4.1 整式 课件-2025-2026学年青岛版七年级数学上册

2022 年，我国上海港集装箱的吞吐量突破 4730 万标准箱连续13 年蝉联全球第一。在全球货物运输中，集装箱是被广泛使用的一种大型成组工具。为便于使用机械设备装卸和搬运，实现船舶、港口、公路等多种方式的高效联运，集装箱的规格、型号都有一定的标准。 图中两个集装箱均为长方体，宽均为 a m，高均为 b m，其中一个的长为 9 m，另一个的长为 6 m。它们的体积分别是多少? 它们的总体积是多少? 4.1 整式 ······ 代数式 整式 数与式 数 整式的加减 3 知识回顾 代数式是用运算符号把数和表示数的字母连接在一起的式子。它可以像数一样进行运算吗？ 新课导入 根据章引言可知，两个集装箱的体积分别为 9ab m3，6ab m3。我们来看下面的问题： (1) 黄豆是一种富含蛋白质的食物，每克黄豆的蛋白质含量约为 0.363 g，则 x g 黄豆的蛋白质含量约为多少？ xg 黄豆的蛋白质含量约为 0.363x g。 新课讲解 (2) 如何表示 p2 的相反数？ (3) 某志愿团有八年级学生 n 人，七年级学生比八年级学生的一半少 1 人，用代数式表示志愿团七年级学生的人数。 p2 的相反数是－p2. 该志愿团有七年级学生 (n－1) 人。 (4) 图 4.1-1 是某公寓的建筑平面示意图，用代数式表示这间公寓的建筑面积。 这间公寓的建筑面积为(x2＋5x＋3)m2. 观察代数式 9ab，6ab，0.363x，－p2，它们有什么特点? 代数式 n－1，x2＋5x＋3 又有什么特点? 这些代数式包含的运算不同。如 9ab 表示数9、字母 a 与字母 b 的乘积，n－1 表示数 与字母 n 的乘积和数 1 的差。所以可以从运算的角度进行分类。 从运算的角度来看，9ab，6ab，0.363x， －p2 这些代数式都是数与字母的乘积，像这样的代数式叫作单项式 (monomial)。单独的一个数或一个字母也是单项式。 n－1，x2＋5x＋3 可以看作几个单项式的和。像这样，几个单项式的和叫作多项式 (polynomial)。 单项式和多项式统称整式 (integral expression)。 单项式中的数字因数叫作这个单项式的系数。一个单项式中，所有字母的指数的和叫作这个单项式的次数。对于单独的一个非零的数，规定它的次数为 0。 例如，9ab 的系数是 9，次数是 2；0.363x 的系数是 0.363，次数是 1； －p2 的系数是 －1，次数是 2 。 多项式中的每个单项式都叫作这个多项式的项，其中不含字母的项叫作常数项。多项式中次数最高的项的次数，叫作这个多项式的次数。 例如，多项式 n－1 含有两项，分别是 n 和 －1，其中次数最高的项是号 n ，这一项的次数是 1，所以 n－1 是一次二项式。 又如，多项式 x2＋5x＋3 含有三项，分别是 x2，5x 和 3，其中次数最高的项是 x2，这一项的次数是 2，所以 x2＋5x＋3 是二次三项式。 例 判断下列代数式是单项式还是多项式。如果是单项式，指出它的系数和次数；如果是多项式，指出它的各项，并指出这个多项式是几次几项式。 (1) 3a； (2) mn； (3) －xy3； 解：3a 是单项式，系数是 3，次数是 1。 解：mn 是单项式，系数是，次数是 2。 解：－xy3 是单项式，系数是 －1，次数是 4。 (4) n3－1； (5) a2＋2ab＋b2； 解：n3－1 是多项式，它的项分别为 n3 和－1，它是三次二项式。 解：a2＋2ab＋b2 是多项式，它的项分别为 a2， 2ab 和 b2，它是二次三项式。 (6) 2x2－3x－4。 解：2x2－3x－4 是多顶式，它的项分别为 2x2，－3x 和－4，它是二次三项式。 多项式 2x2－3x－4 的各项是按字母 x 的次数从大到小的顺序排列的，这种排列叫作多项式按字母 x 的降幂排列；还可以将这个多项式写成－4－3x＋2x2 的形式，这种排列叫作多项式按字母 x 的升幂排序。 1. 填表： 单项式 －2x2 a3b 6 x2y4 系数 －2 1 6 次数 2 4 0 1 6 课堂练习 2. 分别指出下列多项式的各项及各项的系数，并指出是几次几项式。 (1) 6x＋1； 解：6x－1 的项分别为 6x，1， 6x 的系数是 6，1 是常数项，它是一次二项式 . (2) 2a＋3b； (3) －m2－7m＋5； 解：2a＋3b 的项分别为 2a，3b， 2a 的系数是 2，3b 的系数是 3，它是一次二项式. 解：－m2－7m＋5 的项分别为－m2，－7m，5， －m2 的系数是－，它是一次二项式. (4) 3x2－5xy＋y2. 解： 3x2－5xy＋y2 的项分别为 3x2，－5xy ，y2， 3x2 的系数是 3，－5xy 的系数是 －5，y2 的系数是 ， 它是二次二项式. 课堂小结 习题 4.1 ▶ 复习巩固 1. 根据题意列出整式： (1) 某班手工兴趣小组共有 15 名同学，他们计划制作一批中国结作为新年礼物送给敬老院的老人。如果制作一个中国结需用红绳 0.6 m，每人制作工个，那么共需准备红绳__________m。 9x (2) 某商品的原价是每件 a 元，第一次降价打七折，第二次降价每件再减 5 元，则第二次降价后的售价为每件_________ 元。 (3) 如图，某建筑物的窗户一部分为半圆形，一部分为长方形。已知长方形的长、宽分别为 b m 和 2a m，这扇窗户的面积是______________m2。 (0.7a－5) (2ab＋πa2) 2. 下列整式中，哪些是单项式?哪些是多项式?如果是单项式，指出它的系数与次数；如果是多项式，指出它的各项，并指出这个多项式是几次几项式。 a，x－4，，4x2－2y2， x2－2x＋1，a3－a2b＋ab2－b3。 解：单项式：a，. a：系数是 1，次数是 1 ； ：系数是，次数是 3. a，x－4，，4x2－2y2， x2－2x＋1，a3－a2b＋ab2－b3。 多项式：x－4，4x2－2y2， x2－2x＋1，a3－a2b＋ab2－b3. x－4：项：x，－4；一次二项式. 4x2－2y2：项：4x2，－2y2；二次二项式. x2－2x＋1：项：x2，－2x，1；二次三项式. a3－a2b＋ab2－b3：项：a3，－a2b，ab2，－b3；三次四项式. ▶ 拓展延伸 3. 写出同时符会下列条件的所有单项式。 ① 含有两个字母，这两个字母是 x，y； ② 系数为－2，次数为 4。 解：所有符合条件的单项式为 －2xy3，－2x2y2，－2x3y. 4. 分列写出一个一次、二次、三次多项式，并写出他们的各项。 解：答案不唯一. 例：一次多项式：2a＋1，项：2a，1； 二次多项式：x2＋3x－1，项：x2，3x，－1； 三次多项式：a2b－2ab＋3a＋1，项：a2b，－2ab，3a，1. 5. 对于单顶式－2a2y，我们可以从多个角度描述它的特点。例如： ① 它的次数是 3； ② 它含有两个字母 a 与 y； ③ 字母 a 的次数是 2，字母 y 的次数是 1； ④ 它的系数是负数； ······ 参考以上描述，回答下列问题： (1) 试指出单项式 3x2y 与－3xy2 的相同点和不同点； 解：相同点：① 都是三次式； ② 都含有字母 x 与 y. 不同点： ① 这两个单项式的系数，一个是正数，一个是负数； ② 这两个单项式所含字母 x 与 y 的次数各不相同. (2) 试着从尽可能多的角度对下列单项式进行分类: 5x2，－y2，2x2y2，－4b3y，3a2x，－5x2y2， axy. 解：答案不唯一. ①按次数分类：二次式：5x2，－y2；三次式：3a2x，axy；四次式：2x2y2，－4b3y，－5x2y2. ② 按系数的正负分：系数为正的单项式：5x2，2x2y2，3a2x，axy；系数为负的单项式：－y2，－4b3y， －5x2y2. ③ 按含有的字母进行分类： 含有字母 a 的单项式：3a2x，axy； 含有字母 b 的单项式：－4b3y； 含有字母 x 的单项式：5x2，2x2y2，3a2x，－5x2y2，axy； 含有字母 y 的单项式：－y2，2x2y2，－4b3y，－5x2y2，axy. $$