精品解析：新疆喀什地区莎车县2024-2025学年高二下学期期中考试数学试题

莎车县2024-2025学年第二学期高二年级期中考试（数学）试卷 满分150分 时长120分钟 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 安排名歌手演出顺序时，要求歌手甲不是第一个出场，也不是最后一个出场，则共有安排方法（ ） A. 种 B. 种 C. 种 D. 种 2. 曲线在处的切线与坐标轴围成的面积为（ ） A. B. C. D. 3. 现有3位同学参加校园文体活动，分别从4个项目中任选一个参加，不同选法的种数是（ ） A. 24 B. 12 C. D. 4. 函数的单调增区间是（ ） A. B. C. D. 5. 若的展开式的二项式系数之和为64，则其展开式的常数项为（ ） A. 1 B. 15 C. -15 D. -1 6. 已知函数，则函数在区间上的最大值与最小值之和为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 7 7. 函数在处有极值7，则 A. -3或3 B. 3或-9 C. 3 D. -3 8. 设，则（ ） A. B. C. D. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 定义在上的函数的导函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（ ） A. 函数在上单调递减 B. 函数在上单调递减 C. 函数在处取得极小值 D. 函数在处取得极大值 10. 已知的展开式共有7项，则（ ） A. B. 二项式系数和64 C. 展开式的所有项的系数和为1 D. 含项的系数为 11. 已知函数，则（ ） A. 有两个极值点 B. 有三个零点 C. 点是曲线的对称中心 D. 直线是曲线的切线 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 曲线在点处的切线的方程为__________. 13. 二项式的展开式中的系数为__________. 14. 函数的最小值为______． 四､解答题：本题共5个小题，共77分.解答应写出说明文字､演算式､证明步骤. 15. （1）将6本不同的书分成3堆，一堆4本，另两堆各1本，有多少种分法？(均须以数字作答） （2）将6本不同书平均分给3人，每人2本，有多少种分法？（均须以数字作答） （3）将6本不同的书分给4人，每人至少1本，有多少种分法？（均须以数字作答） 16. 已知函数. （1）求函数的极值； （2）求函数在上的最大值. 17. （每小问均须用数字作答）在中选出4个数字组成一个四位数 （1）可以组成多少个没有重复数字的四位数？ （2）可以组成多少个没有重复数字的四位偶数？ （3）若5和6至多出现1个，可以组成多少个没有重复数字的四位数？ 18. 已知函数． （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）若有极小值，且极小值小于0，求a的取值范围． 19 给定函数 （1）判断函数的单调性，并求出的极值； （2）画出函数的大致图象； （3）求出方程解的个数 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 莎车县2024-2025学年第二学期高二年级期中考试（数学）试卷 满分150分 时长120分钟 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 安排名歌手演出顺序时，要求歌手甲不是第一个出场，也不是最后一个出场，则共有安排方法（ ） A. 种 B. 种 C. 种 D. 种 【答案】C 【解析】 【分析】优先安排甲，结合排列计数原理可得结果. 【详解】安排名歌手演出顺序时，要求歌手甲不是第一个出场，也不是最后一个出场， 则甲有种选择，其余名歌手任意排列， 所以，不同的安排方法种数为种. 故选：C. 2. 曲线在处的切线与坐标轴围成的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】运用导数求得切线方程，再求得切线与两坐标轴的交点，进而可求得三角形面积. 【详解】由，则， ，所以在处切线的方程为，即， 令，得；令，得， 所以切线与坐标轴围成的三角形面积为. 故选：A. 3. 现有3位同学参加校园文体活动，分别从4个项目中任选一个参加，不同选法的种数是（ ） A. 24 B. 12 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】每位同学均有4种选法，根据分步乘法计数原理即可得出答案. 【详解】由题意可知每位同学均有4种选法，根据分步乘法计数原理可知， 不同选法的种数为. 故选：D 4. 函数的单调增区间是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】对函数求导，根据导函数的正负,确定函数的单调递增递减区间即得. 【详解】由求导得，， 则当时，，即函数在上单调递增； 当时，，即函数在上单调递减， 故函数的单调递增区间为. 故选：D. 5. 若的展开式的二项式系数之和为64，则其展开式的常数项为（ ） A. 1 B. 15 C. -15 D. -1 【答案】B 【解析】 【分析】先求出，再利用二项展开式的通项即可求出其常数项. 【详解】由题意，，解得， 则二项式的通项为， 由可得，即其展开式的常数项为. 故选：B. 6. 已知函数，则函数在区间上的最大值与最小值之和为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 7 【答案】D 【解析】 【分析】利用幂函数的单调性求出最大、最小值即可. 【详解】函数在上单调递增， 当时，，， 所以最大值与最小值之和为7. 故选：D 7. 函数在处有极值为7，则 A. -3或3 B. 3或-9 C. 3 D. -3 【答案】C 【解析】 【分析】题意说明，，由此可求得 【详解】， ∴，解得或， 时，，当时，，当时，，是极小值点； 时，，不是极值点． ∴． 故选C． 【点睛】本题考查导数与极值，对于可导函数，是为极值的必要条件，但不是充分条件，因此由求出参数值后，一般要验证是否是极值点． 8. 设，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】构造，利用导数可知函数在单调递减，又，，，根据单调性即可得到结果. 【详解】设，则， 令，则， 所以当时，，单调递增；当时，，单调递减； 又，，， 所以，即. 故选：D. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 定义在上的函数的导函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（ ） A. 函数在上单调递减 B. 函数在上单调递减 C. 函数在处取得极小值 D. 函数在处取得极大值 【答案】AD 【解析】 【分析】利用函数的函数的图象，可判断函数的单增区间与单减区间，进而可得极大值点，从而可得结论. 【详解】由函数的导函数的图象可知， 当时，，所以在上单调递增，故B错误； 当时，，所以在上单调递减，故A正确； 所以函数在处取得极大值，不是极小值点，故C错误，D正确. 故选：AD. 10. 已知的展开式共有7项，则（ ） A. B. 二项式系数和为64 C. 展开式的所有项的系数和为1 D. 含项的系数为 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据已知得，进而求出二项式系数和、所有项的系数和判断A、B、C；利用展开式通项求含项的系数. 【详解】由的展开式共有7项，则，故二项式系数和为，A错，B对； 令，则展开式所有项的系数和为，C对； 展开式的通项公式为， 若，则含项的系数为，D对. 故选：BCD 11. 已知函数，则（ ） A. 有两个极值点 B. 有三个零点 C. 点是曲线的对称中心 D. 直线是曲线的切线 【答案】AC 【解析】 【分析】利用极值点的定义可判断A，结合的单调性、极值可判断B，利用平移可判断C；利用导数的几何意义判断D. 【详解】由题，，令得或， 令得， 所以在，上单调递增，上单调递减，所以是极值点，故A正确； 因，，， 所以，函数在上有一个零点， 当时，，即函数在上无零点， 综上所述，函数有一个零点，故B错误； 令，该函数定义域为，， 则是奇函数，是的对称中心， 将的图象向上移动一个单位得到的图象， 所以点是曲线的对称中心，故C正确； 令，可得，又， 当切点为时，切线方程为，当切点为时，切线方程为，故D错误. 故选：AC. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 曲线在点处切线的方程为__________. 【答案】 【解析】 【分析】 求出导函数，得切线斜率后可得切线方程． 【详解】，∴切线斜率为， 切线方程为． 故答案为：． 13. 二项式的展开式中的系数为__________. 【答案】 【解析】 【分析】利用二项式定理得到展开式通项公式，得到，得到答案. 【详解】的展开式通项公式为， 令，解得， 故. 故答案为：. 14. 函数的最小值为______． 【答案】 【解析】 【分析】对函数求导得到函数的单调性，进而得到函数的最值. 【详解】因为.令，则，所以在上单调递减，在上单调递增，所以. 故答案为 【点睛】这个题目考查了函数单调性，涉及导数在研究函数的单调性中的应用，属于基础题. 四､解答题：本题共5个小题，共77分.解答应写出说明文字､演算式､证明步骤. 15. （1）将6本不同的书分成3堆，一堆4本，另两堆各1本，有多少种分法？(均须以数字作答） （2）将6本不同的书平均分给3人，每人2本，有多少种分法？（均须以数字作答） （3）将6本不同的书分给4人，每人至少1本，有多少种分法？（均须以数字作答） 【答案】（1）15；（2）90；（3）1560 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，利用部分平均分组列式计算. （2）利用分步乘法计数原理及组合计数问题列式计算. （3）按分组，再分配给4个人即可. 【详解】（1）无序部分均匀分组问题：共有（种）分法； （2）依题意，将6本不同书，由分步乘法计数得不同的分配方式有（种）； （3）第一类：当4位同学分得的书本数为1，1，2，2时，共有种； 第二类：当4位同学分得的书本数为1，1，1，3时，共有种； 由加法原理，知共有480+1080=1560种不同分法 16. 已知函数. （1）求函数的极值； （2）求函数在上的最大值. 【答案】（1）极小值-10，极大值27 （2）17 【解析】 【分析】（1）求出函数的导数，利用导数求出极值. （2）由（1）的信息，利用导数求出最大值. 【小问1详解】 函数定义域为R，， 当或时，；当时，， 函数在上单调递减，在上单调递增， 所以当时，取得极小值，当时，有极大值. 【小问2详解】 由（1）知，函数在上单调递减，在上单调递增， 又，， 所以当时，取得最大值17. 17. （每小问均须用数字作答）在中选出4个数字组成一个四位数 （1）可以组成多少个没有重复数字的四位数？ （2）可以组成多少个没有重复数字的四位偶数？ （3）若5和6至多出现1个，可以组成多少个没有重复数字的四位数？ 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）分选到0和没有选到0两种情况，利用排列组合公式，即可求解； （2）对个位进行分类，利用排列数公式，即可求解； （3）利用间接法，结合排列组合公式，即可求解. 【小问1详解】 若选到0，则0不能排在首位，有种方法， 若没有选到0，则有种方法， 综上可知，共有种方法； 【小问2详解】 个位是偶数的数是偶数， 若个位是0，则有种方法， 若个位不是0，则个位是2，4，6中的一个数字，有3种方法，千位有5种方法，中间两位有种方法，则有种方法， 综上可知，共有种方法； 【小问3详解】 中选出4个数字组成一个四位数，共有个数字，其中四位数有5且有6的数字，有个四位数， 则个四位数， 综上可知，若5和6至多出现1个，可以组成个没有重复数字的四位数. 18. 已知函数． （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）若有极小值，且极小值小于0，求a的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）求导，结合导数的几何意义求切线方程； （2）解法一：求导，分析和两种情况，利用导数判断单调性和极值，分析可得，构建函数解不等式即可；解法二：求导，可知有零点，可得，进而利用导数求的单调性和极值，分析可得，构建函数解不等式即可. 【小问1详解】 当时，则，， 可得，， 即切点坐标为，切线斜率， 所以切线方程为，即. 【小问2详解】 解法一：因为的定义域为，且， 若，则对任意恒成立， 可知在上单调递增，无极值，不合题意； 若，令，解得；令，解得； 可知在内单调递减，在内单调递增， 则有极小值，无极大值， 由题意可得：，即， 构建，则， 可知在内单调递增，且， 不等式等价于，解得， 所以a的取值范围为； 解法二：因为的定义域为，且， 若有极小值，则有零点， 令，可得， 可知与有交点，则， 若，令，解得；令，解得； 可知在内单调递减，在内单调递增， 则有极小值，无极大值，符合题意， 由题意可得：，即， 构建， 因为则在内单调递增， 可知在内单调递增，且， 不等式等价于，解得， 所以a的取值范围为. 19. 给定函数 （1）判断函数的单调性，并求出的极值； （2）画出函数的大致图象； （3）求出方程的解的个数 【答案】（1）单调递增区间为；单调递减区间为，极小值,； （2）答案见详解；（3）当时，解为个；当或时，解为个； 当时，解为个 【解析】 【分析】（1）求出导函数，再由导数与函数单调性之间的关系即可求解. （2）由函数的单调性、极值即可作出图象. （3）利用数形结合法即可求解. 【详解】（1）由，定义域为 ， 令，即， 令，即， 令，即， 所以函数的单调递增区间为； 单调递减区间为，为极小值点， 所以函数的极小值为. （2）函数的大致图象，如图所示： （3）方程解的个数等价于于的交点个数. 由（2）可知当时，方程的解为个； 当或时，方程的解为个； 当时，方程的解为个； 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$