暑假作业09 反比例函数与一次函数、几何综合（要点梳理+11大题型+巩固强化）-【暑假分层作业】2025年八年级数学暑假培优练（苏科版）

限时练习：150min 完成时间： 月 日 天气： 作业09 反比例函数与一次函数、几何综合 要点一、反比例函数与一次函数的交点问题 （1）求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点． （2）判断正比例函数和反比例函数在同一直角坐标系中的交点个数可总结为： 当k1与k2同号时，正比例函数和反比例函数在同一直角坐标系中有2个交点； 当k1与k2异号时，正比例函数和反比例函数在同一直角坐标系中有0个交点． 要点二、反比例函数中“设点法”的解题应用 反比例函数 只需知道图像上一个点坐标就能求出比例系数 反之，如果题目中k已知, 也可设其图像上的点为。通过设某一些点的坐标（含一个代求参数）结合题目图中具有的几何关系，如：等腰三角形中三线合一、特殊三角形比例关系、斜边中线等，把其它点用所设的参数表示出来，然后根据题中给定的条件列方程求解参数，常见的给定条件有：1.图形面积；2.线段长度等． 三层必刷：巩固提升+能力培优+创新题型 题型一、一次函数与反比例函数图象综合判断 1．一次函数与反比例函数在同一直角坐标系中的图像可能是（  ） A．   B．   C．   D．   2．已知反比例函数，此反比例函数在第一象限内y随x的增大而减小，一次函数，其中，则此一次函数在直角坐标系内大致图象是（　  　） A．   B．  C．  D．   3．在同一平面直角坐标系中，一次函数（a，b为常数，且）的图象与反比例函数 的图象大致是（　　） A． B． C． D． 4．将正比例函数与反比例函数叠加得到函数（这样的函数由于其图象类似两个勾号，所以也称为“对勾函数”或“双勾函数”．对勾函数是一种类似于反比例函数的一般函数，一般认为它是反比例函数的一个延伸．），如图是对勾函数的图象，下列对该函数性质的说法不正确的是（　　） A．该函数的图象是中心对称图形 B．在每个象限内，的值随值的增大而减小 C．当时，函数在时取得最小值 D．函数值不可能为 题型二、一次函数与反比例函数的交点问题 5．如图，一次函数的图像与反比例函数在第一象限的图像交于和两点，与x轴交于点C，下列说法：①反比例函数的关系式；②根据图像，当时，x的取值范围为或；③若点P在x轴上，且，点P的坐标．其中所有正确结论的序号是（    ）    A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 6．如图，点在双曲线上，作直线交双曲线于点B，过点作轴于点C，连接，已知的面积为2，那么 ． 7．如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象交，两点，一次函数的图象与y轴交于点C． (1)求一次函数解析式； (2)根据函数的图象，直接写出不等式的解集________； (3)求点O到直线的距离． 8．如图正比例函数与反比例函数的图象交于、B两点． (1)求反比例函数的表达式； (2)若点P是第二象限反比例函数图象上一点，过点P作x轴的垂线，交x轴于点M、交直线于点N，若三个点P、M、N中恰有一点是其它两点所连线段的中点，则称点P、M、N三点为“和谐点”，直接写出使点P、M、N三点成为“和谐点”的P的坐标． 题型三、一次函数与反比例函数的实际应用 9．某品牌自动饮水机，开机加热时每分钟上升，加热到，停止加热．水温开始下降，此时水温（）与通电时间成反比例关系．当水温降至时，饮水机再自动加热．若水温在时接通电源，水温与通电时间之间的关系如图所示，则下列说法中正确的是（    ） A．上午8点接通电源，可以保证当天能喝到不超过的水 B．水温下降过程中，与之间的函数关系式是 C．水温从加热到需要 D．水温不低于的时间为 10．如图1是某新款茶吧机，开始加热时，水温每分钟上升，加热到时，停止加热，水温开始下降，此时水温是通电时间的反比例函数．若在水温为时开始加热，水温与通电时间之间的函数关系如图2所示． (1)将水从加热到需要 ； (2)在水温下降的过程中，求水温关于通电时间的函数表达式； (3)加热一次，水温不低于的时间有多长？ 11．某水果生产基地在气温较低时，用装有恒温系统的大棚栽培一种新品种水果，如图是试验阶段的某天恒温系统从开启到关闭后，大棚内的温度与时间之间的函数关系，其中线段、表示恒温系统开启后阶段，双曲线的一部分表示恒温系统关闭阶段． 请根据图中信息解答下列问题： (1)这个恒温系统设定的恒定温度为多少； (2)求全天的温度与时间之间的函数关系式； (3)若大棚内的温度低于时，蔬菜会受到伤害，问：这天内恒温系统最多可以关闭多少小时，才能避免水果生长受到影响？ 12．我校后勤处每周周日均会对学校教室进行消毒处理，已知消毒水的消毒效果随着时间变化如图所示，消毒效果（单位：效力）与时间（单位：分钟）呈现三段函数图象，其中段为渐消毒阶段，段为深消毒阶段，段是反比例函数图象的一部分，为降消毒阶段，请根据图中信息解答下列问题： (1)第3分钟时消毒效果为________效力； (2)求深消毒阶段和降消毒阶段中与之间的函数关系式； (3)若消毒效果持续28分钟达到4效力及以上，即可产生消毒作用，请问本次消毒是否有效？ 题型四、一次函数与反比例函数的其他综合应用 13．如图，一次函数的图象分别交轴、轴于两点，点为反比例函数（）图象上一点，过点分别作轴、轴的平行线交直线于点，直线交轴于点．连接，将绕着点逆时针旋转后得到线段． (1)若，，求点的坐标； (2)求点的横坐标； (3)是否存在一个的值，使得无论点位于反比例函数图象上何处时，总有点、、三点在同一直线上？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 14．如图，一次函数与反比例函数相交于点，与x轴交于点B，    (1)求反比例函数解析式 (2)点P是y轴上一动点，连接，当的值最小时，求P点坐标； (3)在（2）的条件下，C为直线的动点，连接，将点C绕点P逆时针旋转得到点D，在C运动过程中，求的最小值． 题型五、反比例函数与三角形的综合应用 15．如图，在中，，过原点，轴，双曲线过，两点，过点作轴交双曲线于点，连结．若的面积为8，则的值为（   ） A．4 B． C．3 D．6 16．如图，点，点在反比例函数的图象上，射线交轴于点，且，延长交反比例函数图象另一分支于点，连接交轴于点，若，则的值为 ． 17．已知一次函数与反比例函数的图象交于、两点，交轴于点． (1)求反比例函数的表达式和点的坐标； (2)若点关于原点的对称点为，求的面积； (3)探究：在轴上是否存在一点，使得为等腰直角三角形，且直角顶点为点，若存在，请直接写出点坐标；若不存在，请说明理由． 18．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点B，与x轴交于点A，与y轴交于点C． (1)若点B坐标为时． ①求一次函数和反比例函数的解析式； ②在y轴上取一点P，当的面积为4时，求点P的坐标； (2)过点B作轴于点D，点Q为中点，线段交y轴于点P，连接．若的面积为5，则k的值为________． 题型六、反比例函数与平行四边形的综合应用 19．如图，平行四边形的顶点 在 轴的正半轴上，点在对角线 上，反比例函数的图象经过、两点．已知平行四边形的面积是，则点 的坐标为（   ） A． B． C． D． 20．如图，在中，轴，，反比例函数的图象经过点C，且与交于点E．若，则E点坐标为 ． 21．如图，在平面直角坐标系中，的边在x轴上，点B坐标为，点C坐标为，反比例函数的图象经过点A，与交于点E． (1)求该反比例函数的表达式； (2)点G是y轴上的动点，连接，，求的最小值； (3)连接，在反比例函数图象上是否存在点P（点P与点E不重合），使得？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 22．如图，在中，已知，一个反比例函数的图像经过点． (1)求点的坐标和该反比例函数的表达式． (2)将向上平移个单位长度，再向右也平移个单位长度，得到，若此时点恰好落在反比例函数的图像上，求满足的表达式． (3)若将沿直线翻折，得到，则点是否在反比例函数的图像上？为什么？ 题型七、反比例函数与矩形的综合应用 23．如图，反比例函数在第一象限内的图象与矩形的两边相交于，两点，．若矩形的面积为18，则的值是（   ） A．4 B．5 C．6 D．9 24．如图，在平面直角坐标系中，坐标原点O为矩形的对角线的中点，点E是x轴上一点，连接，若平分，点F是的中点，反比例函数的图象经过点A、F，已知的面积为27，则k的值为 ． 25．如图直角坐标系中，矩形的边在轴上，点的坐标分别为，． (1)若反比例函数的图象经过直线上的点，且点的坐标为，求的值及反比例函数的解析式； (2)若（2）中的反比例函数的图象与相交于点，连接，在直线上找一点，使得，求点的坐标． 26．如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点C在y轴上，B在x轴上，把矩形沿对角线所在的直线翻折，点A恰好落在反比例函数的图象上点D处，与y轴交于点E，延长交x轴于点F，点D刚好是的中点．已知B的坐标为． (1)求的度数； (2)求反比例函数的函数表达式； (3)若Q是反比例函数图像上的一点，P点在x轴上，若以P，Q，B，E为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出P点的坐标________________________． 题型八、反比例函数与菱形的综合应用 27．如图，在平面直角坐标系中，已知四边形为菱形，一边在y轴上，点B坐标为，C点在反比例函数上，连接，则的面积是（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 28．如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，菱形的顶点在反比例函数的图像上，点B在x轴正半轴上，将该菱形向上平移，使点B的对应点D落在反比例函数的图像上，则图中 ．      29．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于两点，点在轴正半轴上，点，连接，四边形为菱形． (1)求一次函数与反比例函数的解析式； (2)观察图象，直接写出不等式的解集； (3)在直线上是否存在点，且，若存在求点的坐标，若不存，请说明理由． 30．如图，反比例函数（）的图像经过点A，B，点A的坐标为，点B的纵坐标为3，点C的坐标为． (1)如图①，求反比例函数和直线的函数表达式； (2)如图②，P是直线上一点，D是x轴上一点，当的值最小时，求的最小值和此时点P的坐标； (3)如图③，是反比例函数（）图像上异于点A的一点，过点M作轴，垂足为N，过点A作轴，垂足为E，直线交x轴于点Q，是否存在点，使得四边形是菱形？若存在，请求出m的值；若不存在，请说明理由． 题型九、反比例函数与正方形的综合应用 31．如图，已知正方形的面积为9，它的两个顶点B，D是反比例函数的图象上两点，且轴，轴，若点D的坐标是，则的值为（    ） A． B． C．3 D．－3 32．如图，在平面直角坐标系中，边长为的正方形的顶点落在反比例函数的图象上，则为 ． 33．如图，在平面直角坐标系中，B、C两点在x轴的正半轴上，以线段为边向上作正方形，顶点A在正比例函数的图象上，反比例函数的图象经过点A，且与边相交于点E． (1)当时， ①若，求点E的坐标； ②连接．是否存在某一位置使得，若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由． (2)若，求的值（用含n的代数式表示）． 题型十、反比例函数中的存在性问题 34．如图，在平面直角坐标系中有，，，、、． (1)求C点坐标； (2)将沿x轴的正方向平移，在第一象限内B、C两点的对应点、正好落在某反比例函数图象上．请求出这个反比例函数和此时的直线的解析式； (3)在（2）的条件下，直线交y轴于点G．问是否存在x轴上的点M和反比例函数图象上的点P，使得四边形是平行四边形？如果存在，请求出点M和点P的坐标；如果不存在，请说明理由． 题型十一、反比例函数中的最值问题 35．如图，一次函数的图像与反比例函数的图像相交于点A，与x轴交于点B，与y轴交于点C，轴于点D，点C关于直线的对称点为点E，且点E在反比例函数的图像上．      (1)求b的值； (2)连接、、，求证四边形为正方形； (3)若点P在y轴上，当最小时，求点P的坐标． 36．在平面直角坐标系中，已知一次函数与坐标轴分别交于，两点，且与反比例函数的图像在第一象限内交于P，K两点，连接，的面积为． (1)求一次函数与反比例函数的解析式； (2)若C为线段上的一个动点，当最小时，求的面积． 1．函数与的图象交于点，则代数式的值是（    ） A． B． C． D．2 2．如图，矩形的中心与点都在反比例函数的图象上，点，在轴上，若的面积为9，则的值是（   ） A．9 B．12 C．15 D．18 3．如图，在平面直角坐标系中，点的坐标是，点是函数图象上的一个动点，过点作轴，交函数的图象于点，点是轴上在点左侧的一点，且，连接、，有如下四个结论：①四边形可能是菱形；②四边形可能是正方形；③四边形的周长是定值；④四边形的面积是定值．其中正确的结论有（ ） A．①③ B．①④ C．②③ D．②④ 4．如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，的顶点在轴上，垂直于轴，点，分别在函数（）和（）的图象上，若的面积为，则的值为 ． 5．在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象在第一象限交于和两点．若点P在y轴上，点Q在反比例函数的图象上，当以A、B、P、Q为顶点的四边形是平行四边形时，写出所有符合条件的Q点的坐标： ． 6．如图，平面直角坐标系中，点为反比例函数的图像一点，点为轴上一点，连接，过点作，交反比例函数的图像于点，连接，若为等腰直角三角形，则点的横坐标为 ． 7．在图中，A，B两点在反比例函数的图象上，过点O，是等边三角形，请仅用无刻度的直尺完成以下作图保留作图痕迹 (1)图1中，作，垂足为点E； (2)图2中，点D为的中点，在x轴上作出点F，使四边形为矩形； (3)图3中，在第二象限内作出点G，使四边形为菱形． 8．综合与探究 如图1，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象分别交于点和． (1)求的值及反比例函数的表达式； (2)如图2，过点与点分别作轴和轴的垂线，垂足分别为点，点，两垂线交于点，连接，求的面积； (3)如图3，延长交反比例函数在第三象限内的图象于点，连接，，将直线沿着轴向下平移若干个单位长度，使得直线经过点，平移后的直线与轴交于点，若在直线上存在点，使得，直接写出点的坐标． 1．在平面直角坐标系xOy中，将任意两点与之间的“直距”定义为：．例如：点，点，则． (1)已知两点，则______； (2)已知点M在反比例函数第一象限的图像上，若线段，求； (3)已知两点，如果直线AB上存在点C，使得，请直接写出点C的坐标． 2．在平面直角坐标系中，对于任意三点，，给出如下定义：如果矩形的任何一条边均与某条坐标轴平行或共线，且，，三点都在矩形的内部或边界上，那么称该矩形为点，，的相伴矩形，在点，，所有的相伴矩形中，面积最小的矩形称为点，，的最佳相伴矩形．例如，图中的矩形，，都是点的相伴矩形，矩形是点的最佳相伴矩形． (1)如图，点，，（为整数）． ①如果，则点的最佳相伴矩形的面积是________． ②如果点的最佳相伴矩形的面积是，请写出一个符合题意的值_______． (2)如图，已知点在函数的图象上，且点的坐标为，点的坐标为， ①求点的最佳相伴矩形的面积关于的函数表达式， ②当 时的值最小，最小值等于 ． 3．几何图形是数学研究的主要对象之一，图形的形状、大小和位置是几何中研究的主要内容，平面几何中，平移、翻折、旋转是常见的图形变换．鹿鸣学堂数学兴趣小组的同学们在学习了反比例函数的相关内容后，进一步探究反比例函数的图像的平移、旋转、翻折的相关问题，过程如下： (1)如图1，将反比例函数的图像向左平移3个单位，求平移后的图像与y轴的交点坐标； (2)如图2，将反比例函数（）的图像绕点O顺时针旋转60°，点P为旋转后图像上的一点，过点P作直线的垂线，垂足是H，若，求的值； (3)如图3所示，反比例函数（）的图像沿直线翻折得到新图像．若直线与两条曲线交于E、F，直线与两条曲线交于G、H，同学们发现E、F、G、H四个点组成的四边形是矩形，当这个矩形的面积是4时，直接写出b的值． 1 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $$ 限时练习：150min 完成时间： 月 日 天气： 作业09 反比例函数与一次函数、几何综合 要点一、反比例函数与一次函数的交点问题 （1）求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点． （2）判断正比例函数和反比例函数在同一直角坐标系中的交点个数可总结为： 当k1与k2同号时，正比例函数和反比例函数在同一直角坐标系中有2个交点； 当k1与k2异号时，正比例函数和反比例函数在同一直角坐标系中有0个交点． 要点二、反比例函数中“设点法”的解题应用 反比例函数 只需知道图像上一个点坐标就能求出比例系数 反之，如果题目中k已知, 也可设其图像上的点为。通过设某一些点的坐标（含一个代求参数）结合题目图中具有的几何关系，如：等腰三角形中三线合一、特殊三角形比例关系、斜边中线等，把其它点用所设的参数表示出来，然后根据题中给定的条件列方程求解参数，常见的给定条件有：1.图形面积；2.线段长度等． 三层必刷：巩固提升+能力培优+创新题型 题型一、一次函数与反比例函数图象综合判断 1．一次函数与反比例函数在同一直角坐标系中的图像可能是（  ） A．   B．   C．   D．   【答案】B 【分析】本题考查一次函数图象与性质、反比例函数图象与性质，根据四个选项中的图象，先由反比例函数图象得到的正负，进而得到直线图象即可得到答案，熟记一次函数图象与性质、反比例函数图象与性质是解决问题的关键． 【详解】解：A、如图所示：   反比例函数中的，则直线中，即直线过第一三四象限，该选项不符合题意； B、如图所示：   反比例函数中的，则直线中，即直线过第一三四象限，该选项符合题意； C、如图所示：   反比例函数中的，则直线中，即直线过第一二四象限，该选项不符合题意； D、如图所示：     反比例函数中的，则直线中，即直线过第一二四象限，该选项不符合题意； 故选：B． 2．已知反比例函数，此反比例函数在第一象限内y随x的增大而减小，一次函数，其中，则此一次函数在直角坐标系内大致图象是（　  　） A．   B．  C．  D．   【答案】B 【分析】根据反比例函数性质，得到，结合，得到，由一次函数图象分布条件判断即可． 【详解】∵反比例函数，此反比例函数在第一象限内y随x的增大而减小， ∴， ∵， ∴， ∴图象分布在第一、三、四象限， 故选B． 【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的综合，熟练掌握函数的性质是解题的关键． 3．在同一平面直角坐标系中，一次函数（a，b为常数，且）的图象与反比例函数 的图象大致是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查一次函数与反比例函数图象的综合判断，根据一次函数图象所在象限判断a，b的正负，进而判断的正负，得出反比例函数图象应该所在的象限，逐项判断可得答案． 【详解】解：A，由一次函数图象在第一、三、四象限，可得，，进而可得，则的图象应该在第二、四象限，而不是第一、三象限，不合题意； B，由一次函数图象在第二、三、四象限，可得，，进而可得，则的图象应该在第一、三象限，而不是第二、四象限，不合题意； C，由一次函数图象在第一、三、四象限，可得，，进而可得，则的图象应该在第二、四象限，符合题意； D，由一次函数图象在第一、二、四象限，可得，，进而可得，则的图象应该在第二、四象限，而不是第一、三象限，不合题意； 故选C． 4．将正比例函数与反比例函数叠加得到函数（这样的函数由于其图象类似两个勾号，所以也称为“对勾函数”或“双勾函数”．对勾函数是一种类似于反比例函数的一般函数，一般认为它是反比例函数的一个延伸．），如图是对勾函数的图象，下列对该函数性质的说法不正确的是（　　） A．该函数的图象是中心对称图形 B．在每个象限内，的值随值的增大而减小 C．当时，函数在时取得最小值 D．函数值不可能为 【答案】B 【分析】本题考查正比例函数、反比例函数的图象和性质，解题的关键是掌握并利用正比例函数、反比例函数的图象和性质逐项进行判断即可． 【详解】解：A．∵正比例函数与反比例函数的图象都是关于原点对称， ∴叠加得到函数的图象也关于原点对称，原说法正确，故此选项不符合题意； B．在第一象限内，当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大，原说法不正确，故此选项符合题意； C．由图象可知：当时，函数在时取得最小值，原说法正确，故此选项不符合题意； D．由图象可知：或，因此函数值不可能为，原说法正确，故此选项不符合题意． 故选：B． 题型二、一次函数与反比例函数的交点问题 5．如图，一次函数的图像与反比例函数在第一象限的图像交于和两点，与x轴交于点C，下列说法：①反比例函数的关系式；②根据图像，当时，x的取值范围为或；③若点P在x轴上，且，点P的坐标．其中所有正确结论的序号是（    ）    A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】A 【分析】本题考查用待定系数法求反比例函数解析式，反比例函数图象性质，一次函数与反比例函数交点问题，直线与坐标围成的三角形面积问题．①先把点代入中求出a得到，然后利用待定系数法即可得到反比例函数的表达式；②根据图象得出取值范围；③先求得，进而得出，设，则，利用三角形面积公式得到关于t的方程，求解即可． 【详解】解：把点点代入，得， ∴， 把代入反比例函数， ∴； ∴反比例函数的表达式为，故结论①正确； 把代入，得：， ∴， 根据图象可知，当时，x的取值范围为或，故结论②正确； 如图，连接，    对于， 当时，， ∴点， ∵， 又∵， ∴， 设，则， ∴， 解得：或， ∴或，故结论③错误． 故选：A． 6．如图，点在双曲线上，作直线交双曲线于点B，过点作轴于点C，连接，已知的面积为2，那么 ． 【答案】18 【分析】本题考查反比例函数与一次函数交点问题，反比例函数的几何意义，矩形的性质，先求出点坐标进而求出的解析式，过点作轴与点D，延长交于点，根据三角形的面积公式，求出点坐标，即可得出值． 【详解】解：点在双曲线上， ∴， ∴， ∴， 设直线的解析式为，则：， ∴， ∴直线的解析式为， 设， 过点作轴于点D，延长交于点， ∵轴， ∴， ∴四边形为矩形， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 7．如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象交，两点，一次函数的图象与y轴交于点C． (1)求一次函数解析式； (2)根据函数的图象，直接写出不等式的解集________； (3)求点O到直线的距离． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】本题主要考查了反比例函数与一次函数交点问题，三角形面积即可，待定系数法求函数解析式，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）将，代入得出点，，进而待定系数法求得直线解析式即可； （2）根据函数图象，直接写出一次函数在反比例函数图象下方的自变量的取值范围，即可求解； （3）连接，，根据求出的面积，设边的高为h，根据三角形面积公式得出，求出结果即可． 【详解】（1）解：∵反比例函数的图象经过，， ∴，， ∴，， ∴点，， 把，的坐标代入得： ，解得：， ∴一次函数的解析式为． （2）解：观察图象，不等式是的解集为：或． （3）解：连接，，如图所示： 把代入得：， ∴点C的坐标为， ∴ ， ∵， ∴， 设边的高为h，则： ， 解得：， 答：点O到直线的距离为． 8．如图正比例函数与反比例函数的图象交于、B两点． (1)求反比例函数的表达式； (2)若点P是第二象限反比例函数图象上一点，过点P作x轴的垂线，交x轴于点M、交直线于点N，若三个点P、M、N中恰有一点是其它两点所连线段的中点，则称点P、M、N三点为“和谐点”，直接写出使点P、M、N三点成为“和谐点”的P的坐标． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题属于反比例函数与一次函数的交点问题，考查了一次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求反比例函数的解析式，函数与不等式和方程的关系等知识． （1）由的A的坐标，然后利用待定系数法求得反比例函数的解析式； （2）分两种情况：当P在A点的下方时，，则；当P在A点的上方时，，则；分别解方程求解即可． 【详解】（1）解：∵正比例函数与反比例函数的图象交于， ∴， ∴， ∴， ∴反比例函数的表达式为； （2）解：设，则， 如图1，当P在A点的下方时，，则， 解得， ∵， ∴，此时； 如图2，当P在A点的上方时，，则， 解得， ∵， ∴，此时． 综上，点P的坐标为或． 题型三、一次函数与反比例函数的实际应用 9．某品牌自动饮水机，开机加热时每分钟上升，加热到，停止加热．水温开始下降，此时水温（）与通电时间成反比例关系．当水温降至时，饮水机再自动加热．若水温在时接通电源，水温与通电时间之间的关系如图所示，则下列说法中正确的是（    ） A．上午8点接通电源，可以保证当天能喝到不超过的水 B．水温下降过程中，与之间的函数关系式是 C．水温从加热到需要 D．水温不低于的时间为 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数和反比例函数的应用，数形结合是解决本题的关键．该题为反比例函数与一次函数的实际应用的典型题目——浓度、温度问题，先利用待定系数法求函数的解析式，再利用解析式求得对应信息． 【详解】A、根据题意可得与的函数关系式是，令，则， ，即饮水机每经过，要重新从开始加热一次从点至，经过的时间为，，而水温加热到，需要的时间为，故时，饮水机第三次从开始加热了，令，则，即时，饮水机的水温为，故A选项不符合题意； B、由题意可得点在反比例函数的图像上，设反比例函数的解析式为，将点代入，可得， 水温下降过程中，与的函数关系式是，故B选项不符合题意； C、开机加热时水温每分钟上升， 水温从升高到，需要的时间为，故C选项不符合题意； D、水温从加热到所需要的时间为， 令，则，解得， 水温不低于的时间为，故D选项符合题意． 故选：D． 10．如图1是某新款茶吧机，开始加热时，水温每分钟上升，加热到时，停止加热，水温开始下降，此时水温是通电时间的反比例函数．若在水温为时开始加热，水温与通电时间之间的函数关系如图2所示． (1)将水从加热到需要 ； (2)在水温下降的过程中，求水温关于通电时间的函数表达式； (3)加热一次，水温不低于的时间有多长？ 【答案】(1)3.2 (2) (3)一个加热周期内水温不低于的时间为 【分析】（1）依题得开机加热时每分钟上升，则水温从加热到所需时间用温度差每分钟加热的温度即即可求解； （2）结合（1）中可得点在反比例函数的图像上，代入即可求得k值，从而得到反比例函数解析式； （3）分类讨论，降温过程中水温不低于的时间加热过程中水温低于的时间即为加热一次水温不低于的时间，其中降温过程中水温不低于的时间利用中的函数解析式即可求得． 【详解】（1）解： 开机加热时每分钟上升， 水温从加热到，所需时间为， 故答案为：3.2； （2）解：设水温下降过程中，与的函数关系式为， 由题意得，点在反比例函数的图像上， ， 解得：， 水温下降过程中，与的函数关系式是； （3）解：在加热过程中，水温为时，， 解得：， 在降温过程中，水温为时，， 解得：， ， 一个加热周期内水温不低于的时间为． 【点睛】本题考查的知识点是一次函数的图像与性质、求反比例函数的解析式、利用函数解决实际问题，解题关键是掌握反比例函数解析式的求法及利用函数解决实际问题． 11．某水果生产基地在气温较低时，用装有恒温系统的大棚栽培一种新品种水果，如图是试验阶段的某天恒温系统从开启到关闭后，大棚内的温度与时间之间的函数关系，其中线段、表示恒温系统开启后阶段，双曲线的一部分表示恒温系统关闭阶段． 请根据图中信息解答下列问题： (1)这个恒温系统设定的恒定温度为多少； (2)求全天的温度与时间之间的函数关系式； (3)若大棚内的温度低于时，蔬菜会受到伤害，问：这天内恒温系统最多可以关闭多少小时，才能避免水果生长受到影响？ 【答案】(1)20摄氏度 (2) (3) 【分析】（1）根据图象设一次函数解析式为，根据图象可求得函数解析式．进而可求出恒定温度； （2）根据图象可知整个图象由三部分组成：一次函数、反比例函数、恒温，根据题意设函数解析式，利用待定系数法即可求出函数解析式； （3）根据各时间段的函数解析式算出时的值，用24小时减去这些时间即可． 本题考查反比例函数的应用，掌握一次函数、反比例函数和常函数解析式，注意临界点的应用是解题的关键． 【详解】（1）解：设直线的函数解析式为：， 根据题意，可得， 解得， 直线， 当时，， 恒定温度为：； （2）由（1）可知：一次函数解析式为， 根据图象可知：， 设小时内函数解析式为：， 根据题意，可得方程：， ， 函数解析式为：， 小时函数解析式为：； （3）解：当时，， ， 故最多关闭． 12．我校后勤处每周周日均会对学校教室进行消毒处理，已知消毒水的消毒效果随着时间变化如图所示，消毒效果（单位：效力）与时间（单位：分钟）呈现三段函数图象，其中段为渐消毒阶段，段为深消毒阶段，段是反比例函数图象的一部分，为降消毒阶段，请根据图中信息解答下列问题： (1)第3分钟时消毒效果为________效力； (2)求深消毒阶段和降消毒阶段中与之间的函数关系式； (3)若消毒效果持续28分钟达到4效力及以上，即可产生消毒作用，请问本次消毒是否有效？ 【答案】(1) (2)深消毒阶段的函数解析式为；降消毒阶段的函数解析式为； (3)本次消毒有效 【分析】本题是一次函数与反比例函数综合题，考查了求一次函数及反比例函数解析式，求自变量值和函数值，利用数形结合的思想解决问题是关键． （1）设渐消毒阶段的函数解析式为，将点代入，利用待定系数法求出函数解析式，再求出时的函数值即可； （2）分别设深消毒阶段的函数解析式为，降消毒阶段的函数解析式为，利用待定系数法求出函数解析式即可； （3）分别求出深消毒阶段和降消毒阶段消毒效果达到4效力的时间，作差比较即可． 【详解】（1）解：由图象可知，第3分钟处于段渐消毒阶段， 设渐消毒阶段的函数解析式为， 将点代入得：， 解得：， 渐消毒阶段的函数解析式为， 当时，， 即第3分钟时消毒效果为效力， 故答案为： （2）解：设深消毒阶段的函数解析式为， 将点和代入得：， 解得：， 深消毒阶段的函数解析式为； 设降消毒阶段的函数解析式为， 将点代入得：， 解得：， 降消毒阶段的函数解析式为； （3）解：当深消毒阶段消毒效果达到4效力时，则， 解得：； 当降消毒阶段消毒效果达到4效力时，则， 解得：， ， 即本次消毒有效． 题型四、一次函数与反比例函数的其他综合应用 13．如图，一次函数的图象分别交轴、轴于两点，点为反比例函数（）图象上一点，过点分别作轴、轴的平行线交直线于点，直线交轴于点．连接，将绕着点逆时针旋转后得到线段． (1)若，，求点的坐标； (2)求点的横坐标； (3)是否存在一个的值，使得无论点位于反比例函数图象上何处时，总有点、、三点在同一直线上？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)点横坐标为； (3)存在，． 【分析】（）根据条件求出点坐标，利用直线解析式求出点坐标即可； （）设点的坐标为，利用一线三直接全等，则有即可． （）设点，则，，由推导出点，三点共线时，点点的纵横坐标之比相等列出关于的等式，化简可得； 本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，旋转的性质，余角性质，全等三角形的判定和性质，掌握三点共线时，点的纵横坐标之比相等，都等于正比例函数的常数值是解题的关键． 【详解】（1）解：∵， ∴反比例函数解析式为， ∵， ∴点的纵坐标为， 把代入得，， ∴， ∴， ∵轴， ∴点的横坐标为， 把代入得，， ∴； （2）解：设点的坐标为， 过点作，垂足为，则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∵， ∴点横坐标为； （3）解：存在一个的值，使得无论点位于反比例函数图象上何处时，总有点三点在同一直上，理由如下： 设点的坐标为，则，， 由（）可知，点点横坐标为，纵坐标为， ∴， ∵三点在一条直线上时，点的纵横坐标比值相等， ∴， 整理得，， ∴． 14．如图，一次函数与反比例函数相交于点，与x轴交于点B，    (1)求反比例函数解析式 (2)点P是y轴上一动点，连接，当的值最小时，求P点坐标； (3)在（2）的条件下，C为直线的动点，连接，将点C绕点P逆时针旋转得到点D，在C运动过程中，求的最小值． 【答案】(1)反比例函数解析式为； (2)P点坐标为； (3)的最小值为． 【分析】（1）先求得点，再利用待定系数法即可求解； （2）作点B关于y轴的对称点，连接交y轴于点P，此时的值最小，求得点B和点的坐标，利用待定系数法即可求解； （3）由旋转的性质知，当时，有最小值，此时的值最小，先求得直线交y轴于点E的坐标，利用面积法即可求解． 【详解】（1）解：∵点在一次函数的图象上， ∴， ∴点， ∵点在反比例函数的图象上， ∴， ∴反比例函数解析式为； （2）解：作点B关于y轴的对称点，连接交y轴于点P，此时的值最小，    令，则，解得， ∴点，点， 设直线的解析式为， ∴，解得， ∴直线的解析式为， 令，则， ∴P点坐标为； （3）解：由旋转的性质知，当时，有最小值，此时的值最小，    设直线交y轴于点E， 令，则， ，点， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴的最小值为． 【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题、待定系数法求函数解析式、点到直线的距离以及三角形的面积公式．根据点在函数图象上求出点的坐标是关键． 题型五、反比例函数与三角形的综合应用 15．如图，在中，，过原点，轴，双曲线过，两点，过点作轴交双曲线于点，连结．若的面积为8，则的值为（   ） A．4 B． C．3 D．6 【答案】C 【分析】过点A作于点E，设点，则点，根据是等腰三角形，可得，从而得到点C的坐标为，点D的纵坐标为，进而得到，再由，即可求解．本题考查了等腰三角形的性质，反比例函数图象上点的坐标特点，能够利用k表示出和的长度是解决本题的关键． 【详解】解：如图，过点A作于点E， 设点，则点， ∴， ∵ ∴是等腰三角形， ∴， ∵底边轴， ∴点C的坐标为， ∵轴， ∴点D的横坐标为， ∴点D的纵坐标为， ∴， ∵， ∴， 解得：． 故选C． 16．如图，点，点在反比例函数的图象上，射线交轴于点，且，延长交反比例函数图象另一分支于点，连接交轴于点，若，则的值为 ． 【答案】3 【分析】本题考查了反比例函数的图象与性质，首先设点的坐标为，点的坐标为，根据反比例函数的性质可得的坐标为，点的坐标为，设直线的解析式为，利用待定系数法可求直线的解析式为，从而可得点的纵坐标为，根据反比例函数是中心对称图形可得，根据三角形的面积公式可得，解方程求出的值即可． 【详解】解：如下图所示，设点的坐标为，点的坐标为， ， ， ， 则有， 点的坐标为， 又点与点关于原点对称， 点的坐标为， 设直线的解析式为， 则有， 解得：， 直线的解析式为， 当时，， ， ， ， ， ， 解得：． 故答案为： 3． 17．已知一次函数与反比例函数的图象交于、两点，交轴于点． (1)求反比例函数的表达式和点的坐标； (2)若点关于原点的对称点为，求的面积； (3)探究：在轴上是否存在一点，使得为等腰直角三角形，且直角顶点为点，若存在，请直接写出点坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】本题考查了反比例函数的性质，一次函数与反比例函数的交点，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，三角形的面积公式等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． （1）将点坐标代入解析式可求，联立方程组，即可求解； （2）过点作，交于点，求出点的坐标，由三角形的面积公式可求解； （3）过点作轴于，轴于，由“”可证，可得，即可求解． 【详解】（1）解：一次函数图象过点， ， ， 反比例函数的图象过点， ， 反比例函数的表达式为， 由， 解得或， 点的坐标为； （2）解：如图，过点作，交于点， ， 点关于原点的对称点为的坐标为， 把代入， 可得， ， ， ； （3）解：如图，过点作轴于，轴于， ， 为等腰直角三角形， ，， ， ， ， ， ， 点． 18．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点B，与x轴交于点A，与y轴交于点C． (1)若点B坐标为时． ①求一次函数和反比例函数的解析式； ②在y轴上取一点P，当的面积为4时，求点P的坐标； (2)过点B作轴于点D，点Q为中点，线段交y轴于点P，连接．若的面积为5，则k的值为________． 【答案】(1)①，；②P的坐标为或 (2) 【分析】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，正确的求出函数解析式，利用数形结合的思想进行求解，是解题的关键： （1）①待定系数法求出函数解析式即可；②根据分割法求面积，进行求解即可； （2）设，求出点坐标，点坐标易得均为等腰直角三角形，根据三角形的面积公式求出，即可． 【详解】（1）解：①把点B坐标为分别代入和，得： ， ∴， ∴，； ②∵， ∴当时，当时，； ∴， ∴， ∴， ∴或，即：P的坐标为或； （2）∵， ∴当时，当时，； ∴， ∴， ∴， 设，则：， ∵过点B作轴于点D， ∴为等腰直角三角形， ∴，， ∵为中点， ∴，， ∴， ∴， ∴，即：． 题型六、反比例函数与平行四边形的综合应用 19．如图，平行四边形的顶点 在 轴的正半轴上，点在对角线 上，反比例函数的图象经过、两点．已知平行四边形的面积是，则点 的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征、待定系数法求一次函数解析式、平行四边形的性质、三角形面积，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键． 求出反比例函数，设的解析式为，由经过，得出的解式为，设，且，由平行四边形的性质得，，则，，代入面积公式即可得出结果． 【详解】解：反比例函数的图象经过点 ， ， 反比例函数， 经过原点O， 设的解析式为， 经过点， 则， ， 的解析式为， 反比例函数经过点C， 设，且， 四边形是平行四边形， ，， 点B的纵坐标为， 的解析式为， ∴， ∴ ， ， ， ， 解得：或（舍去）， 点B的坐标是， 故选：D． 20．如图，在中，轴，，反比例函数的图象经过点C，且与交于点E．若，则E点坐标为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查坐标与图形、平行四边形的性质、反比例函数图象上点的坐标特征等知识点，熟练掌握相关性质是解题关键． 设，则，根据平行四边形的性质，结合点A、D坐标可得，根据反比例函数图象上点的坐标特征得出，解方程求出a的值即可解答． 【详解】解：设， ∵， ∴， ∵在中，轴，， ∴，， ∵反比例函数的图象经过点C， ∴，解得：， ∴． 故答案为：． 21．如图，在平面直角坐标系中，的边在x轴上，点B坐标为，点C坐标为，反比例函数的图象经过点A，与交于点E． (1)求该反比例函数的表达式； (2)点G是y轴上的动点，连接，，求的最小值； (3)连接，在反比例函数图象上是否存在点P（点P与点E不重合），使得？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)； (3)存在，点P的坐标为． 【分析】本题考查反比例函数与几何的综合应用．正确的求出反比例函数的解析式，利用数形结合的思想进行求解是解题的关键． （1）利用菱形的性质结合勾股定理求得点，再利用待定系数法求解即可； （2）作点A关于y轴的对称点，连接交y轴于G，此时的值最小，最小为，再利用勾股定理求解即可； （3）过点E作轴于点F，过点A作轴于点D，过点P作轴于点G，设，求得，由求得，据此列式计算求解即可． 【详解】（1）解：∵的边在x轴上，点B坐标为， 如图1，过点B作轴于点H，过点A作轴于点D， ∴，， ∵点C坐标为， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是菱形， ∴， ∵轴，轴， ∴， ∴， ∴点， ∵反比例函数的图象经过点， ∴， ∴反比例函数的表达式为； （2）解：如图2，作点A关于y轴的对称点，连接交y轴于G，此时的值最小，最小为， ∵点B坐标为， ∴直线解析式为， ∵反比例函数的图象与交于点E， ∴， ∴或（舍去）， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的最小值为； （3）解：反比例函数图象上存在点P（点P与点E不重合），使得，理由如下： 如图3，过点E作轴于点F，过点A作轴于点D，过点P作轴于点G， ∴，，，， ∴， 设， ∴ ， ∵ ， ∴， 整理得：， ∴或（舍去）， ∴点P的坐标为． 22．如图，在中，已知，一个反比例函数的图像经过点． (1)求点的坐标和该反比例函数的表达式． (2)将向上平移个单位长度，再向右也平移个单位长度，得到，若此时点恰好落在反比例函数的图像上，求满足的表达式． (3)若将沿直线翻折，得到，则点是否在反比例函数的图像上？为什么？ 【答案】(1)， (2) (3)点在反比例函数的图像上，见解析 【分析】本题考查反比例函数与几何图形的综合应用，正确的求出函数解析式，利用数形结合的思想进行求解，是解题的关键. （1）根据平行四边形的性质求出点的坐标，待定系数法求出反比例函数的表达式即可； （2）求出平移后的点的坐标，根据点恰好落在反比例函数的图像上，列出表示式即可； （3）根据翻折的性质求出的坐标，判断即可． 【详解】（1）解：∵在中，已知， ∴， ∴轴， ∴，即：， 设反比例函数的解析式为， ∴， ∴； （2）由题意，平移后， ∵点恰好落在反比例函数的图像上， ∴， ∴； （3）点在反比例函数的图像上，理由如下： 连接，交与点， ∵翻折， ∴垂直平分， ∴，为的中点， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴点在反比例函数的图像上． 题型七、反比例函数与矩形的综合应用 23．如图，反比例函数在第一象限内的图象与矩形的两边相交于，两点，．若矩形的面积为18，则的值是（   ） A．4 B．5 C．6 D．9 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数与几何的综合问题，反比例函数图象上的点的坐标特征，矩形的性质．先表示，得到，，根据矩形的面积为18，得到，再由反比例函数的图象经过第一象限，即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴点的横坐标为2，点的纵坐标为1， ∴点的纵坐标为，点的横坐标为， ∴， ∴，． ∵矩形的面积为18， ∴， ∴， ∵反比例函数的图象经过第一象限， ∴， ∴． 故选：C． 24．如图，在平面直角坐标系中，坐标原点O为矩形的对角线的中点，点E是x轴上一点，连接，若平分，点F是的中点，反比例函数的图象经过点A、F，已知的面积为27，则k的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了矩形的性质、平行线的性质和判定、反比例函数图象上点的坐标特征，解题的关键是通过平行线的判定和性质得到和的面积相等． 依据题意，连接，先由平分得，由矩形的性质得到，从而得到，故而，再由平行线的性质得到和的面积相等，然后设点A的坐标，结合点F是的中点得到点F和点E的坐标，最后结合的面积求出k的值． 【详解】解：连接，则， ， 平分， ， ， ， ， 设， 点F是的中点， ，， ， 故答案为： 25．如图直角坐标系中，矩形的边在轴上，点的坐标分别为，． (1)若反比例函数的图象经过直线上的点，且点的坐标为，求的值及反比例函数的解析式； (2)若（2）中的反比例函数的图象与相交于点，连接，在直线上找一点，使得，求点的坐标． 【答案】(1)， (2)或 【分析】（1）由题意易得，，求出直线的解析式，把的坐标代入求出的值，从而求得反比例函数的解析式； （2）当点在下面时，延长至，使，连接，过点作直线 交直线于，则，求出直线的解析式，进而得出直线的解析式，从而求出点的坐标；当点在上面时，在上取点，使，连接，则，，过点作直线 交直线的延长线于，则，求出直线的解析式，从而求出点的坐标． 【详解】（1）解：∵矩形的边在轴上，点的坐标分别为，， ∴，，， ∴，， 设直线的解析式为， 则，解得：， ∴直线的解析式为， ∵点直线上， ∴， ∴， ∵反比例函数的图象经过点， ∴， ∴反比例函数的解析式为． （2）解：情况一：延长至，使，连接，则， 在 中，当 时，， ， ∴， 过点作直线 交直线于，则， 设直线的解析式为， 则，得 ， ， 设直线的解析式为，代入 解得：， ， 当时， 点； 情况二：在上取点，使，连接，则，， 过点作直线 交直线的延长线于，则， 设直线的解析式为，代入 解得：， ， 当时， 点； 综上所述，点坐标为或． 【点睛】此题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，坐标与图形性质，平行线的性质，待定系数法确定函数解析式，数形结合是解题的关键． 26．如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点C在y轴上，B在x轴上，把矩形沿对角线所在的直线翻折，点A恰好落在反比例函数的图象上点D处，与y轴交于点E，延长交x轴于点F，点D刚好是的中点．已知B的坐标为． (1)求的度数； (2)求反比例函数的函数表达式； (3)若Q是反比例函数图像上的一点，P点在x轴上，若以P，Q，B，E为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出P点的坐标________________________． 【答案】(1) (2) (3)P点的坐标为或或 【分析】（1）根据折叠的性质，线段垂直平分线的判定和性质，角的计算解答即可； （2）利用中点坐标公式计算点D的坐标即可； （3）根据平行四边形的判定，中点坐标公式解答即可； 【详解】（1）解：根据题意，得， 又D是中点， 故垂直平分， 所以， 故． （2）解：∵B的坐标为． ∴ ∴， ∴， ∴ ∵点D在反比例函数的图象上， ∴ ∴反比例函数的解析式． （3）解：或或． 设直线的解析式为，把，代入得： ， 解得， ∴直线的解析式为：， ∴， 设，，由， 当为对角线时， 由中点坐标公式得： 解得：， ∴； ∴； 当为对角线时， 由中点坐标公式得： 解得：， ∴； ∴； 当为对角线时， 由中点坐标公式得： ， 解得：， ∴； ∴； 综上所述，存在点P，且P点的坐标为或或． 【点睛】本题考查了折叠的性质，待定系数法求解析式，平行四边形的性质，中点坐标公式，分类思想的应用，熟练掌握待定系数法，平行四边形的性质，中点坐标公式是解题的关键． 题型八、反比例函数与菱形的综合应用 27．如图，在平面直角坐标系中，已知四边形为菱形，一边在y轴上，点B坐标为，C点在反比例函数上，连接，则的面积是（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】本题考查反比例函数比例系数k的几何意义、菱形的性质、勾股定理，理解反比例函数比例系数k的几何意义是解答的关键．先根据菱形的性质得到，轴，再根据反比例函数比例系数k的几何意义得到，进而，由勾股定理得，则，再利用三角形的面积公式求解即可． 【详解】解：∵四边形是菱形，一边在y轴上， ∴， 又∵轴 ∴轴， ∵点C在反比例函数图象上， ∴， ∵即， ∴， ∴， 由勾股定理得， ∴， ∴． 故选：B． 28．如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，菱形的顶点在反比例函数的图像上，点B在x轴正半轴上，将该菱形向上平移，使点B的对应点D落在反比例函数的图像上，则图中 ．      【答案】 【分析】本题考查反比例函数与几何的综合应用，先求出值和的长，平移求出点的坐标，进而得到点的纵坐标，根据点在直线上，求出点坐标，进而求出的长即可． 【详解】解：∵菱形的顶点在反比例函数的图像上， ∴， ∴， ∴， ∵将该菱形向上平移，点B的对应点D落在反比例函数的图像上， ∴轴，的横坐标为，当时，， ∴，点的纵坐标为， ∵点在直线上，设直线的解析式为，把代入，得：， ∴， ∴当时，， ∴， ∴； 故答案为：． 29．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于两点，点在轴正半轴上，点，连接，四边形为菱形． (1)求一次函数与反比例函数的解析式； (2)观察图象，直接写出不等式的解集； (3)在直线上是否存在点，且，若存在求点的坐标，若不存，请说明理由． 【答案】(1)一次函数的解析式为，反比例函数的解析式为； (2)或； (3)存在，点的坐标为或． 【分析】本题考查了反比例函数和一次函数与几何的综合应用，待定系数法求函数解析式、菱形的性质及三角形的面积，利用数形结合的思想和分类讨论的思想是解题的关键． （）连接，交轴于点，由菱形的性质可知关于轴对称，可求得点坐标，把点坐标分别代入两函数解析式可求得和值； （）求出点坐标，再根据图象即可得出不等式的解集； （）根据菱形的性质可求得点坐标，可求得菱形面积，设点坐标为，根据条件可得到关于的方程，可求得点坐标． 【详解】（1）解：如图，连接，交轴于点， ∵四边形是菱形， ∴，，， ∵点， ∴，， ∴，， ∴， 将代入直线可得，解得； 将代入反比例函数可得，解得：； ∴一次函数的解析式为，反比例函数的解析式为； （2）解：由（）得一次函数的解析式为，反比例函数的解析式为， 联立得：， 解得：或， ∴点， ∴不等式的解集为或； （3）解：存在，理由如下， ∵，， ∴， ∵， ∴，S△OAP＝2， 设点坐标为，与轴相交于，则， ∴， ∴， 当在的左侧时，， ∴，， ∴； 当在的右侧时，， ∴，， ∴； 综上所述，点的坐标为或． 30．如图，反比例函数（）的图像经过点A，B，点A的坐标为，点B的纵坐标为3，点C的坐标为． (1)如图①，求反比例函数和直线的函数表达式； (2)如图②，P是直线上一点，D是x轴上一点，当的值最小时，求的最小值和此时点P的坐标； (3)如图③，是反比例函数（）图像上异于点A的一点，过点M作轴，垂足为N，过点A作轴，垂足为E，直线交x轴于点Q，是否存在点，使得四边形是菱形？若存在，请求出m的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)反比例函数为；直线的函数表达式为 (2)的最小值为，此时 (3)的值为 【分析】（1）把点A的坐标代入反比例函数解析式中，即可求得反比例函数解析式；把点B的纵坐标代入所求反比例函数式中，求得点B的横坐标，从而求得点B的坐标，再用待定系数法即可求得直线的解析式； （2）作点A关于x轴的对称点E，连接，则当三点共线，且时，的值最小；设点，则得，由此可求得最小值，得到点P的坐标； （3）由M在反比例函数图像上得；求出直线的函数解析式，则可得，从而知四边形是平行四边形，若要使它为菱形，则即可，由勾股定理建立关于m的方程即可求解． 【详解】（1）解：∵反比例函数（）的图像经过点， ∴，即， ∴； ∵点B的纵坐标为3，且在反比例函数的图像上， ∴，即， ∴； 设直线的函数表达式为，把B、C两点坐标分别代入其中， 得：，解得：， ∴． 即直线的函数表达式为． （2）解：如图，作点A关于x轴的对称点E，连接， 则，， ∴， 则当三点共线，且时，的值最小； 设点，由勾股定理得， ∵， ∴， 当时，有最小值18，则有最小值； 当时，，即， ∴的最小值为，此时； （3）解：存在，理由如下； ∵点M在反比例函数的图像上，且， ∴； 设直线解析式为，则有，解得：， ∴直线解析式为； 同理求得直线的解析式为； 由两直线解析式的系数相等得，且， ∴四边形是平行四边形； ∵四边形是菱形， ∴， 而， ∴， 解得（舍去）， 即的值为． 【点睛】本题是一次函数与反比例函数的综合，考查了待定系数法求函数解析式，一次函数与反比例函数的交点问题，勾股定理，垂线段最短，对称问题，菱形的判定等知识点，掌握这些知识是关键． 题型九、反比例函数与正方形的综合应用 31．如图，已知正方形的面积为9，它的两个顶点B，D是反比例函数的图象上两点，且轴，轴，若点D的坐标是，则的值为（    ） A． B． C．3 D．－3 【答案】D 【分析】本题考查了反比例函数的图象和性质，正方形的性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．利用正方形的性质求得点B坐标是，根据点D、点B在反比例函数上，列式计算即可求解． 【详解】解：∵正方形的面积等于9， ∴， ∵轴，轴，点D坐标是， ∴点A坐标是，点B坐标是， ∵点D、点B在反比例函数上， ∴， ∴， ∴，故D正确． 故选：D． 32．如图，在平面直角坐标系中，边长为的正方形的顶点落在反比例函数的图象上，则为 ． 【答案】 【分析】过点作轴于点，过点作于点．证明，得到，，设，则，构建方程组求解即可． 【详解】如图，过点作轴于点，过点作于点． 四边形是正方形 ，， ， ，， ， 设，则， 在反比例函数上， ， 长度为正方形边长 联立方程 解得：， 解得， 由于图象在第一象限， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查反比例函数的图象与性质，勾股定理，反比例函数图象上的点的坐标特征，正方形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题． 33．如图，在平面直角坐标系中，B、C两点在x轴的正半轴上，以线段为边向上作正方形，顶点A在正比例函数的图象上，反比例函数的图象经过点A，且与边相交于点E． (1)当时， ①若，求点E的坐标； ②连接．是否存在某一位置使得，若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由． (2)若，求的值（用含n的代数式表示）． 【答案】(1)①；②不存在，见解析 (2) 【分析】此题考查了反比例函数的性质，正方形的性质，熟练掌握正方形的性质是解题的关键： （1）①当时，，，得到，求出反比例函数的解析式为，将代入即可求出点E的坐标； ②由，得到，证明，得到，由①可知，，则，表示出，求出，不符合题意； （2）设，得到，求得，当时，，求出，，计算出，即可求出比值． 【详解】（1）①当时，， 当时，，解得， ∴， ∴， ∴反比例函数的解析式为， 当时，， ∴； ②不存在，理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 由①可知，，则， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴不符合题意，不存在； （2）设， ∵， ∴， ∴ 将点代入，得， ∴， 当时， ∴，， ∴， ∴． 题型十、反比例函数中的存在性问题 34．如图，在平面直角坐标系中有，，，、、． (1)求C点坐标； (2)将沿x轴的正方向平移，在第一象限内B、C两点的对应点、正好落在某反比例函数图象上．请求出这个反比例函数和此时的直线的解析式； (3)在（2）的条件下，直线交y轴于点G．问是否存在x轴上的点M和反比例函数图象上的点P，使得四边形是平行四边形？如果存在，请求出点M和点P的坐标；如果不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)， (3)， 【分析】（1）过点C作轴于点N，证明得到，，即可求解； （2）根据平移的性质，用待定系数法求出反比例函数和直线的解析式； （3）根据平行四边形对角线互相平分的性质，取的中点Q，过点Q作直线与x轴交于点，与的图象交于点，求出的点M和P的坐标即可． 【详解】（1）解：过点C作轴于点N． ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵，， ∴，， ∴，， ∴． （2）解：设反比例函数解析式为，沿x轴的正方向平移a个单位长度， ∴，， ∵点、正好落在反比例函数图象上， ∴，， ∴，解得， ∴，即反比例函数解析式为． ∵， ∴，， 设直线的函数解析式为， ∴，解得 ∴直线的解析式为． （3）解：对于直线，当时，， ∴， 设是的中点， ∵，， ∴， 过点作直线与轴交于点，与的图象交于点， 若四边形是平行四边形， 则有， 易知点的横坐标大于，点的横坐标小于， 作轴于点，轴于点，与交于点，作轴于点， 则， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 设， ∴点的横坐标，点的纵坐标，点的坐标是， ∵在反比例函数的图像上，即， 解得， ∴，． 【点睛】本题主要考查了坐标与图形、全等三角形的判定与性质、求反比函数解析、求一次函数解析式、一次函数与反比例函数综合应用、平行四边形的性质等知识，运用数形结合和分类讨论的思想分析问题是解题关键． 题型十一、反比例函数中的最值问题 35．如图，一次函数的图像与反比例函数的图像相交于点A，与x轴交于点B，与y轴交于点C，轴于点D，点C关于直线的对称点为点E，且点E在反比例函数的图像上．      (1)求b的值； (2)连接、、，求证四边形为正方形； (3)若点P在y轴上，当最小时，求点P的坐标． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）设，，根据点C、点E关于对称，得出，将点A和但E的坐标代入得出，即可求解； （2）根据两点之间的距离公式，得出，再根据勾股定理逆定理，得出，即可求证； （3）先求出点，则点B、点D关于y轴对称．连接，交y轴于点P，设直线的表达式为，将点、求出k和c的值，得出的表达式，即可求出点P的坐标． 【详解】（1）解：∵点A、点C在一次函数的图像上， ∴设，． ∵点C、点E关于对称， ∴． ∵点A、点E在反比例函数的图像上， ∴，即， 把②代入①得：， ∵， ∴， ∴． （2）解：由（1）得：∴、、、． ∴，，，，， ∴，即四边形为菱形； ∵， ∴为直角三角形，则， ∴四边形为正方形．      （3）解：把代入得：， 解得：， ∴点， ∵， ∴点B、点D关于y轴对称． 连接，交y轴于点P，      设直线的表达式为， 将点、代入得， ，解得：， ∴直线的表达式为． 点P为直线与y轴交点， ∴． 【点睛】本题考查了反比例函数和一次函数的综合问题，涉及到正方形的性质、勾股定理逆定理，轴对称的性质等，熟练掌握用待定系数法求解函数表达式，灵活运用所学知识是解题关键． 36．在平面直角坐标系中，已知一次函数与坐标轴分别交于，两点，且与反比例函数的图像在第一象限内交于P，K两点，连接，的面积为． (1)求一次函数与反比例函数的解析式； (2)若C为线段上的一个动点，当最小时，求的面积． 【答案】(1)一次函数的解析式为，反比例函数的解析式为 (2) 【分析】（1）先运用待定系数法求出一次函数解析式，过点P作轴于点H，再根据的面积为和一次函数解析式求出点P坐标，从而可求出反比例函数解析式； （2）先联立方程组并求解可得点K的坐标，作点K关于x轴的对称点，连接，交x轴于点C，连接，则的值最小，求出点C的坐标，再根据求解即可． 【详解】（1）解：∵一次函数与坐标轴分别交于，两点， ∴把，代入得， ，解得，， ∴一次函数解析式为， 过点P作轴于点H， ∵， ∴， 又， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵在反比例函数图像上， ∴， ∴； （2）联立方程组得， 解得 ，， ∴， 作点K关于x轴的对称点，连接交x轴于点M，则，， 连接交x轴于点C，连接，则的值最小， 设直线的解析式为， 把代入得， 解得， ∴直线的解析式为， 当时，，解得，， ∴， ∴， ∴， ， ， ∴ ． 【点睛】本题主要考查了反比例函数与一次函数的综合，正确作出辅助线是解答本题的关键． 1．函数与的图象交于点，则代数式的值是（    ） A． B． C． D．2 【答案】A 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，由题意可得，，将所求代数式变形为，整体代入计算即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵函数与的图象交于点， ∴，， ∴，， ∴， 故选：A． 2．如图，矩形的中心与点都在反比例函数的图象上，点，在轴上，若的面积为9，则的值是（   ） A．9 B．12 C．15 D．18 【答案】B 【分析】本题考查矩形的性质，三角形中位线的性质，待定系数法求解析式． 过点E作于点F，由矩形的性质与三角形中位线的性质得到，设点A的坐标为，点E的坐标为，则，得到．根据，推出，即可解答． 【详解】解：过点E作于点F， ∵在矩形中，，，， ∴， ∴， ∵， ∴， 设点A的坐标为，点E的坐标为， ∵点，在反比例函数的图象上， ∴， ∴， ∵，， ∴，，， ∴， ∴， ∵， 即， ∴， ∴， ∴． 故选：B． 3．如图，在平面直角坐标系中，点的坐标是，点是函数图象上的一个动点，过点作轴，交函数的图象于点，点是轴上在点左侧的一点，且，连接、，有如下四个结论：①四边形可能是菱形；②四边形可能是正方形；③四边形的周长是定值；④四边形的面积是定值．其中正确的结论有（ ） A．①③ B．①④ C．②③ D．②④ 【答案】B 【分析】①设点，则根据菱形的判定分析判断即可；②在①的基础上根据正方形的判定分析判断即可；③在①的基础上根据周长计算判定即可；④根据反比例函数值几何意义进行判定即可． 【详解】解：如图所示： ①轴， ， 又， 四边形是平行四边形， 设点，则，又， ，， 当时，，， 此时，，随着的变化，可能存在的情况，故①正确； ②由①可知，时，，， ，故②错误； ③由①可知，时，，， ， 当点的横坐标为时，，， ，， ， ， ③错误； ④如图，作轴，垂足为，轴，垂足为，则四边形为矩形， ， ， 四边形面积为定值，故④正确． 故选：． 【点睛】本题考查的知识点是反比例函数图象上点的坐标特征，平行四边形的判定与性质、菱形的判定和性质、正方形的判定与性质，解题的关键是熟练掌握反比例函数图象上点的坐标特征． 4．如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，的顶点在轴上，垂直于轴，点，分别在函数（）和（）的图象上，若的面积为，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数比例系数的意义，平行线间的距离，掌握知识点的应用是解题的关键． 连接，设与轴交点为，根据平行线间的距离相等得出，所以，即，然后求出的值即可． 【详解】解：如图，连接，设与轴交点为， ， ∵垂直于轴， ∴， ∴ ∴， ∴ 解得：， ∵ ∴， 故答案为：． 5．在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象在第一象限交于和两点．若点P在y轴上，点Q在反比例函数的图象上，当以A、B、P、Q为顶点的四边形是平行四边形时，写出所有符合条件的Q点的坐标： ． 【答案】或 【分析】此题考查了一次函数和反比例函数的交点问题，平行四边形的性质等知识，利用和两点在一次函数的图象上求出，得到，，即可求出反比例函数解析式，设为，，分四边形是平行四边形和四边形是平行四边形两种情况，利用中点坐标公式分别进行解答即可． 【详解】解：∵和两点在一次函数的图象上， ∴， ∴，， ∵，在反比例函数图象上， ∴， ∴反比例函数解析式为， 设为，， ，， 当四边形是平行四边形时，根据中点坐标公式可得，即， 此时，，符合题意； 当四边形是平行四边形时，根据中点坐标公式可得，即， 此时，，符合题意， 综上所述，当以、、、为顶点的四边形是平行四边形时， 坐标为或， 故答案为：或． 6．如图，平面直角坐标系中，点为反比例函数的图像一点，点为轴上一点，连接，过点作，交反比例函数的图像于点，连接，若为等腰直角三角形，则点的横坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数的性质，全等三角形的判定与性质，掌握知识点的应用是解题的关键． 过作，过作，交延长线于点，过作，交延长线于点，延长交轴于点，然后证明，则有，，，即点横坐标为，然后求出反比例函数解析式为，故有，最后通过线段和差即可求解． 【详解】解：如图，过作，过作，交延长线于点，过作，交延长线于点，延长交轴于点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴，， ∴，即点横坐标为， ∵点为反比例函数的图象一点， ∴， ∴反比例函数图象为， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点的横坐标为， 故答案为：． 7．在图中，A，B两点在反比例函数的图象上，过点O，是等边三角形，请仅用无刻度的直尺完成以下作图保留作图痕迹 (1)图1中，作，垂足为点E； (2)图2中，点D为的中点，在x轴上作出点F，使四边形为矩形； (3)图3中，在第二象限内作出点G，使四边形为菱形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题是反比例函数的综合题，考查作垂线及作特殊四边形，解题的关键是理解题意，利用反比例函数的对称性解决问题，属于中考常考题型． （1）连接交于H，连接并延长交于E，点E即为所求； （2）连接并延长交反比例函数的图象于G，连接并延长交反比例函数的图象于M，连接交x轴于F，则点F即为所求； （3）与一样方法得到点G，则和的延长线相交于点G，则四边形为菱形． 【详解】（1）解：如图：连接交于H，连接并延长交于E，点E即为所求； （2）如图：连接并延长交反比例函数的图象于G，连接并延长交反比例函数的图象于M，连接交x轴于F，则点F即为所求； （3）如图：与一样方法得到点G，则和的延长线相交于点G，则四边形为菱形． 8．综合与探究 如图1，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象分别交于点和． (1)求的值及反比例函数的表达式； (2)如图2，过点与点分别作轴和轴的垂线，垂足分别为点，点，两垂线交于点，连接，求的面积； (3)如图3，延长交反比例函数在第三象限内的图象于点，连接，，将直线沿着轴向下平移若干个单位长度，使得直线经过点，平移后的直线与轴交于点，若在直线上存在点，使得，直接写出点的坐标． 【答案】(1)， (2) (3)点的坐标为或 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数综合，一次函数与几何图形，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键； （1）将分别代入一次函数，得出的值，进而求得反比例函数表达式； （2）过点作轴于点，根据矩形的性质以及的坐标，分别求得进而根据的面积等于梯形的面积，即可求解； （3）根据中心对称得出，进而求得过点的直线解析式为，求得，设交轴于点，求得的坐标，得出，进而根据，求得点的坐标，即可求解． 【详解】（1）解：将和分别代入一次函数 ∴ 解得： ∴，， 将代入 ∴ ∴； （2）解：如图，过点作轴于点， ∵，， ∴，， ∵， ∴ （3）解：如图, 设交轴于点， ∵，延长交反比例函数在第三象限内的图象于点， ∴， ∵一次函数平移得到直线， 设直线的解析式为 将点代入得， 解得： ∴直线的解析式为 当时，，即 当时，，即 ∵，， ∴ 又∵ ∵， ∴重合，即 ∵ ∴在的中点位置， 即即 综上所述，点的坐标为或 1．在平面直角坐标系xOy中，将任意两点与之间的“直距”定义为：．例如：点，点，则． (1)已知两点，则______； (2)已知点M在反比例函数第一象限的图像上，若线段，求； (3)已知两点，如果直线AB上存在点C，使得，请直接写出点C的坐标． 【答案】(1)5 (2) (3)点C的坐标为或 【分析】本题考查了新定义下的两点之间的“直距”定义，考查了绝对值的几何意义，解不等式，理解新定义是解题的关键． （1）根据“直距”的定义即可得出答案； （2）设点M的坐标为，且，根据“直距”的定义可得，化简，即可求解； （3）设直线的解析式为，可求出直线的解析式为，设点C的坐标为，根据“直距”的定义列出等式，再分类讨论，即可解答． 【详解】（1）解：， 故答案为5． （2）∵点M在反比例函数第一象限的图像上， ∴设点M的坐标为，且． ∵， ∴， 即， 即， ∴． （3）设直线的解析式为， 将分别代入，得 ，解得， ∴直线的解析式为． 设点C的坐标为， ∴， ①当时，， ∴， 解得，不合题意，舍去． ②当时，， ∴， 解得， ∴C； ③当时，， ∴， 解得， ∴C； 综上所述，点C的坐标为或． 3．在平面直角坐标系中，对于任意三点，，给出如下定义：如果矩形的任何一条边均与某条坐标轴平行或共线，且，，三点都在矩形的内部或边界上，那么称该矩形为点，，的相伴矩形，在点，，所有的相伴矩形中，面积最小的矩形称为点，，的最佳相伴矩形．例如，图中的矩形，，都是点的相伴矩形，矩形是点的最佳相伴矩形． (1)如图，点，，（为整数）． ①如果，则点的最佳相伴矩形的面积是________． ②如果点的最佳相伴矩形的面积是，请写出一个符合题意的值_______． (2)如图，已知点在函数的图象上，且点的坐标为，点的坐标为， ①求点的最佳相伴矩形的面积关于的函数表达式， ②当 时的值最小，最小值等于 ． 【答案】(1)①；②或 (2)①当时，；当时，；当时，；②， 【分析】（）①根据题意画出图形解答即可；②分点在轴上方和下方两种情况，分别画出图形列方程解答即可； （）①分、和三种情况，分别画出图形解答即可即可求解；②根据①所得函数表达式，利用函数的性质求出最小值即可； 本题考查了矩形的新定义运算，一元一次方程的几何应用，反比例函数与几何图形，理解新定义并运用数形结合思想和分类讨论思想解答是解题的关键． 【详解】（1）解：①当时，点，则点的最佳相伴矩形如图所示： ∴点的最佳相伴矩形的面积， 故答案为：； ②当点在轴上方时，点的最佳相伴矩形如图所示： 则， 解得； 当点在轴下方时，点的最佳相伴矩形如图所示： 则， 解得； 综上，的值为或； （2）解：当时，点的最佳相伴矩形如图所示： ∴， ∵， ∴， 即； 当时，点的最佳相伴矩形如图所示： ∴， ∵， ∴， 即； 当时，点的最佳相伴矩形如图所示： ∴， 即； 综上，当时，；当时，；当时，； ②当时，随的增大而减小， ∵， ∴； 当时，随的增大而减小， ∵， ∴当时，取最小值，此时最小值； 当时，随的增大而增大， ∵， ∴； 综上，当时的值最小，最小值等于， 故答案为：，． 3．几何图形是数学研究的主要对象之一，图形的形状、大小和位置是几何中研究的主要内容，平面几何中，平移、翻折、旋转是常见的图形变换．鹿鸣学堂数学兴趣小组的同学们在学习了反比例函数的相关内容后，进一步探究反比例函数的图像的平移、旋转、翻折的相关问题，过程如下： (1)如图1，将反比例函数的图像向左平移3个单位，求平移后的图像与y轴的交点坐标； (2)如图2，将反比例函数（）的图像绕点O顺时针旋转60°，点P为旋转后图像上的一点，过点P作直线的垂线，垂足是H，若，求的值； (3)如图3所示，反比例函数（）的图像沿直线翻折得到新图像．若直线与两条曲线交于E、F，直线与两条曲线交于G、H，同学们发现E、F、G、H四个点组成的四边形是矩形，当这个矩形的面积是4时，直接写出b的值． 【答案】(1) (2)2或3 (3)7或3 【分析】（1）根据函数图像变换规律“左加右减，上加下减”得到平移后的函数解析式，进而求解即可； （2）设点为点P旋转前的图像上的对应点，过点作轴于，则，设点坐标为，则①，②,解得，或，，则或；证明直线与x轴的夹角为；证明得到即可求解； （3）联立方程组求得，，进而求得，根据矩形性质求得，分当点H在点G右上方时和当点H在点G左下方时两种情况求得点H坐标，进而利用矩形的性质求得对角线的交点坐标，进而可求解． 【详解】（1）解：∵将反比例函数的图像向左平移3个单位， ∴平移后的函数解析式为， ∵当时，， ∴平移后的图像与y轴的交点坐标； （2）解：设点为点P旋转前的图像上的对应点，过点作轴于，如图， 则，设点坐标为， 则①，②, 解得，或，， 则或； 如图，在直线取一点，过T作轴于S， 则，，， ∴，满足直角三角形中，30度角所对的直角边等于斜边的一半， ∴，即直线与x轴的夹角为； ∴， ∴， 又，， ∴， ∴， 即的值为2或3； （3）解：解方程组，得或（舍去）， ∴； 解方程组，得或（舍去）， ∴， ∴， ∵E、F、G、H四个点组成的四边形是矩形，且面积是4， ∴， ∴， ∵直线与两条曲线交于G、H， ∴当点H在点G右上方时，形成矩形为， ∴，此矩形对角线的交点为的中点，坐标为， 根据轴对称性质，将代入得， 解得； ∴当点H在点G左下方时，形成矩形为， ∴，此矩形对角线的交点为的中点，坐标为， 根据轴对称性质，将代入得， 解得； 综上，满足条件的b值为7或3． 【点睛】本题考查平移的性质、旋转的性质、轴对称的性质以及图形变换的应用、全等三角形的判定与性质、含30度角的直角三角形的性质、矩形性质等知识，熟练掌握图形变换的性质是解答的关键． 1 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $$