精品解析：江苏省宿迁市经济技术开发区2024—2025学年八年级下学期期中考试数学试卷

2024－2025学年度初二年级第二学期期中试卷 数学试卷 试卷满分：150分 考试时间：120分钟 一、单选题（本大题共8小题，每题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的，请将正确选项填涂在答题纸相应位置上） 1. 下列图形中，既是轴对称又是中心对称图形的是（　 　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查轴对称及中心对称的定义，掌握中心对称图形与轴对称图形的概念是解题的关键． 根据轴对称图形与中心对称图形的概念逐选项判断即可． 【详解】解：A．是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； B．既是轴对称图形又是中心对称图形，符合题意； C．不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意； D．是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意． 故选：B． 2. 下列各式中，从左到右的变形正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了分式的基本性质，解题的关键是理解分式基本性质的适用条件，即分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变． 根据分式的基本性质，对每个选项逐一进行分析判断． 【详解】A、到，分子分母不是同时乘或除以同一个不为0的整式，不符合分式的基本性质，该变形错误． B、，根据分式基本性质，分子分母同时除以，结果应为，而不是，该变形错误． C、到，分子分母不是同时除以同一个不为0的整式，相当于分子除以，分母除以），不符合分式的基本性质，该变形错误． D、，因为（分母不为0），根据分式的基本性质，分子分母同时除以，得到，该变形正确． 故选：D． 3. 下列二次根式中，最简二次根式是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了最简二次根式，满足以下两个条件：①被开方数不含分母；②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，像这样的二次根式叫做最简二次根式，分母中含有二次根式的也不是最简二次根式，由此判断即可，熟练掌握最简二次根式的定义并能灵活运用是解决此题的关键． 【详解】解：A、是最简二次根式，故此选项符合题意； B、被开方数含有分母，不是最简二次根式，故此选项不符合题意； C、分母中含有二次根式，不是最简二次根式，故此选项不符合题意； D、被开方数含有能开得尽方的因数4，不是最简二次根式，故此选项不符合题意； 故选：A． 4. 在，，，中，与是同类二次根式的有几个（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据同类二次根式的定义解答即可． 【详解】=2，被开方数是2，与不是同类二次根式； =2，被开方数是3，与是同类二次根式； =3，被开方数是2，与不是同类二次根式； =4，被开方数是3，与是同类二次根式； 所以与是同类二次根式有，； 故选：B． 【点睛】考查了同类二次根式的定义，即化成最简二次根式后，被开方数相同的二次根式叫做同类二次根式． 5. 汽车雨刮器是扫除车窗玻璃上妨碍视线的雨雪和尘土的重要工具，通常两个雨刮器的刷片长度相同，即.某时刻汽车雨刮器的位置如图所示，此时，则下列说法错误的是（ ） A. 四边形是平行四边形 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，先根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可得：四边形是平行四边形，然后利用平行四边形的性质即可解答． 【详解】解：， ， 又， 四边形平行四边形， ，，， 故选项B错误，符合题意； 故选：B． 6. 下列语句正确的是（ ） A. 对角线互相垂直的四边形是菱形 B. 邻边相等的菱形是正方形 C. 矩形的对角线相等 D. 平行四边形是轴对称图形 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了菱形的判定，矩形的判定与性质，平行四边形的性质及轴对称图形，掌握相关知识是解题的关键． 根据菱形的判定，矩形的判定与性质，正方形的判定和性质，平行四边形的性质逐一分析即可， 【详解】解：A、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故选项不符合题意； B、邻边相等的菱形不一定是正方形，故选项不符合题意； C、矩形的对角线相等，说法正确，故选项符合题意； D、平行四边形不轴对称图形，故选项不符合题意； 故选：C 7. 如图，菱形中，E、F分别是、的中点，若，则菱形的周长是（    ） A. 12 B. 16 C. 20 D. 24 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查三角形的中位线和菱形的性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 利用三角形的中位线定理以及菱形的性质进行计算即可． 【详解】∵E、F分别是、的中点 ∴是的中位线， ∴， ∴菱形的周长为． 故选：D． 8. 如图，在中，，，，为边上一动点于，于，为中点，当点从点运动到点，点运动的路径长为（ ） A. 3 B. 4 C. 4.8 D. 5 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了矩形的判定与性质、勾股定理的逆定理以及三角形的中位线定理，取的中点，取的中点，连接，可推出四边形是矩形，得到M为的中点；进而可得当点P从点B运动到点C，点M从点运动到点，据此即可求解． 【详解】解：取的中点，取的中点，连接，如图所示： ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴四边形是矩形， ∵M为的中点， ∴M为的中点， ∴当点P从点B运动到点C，点M从点运动到点， ∵的中点为，的中点为， ∴是的中位线， ∴， 即：点M运动的路径长为5， 故选：D 二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．不需要写出解答过程，请把答案直接填写在答题纸相应位置上） 9. 化简：______． 【答案】3 【解析】 【分析】根据算术平方根的概念求解即可． 【详解】解：因为32=9， 所以=3． 故答案为：3． 【点睛】此题主要考查了算术平方根的意义，关键是确定被开方数是哪个正数的平方． 10. 计算：______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次根式的除法，根据二次根式除法法则运算解题即可． 【详解】解：， 故答案为：． 11. 如果有意义，那么的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，根据二次根式有意义的条件及分式有意义的条件可得，进而求出x的取值范围即可． 【详解】解：∵有意义， ∴， 解得， 故答案为：． 12. 比较大小：______（请填写“>”、“<”或“=”）． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了实数大小比较，将两个无理数平方即可比较出大小． 【详解】解：，， ∵， ∴， 故答案为：． 13. 若分式的值为0，则x的值是___________． 【答案】1 【解析】 【分析】要使该分式有意义，且分式的值为0，则要使分母不为0，分子为0，即，且x≠0，即可求出x的值． 【详解】解：∵要使该分式有意义，且分式的值为0， ∴分母不为0，分子为0，即，且x≠0， 解得：x=1， 故答案：1． 【点睛】此题主要考查了分式的值为零的条件，需同时具备两个条件：（1）分子为0；（2）分母不为0，这两个条件缺一不可． 14. 在中，点在对角线上，过作，，记四边形的面积为，四边形的面积为，则与的大小关系是___________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，解题关键点是掌握平行四边形对角线平分四边形面积．先证四边形和四边形都是平行四边形，再利用平行四边形对角线平分 四边形面积即可． 【详解】解：因，在 中，点P在对角线AC上，过P作，， 所以，四边形边形和四边形都是平行四边形， 所以， ，，， 所以， ， 所以，，即： 故答案为：． 15. 如图，在矩形中，，对角线与相交于点O，，垂足为E，若，则的长是_________． 【答案】 【解析】 【分析】由题意可知垂直平分，得到，再由矩形的性质推出，即可证明是等边三角形，则，，由此利用勾股定理求解即可． 【详解】解：∵， ， ∴垂直平分， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质，等边三角形的性质与判定，线段垂直平分线的性质，勾股定理，证明是等边三角形是解题的关键． 16. 如图，在中，是线段的垂直平分线，点是线段的中点，其中，，则的周长为_________． 【答案】18 【解析】 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质及三角形中位线的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质及三角形中位线的性质是解题的关键．根据垂直平分线的性质得到，根据中位线的性质可得，进而求解即可． 【详解】解：∵是线段的垂直平分线， ∴， ∵点是线段的中点，点是线段的中点， ∴， ∴的周长． 故答案为：18． 17. 如图，在中，平分．点，分别是的中点，则的长为____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是全等三角形的判定与性质、勾股定理的应用、三角形的中位线的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质、勾股定理的应用、三角形的中位线的性质是解题的关键．过点作于点，先证明，可得，，设，则，在中，，从而得出，解出方程，再利用三角形中位线的性质求解即可． 【详解】解：如图，过点作于点， 在中，，，， ， 是的平分线， ， 在和中， ， ， ，， ， 设，则， 在中，， 解得：， ， 点，分别是的中点， ， 故答案为：． 18. 如图，在边长为的正方形中，点，分别是边，的中点，连接，，点，分别是，的中点，连接，则的长度为______． 【答案】2 【解析】 【分析】连接并延长交于，连接，根据正方形的性质得到，，，根据全等三角形的性质得到，根据勾股定理和三角形的中位线定理即可得到结论． 【详解】解：连接并延长交于，连接， 四边形是正方形， ，，， ，分别是边，的中点， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 点，分别是，的中点， ； 故答案为：2． 【点睛】本题考查了勾股定理，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，正确的识别图形是解题的关键． 三、解答题（本大题共10小题，共96分．请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 19. 计算： （1）． （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，掌握二次根式的性质是解题关键． （1）先根据二次根式的性质化简和计算乘除法，最后计算加减法即可 （2）先根据完全平方公式和平方差公式展开，然后加减解题即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： 20. 化简： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了分式的混合运算，解题的关键是掌握分式的基本运算法则和运算顺序． （1）先通分，然后加减约分化为最简分式即可； （2）先通分化为同分母的分式加减解题即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： 21 先化简，再求值：，其中 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查分式的化简求值，先把分式通分相加，然后约分化为最简分式，再代入x的值解答即可． 【详解】解： ， 当时，原式． 22. 如图，在中，点E，F分别在BC，AD上，且BE=FD，求证：四边形AECF是平行四边形． 【答案】见解析 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质可得AF∥EC．AF=EC，然后根据平行四边形的定义即可证得． 【详解】证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，AD=BC， ∴AF∥EC， ∵BE=FD， ∴BC-BE=AD-FD， ∴AF=EC， ∴四边形AECF是平行四边形． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质与判定，熟练掌握平行四边形的性质，证出AF=EC是解决问题的关键． 23. 如图，在中，平分，交于点，平分，交于点． （1）求证：； （2）若，求证：四边形是矩形． 【答案】（1）见详解 （2）四边形是矩形 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，矩形的判定，等腰三角形的性质，角平分线的定义等知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键． （1）由平行四边形的性质得出，由角平分线的定义得出，则，可证出结论； （2）由等腰三角形的性质得出，则可得出结论． 【小问1详解】 证明：四边形是平行四边形， ，， ， 平分，平分， ，， ， ∴， 又， 四边形是平行四边形． ． 【小问2详解】 证明：，平分， ， 又四边形是平行四边形， 四边形是矩形． 24. 如图，在四边形中，与交于点，，，平分． （1）求证：四边形是菱形； （2）为上一点，连接，若，，，求菱形的面积． 【答案】（1）答案见详解； （2） 【解析】 【小问1详解】 证明：∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， 又∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴平行四边形是菱形； 【小问2详解】 解：由（1）可知，四边形是菱形， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得： ， ∴， ∴菱形的面积． 25. 如图，已知△ABC的三个顶点坐标为A（－2，3）、B（－6，0）、C（－1，0）． （1）请画出△ABC关于坐标原点O的中心对称图形△A′B′C′，并写出点A的对应点A′的坐标； （2）若将点B绕坐标原点O逆时针旋转90°，请直接写出点B的对应点B"的坐标； （3）请直接写出：以A、B、C为顶点的平行四边形的第四个顶点D的坐标． 【答案】（1）画图见解析，（2，-3）；（2）（0，-6）；（3）（3，3）或（-7，3）或（-5，-3） 【解析】 【分析】（1）利用关于原点对称点的性质得出对应点位置进而得出答案； （2）直接利用旋转的性质得出对应点坐标即可； （3）利用平行四边形的性质得出对应点位置即可． 【详解】解：（1）如图所示：△A′B′C′，即为所求，A′（2，-3）； 故答案为：（2，-3）； （2）B″（0，-6）； 故答案为：（0，-6）； （3）如图，第四个顶点D的坐标为（3，3）或（-7，3）或（-5，-3）． 【点睛】此题主要考查了旋转变换以及中对称图形的性质，得出对应点位置是解题关键． 26. 如图，在平面直角坐标系中，，点点． （1）点的坐标为_____； （2）点是线段上一动点．若是等腰三角形，请求出所有符合要求的点的坐标； （3）已知直线正好将分成面积相等的两部分．请确定和的关系式． 【答案】（1） （2）或 （3） 【解析】 【分析】（1）根据题意求出，根据平行四边形的性质得到，于是得到点B的坐标； （2）设，根据当，当，和三种情况分类讨论即可； （3）连接交于，根据平行四边形的性质得到，求得，即可得到结论． 【小问1详解】 解：点A坐标是，点O坐标是， ， 平行四边形是平行四边形， ， ， ； 【小问2详解】 解：点是线段上一个动点， 设， 是等腰三角形， ①当时， ， ； ②当时，则点在的垂直平分线上， ； ③时， ， （不符合题意，舍去）， 综上所述，或； 【小问3详解】 解：如图：连接交于， 平行四边形， 点A坐标是，点坐标是， ， 由于正好将平行四边形分成面积相等的两部分， 直线过， ， ， 故． 【点睛】本题主要考查了待定系数法求一次函数解析式，平行四边形的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，熟练掌握性质定理是解题的关键． 27. 数形结合就是把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来，通过“以形助数”或“以数解形”可以使复杂问题简单化，抽象问题具体化．从而起到优化解题途径的目的． （1）【经历体验】已知，均为正实数、且，求的最小值． 通过分析，小明想到了利用下面的构造解决此问题：如图，，，，，，点是线段上的动点，且不与端点重合，连接，，设，． ①用含的代数式表示______，用含的代数式表示______； ②据此写出的最小值是______； （2）【类比应用】根据上述的方法，代数式的最小值是______； （3）【感悟探索】 ①已知，，为正数，且，试运用构图法，画出图形，并写出的最小值； ②若，为正数，试运用构图法，直接写出以，，为边的三角形的面积是______． 【答案】（1）①， ② （2） （3）① ② 【解析】 【分析】本题是三角形的综合题，考查了轴对称-最短路线问题：灵活运用两点之间线段最短或垂线段最短解决此类问题.也考查了勾股定理和类比的方法. （1）①利用勾股定理可得和的长； ②利用三角形三边的关系得到(当且仅当、、共线时取等号) ，过点作于点，则四边形是矩形，利用勾股定理计算出长即可； （2）利用（1）中的方法画出图形，设 则利用勾股定理得到， 根据三角形三边的关系得到而 (当且仅当、、共线时取等号)，过点作于点，则四边形是矩形，利用勾股定理计算出长即可； （3）①利用类比的方法，仿照（1）的方法画出边长为的正方形，再利用两点之间线段最短即可得出结论； ②利用类比的方法，仿照（1）的方法画出边长，的长方形，利用勾股定理构图解答即可. 【小问1详解】 解：①，， 故答案为：，； ②连接， 由①可得， ∵(当且仅当、、共线时取等号)， ∴最小值为长， 过点作于点，则四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， ∴的最小值是， 故答案为：； 【小问2详解】 解：根据（1）可得，作，，，，，点是线段上的动点，连接，，设，． ∴，， ∴， 连接， ∵(当且仅当、、共线时取等号)， ∴最小值为长， 过点作于点，则四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， ∴的最小值是， 故答案为：； 【小问3详解】 ①解：画出边长为的正方形，在边上截取出长为，，的线段，作图如下： 则，， ， 利用两点之间线段最短可知：(当且仅当、、、共线时取等号) ， ， 的最小值为， 的最小值为； ②分别以，为边长作出矩形，则，取，的中点为， 连接， ，， 如图， 则，， ，， ∴以为边的三角形的面积， ， ∴以为边的三角形的面积为， 故答案为： ． 28. （1）问题背景：如图1，点，分别在正方形的边，上，，为的中点，求证：； （2）变式关联：如图2，点在正方形内，点在直线的上方，，，为的中点，求证：． （3）拓展应用：如图3，正方形的边长为2，在线段上，在线段上，，直接写出的最小值． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质，直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题. （1）证明 由全等三角形的性质得出； （2）延长交于， 交于，证明， 由全等三角形的性质得出， 则可得出结论； （3）过点作， 且使， 连接，， 过点作， 交的延长线于点，证明， 由全等三角形的性质得出，， 即当， ， 三点共线时，的最小值为，求出即可得出答案. 【详解】（1）证明：∵四边形是正方形， ， ， ， ； （2）证明： 延长交于， 交于， ∵四边形为正方形， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ， ∴； （3）过点作， 且使， 连接，， 过点作， 交的延长线于点， ∵， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ， ∴， 即当， ，三点共线时，的最小值为， ∵， ， ， 的最小值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024－2025学年度初二年级第二学期期中试卷 数学试卷 试卷满分：150分 考试时间：120分钟 一、单选题（本大题共8小题，每题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的，请将正确选项填涂在答题纸相应位置上） 1. 下列图形中，既是轴对称又是中心对称图形的是（　 　） A. B. C. D. 2. 下列各式中，从左到右的变形正确的是（ ） A B. C. D. 3. 下列二次根式中，最简二次根式是（ ） A. B. C. D. 4. 在，，，中，与是同类二次根式的有几个（ ） A. B. C. D. 5. 汽车雨刮器是扫除车窗玻璃上妨碍视线的雨雪和尘土的重要工具，通常两个雨刮器的刷片长度相同，即.某时刻汽车雨刮器的位置如图所示，此时，则下列说法错误的是（ ） A. 四边形是平行四边形 B. C. D. 6. 下列语句正确的是（ ） A. 对角线互相垂直的四边形是菱形 B. 邻边相等的菱形是正方形 C. 矩形的对角线相等 D. 平行四边形是轴对称图形 7. 如图，菱形中，E、F分别是、的中点，若，则菱形的周长是（    ） A. 12 B. 16 C. 20 D. 24 8. 如图，在中，，，，为边上一动点于，于，为中点，当点从点运动到点，点运动的路径长为（ ） A. 3 B. 4 C. 4.8 D. 5 二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．不需要写出解答过程，请把答案直接填写在答题纸相应位置上） 9. 化简：______． 10 计算：______． 11. 如果有意义，那么取值范围是______． 12. 比较大小：______（请填写“>”、“<”或“=”）． 13. 若分式的值为0，则x的值是___________． 14. 在中，点在对角线上，过作，，记四边形的面积为，四边形的面积为，则与的大小关系是___________． 15. 如图，在矩形中，，对角线与相交于点O，，垂足为E，若，则的长是_________． 16. 如图，在中，是线段的垂直平分线，点是线段的中点，其中，，则的周长为_________． 17. 如图，在中，平分．点，分别是的中点，则的长为____． 18. 如图，在边长为的正方形中，点，分别是边，的中点，连接，，点，分别是，的中点，连接，则的长度为______． 三、解答题（本大题共10小题，共96分．请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 19. 计算： （1）． （2） 20. 化简： （1） （2） 21 先化简，再求值：，其中 22. 如图，在中，点E，F分别在BC，AD上，且BE=FD，求证：四边形AECF是平行四边形． 23. 如图，在中，平分，交于点，平分，交于点． （1）求证：； （2）若，求证：四边形是矩形． 24. 如图，在四边形中，与交于点，，，平分． （1）求证：四边形是菱形； （2）为上一点，连接，若，，，求菱形的面积． 25. 如图，已知△ABC的三个顶点坐标为A（－2，3）、B（－6，0）、C（－1，0）． （1）请画出△ABC关于坐标原点O的中心对称图形△A′B′C′，并写出点A的对应点A′的坐标； （2）若将点B绕坐标原点O逆时针旋转90°，请直接写出点B的对应点B"的坐标； （3）请直接写出：以A、B、C为顶点的平行四边形的第四个顶点D的坐标． 26. 如图，在平面直角坐标系中，，点点． （1）点坐标为_____； （2）点是线段上一动点．若是等腰三角形，请求出所有符合要求的点的坐标； （3）已知直线正好将分成面积相等的两部分．请确定和的关系式． 27. 数形结合就是把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来，通过“以形助数”或“以数解形”可以使复杂问题简单化，抽象问题具体化．从而起到优化解题途径的目的． （1）【经历体验】已知，均为正实数、且，求的最小值． 通过分析，小明想到了利用下面的构造解决此问题：如图，，，，，，点是线段上的动点，且不与端点重合，连接，，设，． ①用含的代数式表示______，用含的代数式表示______； ②据此写出的最小值是______； （2）【类比应用】根据上述的方法，代数式的最小值是______； （3）【感悟探索】 ①已知，，为正数，且，试运用构图法，画出图形，并写出的最小值； ②若，为正数，试运用构图法，直接写出以，，为边的三角形的面积是______． 28. （1）问题背景：如图1，点，分别在正方形的边，上，，为的中点，求证：； （2）变式关联：如图2，点在正方形内，点在直线的上方，，，为的中点，求证：． （3）拓展应用：如图3，正方形的边长为2，在线段上，在线段上，，直接写出的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$