暑假作业10 二次根式及其运算（要点梳理+11大题型+巩固强化）-【暑假分层作业】2025年八年级数学暑假培优练（苏科版）

限时练习：120min 完成时间： 月 日 天气： 作业10 二次根式及其运算 要点一、二次根式的相关概念和性质 （1）二次根式：形如的式子叫做二次根式，如等式子，都叫做二次根式. 【注意】二次根式有意义的条件是，即只有被开方数时，式子才是二次根式，才有意义. （2）二次根式的性质： ；；. 【注意】 1. 一个非负数可以写成它的算术平方根的平方的形式，即（）. 2. 中的取值范围可以是任意实数，即不论取何值，一定有意义. 3. 化简时，先将它化成，再根据绝对值的意义来进行化简. 4. 与的异同 不同点：中可以取任何实数，而中的必须取非负数；=，=（）. 相同点：被开方数都是非负数，当取非负数时，=. （3）最简二次根式： 被开方数是整数或整式. 被开方数中不含能开方的因数或因式. 满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式. （4）同类二次根式： 几个二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同，这几个二次根式就叫同类二次根式. 【注意】判断是否是同类二次根式，一定要化简到最简二次根式后，看被开方数是否相同，再判断. 要点二、二次根式的运算 （1）乘除法 乘除法法则： 类型 法则 逆用法则 二次根式的乘法 积的算术平方根化简公式： 二次根式的除法 商的算术平方根化简公式： 【注意】 1. 当二次根式的前面有系数时，可类比单项式与单项式相乘（或相除）的法则， 2. 被开方数a、b一定是非负数（在分母上时只能为正数）.. （2）加减法 将二次根式化为最简二次根式后，将同类二次根式的系数相加减，被开方数和根指数不变，即合并同类二次根式. 【注意】二次根式相加减时，要先将各个二次根式化成最简二次根式，再找出同类二次根式，最后合并同类二次根式.. 三层必刷：巩固提升+能力培优+创新题型 题型一、求二次根式的值 1．当时，二次根式的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题主要考查二次根式求值，将代入二次根式，直接求解即可． 【详解】解：当时， 故选：B． 2．当时，二次根式的值为（   ） A． B．2 C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次根式的基本性质及化简，二次根式的定义，把代入原式化简即可． 【详解】解：当时，原式， 故选：B． 3．下列各式是二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式的判断，根据形如的式子叫做二次根式进行判断即可． 【详解】解：A、被开方数为负数，不是二次根式，不符合题意； B、是二次根式，符合题意； C、被开方数，不是二次根式，不符合题意； D、，形式不符合，不是二次根式，不符合题意， 故选：B． 4．当 时，求下列二次根式的值． (1)． (2)． 【答案】(1)0 (2) 【分析】本题主要考查了二次根式的化简，熟练掌握相关方法是解题关键． （1）根据题意将代入二次根式之中，然后进一步化简即可． （2）根据题意将代入二次根式之中，然后进一步化简即可． 【详解】（1）解：当 时， ； （2）解： 当 时， ． 题型二、求二次根式的参数 5．已知是正整数，是整数，则的最小值为（ ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】本题考查了二次根式的意义，根据是正整数，是正整数，得出是一个完全平方数，再将分解质因数，即可得出结果． 【详解】解：是正整数，是正整数， 是一个完全平方数， ， 是一个完全平方数， 的最小值为2， 故选：A． 6．已知是整数，是正整数，则的所有可能的取值的和是（    ） A．11 B．12 C．15 D．19 【答案】D 【分析】本题考查了二次根式的定义，解题的关键是熟练掌握二次根式的定义． 根据二次根式的定义即可求出答案． 【详解】由题意可知：， ， ∵是整数，是正整数， ∴或7或8， ， 故选：D． 7．已知那么 ． 【答案】81 【分析】先求出x值，再求平方即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故答案为：81． 【点睛】本题考查了二次根式的意义，掌握二次根式的意义和运算方法是正确求解的基本方法． 8．已知n是一个正整数，是整数，求n的最小值． 【答案】n的最小值是15 【分析】直接利用二次根式的性质化简，进而得出n的最小值． 【详解】解：∵＝3，n是一个正整数， ∴n的最小值是15． 【点睛】此题主要考查了二次根式的定义，正确化简二次根式是解题关键． 题型三、二次根式有意义的条件 9．