精品解析：浙江省五校联盟2024-2025学年高一下学期5月教学质量检测数学试题

五校联盟2024学年第二学期5月教学质量检测试卷 高一数学 命题人：杭二钱江 顾予恒，卢成娴，许飘尹 审题人：天元公学 蒋振西，顾华强 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据一元二次不等式化简集合A，进而求交集. 【详解】由题意可得：集合， 且，所以. 故选：C. 2. 已知，是虚数单位，则（ ） A. B. C. D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】根据复数的除法与模长公式求解即可. 【详解】因为， 所以. 故选：B. 3. 已知，，与的夹角为，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求出，再利用投影向量的意义求解即可. 【详解】依题意， 所以在上的投影向量为. 故选：C. 4. 设，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 【答案】C 【解析】 【分析】由线线、线面、面面的空间位置关系，结合平面的基本性质判断线线、线面、面面的位置. 【详解】由，是两条不同的直线，，是两个不同的平面， A：若，，则可能平行、相交、异面，错误； B：若，，则可能平行、相交、垂直，错误； C：若，，则，正确； D：若，，则可能垂直、平行、相交，错误. 故选：C 5. 已知圆锥的底面周长为，其侧面展开图的圆心角为，则该圆锥的体积为(　　) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由侧面展开图求得圆锥母线和底面半径，再求得其高后，根据体积公式计算． 【详解】设圆锥的底面半径为，母线长为，高为， 由题意，，，，∴， 体积为， 故选：A． 6. 在中，，，为角，，对应的边，则“”是“为直角三角形”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】由正弦定理及两角和与差的正弦公式即可证明充分性，举例子当时，结论不一定成立，否定必要性. 【详解】因为， 由正弦定理得，且， 所以， 化简得 又， 所以， 又，即；充分性得证. 若为直角三角形，则当时，结论不一定成立，必要性不成立. 故选：A. 7. 在正三棱台中，分别为棱的中点，，四边形为正方形，则与平面所成角的正弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】延长交于点，，根据正棱台可判断三棱锥为正三棱锥，根据棱长进而判断为正四面体，由正四面体的性质即可结合长度以及线面角的定义求解. 【详解】由题意可知，延长必交于一点， 由可知，分别是的中点， 又点为线段的中点，所以， 因分别为棱的中点，则， 又四边形为正方形，所以，所以， 由于三棱锥为正三棱锥，因此三棱锥为正四面体， 因此直线与平面所成的角即为直线与平面所成角， 取的中心为，连接，则平面， 所以为直线与平面所成角， 设正四面体的棱长为 ， 在中，，， 在中，， 故直线与平面所成角的正弦值为. 故选：B 8. 已知定义在上的函数满足，且当时，，则是（ ） A. 奇函数，在上单调递增 B. 奇函数，在上单调递减 C. 偶函数，在上单调递增 D. 偶函数，在上单调递减 【答案】A 【解析】 【分析】取及进行赋值可以判断奇偶性，再由单调性的定义进行证明即可． 【详解】解：因为， 所以，得， 令， 则， 得，则函数为奇函数， 设，且，得，则， 则 ， 因为，所以，而， 则， 得，得，故函数在上单调递增． 故选：A． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，有选错得0分，部分选对得部分分. 9. 在棱长为2的正方体中，，，，分别是棱，，，的中点，则（ ） A. 与为异面直线 B. 与所成的角为90° C. 平面截该正方体所得的截面形状为矩形 D. 三棱锥的外接球体积为 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A利用异面直线的定义即可判断，对于B取的中点为，连接，由正方体性质可知，又，得，则与所成的角即为与所成的角，即或其补角，在计算即可判断，对于C分别取，的中点为，，连接各中点，即平面截该正方体所得截面即为六边形，即可判断，对于D将三棱锥放入长方体中即可计算，进而判断. 【详解】对于A，由异面直线定义可知与不同在任何一个平面内，它们是异面直线，即A正确； 对于B，取的中点为，连接，如下图所示： 由正方体性质可知，又，所以， 因此与所成的角即为与所成的角，即或其补角， 易知，，，满足，即， 所以，因此与所成的角为90°，即B正确； 对于C，分别取，的中点为，，连接各中点，如下图所示： 易知，，，即可知， ，，，，在同一平面内， 所以平面截该正方体所得截面即为六边形， 又，所以截面形状为正六边形，即C错误； 对于D，将三棱锥放入长方体中，如图所示，， 所以，三棱锥的外接球体积为，D正确. 故选：ABD. 10. 在平行四边形中，是边上一点（不含端点），，，，，则（ ） A. 落在上 B. 落在上 C. 落在内 D. 的面积等于的面积 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据向量关系计算判断AB；应用向量关系系数范围判断C ；应用面积公式计算判断D. 【详解】因为是边上一点（不含端点），， 所以，， 所以，所以落在上，故A选项正确； ，其中， 所以落在上，故B选项正确； ，当时，显然会落在内，故C选项错误； 因为，， 设平行四边形中边上的高为，边上的高为， 所以，， 又因为，所以，故D选项正确. 故选：ABD. 11. 已知函数，则（ ） A. 的最小正周期为 B. 的图象关于点对称 C. 不等式无解 D. 的最大值为 【答案】BD 【解析】 【分析】对于选项A:验证是否成立即可判断；对于选项B:验证是否成立即可判断；对于选项C:利用即可验证有解；对于选项D:利用二倍角公式，结合基本不等式即可判断. 【详解】对于选项A:不是的周期，故A错误; 对于选项B:关于对称，故B正确； 对于选项C:有解，故C错误； 对于选项D:，若，则， 若则， 当且仅当，即时，原式取等，故D正确. 故选:BD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 在中，，，，则______，______. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】根据正弦定理及三角形中大边对大角即可得出；根据余弦定理可得出. 【详解】 由正弦定理知. 因为，，， 所以，解得：. 又因为， 所以. 由余弦定理可得：，即， 解得：. 故答案为：；. 13. 已知正方体的棱长为2，若点是棱上的一个动点，则的最小值为______. 【答案】 【解析】 【分析】根据展开图结合图形特征计算求解. 【详解】将正方体表面沿展开，如图所示 则. 故答案为：. 14. 已知是边长为3的正所在平面内一点，且，则的最小值为______． 【答案】 【解析】 【分析】由可推出，进而可得，然后，然后运用二次函数的知识可得到答案. 【详解】已知，则， 又， 那么 展开可得 因为是边长为3的正三角形， 所以，且， 代入上式得， 所以， 所以的最小值为. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知复数在复平面内对应的点位于第一象限，且满足 （1）求a； （2）若z是关于x的方程的一个复数根，求pq的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据列出方程，结合点所在象限可得答案； （2）根据根与系数的关系可求答案. 【小问1详解】 由题意知复数z在复平面内对应的点为， 因为点Z在第一象限，所以， 由，得， 即 则 所以. 【小问2详解】 由（1）知， 由是关于x的方程 的一个复数根，可知是 的另一个复数根， 因此，解得. 所以 16. 已知向量，满足，，. （1）若，求实数的值； （2）求； （3）设与的夹角为，求的大小. 【答案】（1） （2）3 （3） 【解析】 【分析】（1）利用向量垂直数量积为0，得出，从而确定向量，不共线，可作为一组基底，再根据共线定理得出实数的值； （2）根据平面向量的数量积的运算律求解即可； （3）先求出，再根据平面向量的夹角的余弦公式求解即可. 【小问1详解】 由，得， 由，可得， 则，则， 即，所以，是不共线的向量， 由题可设：， 所以且，解得. 【小问2详解】 由（1）知，，， 则. 【小问3详解】 由于， 则， 由于，所以. 17. 在中，内角所对的边分别为，，，已知. （1）求； （2）若，，的平分线交于点，求线段的长； （3）若，求内切圆半径的最大值. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由题意结合正、余弦定理边角转化即可得结果； （2）设利用面积公式可得结果； （3）由结合余弦定理和基本不等式求内切圆半径的最大值. 【小问1详解】 因为，所以，整理可得， 所以， 因为，所以； 【小问2详解】 设，, 由可得，即， 解得，即. 【小问3详解】 设内切圆的半径为，则， 所以， 又，所以， 则， 由，得，当且仅当时取等号， 所以，即内切圆半径的最大值为. 18. 如图，在直三棱柱中，点在上，. （1）证明：平面； （2）若，，. ①点是线段上的动点，试问三棱锥的体积是否为定值，若是，证明并求出定值，若不是.说明理由； ②求二面角的大小. 【答案】（1）证明： （2）①是，证明：连结交于，因为是的中位线，所以， 又因为平面，所以平面， 所以点到平面的距离不变，故为定值. . ② 【解析】 【分析】（1）根据直棱柱的性质及线面垂直的判定定理即可得证； （2）①先证明平面，可得为定值，并求之； ②先证明就是二面角的平面角，再求之即可. 【小问1详解】 在直三棱柱中，平面， 因为平面，所以 又因为，且平面，平面，， 所以平面； 【小问2详解】 ①略 ②过作于点，过作于点，连结. 在直三棱柱中，平面平面， 因为，所以平面，所以； 又，所以面，所以. 则就是二面角的平面角. 又因为，，所以，， 所以，所以. 在直角中，，所以. 19. 如果函数的定义域为，对于定义域内的任意，存在实数使得成立，则称此函数具有“性质”. （1）判断函数是否具有“性质”，若具有“性质”，试写出所有的值；若不具有“性质”，请说明理由； （2）已知具有“性质”，当时，，，求在上的最大值； （3）设函数具有“性质”，且当时，.若与（）交点个数为2025个，求的值. 【答案】（1）具有，（） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据新定义结合三角函数即可求出（）； （2）先根据新定义求出时，再结合二次函数的性质即可求出； （3）先根据新定义说明关于和轴对称，再结合函数解析式可画出的函数图象，再研究与的函数图象的交点个数即可. 【小问1详解】 假设函数具有“性质”， 则由，得或， 因对，恒成立，则（）. 故具有“性质”，其中（）； 【小问2详解】 具有“性质”，. 设，则， ， 由二次函数的对称性可得，在上， 当时，，当时，. 综上，. 【小问3详解】 具有“性质”， ，，即关于和轴对称， 又当时，，故可画出的函数图象： ①当时，要使与有2025个交点， 只要与在有2024个交点，而在有一个交点. 过，从而得； ②当时，同理可得， ③当时，不合题意. 综上所述，. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 五校联盟2024学年第二学期5月教学质量检测试卷 高一数学 命题人：杭二钱江 顾予恒，卢成娴，许飘尹 审题人：天元公学 蒋振西，顾华强 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知，是虚数单位，则（ ） A. B. C. D. 1 3. 已知，，与的夹角为，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 4. 设，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 5. 已知圆锥的底面周长为，其侧面展开图的圆心角为，则该圆锥的体积为(　　) A. B. C. D. 6. 在中，，，为角，，对应的边，则“”是“为直角三角形”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 7. 在正三棱台中，分别为棱的中点，，四边形为正方形，则与平面所成角的正弦值为（ ） A. B. C. D. 8. 已知定义在上的函数满足，且当时，，则是（ ） A. 奇函数，在上单调递增 B. 奇函数，在上单调递减 C. 偶函数，在上单调递增 D. 偶函数，在上单调递减 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，有选错得0分，部分选对得部分分. 9. 在棱长为2的正方体中，，，，分别是棱，，，的中点，则（ ） A. 与为异面直线 B. 与所成的角为90° C. 平面截该正方体所得的截面形状为矩形 D. 三棱锥的外接球体积为 10. 在平行四边形中，是边上一点（不含端点），，，，，则（ ） A. 落在上 B. 落在上 C. 落在内 D. 的面积等于的面积 11. 已知函数，则（ ） A. 的最小正周期为 B. 的图象关于点对称 C. 不等式无解 D. 的最大值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 在中，，，，则______，______. 13. 已知正方体的棱长为2，若点是棱上的一个动点，则的最小值为______. 14. 已知是边长为3的正所在平面内一点，且，则的最小值为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知复数在复平面内对应的点位于第一象限，且满足 （1）求a； （2）若z是关于x的方程的一个复数根，求pq的值. 16. 已知向量，满足，，. （1）若，求实数的值； （2）求； （3）设与的夹角为，求的大小. 17. 在中，内角所对的边分别为，，，已知. （1）求； （2）若，，的平分线交于点，求线段的长； （3）若，求内切圆半径的最大值. 18. 如图，在直三棱柱中，点在上，. （1）证明：平面； （2）若，，. ①点是线段上的动点，试问三棱锥的体积是否为定值，若是，证明并求出定值，若不是.说明理由； ②求二面角的大小. 19. 如果函数的定义域为，对于定义域内的任意，存在实数使得成立，则称此函数具有“性质”. （1）判断函数是否具有“性质”，若具有“性质”，试写出所有的值；若不具有“性质”，请说明理由； （2）已知具有“性质”，当时，，，求在上的最大值； （3）设函数具有“性质”，且当时，.若与（）交点个数为2025个，求的值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $