3.2整式的加减（分层作业·思维拔高，9大题型）数学新教材北师大版七年级上册

分层作业 3.2 整式的加减 A组|理解层级|巩固过关；B组|掌握层级|能力进阶；C组|运用层级|思维拔高 目 录 C组 思维拔高 题型01 整式中不含某项问题 题型02 与字母取值无关问题 题型03 不含某项问题 题型04 与字母取值无关问题 题型05 整式加减中与某个字母无关问题 题型06 整式加减与数轴、绝对值的结合 题型07 利用整式加减进行推理 题型08 利用整式加减解决数字问题 题型09 利用整式加减进行新定义运算 整式中不含某项问题题型01 1．（24-25七年级·山西吕梁·月考）化简时，琳琳将看成了它的相反数，最终她的化简结果不含项，则正确的化简结果为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了整式的加减中不含项问题，熟练掌握解题的基本思路是解题的关键．先合并同类项，确定项的系数，根据题意，求得m值，化简即可得到最后的答案． 【详解】解：又∵琳琳将看成了它的相反数，最终她的化简结果不含项， ∴琳琳的计算过程为：， ∴， ， ∴正确的化简结果为， 故选：D． 2．（25-26七年级上·重庆·期中）已知关于的代数式的结果不含项，则______． 【答案】3 【分析】本题主要考查了整式加减中的无关型问题，把所给多项式合并同类项，根据合并同类项的结果不含项，得到含项的系数为0，据此求解即可． 【详解】解：， ∵关于的代数式的结果不含项， ∴， ∴， 故答案为：3． 3．已知关于x的多项式不含三次项和一次项，求的值． 【答案】8 【分析】直接利用多项式中不含三次项和一次项，进而得出m，n的值，即可得出答案． 【详解】解： ， 由题意，得，， 所以，． 则． 【点睛】此题主要考查了多项式，正确得出m，n的值是解题关键． 4．已知多项式． (1)先简化，再求值，其中，； (2)若多项式M与字母x的取值无关，求y的值． 【答案】(1)5xy＋2y－2x＋1， (2) 【分析】（1）首先去括号整理、合并同类项即可化简多项式，再将和的值代入计算出最终结果即可．（2）“多项式M与字母x的取值无关”就是说多项式M化简后不含有的项，故将（1）中多项式化简结果进行简单整理，令含有的项系数为零，即，解出的值就得到了本题答案． 【详解】（1）解： 当，时， 原式 （2） M与字母x的取值无关， ， 解得 ． 【点睛】本题考查了多项式的化简及代入求值，牢固掌握多项式化简去括号、合并同类项等步骤正确化简多项式是做出本题的关键． 5．（25-26·期末）已知关于x，y的多项式． (1)若该多项式不含三次项，求m的值； (2)在（1）的条件下，当，时，求这个多项式的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了整式加减运算，代数式求值，熟练掌握整式加减运算法则，是解题的关键． （1）根据整式加减运算法则，将原式变形为，再根据该多项式不含三次项得出，求出结果即可； （2）将，整体代入求值即可． 【详解】（1）解： ， ∵该多项式不含三次项， ∴， ∴． （2）解：∵，， ∴ ． 与字母取值无关问题题型02 1．小嘉同学命制了一道数学练习题：“已知关于的多项式的值与的取值无关，求的值．”，则（   ） A．1 B． C．0 D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了整式加减中的无关型问题，代数式求值，把所给多项式合并同类项，再根据多项式的值与x的取值无关得到含x的项的系数为0，据此求出p、q的值即可得到答案． 【详解】解：． ∵关于的多项式的值与的取值无关 ，且， ∴，， ∴ ， 故选：B． 2．（25-26七年级上·福建莆田·期末）已知无论取什么值，多项式的值都等于定值6，则的值为_____． 【答案】2 【分析】本题主要考查了整式加减混合运算，熟练掌握整式加减混合运算法则是解题的关键． 先对原多项式进行整式的加减运算并合并同类项，再根据多项式的值为定值的条件，确定含与的项的系数为0，求出、的值后计算． 【详解】解： ∵无论，取什么值，多项式的值都等于定值6， ∴， 解得， ∴． 故答案为：2 3．已知A=-3x2+3x+1，B=2x2+2mx-1，且2A+3B的值与x无关，求m的值． 【答案】-1 【分析】把A与B代入2A+3B中，去括号合并得到最简结果，由结果与x值无关，求出m的值即可． 【详解】解：把A=-3x2+3x+1，B=2x2+2mx-1代入得： 2A+3B=2（-3x2+3x+1）+3（2x2+2mx-1）=（6m+6）x-1， 由结果与x无关，得到6m+6=0， 解得：m=-1． 【点睛】此题考查了整式的加减，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 4．已知代数式4x2+ax﹣y+5﹣2bx2+7x﹣6y﹣3的值与x的取值无关，求代数式a3﹣2b2+3b3的值． 【答案】-33. 【分析】根据整式的运算法则即可求出答案． 【详解】解：原式＝4x2﹣2bx2+ax+7x﹣y﹣6y﹣3+5 ＝(4﹣2b)x2+(a+7)x﹣7y+2 由题意可知：4﹣2b＝0，a+7＝0， ∴a＝﹣7，b＝2， ∴原式＝×(﹣7)3﹣2×4+3×8 ＝﹣49﹣8+24 ＝﹣33． 