要使代数式有意义，则下列数值中字母x不能取的是（ ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】D 【分析】本题考查二次根式，解题的关键是正确理解二次根式有意义的条件，本题属于基础题型．根据二次根式有意义的条件即可求出答案． 【详解】解：由题可知，， 解得：， 观察选项，只有D符合题意； 故选：D． 10．函数的自变量取值范围是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查函数的自变量取值范围．根据二次根式的性质，被开方数大于或等于0，可以求出x的范围． 【详解】解：根据题意得：，解得：． 故选：C． 11．若在实数范围内有意义，则的取值范围是 . 【答案】且 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，分式有意义的条件，根据二次根式有意义的条件，分式有意义的条件列出关于一元一次不等式组，解不等式组即可求解． 【详解】解：根据题意有：， 解得：且， 故答案为：且． 12．要使下列各式有意义，应是怎样的实数？ (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)； (2)； (3)； (4)任意实数 【分析】此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确把握二次根式有意义的条件是解题关键． （1）根据二次根式中的被开方数是非负数，即可得出答案． （2）根据二次根式中的被开方数是非负数，即可得出答案． （3）根据二次根式中的被开方数是非负数，即可得出答案． （4）根据二次根式中的被开方数是非负数，即可得出答案． 【详解】（1）解：根据题意可得：，解得：； （2）解：根据题意可得：，解得：； （3）解：根据题意可得：，解得：； （4）解：根据题意可得：，故应是任意实数． 题型四、利用二次根式的性质化简 13．下列式子中，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】题考查了二次根式的性质，熟练掌握性质是解答本题的关键．根据二次根式的性质逐项分析即可． 【详解】解：A．无意义，不能化简，故不正确； B．无意义，不能化简，故不正确； C．，正确； D．，故不正确． 故选C． 14．若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式的性质，求不等式的解集，根据列出关于x的不等式求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故选B． 15．已知，化简： ． 【答案】 【分析】先判断x，y的正负，然后根据二次根式的性质进行化简即可. 本题考查了化简二次根式，解题的关键是掌握二次根式的性质. 【详解】解：∵， ∴ ∵， ∴，或 ∴； 故答案为. 16．实数a，b在数轴上对应的点如图所示，化简： ． 【答案】a 【分析】本题考查了数轴的相关知识及二次根式的化简．掌握二次根式的性质是解决本题的关键． 根据数轴上点的位置，确定a、b的正负，判断出，再化简给出的代数式，合并后得结果； 【详解】解：由数轴可知，且，则， ， 故答案为：a． 题型五、二次根式的乘除 17．计算的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次根式的乘除混合计算，直接根据二次根式的乘除混合计算法则求解即可． 【详解】解： ， 故选：C． 18．计算（）的结果是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，利用二次根式的性质进行化简，正确化简二次根式是解题关键． 直接利用二次根式的混合运算法则，计算化简即可． 【详解】解： ， 故选：A． 19．计算： （1） ． （2） ． 【答案】 【解析】略 20．计算： (1)； (2)． 【答案】(1)5 (2) 【分析】本题主要考查二次根式的混合运算，掌握其运算法则是关键． （1）分别算出平方，再根据二次根式的性质化简即可； （2）根据二次根式的乘除混合运算法则计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 题型六、二次根式化为最简二次根式 21．下列二次根式中属于最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了最简二次根式和二次根式的性质，掌握最简二次根式的定义是解题的关键．根据最简二次根式的定义对各选项进行判断即可． 【详解】解：A．，故选项A不符合题意； B．，故选项B不符合题意； C．，是最简二次根式，故选项C符合题意； D．，故选项D不符合题意． 故选：C． 22．下列二次根式中，最简二次根式是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】判定一个二次根式是不是最简二次根式的方法，就是逐个检查最简二次根式的两个条件是否同时满足，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是．