3.2 整式的加减 课件 -2025-2026学年北师大版数学七年级上册

3.2 整式的加减 1 1. 什么是单项式? 怎样判断单项式的系数和次数? 2. 什么是多项式? 怎样判断多项式的项和次数? 3. 什么是整式? 知识回顾 3.2 整式的加减 第1课时 合并同类项 3.2 整式的加减 1. 什么是同类项? 2. 合并同类项的法则是怎样的? 3. 合并同类项的法则的依据是什么? 4. 合并同类项在代数式的求值中可以起到什么作用？ 新课导入 3.2 整式的加减 图 3-6中的长方形由两个小长方形组成。 新课讲解 3.2 整式的加减 (1) 利用图 3-6 化简 8n＋5n，并用运算律解释你的化简结果。 8n 5n 13n 长方形的面积：8n＋5n＝13n 你能用运算律解释这个式子吗？ 3.2 整式的加减 (2) 你能用类似的方法化简 2xy＋3xy 及 －7a2b＋2a2b 吗? 2xy＋3xy＝(2＋3) xy＝5xy。 －7a2b＋2a2b ＝(－7＋2) a2b ＝－5a2b。 3.2 整式的加减 所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项，叫作同类项。 如 8n 与 5n，2xy与3xy，－7a2b与 2a2b 。 3.2 整式的加减 根据乘法对加法的分配律可得 8n＋5n＝(8＋5)n＝13n， 2xy＋3xy＝(2＋3)xy＝5xy， －7ab＋2a2b＝(－7＋2)a2b＝－5a2b。 字母可以和数一样进行运算。 3.2 整式的加减 把同类项合并成一项叫做合并同类项. 8n＋5n＝13n －7a2b＋2a2b＝－5a2b 2xy＋3xy＝5xy 3.2 整式的加减 像 8n 与 5n，2xy 与 3xy，－7ab 与 2ab 这样所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项，叫作同类项(like terms)。 把同类项合并成一项叫作合并同类项 (unite like terms)。例如， 8n＋5n＝13n，2xy＋3xy＝5xy，－7ab＋2a2b＝－5ab。 3.2 整式的加减 例1 根据乘法对加法的分配律合并同类项： (1) －xy2＋3xy2； (2) 7a＋3a2＋2a－a2＋3。 解：(1) －xy2＋3xy2＝(－1＋3)xy2＝2xy2； (2) 7a＋3a2＋2a－a2＋3 ＝ (7a＋2a)＋(3a2－a2)＋3 ＝ (7＋2)a＋(3－1)a＋3 ＝ 9a＋2a＋3。 3.2 整式的加减 合并同类项时，把同类项的系数相加，字母和字母的指数不变。 3.2 整式的加减 ① 找：找出同类项 ② 移：运用加法运算律将同类项结合 ③ 合：合并同类项 ④ 排：结果可按某一字母升(降)幂排列，常数项写在最后 合并同类项的步骤 3.2 整式的加减 例2 合并同类项： (1) 3a＋2b－5a－b； (2) －4ab＋b2－9ab－b2 。 解：3a＋2b－5a－b ＝ (3a－5a)＋(2b－b) ＝ (3－5)a＋(2－1)b ＝－2a＋b； 解：－4ab＋b2－9ab－b2 ＝ (－4ab－9ab)＋(b2－b2) ＝ －13a－ b2。 3.2 整式的加减 合并同类项应注意的问题： ① 运用交换律、结合律将多项式变形时，不能丢掉各项系数的符号； ② 不要漏项； ③ 运算结果通常按某一字母的降幂 (或升幂) 排列。 3.2 整式的加减 尝试·交流 求代数式－3x2y＋5x－0.5x2y＋3.5x2y＝2 的值，其中 x＝－，y＝7。说说你是怎么做的，并与同伴进行交流。 3.2 整式的加减 1. 合并同类项： (1) 3f＋2f－7f； (2) 3pq＋7pq＋4pq＋pq； 随堂练习 3.2 整式的加减 (3) 2y＋6y＋2xy－5； (4) 3b－3a3＋1＋a3－2b。 3.2 整式的加减 2. 下列各题的结果是否正确? (1) 3x＋3y＝6xy； (2) 7x－5x＝2x2； 解：不正确，3x 与 3y 不是同类项，不能合并。 解：不正确，合并同类项时，只把同类项的系数相加，字母和字母的指数不变，正确结果应为 2x。 3.2 整式的加减 (3) －y2－y2＝0； (4) 19a2b－9ab2＝10。 解：合并同类项时，只把同类项的系数相加，字母和字母的指数不变，正确结果应为－2y2。 解：19a2b 与－9ab2 不是同类项，不能合并。 3.2 整式的加减 3. 求下列各式的值： (1) 8p2－7q＋6q－7p2－7，其中 p＝3，q＝3； 8p2－7q＋6q－7p2－7 ＝ (8－7) p2 ＋ (－7＋6)q－7 ＝ p2－q－7. 当 p＝3，q＝3 时，原式 ＝ 32－3－7＝－1. 3.2 整式的加减 (2) m－n－n－m，其中 m＝6，n＝2。 3.2 整式的加减 法则 (“一相加两不变”) 合并同类项 ①系数相加； ②字母与字母的指数不变。 步骤 一找、二移、三合、四排 同类项 两相同 两无关 ①所含字母相同； ②相同字母的指数相同。 ①与系数大小无关； ②与所含相同字母的顺序无关。 课堂小结 3.2 整式的加减 第2课时 去括号 3.2 整式的加减 1. 去括号时运用的是什么运算律? 2. 去括号时符号的变化规律是怎样的? 3. 去括号时要注意什么? 4. 关于整式的运算，我们已经学过了哪两种法则? 新课导入 3.2 整式的加减 在上一节用小棒拼摆正方形时，我们得到了几个不同的代数式： x＋x＋(x＋1)，4＋3(x－1)，4x－(x－1)，3x＋1。 它们都表示拼摆 x 个正方形所需小棒的根数，因此应该相等。对此，你能用运算律加以解释吗? 与同伴进行交流。 新课讲解 3.2 整式的加减 上下两排分别用了x 根小棒，竖直方向用了(x＋1) 根小棒，搭x个正方形共用了[x＋x＋(x＋1)] 根小棒。 3.2 整式的加减 第一个正方形用 4 根，每增加一个正方形增加 3 根，那么搭 x 个正方形就需要 [4＋3(x－1)]根小棒. 3.2 整式的加减 把每一个正方形看成是用 4 根小棒搭成的，然后再减多算的根数，那么搭 x 个正方形共用了[4x－(x－1)] 根小棒. 3.2 整式的加减 第一个正方形可以看成是1根小棒加3根小棒搭成的．此后每增加一个正方形就增加3根小棒，搭x个正方形共需 (3x＋1) 根. 3.2 整式的加减 [4＋3(x－1)] 4x－(x－1) (3x＋1) 这四个代数式相等吗？ [x＋x＋(x＋1)] 3.2 整式的加减 利用乘法对加法的分配律去括号，可得 x＋x＋(x＋1)＝x＋x＋x＋1 ＝ 3x＋1； 4＋3(x－1)＝4＋3x－3＝3x＋1； 4x－(x－1) ＝ 4x＋(－1)(x－1) ＝ 4x＋(－1)x＋(－1)×(－1) ＝ 4x－x＋1 ＝ 3x＋1。 3.2 整式的加减 三个代数式都可化为 3x＋1 的形式，因此，这四个代数式是相等的。 x＋x＋(x＋1) ＝ 3x＋1； 4＋3(x－1)＝3x＋1； 4x－(x－1) ＝ 3x＋1。 3.2 整式的加减 尝试·交流 利用乘法对加法的分配律将下列各式去括号。去括号前后，括号里各项的符号有什么变化? 与同伴进行交流。 (1) a＋(b＋c)； (2) a－(b＋c)； (3) a＋(b－c)； (4) a－(b－c)。 3.2 整式的加减 (1) a＋(b＋c)； (2) a－(b＋c)； (3) a＋(b－c)； (4) a－(b－c)。 ＝a＋b＋c； ＝a－b－c； ＝a＋b－c； ＝a－b＋c； 原括号内的各项符号都不改变 原括号内的各项符号都要改变 3.2 整式的加减 去括号法则 括号前是“＋”，把括号和它前面的“＋”去掉后，原括号里各项的符号都不改变； 括号前是“－”，把括号和它前面的“－”去掉后，原括号里各项的符号都要改变。 3.2 整式的加减 例3 化简下列各式： (1) 4a－(a－3b)； (2) a＋(5a－3b)－(a－2b)； (3) 3(2xy－y)－2xy； (4) 5x－y－2(x－y)。 