精品解析：广东省惠州市惠东县2023-2024学年高二上学期期中数学试题

广东省惠州市惠东县2023-2024学年高二上学期期中数学试题 2023.11 本试卷共4页，22小题，满分150分，考试用时120分钟． 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上，并将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”． 2.作答单项及多项选择题时，选出每个小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案信息点涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，写在本试卷上无效． 3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案：不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答无效． 4.考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将答题卡交回． 一、单选题本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知空间两点，1，，，2，，下列选项中的与共线的是（ ） A. ，0， B. ，1， C. ，， D. ，2， 2. 已知四棱锥，底面为平行四边形，分别为棱，上的点，，设，则向量用为基底表示为（ ） A. B. C. D. 3. 在正方体中，P为的中点，则直线与所成的角为（ ） A. B. C. D. 4. 一条沿直线传播的光线经过点和，然后被轴反射，则反射光线所在直线的方程是（ ） A B. C. D. 5. 《列子》中《歧路亡羊》的内容为：杨子之邻亡羊(亡：丢失)，既率其党，又请杨子之竖(竖：书童)追之.杨子曰：“嘻!亡一羊，何追者之众？”邻人曰：“多歧路(歧路：岔路口).”既反，问：“获羊乎？”曰：“亡之矣”﹒曰：“奚亡之？”曰：“歧路之中又有歧焉，吾不知所之，所以反也.”这是一篇古人杨子的邻居寻羊的故事，寓意深刻，假定所有分岔口都有两条新的歧路，且歧路等距离出现，丢失的这只羊在每个分岔口走两条新歧路的可能性是相等的，当羊走过5个岔路口后，杨子的邻人动员了7个人去找羊，则找到羊的可能性为（ ） A. B. C. D. 6. 某高中的“篮球”“无人机”“戏剧”三个社团考核挑选新社员，已知高一某新生对这三个社团都很感兴趣，决定三个考核都参加，假设他通过“篮球”“无人机”“戏剧”三个社团考核的概率依次为m，，n，且他通过每个社团考核与否是相互独立的，若三个社团考核他都能通过的概率为，至少通过一个社团考核的概率为，则（ ） A. B. C. D. 7. 国家于2021年8月20日表决通过了关于修改人口与计划生育法的决定，修改后的人口计生法规定，国家提倡适龄婚育､优生优育，一对夫妻可以生育三个子女，该政策被称为三孩政策.某个家庭积极响应该政策，一共生育了三个小孩，假定生男孩和生女孩是等可能的，记事件：该家庭既有男孩又有女孩；事件：该家庭最多有一个男孩；事件：该家庭最多有一个女孩.则下列说法正确的是（ ） A. 事件与事件互斥但不对立 B. 事件与事件互斥且对立 C. 事件与事件相互独立 D. 事件与事件相互独立 8. 如图，在棱长为2的正方体中，点分别在线段和上，则下列结论中错误的结论（ ） A. 的最小值为2 B. 四面体的体积为 C. 有且仅有一条直线与垂直 D. 存在点，使为等边三角形 二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错得0分． 9. 下列说法正确的是（ ） A. 随着试验次数的增加，频率一般会越来越接近概率 B. 连续10次掷一枚骰子，结果都是出现1点，可以认为这枚骰子质地不均匀 C. 某种福利彩票的中奖概率为，那么买1000张这种彩票一定能中奖 D. 某市气象台预报“明天本市降水概率为70%”，指的是：该市气象台专家中，有70%认为明天会降水，30%认为不降水 10. 下列说法正确的是（ ） A. 直线与两坐标轴围成的三角形的面积是2 B. 直线的倾斜角为 C. 过，两点的直线方程为 D. 直线在轴上截距是 11. （多选）《九章算术》是我国古代的数学名著，书中将底面为矩形，且有一条侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马.如图，在阳马中，平面ABCD，底面是正方形，且，E，F分别为PD，PB的中点，则（ ） A. 平面PAC B. 平面EFC C. 点F到直线CD的距离为 D. 点A到平面EFC的距离为 12. 