本题考查最简二次根式，判定一个二次根式是不是最简二次根式的方法必须满足两条，就是（1）被开方数不含分母；（2）被开方数不含能开得尽方的因数或因式． 【详解】A.被开方数含能开得尽方的因数或因式，故A不符合题意； B. 被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式，故B符合题意； C. ，被开方数含能开得尽方的因数或因式，故C不符合题意； D.被开方数含有分母，故D不符合题意； 故选：B． 23．下列各式化成最简二次根式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了对最简二次根式的定义的理解，先根据二次根式的性质化简，再根据最简二次根式的定义判断是解此题的关键． 【详解】解：A. ，化简不正确； B. ，化简不正确； C. ，化简不正确； D. ，化简正确； 故选D． 24．把根式化简成最简二次根式，正确结果是（   ） A． B． C．－ D．－ 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式的化简，解题的关键是熟练掌握分母有理化， 根据二次根式有意义的条件可知，将二次根式转化为即可； 【详解】解：， 故选：C 题型七、同类二次根式 25．下列二次根式中，是同类二次根式的是（   ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】A 【分析】本题考查了同类二次根式，二次根式的性质与化简，化简各组二次根式后，根据同类二次根式的定义判断． 【详解】解：A、，，所以与是同类二次根式，故此选项符合题意； B、，所以与不是同类二次根式，故此选不项符合题意； C、，所以与不是同类二次根式，故此选项不符合题意； D、，，所以与不是同类二次根式，故此选项不符合题意； 故选：A 26．若与是同类二次根式，则的值可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式的性质和同类二次根式的定义，能熟记同类二次根式的定义的内容是解此题的关键． 根据同类二次根式的定义逐个判断即可． 【详解】解：A、，与不是同类二次根式，故本选项不符合题意； B、，与是同类二次根式，故本选项符合题意； C、，与不是同类二次根式，故本选项不符合题意； D、，与不是同类二次根式，故本选项不符合题意； 故选：B 27．最简二次根式与是同类二次根式，则 ． 【答案】1 【分析】本题考查的是同类二次根式的概念．由同类二次根式的定义可得：，解方程可得答案． 【详解】解：∵最简二次根式与是同类二次根式， ∴． ∴． 故答案为：1． 28．化简下列各组二次根式，看看它们是不是同类二次根式： (1)与 (2)与 (3)与 【答案】(1)是 (2)是 (3)不是 【分析】本题考查同类二次根式的识别，几个二次根式化简成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式叫做同类二次根式． （1）每个二次根式化简成最简二次根式后，根据定义判断即可． （2）每个二次根式化简成最简二次根式后，根据定义判断即可． （3）每个二次根式化简成最简二次根式后，根据定义判断即可． 【详解】（1）解：∵， ∴与是同类二次根式； （2）解：∵， ∴与是同类二次根式； （3）解：∵， ∴与不是同类二次根式． 题型八、二次根式的加减（及二次根式的混合运算） 29．下列运算正确的是（） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式的运算，根据合并同类二次根式法则判断选项A、B；根据二次根式的乘法法则判断选项C；根据二次根式的除法法则以及二次根式的性质判断选项D即可． 【详解】A．与2不是同类二次根式，不可以合并，故原计算错误，不符合题意； B．与3不是同类二次根式，不可以合并，故原计算错误，不符合题意； C．，原计算正确，符合题意； D．，故原计算错误，不符合题意； 故选∶C． 30．计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式的混合计算，先计算二次根式乘除法和化简二次根式，再计算二次根式加减法即可得到答案． 【详解】解： ． 31．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了二次根式混合运算，二次根式性质， （1）先根据二次根式乘法及性质进行计算，然后根据二次根式加减运算法则进行计算即可； （2）根据二次根式乘法和除法进行计算，然后根据二次根式加减运算法则进行计算即可． 【详解】（1）解：原式 1； （2）原式 ． 32．计算 (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了二次根式的混合计算和二次根式的除法计算，熟知二次根式的相关计算法则是解题的关键． （1）直接根据二次根式的除法计算法则求解即可； （2）先利用完全平方公式和二次根式乘法计算法则去括号，然后计算加减法即可得到答案． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 题型九、分母有理化 33．计算的结果是 ． 【答案】 【分析】此题考查二次根式的减法法则，分母有理化，掌握分母有理化的方法，合并同类二次根式的法则是解此题的关键． 首先将分母化简相减，然后利用分母有理化的方法求解即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 34．计算： ． 【答案】 【分析】此题考查了二次根式的分母有理化和二次根式的混合运算．分子分母同乘以，利用平方差公式进行计算即可． 【详解】解： ． 故答案为： 35．阅读理解下列材料，并解决相应的问题． ［材料一］两个含有二次根式且非零的代数式相乘，如果它们的积不含二次根式，那么这两个代数式互为有理化因式．例：，，我们称和互为有理化因式，和互为有理化因式． （1）的有理化因式是 （写出一个即可），的有理化因式是 （写出一个即可）； ［材料二］如果一个代数式的分母中含有二次根式，通常可将分子、分母同乘分母的有理化因式，使分母中不含根号，这种变形叫做分母有理化． （2）请利用分母有理化化简计算：． ［材料三］与分母有理化类似，将代数式分子、分母同乘分子的有理化因式，从而消去分子中的根式，这种变形叫做分子有理化．比如：． （3）试利用分子有理化比较和的大小．并说明理由． 【答案】（1）（答案不唯一），（答案不唯一）；（2）；（3） 【分析】本题考查分母有理化，估算无理数的大小及规律探索问题，熟练掌握分母有理化的步骤及方法是解题的关键． （1）根据有理化因式的定义即可求得答案； （2）根据分母有理化计算即可； （3）利用分母有理化得到，，然后比较大小即可． 【详解】解：（1）的有理化因式是（答案不唯一）， 的有理化因式是（答案不唯一）， 故答案为：（答案不唯一），（答案不唯一）； （2） ； （3）， ， ， ， ． 36．、（）、（）……两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式． (1)请写出以下代数式的一个有理化因式：：________，：________； (2)化简：； 【答案】(1)； (2) 【分析】本题考查分母有理化，熟练掌握分母有理化，是解题的关键： （1）根据有理化因式的定义，进行求解即可； （2）先进行分母有理化，再进行计算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴的有理化因式为； ∵； ∴的有理化因式为； （2）原式 ． 题型十、二次根式的化简求值 37．若，则代数式的值为 ． 【答案】2025 【分析】此题考查了代数式的值、二次根式的性质等知识，整体代入是解题的关键． 先求出，把变形为，整体代入即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴ 故答案为：． 38．已知，则代数式的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查二次根式的化简求值，求代数式的值，先把已知条件变形得到，两边平方可得到，然后利用整体代入的方法计算的值．掌握相应的运算法则、性质及公式是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴代数式的值为． 故答案为：． 39．已知：，． (1)求的值； (2)若m为a整数部分，n为b小数部分，求的值． 【答案】(1)17 (2) 【分析】本题主要考查了二次根式的化简求值，分母有理化，无理数的估算，熟知二次根式的相关知识是解题的关键． （1）先求出的值，再根据代值计算即可； （2）根据无理数的估算方法分别求出a、b的范围，进而求出m、n的值，最后代值计算即可得到答案． 【详解】（1）解：∵，， ∴，， ∴ ； （2）解：∵， ∴， ∴，， ∵m为a整数部分，n为b小数部分， ∴， ∴． 40．先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题考查了分式的化简求值，分母有理化，掌握运算法则是解题的关键． 先进行括号内异分母的分式减法计算，再将除法化为乘法计算，化为最简分式，再代入分母有理化即可． 【详解】解：原式， ， ， ， ， 将 代入得 题型十一、二次根式的应用 41．如图所示，小雅同学将一张正方形彩纸剪成四个部分，用其中的面积为和的两个小正方形分别做了纸飞机，原正方形边长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式的应用，解题的关键是数形结合，计算出两个小正方形的边长即可求解． 【详解】解：两个小正方形的面积分别为和， 两个小正方形的边长为：，， 原正方形边长为：， 故选：B． 