解：(1) 4a－(a－3b)＝4a－a＋3b＝3a＋3b； (2) a＋(5a－3b)－(a－2b)＝a＋5a－3b－a＋2b＝5a－b； (3) 3(2xy－y)－2xy＝(6xy－3y)－2xy＝6xy－3y－2xy＝4xy－3y； (4) 5x－y－2(x－y)＝5x－y－(2x－2y)＝5x－y－2x＋2y＝3x＋y。 3.2 整式的加减 思考·交流 你认为去括号时要注意什么? 与同伴进行交流。 去括号时应注意，括号里的各项是否需要变号。 3.2 整式的加减 1. 化简下列各式： (1) 8x－(－3x－5) ＝_________________________________； (2) (3x－1)－(2－5x) ＝_______________________________； (3) (－4y＋3)－(－5y－2) ＝___________________________； (4) 3x＋1－2(4－x) ＝________________________________。 11x＋5 8x－3 y＋5 5x－7 随堂练习 3.2 整式的加减 2. 下列各式一定成立吗? (1) 3(x＋8)＝3x＋8； (2) 6x＋5＝6(x＋5)； 解：不成立，因为 3 应与括号内每一项都相乘，应该是 3(x＋8)－3x＋24. 解：不成立，应该是 6x＋5＝6(x＋) 3.2 整式的加减 (3) －(x－6)＝－x－6； (4) －a＋b＝－(a＋b)。 解：不成立，因为括号前是“一”，去掉括号时，原括号里各项的符号都要改变，应该是 －(x－6) ＝－x＋6. 解：不成立，应该是－a＋b＝(－a－b). 3.2 整式的加减 去括号 去括号法则 解题步骤 括号前面是“＋”“原括号里各项的符号都不改变 ①乘系数 ②去括号 ③合并同类项 括号前面是“－”，原括号里各项的符号都要改变 课堂小结 3.2 整式的加减 第3课时 去括号 3.2 整式的加减 1. 整式的加减运算主要用到哪两个法则？ 2. 你是如何进行整式的加减运算的？ 新课导入 3.2 整式的加减 按照下面的步骤做一做： (1) 任意写一个两位数； (2) 交换这个两位数的十位数字和个位数字，又得到一个数； (3) 求这两个数的和。 再写几个两位数重复上面的过程。这些和有什么规律?这个规律对任意一个两位数都成立吗? 新课讲解 3.2 整式的加减 12，21 12＋21＝33 23，32 23＋32＝55 62，26 62＋26＝88 ……. 发现这些和都是11的倍数。 猜想这个规律对任意一个两位数都成立。 3.2 整式的加减 如果用 a，b 分别表示一个两位数的十位数字和个位数字，那么这个两位数可以表示为 10a＋b。交换这个两位数的十位数字和个位数字，得到的数是 10b＋q。这两个数相加： (10a＋b)＋(10b＋a)＝_____________________。 根据运算结果，你能解决上面的问题吗? 11a－11b＝11(a＋b) 3.2 整式的加减 尝试·思考 3.2 整式的加减 用 a，b，c 分别表示一个三位数的百位数字、十位数字和个位数字，按照教材中的步骤可以列出： (100a＋10b＋c)－(100c＋10b＋a) ＝99a－99c＝99(a－c). 也就是说，任意一个三位数，经过上述运算步骤得到的两个数相减后的结果一定是 99 的倍数。 两个数相减后的结果有什么规律? 这个规律对任意一个三位数都成立吗? 3.2 整式的加减 思考·交流 在上面的两个问题中，分别涉及整式的什么运算? 说一说你是如何运算的，并与同伴进行交流。 进行整式加减运算时，如果遇到括号要先去括号，再合并同类项。 3.2 整式的加减 例4 计算： (1) 2x2－3x＋1 与 －3x2＋5x－7 的和； 解：(2x2－3x＋1)＋(－3x2＋5x－7) ＝ 2x2－3x＋1－3x2＋5x－7 ＝ 2x2－3x2－3x＋5x＋1－7 ＝－x2＋2x－6； 3.2 整式的加减 (2) －x2＋3xy－y2 与－x2＋4xy－y2 的差。 解：(－x2＋3xy－y2 )－(－x2＋4xy－y2 ) ＝ －x2＋3xy－y2＋x2－4xy＋y2 ＝ －x2＋x2＋3xy－4xy－y2＋y2 ＝－x2－xy＋y2。 3.2 整式的加减 1. 计算： (1) (4k2＋7%)＋(－k2＋3k－1)； (2) (5y＋3x－15z2)－(12y＋7x＋z2 )； (3) 7(p3＋p2－p－1)－2(p3＋p)； (4) －(＋m2n＋m3)－(－m2n－m3)。 随堂练习 3.2 整式的加减 (1) (4k2＋7%)＋(－k2＋3k－1)； (2) (5y＋3x－15z2)－(12y＋7x＋z2 )； 解：原式＝4k2＋7k－k2＋3k－1＝3k2＋10k－1； 解：原式＝ 5y＋3x－15z2－12y－7x－z2＝－7y－4x－16z2； 3.2 整式的加减 (3) 7(p3＋p2－p－1)－2(p3＋p)； (4) －(＋m2n＋m3)－(－m2n－m3)。 解：原式＝7p3＋7p2－7p－7－2p3－2p＝5p3＋7p2－9p－7； 解：原式＝－－m2n－m3－＋m2n＋m3＝－1。 3.2 整式的加减 先去括号，再合并同类项 先根据题意列代数式， 再按法则进行运算 法则 应用 整式的加减 课堂小结 3.2 整式的加减 习题 3.2 3.2 整式的加减 〉〉知识技能 1. 合并同类项： (1) x－f＋5x－4f； (2) 2a＋3b＋6a＋9b－8a＋12b； 解：原式＝(1＋5)x＋(－1－4)f＝6x－5f. 解：原式＝(2＋6－8)a＋(3＋9＋12)b＝24b. 3.2 整式的加减 (3) 30a2b＋2b2c－15a2b－4b2c； (4) 7xy－8wx＋5xy－12xy。 解：原式＝(30－15)a2b＋(2－4)b2c ＝15a2b－2b2c. 解：原式＝(7＋5－12)xy－8wx＝－8wx. 3.2 整式的加减 2. 求下列各式的值： (1) 6x＋2x－3x＋x＋1，其中 x＝－5； 解：6x＋2x2－3x＋x2＋1 ＝ (6x－3x)＋(2x2＋x2)＋1 ＝ 3x＋3x2＋1. 当 x＝－5 时， 原式 ＝3×(－5)＋3×(－5)2＋1＝－15＋75＋1＝61. 3.2 整式的加减 (2) 4x＋3xy－x－9，其中 x＝2，y＝－3； 解：4x2＋3xy－x2－9 ＝ (4x2－x2)＋3xy－9 ＝ 3x2＋3xy－9. 当 x＝5，y＝－3 时， 原式＝3×22＋3×2×(－3)－9＝12－18－9＝－15. 3.2 整式的加减 (3) 3pq－m－4pg，其中 m＝5，p＝，q＝－。 解： 3pq－m－4pg ＝ (3pq－4pg)－m ＝ －pq－m. 当 m＝5，p＝，q＝－ 时， 原式 ＝－×(－)－×5＝－4＝－. 3.2 整式的加减 3. 填空： (1) 一个长方形的宽为 a cm，长比宽的 2 倍多 1 cm，这个长方形的周长为__________cm。 (2) 三个连续整数中，n 是最小的一个，这三个数的和为_______。 (6a＋2) 3n＋3 3.2 整式的加减 (3) 某景点的成人票价是每张 20 元，儿童票价是每张 8 元。甲旅行团有 x 名成人和 y 名儿童；乙旅行团的成人数是甲旅行团的 2 倍，儿童数是甲旅行团的 。两个旅行团的门票费用总和为_____________ 元。 (60x＋12y) 3.2 整式的加减 4. 某种工形零件尺寸如图所示。 (1) 你能表示出 AB 的长度吗？ 解：x＋x＋0.5x＝2.5x， 故 AB 的长度是 2.5x。 3.2 整式的加减 (2) 阴影部分的周长是多少? (3) 阴影部分的面积是多少? 解：y＋y＋3y＋3y＋2×2.5x＝8y＋5x， 故阴影部分的周长是 8y＋5x. 解：y·2.5x＋3y·0.5x＝2.5xy＋1.5xy＝4xy， 故阴影部分的周长是 8xy. 3.2 整式的加减 5. 化简下列各式： (1) 3(xy－2z)＋(－xy＋3z)； (2) －4(pg＋pr)＋(4pq＋pr)； 解：原式＝－4pq－4pr＋4pq＋pr＝－3pr. 