【点睛】考查合并同类项，解题的关键是熟练运用合并同类项的法则，本题属于基础题型． 5．（25-26七年级上·贵州贵阳·期末）李老师让同学们计算“当时，代数式的值”．小红的做法如下： 解： ① ② 当时， 原式 ③ (1)小红的做法从第______步开始出错（填序号）； (2)小星说，不用的值就可以求出结果．你认为他的说法有道理吗？请说明理由． 【答案】(1)① (2) 解：小星的说法有道理．理由如下： 原式， ∵化简后结果为，与的取值无关， ∴不用的值就可以求出结果． 【分析】本题考查整式的加减运算，关键是掌握去括号法则与合并同类项的方法，通过正确化简判断代数式的值是否与变量有关． （1）根据去括号法则，判断小红的去括号步骤是否正确； （2）正确化简代数式，观察化简结果是否含变量，从而判断小星的说法是否合理． 【详解】（1）解：小红在第①步去括号时，应化为，但她错误写成，因此从第①步开始出错． 故答案为：①； （2）略 不含某项问题题型03 1．若多项式不含的项，则k的值是（    ） A．0 B． C．6 D．3 【答案】D 【分析】本题考查了多项式的不含有项的问题，熟练掌握合并同类项，令系数为零是解题的关键．先合并同类项，令的系数为零，求解即可． 【详解】解：多项式不含的项， ∴， ∴， 故选：D． 2．（25-26七年级上·四川达州·期末）已知关于x，y的多项式与的差不含二次项，则________． 【答案】 【分析】本题主要考查了整式的加减运算、多项式的项与次数的概念，熟练掌握不含某一项即该项系数为0的解题方法是解题的关键． 先求出两个多项式的差，再根据差不含二次项这一条件，令二次项的系数为0，解出和的值，最后代入计算结果． 【详解】解： ， 差不含二次项，解得， ， 故答案为：． 3．（24-25七年级上·上海·期中）已知整式，整式，且的结果中不含的一次项，求值． 【答案】 【分析】本题主要考查了整式加减运算中的无关项问题，根据题意先计算，再根据题意令的一次项系数为，即可求解． 【详解】解：∵整式，整式， ∴ ， ∵的结果中不含的一次项， ∴， 解得：． 4．（24-25七年级上·湖北武汉·期中）多项式与多项式A的和为．式子不含一次项（t为常数）． (1)求多项式A． (2)求t的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查整式的加减，解题的关键是熟练运用整式的加减运算法则． （1）根据题意列出算式即可求出答案； （2）令多项式中含有x的一次项系数之和为零即可求出t的值． 【详解】（1）解： ； （2）， ∵不含一次项， ∴， ∴． 5．（24-25七年级上·四川遂宁·期中）已知，． (1)若为最小的正整数，且，求； (2)若的结果中不含一次项和常数项，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查整式的加减运算，代数式求值，解题的关键是掌握整式的加减运算法则． （1）根据为最小的正整数，且，可以得到：，，进而得到，即可求解； （2）先计算的结果，让一次项的系数为，常数项也为，可求得、，再代入式子可求得结果． 【详解】（1）解：为最小的正整数， ， ， ， 解得：， ， （2） 的结果中不含一次项和常数项， ，， 解得：，， ， ， ， ． 与字母取值无关问题题型04 1．（24-25七年级上·河南郑州·月考）已知，，若的值与a的取值无关，则b的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查整式的加减-化简求值．将化为，即可得，求出的值即可． 【详解】解： ∵的值与的取值无关， ， 解得：． 故选：C． 2．若代数式化简后不含二次项，则______． 【答案】9 【分析】本题考查了整式加减中的无关型问题；把代数式合并同类项后，由题意二次项系数为0，即可求得k值． 【详解】解：， 由于不含二次项，则， ∴； 故答案为：9． 3．（25-26七年级上·甘肃兰州·期末）已知． (1)求； (2)若的值与a的取值无关，求b的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了整式的加减，熟练掌握其运算方法是解题的关键． （1）将代数式代入计算即可； （2）根据取值与无关，推出合并同类项以后含的式子的系数为0即可解题． 【详解】（1）解： ； （2）解：由（1）知， ∵其值与的取值无关， ∴， 解得． 4．（25-26七年级上·湖南长沙·期末）已知 (1)若，求的值； (2)若的值与a的取值无关，求b的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了整式的加减—化简求值，无关型问题，绝对值的非负性，熟练掌握整式的加减运算法则是解题关键． （1）先根据绝对值和平方的非负性求出，再化简，然后代入求值即可； （2）由（1）得，再令，即可求解． 【详解】（1）解：， ∴， 解得 ∵， ∴ ， ； （2）解：由（1）得， ∵的值与a的取值无关， ∴， 解得 5．