暑假作业12 乘法公式的综合运用（要点梳理+5大题型+巩固强化）-【暑假分层作业】2025年七年级数学暑假培优练（苏科版2024）

限时练习：120min 完成时间： 月 日 天气： 作业12 乘法公式的综合运用 要点一、完全平方式的应用1（知2求3） （、、、） 用可推导除一些变式： ① ② 注：在完全平方公式中，主要有、、、等模块，都可以通过与相结合推导出来。 补充公式：。 要点二、完全平方公式应用2（求最值） 把代数式通过配凑等手段，得到完全平方式，再运用完全平方式是非负性这一性质增加问题的条件，这种解题方法通常被称为配方法．配方法在代数式求值、解方程、最值问题等都有着广泛的应用． 要点三、完全平方式的应用（求参数） 完全平方式含参：两数的平方和，再加上或减去它们积的倍，就构成了一个完全平方式．注意积的倍的符号，避免漏解．理解和掌握完全平方公式的结构特征是解题的关键． 【注意】1. 对于a2=x(x0)，a有正负两种结果；2. 区分缺首尾项和缺中间项. 要点四、乘法公式的几何背景 两个三项式相乘，若直接观察题目的结构无法找到合适的公式套用，这时需要作合理的裂项，添加括号，再利用整体思想套用公式，这时应用乘法公式解题的基本技巧。 三层必刷：巩固提升+能力培优+创新题型 题型一、通过对完全平方公式变形求值 1．如果，，等于（   ） A．42 B．40 C．39 D．38 【答案】B 【分析】本题考查了完全平方公式的应用，利用完全平方公式，先求出即可； 【详解】解：∵ ∴ ∴ ∵ ∴ 故选：B ． 2．已知，则的值为（   ） A．9 B．3 C．12 D．6 【答案】B 【分析】本题考查了完全平方公式，熟记完全平方公式是解题关键．利用完全平方公式求解即可得． 【详解】解：， ， 故选：B． 3．已知，，则的值为（   ） A． B．13 C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查完全平方公式的应用，熟记完全平方公式并灵活运用是解答的关键． 直接利用以及已知条件解答即可． 【详解】解：∵，，， ∴，即，解得：． 故选A． 4．已知，则的值是（ ） A． B． C．9 D．8 【答案】B 【分析】本题考查了完全平方公式的变形应用，令，则，根据可推出，结合即可求解； 【详解】解：令，则； ∵， ∵， ∴； ∵， ∴， 故选：B 5．若a，b满足，则的值为 ． 【答案】8 【分析】本题考查完全平方公式，非负性，将等式左边化为两个完全平方式的和的性质，根据非负性进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 故答案为：8． 6．已知，，则的值为 ． 【答案】16 【分析】本题考查了完全平方公式．解答本题的关键是明确题意，利用完全平方公式把式子变形为．根据，，利用完全平方公式把式子变形，可以求得所求式子的值． 【详解】解：，， ， 故答案为：16． 7．若则的值为 ． 【答案】30 【分析】本题考查了完全平方公式的运算，先整理得，然后运用，代入数值计算，即可作答． 【详解】解：∵ ∴ ∴， ∴， 故答案为：30． 8．已知，． (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1)15 (2)1 【分析】本题主要考查了完全平方公式及其变形，熟知完全平方公式：是解答本题的关键． （1）根据完全平方公式变形求解即可； （2）根据完全平方公式变形求解即可． 【详解】（1）解：∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴； （2）∵ ∴ ∴ ∴． 9．已知．求下列各式的值： (1)； (2) (3) 【答案】(1)7 (2)8 (3)47 【分析】本题主要考查了完全平方公式，利用配方法对整式进行整理，解题的关键是熟练掌握配方法，并灵活应用． （1）利用配方法对原式进行整理，再代入求值即可； （2）利用配方法对原式进行整理，再代入求值即可； （3）利用配方法对原式进行整理，再代入求值即可． 【详解】（1）解：， 将代入上式得： 原式； （2）解：， 将代入上式得： 原式； （3）解： ， 将代入上式得： 原式． 题型二、利用乘法公式求最值 10．在求解代数式的最值（最大值或最小值）时，老师给出以下解法： 解：原式， ∵无论a取何值，， ∴代数式， 即当时，代数式有最小值为4． 仿照上述思路，则代数式的最值为（　　） A．最大值 B．最小值 C．最大值 D．最小值 【答案】A 【分析】根据题意把代数式配成的形式，再利用偶次方的非负性即可得出最值． 【详解】解：由题意可得：原式 ， ∵无论a取何值，，即， ∴代数式， 即当时，代数式有最大值， 故选：A． 【点睛】本题主要是考查了配方法的应用以及偶次方的非负性，解题关键是把代数式配成的形式． 11．，为实数，整式的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先分组，然后运用配方法得到，最后利用偶次方的非负性得到最小值． 【详解】解：， ∵， ∴当时，原式有最小值，最小值为． 故选：A． 【点睛】本题考查完全平方公式的应用和偶次方的非负性，正确运用该完全平方公式是解答本题的关键． 12．老师在讲完乘法公式的多种运用后，要求同学们运用所学知识解答：求代数式的最小值？同学们经过交流、讨论，最后总结出如下解答方法： 解：． ． 当时，的值最小，最小值是1，的最小值是1． 请你根据上述方法，解答下列各题： (1)直接写出：的最小值为______． (2)求出代数式的最小值． (3)比较代数式和的大小． 【答案】(1) (2)代数式的最小值是5； (3)． 【分析】本题主要考查完全平方公式的应用，理解题中的方法是解题的关键． （1）根据题意可直接得出答案； （2）依题意，将所求代数式变形，得出，从而可得出答案； （3）求差，再按照题中的方法求解即可． 【详解】（1）解：依题意，当时，则，， 即当时，有最小值，是， 故答案为：； （2）解： 则当时，则，， 则代数式的最小值是5； （3）解：∵ ， ∵， ∴， ∴． 13．张老师在讲完乘法公式的多种运用后，要求同学们运用所学知识求代数式的最小值．同学们经过交流讨论，最后总结出如下解答方法： 因为， 所以当时，的值最小，最小值是0． 所以．所以当时，的值最小，最小值是1． 所以的最小值是1． 依据上述方法，解决下列问题 (1)当______时，有最小值是_______． (2)已知，求的最值为_______． (3)已知实数、满足，求的值． 【答案】(1)； (2) (3) 【分析】本题考查了完全平方公式的实际应用，熟练掌握完全平方公式是解答本题的关键． （1）化成完全平方公式和的形式计算即可； （2）把原式化成再利用完全平方公式计算即可； （3）化成完全平方公式和的形式计算出、的值，再代入代数式进行计算即可． 【详解】（1）解： ∵ ∴当时，的值最小，最小值是0． ∴． ∴当时，的值最小，最小值是． ∴的最小值是． 故答案为，； （2）∵， ， ∴ ∵ ∴当时，的值最小，最小值是0． ∴． ∴当时，的值最小，最小值是． ∴的最小值是． （3）， ， ． 题型三、利用乘法公式求参数 14．若是完全平方式，则m的值为（    ） A．4 B．2 C．或4 D．4或2 【答案】D 【分析】本题考查了完全平方式．先根据两平方项确定出这两个数，然后再根据完全平方公式的乘积的二倍项即可确定m的值． 【详解】解：∵是完全平方式， ∴， 解得或， 故选：D． 15．若可以配成一个完全平方公式，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式的结构特征是解答本题的关键． 根据完全平方公式得出，解之即可求解． 【详解】解：可以配成一个完全平方公式， ， ， ， 故选：B． 16．如果是一个完全平方式，那么的值为（   ） A．8 B． C．或8 D．或5 【答案】C 【分析】本题主要考查了完全平方式，根据题意可得两平方项为，则一次项为，据此可得答案． 【详解】解：∵是一个完全平方式，， ∴， ∴， ∴或， 故选：C． 17．若关于x的二次三项式是一个完全平方式，则m的值为 ． 【答案】9或 【分析】本题主要考查了完全平方式，根据平方项确定出这两个数是解题的关键，也是难点，熟记完全平方公式对解题非常重要， 根据两平方项确定出这两个数，再根据完全平方公式的乘积二倍项即可确定m的值． 【详解】详解：∵， ， 解得9或， 故答案为9或． 18．如果是一个完全平方式，那么k的值是 ． 【答案】6或 【分析】本题考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式的形式是解题的关键．根据完全平方公式的形式可得，即可求出k的值． 【详解】解：是一个完全平方式， ， 或， 故答案为：6或． 19．已知二次三项式是完全平方式，则 ． 【答案】或 【分析】本题是完全平方公式的考查，两数的平方和，再加上或减去它们积的2倍，就构成了一个完全平方式．注意积的2倍的符号，避免漏解．利用完全平方公式的结构特征判断即可确定出m的值． 【详解】解：∵二次三项式是一个完全平方式， ∴ ∴ 故答案为：或． 20．已知关于x的代数式是乘法完全平方式展开的，求字母a的值． 【答案】或 【分析】本题考查完全平方公式，熟练掌握该公式是解题的关键．根据题意可得，解得的值即可． 【详解】解：关于的代数式是乘法完全平方式展开的， 解得：或． 21．已知多项式． (1)化简多项式A； (2)若是一个完全平方式，求A的值． 【答案】(1) (2)3或27 【分析】（1）先根据完全平方公式与平方差公式计算，再合并即可； （2）先根据完全平方式的定义求出的值，再代入计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）是一个完全平方式， ， ． 当时，； 当时，． 故所求的值为3或27． 【点睛】本题考查了整式的加减，完全平方公式，平方差公式，完全平方式，掌握运算法则是解题的关键． 题型四、乘法公式在几何图形中的应用 22．如图，有两个正方形A、B，将A、B并列放置后构造得图甲和新的正方形图乙．若图甲和图乙中阴影部分的面积分别为9和12，则正方形A、B的面积之和为（   ） A．10 B．12 C．14 D．16 【答案】B 【分析】本题主要考查了完全平方公式的几何背景，解题的关键是根据图形得出数量关系．设正方形A的边长为a，正方形B的边长为b，由图形得出关系式求解即可． 【详解】解：设正方形A的边长为a，正方形B的边长为b， 由图甲得，即， 由图乙得，则， 所以， 故选：B． 23．有两个正方形、，将、并列放置后构造新的图形，分别得到长方形图1与正方形图2．若图1、图2中阴影的面积分别为11与32，则正方形的面积为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】本题考查完全平方公式的几何背景，掌握完全平方公式的结构特征是正确解答的前提． 设正方形的边长为，正方形的边长为，用代数式表示图1，图2中阴影部分的面积，整体代入即可得出，即正方形的面积． 【详解】解：设正方形的边长为，正方形的边长为， 由图1得：， 由图2得：，即， ∴， 故选：C． 24．如图，已知正方形与正方形的边长分别为，如果，那么阴影部分的面积为（　　） A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】A 【分析】本题考查完全平方公式与几何的综合应用，利用分割法表示出阴影部分的面积，利用完全平方公式进行计算即可． 【详解】解：∵， ∴阴影部分的面积为： ， ； 故选A． 25．通常情况下，通过用两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个恒等式．用图1与图2可以描述一个重要的数学公式，这个公式是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平方差公式在几何图形中的应用，图1中阴影部分的面积等于一个边长为的正方形面积减去一个边长为的正方形面积，图2中阴影部分面积等于一个长为，宽为的长方形面积，据此分别求出两幅图中阴影部分的面积，再令二者相等即可得到答案． 【详解】解：图1中阴影部分的面积为， 图2中阴影部分的面积为， ∵图1中阴影部分的面积和图2中阴影部分的面积相等， ∴， 故选： C． 26．如图，两个正方形的边长分别为．若，则阴影部分的面积为（    ） A．6 B．10 C．12 D．16 【答案】A 【分析】本题考查完全平方公式的应用，利用数形结合思想和完全平方公式求解是解题的关键． 分别用字母表示出大正方形的面积和两个空白三角形的面积，相减后再化简，最后将数值代入计算即可得出答案． 【详解】解：根据图形可知， 阴影部分的面积 ， 阴影部分的面积为 故选A． 27．如图，小敏同学在计算机软件上设计一个图案，画一个正方形覆盖在正方形的右下方，使其重叠部分是长方形，面积记为，两个较浅颜色的四边形都是正方形，面积分别记为，．已知，，且，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了完全平方公式与几何图形的面积，根据正方形的性质，可得，设，则，即得，，进而得到，再利用可求得，据此即可求解，掌握完全平方公式的运用是解题的关键． 【详解】解：∵正方形， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 设，则， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 28．如图，有两个正方形，现将放在的内部得图甲，将并列放置后构造新的正方形得图乙．若图甲和图乙中阴影部分的面积分别为和，则正方形的面积之和为 ． 【答案】 【分析】本题考查了完全平方公式的几何背景，解题的关键是根据图形得出数量关系． 设正方形的边长分别为，，根据题意得到，，，求出，即可得到答案． 【详解】解：设正方形的边长分别为， 根据题意得，， ，， ， 故答案为：． 29．小聪在学习完乘法公式后，发现完全平方公式经过适当的变形或数形结合，可以解决很多数学问题.如图摆放两个正方形卡片，A、M、B在同一直线上.若，且两个正方形面积之和为14，则阴影部分的面积为 ． 【答案】11 【分析】本题考查完全平方公式在几何图形中的应用．设小正方形的边长为a，大正方形的边长为b，根据题意得到，，将阴影部分的面积表示出来，用完全平方公式变形求解即可． 【详解】解：如图， 设小正方形的边长为a，大正方形的边长为b， ∵，且两个正方形面积之和为14， ∴，， 阴影部分的面积 ， 故答案为：11． 30．如图，两个正方形的边长分别为a、b，若，，则图中阴影部分的面积为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了完全平方公式的应用，正确的表示阴影部分的面积和适当的变形是得到正确答案的关键．用含有的代数式表示阴影部分的面积，再根据完全平方公式进行代数式的变形，进而即可求出答案． 【详解】解：阴影部分的面积 ， 当，时， 原式， 故答案为：20． 31．小聪在学习完乘法公式后，发现完全平方公式经过适当的变形或数形结合，可以解决很多数学问题．请根据以上信息，解答下列问题： (1)已知，求的值； (2)如图，已知两个正方形的边长分别为a、b，若，求图中阴影部分的面积； (3)若，则的值为______． 【答案】(1)8 (2)22 (3)13 【分析】本题考查了利用完全平方公式的变式求值，熟练掌握和运用完全平方公式的变式是解决本题的关键． （1）根据完全平方公式变形，再将代入即可求解； （2）根据题意得出图中阴影部分的面积，再根据完全平方公式变形求出，即可求解． （3）令，表示出，，根据计算即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， 解得：． （2）解：根据题意可得： 图中阴影部分的面积． 根据题意，得， 即， ∵， ， 即． ∴图中阴影部分的面积． （3）解：令， 则， ∵， ∴， 则， 故答案为：13． 32．如图1是一个长为、宽为的长方形（）．附图中虚线用剪刀均匀分成四块全等小长方形，然后按图2形状拼成一个正方形． (1)观察图2，直接写出代数式之间的关系： ． (2)若，则 ． (3)若，求的值． (4)如图，在长方形中，，点M和点N分别在和边上，并且，分别以和为边向上、向右作正方形，两个正方形的面积分别为和，且，求图中阴影部分的面积． 【答案】(1) (2)20 (3)7 (4)17 【分析】本题考查了完全平方公式的几何背景，完全平方公式，掌握完全平方公式的变形求值，完全平方公式在几何图形中的应用是解题的关键． （1）从“整体”和“部分”两个方面分别用代数式表示图中各个部分的面积，再根据各个部分面积之间的和差关系即可得出答案； （2）根据完全平方公式计算即可； （3）根据完全平方公式计算即可； （4）设，则，，由得，然后利用完全平方公式变形求值即可． 【详解】（1）由可得， 故答案为：； （2）解：∵， ∴； 故答案为：20； （3）解：∵， ∴ ； （4）解：设，则， ∴， ∵， ∴， ∵ ∴， ∴，即． ∴图中阴影部分的面积为17． 33．如图，将一个边长为a的正方形，剪掉一个边长为b的小正方形后，剩余部分沿对角线分成I 和 II 两部分，剪开后的 I 和 Ⅱ 可以拼成一个长方形． (1)以上操作过程可以验证的乘法公式是___________ ．（填正确选项的字母代号） A．    B．     C． (2)利用（1）中的结论，求的值． 【答案】(1)A (2) 【分析】此题主要考查平方差公式的验证，根据图形找到面积关系是解答的关键． （1）根据第一个图形两个正方形面积的差，构造一个长为，宽为的长方形，相同的面积用不同的表达式表示，从而可推导验证乘法公式中的平方差公式； （2）变形原式，再利用平方差公式求解即可． 【详解】（1）解：由题意可知，第二个长方形面积为， 第一个图形中大正方形减去小正方形后的面积为， ∴， 故答案为：A． （2）解： ． 34．【探究】如图①，从边长为a的大正方形中剪掉一个边长为b的小正方形，将阴影部分沿虚线剪开，拼成图②的长方形． （1）请你分别表示出这两个图形中阴影部分的面积：图① ，图② ； （2）比较两图的阴影部分面积，可以得到乘法公式： （用字母a、b表示）； 【应用】请应用这个公式完成下列各题： ①已知，则的值为 ； ②计算：； 【拓展】计算的结果为 ． 【答案】探究：（1），；（2）； 应用：①12；②； 拓展：． 【分析】本题考查了平方差公式与几何图形. 探究：（1）图①阴影部分的面积等于两个正方形的面积差，图②阴影部分的面积等于一个大长方形的面积； （2）根据图①与图②的面积相等即可得； 应用：①根据上述得到的乘法公式（平方差公式）即可得； ②利用两次平方差公式即可得； 拓展：将原式改写成，再多次利用平方差公式即可得． 【详解】探究：（1）图①阴影部分的面积为两个正方形的面积差，即， 图②的阴影部分为长为，宽为的矩形，则其面积为， 故答案为：，； （2）由图①与图②的面积相等可得到乘法公式：， 故答案为：； 应用：①， 故答案为：12； ②原式， ， ； 拓展：原式， ， ， ， ， ． 故答案为：． 35．【教材呈现】七年级教材下册“第8章 整式乘法”中，通过拼图、推演，得到了整式乘法法则和公式，在学习过程中让同学们了解到了公式的几何背景，感受了数形结合的思想方法．如课本39页，在边长为a的正方形纸片上剪去一个边长为的小正方形（如图1）， 通过计算图中的阴影面积，小明发现了一个重要的乘法公式： ． 其实，通过拼图算面积这种方法不仅能得到许多公式，还可以证明很多重要的定理． 【活动材料】：如图2，4张A型直角三角形纸片． 【活动要求】：利用这些纸片（每种纸片需全部使用）拼成一个新的正方形，通过不同的方法计算图形的面积，从而探究出相应的等式． 【活动内容】： （1）图2是我国古代数学家赵爽的“勾股圆方图”，它是由4张A型直角三角形纸片与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角形的较短直角边为a，较长直角边为b，最长的斜边为c．试探究 之间的数量关系并说明理由． （2）利用上述结论计算：若，求的值． 【答案】教材呈现：；活动内容：（1），理由见解析；（2） 【分析】本题主要考查了完全平方公式，平方差公式，结合图形得出关系式是解题的关键． 教材呈现：先用大小正方形的面积差表示第一个图的阴影部分面积，根据矩形面积公式表示第二个图的阴影面积，最后根据两个阴影部分的面积相等列出等式便可； 活动内容：（1）根据大正方形的面积等于4个全等直角三角形的面积加上中间小正方形的面积列出方程，再通过恒等变形得结论便可； （2）用及求得，再由求得，进而由平方差公式求得结果． 【详解】解：教材呈现：第一个图的阴影部分面积为：， 第二个图阴影部分的面积为：， ∴重要的结论为：， 故答案为：； 活动内容：（1），理由如下： ，或， ， ， ； （2）由题意知：， ， ， ， ， ， ． 题型五、乘法公式中的新定义运算 36．设，是有理数，定义一种新运算：．下面有四个推断：①；②；③；④．其中正确的是（   ） A．①③ B．①② C．③④ D．①②④ 【答案】A 【分析】本题考查了完全平方公式和平方差公式，解题的关键是掌握新运算规则． 根据新运算规则进行化简，然后对选项逐个进行判断． 【详解】解：①，，故①符合题意； ②，，故②不符合题意； ③，，故③符合题意； ④；，故④不符合题意； 故选：A． 37．对于任意有理数x，y，现用定义一种运算： 根据这个定义，代数式 可以化简为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查定义新运算，整式的运算，根据新运算的法则，得到，进行计算即可． 【详解】 解： ． 故选：C 38．我们定义一种新运算：，若，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了新定义，先根据题意得到，再由新定义得到，再把代入中进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴ ∴， ， 故答案为：． 39．将4个数排成2行、2列，两边各加一条竖直线记成，定义，，则 ． 【答案】2 【分析】本题考查了完全平方公式与平方差公式，根据新定义得出，解方程，即可求解． 【详解】解：依题意， ∴ 即 解得：， 故答案为：2． 40．定义：一个整数能表示成（a，b是整数）的形式，则称这个数为“完美数”．例如，因为，所以5是“完美数”． 【解决问题】 （1）已知29是“完美数”，请将它写成（a，b是整数的形式）______； （2）若可配方成（m，n为常数），则的值为______； 【探究问题】 （3）已知（x，y是整数，k是常数），要使S为“完美数”，试求出符合条件的一个k值，并说明理由． 【拓展结论】 （4）已知x，y满足，求的最小值． 【答案】（1）；（2）2；（3）当时，为“完美数”，理由见解析；（4）4 【分析】本题考查的是新定义运算的理解，完全平方公式的应用，熟练的掌握完全平方公式的特点与性质是解本题的关键． （1）根据“完美数”可得答案； （2）利用完全平方公式可得，从而可得答案； （3）利用完全平方公式可得，再利用新定义可得答案； （4）由条件可得，再结合非负数的性质可得最小值． 【详解】解：（1）， 故答案为：； （2）； ∴，， ∴； （3）当时，为“完美数”，理由如下： ， 当时，，则，为完美数； （4）∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴当时， 有最小值，最小值为4． 1．已知，，则的值为（    ） A．13 B．19 C．26 D．31 【答案】A 【分析】本题考查了完全平方公式的变形计算，掌握完全平方公式的计算是关键． 根据完全平方公式的变形计算即可求解． 【详解】解：， ∴， 故选：A ． 2．若，则常数的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解题的关键． 因为，所以，得到，即可得到答案． 【详解】解：，， ， ， 故选：B． 3．现有甲、乙两个正方形纸片，将甲、乙并列放置后得到图1，已知点H为的中点，连接，将乙纸片放到甲的内部得到图2，已知甲、乙两个正方形边长之和为8，图2的阴影部分面积为6，则图1的阴影部分面积为（    ） A．3 B．19 C．21 D．28 【答案】B 【分析】本题考查了完全平方公式的几何背景，解决本题的关键是灵活应用完全平方公式的变形．设甲正方形边长为，乙正方形边长为，根据题意分别得到，，两式相加可得，在图中利用两正方形的面积之和减去两个三角形的面积之和，代入计算可得阴影部分面积． 【详解】解：设甲正方形边长为，乙正方形边长为，则，，， ， ， 点为的中点， ， 图的阴影部分面积， ， ， 图的阴影部分面积 ， 故选：B． 4．如图，在矩形中，，，点和点分别在和边上，并且，分别以和为边向上、向右作正方形，两个正方形的面积分别为和，且，则图中阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解题的关键； 设，，根据，得，根据完全平方公式求解的值，进而求解； 【详解】解：设，， ，， ，． 根据，得， ， ， 又， ， 即阴影部分的面积为． 故选：B 5．若整式可以写成一个多项式的平方，则常数的值为 ． 【答案】 【分析】此题考查了完全平方公式．由题意可知，或，即可求出常数的值． 【详解】解：∵或 ∴或 ∴ 故答案为：． 6．如图，正方形是由两个大小不一的正方形（）和两个完全一样的长方形拼接而成，若长方形的面积为12，长方形的周长为16，则三个正方形的面积之和为 ． 【答案】104 【分析】本题主要考查完全平方公式在几何图形中的应用，设正方形的边长为，小正方形的边长为，，根据题意得出，，通过三个正方形的面积之和为变形后代入计算即可． 【详解】解：设正方形的边长为，小正方形的边长为，， 根据题意：长方形的面积为； 长方形的周长为， 解得：， 三个正方形的面积之和为： ， 答：三个正方形的面积之和为 104 ． 7．已知，，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查完全平方公式的变形，根据原式化为，然后整体代入计算解题． 【详解】解：， 故答案为：． 8．在长为、宽为的长方形铁皮上剪去一个边长为的小正方形，则剩余部分的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是多项式的乘法与图形面积的关系，完全平方公式的应用，根据面积关系列式，再计算即可． 【详解】解：由题意可得： ； 故答案为： 9．【阅读理解】若x满足，求的值． 解：设， 所以， 所以． 我们把这种方法叫做换元法，利用换元法达到简化计算的目的，体现了转化的数学思想． 【理解应用】 （1）若，则____________； （2）若x满足，求的值； 【拓展应用】 （3）如图，在中，，点D是边上的一点，在边上取一点C，使得，设．分别以为边在的外部作正方形、正方形，连结，若的面积为40，求正方形和正方形的面积和． 【答案】（1）328 ；（2）16 ；（3）164 【分析】本题考查了换元法、完全平方公式的应用．解决本题的关键是利用完全平方公式把代数式进行变形求值． （1）设，，从而可得，，根据求出结果； （2）设，，从而可得，，根据完全平方公式进行变形可得，所以可得，从而可求； （3）根据已知可知，根据的面积为40，可得，设，可得、，利用完全平方公式进行变形可得：． 【详解】解：（1）设，， 则，， ， ，                       （2）设，， 则， ∵， ， ， ， ， 解得：， ；                       （3）由题意得：． ∴． ∵的面积为40， ∴， ∴， 设， ∴， ，                             ∴ 答：正方形和正方形的面积和为164． 10．如图1，两个正方形、的边长分别是、，将这两个正方形分别按不同的方式摆放，回答下列问题： (1)如图2，将两个正方形叠合摆放，点与点重合，点、分别在、上，并将不重叠的阴影部分沿虚线剪开，重新拼接后，得到一个长方形，用两种不同的方法表示阴影部分面积，可以验证等式_______________． A．    B． C．    D． (2)如图3，将两个正方形如图摆放，点与点重合，点在上，连接，若它们边长之和为14，面积之和为100，求阴影部分面积． (3)如图4，将两个正方形如图摆放，点与点重合，点、分别在、的延长线上，若它们边长之和为14，阴影部分面积为45，求这两个正方形的面积之差． 【答案】(1)C (2)24 (3)56 【分析】本题考查了平方差公式、完全平方公式的应用，熟练掌握平方差公式和完全平方公式是解题的关键． （1）结合图2表示出拼接前后阴影部分面积，即可得出答案； （2）由题意得，，，利用完全平方公式的变形得到，即可得到阴影部分面积； （3）连接，由题意得，阴影部分面积，，利用完全平方公式的变形得到，得到的值，再利用平方差公式即可求解． 【详解】（1）解：由图2可得， 拼接后阴影部分面积为， 拼接前阴影部分面积为， 拼接前后，阴影部分面积相等， 故选：C． （2）解：由题意得，，， ， ， 阴影部分面积为． （3）解：如图，连接， 由题意得，阴影部分面积，， ， ， ， ， 这两个正方形的面积之差为56． 1．配方法是数学中重要的一种思想方法．它是指将一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法，这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题．比如， 因为， 所以当时， 的值最小，最小值是0， 所以， 所以当时，即时的值最小，最小值是1， 即的最小值是1． 定义：一个正整数能表示成（，是正整数）的形式，则称这个数为“完美数”，例如，5是“完美数”，理由：因为，所以5是“完美数”． 【探究问题】 （1）①已知，则______． ②已知（，是整数，是常数），要使为“完美数”，试写出符合条件的一个值，并说明理由． 【拓展结论】 （2）已知实数，满足，当等于多少时，能取得最小值并求出最小值． 【答案】（1）①；②，理由见解析；（2）当时，有最小值，最小值为1． 【分析】本题主要考查了完全平方公式的应用，非负数的性质，熟知完全平方公式是解题的关键． （1）①已知等式利用完全平方公式配方后，根据非负数的性质求出与的值，即可求出的值； ②根据为“完美数”，利用完全平方公式配方，确定出的值即可； （2）由已知等式表示出，代入中，配方后再利用非负数的性质求出最小值即可． 【详解】（1）①∵， ∴， ∴， ，， ，， 解得：，， ∴； ②当时，为“完美数”， 理由如下： ， ，是整数， ，也是整数， 是一个“完美数”； （2）∵， ∴ ， ∵， ∴， ∴当时，有最小值，最小值为1． 2．在有理数范围内定义一种新运算，规定． (1)求； (2)求； (3)设，，试比较的大小并说明理由． 【答案】(1)3 (2) (3)，理由见解析 【分析】本题考查了新定义运算和整式的运算，正确理解新定义法则是解题的关键． （1）根据新运算代入计算即可． （2）根据新运算代入计算即可． （3）先根据定义，化简，，再根据结果比较即可． 【详解】（1）解：∵， ∴． （2）∵， ∴； （3）∵，且，， ∴，， ∵， ∴． 1 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $$ 限时练习：120min 完成时间： 月 日 天气： 作业12 乘法公式的综合运用 要点一、完全平方式的应用1（知2求3） （、、、） 用可推导除一些变式： ① ② 注：在完全平方公式中，主要有、、、等模块，都可以通过与相结合推导出来。 补充公式：。 要点二、完全平方公式应用2（求最值） 把代数式通过配凑等手段，得到完全平方式，再运用完全平方式是非负性这一性质增加问题的条件，这种解题方法通常被称为配方法．配方法在代数式求值、解方程、最值问题等都有着广泛的应用． 要点三、完全平方式的应用（求参数） 完全平方式含参：两数的平方和，再加上或减去它们积的倍，就构成了一个完全平方式．注意积的倍的符号，避免漏解．理解和掌握完全平方公式的结构特征是解题的关键． 【注意】1. 对于a2=x(x0)，a有正负两种结果；2. 区分缺首尾项和缺中间项. 要点四、乘法公式的几何背景 两个三项式相乘，若直接观察题目的结构无法找到合适的公式套用，这时需要作合理的裂项，添加括号，再利用整体思想套用公式，这时应用乘法公式解题的基本技巧。 三层必刷：巩固提升+能力培优+创新题型 题型一、通过对完全平方公式变形求值 1．如果，，等于（   ） A．42 B．40 C．39 D．38 2．已知，则的值为（   ） A．9 B．3 C．12 D．6 3．已知，，则的值为（   ） A． B．13 C． D． 4．已知，则的值是（ ） A． B． C．9 D．8 5．若a，b满足，则的值为 ． 6．已知，，则的值为 ． 7．若则的值为 ． 8．已知，． (1)求的值； (2)求的值． 9．已知．求下列各式的值： (1)； (2) (3) 题型二、利用乘法公式求最值 10．在求解代数式的最值（最大值或最小值）时，老师给出以下解法： 解：原式， ∵无论a取何值，， ∴代数式， 即当时，代数式有最小值为4． 仿照上述思路，则代数式的最值为（　　） A．最大值 B．最小值 C．最大值 D．最小值 11．，为实数，整式的最小值是（    ） A． B． C． D． 12．老师在讲完乘法公式的多种运用后，要求同学们运用所学知识解答：求代数式的最小值？同学们经过交流、讨论，最后总结出如下解答方法： 解：． ． 当时，的值最小，最小值是1，的最小值是1． 请你根据上述方法，解答下列各题： (1)直接写出：的最小值为______． (2)求出代数式的最小值． (3)比较代数式和的大小． 13．张老师在讲完乘法公式的多种运用后，要求同学们运用所学知识求代数式的最小值．同学们经过交流讨论，最后总结出如下解答方法： 因为， 所以当时，的值最小，最小值是0． 所以．所以当时，的值最小，最小值是1． 所以的最小值是1． 依据上述方法，解决下列问题 (1)当______时，有最小值是_______． (2)已知，求的最值为_______． (3)已知实数、满足，求的值． 题型三、利用乘法公式求参数 14．若是完全平方式，则m的值为（    ） A．4 B．2 C．或4 D．4或2 15．若可以配成一个完全平方公式，则的值为（    ） A． B． C． D． 16．如果是一个完全平方式，那么的值为（   ） A．8 B． C．或8 D．或5 17．若关于x的二次三项式是一个完全平方式，则m的值为 ． 18．如果是一个完全平方式，那么k的值是 ． 19．已知二次三项式是完全平方式，则 ． 20．已知关于x的代数式是乘法完全平方式展开的，求字母a的值． 21．已知多项式． (1)化简多项式A； (2)若是一个完全平方式，求A的值． 题型四、乘法公式在几何图形中的应用 22．如图，有两个正方形A、B，将A、B并列放置后构造得图甲和新的正方形图乙．若图甲和图乙中阴影部分的面积分别为9和12，则正方形A、B的面积之和为（   ） A．10 B．12 C．14 D．16 23．有两个正方形、，将、并列放置后构造新的图形，分别得到长方形图1与正方形图2．若图1、图2中阴影的面积分别为11与32，则正方形的面积为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 24．如图，已知正方形与正方形的边长分别为，如果，那么阴影部分的面积为（　　） A．6 B．5 C．4 D．3 25．通常情况下，通过用两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个恒等式．用图1与图2可以描述一个重要的数学公式，这个公式是（    ） A． B． C． D． 26．如图，两个正方形的边长分别为．若，则阴影部分的面积为（    ） A．6 B．10 C．12 D．16 27．如图，小敏同学在计算机软件上设计一个图案，画一个正方形覆盖在正方形的右下方，使其重叠部分是长方形，面积记为，两个较浅颜色的四边形都是正方形，面积分别记为，．已知，，且，则 ． 28．如图，有两个正方形，现将放在的内部得图甲，将并列放置后构造新的正方形得图乙．若图甲和图乙中阴影部分的面积分别为和，则正方形的面积之和为 ． 29．小聪在学习完乘法公式后，发现完全平方公式经过适当的变形或数形结合，可以解决很多数学问题.如图摆放两个正方形卡片，A、M、B在同一直线上.若，且两个正方形面积之和为14，则阴影部分的面积为 ． 30．如图，两个正方形的边长分别为a、b，若，，则图中阴影部分的面积为 ． 31．小聪在学习完乘法公式后，发现完全平方公式经过适当的变形或数形结合，可以解决很多数学问题．请根据以上信息，解答下列问题： (1)已知，求的值； (2)如图，已知两个正方形的边长分别为a、b，若，求图中阴影部分的面积； (3)若，则的值为______． 32．如图1是一个长为、宽为的长方形（）．附图中虚线用剪刀均匀分成四块全等小长方形，然后按图2形状拼成一个正方形． (1)观察图2，直接写出代数式之间的关系： ． (2)若，则 ． (3)若，求的值． (4)如图，在长方形中，，点M和点N分别在和边上，并且，分别以和为边向上、向右作正方形，两个正方形的面积分别为和，且，求图中阴影部分的面积． 33．如图，将一个边长为a的正方形，剪掉一个边长为b的小正方形后，剩余部分沿对角线分成I 和 II 两部分，剪开后的 I 和 Ⅱ 可以拼成一个长方形． (1)以上操作过程可以验证的乘法公式是___________ ．（填正确选项的字母代号） A．    B．     C． (2)利用（1）中的结论，求的值． 34．【探究】如图①，从边长为a的大正方形中剪掉一个边长为b的小正方形，将阴影部分沿虚线剪开，拼成图②的长方形． （1）请你分别表示出这两个图形中阴影部分的面积：图① ，图② ； （2）比较两图的阴影部分面积，可以得到乘法公式： （用字母a、b表示）； 【应用】请应用这个公式完成下列各题： ①已知，则的值为 ； ②计算：； 【拓展】计算的结果为 ． 35．【教材呈现】七年级教材下册“第8章 整式乘法”中，通过拼图、推演，得到了整式乘法法则和公式，在学习过程中让同学们了解到了公式的几何背景，感受了数形结合的思想方法．如课本39页，在边长为a的正方形纸片上剪去一个边长为的小正方形（如图1）， 通过计算图中的阴影面积，小明发现了一个重要的乘法公式： ． 其实，通过拼图算面积这种方法不仅能得到许多公式，还可以证明很多重要的定理． 【活动材料】：如图2，4张A型直角三角形纸片． 【活动要求】：利用这些纸片（每种纸片需全部使用）拼成一个新的正方形，通过不同的方法计算图形的面积，从而探究出相应的等式． 【活动内容】： （1）图2是我国古代数学家赵爽的“勾股圆方图”，它是由4张A型直角三角形纸片与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角形的较短直角边为a，较长直角边为b，最长的斜边为c．试探究 之间的数量关系并说明理由． （2）利用上述结论计算：若，求的值． 题型五、乘法公式中的新定义运算 36．设，是有理数，定义一种新运算：．下面有四个推断：①；②；③；④．其中正确的是（   ） A．①③ B．①② C．③④ D．①②④ 37．对于任意有理数x，y，现用定义一种运算： 根据这个定义，代数式 可以化简为（   ） A． B． C． D． 38．我们定义一种新运算：，若，则 ． 39．将4个数排成2行、2列，两边各加一条竖直线记成，定义，，则 ． 40．定义：一个整数能表示成（a，b是整数）的形式，则称这个数为“完美数”．例如，因为，所以5是“完美数”． 【解决问题】 （1）已知29是“完美数”，请将它写成（a，b是整数的形式）______； （2）若可配方成（m，n为常数），则的值为______； 【探究问题】 （3）已知（x，y是整数，k是常数），要使S为“完美数”，试求出符合条件的一个k值，并说明理由． 【拓展结论】 （4）已知x，y满足，求的最小值． 1．已知，，则的值为（    ） A．13 B．19 C．26 D．31 2．若，则常数的值是（   ） A． B． C． D． 3．现有甲、乙两个正方形纸片，将甲、乙并列放置后得到图1，已知点H为的中点，连接，将乙纸片放到甲的内部得到图2，已知甲、乙两个正方形边长之和为8，图2的阴影部分面积为6，则图1的阴影部分面积为（    ） A．3 B．19 C．21 D．28 4．如图，在矩形中，，，点和点分别在和边上，并且，分别以和为边向上、向右作正方形，两个正方形的面积分别为和，且，则图中阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 5．若整式可以写成一个多项式的平方，则常数的值为 ． 6．如图，正方形是由两个大小不一的正方形（）和两个完全一样的长方形拼接而成，若长方形的面积为12，长方形的周长为16，则三个正方形的面积之和为 ． 7．已知，，则的值为 ． 8．在长为、宽为的长方形铁皮上剪去一个边长为的小正方形，则剩余部分的面积为 ． 9．【阅读理解】若x满足，求的值． 解：设， 所以， 所以． 我们把这种方法叫做换元法，利用换元法达到简化计算的目的，体现了转化的数学思想． 【理解应用】 （1）若，则____________； （2）若x满足，求的值； 【拓展应用】 （3）如图，在中，，点D是边上的一点，在边上取一点C，使得，设．分别以为边在的外部作正方形、正方形，连结，若的面积为40，求正方形和正方形的面积和． 10．如图1，两个正方形、的边长分别是、，将这两个正方形分别按不同的方式摆放，回答下列问题： (1)如图2，将两个正方形叠合摆放，点与点重合，点、分别在、上，并将不重叠的阴影部分沿虚线剪开，重新拼接后，得到一个长方形，用两种不同的方法表示阴影部分面积，可以验证等式_______________． A．    B． C．    D． (2)如图3，将两个正方形如图摆放，点与点重合，点在上，连接，若它们边长之和为14，面积之和为100，求阴影部分面积． (3)如图4，将两个正方形如图摆放，点与点重合，点、分别在、的延长线上，若它们边长之和为14，阴影部分面积为45，求这两个正方形的面积之差． 1．配方法是数学中重要的一种思想方法．它是指将一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法，这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题．比如， 因为， 所以当时， 的值最小，最小值是0， 所以， 所以当时，即时的值最小，最小值是1， 即的最小值是1． 定义：一个正整数能表示成（，是正整数）的形式，则称这个数为“完美数”，例如，5是“完美数”，理由：因为，所以5是“完美数”． 【探究问题】 （1）①已知，则______． ②已知（，是整数，是常数），要使为“完美数”，试写出符合条件的一个值，并说明理由． 【拓展结论】 （2）已知实数，满足，当等于多少时，能取得最小值并求出最小值． 2．在有理数范围内定义一种新运算，规定． (1)求； (2)求； (3)设，，试比较的大小并说明理由． 1 / 5 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