42．如图，有一块矩形木板，木工王师傅采用如图所示的方式，在木板上截出两个面积分别为和的正方形木板． (1)正方形木板的边长为________，木板的边长为________； (2)求图中阴影部分的面积． 【答案】(1)，5 (2)阴影部分的面积为． 【分析】本题考查二次根式的应用、最简二次根式，熟练掌握相关的知识点是解题的关键． （1）根据正方形的面积根式以及最简二次根式的定义进行解题即可； （2）根据图形进行列式计算即可． 【详解】（1）解：设正方形的边长为，正方形的边长为， 则，， 解得，（负数舍去）． 故答案为：，5； （2）解：由题可知，阴影部分的面积为：． 答：阴影部分的面积为． 43．某小区有一块长方形绿地，长为米，宽为米，现在要在长方形绿地中修建两个形状大小相同的小长方形花坛（即图中阴影部分），每个小长方形花坛的长为米，宽为米． (1)求长方形绿地的周长； (2)除花坛外，其他地方全修建成通道，通道需铺上造价为55元/平方米的地砖，则购买地砖需要多少钱？ 【答案】(1)米 (2)3080元 【分析】此题考查了二次根式的四则混合运算的应用，读懂题意，熟练掌握运算法则和顺序是解题的关键． （1）根据长方形的周长公式计算即可； （2）先利用长方形的绿地面积减去花坛的面积，再用化简结果乘以地砖的单价即可． 【详解】（1）解：(米）， ∴长方形的周长为米． （2）解：(平方米)， 则(元)， ∴要铺完整个通道，则购买地砖需要花费3080元． 44．高空抛物严重威胁着人们的头顶安全，即便是常见小物件，一旦从高空落下，其威力也惊人，而且落地用时很短，行人常常来不及避让．据研究，从高度为（单位：）的高空抛出的物体下落的时间（单位：）和高度满足关系式（不考虑风速的影响，的值取），已知小杰家所住楼层的高度是． (1)假如一个物品从小杰家抛出，求该物品落地的时间． (2)小华说他家所住楼层的高度是小杰家的2倍，所以两个相同的物品分别从他家和小杰家抛出，从他家抛出的物品落地所需要的时间是从小杰家抛出的物品落地所需时间的2倍，小华的说法正确吗？请说明理由． 【答案】(1)2秒 (2)不正确，理由见解析． 【分析】本题考查了二次根式的运算及自由落体运动中时间与高度关系公式的应用以及，解题关键是准确代入公式中各物理量的值，并熟练运用二次根式运算法则进行计算与化简 ． （1）根据小杰家楼层高度，代入高空抛物下落时间与高度关系公式，通过二次根式运算得出结果， （2）先根据小华家高度是小杰家2倍，算出小华家高度，再代入关系式求出落地时间，然后与小杰家物品落地时间相比，即可得出结论． 【详解】（1）解：根据题意得，． ∴（秒） ∴小杰家所住楼层物品落地的时间2秒． （2）解：不正确，理由如下： ∵小明住的高度是小亮家的倍， ∴． 将的值代入公式中，得： ∴，   即小华家物品落地所需要的时间是从小杰家抛出的物品落地所需时间的倍，而不是倍．因此，小华的说法不正确． 1．下列运算一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二次根式的运算，根据二次根式的性质和运算法则，进行计算即可． 【详解】解：A、不能合并，原运算错误，不符合题意； B、，原运算错误，不符合题意； C、，原运算正确，符合题意； D、不能合并，原运算错误，不符合题意； 故选C 2．要使二次根式有意义，则的取值范围是(    ) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，熟知二次根式有意义的条件是被开方数大于等于0是解题的关键．根据二次根式有意义的条件可得，再解不等式可得答案． 【详解】解：∵二次根式有意义， ∴， ∴， 故选：B． 3．的值在（   ） A．3到4之间 B．4到5之间 C．5到6之间 D．6到7之间 【答案】B 【分析】本题考查二次根式的乘法运算、无理数的估算．先根据二次根式的乘法化简原式，再根据无理数的估算方法求解即可． 【详解】解： ， ∵，即， ∴， 故选：B． 4．实数在数轴上的位置如图所示，则化简的结果是(    ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了实数与数轴、二次根式的性质与化简，熟练掌握以上知识点是关键． 根据数轴确定，，再化简二次根式即可． 【详解】解：由数轴可知：，， ， 故选：C． 5．若能与最简二次根式合并同类项，则x的值为 ． 【答案】4 【分析】本题考查了同类二次根式，熟练掌握同类二次根式的定义是解题的关键．由题意得，与最简二次根式是同类二次根式，据此即可求出x的值． 【详解】解：能与最简二次根式合并同类项，， ， 解得：． 故答案为：4． 6．若最简二次根式与最简二次根式相等，则 ． ． 【答案】 3 5 【分析】本题考查最简二次根式的定义，同类二次根式的概念，同类二次根式是化为最简二次根式后，被开方数相同的二次根式称为同类二次根式． 根据题意可知，同类二次根式的被开方数相同，根指数相同，可得答案． 【详解】解：最简二次根式与最简二次根式相等， ∴， 解得：，． 故答案为：3，5． 7．如图，要在长、宽的长方形木板上截两个面积分别为和的正方形，是否可行？ ．（填“可行”或“不可行”） 【答案】不可行 【分析】本题考查了二次根式的应用，根据正方形的面积公式可以分别求得两个正方形的边长是和，显然只需比较两个正方形的边长的和与7的大小即可．此题要能够正确求得每个正方形的边长，并能够正确比较实数的大小． 【详解】解：， ， ． 则截两个面积为和的正方形，不可行． 故答案为：不可行． 8．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了二次根式混合运算，二次根式的性质，熟练掌握二次根式混合运算法则，是解题的关键． （1）先计算括号里二次根式的减法，再计算括号外的除法； （2）先运用完全平方公式，平方差公式进行计算，再进行加减计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 9．先化简，再求值：，其中． 【答案】，2 【分析】本题考查了平方差公式、单项式乘以多项式、二次根式的乘法，熟练掌握各运算法则是解题关键． 利用平方差公式、单项式乘以多项式法则化简，再代入求值即可． 【详解】解：原式 ， 当时，原式． 10．我们在学习二次根式的时候会发现：有时候两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，如，．课本中阅读材料告诉我们，两个含有二次根式的非零代数式相乘．如果它们的积不是二次根式，那么这两个代数式互为有理化因式． 请运用有理化因式的知识，解决下列问题： (1)化简：_________； (2)比较大小：_________（用“”、“”或“”填空）； (3)已知，求的值； (4)直接写出的值． 【答案】(1) (2)> (3)3 (4) 【分析】本题主要考查了二次根式的化简求值，分母有理化，理解题目中所给的有理化因式的定义，熟知二次根式的运算法则是解答关键． （1）利用有理化因式的定义和二次根式的运算法则进行化简求解； （2）根据题意得到所给的两个二次根式都是正数，再结合有理化因式的定义比较它们倒数的大小来求解； （3）设，，根据有理化因式的定义计算出的值，根据m的值得出n的值，即是结果． （4）根据有理化因式的定义和二次根式的运算法则进行化简求解； 【详解】（1）解： （2）解：∵， ， 而， ∴， ∵和都是大于0的数， ∴， 即 故答案为：>． （3）解：设，， 则， ∵， ∴，即． （4）解： 1．已知a，b为非负实数，， ，当且仅当“”时，等号成立． 这个结论就是著名的“均值不等式”，“均值不等式”在一类最值问题中有着广泛的应用． 例：已知，求代数式最小值． 解：令，，则由，得． 当且仅当，即时，代数式取到最小值，最小值为4． 根据以上材料解答下列问题： (1)已知，则当______时，代数式到最小值，最小值为______； (2)用篱笆围一个面积为的矩形花园，则当这个矩形花园的长、宽各为多少时，所用的篱笆最短？最短的篱笆的长度是多少米？ (3)已知，则自变量x取何值时，代数式取到最大值？最大值为多少？ (4)若x为任意实数，代数式的值为m，则m范围为______． 【答案】(1)，； (2)这个矩形花园的长、宽均为10米时，所用的篱笆最短，最短的篱笆的长度是40米 (3)， (4) 【分析】本题主要考查了“均值不等式”的应用，二次根式的应用，完全平方公式的应用，解题关键是理解例题，借助例题求解． （1）类比于题例求解，即可解题； （2）设这个矩形花园的长为米，则宽为米，进而得到所用的篱笆长度为米，结合题干例题方法求解，即可解题； （3）由得到，结合题干例题得到当且仅当，即时，代数式取到最小值，最小值为4，然后得到的最小值，进而推出的最大值，即可解题； （4）根据题意分情况讨论，当时，当，时，当，时，分别求出m的最大最小值，即可解题． 【详解】（1）解：令，，则由，得． 当且仅当，即时，代数式取到最小值，最小值为． 故答案为：，； （2）解：设这个矩形花园的长为米，则宽为米， 所用的篱笆长度为米， 令，，则由，得． 当且仅当，即时，代数式取到最小值，最小值为． 这个矩形花园的长为米，宽为米，所用的篱笆最短，最短的篱笆的长度是米； 答：这个矩形花园的长、宽均为10米时，所用的篱笆最短，最短的篱笆的长度是40米； （3）解：， 当且仅当，即时，代数式取到最小值，最小值为4， ⸫代数式，当时，取得最小值为2， ⸫当时，代数式取到最大值，最大值为； （4）解：当时，代数式的值为，即， 当时， ， 当时，， ⸫当时，m的最大值为， 当时， ， ⸫当时，m的最小值为， 综上所述，m范围为， 故答案为：． 2．形如的化简，只要找到两个正数a，b，使，，即，，那么便有． 例如：化简． 解：，这里，，由于， ∴． 请仿照上例解下列问题： (1)填空：________，________，________； (2)化简：（请写出计算过程）； (3)化简： 【答案】(1)；； (2) (3) 【分析】本题考查二次根式的化简，二次根式的混合运算，熟练掌握题干给定的化简方法，是解题的关键： （1）根据题干给定的化简方法，进行化简即可； （2）根据题干给定的化简方法，进行化简即可； （3）根据题干给定的化简方法，先化简，再进行计算即可． 【详解】（1）解：； ； ； （2）解：， ∴，，， ∴； （3）原式 ． 1 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $$ 限时练习：120min 完成时间： 月 日 天气： 作业10 二次根式及其运算 要点一、二次根式的相关概念和性质 （1）二次根式：形如的式子叫做二次根式，如等式子，都叫做二次根式. 【注意】二次根式有意义的条件是，即只有被开方数时，式子才是二次根式，才有意义. （2）二次根式的性质： ；；. 【注意】 1. 一个非负数可以写成它的算术平方根的平方的形式，即（）. 2. 中的取值范围可以是任意实数，即不论取何值，一定有意义. 3. 化简时，先将它化成，再根据绝对值的意义来进行化简. 4. 与的异同 不同点：中可以取任何实数，而中的必须取非负数；=，=（）. 相同点：被开方数都是非负数，当取非负数时，=. （3）最简二次根式： 被开方数是整数或整式. 被开方数中不含能开方的因数或因式. 满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式. （4）同类二次根式： 几个二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同，这几个二次根式就叫同类二次根式. 【注意】判断是否是同类二次根式，一定要化简到最简二次根式后，看被开方数是否相同，再判断. 要点二、二次根式的运算 （1）乘除法 乘除法法则： 类型 法则 逆用法则 二次根式的乘法 积的算术平方根化简公式： 二次根式的除法 商的算术平方根化简公式： 【注意】 1. 当二次根式的前面有系数时，可类比单项式与单项式相乘（或相除）的法则， 2. 被开方数a、b一定是非负数（在分母上时只能为正数）.. （2）加减法 将二次根式化为最简二次根式后，将同类二次根式的系数相加减，被开方数和根指数不变，即合并同类二次根式. 【注意】二次根式相加减时，要先将各个二次根式化成最简二次根式，再找出同类二次根式，最后合并同类二次根式.. 三层必刷：巩固提升+能力培优+创新题型 题型一、求二次根式的值 1．当时，二次根式的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．当时，二次根式的值为（   ） A． B．2 C． D． 3．下列各式是二次根式的是（   ） A． B． C． D． 4．当 时，求下列二次根式的值． (1)． (2)． 题型二、求二次根式的参数 5．已知是正整数，是整数，则的最小值为（ ） A．2 B．3 C．4 D．5 6．已知是整数，是正整数，则的所有可能的取值的和是（    ） A．11 B．12 C．15 D．19 7．已知那么 ． 8．已知n是一个正整数，是整数，求n的最小值． 题型三、二次根式有意义的条件 9．要使代数式有意义，则下列数值中字母x不能取的是（ ） A． B．0 C．1 D．2 10．函数的自变量取值范围是（  ） A． B． C． D． 11．若在实数范围内有意义，则的取值范围是 . 12．要使下列各式有意义，应是怎样的实数？ (1)； (2)； (3)； (4)． 题型四、利用二次根式的性质化简 13．下列式子中，正确的是（   ） A． B． C． D． 14．若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 15．已知，化简： ． 16．实数a，b在数轴上对应的点如图所示，化简： ． 题型五、二次根式的乘除 17．计算的结果是（    ） A． B． C． D． 18．计算（）的结果是（　　） A． B． C． D． 19．计算： （1） ． （2） ． 20．计算： (1)； (2)． 题型六、二次根式化为最简二次根式 21．下列二次根式中属于最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 22．下列二次根式中，最简二次根式是（　　） A． B． C． D． 23．下列各式化成最简二次根式正确的是（    ） A． B． C． D． 24．把根式化简成最简二次根式，正确结果是（   ） A． B． C．－ D．－ 题型七、同类二次根式 25．下列二次根式中，是同类二次根式的是（   ） A．与 B．与 C．与 D．与 26．若与是同类二次根式，则的值可以是（    ） A． B． C． D． 27．最简二次根式与是同类二次根式，则 ． 28．化简下列各组二次根式，看看它们是不是同类二次根式： (1)与 (2)与 (3)与 题型八、二次根式的加减（及二次根式的混合运算） 29．下列运算正确的是（） A． B． C． D． 30．计算：． 31．计算： (1)； (2)． 