解：原式＝3xy－6z－xy＋3z＝2xy－3z. 3.2 整式的加减 (3) (2x－3y)－(5x－y)； (4) －5(x－2y＋1)－(1－3x＋4y)； 解：原式＝2x－3y－5x＋y＝－3x－2y. 解：原式＝－5x＋10y－5－1＋3x－4y＝－2x＋6y－6. 3.2 整式的加减 (5) (2a2b－5ab)－2(－ab－a2b)； (6) 1－3(x－y2)＋(－x＋y2)。 解：原式＝2a2b－5ab＋2ab＋2a2b＝4a2b－3ab. 解：原式＝1－3x＋y2－x＋y2＝2y2－4x＋1. 3.2 整式的加减 6. 计算： (1) (3x2＋2xy－x)－(2x2－xy＋x)； (2) (xy＋y2＋1)＋(x2－xy－2y2－1)； 解：原式＝3x2＋2xy－x－2x2＋xy－x ＝x2＋3xy－x. 解：原式＝xy＋y2＋1＋x2－xy－2y2－1＝x2－y2. 3.2 整式的加减 (3) －(x2y＋3xy－4)＋3(x2y－xy＋2)； (4) －(2k3＋4k－28)＋(k3－2k2＋4k)。 解：原式＝－x2y－3xy＋4＋3x2y－3xy＋6＝2x2y－6xy＋10. 解：原式＝－k3－k2＋7＋k3－k2＋2k＝－2k2＋2k＋7. 3.2 整式的加减 7. 求下列各式的值： (1) 3x2－(2x2＋5x－1)－(3x＋1)，其中 x＝10； 解：原式＝3x2－2x2－5x＋1－3x－1＝x2－8x. 当 x＝10 时， 原式＝102－8×10＝20. 3.2 整式的加减 (2) (xy－y－)－(xy－x＋1)，其中 x＝，y＝； 解： 3.2 整式的加减 (3) 4y2－(x＋y)＋(x2－4y2)，其中 x＝－28，y＝18。 解：原式＝4y2－x2－y＋x2－4y2＝－y. 当 x＝－28，y＝18 时，原式＝－18. 3.2 整式的加减 〉〉数学理解 8. 请写出 2xyz3 的几个同类项。 解：xyz3，5xyz3，xyz3 等. (答案不唯一) 3.2 整式的加减 9. 张老师让同学们计算“当 a＝0.25，b＝－0.37 时，代数式 a2＋a(a＋b)－2a2－ab 的值”。小刚说，不用 a，b 的值就可以求出结果。你认为他的说法有道理吗? 解：有道理. 因为 a2＋a(a＋b)－2a2－ab＝a2＋a2＋ab－2a2－ab＝0， 所以无论 a，b 取何值，代数式 a2＋a(a＋b)－2a2－ab 的值都为 0，所以小刚的说法有道理。 3.2 整式的加减 〉〉问题解决 10. 小华为一个长方形休闲场所提供了如图所示的设计方案，其中半圆形休息区和长方形游泳区外的地方都是绿地。 3.2 整式的加减 如果这个休闲场所需要有一半以上的绿地，并且它的长与宽之间满足 a＝b，而小华设计的 m，n 分别是a，b的，那么他的设计方案符合要求吗? 请你为这个休闲场所提供一个既符合要求又美观的设计方案。 3.2 整式的加减 所以小华的设计方案符合要求。设计方案略。 3.2 整式的加减 11. 从 1~9这九个数字中选择三个数字，由这三个数字可以组成六个两位数先把这六个两位数相加，然后再用所得的和除以所选三个数字之和。你发现了什么? 请解释其中的道理。 解：商均为 22. 道理：假设这三个数字分别为 a，b，c，则这三个数字可组成的六个两位数分别为 10a＋b，10b＋a，10a＋c，10c＋a，10b＋c，10c＋b， 3.2 整式的加减 这六个两位数相加，得(10a＋b)＋(10b＋a)＋(10a＋c)＋(10c＋a)＋(10b＋c)＋(10c＋b)＝22(a＋b＋c)， 再除以所选三个数字之和，得 ＝22. 3.2 整式的加减 ※ 12. 对于 3×9＝27，可以用 10 个手指直观地展示出来：如图，将两手平伸，手心向上，从左边开始数至第 3 个手指，将它弯起，此时它的左边有 2 个手指，右边有 7 个手指，“27”正是“3×9”的结果。类似地，1×9＝9，2×9＝18，4×9＝36，······，9×9＝81 也可以用手指直观地展示出来。请用本章学过的知识解释其中的道理。 略 3.2 整式的加减 课堂总结 3.2 整式的加减 本课结束 $$