18第四单元 微专题 (三) 四大常考全等模型-【全程夺冠中考】2025年春数学听课讲义

【侧2】10A'2,o112=-r+g 【一期多闪】 【例3】位果商将基枝定铃为吨L可万元时才 【例3】24 【针对到然】 4.(10y=十13.118)2 人以比刻雨数的解析式为，一 。一改滴数 能使每天的利闲”设”的W较入豆大，北最大值为 【针对闻练】 125万元 1.A%5 【例】《1》长然膜装需进的针，款餐装购进 的解新式为y一+十切 【针对铜练】 【例】A 创件 【针对铜练】 ()5购进的件延款里装，的件长款鼠装封看 (2901320rc4 鸡 从A1位非1L如暴-山<，那么￥户6 量大利物.最大料制是40元 wP(g）Mm.a.1回 7.1y一2+期.S一22+01C0 第15讲三角形金等 【针对氧练】 (2)西(=驾时，属成豹矩感花调的雪阻为 【教材整合·棱理考点】 长(1)A款文创产品每井的连价是知元，8教文 0H1.)成.》 动m 【章点1】①等边三角用②视角三角形 创产品每什均选价是西元 图)国我的单思花国出积存在最大值。量大雀为 (2)期进A数文斜产品0作，脚进日数文创广 mo度-5o减，营0】 【点】①大干①小于10®等于 0m,此时的值为0 品40件，使销西定店获得的利斜量大，最大利国是 登专卷（二」）反比到桶酸中的直和顺型 【一疆多问】 中大干0大第 1的元 1.B 2B 33 (1y=-2石一3直线x=11,一4 【*底】9号号F@一牛 【一”多闪】 L心 (P.(ovu.-29 40w>1g号 6C7,8 (⑤调边形A8C有周的最大镇为要，比封点下 【彩点+】君相零⊙等)相等意夹用 -吉+-oi6 58久12 信礼边 10.C I1D 的里标为号中) 【超串老点】 129 〔G)存雀，H18.-4域(5-1.5 (IAB=(2》∠C事=∠F(度ACD》 1L,1)y-一r+2ra0发g3 第12球反比例雨数楼应用 第二部分闲形与几何 3D∠A=∠D4AC=DF(RA=DE 【敏材整合·被星考点】 1《反比例而数的解析式为，一一 【真颜再现，焦考向】 第四单元线与角，三角形 【传点】D号减小州大 数的新新式为少一之十1 【例】C 第4讲线段.角.相线与平线 【针时闻练】 【W点】@号41@2 【粒制整合·被星考点】 (2)5 1.D3B 第13讲水函数贤其成用 【尾唐】①一线厦⑤长庭①AB 【例】(12)A 【真赠再现，聚集考向1 【例1】C 【数材整合·续理梦点】 图k仪C8AB@k 【考点2】8方G0DgB附等G1 【针对谓练】 xB七四. 【针对铜婚】 【点】y+加中g上g会 8相等BPD一PE5∠1=∠2 1,A 【例3】 名- 【2冰，理由略 到去当碳小蜡大少品4线 【笔点】相等0@∠角①∠5 8∠58∠8 【针时到练】 如产成 【考点】好一窗手线程长度 三CiD 【例】C 【考点】德内情参互补旁内角互补 【例】D 【针对帽练】 【点】④yr山r0y-一hP+比 0,成 【针对润辉】 A儿g 0yur-31r—a 【年点6】@直幻程G适白题配裤理 知 【考点4】两个D一个0授有 【丽审考点】 【例3】A1,0,B9,)y--十0 【真盟再现·聚焦考向】 1)真2：如果件议平行，事么同数角相等 【例5】(1)好期南(2好0 (2r60或1C上 【例1】(1)D(2)D (3国位角相等，两直线平行44)两直线平行.同位 【针对辑练】 【针对闲婚】 【针对到然】 角不相等 总三角形具有檀定在具AE=于减 &.(1Dy1- + 1.A2D1D4 【真题再规·聚焦考向】 AD(下（容案不班一） 【例1】(1)D(2)B(3)周点之间.视数最如 1儿证明略 g)-<0成>号a 【针时得练】 厦专图（三》四大常考余等板用 【例】1-爱22A 【针对国练】 1.C2A1.4 1.证明好 5.(1)ym-x+2+10 【例2】(13C(2)8 2(1)证用席(2)3 【针对润婚】 〔2)写动员从起花点到人水点的水平距内相的 【针时调练】 &让听暗 6C7,180 长为(TT+1= 4.C丘Ba.cC 4,(1山明路(212 拉学一的一 5,止明导 誉道（五）等授三角形中的分秀时论 【针对增练】 氧五单元四边聪 氏正明略 【例1】0,80,9爱，，129 1L6 第1讲多边形与平风边形 ,D+(-店.教覆过覆图 【针对相练】 【例】A 【植材整合·被理考点】 号(1D证明席(2)4w高 1,r减10d 【针对辑练】 【黄点1】D(n-·15西所8 多IAF-EAF-DE,证明略a号 110,75,75线12，， 121t1 【例】(1024m减2锅m2)17 n”,》相等相等a一2X1四 微V遇（七》四人帝考口镜胃 登专湿（四）角平分线性暖的四静帝见安用 【针对制练】 1,82电规塔C到公路南侧Q的距真是m 【例】C 去18成17 雪精对称 【针对制练】 玉CL1点. 【考点】D平行亚平行H相等西相等 1.5 【例3】A 【针对销练】 长证明路(2号 8耳相平分G中（心0交高0平行公相等 【例】C-D,理由路 4或2写 A民C 8相等0平行且额等③相平分 【针时帽塔】 【离难再现，聚焦考向1 2任所略 【例+】(1)∠AE=∠(EF,用h路 么(1①明略©号(2)F明略 【例1】C 【酬】C 2w+京度2翠 【针对润练】 【针对铜塔】 第松得锐角过角肉质及解直角三角联 天9 【针对到篮】 【酸材整合·被理考点1 1.A210X125 【例4】(1D3(2)15 兵15该0 【酬2】证明暗 【针对落】 厦专遇（水）中点有芙的大经型 【第点】片华9明 【针对辑等】 4B 5B 1占283，A4,20正，证明路 4,B五2，陆明略 第6讲等领三角形与直角三角酸 【情痛】呼明时心 【例】0域1)量明鸣2)8 【数材整合·整理考点】 人号不轻明临长少m儿科 【真盟再现·鬟焦考向们 【针对国练】 【考点】心件拉②一金顶角的平分线 1位11<AD7,解圆过程母(2蟹明鸣 】,D点，让引略头1证明图/石 ①底边上的高边的中线 【考点2】0三边四.5 L号 【倒】 【一题多问1 【针对练】 机1)正解(2证明略3到0密L8 【考点3】0中点D率直公相等8相等 第行年国形购鼠 1.B (4145154518f6)147)1 【第点】0直角三角形a0-单亚-半 【粒材整合·被醒考点】 【罩点1】小：dk6'山中收比例 【酬】3厅 第讲年形.菱形，正方形 04'+h=10a'+6=c 【粒材整合·被理考点】 【针对得练】 【典丽再现·聚集考向】 印武比创 【等点1】①直角⊙直相等③出直角 【制1】(1D正明略(233 【等点】心相等盈域比例心相比勿相 4A五-1 盈三D相等 【针对司婚】 触此围相丝比的平方像夹角亚■等D皮 【制3】(1D规段D的长约为54m 【率点】3边相等0绿直甲分平分 1,C2100m5 比创 (21福精A山的高度的为50m 4.(13量明略(2DmD,星由略 【针对到运】 :0.0第诗心幅等形直 【真再现·及焦考向】 【例】4)证明略20 【例1】A 长斜横AB的长的为低.1如 【笔点3】动直角0相等白直角。意直 7.(1)军的长约为7-C的长约为1■ 【针对到炼】 【针对到裤】 平分址色。”心直角0邻i边多细等 .C反证明路 1.A212w5-1 (2)张率的底面A仪D的配积约为1sm 金夏直公互相看直 【酬】C 【例】证明时 登海（氏】解作角三角形碗用的三大板型 1,B处是离A处约140nm 【离慧再现·聚考向】 【针对铜练】 【针对裙练】 么塔森F约为级阻件 【例1】(D正明略《212 7.B 4B丘DD7,∠ADE-∠军箱案不和对一 【针列到笔】 【例4】A 玉(1)登山雨车上升的离厘E为40血 兵头证明暗2以0 1,C三D&正明周 【针对润练】 (3)以曜A出到达山测D处大德要携4 kC3D1,0成1t 【例5】B 4(13点D到地自以的离为百m 【例】骨 【例5】B 【针对氧运】 2)建线物A占的高度为5m 【例】正明暗 【针对到然】 10.目 【针对润辉】 【针对银练】 1L1+8 【例+】的 5广告南)的裤度约为49田 4A五量明暗数学 微专题(三) 四大常考全等模型 [类型1 平移型 类型2 对称型 “平移型”的特点是两个三角形一组边共线或 “对称型”的特点是沿公共边或者公共顶点所 部分重合,另两组边分别平行,其中一个三角 在的某条直线折叠可得两个三角形重合,常 形可以看做是另一个三角形平移得到的,常 见的模型图有如下两类; 模型 见的模型图如下, #### 图示 #__# 模型 (共边型) 解题时,要善于利用公共边的和差变化推出 图示 等边;利用平行的性质推出等角 ##_## K针对训练 1.如图,点B是线段AC的中点,AD/ (共角型) BE,BD/CE.求证:△ABD△BCE 解题时,要注意隐含的公共边和公共角、对 ### 顶角. 针对训练 3.[2024乐山]如图,AB是CAD的平 分线,AC=AD,求证:C-D 2. [2024内江]如图:点A,D,B,E在同 一条直线上,AD=BE,AC=DF,BC=EF (1)求证:△ABC△DEF: (2)若 A=55^{*},E-45^{*},求 F的 度数 70 第二部分 图形与几何心 4.[2022长沙]如图,AC平分BAD, {类型3 旋转型 CB AB,CD AD,垂足分别为B,D 1.共顶点旋转型: (1)求证:△ABC。△ADC; 这类题的特点是有公共顶点,绕该顶点旋转 (2)若AB=4.CD=3,求四边形ABCD 可得两个三角形重合,常见的模型图如下: 的面积 #### 解题时,注意利用重叠角和公共角,找准旋转 前后的对应边、对应角,在旋转模型中,“手拉 手模型”与“半角模型”在中考探究性问题中 经常出现. (1)“手拉手”模型:此模型是旋转的一种特殊 形式,通常是顶角相等的等腰三角形或正方形 绕项角项点简转而来,基本图形有以下三种; ### #_#_) 5.如图,已知AOC=BOC,点P在 ② OC上,PD]OA,PE OB,垂足分别为D 模型“手拉手”模型基本结论:①手拉手全等 E.求证:△OPDOPE 图示 (△ABP△AB'P):②拉手线相等(AB A'B'):③交叉时拉手线夹角一顶角(图②中 AOA'- APA'). (lI)“半角”模型:一个角内包含这个角的半 角(如90{}包含45^{},120{}包含60{}等).通常有 以下三种特殊情况 旋转时既可以把半角左边的三角形旋转到右 边,也可以把右边的旋转到左边,灵活变换. 71 数学 续表 7. 如图,在△ABC中,BAC=90{, 2.不共顶点旋转型: AB=AC,点D和点E均在边BC上,且 这类题的特点是:所给图形是一个中心对称 DAE=45{*,请猜想BD.DE,EC满足的数 图形,一个三角形绕中心对称点旋转180{,则 量关系,并写出推理过程 可得到另一个三角形,两个三角形有一组边 模型 共线,构造线段相等,并利用平行线性质找到 图示 对应角相等,常见图形如下: 针对训练 6. [2024云南]如图:在△ABC和△AED 中,AB=AE,BAE= CAD,AC=AD.求 证:△ABC△AED 72 第二部分 图形与几何 类型》4 一线三等角型(“K”模型) 9.在矩形ABCD中,已知AD>AB.在 “一线三等角型”的特点是同一直线上出现三 边AD上取点E,使AE一AB,连接CE,过点 个相等的角,其中两个角的一边落在该直线 E作EF CE,与边AB 或其延长线交于 上,第三个角的顶点落在该直线上.基本图形 点F. 有以下三种: (1)【猜想】如图①,当点F在边AB上时 ### 线段AF与DE的大小关系为 →△APC2△BDP (2)【探究】如图②,当点F在边AB的延 (锐角型) 长线上时,EF与边BC交于点G,判断线段 模型 AF.与DE的大小关系,并加以证明; 展示 P→△APC△BDP (3)【应用】如图②,若AB-2,AD-5,利 用探究得到的结论,求线段BG的长。 (钝角型) {### →C→△ABC△CDE (一线三直角型) 针对训练 8.[2023聊域]如图:在四边形ABCD 中,点E是边BC上一点,且BE=CD, B AED-C (D求证:EAD= EDA: (2)若 C=60{},DE=4,求△AED的 面积 73