如图，直三棱柱中，，，．点P在线段上（不含端点），则（ ） A. 存在点P，使得 B. 的最小值为有 C. 面积的最小值为 D. 三棱锥与三棱锥的体积之和为定值 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13 已知向量，，，且，，则＝__________________. 14. 从长度为1，2，4，5，7的5条线段中任取3条，这三条线段能构成一个三角形的概率为______. 15. 已知的顶点，边上的高所在直线为，D为中点，且所在直线方程为．则边所在的直线方程为____________ 16. 如图，正方体的棱长为，在棱上有一动点，设直线与平面所成的角为，当时，则此时点与点之间的距离_____________． 四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 袋中装有编号分别为1，2，3，4，5的5个形状、大小完全相同的球.甲每次从中取出2个球，若1号球和2号球恰有一个被取出，则获得奖金10元，若1号球和2号球都被取出，则获得奖金20元. （1）求甲获得10元概率； （2）若甲有放回地取两次，求获得奖金总和为20元的概率. 18. 请求出满足题意的直线方程： （1）过定点且在两坐标轴上截距相等的直线； （2）求经过直线和的交点，且与直线垂直的直线的方程． 19. 如图，在正方体中，与的交点为，，点是棱的中点. （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的大小. 20. 如图1，在直角梯形ABCD中，是AD的中点，是AC与BE的交点.将沿BE折起到的位置，使得平面平面BCDE，如图2． （1）证明：平面； （2）求平面与平面夹角余弦值. 21. 甲，乙两人进行围棋比赛，采取积分制，规则如下：每胜1局得1分，负1局或平局都不得分，积分先达到2分者获胜；若第四局结束，没有人积分达到2分，则积分多的一方获胜；若第四局结束，没有人积分达到2分，且积分相等，则比赛最终打平．假设在每局比赛中，甲胜的概率为，负的概率为，且每局比赛之间的胜负相互独立． （1）求第三局结束时乙获胜的概率； （2）求甲获胜的概率． 22. 如图，已知四棱锥的底面是平行四边形，侧面是等边三角形，. （1）求与平面所成角正弦值； （2）设为侧棱上一点，四边形是过两点的截面，且平面，是否存在点，使得平面平面？若存在，求出点的位置；若不存在，说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 广东省惠州市惠东县2023-2024学年高二上学期期中数学试题 2023.11 本试卷共4页，22小题，满分150分，考试用时120分钟． 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上，并将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”． 2.作答单项及多项选择题时，选出每个小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案信息点涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，写在本试卷上无效． 3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案：不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答无效． 4.考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将答题卡交回． 一、单选题本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知空间两点，1，，，2，，下列选项中的与共线的是（ ） A. ，0， B. ，1， C. ，， D. ，2， 【答案】D 【解析】 【分析】由题得，1，，再利用空间向量共线定理判断得解. 【详解】解：由点，1，，，2，， 所以，1，， 对于A，，0，，不满足，所以与不共线； 对于B，，1，，不满足，所以与不共线； 对于C，，，，不满足，所以与不共线； 对于D，，2，，满足，所以与共线． 故选：D 2. 已知四棱锥，底面为平行四边形，分别为棱，上的点，，设，则向量用为基底表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用空间向量的线性运算以为基底即可表示得出. 【详解】因为可得， 易知 . 即. 故选：A 3. 在正方体中，P为的中点，则直线与所成的角为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】平移直线至，将直线与所成的角转化为与所成的角，解三角形即可. 【详解】 如图，连接，因为∥， 所以或其补角为直线与所成的角， 因为平面，所以，又，， 所以平面，所以， 设正方体棱长为2，则， ，所以. 故选：D 4. 一条沿直线传播的光线经过点和，然后被轴反射，则反射光线所在直线的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求出关于轴对称点坐标，由这两个对称点在反射光线所在直线求得直线方程． 【详解】由题意两点关于轴的对称点分别为，， 直线方程为，即即为反射光线所在直线方程． 故选：C． 5. 《列子》中《歧路亡羊》的内容为：杨子之邻亡羊(亡：丢失)，既率其党，又请杨子之竖(竖：书童)追之.杨子曰：“嘻!亡一羊，何追者之众？”邻人曰：“多歧路(歧路：岔路口).”既反，问：“获羊乎？”曰：“亡之矣”﹒曰：“奚亡之？”曰：“歧路之中又有歧焉，吾不知所之，所以反也.”这是一篇古人杨子的邻居寻羊的故事，寓意深刻，假定所有分岔口都有两条新的歧路，且歧路等距离出现，丢失的这只羊在每个分岔口走两条新歧路的可能性是相等的，当羊走过5个岔路口后，杨子的邻人动员了7个人去找羊，则找到羊的可能性为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题可得规律为：第n个分岔口时，共有条歧路，当羊走过n个分岔口后，找到羊的概率为，然后根据题中数据进行计算即可得解. 【详解】当到第n个分岔口时，共有条歧路，当羊走过n个分岔口后，找到羊的概率为， 当时，每个人找到羊的概率为，故派出7个人去找羊，找到羊的概率为. 故选：A. 6. 某高中的“篮球”“无人机”“戏剧”三个社团考核挑选新社员，已知高一某新生对这三个社团都很感兴趣，决定三个考核都参加，假设他通过“篮球”“无人机”“戏剧”三个社团考核的概率依次为m，，n，且他通过每个社团考核与否是相互独立的，若三个社团考核他都能通过的概率为，至少通过一个社团考核的概率为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据独立事件概率公式，列式求解. 【详解】由题意可知， ，得， 即，解得：. 故选：D 7. 国家于2021年8月20日表决通过了关于修改人口与计划生育法的决定，修改后的人口计生法规定，国家提倡适龄婚育､优生优育，一对夫妻可以生育三个子女，该政策被称为三孩政策.某个家庭积极响应该政策，一共生育了三个小孩，假定生男孩和生女孩是等可能的，记事件：该家庭既有男孩又有女孩；事件：该家庭最多有一个男孩；事件：该家庭最多有一个女孩.则下列说法正确的是（ ） A. 事件与事件互斥但不对立 B. 事件与事件互斥且对立 C. 事件与事件相互独立 D. 事件与事件相互独立 【答案】D 【解析】 【分析】利用互斥事件、对立事件的意义可判断选项A，B；利用独立事件的定义可判断C,D 【详解】有三个小孩的家庭的样本空间可记为： ={(男，男，男)，(男，男，女)，(男，女，男)，(女，男，男)，(男，女，女)，(女，男，女)，(女，女，男)，(女，女，女)}， 事件={(男，男，女)，(男，女，男)，(女，男，男)，(男，女，女)，(女，男，女)，(女，女，男)} 事件={(男，女，女)，(女，男，女)，(女，女，男)，(女，女，女)}， 事件={(男，男，男)，(男，男，女)，(男，女，男)，(女，男，男)}， 对于A，,且，所以事件B与事件C互斥且对立，故A不正确； 对于B，{(男，女，女)，(女，男，女)，(女，女，男)}，所以事件与事件不互斥，故B不正确； 对于C，事件有4个样本点，事件有4个样本点，事件有0个样本点，，显然有，即事件与事件不相互独立，故C不正确； 对于D，事件有6个样本点，事件有4个样本点，事件有3个样本点，，显然有，即事件与事件相互独立，故D正确； 故选：D 8. 如图，在棱长为2的正方体中，点分别在线段和上，则下列结论中错误的结论（ ） A. 的最小值为2 B. 四面体的体积为 C. 有且仅有一条直线与垂直 D. 存在点，使为等边三角形 【答案】C 【解析】 【分析】利用异面直线的距离可判定A，利用棱锥的体积公式可判定B，利用特殊位置可排除C，利用坐标法可判定D. 【详解】根据正方体的特征可知面， 又面，所以， 即是异面直线和的公垂线， 当分别与重合时，最小值，最小值为2，故A正确； 易知，所以，故B正确； 易知是等边三角形，所以当是中点，而N与重合时，， 又由A项可知当分别与重合时，，故C错误； 如图所示，建立空间直角坐标系，则，可设，， 若存在点，使为等边三角形，则有， 由，由， 解方程得， 当舍去， 又因为所以符合题意，即D正确. 故选：C 二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错得0分． 9. 下列说法正确的是（ ） A. 随着试验次数的增加，频率一般会越来越接近概率 B. 连续10次掷一枚骰子，结果都是出现1点，可以认为这枚骰子质地不均匀 C. 某种福利彩票的中奖概率为，那么买1000张这种彩票一定能中奖 D. 某市气象台预报“明天本市降水概率为70%”，指的是：该市气象台专家中，有70%认为明天会降水，30%认为不降水 【答案】AB 【解析】 【分析】 根据频率和概率之间的关系、概率的定义可得正确的选项. 【详解】对于A，试验次数越多，频率就会稳定在概率的附近，故A正确 对于B，如果骰子均匀，则各点数应该均匀出现，所以根据结果都是出现1点可以认定这枚骰子质地不均匀，故B正确． 对于C，中奖概率为是指买一次彩票，可能中奖的概率为，不是指1000张这种彩票一定能中奖，故C错误． 对于D，“明天本市降水概率为70%”指下雨的可能性为，故D错． 故选：AB． 【点睛】本题考查频率与概率的关系、概率的定义，注意两者之间的关系是概率是频率的稳定值，本题属于基础题． 10. 下列说法正确的是（ ） A. 直线与两坐标轴围成的三角形的面积是2 B. 直线的倾斜角为 C. 过，两点的直线方程为 D. 直线在轴上截距是 【答案】ABD 【解析】 【分析】A确定直线在坐标轴上截距，再求面积即可判断；B由斜率确定倾斜角大小即可；C根据两点式使用前提判断；D令即可得轴上截距. 【详解】A：由直线方程知：其在x、y轴截距分别为，故该直线与坐标轴所围成三角形面积为2，对； B：由直线斜率为1，即倾斜角正切值为1，根据倾斜角范围为，则倾斜角大小为，对； C：仅当时，直线才能表示为，错； D：令，则，故在轴上截距是，对. 故选：ABD 11. （多选）《九章算术》是我国古代的数学名著，书中将底面为矩形，且有一条侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马.如图，在阳马中，平面ABCD，底面是正方形，且，E，F分别为PD，PB的中点，则（ ） A. 平面PAC B. 平面EFC C. 点F到直线CD的距离为 D. 点A到平面EFC的距离为 【答案】AD 【解析】 【分析】根据已知条件建立空间直角坐标系，求出相关点的坐标及平面EFC的法向量，利用向量垂直条件及线面垂直的判定定理及线面平行的向量关系，结合点到直线的距离及点到面的距离的向量公式即可求解. 【详解】解：以A为坐标原点，，，的方向分别为x，y，z轴的正方向建立空直角坐标系，如图所示 由题意可知，，，，，，， 所以，，，. 因为，所以，即 ，所以，即.又， 所以平面PAC，故A正确； 设平面EFC的法向量为，则 ，即，令，则，所以. 因为，所以，故B不正确； 设点F到直线CD的距离为h，，，则，即，所以点F到直线CD的距离为，故C不正确； 设点A到平面EFC的距离为d，，则 ，所以点A到平面EFC的距离为，故D正确. 故选：AD. 12. 如图，直三棱柱中，，，．点P在线段上（不含端点），则（ ） A. 存在点P，使得 B. 的最小值为有 C. 面积的最小值为 D. 三棱锥与三棱锥的体积之和为定值 【答案】ACD 【解析】 【分析】以为原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系， 写出各点坐标，其中点坐标，可设（），即可得出. 对于A选项，要使，即，得到关于的方程，解方程即可； 对于B选项，将和沿展开，连接，的最小值即的长度，利用锐角三角函数和两角和的余弦公式求出，再由余弦定理即可得到； 对于C选项，设（），利用向量的夹角公式求得，由同角三角函数的平方关系得到，代入三角形面积公式：，结合二次函数的性质讨论最值即可； 对于D选项，利用等体积法得，即可求解. 【详解】由题意得，，即， 又在直三棱柱中，底面，平面，平面， ，，则以为原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示空间直角坐标系. 因为，，所以，，，，，，，则，， 设（），则，解得，，， 所以， 对于A选项，，， 要使，即，解得， 当，即在中点时，，故A选项正确； 对于B选项，如图所示，将和沿展开，如图所示， 连接交于点，可知，当点与点重合时取得最小值， 由题意得，，，，，， 所以，，，， 则， 在中，由余弦定理得， ，则， 所以的最小值为，故B选项错误； 对于C选项，，，设（）， 则，即， 所以， 则， 因为，所以当时，取得最小值，故C选项正确； 对于D选项， ，故D选项正确， 故选：ACD. 【点睛】关键点睛：本题考查了立体几何中的动点的相关线段的位置关系、线段长度、面积和体积的最值问题，意在考查学生的空间想象能力和逻辑推理及转化思想的应用. 解答本题关键在于建立空间直角坐标系，利用空间向量法解决空间的中的相关问题，同时对于转化思想的应用，利用两点之间线段最短求距离的最值，本题中B选项， 将和沿展开，利用两点之间的线段最短，，求解即可. 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13. 已知向量，，，且，，则＝__________________. 【答案】 【解析】 【分析】由已知利用向量平行的条件列式求解，再由向量垂直的坐标运算求得，可得答案． 【详解】，且， 存在实数，使得，即， ，解得，， 又，且， ，即，． 故答案为：． 14. 从长度为1，2，4，5，7的5条线段中任取3条，这三条线段能构成一个三角形的概率为______. 【答案】## 【解析】 【分析】由列举法得所有基本事件，根据古典概型的概率计算公式即可求解. 【详解】从5条线段中任取3条线段的基本事件有, 总数为10，能构成三角形的情况有：，，共2个基本事件， 故这三条线段能构成一个三角形的概率为． 故答案为： 15. 已知的顶点，边上的高所在直线为，D为中点，且所在直线方程为．则边所在的直线方程为____________ 【答案】 【解析】 【分析】设点，列出方程组求得，再设，列出方程组求得，结合两点式方程，即可求解. 【详解】设点， 根据题意得，解得，即， 设，则的中点坐标为， 根据题意得，解得，即， 所以的方程为，整理得. 故答案为：. 16. 如图，正方体的棱长为，在棱上有一动点，设直线与平面所成的角为，当时，则此时点与点之间的距离_____________． 【答案】 【解析】 【分析】以为坐标原点，以分别为轴建立空间直角坐标系.如图所示， 利用线面角的向量求解方法可求得，从而求得答案. 【详解】解：以为坐标原点，以分别为轴建立空间直角坐标系.如图所示， 则，设，得，则； 设平面的法向量为，又， 于是有， 不妨，可得，所以； 因为，且， 则，化简得， 解得，或 (舍去).即， 从而得 故答案为：. 【点睛】方法点睛：考查用空间向量及其坐标运算来探究立体几何中的任意不确定性和恒成立问题是非常实效且方便简洁，注意掌握空间线面角的余弦值的坐标运算.考查化归与转化、数形结合思想，检验空间想象、逻辑推理和运算求解能力. 四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 袋中装有编号分别为1，2，3，4，5的5个形状、大小完全相同的球.甲每次从中取出2个球，若1号球和2号球恰有一个被取出，则获得奖金10元，若1号球和2号球都被取出，则获得奖金20元. （1）求甲获得10元的概率； （2）若甲有放回地取两次，求获得奖金总和为20元的概率. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据古典概型的概率公式即可求得答案； （2）求出甲每次取球获得20元以及0元的概率，再考虑甲有放回地取两次，获得奖金总和为20元的情况有两种，即可求得答案. 【小问1详解】 由题意得甲获得10元的概率为； 小问2详解】 甲每次从中取出2个球，甲获得20元的概率为， 则甲获得0元的概率为， 则甲有放回地取两次，获得奖金总和为20元的情况为： 两次都获得10元以及一次获得0元一次获得20元， 故甲有放回地取两次，获得奖金总和为20元的概率为. 18. 请求出满足题意的直线方程： （1）过定点且在两坐标轴上截距相等的直线； （2）求经过直线和的交点，且与直线垂直的直线的方程． 【答案】（1）和 （2） 【解析】 【分析】（1）根据截距为0和不为0两种情况，即可根据待定系数法求解直线方程， （2）联立方程求解交点坐标，即可根据直线垂直满足的斜率关系求解斜率，进而根据直线的点斜式求解即可. 【小问1详解】 ①截距均为：设直线方程：， 因为直线过定点， 所以， ②截距不为0：设直线方程：，因为直线过定点， 所以 ， 所以，即 综上，满足题意直线方程为，. 【小问2详解】 设的交点为，直线斜率为， 联立，解得，所以的交点为， 因为与直线垂直，直线的斜率为， ， 由点斜式可得， 整理得，即. 19. 如图，在正方体中，与的交点为，，点是棱的中点. （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的大小. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）连接，证明，即可得证； （2）以点为原点建立空间直角坐标系，利用向量法求解即可. 【小问1详解】 连接， 因为四边形为正方形，所以为的中点， 因为点是棱的中点， 所以， 又平面，平面， 所以平面； 【小问2详解】 如图，以点为原点建立空间直角坐标系， 则， 故， 设平面的法向量为， 则有，令，则， 所以， 因为，所以， 所以平面， 所以直线与平面所成角的大小为. 20. 如图1，在直角梯形ABCD中，是AD的中点，是AC与BE的交点.将沿BE折起到的位置，使得平面平面BCDE，如图2． （1）证明：平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）由为正方形可知，根据线面垂直判定定理证明平面，然后由可证； （2）建立空间直角坐标系，求出平面与平面的法向量，然后由向量夹角公式可得. 【小问1详解】 因为， 所以为正方形，所以，所以， 又，平面，所以平面， 又，且，故四边形为平行四边形， 所以，所以平面. 【小问2详解】 易知，，因为平面平面BCDE，平面平面，平面，所以平面BCDE，又平面BCDE， 所以，以为原点， 的方向分别为轴的正方向建立空间直角坐标系， 由题意知，， 则， 设平面的法向量为，平面的法向量为， 则，令，则，故， 则，令，则，故， 设平面与平面的夹角为， 所以. 21. 甲，乙两人进行围棋比赛，采取积分制，规则如下：每胜1局得1分，负1局或平局都不得分，积分先达到2分者获胜；若第四局结束，没有人积分达到2分，则积分多的一方获胜；若第四局结束，没有人积分达到2分，且积分相等，则比赛最终打平．假设在每局比赛中，甲胜的概率为，负的概率为，且每局比赛之间的胜负相互独立． （1）求第三局结束时乙获胜的概率； （2）求甲获胜的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）对乙来说共有两种情况：（胜，不胜，胜），（不胜，胜，胜）,根据独立事件的乘法公式即可求解. （2）以比赛结束时的场数进行分类，在每一类中根据相互独立事件的乘法公式即可求解. 【小问1详解】 设事件A为“第三局结束乙获胜” 由题意知，乙每局获胜的概率为，不获胜的概率为． 若第三局结束乙获胜，则乙第三局必定获胜，总共有2种情况：（胜，不胜，胜），（不胜，胜，胜）． 故 【小问2详解】 设事件B为“甲获胜”． 若第二局结束甲获胜，则甲两局连胜，此时的概率． 若第三局结束甲获胜，则甲第三局必定获胜，总共有2种情况：（胜，不胜，胜），（不胜，胜，胜）． 此时的概率． 若第四局结束甲得两分获胜，则甲第四局必定获胜，前三局为1胜2平或1胜1平1负，总共有9种情况：（胜，平，平，胜），（平，胜，平，胜），（平，平，胜，胜），（胜，平，负，胜），（胜，负，平，胜），（平，胜，负，胜），（负，胜，平，胜），（平，负，胜，胜），（负，平，胜，胜）． 此时的概率 若第四局结束甲以积分获胜，则乙的积分为0分，总共有4种情况：（胜，平，平，平），（平，胜，平，平），（平，平，胜，平），（平，平，平，胜）． 此时的概率 故 22. 如图，已知四棱锥的底面是平行四边形，侧面是等边三角形，. （1）求与平面所成角的正弦值； （2）设为侧棱上一点，四边形是过两点的截面，且平面，是否存在点，使得平面平面？若存在，求出点的位置；若不存在，说明理由. 【答案】（1） （2）在侧棱PD上存在点Q且当时，使得平面BEQF⊥平面PAD. 【解析】 【分析】对于（1），取AB中点为H，先由条件证得PH⊥平面ABCD，后可得答案. 对于（2），由（1）分析可知AB⊥AC，建立以A为原点的空间直角坐标系，找到平面BEQF，平面PAD法向量，后可得答案. 【小问1详解】 证明：取棱AB长的一半为单位长度. 则在中，AB=2，BC=4，∠ABC=60°，根据余弦定理， 得 得，故AB⊥AC. 又PB⊥AC，PB∩AB=B，平面PAB，AB平面PAB，故AC⊥平面PAB. 又平面ABCD，AC⊥平面PAB，则平面ABCD⊥平面PAB. 取AB中点H，连接PH，CH. 因是等边三角形，则PH⊥AB，又PH 平面PAB， 平面ABCD 平面PAB，平面ABCD⊥平面PAB，故PH⊥平面ABCD. 得∠PCH是CP与平面ABCD所成角. 在直角三角形中，， ，. 故，即为所求. 【小问2详解】 假设存点Q，使得平面BEQF⊥平面PAD. 如图，以A为原点，分别以为x，y轴正方向建立空间直角坐标系A-xyz， 则， ， 设是平面PAD的法向量，则 ，取. 设，其中. 则 连接EF，因AC∥平面BEQF，，平面PAC∩平面BEQF=EF， 故AC∥EF，则取与同向的单位向量. 设是平面BEQF的法向量， 则， 取. 由平面BEQF⊥平面PAD，知，有，解得. 故在侧棱PD上存在点Q且当时，使得平面BEQF⊥平面PAD. 【点睛】关键点点睛：本题涉及线面角，及立体几何中的动点问题.对于（1），关键能在各种线面关系中做出相应线面角的平面角.对于（2），求动平面的法向量时，可利用线面平行关系找到动平面内向量的共线向量. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$