（25-26七年级上·吉林通化·期中）有这样一道题：“当，时，求代数式：的值”；小明细算了一下，提出题中所给的条件，是多余的，请你认真计算一下，认为他的说法是否有道理？ 【答案】 小明的说法有道理，理由如下： 原式， 结果与，的取值无关，所以题中给出的条件“，”是多余的， 故小明的说法有道理． 【分析】本题主要考查了整式的加减法，其运算法则：一般地，几个整式相加减，如果有括号就先去括号，然后再合并同类项；掌握整式加减的运算法则是解题关键．原式合并同类项得到最简的结果，即可进行判断． 【详解】略 整式加减中与某个字母无关问题题型05 1．下列式子中，结果正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据合并同类项法则，逐项判断即可求解． 【详解】解：A．，故该选项错误，不符合题意； B．，故该选项错误，不符合题意； C．，故该选项错误，不符合题意； D．，故该选项正确，符合题意； 故选：D． 【点睛】此题考查了合并同类项的法则，属于基础题，解答本题的关键是掌握合并同类项：把同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变． 2．（24-25七年级上·安徽桐城·期末）某同学把错抄为，若正确答案为，抄错后的结果为，则_____________． 【答案】 【分析】本题考查的是用字母表示数，整式的加减运算，理解题意，列出正确的运算式是解题的关键．设框表示的数为再表示正确的结果为： ，抄错后的结果为： ，再列式计算即可． 【详解】解：设框表示的数为， 则正确的结果为： ， 抄错后的结果为：， ， 故答案为： 3．若多项式的值与字母x无关，试求多项式的值． 【答案】 【分析】本题考查整式加减无关型，整式加减化简求值，掌握整式加减运算法则是解题的关键． 先化简，利用无关型求出，，再化简所求的整式，最后代入计算即可． 【详解】 ， ∵多项式的值与字母x无关， ∴，， ，， 把，代入原式． 4．小丽放学回家后准备完成下面的题目： 化简，发现系数“□”印刷不清楚 (1)她把“□”猜成3，请你化简 (2)她妈妈说：你猜错了．我看到该题的答案是6．通过计算说明原题中“□”是几？ 【答案】(1) (2)5 【分析】（1）去括号，合并同类项即可； （2）设“□”为a，去括号化简，可知化简结果与二次项无关，即可求解． 【详解】（1）解： ； （2）设“□”为a， 即有：， ∵化简的结果为6， ∴的结果与二次项无关，即二次项的系数为0， ∴，即， 答：“□”是5． 【点睛】本题主要考查了整式的加减以及合并同类项的知识，灵活运用合并同类项的知识是解答本题的关键． 5．（24-25七年级上·江苏镇江·期中）已知，小明在计算时，误将其按计算，结果得到． (1)求代数式B的表达式； (2)若的值与无关，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了整式的加减． （1）根据代入计算即可； （2）由的值与无关得，得出y的值，再代入计算即可． 【详解】（1）解：由题意得：， ； （2）解：由题意得：， 的值与x无关， ， 解得：， ． 整式加减与数轴、绝对值的结合题型06 1．下列说法中正确的是（    ） ①若一个数的绝对值等于它本身，则这个数一定是正数； ②有理数的绝对值一定是正数； ③如果，那么； ④没有最小的有理数，也没有绝对值最小的有理数． A．③ B．③④ C．②④ D．①③ 【答案】A 【分析】本题考查了求一个数的绝对值，带有字母的绝对值化简问题，有理数的分类，有理数大小比较，解题关键是掌握上述性质，并能熟练运用求解． 根据求一个数的绝对值，带有字母的绝对值化简问题，有理数的分类，有理数大小比较，对四个说法逐一分析，再作判断． 【详解】解：①因为0的绝对值是它本身，所以若一个数的绝对值等于它本身，则这个数一定是正数，这个说法错误； ②因为0的绝对值是0，所以有理数的绝对值一定是正数，这个说法错误； ③如果，那么，这个说法正确； ④因为绝对值最小的有理数是0，所以没有最小的有理数，也没有绝对值最小的有理数，这个说法错误． 故选：A． 2．有理数a，b，c在数轴上的位置如图，所示，化简：______． 【答案】 【分析】此题考查了数轴，以及绝对值，根据数轴上点的位置判断绝对值里边式子的正负，原式利用绝对值的代数意义化简，去括号合并即可得到结果． 【详解】解：根据数轴上点的位置得：，且， ，，， 则原式． 故答案为：． 3．（25-26七年级上·陕西延安·期末）有理数，，在数轴上的位置如图所示，化简：． 【答案】 【分析】本题主要考查了绝对值化简，整式加减运算，熟练掌握绝对值意义，是解题的关键．先根据数轴得出，从而得出，，再化简绝对值即可． 【详解】解：由数轴，知， 所以，， 所以原式． 4．有理数a、b、c在数轴上的位置如图． (1)用“”或“”填空： 0， 0， 0． (2)化简：． 【答案】(1)，， (2) 【分析】题考查了有理数大小比较及数轴，根据数轴上点的位置关系找出a、b、c、0之间的大小关系是解题的关键. （1）根据数轴上点的位置即可得出a、b、c及0之间的大小关系，此题得解； （2）由（１）知，，再确定，最后进行化简即可． 【详解】（1）解：根据数轴得：，， ∴，，， 故答案为：，， （2）解：由数轴可知，，． ∴原式 ． 5．（25-26七年级上·江苏宿迁·期中）有理数a，b在数轴上的位置如图所示： (1)用“”或“”填空：________0，________0； (2)化简：． 【答案】(1)，； (2) 【分析】本题主要考查数轴上有理数的表示，绝对值的意义及有理数的运算，熟练掌握数轴上有理数的表示，绝对值的意义及有理数的运算是解题的关键； （1）由数轴可得，，且，然后问题可求解； （2）由（1）及结合绝对值的意义可进行求解． 【详解】（1）解：由数轴可得，，且， ，； 故答案为：，； （2）解： ． 利用整式加减进行推理题型07 1．（25-26七年级上·广西崇左·月考）设，，若x取任意有理数，则的值（    ） A．大于0 B．等于0 C．小于0 D．无法确定 【答案】A 【分析】本题主要考查整式的加减运算，熟练掌握整式的加减运算是解题的关键；计算并化简得到，由x取任意有理数可知，然后问题可求解． 【详解】解：∵，， ∴ ； ∵x取任意有理数， ∴， ∴， ∴； 故选A． 2．（25-26七年级上·江西宜春·期末）已知，则______． 【答案】 14 【分析】本题考查了代数式求值，将表达式变形为，然后代入已知条件进行计算． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：14． 3．扑克牌游戏： 小明背对小亮，让小亮按下列四个步骤操作： 第一步 分发左、中、右三堆牌，每堆牌的张数相同，且不少于两张； 第二步 从左边一堆拿出两张，放入中间一堆； 第三步 从右边一堆拿出一张，放入中间一堆； 第四步 左边一堆有几张牌，就从中间一堆拿几张牌放入左边一堆．这时，小明准确说出了中间一堆牌现在的张数．你认为中间一堆牌现在的张数是多少？说明你的理由． 【答案】5 【分析】设初始每堆都有x张牌，记下每一步后每堆牌的数量变化求答． 【详解】解：设第一步时候，每堆牌的数量都是x（x≥2）； 第二步时候：左边x﹣2，中间x+2，右边x； 第三步时候：左边x﹣2，中间x+3，右边x﹣1； 第四步开始时候，左边有（x﹣2）张牌，则从中间拿走（x﹣2）张，则中间所剩牌数为（x+2+1）﹣（x﹣2）=x+3﹣x+2=5． 所以中间一堆牌此时有5张牌． 【点睛】解决此题，根据题目中所给的数量关系，建立数学模型．根据运算提示，找出相应的等量关系． 4．（25-26七年级上·江苏南通·期中）若一个两位数的十位、个位上的数字分别为x，y，则通常记这个两位数为．于是．显然，9x能被3整除，因此若能被3整除，那么就能被3整除，即能被3整除． (1)若，请判断能否被3整除，并说明理由； (2)请探究能被哪个数整除，并说明理由． 【答案】(1)能， 理由：， ，则， 6能被3整除， ∴能被3整除； (2)11， 理由：， 为整数， ∴能被11整除． 【分析】（1）根据题意和整数的整除性质可得到结论； （2）根据题意和整数的整除性质可得到结论． 本题考查整式的加减运算． 【详解】（1）略 （2）略 5．有这样一个问题：将一个两位数的十位上的数与个位上的数交换位置，得到一个新数，那么这个新数与原数的和能被11整除吗？ 下面是小明的探究过程，请补充完整： (1)举例：例①，；例②，；例③____________． (2)说理：设一个两位数的十位上的数是a，个位上的数是b，那么这个两位数可表示为____________．依题意得到的新数可表示为____________． 通过计算说明这个两位数与得到的新数的和能否被11整除：______________． (3)结论：将一个两位数的十位上的数与个位上的数交换位置，得到一个新数，那么这个新数与原数的和______（填“能”或“不能”）被11整除． 【答案】(1)答案不唯一，如：， (2)，，能被11整除 (3)能 【分析】（1）根据题意举例即可； （2）首先表示出这个两位数和得到的新数，然后列式求解即可； （3）根据（2）的结论求解即可． 【详解】（1）答案不唯一，例如：，． （2）这个两位数可表示为． 依题意得到的新数为． 这个两位数与得到的新数的和为：， 所以，这个和是11的倍数． 所以，这个和能被11整除． （3）由（2）可得，将一个两位数的十位上的数与个位上的数交换位置，得到一个新数，那么这个新数与原数的和能被11整除． 故答案为：能． 【点睛】本题考查了列代数式，整式的加减计算，解题的关键是掌握两位数的表示方式：十位数字×10＋个位数字． 利用整式加减解决数字问题题型08 1．（25-26七年级上·河北张家口·期末）一个两位数的十位数字是，个位数字比十位数字大2（小于10），交换这个两位数的十位数字和个位数字，得到新的两位数，则与的差不能被下面的数整除的是（     ） A．2 B．6 C．7 D．9 【答案】C 【分析】本题考查整式加减运算的应用，列代数式，先用含a的式子表示出M和N的十位数字、个位数字，进而表示出，即可求解． 【详解】解：∵两位数的十位数字是，个位数字比十位数字大2， ∴， ∵交换这个两位数的十位数字和个位数字，得到新的两位数， ∴， ∴， ∵与的差被2，6，9整除，不能被7整除． 故选：C 2．甲、乙、丙三个同学做游戏，他们同时从写有整数（）的三张卡片中各拿一张，获得与卡片上的数字相同数量的糖果后完成一次游戏，然后再按照此方式继续进行这个游戏．如果他们做了次游戏后，甲共获得颗糖果，乙共获得颗糖果，丙共获得颗糖果，并且知道在最后一次游戏中，丙拿到的是写有整数的卡片，那么的值为____________；第一次游戏时，乙拿到的卡片上写有的整数是____________．（填“”，“”或“”） 【答案】 【分析】本题考查了有理数的混合运算，整式的混合运算，理解数量关系，掌握整式的运用方法是解题的关键． 根据题意可得，，结合均为正整数，可确定的取值范围，再根据每次游戏可能得结果进行推测即可求解． 【详解】解：根据题意得，， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∵， ∴，且为正整数， 当时，，不符合题意； 当时，， ∵是正整数， ∴为正整数， ∴当时，， ∵丙共获得11颗糖果，且 设丙在三次游戏中拿到的卡片值分别为，则， ∴，则 甲共获得 颗糖果，最大可能和为 ∴，且为正整数， ∴， ∴ ∵ ∴ ∴， ∴， ∴ ∴, ∴丙在三次游戏中拿到的卡片值分别为，， 共 甲的糖果总和为：则至少两次拿到 因为乙共获得颗糖果，所以乙不可能拿到写有整数的卡片， 则乙在第1次游戏中拿到的卡片上写的整数只能是； 故答案为：，． 3．一个三位数，它的百位数字、十位数字和个位数字分别为，，，若将这个三位数的百位数字与个位数字交换，得到一个新的三位数. (1)计算所得的新数与原数的差； (2)这个差能被99整除吗？说明理由. 【答案】(1) (2) 这个差能被99整除，理由如下： ， 这个差能被99整除． 【分析】（1）先列出原数和新数，再用新数减去原数即可； （2）根据所得的差数的特点即可得到结论． 【详解】（1）解：根据题意，原数为：， 新数为：， 新数与原数的差为：； （2）略 【点睛】本题主要考查了列代数式，数的整除，正确列出原数和新数是解题的关键． 4．（24-25七年级上·河北邯郸·期末）有一个数学游戏，如图1，一个数从A，B，C三个位置中任选一个位置出发，按照通道内标注的要求进行运算后到下一个位置．例如：将3按照 (或)的顺序进行运算，是将数据3经过“乘以”的运算得出结果． (1)将按照的顺序进行运算，列出算式并求出运算结果； (2)小明发现将一个数按照的顺序进行第一次运算得到的结果比这个数按照的顺序进行第二次运算得到的结果永远大12．请验证这个结论． 【答案】(1)； (2) 设A表示的数为x根据题意，得的算式为： ． 根据题意，得的算式为：， ， 又 ． 故结论正确． 【分析】（1）根据设定的运算法则列式，根据有理数的混合运算解答即可； （2）根据列式，去括号，合并同类项，比较结果解答即可． 【详解】（1）解：根据题意，得， 又． （2）略 【点睛】本题考查了有理数的混合运算，列代数式，去括号，合并同类项熟练掌握运算法则是解题的关键． 5．（24-25七年级上·上海·月考）如果一次整式，，存在与的和与的倍的差为一个常数，即满足：．我们称一次整式，，为常数的“族和差整式”． 例如：在一次整式，，中存在， 我们就称一次整式，，为常数4的“2族和差整式”． (1)一次整式，，为常数2的“3族和差整式”，请求出这个一次整式． (2)类似的，我们规定一次整式满足与的差与的倍的和为一个常数，我们称一次整式，，为常数的“族差和整式”．已知一次整式为，均为常数），为，，以及，的一次项系数分别，． 为了研究与的数量关系，小滨同学想到了从特殊到一般的研究过程，所以他设计了如下的表格： 2 2 3 3 请同学们先完成表格，再写出与的数量关系是________． 【答案】(1)一次整式是或或 (2)，． 【分析】本题考查了新定义，整式的加减运算，以及观察推理能力，关键是要理解新定义，并能正确的解题． （1）根据新定义：一次整式，，为常数2的“3族和差整式”，分别进行讨论，得到等式，再化简得到结果； （2）依新定义：一次整式，，为常数的“族差和整式”，得到，化简得到表格中结果；经过观察，可得到． 【详解】（1）解：一次整式，，为常数2的“3族和差整式”， 有， ， ， ， 一次整式是； 或有， ， ， ， 一次整式是； 或有， ， ， ， 一次整式是； 综上所述，一次整式是或或； （2）解：依题意，， 2 2 3 3 ， ， ， ， 表格中依次填写：， 故答案为：； 经观察表格中，对应的数字： ， ， 可得到， 与的数量关系是， 故答案为：． 利用整式加减进行新定义运算题型09 1．已知代数式，在代数式中，任取两项与代数式中任意两项进行替换，A、B替换后的结果分别记作，这样的替换称做一次“替换运算”．例如：在代数式中选取第一项和第三项与代数式中的第一项和第三项进行替换，得到；再选取中的第一项和第三项与代数式中的第二项和第三项进行替换，得到，对代数式A、B进行次“替换运算”，替换后的结果记作，当的项数小于两项时，则替换停止．下列说法： ①存在“替换运算”，使得； ②当时，的最小值为1； ③所有的共有8种不同的运算结果． 其中正确的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】本题主要考查了整式的加减计算，由于代数式A中有三项，所以任取两项有三种取法，同理代数式B中任取两项也有三种取法，那么得到一共有九种“替换运算”，根据题意求出这九种“替换运算”后的结果，进而求出的结果即可得到答案． 【详解】解：在代数式中选取第一项和第二项与代数式中的第一项和第二项进行替换，得到，此时； 在代数式中选取第一项和第三项与代数式中的第一项和第二项进行替换，得到，此时； 在代数式中选取第二项和第三项与代数式中的第一项和第二项进行替换，得到，此时； 在代数式中选取第一项和第二项与代数式中的第一项和第三项进行替换，得到，此时； 在代数式中选取第一项和第三项与代数式中的第一项和第三项进行替换，得到，此时； 在代数式中选取第二项和第三项与代数式中的第一项和第三项进行替换，得到，此时； 在代数式中选取第一项和第二项与代数式中的第二项和第三项进行替换，得到，此时； 在代数式中选取第一项和第三项与代数式中的第二项和第三项进行替换，得到，此时； 在代数式中选取第二项和第三项与代数式中的第二项和第三项进行替换，得到，此时； ∴不存在“替换运算”，使得，故①错误； ∵或或或或或或或， ∴当时，的最小值为1；所有的共有8种不同的运算结果，故②③正确； 故选C． 2．（25-26八年级上·重庆·期中）一个四位自然数M的千位为a，百位为b，十位为c，个位为d，其中a、b、c、d互不相同且均不为0，小明发现部分M满足，他称这样的四位数为“小明数”．例如：四位数3762，因为，3762是“小明数”．最大的“小明数”是_____；去掉十位数字c得到新三位数，则满足为正整数的最小“小明数”是_____ 【答案】 8712 1287 【分析】本题考查了新定义，列代数式，整式的加减，理解“小明数”的定义是解题的关键．根据题意可知最大的“小明数”千位为8，进而得出根据a、b、c、d互不相同且均不为0，得出；根据题意， ，代入，结合其结果为正整数，进而得出能被10整除，然后分类讨论，即可求解． 【详解】解：①∵， ∴， ∴， ∵a、b、c、d互不相同且均不为0， ∴时，最大， ∴， ∴， ∴最大的“小明数”是； ②M为四位数，则， ∵去掉十位数字c得到新三位数， ∴， ∵， ∴， ∴， 代入， 则， ∵为正整数，， ∴能被10整除， 设 当时，，无正整数解， 当时，，无正整数解， 当时，，当时，满足条件，此时最小， ∴， 则满足为正整数的最小“小明数”是1287． 故答案为：1287． 3．（1）已知，A＝2x2+3xy﹣2x﹣1，B＝﹣x2﹣xy+1，若3A+6B的值与x的取值无关，求y的值． （2）定义新运算“@”与“⊕”：a@b＝，a⊕b＝． 若A＝3b@（﹣a）+a⊕（2﹣3b），B＝a@（﹣3b）+（﹣a）⊕（﹣2﹣9b），比较A和B的大小． 【答案】（1）y＝2；（2）A＜B． 【分析】（1）把A=2x2+3xy-2x-1，B=-x2-xy+1，代入3A+6B计算后，使x的系数为0即可； （2）根据新定义的运算进行计算即可． 【详解】解：（1）∵A＝2x2+3xy﹣2x﹣1，B＝﹣x2﹣xy+1， ∴3A+6B ＝3（2x2+3xy﹣2x﹣1）+6（﹣x2﹣xy+1） ＝6x2+9xy﹣6x﹣3﹣6x2﹣6xy+6 ＝3xy﹣6x+3 ＝（3y﹣6）x+3， ∵与x的取值无关， ∴3y﹣6＝0， 即y＝2； （2）A＝3b@（﹣a）+a⊕（2﹣3b）＝， B＝a@（﹣3b）+（﹣a）⊕（﹣2﹣9b）＝ ＝3b+1， ∵3b﹣1＜3b+1， ∴A＜B 【点睛】本题考查整式的加减，有理数的运算，理解新定义的运算是正确解答的关键． 4．（24-25七年级上·江西吉安·期中）定义一种新运算“”：，比如：． (1)求的值； (2)若，，计算． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查有理数的混合运算，整式的加减．读懂题意，掌握新定义运算的运算法则是解题关键． （1）根据新定义的运算法则计算即可； （2）根据新定义的运算法则确定A和B，然后计算即可得出答案． 【详解】（1）解：． （2）解：， ， ， ∴． 5．（25-26七年级上·河北唐山·月考）对于任意四个有理数a，b，c，d，可以组成两个有理数对与．规定：，如：，根据上述规定解决下列问题： (1)有理数对______． (2)若有理数对的值与x的取值无关，求k的值． 【答案】(1)19 (2) 【分析】本题考查了新定义，涉及整式的加减运算，有理数的混合运算，解题的关键是正确理解新定义． （1）根据新定义得到原式，即可求解； （2）根据新定义得到，然后根据整式的加减运算法则计算，再使项前的系数为0求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，原式， 故答案为：； （2）解：由题意得， 由结果与x取值无关，得到 即． 试卷第1页（共3页） 1/1 学科网（北京）股份有限公司 $ 分层作业 3.2 整式的加减 A组|理解层级|巩固过关；B组|掌握层级|能力进阶；C组|运用层级|思维拔高 目 录 C组 思维拔高 题型01 整式中不含某项问题 题型02 与字母取值无关问题 题型03 不含某项问题 题型04 与字母取值无关问题 题型05 整式加减中与某个字母无关问题 题型06 整式加减与数轴、绝对值的结合 题型07 利用整式加减进行推理 题型08 利用整式加减解决数字问题 题型09 利用整式加减进行新定义运算 整式中不含某项问题题型01 1．（24-25七年级·山西吕梁·月考）化简时，琳琳将看成了它的相反数，最终她的化简结果不含项，则正确的化简结果为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级上·重庆·期中）已知关于的代数式的结果不含项，则______． 3．已知关于x的多项式不含三次项和一次项，求的值． 4．已知多项式． (1)先简化，再求值，其中，； (2)若多项式M与字母x的取值无关，求y的值． 5．（25-26·期末）已知关于x，y的多项式． (1)若该多项式不含三次项，求m的值； (2)在（1）的条件下，当，时，求这个多项式的值． 与字母取值无关问题题型02 1．小嘉同学命制了一道数学练习题：“已知关于的多项式的值与的取值无关，求的值．”，则（   ） A．1 B． C．0 D． 2．（25-26七年级上·福建莆田·期末）已知无论取什么值，多项式的值都等于定值6，则的值为_____． 3．已知A=-3x2+3x+1，B=2x2+2mx-1，且2A+3B的值与x无关，求m的值． 4．已知代数式4x2+ax﹣y+5﹣2bx2+7x﹣6y﹣3的值与x的取值无关，求代数式a3﹣2b2+3b3的值． 5．（25-26七年级上·贵州贵阳·期末）李老师让同学们计算“当时，代数式的值”．小红的做法如下： 解： ① ② 当时， 原式 ③ (1)小红的做法从第______步开始出错（填序号）； (2)小星说，不用的值就可以求出结果．你认为他的说法有道理吗？请说明理由． 不含某项问题题型03 1．若多项式不含的项，则k的值是（    ） A．0 B． C．6 D．3 2．（25-26七年级上·四川达州·期末）已知关于x，y的多项式与的差不含二次项，则________． 3．（24-25七年级上·上海·期中）已知整式，整式，且的结果中不含的一次项，求值． 4．（24-25七年级上·湖北武汉·期中）多项式与多项式A的和为．式子不含一次项（t为常数）． (1)求多项式A． (2)求t的值． 5．（24-25七年级上·四川遂宁·期中）已知，． (1)若为最小的正整数，且，求； (2)若的结果中不含一次项和常数项，求的值． 与字母取值无关问题题型04 1．（24-25七年级上·河南郑州·月考）已知，，若的值与a的取值无关，则b的值为（   ） A． B． C． D． 2．若代数式化简后不含二次项，则______． 3．（25-26七年级上·甘肃兰州·期末）已知． (1)求； (2)若的值与a的取值无关，求b的值． 4．（25-26七年级上·湖南长沙·期末）已知 (1)若，求的值； (2)若的值与a的取值无关，求b的值． 5．（25-26七年级上·吉林通化·期中）有这样一道题：“当，时，求代数式：的值”；小明细算了一下，提出题中所给的条件，是多余的，请你认真计算一下，认为他的说法是否有道理？ 整式加减中与某个字母无关问题题型05 1．下列式子中，结果正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·安徽桐城·期末）某同学把错抄为，若正确答案为，抄错后的结果为，则_____________． 3．若多项式的值与字母x无关，试求多项式的值． 4．小丽放学回家后准备完成下面的题目： 化简，发现系数“□”印刷不清楚 (1)她把“□”猜成3，请你化简 (2)她妈妈说：你猜错了．我看到该题的答案是6．通过计算说明原题中“□”是几？ 5．（24-25七年级上·江苏镇江·期中）已知，小明在计算时，误将其按计算，结果得到． (1)求代数式B的表达式； (2)若的值与无关，求的值． 整式加减与数轴、绝对值的结合题型06 1．下列说法中正确的是（    ） ①若一个数的绝对值等于它本身，则这个数一定是正数； ②有理数的绝对值一定是正数； ③如果，那么； ④没有最小的有理数，也没有绝对值最小的有理数． A．③ B．③④ C．②④ D．①③ 2．有理数a，b，c在数轴上的位置如图，所示，化简：______． 3．（25-26七年级上·陕西延安·期末）有理数，，在数轴上的位置如图所示，化简：． 4．有理数a、b、c在数轴上的位置如图． (1)用“”或“”填空： 0， 0， 0． (2)化简：． 5．（25-26七年级上·江苏宿迁·期中）有理数a，b在数轴上的位置如图所示： (1)用“”或“”填空：________0，________0； (2)化简：． 利用整式加减进行推理题型07 1．（25-26七年级上·广西崇左·月考）设，，若x取任意有理数，则的值（    ） A．大于0 B．等于0 C．小于0 D．无法确定 2．（25-26七年级上·江西宜春·期末）已知，则______． 3．扑克牌游戏： 小明背对小亮，让小亮按下列四个步骤操作： 第一步 分发左、中、右三堆牌，每堆牌的张数相同，且不少于两张； 第二步 从左边一堆拿出两张，放入中间一堆； 第三步 从右边一堆拿出一张，放入中间一堆； 第四步 左边一堆有几张牌，就从中间一堆拿几张牌放入左边一堆．这时，小明准确说出了中间一堆牌现在的张数．你认为中间一堆牌现在的张数是多少？说明你的理由． 4．（25-26七年级上·江苏南通·期中）若一个两位数的十位、个位上的数字分别为x，y，则通常记这个两位数为．于是．显然，9x能被3整除，因此若能被3整除，那么就能被3整除，即能被3整除． (1)若，请判断能否被3整除，并说明理由； (2)请探究能被哪个数整除，并说明理由． 5．有这样一个问题：将一个两位数的十位上的数与个位上的数交换位置，得到一个新数，那么这个新数与原数的和能被11整除吗？ 下面是小明的探究过程，请补充完整： (1)举例：例①，；例②，；例③____________． (2)说理：设一个两位数的十位上的数是a，个位上的数是b，那么这个两位数可表示为____________．依题意得到的新数可表示为____________． 通过计算说明这个两位数与得到的新数的和能否被11整除：______________． (3)结论：将一个两位数的十位上的数与个位上的数交换位置，得到一个新数，那么这个新数与原数的和______（填“能”或“不能”）被11整除． 利用整式加减解决数字问题题型08 1．（25-26七年级上·河北张家口·期末）一个两位数的十位数字是，个位数字比十位数字大2（小于10），交换这个两位数的十位数字和个位数字，得到新的两位数，则与的差不能被下面的数整除的是（     ） A．2 B．6 C．7 D．9 2．甲、乙、丙三个同学做游戏，他们同时从写有整数（）的三张卡片中各拿一张，获得与卡片上的数字相同数量的糖果后完成一次游戏，然后再按照此方式继续进行这个游戏．如果他们做了次游戏后，甲共获得颗糖果，乙共获得颗糖果，丙共获得颗糖果，并且知道在最后一次游戏中，丙拿到的是写有整数的卡片，那么的值为____________；第一次游戏时，乙拿到的卡片上写有的整数是____________．（填“”，“”或“”） 3．一个三位数，它的百位数字、十位数字和个位数字分别为，，，若将这个三位数的百位数字与个位数字交换，得到一个新的三位数. (1)计算所得的新数与原数的差； (2)这个差能被99整除吗？说明理由. 4．（24-25七年级上·河北邯郸·期末）有一个数学游戏，如图1，一个数从A，B，C三个位置中任选一个位置出发，按照通道内标注的要求进行运算后到下一个位置．例如：将3按照 (或)的顺序进行运算，是将数据3经过“乘以”的运算得出结果． (1)将按照的顺序进行运算，列出算式并求出运算结果； (2)小明发现将一个数按照的顺序进行第一次运算得到的结果比这个数按照的顺序进行第二次运算得到的结果永远大12．请验证这个结论． 5．（24-25七年级上·上海·月考）如果一次整式，，存在与的和与的倍的差为一个常数，即满足：．我们称一次整式，，为常数的“族和差整式”． 例如：在一次整式，，中存在， 我们就称一次整式，，为常数4的“2族和差整式”． (1)一次整式，，为常数2的“3族和差整式”，请求出这个一次整式． (2)类似的，我们规定一次整式满足与的差与的倍的和为一个常数，我们称一次整式，，为常数的“族差和整式”．已知一次整式为，均为常数），为，，以及，的一次项系数分别，． 为了研究与的数量关系，小滨同学想到了从特殊到一般的研究过程，所以他设计了如下的表格： 2 2 3 3 请同学们先完成表格，再写出与的数量关系是________． 利用整式加减进行新定义运算题型09 1．已知代数式，在代数式中，任取两项与代数式中任意两项进行替换，A、B替换后的结果分别记作，这样的替换称做一次“替换运算”．例如：在代数式中选取第一项和第三项与代数式中的第一项和第三项进行替换，得到；再选取中的第一项和第三项与代数式中的第二项和第三项进行替换，得到，对代数式A、B进行次“替换运算”，替换后的结果记作，当的项数小于两项时，则替换停止．下列说法： ①存在“替换运算”，使得； ②当时，的最小值为1； ③所有的共有8种不同的运算结果． 其中正确的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 2．（25-26八年级上·重庆·期中）一个四位自然数M的千位为a，百位为b，十位为c，个位为d，其中a、b、c、d互不相同且均不为0，小明发现部分M满足，他称这样的四位数为“小明数”．例如：四位数3762，因为，3762是“小明数”．最大的“小明数”是_____；去掉十位数字c得到新三位数，则满足为正整数的最小“小明数”是_____ 3．（1）已知，A＝2x2+3xy﹣2x﹣1，B＝﹣x2﹣xy+1，若3A+6B的值与x的取值无关，求y的值． （2）定义新运算“@”与“⊕”：a@b＝，a⊕b＝． 若A＝3b@（﹣a）+a⊕（2﹣3b），B＝a@（﹣3b）+（﹣a）⊕（﹣2﹣9b），比较A和B的大小． 4．（24-25七年级上·江西吉安·期中）定义一种新运算“”：，比如：． (1)求的值； (2)若，，计算． 5．（25-26七年级上·河北唐山·月考）对于任意四个有理数a，b，c，d，可以组成两个有理数对与．规定：，如：，根据上述规定解决下列问题： (1)有理数对______． (2)若有理数对的值与x的取值无关，求k的值． 试卷第1页（共3页） 1/1 学科网（北京）股份有限公司 $