20第四单元 第 16 讲 等腰三角形与直角三角形-【全程夺冠中考】2025年春数学听课讲义

【侧2】10A'2,o112=-r+g 【一期多闪】 【例3】位果商将基枝定铃为吨L可万元时才 【例3】24 【针对到然】 4.(10y=十13.118)2 人以比刻雨数的解析式为，一 。一改滴数 能使每天的利闲”设”的W较入豆大，北最大值为 【针对闻练】 125万元 1.A%5 【例】《1》长然膜装需进的针，款餐装购进 的解新式为y一+十切 【针对铜练】 【例】A 创件 【针对铜练】 ()5购进的件延款里装，的件长款鼠装封看 (2901320rc4 鸡 从A1位非1L如暴-山<，那么￥户6 量大利物.最大料制是40元 wP(g）Mm.a.1回 7.1y一2+期.S一22+01C0 第15讲三角形金等 【针对氧练】 (2)西(=驾时，属成豹矩感花调的雪阻为 【教材整合·棱理考点】 长(1)A款文创产品每井的连价是知元，8教文 0H1.)成.》 动m 【章点1】①等边三角用②视角三角形 创产品每什均选价是西元 图)国我的单思花国出积存在最大值。量大雀为 (2)期进A数文斜产品0作，脚进日数文创广 mo度-5o减，营0】 【点】①大干①小于10®等于 0m,此时的值为0 品40件，使销西定店获得的利斜量大，最大利国是 登专卷（二」）反比到桶酸中的直和顺型 【一疆多问】 中大干0大第 1的元 1.B 2B 33 (1y=-2石一3直线x=11,一4 【*底】9号号F@一牛 【一”多闪】 L心 (P.(ovu.-29 40w>1g号 6C7,8 (⑤调边形A8C有周的最大镇为要，比封点下 【彩点+】君相零⊙等)相等意夹用 -吉+-oi6 58久12 信礼边 10.C I1D 的里标为号中) 【超串老点】 129 〔G)存雀，H18.-4域(5-1.5 (IAB=(2》∠C事=∠F(度ACD》 1L,1)y-一r+2ra0发g3 第12球反比例雨数楼应用 第二部分闲形与几何 3D∠A=∠D4AC=DF(RA=DE 【敏材整合·被星考点】 1《反比例而数的解析式为，一一 【真颜再现，焦考向】 第四单元线与角，三角形 【传点】D号减小州大 数的新新式为少一之十1 【例】C 第4讲线段.角.相线与平线 【针时闻练】 【W点】@号41@2 【粒制整合·被星考点】 (2)5 1.D3B 第13讲水函数贤其成用 【尾唐】①一线厦⑤长庭①AB 【例】(12)A 【真赠再现，聚集考向1 【例1】C 【数材整合·续理梦点】 图k仪C8AB@k 【考点2】8方G0DgB附等G1 【针对谓练】 xB七四. 【针对铜婚】 【点】y+加中g上g会 8相等BPD一PE5∠1=∠2 1,A 【例3】 名- 【2冰，理由略 到去当碳小蜡大少品4线 【笔点】相等0@∠角①∠5 8∠58∠8 【针时到练】 如产成 【考点】好一窗手线程长度 三CiD 【例】C 【考点】德内情参互补旁内角互补 【例】D 【针对帽练】 【点】④yr山r0y-一hP+比 0,成 【针对润辉】 A儿g 0yur-31r—a 【年点6】@直幻程G适白题配裤理 知 【考点4】两个D一个0授有 【丽审考点】 【例3】A1,0,B9,)y--十0 【真盟再现·聚焦考向】 1)真2：如果件议平行，事么同数角相等 【例5】(1)好期南(2好0 (2r60或1C上 【例1】(1)D(2)D (3国位角相等，两直线平行44)两直线平行.同位 【针对辑练】 【针对闲婚】 【针对到然】 角不相等 总三角形具有檀定在具AE=于减 &.(1Dy1- + 1.A2D1D4 【真题再规·聚焦考向】 AD(下（容案不班一） 【例1】(1)D(2)B(3)周点之间.视数最如 1儿证明略 g)-<0成>号a 【针时得练】 厦专图（三》四大常考余等板用 【例】1-爱22A 【针对国练】 1.C2A1.4 1.证明好 5.(1)ym-x+2+10 【例2】(13C(2)8 2(1)证用席(2)3 【针对润婚】 〔2)写动员从起花点到人水点的水平距内相的 【针时调练】 &让听暗 6C7,180 长为(TT+1= 4.C丘Ba.cC 4,(1山明路(212 拉学一的一 5,止明导 誉道（五）等授三角形中的分秀时论 【针对增练】 氧五单元四边聪 氏正明略 【例1】0,80,9爱，，129 1L6 第1讲多边形与平风边形 ,D+(-店.教覆过覆图 【针对相练】 【例】A 【植材整合·被理考点】 号(1D证明席(2)4w高 1,r减10d 【针对辑练】 【黄点1】D(n-·15西所8 多IAF-EAF-DE,证明略a号 110,75,75线12，， 121t1 【例】(1024m减2锅m2)17 n”,》相等相等a一2X1四 微V遇（七》四人帝考口镜胃 登专湿（四）角平分线性暖的四静帝见安用 【针对制练】 1,82电规塔C到公路南侧Q的距真是m 【例】C 去18成17 雪精对称 【针对制练】 玉CL1点. 【考点】D平行亚平行H相等西相等 1.5 【例3】A 【针对销练】 长证明路(2号 8耳相平分G中（心0交高0平行公相等 【例】C-D,理由路 4或2写 A民C 8相等0平行且额等③相平分 【针时帽塔】 【离难再现，聚焦考向1 2任所略 【例+】(1)∠AE=∠(EF,用h路 么(1①明略©号(2)F明略 【例1】C 【酬】C 2w+京度2翠 【针对润练】 【针对铜塔】 第松得锐角过角肉质及解直角三角联 天9 【针对到篮】 【酸材整合·被理考点1 1.A210X125 【例4】(1D3(2)15 兵15该0 【酬2】证明暗 【针对落】 厦专遇（水）中点有芙的大经型 【第点】片华9明 【针对辑等】 4B 5B 1占283，A4,20正，证明路 4,B五2，陆明略 第6讲等领三角形与直角三角酸 【情痛】呼明时心 【例】0域1)量明鸣2)8 【数材整合·整理考点】 人号不轻明临长少m儿科 【真盟再现·鬟焦考向们 【针对国练】 【考点】心件拉②一金顶角的平分线 1位11<AD7,解圆过程母(2蟹明鸣 】,D点，让引略头1证明图/石 ①底边上的高边的中线 【考点2】0三边四.5 L号 【倒】 【一题多问1 【针对练】 机1)正解(2证明略3到0密L8 【考点3】0中点D率直公相等8相等 第行年国形购鼠 1.B (4145154518f6)147)1 【第点】0直角三角形a0-单亚-半 【粒材整合·被醒考点】 【罩点1】小：dk6'山中收比例 【酬】3厅 第讲年形.菱形，正方形 04'+h=10a'+6=c 【粒材整合·被理考点】 【针对得练】 【典丽再现·聚集考向】 印武比创 【等点1】①直角⊙直相等③出直角 【制1】(1D正明略(233 【等点】心相等盈域比例心相比勿相 4A五-1 盈三D相等 【针对司婚】 触此围相丝比的平方像夹角亚■等D皮 【制3】(1D规段D的长约为54m 【率点】3边相等0绿直甲分平分 1,C2100m5 比创 (21福精A山的高度的为50m 4.(13量明略(2DmD,星由略 【针对到运】 :0.0第诗心幅等形直 【真再现·及焦考向】 【例】4)证明略20 【例1】A 长斜横AB的长的为低.1如 【笔点3】动直角0相等白直角。意直 7.(1)军的长约为7-C的长约为1■ 【针对到炼】 【针对到裤】 平分址色。”心直角0邻i边多细等 .C反证明路 1.A212w5-1 (2)张率的底面A仪D的配积约为1sm 金夏直公互相看直 【酬】C 【例】证明时 登海（氏】解作角三角形碗用的三大板型 1,B处是离A处约140nm 【离慧再现·聚考向】 【针对铜练】 【针对裙练】 么塔森F约为级阻件 【例1】(D正明略《212 7.B 4B丘DD7,∠ADE-∠军箱案不和对一 【针列到笔】 【例4】A 玉(1)登山雨车上升的离厘E为40血 兵头证明暗2以0 1,C三D&正明周 【针对润练】 (3)以曜A出到达山测D处大德要携4 kC3D1,0成1t 【例5】B 4(13点D到地自以的离为百m 【例】骨 【例5】B 【针对氧运】 2)建线物A占的高度为5m 【例】正明暗 【针对到然】 10.目 【针对润辉】 【针对银练】 1L1+8 【例+】的 5广告南)的裤度约为49田 4A五量明暗数学 第16讲 等腰三角形与直角三角形 教材整合·梳理考点 考点1]等腰三角形 考点》3}线段的垂直平分线 定义 有① 相等的三角形叫做等腰三角形. 经过线段的0 与这条线段① 定义 (1)两腰相等，即AB=AC: 的直线叫做这条线段的垂直平分线 (2)两底角相等，即∠B=∠C(等边对等角)： 线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点 (3)是轴对称图形，有② 条对称轴： 性质 的距离@ (4)等腰三角形的③ ④ 与一条线段两个端点距离⑧ 的点， 性质 重合（简称“三线合一”）. 判定 在这条线段的垂直平分线上 考点》4直角三角形 有一个角是直角的三角形叫做@ a 定义其中夹直角的两边叫做直角边，另一条边叫 (1)有两边相等的三角形是等腰三角形： 做斜边. 判定 (2)有两角相等的三角形是等腰三角形 (1)两锐角之和等于⑤ 面积 S=2ah,其中a是底边长，h是底边上 (2)斜边上的中线等于斜边的⑩ 、 公式 (3)30°角所对的直角边等于斜边的⑦ 的高。 考点》2 等边三角形 性质 (4)若有一条直角边等于斜边的一半，则这条 直角边所对的锐角等于30°（应用时需先证 定义 ⑥ 都相等的三角形叫做等边三角形. 明)； (1)三边相等，即AB=AC=BC: (5)勾股定理：若直角三角形的两直角边分别 (2)三个角相等，且每一个角都等于 为a,b,斜边为c,则⑧ (1)有一个角为90的三角形是直角三角形： (3)是轴对称图形，有圆 条对称轴。 性质 (2)有两个角互余的三角形是直角三角形： (3)一条边上的中线等于这条边的一半的三 角形是直角三角形（应用时需先证明）： 判定 (4)勾股定理逆定理：如果三角形的三边长分 别为a,b,c,若满足⑨ ,那么 (1)三边都相等的三角形是等边三角形： 这个三角形为直角三角形（且边ε所对的角 (2)三个角都相等的三角形是等边三角形： 判定 是直角). (3)有一个角是⑨ 的等腰三角形是 等边三角形 S=h=b(a,b为直角边的长c为斜 面积边的长，h为斜边上的高) 面积 S=2h= 22·《a·sin60)一4a,其中 公式 公式4是等边三角形任意一边的长，h是任意边 上的高. 76 第二部分图形与几何 真题再现·聚焦考向 命题点》1 等腰（等边）三角形的性质与判定 ☑针对训练 例1[2023苏州]如图，在△ABC中， 1.[2024云南]已知AF是等腰△ABC AB=AC,AD为△ABC的角平分线.以点A 底边BC上的高，若点F到直线AB的距离为 圆心，AD长为半径画弧，与AB,AC分别交于 3,则点F到直线AC的距离为 点E,F,连接DE,DF 3 B.2 C.3 (1)求证：△ADE≌△ADF: A.2 D.2 (2)若∠BAC=80°，求∠BDE的度数， 2.[2024湖南]若等腰三角形的一个底角 的度数为40°，则它的顶角的度数为 3.[2024绥化]如图，AB∥CD,∠C= 33°，0C=OE.则∠A= 4.如图，BD是△ABC的角平分线， DE∥BC,交AB于点E. (1)求证：∠EBD=∠EDB: 夺冠笔记回 1.判定等腰三角形的一般思路是“证明 两边相等”和“等角对等边”两种，这就涉及证 明线段相等或角相等的问题，因此可以结合 平行线的性质或三角形全等来解决， 2.遇等腰三角形，要充分利用两底角相 等、两腰相等的性质。 3等腰三角形的“三线合一”的性质应用 广泛，它是证明两角相等、两线段相等以及两 条直线垂直的重要依据。 77 数学 (2)当AB=AC时，请判断CD与ED的 (2)若AB=a,求线段PH的长（结果用 大小关系，并说明理由. 含a的代数式表示). 例2[2022怀化]如图，在等边△ABC 中，点M为边AB上任意一点，延长BC至点 N,使CN=AM,连接MN交AC于点P,过 点M作MH⊥AC于点H 夺冠笔记回 等边三角形中的“三”字诀： (1)三种性质应用：三边相等，三角相等， 有三条对称轴。 (1D求证：MP=NP: (2)三种判定思路： ①证明三角形三条边相等： ②证明三角形三个角相等： ③先证两边相等，再找一个角为60 ☑针对训练 5.[2023金昌]如图，BD是等边△ABC 的边AC上的高，以点D为圆心，DB长为半 径作弧，交BC的延长线于点E,则∠DEC= A.20° B.25 C.30° D.35 78 第二部分图形与几何y 6.[2024宜宾]如图，点D,E分别是等 ☑针对训练 边△ABC边BC,AC上的点，且BD=CE,BE 7.如图，在△ABC中，AC的垂直平分 与AD交于点F.求证：AD=BE 线交AB于点D,CD平分∠ACB.若∠A= 50°，则∠B的度数为 A.25 B.30° C.35 D.40 命题点》3直角三角形的判定与性质及 相关计算 例4[2024青海]如图，在R1△ABC中， 点D是AC的中点，∠BDC=60°，AC=6,则 BC的长是 A.3 B.6 C.3 D.33 夺冠笔记回 命题点》2线段的垂直平分线 在直角三角形中： 圆3[2024凉山州]如图，在Rt△ABC (1)求角度时，通常利用“直角三角形两 中，∠ACB=90°，DE垂直平分AB,交BC于点 锐角互余”的性质； D.若△ACD的周长为50cm,则AC+BC= (2)遇30°的角时，通常要利用“30°的角所 对的直角边等于斜边的一半”的性质； (3)遇斜边上的中线时，要想到“直角三 角形斜边上的中线等于斜边的一半”的性质 ☑针对训练 A.25 cm B.45 cm 8.[2023岳阳]已知AB/CD,点E在直 C.50 cm D.55 cm 线AB上，点F,G在直线CD上，EG⊥EF于 夺冠笔记包 点E,∠AEF=40°，则∠EGF的度数是 当题目中出现“垂直平分”或题目中有垂 ( 直、且垂足是中点时，要联想到“线段的垂直平 分线上的点到线段两个端点的距离相等”的 性质 A.40°B.45° C.50° D.60° 79 数学 9.[2024眉山]图①是北京国际数学家 夺冠笔记回 大会的会标，它取材于我国古代数学家赵爽的 【妙招结论】如图，线段AB的两端在坐 “弦图”，是由四个全等的直角三角形拼成.若 标轴上滑动，∠ABC=90°，AB的中点为Q,连 图①中大正方形的面积为24，小正方形的面积 接OQ,QC,则当O,Q,C三点共线时，C取得 为4，现将这四个直角三角形拼成图②，则图② 中大正方形的面积为 最大值，最大值为2AB+（号AB)'+CB. 【结论推导】在Rt△AOB中，点Q为AB 的中点0Q-AB, 2 在R1△ABC中，由勾股定理，得 A.24 B.36 CQ=√QB+CB C.40 D.44 F-/AB)+CB. 10.[2024新疆]如图，在Rt△ABC中， ,"OC≤OQ十CQ, ∠C=90°，∠A=30°，AB=8.若点D在直线 .当O,Q,C三点共线时，OC取得最大 AB上（不与点A,B重合），且∠BCD=30°，则 值，OC=OQ十QC, AD的长为 即OC 2AB+ (2AB)+CB. 【巧记】梯子滑动求最值，要把梯子中点 取，两条线段相加得结果 例5如图，∠MON=90°，矩形ABCD ☑针对训练 在∠MON的内部，顶点A,B分别在射线 11.[2023凉山州]如图，边长为2的等 OM,ON上，AB=4,BC=2,则点D到点O的 边△ABC的两个顶点A,B分别在两条射线 最大距离是 OM,ON上滑动.若OM⊥ON,则OC的最大 值是 A.22-2 B.22+2 C.25-2 D.2+2 见配套《自主选练本》 自主选练 80