专题05 第11章 反比例函数 单元阶段复习（八大题型）-2024-2025学年八年级数学下学期期中期末挑战满分冲刺卷（苏科版，江苏专用）

专题05 第11章 反比例函数 单元阶段复习（八大题型） 目录： 题型1：反比例函数的有关概念及应用 题型2：反比例函数的图像与性质 题型3：根据反比例函数的图像或性质求参数 题型4：反比例函数与方程、不等式 题型5：反比例函数的实际应用 题型6：反比例函数的代数应用（最值、含参综合类） 题型7：反比例函数的几何应用 题型8：解答综合题 题型1：反比例函数的有关概念及应用 1．下列问题中的两个变量是成反比例的是（　　） A．被除数（不为零）一定，除数与商 B．货物的单价一定，货物的总价与货物的数量 C．等腰三角形的周长一定，它的腰长与底边的长 D．汽车所行的速度一定，它所行驶的路程与时间 【答案】A 【分析】形如（为常数，）的函数称为反比例函数．看两个变量是否具有反比例关系，主要看它们的乘积是否为非零的常数．依据判断方法逐项分析即可． 【解析】解：A．被除数（不为零）一定，除数与商是反比例函数的关系，故此选项符合题意； B．货物的单价一定，货物的总价与货物的数量是正比例函数的关系，故此选项不符合题意； C．等腰三角形的周长一定，它的腰长与底边的长是一次函数的关系，故此选项不符合题意； D．汽车所行的速度一定，它所行驶的路程与时间是正比例函数的关系，故此选项不符合题意． 故选：A． 【点睛】本题考查反比例函数，正确区分正比例函数与反比例函数是解题关键．判断一个函数是否是反比例函数，首先看看两个变量是否具有反比例关系． 2．下列函数表达式中，表示是的反比例函数的有（    ） （1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】根据反比例函数的定义逐项判断即可． 【解析】解：（1）不符合反比例函数的形式，是正比例函数； （2）可变形为，符合反比例函数的形式，是反比例函数； （3）因为，所以，，可变形为，符合反比例函数的形式，是反比例函数； （4）可变形为，符合反比例函数的形式，是反比例函数； （5）不符合反比例函数的形式，不是反比例函数； （6）不符合反比例函数的形式，不是反比例函数． 综上所述，是反比例函数的为（2）（3）（4）共3个． 故选：C． 【点睛】本题主要考查反比例函数的定义（形如的函数叫做反比例函数），牢记反比例函数的定义是解题的关键． 3．若点在反比例函数的图象上，则的值为（    ） A． B．15 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，将点的坐标代入反比例函数关系式是解决问题的基本方法．把点代入反比例函数，计算即可． 【解析】解：∵点在反比例函数的图象上， ∴， 故选：C． 4．已知点都在同一个反比例函数的图象上，则这个反比例函数的表达式为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了求反比例函数解析式；设反比例函数的解析式为，把A、B两点坐标分别代入函数解析式中，得到关于m的方程，解方程即可求得m的值，从而得到函数解析式． 【解析】解：设反比例函数的解析式为，把A、B两点坐标分别代入函数解析式中， 得，即， 解得：， ∴， 即函数解析式为； 故选：B． 5．已知关于x的反比例函数，则m的值为 ． 【答案】 【分析】根据反比例函数的定义得到，，即可求得m的值． 【解析】解：∵是反比例函数， ∴，， ∴且， ∴， 故答案为： 【点睛】此题考查了反比例函数，形如的函数是反比例函数，熟练掌握反比例函数的定义是解题的关键． 题型2：反比例函数的图像与性质 6．下列关于反比例函的图象与性质的说法中，正确的是（　　） A．图象关于轴对称 B．当时，随的增大而减少 C．图象位于第二、四象限 D．当时，则 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数的图象与性质，根据反比例函数的图象与性质逐一判断即可，掌握反比例函数的图象与性质是解题的关键． 【解析】解：A、反比例函数图象关于原点对称，故选项不符合题意； B、C、∵， ∴图象在二、四象限， ∴当时，随的增大而增大，故B选项不符合题意，C选项符合题意； D、当时，需分情况讨论： 当，， 当时，， ∴当时，不一定小于，故D选项不符合题意； 故选：C． 7．反比例函数，当时，y的取值范围是（   ） A． B． C．或 D． 【答案】C 【分析】本题主要考查反比例函数的性质，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键．由反比例函数可知：，则在每个象限内，y随x的增大而减小，再分析求解即可． 【解析】解：由反比例函数可知：，则在每个象限内，y随x的增大而减小， ∴当时，则， ∴当时，，当时，， ∴当时，y的取值范围是或； 故选：C． 8．已知点，都在函数的图象上，则的大小关系是 ． 【答案】 【分析】本题考查反比例函数，掌握反比例函数图象上点的坐标特征是解题的关键． 把横坐标分别代入关系式求出纵坐标，再比较大小即可． 【解析】解：∵点，都在函数的图象上， ∴，， ∴ 故答案为：． 9．在同一坐标系中，函数和的图像大致是（　　） A．   B．   C．  D．   【答案】D 【分析】分两种情况讨论：当时和当时，分析反比例函数所在象限和一次函数经过的象限，即可获得答案． 【解析】解：当时，函数的图像位于第一、三象限，经过第一、二、四象限； 当时，函数的图像经过第二、四象限，经过第一、二、三象限． 综上所述，选项A、B、C不符合题意，选项D符合题意． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了一次函数和反比例函数图像的识别，运用数形结合和分类讨论的思想分析问题是解题关键． 10．若点，都在反比例函数的图象上，且，则 ．（填“>”“<”或“=”） 【答案】＜ 【分析】本题主要考查了比较反比例函数值的大小，根据函数解析式可得反比例函数图象经过第一、三象限，再由可得． 【解析】解：∵反比例函数解析式为，， ∴反比例函数图象经过第一、三象限， ∵， ∴， 故答案为：． 11．若点、、都在反比例函数（为常数）的图象上，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了反比例函数图象的性质，掌握反比例函数图形的增减性是解题的关键． 根据可得反比例函数图形经过第二、四象限，每个象限中随的增大而增大，由此即可求解． 【解析】解：已知反比例函数（为常数）， ∵， ∴反比例函数图象经过第二、四象限，每个象限中随的增大而增大，且时，，时，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 故选：B ． 12．已知是的反比例函数，其部分对应值如表： … 1 2 … … … 若，则 ．（填“”“”或“”） 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数的性质，观察表格并得到条件是解题的关键．根据反比例函数的性质判断即可． 【解析】解：∵，， ∴每个象限内，随的增大而减小， ∵， ∴． 故答案为：． 题型3：根据反比例函数的图像或性质求参数 13．若反比例函数的图象不经过第一象限，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据图象在坐标平面内的位置：不经过第一象限，则，解之即可求得的取值范围，从而求解． 【解析】解：反比例函数的图象不经过第一象限， 则经过二四象限， ∴． 解得：． 故答案为：． 【点睛】本题考查了反比例函数图象性质，熟练掌握反比例函数的图象性质是解题的关键． 14．已知反比例函数，其图象在所在的每一个象限内都随的增大而增大，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数的性质，熟练掌握反比例函数的增减性是解题关键．根据反比例函数的增减性可得，由此即可得． 【解析】解：∵反比例函数的图象在每一个象限内，都随的增大而增大， ∴， 解得， 故答案为：． 15．在平面直角坐标系中，对于每一象限内的反比例函数图像，的值都随值的增大而增大，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据反比例函数的性质得出关于的不等式，求出的取值范围即可． 【解析】解：对于每一象限内的反比例函数图像，的值都随值的增大而增大， ， 解得：， 故答案为：． 【点睛】本题考查的是反比例函数的性质，熟知反比例函数的增减性是解题的关键． 题型4：反比例函数与方程、不等式 16．如图，一次函数（、为常数，且）的图象与反比例函数（为常数，且）的图象交于、两点．则关于的方程的解为 ． 【答案】和 【分析】本题考查了反比例函数和一次函数的图像和性质，熟练掌握反比例函数和一次函数的图像和性质是解题的关键； 根据反比例函数和一次函数的图像和性质求解即可； 【解析】解：观察函数图象可知：点A的横坐标为，点的横坐标为， ∴关于的方程的解为和． 故答案为：和． 17．如图，反比例函数（）的图像和一次函数（）的图像相交于，两点，则当时，的取值范围是 ． 【答案】或． 【分析】本题考查了用函数图象求不等式的解集，本题中根据一次函数与反比例函数的图象的位置关系找到不等式的解集即可． 【解析】解：由图象可知：在第二象限时，在点的左侧， 即， 在第四象限时 ，在点的左侧， 即， 综上所述，当时，的取值范围是或． 故答案为：或． 题型5：反比例函数的实际应用 18．机器狗是一种模拟真实犬只形态和部分行为的机器装置，其最快移动速度是载重后总质量的反比例函数．已知一款机器狗载重后总质量时，它的最快移动速度；当其载重后总质量时，它的最快移动速度 ． 【答案】9 【分析】本题考查了反比例函数的应用，利用待定系数法求出反比例函数解析式，后再将代入计算即可，待定系数法求反比例函数解析式是解题的关键． 【解析】解：设反比例函数解析式为， ∵机器狗载重后总质量时，它的最快移动速度， ∴， ∴反比例函数解析式为， 当时，． 故答案为：9． 19．密闭容器内有一定质量的二氧化碳，当容器的体积变化时，气体的密度随之变化．已知密度与体积是反比例函数关系，它的图象如图所示．当时，二氧化碳的密度是 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数的应用，根据图像上点的坐标，利用待定系数法求出反比例函数解析式是解题的关键． 观察函数图像，根据函数图像上点的坐标，利用待定系数法可求出反比例函数的解析式，再利用反比例函数图像上点的坐标特征，即可求出当时的值． 【解析】解：设反比例函数的解析式为， 将代入表达式中得， ∴反比例函数的解析式为， 当时，， ∴当时，气体的密度是， 故答案为：． 20．山西地处黄河中游，是中国面食文化的发祥地，其中的面条文化至今已有两干多年的历史东汉称面条为“煮饼”．厨师将一定质量的面团做成拉面时，面条的总长度单位：是面条横截面面积单位：的反比例函数，当面条横截面面积为时，面条的总长度为，则当面条的总长度为时，面条横截面面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查的知识点是反比例函数的应用，解题关键是确定两个变量之间的函数关系并用待定系数法求出它们的关系式． 利用待定系数法得出反比例函数解析式，将代入反比例函数的关系式，即可得到面条横截面面积． 【解析】解：，， 设与之间的函数表达式为：， 将，代入可得：， ， 与之间的函数表达式为：， 当时，， 解得， 经检验，是分式方程的解， 即当面条的总长度为时，面条横截面面积为． 故答案为：． 题型6：反比例函数的代数应用（最值、含参综合类） 21．已知点，两点在反比例函数的图象上．则下列判断正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，点、在同一象限，则 D．若，点、在不同象限，则 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数的图象和性质，掌握数形结合思想成为解题的关键．根据题意，判断和，该反比例函数的增减性，确定的取值范围，即可求解； 【解析】解：A．若，则随的增大而减小，不知道的值在哪个象限，无法判断，故 A 错误，不符合题意； B．若，点，两点可以在同一象限，也可以不在同一象限，则可能小于 0 也可能大于 0 ，故 B 错误，不符合题意； C．若，点在同一象限，则随的增大而减小，所以，故 C 正确，符合题意； D．若，点在不同象限，则，故D错误，不符合题意； 故选：C． 22．已知点与点在反比例函数的图象上，(　　) A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征研究反比例函数的性质即可判断． 【解析】解：A、若，则反比例函数的图象在一、三象限，在每个象限y随x的增大而减小， ∵， ∴， ∴点与点在第一象限， ∴，故选项A错误； B、若，则反比例函数的图象在一、三象限，在每个象限y随x的增大而减小， ∵， ∴， ∴点与点在第三象限， ∴，故选项B错误； C、若，则反比例函数的图象在二、四象限，在每个象限y随x的增大而增大， ∵， ∴， ∴点在第二象限， ∴，不合题意，故选项C错误； D、若，则反比例函数的图象在二、四象限，在每个象限y随x的增大而增大， ∵， ∴， ∴点在第二象限，点在第四象限， ∴， ∴，故选项D正确． 故选：D． 【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，熟知反比例函数的性质是解题的关键． 23．已知点，，在反比例函数的图象上，，则下列结论一定成立的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【分析】根据反比例函数的性质可知，函数图象在第一、三象限内，且在每个象限内，随的增大而减小，对选项逐一进行分析，即可得到答案． 【解析】解：反比例函数， 函数图象在第一、三象限内，且在每个象限内，随的增大而减小， A、若，则或， 当时，；当时，， 原结论不一定成立，不符合题意，选项错误； B、若，则 ，原结论不成立，不符合题意，选项错误； C、若，则或， ，原结论一定成立，符合题意，选项正确； D、若，则或或， 当或时，；当时，， 原结论不一定成立，不符合题意，选项错误， 故选C． 【点睛】本题考查了反比例函数的性质，解题关键是掌握当比例系数时，函数图象在第一、三象限内，且在每个象限内，随的增大而减小；当比例系数时，函数图象在第二、四象限内，且在每个象限内，随的增大而增大． 24．已知函数，，当时，函数的最大值为，函数的最小值为，则的值为 ． 【答案】2 【分析】此题主要考查了反比例函数的性质，正确得出与的关系是解题关键．直接利用反比例函数的性质分别得出与的关系，进而得出答案． 【解析】解：函数，当时，函数的最大值为， 时，， ，当时，函数的最小值为， 当时，， ， 故， 解得：． 故答案为：2． 25．反比例函数，当（b，a为常数，且）时，的最小值为m，的最大值为n，则的值为（     ） A． B． C．或 D． 【答案】B 【分析】本题考查了反比例函数的图象和性质，解题的关键是掌握当时，在每一象限内，y随x的增大而减小，反之，y随x的增大而增大． 根据反比例函数的性质，进行分类讨论：当时，当时，即可解答． 【解析】解：当时，则， ∴在每一象限内，随x的增大而减小，在每一象限内，随x的增大而增大， ∵，， ∴时，的最小值为，当时，的最大值为， ∴， 当时，则， ∴在每一象限内，随x的增大而增大，在每一象限内，随x的增大而减小， ∵，， ∴时，的最小值为，当时，的最大值为， ∴， 综上：的值为， 故选：B． 26．如图，在平面直角坐标系中，点P在反比例函数的图象上，过点P作轴于点A，若的面积为，则k的值为 ． 【答案】5 【分析】本题考查了反比函数中的几何意义，根据，即可求解． 【解析】解：∵ ∴，且 ∴ 故答案为：5． 题型7：反比例函数的几何应用 27．如图，点在双曲线上，点在双曲线上，轴，连，接，若的面积为3，则的值为 ． 【答案】8 【分析】本题考查了反比例函数的几何意义，解题的关键是掌握反比例函数中的几何意义．延长交轴于点，根据题意可得轴，由点在双曲线上，可求出，进而求出，最后根据反比例函数的几何意义求解即可． 【解析】解：如图，延长交轴于点， 轴， 轴， 又点在双曲线上， ， 的面积为， ， 点在双曲线上， ， ， 解得：或（舍去）， 故答案为：． 28．如图，平面直角坐标系中，点为反比例函数的图像一点，点为轴上一点，连接，过点作，交反比例函数的图像于点，连接，若为等腰直角三角形，则点的横坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数的性质，全等三角形的判定与性质，掌握知识点的应用是解题的关键． 过作，过作，交延长线于点，过作，交延长线于点，延长交轴于点，然后证明，则有，，，即点横坐标为，然后求出反比例函数解析式为，故有，最后通过线段和差即可求解． 【解析】解：如图，过作，过作，交延长线于点，过作，交延长线于点，延长交轴于点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴，， ∴，即点横坐标为， ∵点为反比例函数的图象一点， ∴， ∴反比例函数图象为， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点的横坐标为， 故答案为：． 29．如图，点是反比例函数图像上的点，点分别在x轴，y轴正半轴上．若四边形为菱形，轴，，则k的值（     ）    A．3 B．6 C．12 D．24 【答案】B 【分析】连接，过点作轴于点，由菱形的性质及面积可得出，证得四边形为矩形，得出，则可得出答案． 【解析】解：连接，过点作轴于点，   四边形是菱形， ，， ， ， ， 轴，轴， ， 四边形为矩形， ， ， ， 故选：B 【点睛】本题考查反比例函数图象点的特点，菱形的性质和面积．熟练掌握反比例函数系数的几何意义是解题的关键． 30．如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，点在反比例函数的图象上，轴于点轴于点，点分别为的中点，连接，若的面积为4.5，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，待定系数法求反比例函数解析式，矩形的判定与性质，三角形的面积．设，，则，，由，求得，点P在第四象限内，则，然后代入求出k值即可． 【解析】解：∵轴于点轴于点， ∴ ∴四边形是矩形， 设，， 点分别为的中点， 则，， ∴ ∴ ∵点P在第四象限内， ∴， 把代入，得 ∴ 故答案为：． 题型8：解答综合题 31．已知反比例函数的图像经过点． (1)求反比例函数表达式； (2)若点在该函数图像上，求m的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将点代入求解即可； （2）将点代入（1）求出的表达式中即可求出的值． 【解析】（1）解：∵反比例函数的图象经过， ∴将代入，得， ∴反比例函数解析式为； （2）解：∵点在这个函数图像上， ∴把代入得， 解得：， ∴的值为． 【点睛】本题主要考查了反比例函数图像上点的性质，解题的关键是熟练掌握反比例函数图像上点的特征． 32．已知与x成反比例，与成正比例，并且当时，，当时，； （1）求y与x之间的函数关系式． （2）当时，求y的值． 【答案】（1）；（2）0． 【分析】（1）先根据反比例与正比例的定义可设，从而可得，再利用待定系数法即可得； （2）根据（1）的结论，令即可得． 【解析】解：（1）由题意，设， ， ， 当时，，当时，， ，解得， 则与之间的函数关系式，即； （2）当时，． 【点睛】本题考查了反比例函数与正比例函数，熟练掌握反比例函数与正比例函数是解题关键． 33．如图所示，一次函数与反比例函数相交于点和点． (1)求一次函数解析式和反比例函数解析式； (2)请根据图像，直接写出当时，自变量的取值范围． 【答案】(1)， (2)或 【分析】本题是一次函数与反比例函数的综合，考查了求函数解析式，利用图像求不等式的解集等知识； （1）把点B的坐标代入反比例函数式中求得k的值，从而求得反比例函数解析式，进而可求得点A的坐标，再用待定系数法即可求得一次函数解析式； （2）当时，表明一次函数的图像在反比例函数的图像上方，观察图像即可求得自变量的取值范围． 【解析】（1）解：∵一次函数与反比例函数相交于点和点， ∴， 解得， 即； 把点A坐标代入中，， 即； 把A、B两点坐标分别代入中，得，解得：， 即． （2）解：由图像知，当时，或． 34．如图，在平面直角坐标系中，矩形的对角线、相交于点，且，． (1)求证：四边形是菱形； (2)如果，，求出经过点的反比例函数解析式． 【答案】(1)见解析 (2)． 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征、矩形的性质以及菱形的判定及性质． （1）由，结合平行四边形的判定定理可得出四边形是平行四边形，再由矩形的性质可得出，从而得出四边形是菱形； （2）连接，交于点，根据菱形的性质结合线段、的长度，由此即可得出点的坐标，由点的坐标利用反比例函数图象上点的坐标特征即可得出结论． 【解析】（1）证明：∵，， 四边形是平行四边形． 又四边形是矩形， 与相等且互相平分， ． 四边形是菱形； （2）解：连接，交于点，如图所示． 四边形是菱形， 与互相垂直平分． 又，， ，， 点的坐标为． 设反比例函数解析式为， 则， 经过点的反比例函数解析式为． 35．心理学研究发现，一般情况下，在一节分钟的数学课中，学生的注意力随上课时间的变化而变化．开始上课时，学生的注意力逐步增强，中间有一段时间学生的注意力保持在较为理想的稳定状态，随后学生的注意力开始分散．通过实验分析可知，学生的注意力指标数随时间（分钟）的变化规律如图所示，点的坐标为，点的坐标为，为反比例函数图象的一部分． (1)求所在的反比例函数的解析式； (2)吴老师计划在课堂上讲解一道代数推理题，准备安排分钟讲解，为了达到最佳的教学效果，要求学生的注意力指标数不低于，请问吴老师的安排是否合理？并说明理由． 【答案】(1) (2)安排不合理，理由见解析 【分析】本题考查反比例函数的实际应用，熟练掌握反比例函数的性质与其图象的性质是解题的关键． （1）设所在反比例函数的解析式为，将代入即可； （2）求出段的直线解析式，先求出指标数为时段和段的时间，再求出指标数不低于的时间长即可． 【解析】（1）解：（1）由题意，设所在反比例函数的解析式为， ∵点的坐标为， ∴， ∴； （2）老师安排不合理，理由： 由题意，设， ∵，， ∴， ∴， ∴， 令， 解得：， 令， ∴， ∵， ∴老师安排不合理． 36．如图，一次函数的图象分别交轴，轴于点，与反比例函数的图象交于点，连接，且． (1)求反比例函数的表达式； (2)若点为反比例函数的图象上位于直线下方一点，点在轴正半轴上，连接，且平分，求点的坐标． 【答案】(1)12 (2) 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的综合问题，涉及待定系数法求函数解析式，等腰三角形的判定，一次函数与反比例函数图象的交点，两点间距离公式，正确求出函数解析式是解题的关键． （1）先求出，则，而，则，即可求出，再代入求出k即可； （2）点作轴交延长线于点，得出，那么，求出直线解析式，和反比例函数解析式联立求出点P． 【解析】（1）解：对于， 当， 当， 解得：， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：过点作轴交延长线于点， ∵平分， ∴， ∵轴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 设直线表达式为， ∴， 解得：， ∴直线表达式为， 联立和得， 解得：或（舍） ∴． 37．如图，动点P在反比例函数的图象上，且点P的横坐标为，过点P分别作x轴和y轴的垂线，交函数的图象于点A、B，连接．    (1)当，时． ①直接写出点P、A、B的坐标（用m的代数式表示）； ②当时，求m的值． (2)与x轴和y轴相交与点E、F，与有怎么样的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)①，；② (2)，理由见解析 【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数综合，反比例函数与几何综合，全等三角形的性质与判定： （1）①求出点P的坐标，进而求出点A的横坐标和点B的纵坐标，再代入对应的解析式求解即可；②根据①所求表示出，再由建立方程求解即可； （2）设分别与x轴，y轴交于M、N，则，求出，，进而得到直线解析式为，可得，则，证明，即可得到． 【解析】（1）解：在中，当时，，在中，当时，， ∴， 在中，当时， ∴； ②∵，， ∴，， ∵， ∴， 解得或（舍去）； （2）解：，理由如下： 设分别与x轴，y轴交于M、N， ∴ 由题意得， ∴，， ∴直线解析式为， 在中，当时，， ∴， ∴， ∵轴，轴， ∴， ∴， ∴， ∴．    38．我们知道，一次函数的图象可以由正比例函数的图象向下平移1个单位得到；也可以由正比例函数的图象向右平移一个长度单位得到；函数也可以由一个反比例函数通过平移得到，使用“描点法”作出函数的图象，列表：恰当地选取自变量x的几个值，计算y对应的值． x … 0 1 2 … … 2 0 … 描点：以表中各对x、y的值为点的坐标，在平面直角坐标系中描出相应的点，连线：如图1，将图中直线两侧的各点分别用一条光滑的曲线顺次连接起来．    (1)观察图象并分析表格，回答下列问题： ①函数的图象关于点 中心对称（填写点的坐标）； ②函数的图象是由函数的图象经过怎样的平移变换得到的： ； (2)若直线与函数的图象相交于P，Q两点，点P的横坐标是p，若点Q的纵坐标是q，试探究代数式的值是否为定值？若是，直接写出这个定值；若不是，请说明理由． (3)如图2，在平面直角坐标系中，点O为原点，矩形的顶点A，C的坐标分别为．点D是的中点，连结交于点E，函数的图象经过B，E两点，过线段中点M的一条直线与这个函数的图象交于P，Q两点，若以B、E、P、Q为顶点组成的四边形面积为9，请直接函数的表达式和点P的坐标． 【答案】(1)①；②向左平移一个单位，再向上平移一个单位 (2)是定值，定值是2 (3)，或或或 【分析】（1）根据函数图象即可求解； （2）由得直线过定点，结合函数的图象关于点中心对称可得，两函数交点P，Q关于对称，据此即可求解； （3）求出直线、的解析式可得点，进而可得；根据为的中点，且为函数的对称中心，可得以为顶点组成的四边形为平行四边形，且为平行四边形对角线；结合， 可得的高是高的一半，据此即可求解； 【解析】（1）解：由图可知：①函数的图象关于点中心对称； 函数的图象向左平移一个单位，再向上平移一个单位，可得到函数的图象; 故答案为：①；②向左平移一个单位，再向上平移一个单位 （2）解：的值是定值，理由如下： ∵, 则直线过定点 ∵函数的图象关于点中心对称 ∴则两函数交点P，Q关于对称, ∵点P的横坐标是， ∴点Q的横坐标是， 又Q的纵坐标为, ∴, 将代入得， ∴, 整理得 （3）解：由题意可得： 则直线的解析式为： 设直线的解析式为： 则，得 ∴直线的解析式为： 令，可得， ∴ 将、代入函数可得： ，解得： ∴ ∵为的中点， ∴ ∵， ∴将函数向右平移6个单位长度，向上平移2个单位长度可得到函数 即：为函数的对称中心， ∴， ∵ ∴以为顶点组成的四边形为平行四边形，且为平行四边形对角线， ∵以B、E、P、Q为顶点组成的四边形面积为9， ∴， ∵ ∴的高是高的一半， 如图所示：    令函数中，可得， ∴，且为中点， ∴ ∵， 可得点是的三等分点， ∴ 关于的对称点为，关于的对称点为 综上所述，点的坐标为或或或 【点睛】本题考查了反比例函数与几何综合问题，涉及了函数图像的平移、平行四边形的判定与性质、中心对称等知识点，综合性较强，旨在考查学生的“举一反三”和“知识迁移”能力． 39．在平面直角坐标系中，正方形的顶点A、B分别为、，顶点C在反比例函数上，顶点D在反比例函数上． (1)如图1，当D点坐标为时． ①求的值； ②求m，n的值； (2)如图2，当m，n满足什么关系时，，并说明理由； (3)如图3，当时，在的延长线上取一点E，过点E作交x轴于点F，交反比例函数图象于点G，当G为的中点，对于每一个给定的m值，点E的纵坐标总是一个定值，则该定值为______．（用含m的代数式表示） 【答案】(1)①的值为4；②m，的值为1，3； (2)当时，； (3) 【分析】（1）①将点的坐标代入反比例函数解析式即可得出结论； ②过点作轴，可得，可用，表达点的坐标，建立关于，的二元一次方程组即可得出结论； （2）过点作轴于点，可得，可用，表达点的坐标，由此建立关于，的不等式，解之即可； （3）过点作轴于点，设，由等腰三角形的性质可表达点和点的坐标，由此建立关于的方程，解之即可． 【解析】（1）解：①将点代入反比例函数解析式， ； 即的值为4； ②如图，过点作轴于点， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ，解得． ，的值为1，3； （2）解：当时，，理由如下： 如图，过点作轴于点， 同理（1）可得，， ，， ， ， ， 若，则， ，， ， 即当时，； （3）解：由（2）得，，又， ∴， ，， ，即， ∴， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， 如图，过点作轴于点， 是等腰直角三角形， ， 设，， ，， 点是的中点， ； ， ， 点在上， ，整理得， （舍）或； 故答案为：． 【点睛】本题主要考查反比例函数与几何综合问题，涉及待定系数法求函数解析式，全等三角形的性质与判定，等腰直角三角形的性质等相关知识，用，表达出点，的坐标是解题关键． ( 第 3 页 共 8 页 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题05 第11章 反比例函数 单元阶段复习（八大题型） 目录： 题型1：反比例函数的有关概念及应用 题型2：反比例函数的图像与性质 题型3：根据反比例函数的图像或性质求参数 题型4：反比例函数与方程、不等式 题型5：反比例函数的实际应用 题型6：反比例函数的代数应用（最值、含参综合类） 题型7：反比例函数的几何应用 题型8：解答综合题 题型1：反比例函数的有关概念及应用 1．下列问题中的两个变量是成反比例的是（　　） A．被除数（不为零）一定，除数与商 B．货物的单价一定，货物的总价与货物的数量 C．等腰三角形的周长一定，它的腰长与底边的长 D．汽车所行的速度一定，它所行驶的路程与时间 2．下列函数表达式中，表示是的反比例函数的有（    ） （1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．若点在反比例函数的图象上，则的值为（    ） A． B．15 C． D． 4．已知点都在同一个反比例函数的图象上，则这个反比例函数的表达式为（   ） A． B． C． D． 5．已知关于x的反比例函数，则m的值为 ． 题型2：反比例函数的图像与性质 6．下列关于反比例函的图象与性质的说法中，正确的是（　　） A．图象关于轴对称 B．当时，随的增大而减少 C．图象位于第二、四象限 D．当时，则 7．反比例函数，当时，y的取值范围是（   ） A． B． C．或 D． 8．已知点，都在函数的图象上，则的大小关系是 ． 9．在同一坐标系中，函数和的图像大致是（　　） A．  B．  C．  D．   10．若点，都在反比例函数的图象上，且，则 ．（填“>”“<”或“=”） 11．若点、、都在反比例函数（为常数）的图象上，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 12．已知是的反比例函数，其部分对应值如表： … 1 2 … … … 若，则 ．（填“”“”或“”） 题型3：根据反比例函数的图像或性质求参数 13．若反比例函数的图象不经过第一象限，则的取值范围是 ． 14．已知反比例函数，其图象在所在的每一个象限内都随的增大而增大，则的取值范围是 ． 15．在平面直角坐标系中，对于每一象限内的反比例函数图像，的值都随值的增大而增大，则的取值范围是 ． 题型4：反比例函数与方程、不等式 16．如图，一次函数（、为常数，且）的图象与反比例函数（为常数，且）的图象交于、两点．则关于的方程的解为 ． 17．如图，反比例函数（）的图像和一次函数（）的图像相交于，两点，则当时，的取值范围是 ． 题型5：反比例函数的实际应用 18．机器狗是一种模拟真实犬只形态和部分行为的机器装置，其最快移动速度是载重后总质量的反比例函数．已知一款机器狗载重后总质量时，它的最快移动速度；当其载重后总质量时，它的最快移动速度 ． 19．密闭容器内有一定质量的二氧化碳，当容器的体积变化时，气体的密度随之变化．已知密度与体积是反比例函数关系，它的图象如图所示．当时，二氧化碳的密度是 ． 20．山西地处黄河中游，是中国面食文化的发祥地，其中的面条文化至今已有两干多年的历史东汉称面条为“煮饼”．厨师将一定质量的面团做成拉面时，面条的总长度单位：是面条横截面面积单位：的反比例函数，当面条横截面面积为时，面条的总长度为，则当面条的总长度为时，面条横截面面积为 ． 题型6：反比例函数的代数应用（最值、含参综合类） 21．已知点，两点在反比例函数的图象上．则下列判断正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，点、在同一象限，则 D．若，点、在不同象限，则 22．已知点与点在反比例函数的图象上，(　　) A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 23．已知点，，在反比例函数的图象上，，则下列结论一定成立的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 24．已知函数，，当时，函数的最大值为，函数的最小值为，则的值为 ． 25．反比例函数，当（b，a为常数，且）时，的最小值为m，的最大值为n，则的值为（     ） A． B． C．或 D． 题型7：反比例函数的几何应用 26．如图，在平面直角坐标系中，点P在反比例函数的图象上，过点P作轴于点A，若的面积为，则k的值为 ． 27．如图，点在双曲线上，点在双曲线上，轴，连，接，若的面积为3，则的值为 ． 28．如图，平面直角坐标系中，点为反比例函数的图像一点，点为轴上一点，连接，过点作，交反比例函数的图像于点，连接，若为等腰直角三角形，则点的横坐标为 ． 29．如图，点是反比例函数图像上的点，点分别在x轴，y轴正半轴上．若四边形为菱形，轴，，则k的值（     ）    A．3 B．6 C．12 D．24 30．如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，点在反比例函数的图象上，轴于点轴于点，点分别为的中点，连接，若的面积为4.5，则的值为 ． 题型8：解答综合题 31．已知反比例函数的图像经过点． (1)求反比例函数表达式； (2)若点在该函数图像上，求m的值． 32．已知与x成反比例，与成正比例，并且当时，，当时，； （1）求y与x之间的函数关系式． （2）当时，求y的值． 33．如图所示，一次函数与反比例函数相交于点和点． (1)求一次函数解析式和反比例函数解析式； (2)请根据图像，直接写出当时，自变量的取值范围． 34．如图，在平面直角坐标系中，矩形的对角线、相交于点，且，． (1)求证：四边形是菱形； (2)如果，，求出经过点的反比例函数解析式． 35．心理学研究发现，一般情况下，在一节分钟的数学课中，学生的注意力随上课时间的变化而变化．开始上课时，学生的注意力逐步增强，中间有一段时间学生的注意力保持在较为理想的稳定状态，随后学生的注意力开始分散．通过实验分析可知，学生的注意力指标数随时间（分钟）的变化规律如图所示，点的坐标为，点的坐标为，为反比例函数图象的一部分． (1)求所在的反比例函数的解析式； (2)吴老师计划在课堂上讲解一道代数推理题，准备安排分钟讲解，为了达到最佳的教学效果，要求学生的注意力指标数不低于，请问吴老师的安排是否合理？并说明理由． 36．如图，一次函数的图象分别交轴，轴于点，与反比例函数的图象交于点，连接，且． (1)求反比例函数的表达式； (2)若点为反比例函数的图象上位于直线下方一点，点在轴正半轴上，连接，且平分，求点的坐标． 37．如图，动点P在反比例函数的图象上，且点P的横坐标为，过点P分别作x轴和y轴的垂线，交函数的图象于点A、B，连接．    (1)当，时． ①直接写出点P、A、B的坐标（用m的代数式表示）； ②当时，求m的值． (2)与x轴和y轴相交与点E、F，与有怎么样的数量关系，并说明理由． 38．我们知道，一次函数的图象可以由正比例函数的图象向下平移1个单位得到；也可以由正比例函数的图象向右平移一个长度单位得到；函数也可以由一个反比例函数通过平移得到，使用“描点法”作出函数的图象，列表：恰当地选取自变量x的几个值，计算y对应的值． x … 0 1 2 … … 2 0 … 描点：以表中各对x、y的值为点的坐标，在平面直角坐标系中描出相应的点，连线：如图1，将图中直线两侧的各点分别用一条光滑的曲线顺次连接起来．    (1)观察图象并分析表格，回答下列问题： ①函数的图象关于点 中心对称（填写点的坐标）； ②函数的图象是由函数的图象经过怎样的平移变换得到的： ； (2)若直线与函数的图象相交于P，Q两点，点P的横坐标是p，若点Q的纵坐标是q，试探究代数式的值是否为定值？若是，直接写出这个定值；若不是，请说明理由． (3)如图2，在平面直角坐标系中，点O为原点，矩形的顶点A，C的坐标分别为．点D是的中点，连结交于点E，函数的图象经过B，E两点，过线段中点M的一条直线与这个函数的图象交于P，Q两点，若以B、E、P、Q为顶点组成的四边形面积为9，请直接函数的表达式和点P的坐标． 39．在平面直角坐标系中，正方形的顶点A、B分别为、，顶点C在反比例函数上，顶点D在反比例函数上． (1)如图1，当D点坐标为时． ①求的值； ②求m，n的值； (2)如图2，当m，n满足什么关系时，，并说明理由； (3)如图3，当时，在的延长线上取一点E，过点E作交x轴于点F，交反比例函数图象于点G，当G为的中点，对于每一个给定的m值，点E的纵坐标总是一个定值，则该定值为______．（用含m的代数式表示） ( 第 3 页 共 8 页 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$