32．计算 (1)； (2)． 题型九、分母有理化 33．计算的结果是 ． 34．计算： ． 35．阅读理解下列材料，并解决相应的问题． ［材料一］两个含有二次根式且非零的代数式相乘，如果它们的积不含二次根式，那么这两个代数式互为有理化因式．例：，，我们称和互为有理化因式，和互为有理化因式． （1）的有理化因式是 （写出一个即可），的有理化因式是 （写出一个即可）； ［材料二］如果一个代数式的分母中含有二次根式，通常可将分子、分母同乘分母的有理化因式，使分母中不含根号，这种变形叫做分母有理化． （2）请利用分母有理化化简计算：． ［材料三］与分母有理化类似，将代数式分子、分母同乘分子的有理化因式，从而消去分子中的根式，这种变形叫做分子有理化．比如：． （3）试利用分子有理化比较和的大小．并说明理由． 36．、（）、（）……两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式． (1)请写出以下代数式的一个有理化因式：：________，：________； (2)化简：； 题型十、二次根式的化简求值 37．若，则代数式的值为 ． 38．已知，则代数式的值为 ． 39．已知：，． (1)求的值； (2)若m为a整数部分，n为b小数部分，求的值． 40．先化简，再求值：，其中． 题型十一、二次根式的应用 41．如图所示，小雅同学将一张正方形彩纸剪成四个部分，用其中的面积为和的两个小正方形分别做了纸飞机，原正方形边长为（    ） A． B． C． D． 42．如图，有一块矩形木板，木工王师傅采用如图所示的方式，在木板上截出两个面积分别为和的正方形木板． (1)正方形木板的边长为________，木板的边长为________； (2)求图中阴影部分的面积． 43．某小区有一块长方形绿地，长为米，宽为米，现在要在长方形绿地中修建两个形状大小相同的小长方形花坛（即图中阴影部分），每个小长方形花坛的长为米，宽为米． (1)求长方形绿地的周长； (2)除花坛外，其他地方全修建成通道，通道需铺上造价为55元/平方米的地砖，则购买地砖需要多少钱？ 44．高空抛物严重威胁着人们的头顶安全，即便是常见小物件，一旦从高空落下，其威力也惊人，而且落地用时很短，行人常常来不及避让．据研究，从高度为（单位：）的高空抛出的物体下落的时间（单位：）和高度满足关系式（不考虑风速的影响，的值取），已知小杰家所住楼层的高度是． (1)假如一个物品从小杰家抛出，求该物品落地的时间． (2)小华说他家所住楼层的高度是小杰家的2倍，所以两个相同的物品分别从他家和小杰家抛出，从他家抛出的物品落地所需要的时间是从小杰家抛出的物品落地所需时间的2倍，小华的说法正确吗？请说明理由． 1．下列运算一定正确的是（   ） A． B． C． D． 2．要使二次根式有意义，则的取值范围是(    ) A． B． C． D． 3．的值在（   ） A．3到4之间 B．4到5之间 C．5到6之间 D．6到7之间 4．实数在数轴上的位置如图所示，则化简的结果是(    ) A． B． C． D． 5．若能与最简二次根式合并同类项，则x的值为 ． 6．若最简二次根式与最简二次根式相等，则 ． ． 7．如图，要在长、宽的长方形木板上截两个面积分别为和的正方形，是否可行？ ．（填“可行”或“不可行”） 8．计算： (1)； (2)． 9．先化简，再求值：，其中． 10．我们在学习二次根式的时候会发现：有时候两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，如，．课本中阅读材料告诉我们，两个含有二次根式的非零代数式相乘．如果它们的积不是二次根式，那么这两个代数式互为有理化因式． 请运用有理化因式的知识，解决下列问题： (1)化简：_________； (2)比较大小：_________（用“”、“”或“”填空）； (3)已知，求的值； (4)直接写出的值． 1．已知a，b为非负实数，， ，当且仅当“”时，等号成立． 这个结论就是著名的“均值不等式”，“均值不等式”在一类最值问题中有着广泛的应用． 例：已知，求代数式最小值． 解：令，，则由，得． 当且仅当，即时，代数式取到最小值，最小值为4． 根据以上材料解答下列问题： (1)已知，则当______时，代数式到最小值，最小值为______； (2)用篱笆围一个面积为的矩形花园，则当这个矩形花园的长、宽各为多少时，所用的篱笆最短？最短的篱笆的长度是多少米？ (3)已知，则自变量x取何值时，代数式取到最大值？最大值为多少？ (4)若x为任意实数，代数式的值为m，则m范围为______． 2．形如的化简，只要找到两个正数a，b，使，，即，，那么便有． 例如：化简． 解：，这里，，由于， ∴． 请仿照上例解下列问题： (1)填空：________，________，________； (2)化简：（请写出计算过程）； (3)化简： 1 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $$