精品解析：2025年6月福建省厦门第六中学 中考数学二模试卷

厦门六中2024~2025学年第二学期九年级中考适应练习数学 本试卷共6页．满分150分 注意事项： 选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号，非选择题答案用0.5毫米黑色签字笔在答题卡相应位置作答，在试卷上答题无效，可以直接使用2B铅笔作图． 一、选择题（本大题有8小题，每小题4分，共32分．每小题都有四个选项，其中有且只有一个选项正确） 1. 下面四个古典园林中的花窗图案，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形的定义、中心对称图形的定义；平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形，就叫做轴对称图形；在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形．据此进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：A．是中心对称图形，不是轴对称图形，故A不符合题意； B．是轴对称图形，不是中心对称图形，故B不符合题意； C．是轴对称图形，不是中心对称图形，故C不符合题意； D．既是轴对称图形又是中心对称图形，故D符合题意． 故选：D． 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了合并同类项、积的乘方、同底数幂相乘等知识点，掌握相关运算法则成为解题的关键． 根据合并同类项、积的乘方、同底数幂相乘逐项判断即可． 【详解】解：A． ，故该选项错误，不符合题意； B． ，故该选项错误，不符合题意； C． ，故该选项正确，符合题意； D． ，故该选项错误，不符合题意． 故选C． 3. 体积为8的立方体的棱长是（ ） A. 8的平方根 B. 8的算术平方根 C. 8的立方 D. 8的立方根 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了立方根，平方根，算术平方根，熟练掌握立方根的定义是解题的关键．立方体的体积公式计算即可． 【详解】解：体积为8的立方体的棱长是8的立方根， 故选：D． 4. 如图，将半圆绕直径所在的虚线旋转一周，得到的立体图形是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了点、线、面、体问题．根据旋转体的特征判断即可． 【详解】解：将一个半圆绕它的直径所在的直线旋转一周得到的几何体是球， 故选：C． 5. 如图，将沿方向平移到，若，，则平移距离为（ ）． A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是平移的性质，根据图形平移的性质可知，再由，可得出的长，进而可得出结论，熟知把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同；新图形中的每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这两个点是对应点，连接各组对应点的线段平行且相等是解题的关键． 【详解】解：将沿方向平移到，，， ， ， 平移距离为3． 故选：B． 6. 如图，是一个可折叠衣架，是地平线，当时，就可以确定点、、在同一直线上，这样判定的依据是（　　） A. 过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行 B. 内错角相等，两直线平行 C. 两点确定一条直线 D. 平行于同一直线的两直线平行 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了平行线的判定，过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行．熟练掌握平行线的判定，过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行是解题的关键． 由，可得，由过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行，可知，，在同一直线上． 【详解】解：∵， ∴， ∵过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行， ∴，，在同一直线上， 故选：． 7. 如图，在中，的垂直平分线l交于点D．若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质．掌握线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等是解题关键．根据线段垂直平分线的性质得出，结合等边对等角即可得出． 【详解】解：∵的垂直平分线l交于点D， ∴， ∴． ∵， ∴． 故选A． 8. 抛物线经过点、、．则下列说法正确的是（ ） A. 顶点可能在第一象限 B. 若，则顶点在第三象限 C. 顶点不可能在第二象限 D. 若，则顶点在第四象限 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图像与性质，确定顶点坐标符号是解题关键.由的纵坐标相等，可以确定抛物线对称轴，确定，将代入抛物线，确定的正负情况，结合顶点坐标进一步确定正负情况，即可确定纵坐标的正负，明确顶点位置． 【详解】解：抛物线经过点， 该抛物线的对称轴为，则顶点不可能在一，四象限，故A、D选项错误， 抛物线经过， 当时， ，即 该抛物线开口向上 当时， 代入得 顶点坐标为 顶点横坐标为 顶点在轴左侧 又纵坐标为， 当时，顶点在第三象限．故B正确 当时，同理可得 又纵坐标为， ， 当时，顶点可能在第二、三象限．故C错误 故选：B． 二、填空题（本大题有8小题，每小题4分，共32分） 9. 实数的相反数为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查实数的相反数，的相反数是，据此求解． 【详解】实数的相反数为， 故答案为：． 10. 单项式的次数是_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了单项式的次数，理解单项式的次数的定义是解题的关键．直接根据单项式的次数的定义得出答案，一个单项式中所有字母的指数的和叫做单项式的次数． 【详解】解：单项式的次数是， 故答案为：． 11. 已知的边长两边长为2和4，第三边长为偶数，则第三边的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查了三角形的三边关系，关键是掌握第三边的范围是：大于已知的两边的差，而小于两边的和．首先设第三边长为x，根据三角形的三边关系可得，可得x的范围，然后再确定x的值即可． 【详解】解：设第三边长为x，由题意得： ， 解得：， ∵第三边长为偶数， ∴， ∴第三边的长为． 故答案为：． 12. 某校的生物学兴趣小组在相同条件下进行了黄豆发芽试验，并记录了如下结果： 每批粒数n 100 300 400 600 1000 2000 3000 发芽的粒数m 96 282 382 570 948 1908 2850 发芽的频率 0.960 0.940 0.955 0.950 0.948 0.954 0.950 则估计黄豆发芽的概率是______（结果精确到0.01）． 【答案】0.95 【解析】 【分析】本题考查了由频率估计概率，由表格可得，当足够大时，发芽的频率逐渐稳定于，由此即可得解． 【详解】解：由表格可得，当足够大时，发芽的频率逐渐稳定于， ∴估计黄豆发芽的概率是， 故答案为：． 13. 如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点在轴正半轴上，边在轴上，若点的坐标为，点的坐标为，则点的坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质，勾股定理，坐标与图形的性质，由点，的坐标知道，，由勾股定理求出，再由菱形的性质即可求解，关键是由菱形的性质，勾股定理求出的长． 【详解】解：∵点的坐标为，点的坐标为， ∴，， 在中，由勾股定理得： ， ∵四边形是菱形， ∴，， ∴点的坐标为， 故答案为：． 14. 如图是某高速公路在转向处设计的一段圆曲线（即圆弧），机动车转弯时从曲线起点A行驶至终点B，过点A，B的两条切线相交于点C，机动车在从点A到点B行驶过程中转角为．若这段圆弧的半径，，则图中危险区（阴影部分）的面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据圆的切线性质，得，得，得，得，由切线长性质，得，得，可得，由，得． 【详解】解：连接， ∵为的切线， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵, ∴， 由轴对称知，， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了圆的切线．熟练掌握圆的切线性质，切线长性质，四边形性质，含30度的直角三角形性质，勾股定理，三角形面积公式，扇形面积公式，是解题的关键． 15. 已知实数k、m、n，满足，．若m，n异号，则k的取值范围为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，等式的性质，分解因式的应用，熟练掌握二次函数的性质，是解题的关键．根据，，得出，整理得出，根据，得出，根据，异号，得出，，求出，根据，求出结果即可． 由此即可求解． 【详解】证明：∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，异号， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴当时，取最小值，当或时，取最大值， ∵当时，，， ∴无法取最小值， ． 故答案为：． 16. 如图，已知点，，是轴上位于点上方的一点，平分，平分，直线交于点．若反比例函数的图象经过点，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的几何应用，角平分线的性质，正方形的判定和性质等，过点分别作轴、轴的垂线，垂足分别为，作交的延长线于点，由角平分线的性质可得，即可得四边形是正方形，由勾股定理得，由对称可得，，设，则，，可得，，即得，可得，进而得到，即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：过点分别作轴、轴的垂线，垂足分别为，作交的延长线于点， ，，， ∴四边形是矩形， 平分，，， ， 又平分，，， ， ∴， ∴四边形是正方形， ∵点，， ∴，， ∴在中，， 由对称可得，，， 设，则，， ∴，， ， ， ， ， ， 故答案为： 三、解答题（本大题有9小题，共86分） 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】先分别根据负整数指数幂、绝对值、二次根式的相关规则，对式子中的各项进行化简，再按照实数的运算顺序计算出结果．本题主要考查负整数指数幂、绝对值、二次根式的运算及实数的混合运算，熟练掌握各运算的规则和实数运算顺序是解题的关键． 【详解】解：原式． 18. 如图，在中，延长对角线至点E，延长至点F，且．求证：四边形是平行四边形． 【答案】见解析 【解析】 【分析】连接，交于点，证明两条对角线互相平分即可． 【详解】解：连接，交于点， ， ， ， ， ， 故四边形是平行四边形． 19. 先化简， 再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的化简求值、二次根式的混合运算等知识点，掌握分式的混合运算法则成为解题的关键．先根据分式的混合运算法则化简，然后将代入运用二次根式的混合运算法则计算即可． 【详解】解： ； 当时，原式． 20. 年，掀起全球热潮，其发布的开源大模型堪称“低成本，高效率”的典范，为世界贡献了“中国智慧”．已知某公司拥有甲、乙两个数据中心，甲数据中心通过应用，使其数据迁移速度提升至乙数据中心的倍，且甲数据中心迁移数据比乙数据中心迁移数据所需时间少小时． （1）分别求甲、乙两个数据中心的数据迁移速度（单位：小时）； （2）现公司要求甲、乙两个数据中心协同完成一项紧急任务，共用小时至少完成的数据迁移，且同一时间只能一个数据中心工作，试问：不考虑其他因素，甲数据中心至少需要工作多少小时？ 【答案】（1）小时，小时 （2）小时 【解析】 【分析】本题考查分式方程的应用，一元一次不等式的应用，熟练根据题意正确找出等量关系或不等关系是解题的关键． （1）设乙数据中心的数据迁移速度为小时，则甲数据中心的数据迁移速度为小时，根据“甲数据中心迁移数据比乙数据中心迁移数据所需时间少小时”列式求解即可； （2）设甲数据中心工作小时，则乙数据中心工作小时，根据“共用小时至少完成的数据迁移” 列式求解即可． 【小问1详解】 解：设乙数据中心的数据迁移速度为小时， 则甲数据中心的数据迁移速度为小时， 根据题意，得， 解得：， 经检验是原方程的解，且符合题意， ∴， 答：甲、乙两个数据中心的数据迁移速度分别为小时，小时； 【小问2详解】 解：设甲数据中心工作小时，则乙数据中心工作小时， 根据题意，得， 解得：， 即甲数据中心至少需要工作小时． 21. 2025年春晚节目《秧》以机器人表演传统秧歌为主题，广受好评．演出结束后，节目组随机抽取了50名现场观众进行评分，同时统计出5000名线上观众评分（满分10分）．并根据得分绘制了以下不完整的统计图： 两个观众群体对《秧》打分样本数据的平均数、中位数、众数如表二： 表二 平均数 中位数 众数 现场 7.6 8 c 线上 a b 7 （1）直接写出结果：______，_____； （2）求a的值； （3）小明认为线上观众群体对《秧BOT》打分样本数据更能贴合实际，你同意他的说法吗？简要说明理由． 【答案】（1）7，8 （2） （3）同意他的说法，理由：线上调查的样本容量大，更准确 【解析】 【分析】（1）根据众数、中位数的定义求解即可； （2）根据加权平均数即可得出答案； （3）根据样本估计总体思想求解即可． 本题考查了中位数、众数以及加权平均数，掌握题意读懂统计图是解题的关键． 【小问1详解】 解：∵线上观众打分为6分的占，7分的占， ∴线上打分的中位数分； 现场评分的众数为8分，故， 故答案为：7，8； 【小问2详解】 解：， 线上打分的平均数（分）； 【小问3详解】 解：同意，因为线上观众群体对《秧》打分样本数据样本容量大，更能体现实际情况． 22. 如图，在中，，点D在上，且满足． （1）尺规作图：求作点D；（不写作法，保留作图痕迹） （2）若，求证：． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】（1）构造一对共边的相似三角形求解； （2）先根据，列出比例式，设，再用表示出，，从而可得，再用表示出，进而可表示出，再利用勾股定理的逆定理证明即可． 【小问1详解】 解：如图，点D即为所求作； 理由： ∵，， ∴， ∴， ∴， 即点D即为所求作； 【小问2详解】 ∵， ∴， 设， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ， ∴， ∴，解得：， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，利用相似三角形求作点，勾股定理的定理与逆定理，解题关键是找准相似三角形求解． 23. 如图，矩形中，，，点E在边上运动，点F在上，且，连接，将线段绕点E逆时针旋转，得到线段，点H是的中点，连接． （1）若E为的中点，判断的形状，并说明理由； （2）试探究，随着E的运动，点H的位置的变化规律，并说明理由． 【答案】（1）为等边三角形，理由见解析 （2）H的位置不变，理由见解析 【解析】 【分析】（1）由旋转得到为等边三角形，根据三线合一得到，进而得到，由中点得到，进而得到，因此，进而得到，，进而得到为等边三角形，即可； （2）取中点O，则，连，得到E、H、F、B四点共圆，证明，得到，进而推出，推出，再根据和都在的同侧，得到A，H，C三点共线，即可． 【小问1详解】 解：为等边三角形，理由如下： ∵四边形是矩形， ． 连接， ∵线段绕点E逆时针旋转 ， 为等边三角形， ，， ∵H是的中点， ，， ∴在中，， ∵E为的中点， ， ， ∴在中，， ， ， 在中，， 为等边三角形； 【小问2详解】 H的位置不变； ， 取中点O，则，连， ∴E、H、F、B四点共圆， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ∴在中，， 在中，， ， ∵和都在的同侧， ∴A，H，C三点共线， ∴H的位置不变． 【点睛】本题考查矩形的性质，旋转的性质，等边三角形的判定和性质，解直角三角形，相似三角形的判定和性质，圆内接四边形的性质，熟练掌握相关知识点，是解题的关键． 24. 太阳光线与地面的夹角叫做太阳高度角。冬至是北半球各地白昼时间最短、黑夜最长的一天：夏至是北半球各地黑夜时间最短、白昼最长的一天。设冬至这天正午时刻太阳高度角为，夏至这天正午时刻太阳高度角为．厂家设计了可伸缩抛物线型遮阳棚，其侧面示意图如图1所示．曲线为遮阳棚，为遮阳棚安装在窗户上方的支架，，线段的长度称为遮阳棚的跨度．已知遮阳棚所在的抛物线与抛物线的形状相同． 如图2，为小明家的朝南窗户，测得，，窗户的高度为1.5米．为能最大限度地遮挡夏天炎热的阳光，又能最大限度地使冬天温暖的阳光射入室内，在安装遮阳棚时，需根据实际计算遮阳棚的跨度（的长）． （1）求小明家所需的遮阳棚的跨度； （2）春节前期，小明想在遮阳棚顶部挂一盏高为0.3米的灯笼（如图3）．如图4，灯笼与窗户的水平距离为m米，灯笼的底端（点D）与窗户的上沿（点B）的铅垂高度为n米，灯笼顶端（点C）与悬挂点（点N）的距离为d米．若，，求d的最大值． 【答案】（1）小明家所需的遮阳棚的跨度为2 （2）当时，d取得最大值为0.35 【解析】 【分析】（1）过点M作垂线交于点E，交于点F，根据的高度为1.5米，，可以得到，即可求出的长度，即遮阳棚的跨度； （2）将点N坐标代入得，，令，利用二次函数的性质求解即可． 【小问1详解】 解：过点M作的垂线交于点E，交于点F，如图： ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， ∴小明家所需的遮阳棚的跨度长为； 【小问2详解】 解：以抛物线的顶点为原点，抛物线的对称轴为y轴，建立平面直角坐标系， 依题意可得： 由（1），， ， ， ， ， 由题意得：B到x轴距离为， 则， 将代入， 得， 令， ， ∴开口向下， ∵对称轴为直线，且， ∴当时，w取得最大值为0.45， ， ， ∴当时，d取得最大值为0.35． 【点睛】本题主要考查了二次函数的应用．熟练掌握题目展示素材，待定系数法求函数解析式，二次函数的图象和性质，函数与方程与不等式，锐角三角函数解三角形，是解决问题的关键． 25. 已知内接于，为直径，在延长线上取一点，使得，连接，在下方，作，连接交于点，连接． （1）如图，若． ①求证：是的切线； ②若，求的值； （2）如图，若，时，试探究与的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）①见解析；② （2），理由见解析 【解析】 【分析】（1）①利用直径所对圆周角为直角，结合圆周角定理及已知角的等量关系，推导得出，进而证明是切线． ②先由三角函数和全等三角形得到相关线段关系，再在直角三角形中用勾股定理求出边长，最后根据余弦定义计算． （2）通过构造相等线段的点，利用圆周角、等腰三角形性质推导角的关系，证明三角形全等，结合弧与弦的关系，得出与的数量关系 ． 【小问1详解】 解：①∵为直径， ， ， ， ， ， ∴是的切线 ②， ∴在中， ， 设，则 ∴在中， ∴在中， ∴在中， 【小问2详解】 解： 在上取一点使得 ， ∴设 ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题主要考查圆的性质（直径所对圆周角、圆周角定理、弧与弦的关系）、全等三角形的判定与性质、三角函数定义及切线的判定，熟练掌握圆的性质、全等三角形判定及角的等量代换是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 厦门六中2024~2025学年第二学期九年级中考适应练习数学 本试卷共6页．满分150分 注意事项： 选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号，非选择题答案用0.5毫米黑色签字笔在答题卡相应位置作答，在试卷上答题无效，可以直接使用2B铅笔作图． 一、选择题（本大题有8小题，每小题4分，共32分．每小题都有四个选项，其中有且只有一个选项正确） 1. 下面四个古典园林中的花窗图案，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 体积为8的立方体的棱长是（ ） A. 8的平方根 B. 8的算术平方根 C. 8的立方 D. 8的立方根 4. 如图，将半圆绕直径所在的虚线旋转一周，得到的立体图形是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，将沿方向平移到，若，，则平移距离为（ ）． A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 6. 如图，是一个可折叠衣架，是地平线，当时，就可以确定点、、在同一直线上，这样判定的依据是（　　） A. 过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行 B. 内错角相等，两直线平行 C. 两点确定一条直线 D. 平行于同一直线的两直线平行 7. 如图，在中，的垂直平分线l交于点D．若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 8. 抛物线经过点、、．则下列说法正确的是（ ） A. 顶点可能在第一象限 B. 若，则顶点在第三象限 C. 顶点不可能在第二象限 D. 若，则顶点在第四象限 二、填空题（本大题有8小题，每小题4分，共32分） 9. 实数的相反数为________． 10. 单项式的次数是_______． 11. 已知的边长两边长为2和4，第三边长为偶数，则第三边的值为________． 12. 某校的生物学兴趣小组在相同条件下进行了黄豆发芽试验，并记录了如下结果： 每批粒数n 100 300 400 600 1000 2000 3000 发芽的粒数m 96 282 382 570 948 1908 2850 发芽的频率 0.960 0.940 0.955 0.950 0.948 0.954 0.950 则估计黄豆发芽的概率是______（结果精确到0.01）． 13. 如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点在轴正半轴上，边在轴上，若点的坐标为，点的坐标为，则点的坐标为______． 14. 如图是某高速公路在转向处设计的一段圆曲线（即圆弧），机动车转弯时从曲线起点A行驶至终点B，过点A，B的两条切线相交于点C，机动车在从点A到点B行驶过程中转角为．若这段圆弧的半径，，则图中危险区（阴影部分）的面积为______． 15. 已知实数k、m、n，满足，．若m，n异号，则k的取值范围为______． 16. 如图，已知点，，是轴上位于点上方的一点，平分，平分，直线交于点．若反比例函数的图象经过点，则的值为______． 三、解答题（本大题有9小题，共86分） 17. 计算：． 18. 如图，在中，延长对角线至点E，延长至点F，且．求证：四边形是平行四边形． 19. 先化简， 再求值：，其中． 20. 年，掀起全球热潮，其发布的开源大模型堪称“低成本，高效率”的典范，为世界贡献了“中国智慧”．已知某公司拥有甲、乙两个数据中心，甲数据中心通过应用，使其数据迁移速度提升至乙数据中心的倍，且甲数据中心迁移数据比乙数据中心迁移数据所需时间少小时． （1）分别求甲、乙两个数据中心的数据迁移速度（单位：小时）； （2）现公司要求甲、乙两个数据中心协同完成一项紧急任务，共用小时至少完成的数据迁移，且同一时间只能一个数据中心工作，试问：不考虑其他因素，甲数据中心至少需要工作多少小时？ 21. 2025年春晚节目《秧》以机器人表演传统秧歌为主题，广受好评．演出结束后，节目组随机抽取了50名现场观众进行评分，同时统计出5000名线上观众评分（满分10分）．并根据得分绘制了以下不完整的统计图： 两个观众群体对《秧》打分样本数据的平均数、中位数、众数如表二： 表二 平均数 中位数 众数 现场 7.6 8 c 线上 a b 7 （1）直接写出结果：______，_____； （2）求a的值； （3）小明认为线上观众群体对《秧BOT》打分样本数据更能贴合实际，你同意他的说法吗？简要说明理由． 22. 如图，在中，，点D在上，且满足． （1）尺规作图：求作点D；（不写作法，保留作图痕迹） （2）若，求证：． 23. 如图，矩形中，，，点E在边上运动，点F在上，且，连接，将线段绕点E逆时针旋转，得到线段，点H是的中点，连接． （1）若E为的中点，判断的形状，并说明理由； （2）试探究，随着E的运动，点H的位置的变化规律，并说明理由． 24. 太阳光线与地面的夹角叫做太阳高度角。冬至是北半球各地白昼时间最短、黑夜最长的一天：夏至是北半球各地黑夜时间最短、白昼最长的一天。设冬至这天正午时刻太阳高度角为，夏至这天正午时刻太阳高度角为．厂家设计了可伸缩抛物线型遮阳棚，其侧面示意图如图1所示．曲线为遮阳棚，为遮阳棚安装在窗户上方的支架，，线段的长度称为遮阳棚的跨度．已知遮阳棚所在的抛物线与抛物线的形状相同． 如图2，为小明家的朝南窗户，测得，，窗户的高度为1.5米．为能最大限度地遮挡夏天炎热的阳光，又能最大限度地使冬天温暖的阳光射入室内，在安装遮阳棚时，需根据实际计算遮阳棚的跨度（的长）． （1）求小明家所需的遮阳棚的跨度； （2）春节前期，小明想在遮阳棚顶部挂一盏高为0.3米的灯笼（如图3）．如图4，灯笼与窗户的水平距离为m米，灯笼的底端（点D）与窗户的上沿（点B）的铅垂高度为n米，灯笼顶端（点C）与悬挂点（点N）的距离为d米．若，，求d的最大值． 25. 已知内接于，为直径，在延长线上取一点，使得，连接，在下方，作，连接交于点，连接． （1）如图，若． ①求证：是的切线； ②若，求的值； （2）如图，若，时，试探究与的数量关系，并说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $