. －30 0 ▶ 例3 计算： (1) 8＋(－)×(－8)×. (2) (－3)××(－)×(－)； (3) (－)×5×0×. 解：原式＝ 8＋×8× ＝8＋3 ＝11. 解：原式＝－3××× ＝－； 解：原式＝0. 思考 三个数相乘，如果积为负，其中可能有几个乘数为负数? 四个数相乘，如果积为正，其中可能有几个乘数为负数? 三个数相乘，如果积为负，其中可能有一个乘数或三个乘数为负数. 四个数相乘，如果积为正，其中可能有两个乘数或四个乘数为负数，也可能一个负乘数也没有. 1. 计算： (1) (－4)×(－7)×(－25)； (2) (－)×8×(－)； (3) (－0.5)×(－1)××(－8). 解：原式＝－4×7×25＝－700. 解：原式＝×8×＝. 解：原式＝0.5×1××8＝－3. 练习 2. 计算： (1) (－5)－(－5)××(－4)； (2) (－1)×(－7)＋6×(－ 1)×； 解：原式＝－5－5××4＝－9. 解：原式＝7－3＝4. 练习 (3) (－3)×(－7)－3×(－6)； (4) 1－(－1)×(－1)－(－1)×0×(－1). 解：原式＝21＋18＝39. 解：原式＝1－1－0＝0. 练习 小学里我们还学过乘法对加法的分配律，例如 6×(＋)＝6×＋6×. 引进了负数以后，分配律是否还成立呢? 探索 任意选取三个有理数 (至少有一个是负数)，分别填入下列 □、〇和◇内，并比较两个运算结果： × (＋ ＋ ) 和 × ＋ × ) ； 你能发现什么? 你能发现什么? 发现：一个数与两个数的和相乘，等于把这个数分别与这两个数相乘，再把积相加. 概况 有理数的运算仍满足分配律. 分配律：一个数与两个数的和相乘，等于把这个数分别与这两个数相乘，再把积相加. a(b＋c)＝ab＋ac. ▶ 例4 计算： (1) 30×(－＋)； (2) 4.98×(－5). 解：原式＝ 30×－30×＋30× ＝15－20＋12 ＝7. 解：原式＝(5－0.02)×(－5) ＝－25＋0.1 ＝－24.9 . ▶ 例5 计算： (1) ×(8－－)； 解：原式＝ ×8－×－× ＝6－1－ ＝4. 解：原式＝(－8)×＋(－8)×－4× ＝(－8)×(＋)－ ＝－8－ ＝－8. (2) 8×(－)－(－4)×(－)＋(－8)×. (2) 8×(－)－(－4)×(－)＋(－8)×. 你还有其他的解法吗? 有. 原式＝8×(－)＋8×(－)－4× ＝8×(－－)－ ＝8×(－1)－ ＝－8. 由上面的例子可以看出，适当运用运算律，可使运算简便，有时需要先把算式变形，再运用分配律，如例4(2)；有时可以反向运用分配律，如例5(2). 1. 计算： (1) (－6)×(－＋)； 解：原式＝(－6)×(－)＋(－6)× ＝3－2 ＝1. 练习 (2) (－＋)×12 解：原式＝×12－×12＋×12 ＝3－6＋2 ＝－1 练习 (3) (－1002)×17. 解：原式＝ (－1000－2)×17 ＝ －1000×17－2×17 ＝ －17000－34 ＝ －17034. 练习 2. 计算： (1) (－＋)×36； (2) 9×6. 解：原式＝×36－×36＋×36 ＝28－30＋27 ＝25. 解：原式＝(9＋)×6 ＝9×6＋×6 ＝54＋5 ＝59. 练习 队列操练中的数学趣题 在一次队列操练活动中，某班45名学生面向老师站成一行横队：老师每次让其中任意6名学生向后转 (不论原来方向如何)，能否经过若干次后，全体学生都背向老师站立? 如果能的话，请你设计一种方案；如果不能，请说明理由. 这个问题似乎与数学无关，却又难以入手，注意到学生站立有两个方向，与具有相反意义的量有关，向后转又可想象为进行一次运算，或者说改变一次正负号，我们能否设法联系有理数的知识进行讨论? 让我们再发挥一下想象力：假设每名学生胸前有一块号码布，上面写“＋1”，背后有一块号码布，上面写“－1”，那么一开始全体学生面向老师，胸前45 个＋1的“乘积”是＋1. 如果最后学生全部背向老师，那么45 个－1的“乘积”是－1. 再来观察每次6名学生向后转进行的是什么“运算”，我们也设想老师不叫“向后转”，而称这6名学生面向老师的数字都“乘以 －1”. 这样问题就解决了：每次“运算”乘以6个－1，即乘以 ＋1，故 45个数的乘积不变 (数学上称不变量)，始终是＋1. 所以要乘积变为－1 是不可能的. 一道难题，应用有理数的简单运算后被别出心裁地解决了. 课堂小结 习题 1.9 1. 计算： (1) (－6)×(－7)； (2) (－5)×12； (3) 0.5×(－0.4)； (4) －4.5×(－0.32). 42 －60 －0.2 1.44 2. 计算： (1) ×(－)； (2) (－)×(－)； (3) －×5； (4) (－0.3)×(－). － － 3. 计算： (1) －2×(－3)×(－4)； (2) 6×(－7)×(－5); (3) 100×(－1)×(－0.1)； 解：原式＝－(2×3×4)＝－24. 解：原式＝6×7×5＝210. 解：原式＝100×1×0.1＝10. (4) (－8)××(－1)×； (5) 21×(－71)×0×43； (6) －9×(＋11)－12×(－8). 解：原式＝8××1×＝. 解：原式＝0. 解：原式＝－99＋96＝－3. 4. 计算： (1) (－)××(－8)； (2) ×(－2)×. 解：原式＝××8＝. 解：原式＝－××＝－. 5. 计算： (1) (－－)×105； 解：原式＝ ×105－×105－×105 ＝35－5×15－2×21 ＝35－75－4 ＝－82. (2) －×5.5－0.75×(－). 解：原式＝－×－×(－) ＝－×[＋(－)] ＝－×2 ＝－. $$